Вопросы аналитической теории ветвящихся цепных дробей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

:\ г) 4 и а1у

' .л

АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНЫ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рукописи

БОДНАР

Дмитрий Ильич

ВОПРОСЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ВЕТВЯЩИХСЯ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ

(01. 01. 01 — математический анализ)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Киев — 1992

Работа выполнена в Институте прикладных проблем механики и математики АН Украины им. Я. С. Подстригача.

Официальные оппоненты: член-корреспондент АН Украины, доктор физико-математических наук, профессор В. К. ДЗЯДЫК, член-корреспондент АН Российской федерации, доктор физико-математических наук, профессор Л. Д. КУДРЯВЦЕВ, доктор физико-математических наук, профессор В. Н. РУСАК.

Ведущее предприятие — Физико-технический институт низких температур АН Украины. __

Защита состоится « » 1992 г. в часов

на заседании специализированного совета Д 016.50.01 при Институте математики АН Украины по адресу: 252601, Киев 4, ГСП, ул. Репина, 3.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

Автореферат разослан «

1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета

Д. В. ГУСАК

¿¿i/äöi'UlO 1 аЫА

сипя характеристика рлвога

Актуальность теш. В последнее время интерес к цепным /непрерывным/ дробям значительно возрос, о чем свидетельствуют многочисленные международные конференции по непрерывным дробям или тесно связанным с ними аппроксимациям Паде, а также выход нескольких монографий по данной тематике, две из которых из известной серии "Лщиклопедия математики и ее применения" У.Джоунс, В.Трон "Непрерывные дроби. Аналитическая теории и приложения".- М.: Мир, 1985, Дж. Бейкер, ¡1.Грейвс-Моррис "Аппроксимации Паде".- М.: Мир, 1986 переведены на русский язык.

ГЬзличнне обобщения непрерывных дробей рассматривались в теоретико-числовом направлении Л.Эйлером, К.Якоби, О.Перроном, Г.Ф,Вороным, А.Н.Хованским, А.В.Озерским, Е.В.Подснпаниным, r.llfe-кересом и др. Огцшм ип наиболее удачных обобщений является алгоритм Нкоби-Перрона, который успешно применяется также и в анализе для приближения вектор-функций одного переменного или. так называемых совместных приближений /см., например, Е.М.Никитин, В.Н.Со-t. ¡сии "Нщиональные аппроксимации и ортогональность".-М.: Наука, 19««/. Используя интерпретаций цепной дроби в виде графа и рассматривая более общие графы типа дерева, В.Н.Скоробогатько дал определение многомерного аналога непрерывной дроби, получившей название ветвящаяся цепная дробь /ВЦП/. Некоторые частные случаи

встречались и ранее: в работе И.Пратье - при рассмотрении ко- . мпозиций отображений Жуковского, у В.П.Терских - при исследовании механических колебаний в валопрововодах различных энергетических установок в судостроонии.

ветвящиеся пенные дроби получили применение в теории функций, теоретической физике, вычислительной натематиее, электротехнике. t< частности, вопросами интерполяции и аппроксимации функций многих перегонных с помощью В1Щ занимались П.И.Боднарчук, л.И.Кучми-нская, М.-:.:.Гкпфя, В.Семашко, А.Коут, Марф,и и О.Донохоэ и др. ¡¡.И.Еоднарчуком, Р.В.Слоневским, Ь.Н.Пелехом, H.H.Ппинским и др. с помощью дробно-ршшональцых выражений, образованных, в частности на основании разложений в цепные и ветвящиеся цепные дроби, построены численные нелинейные /дробно-рациональные/ метода решения диф-ференциалыих и интегральных уравнений. Эти методы оказались элективными при решении жестких систем дифференциальных ура вне-

ний. H.A. Нздашковским, М.С.Сявавком с помощью ВОД построены экономичные, численно устойчивые методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Ветвящиеся цепные дроби применялись в электротехнике для синтеза многополюсников /И.В.Ерохов, А.Цихоцкий/, для построения математических моделей транзисторов /В.К.Картузов/, в теоретической физике: в виде ВЦЦ Н.В.Ткач представил массовый оператор квазичастиц, взаимодействующих с фононами, ВЦЦ с операторными элементами были применены М.Пивдером и Г.ТУршетти при решении уравнения Шредингера.

Диссертационная работа посвящена построению аналитической теории ветвящихся цепных дробей.

Актуальность рассматриваемой тематики обусловлена тем, что ВЦЦ являются многомерными аналогами цепных дробей, их подходящие дроби дают дробно-рациональные приближения для функций многих переменных. ВЦЦ получили применения в различных областях науки и техники, однако теория ветвятцихея цепных дробей развита недостаточно. Здесь возникают значительные трудности, связанные с тем, что методы, применяемые при исследовании сходимости непрерывных дробей явно используют рекуррентные соотношения для числителей и знаменателей подходящих дробей, для которых нет аналогов в многомерном случае. Вторая трудность связана с тем, что совокупность многомерных дробно-линейных отображений не образуют группы, как это имеет место в одномерном случае, если в качестве групповой операции рассматривать композицию отображений.Последнее существе- ' нно при рассмотрении неограниченных областей сходимости.

Целью диссертационной работы является разработка основ аналитической теории ветвящихся цепных дробей: исследование элементарных свойств ВЦЦ, установление общих признаков сходимости ы расходимости ВЦЦ, являющихся многомернтш аналогами ¡аиболее извес- • тних и употребительных признаков сходимости непрерывных дробейс определенна и исследование свойств различных типов функциональных ВОД, разложение функций, заданных формальными стдпанниш! рядами в соответствующую ВЦЦ с линейными частными числителямиs разложение в ВОД отношения гипергеоцетрическнх функций двух переменных.

Методика иссдедовашя.В диссертационной работе используются матоды теории функций когдшжсного переменного, аналитической теории непрерывных дробей, различные оцошш и неравенства, а также применительно к ВОД метод мажорант.

Научная новизна и практическая значимость:

- построены основы аналитической теории ветвящихся цепных дробей;

- разработана методика исследования сходимости ЕЩ с действительными положительными и комплексными компонентами;

- установлены многомерные аналоги лайболее известных и часто используемых признаков сходимости непрерывных дробей: теоремы Зэйделя, Прингсгейма, Ворпицкого, Ван Флека, параболические теоремы и многие другие;

построены и исследованы многомерные аналоги некоторых типов функциональных непрерывных дробей: положительно определенных В!1Л, многомерных аналогов ^-, С -, Б -, ^ - дробей, двумерных соответствующих непрерывных дробей с линейными частными числителями;

- разложены отношения г>?пергеометрических функций Аппелп в ветвящиеся цепные дроби.

Аэзультаты, полученные в диссертации, являются новыми, они были применены в вычислительной математике при

-построении дробно рациональных приближений для (функций многих переменных;

- исследовании сходимости алгоритмов решения интегральных уравнений Вольтерра, Фредгольма второго рода, Винера-Хопфа, Ам-барцумяна-Чаццрасекхара и др., использующих интегральные цепные дроби;

- исследовании вычислительной устойчивости алгоритмов, основанных на непрерывных дробях и их многомерных обобщениях.

Аппробация работы. Результаты диссертации докладывались на II республиканском симпозиуме по дифференциальным и интегральным уравнениям /Одесса, 1978 г./, на П республиканской конференции "Вычислительная математика в современном научно-техническом прог-ресе" /Киев, 1778 г./, на всесоюзной школе молодых ученых "Теоре-т;г.'еские и прикладные проблемы вычислительной математики" /Дрого-быч, 1981 г./, на международной конференции по конструктивной теории функций /Киев, 1983 г./, на всесоюзной школе молодых учеши "Численные методы решения задач математической физики" /Львов,

г./, на.республиканских научно-технических конференциях "Интегральные уравнения в'прикладном моделировании /Киев, 1983 г., Одесса, 1У6У г./, на всесоюзной конференции, посвященной 80-летию академика С.Никольского /Днепропетровск, 1985 г./, на Саратовских зимних школах по теории функций и приближений /1984, 1986,

1990 гг./, на всесоюзных конференциях "Новые подходы к решению дифференциальных уравнений /Дрогобыч, 196Г7,1989,1991 гг./, на всесоюзной школе "Теория приближения функций" /J^/цк, 1989 г./, на всесоюзной школе-конференции "Современные проблемы теории функций" /Баку, 1989 г./, на республиканской конференции "Экстремальные задачи теории приближения и их приложения" /Киев, 1990 г./, на ХХ1У Воронежской зимней математической школе "Современные проблемы теории функций и теории дифференциальных уравнений" /1991 г./, на международной конференции, посвященной 100-летию рождения С.Банаха /Львов, 1992 г./, а также на семинаре отдела теории функций в Математическом институте им. В.А.Стеклова /руководитель академик А.А.Гончар/, на семинаре отдела теории функций Института математики АНУ /руководитель член-корр. АНУ В.К.Дзядик/, на семинаре отдела теории функций Института математики kW /руководитель проф. А.И.Степанец/, на семинаре по теории функций кафедры высшей математики и математической физики Минского университета /руководитель проф. В.Н.^сак/, в Московском университете на семинарах "Теория приближения и гранич-(ше свойства функций" /руководители проф. Е.П.Дйлженко, Е.А.Севастьянов/, "Избранные вопросы теории функций" /руководители проф. Е.А.Ркхманов, А.И.Аптекарев, В.В.Вавилов/, на семинаре кафедры теории функций и функционального анализа Харьковского университета "Аналитические вопросы теории вероятностей" /руководитель член-корр. АНУ И.В.Озтровский/, на Львовском городском семинаре по теории аналити-' ческих функций /руководитель проф. A.A. Гольдберг/, на семинаре отдела теории дифференциальных уравнений И1ШМН АНУ, на общеинститутских семинарах, заседаниях и семинарах Западного научного центра АНУ.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 32 работы.

Структура и объем работы. Диссертационная работа изложена на 306 стр. машинописного текста и состоит из введения, четырех глав, которые разбиты на двадцать один параграф и списка литературы из 201 наименований.

СОДЕНЯАШЕ RVBOIU.

Формулируемые ниже теоремы, утверждения,, следствия имеют те же номера, что и в диссертационной работе. Нумерация формул самостоятельная.

Во введении дается обзор исследований по тематике диссертации, обоснование актуальности работы, краткая характеристика основных результатов,

ГЛАВА I. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВСЙСТВА ВЕТВЯЩИХСЯ ЦЕПНЫХ ДРСБЕЙ

В §1 дано определение ветвящейся цепной дроби, рассмотрены различные структура подходящих дробей, установлена связь с композицией многомерных дробно-линейных отображений. В дальнейшем Г(£ /V фиксировано и с (К) = г\ <г •■■ /к е М, N. /-

сокращенное обозначение мультииццексов. Пусть б0£ С , {&//к)} » {/0*/,/с / - заданные последовательности комплексных чисел. Ветвящейся цепной дробью с -Л" ветками ветвления называется последовательность^^ , где

--л/

л. ■ V а*'&>

~ А- М

'.г-' ■ х— аип\

(

{п

Элементы дроби /I/ О^) называются >с-т частными числителями, ^ак) " четными знаменателями, ва - свободным членом, от-

ношения ^( '(К)/ 6(¡к) называются К -ми частными звеньями, ВЦЦ сходится, если существует конечный предел/^ ПРИ п Для

записи бесконечной ВЦЦ будем использовать по аналогий с цепными дробями более компактнее

N а. К <,«/ +

или сокращенные

©о

ь, +021

обозначения. Конечные ВОД вида /I/

' К а-

/с*/ '/с--' ((К>

называются гп -ми подходящими дробями или т -ми аппроксимантами_

дроби /2/. Лусть/^/с/- фиксированный набор индексов /ке/У, Непрерывная дробь

оа

2)

аию _ а('и> а</г) я«к) ^ в<1к) + &{(&)+-■ + +

называется (■■■. </с,- ■ ) -веткой ЩЛ /2/. Характерной особенностью п-ой аппроксиманты является то, что все ее ветки имеют длину п , т.е. содержат >2 этажей. Фигурной подходящей дробью ВЦП /2/ называется конечная ветвящаяся цепная дробь, являющаяся частью /2/ и содержащая по крайней мере две ветки различной длины.

При м е р 1,1.1. Каждая последующая подходящая дробь образуется-добавлением очередного звена в естественной записи ВЦД /2/

а, ^

в1 ' в& .....

где

/

\ [^«Уз)/ если

ИЛИ 1(5)

О // , если 1(5) К($),

число 5 , индексы /с5 определяются из разложения

причем 1(5)^ если или существует X

что(р = *'р / /, < кг+< •

В § 2 установлены формулы для числителей и знаменателей ■ подходящих дробей в виде определителей,,

Свернув -ю алпроксиманту ВОД /2/ без каких либо сокращений получим п

Ац называется числителем, в/, - знаменателем п. -й подходящей дроби. В одномерной случав и Вп связаны трехчленным рекур-

рентными соотношениями, для которых нет аналогов у ЙЩ. Однако мсшно установить формулы для и Ё>п в виде определителей, йз-эультат удобнее записать для БЦЦ вида

оо /V ГУ *

б<

/а/

К-! 1к-1 с комплексными элементами.

Следствие 1.2.2. Для числителей/?^ и знаменателей Ё>к к-Л подходящей дроби ШЩ /2/ с комплексными элементам! справедливы формулы

йк = o/et ¿бое . = о/её £),е ... /, /б/

где /V■ + , элементы симметричных матриц

¿а о'шх ■■■

3),» =

определяются следующим образом. Если р£ Л/ /п /, то, найдя индексы^? ,..., из разложения/4/

р = N N ■'■■ + ¿¡т /,

имеем с/00= 4>. ^РР^ ^¿(Р) ** /, о^,; = - ^ ,

С/Рч = О во всех остальных случаях,- когда <£>р.

В § 3 приведена формула разности двух подходящих дробей - /п>т / ВИД /2/, существенно используемая в дальней-

. шем при исследовании сходимости "ветвящихся цепных дробей:

^ П а,>

4-4-/.Г21

77?

' /7/

похпа

г-г

Г=>

(г)

где суммирование ведется по всевозможным наборам индексов Ч , 1г , ..., 1гп*1 » каждый из которых независимо пробегает значения от I до УУ и £ н

(5) у, Т\ ^г- °ак)

КИ ¿(Г) вцк)

При выводе формулы /7/ естественно предполагается, что все фигурирующие в /7/, отличны от нуля.

В § 4 определены различные веды сходимости ВЦЦ. Доказано, что для ветвящихся цепных дробей с положительными элементами безусловная сходимость эквивалентна обычной сходимости, а также

Утверждение 1.4.2. Если ВЦЦ /2/ с действительными положительными элементами сходится, то она сходится^фигур^о и к тому же. пределу, причем фигурные подходящие дроби рп выбираются произвольным образом лишь бы минимальные длины веток тп стремились к оо при п -* сх> .

В втом же параграфе определены,существенно используемые при сходимости ВЦЦ с комплексными элементами, макош&кгныв и мажорантные ветвящиеся цепные дроби.

В § 5 дано полное описание класса эквивалентных ВЦЦ. Ветвящиеся цепные дроби /2/ и

Ъо Ж

¿о+ВГ

к-1 о ¿(к)

называются эквивалентными, если -Г тг *

- /*•«..../, /9/

1) И*

где / „ , ¿у, - их п -е фигурные подходящие дроби айда /3/.

Теорема 1.5.1. БЦД /2/ и /8/ с отличными от нуля част' ними числителями эквивалентны тогда и только тогда, когда существуют отличные от нуля константы Р, //с) /Л"" - ~ />

?1ЧоГРот/ » гаки9' 4X0

а*к) « (У,ЧК) - 4/Л-; ?чю по/

Если условие /9/ заменить просто равенством обычных подходящих дробей /I/, то построен пример, показывающий, что теорема 1.5.1. в этом случае не.верна.

В § б рассмотрен многомерный аналог тождеств Эйлера, используемых в. случае / для тождественного преобразования цепной

дроби в равноценный ряд. ' . _ _

Теорема 1.6.1. ПустьОц^ € С /к*/,г...., /р' Тогда справедливы тождества

аОк)

п К

14= /, где каждое выражение в квадратных .скобках обозна-

чает среднее гармоническое

Г К V

[Сик>] = ЯУ

«к"

СЦ 1С)

/II/

ГЛАВА 2. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ ВЕТВЯЩХСЯ ЦЕННЫХ .

ДРОБЕЙ С НЕОТНЩАТЕЛЫШИ ЭЛЕМЕНТАМИ

В § I рассмотрены специальные неравенства, которые в даль-' нейшем будут применяться при исследовании сходимости ВДЦ с положительными членами. _

Теорема 2.1.4. ПЕусть^ О , X; / - действи-

тельные числа. Тогда справедливо неравенство

П

Г)

х«-

-1

> (Б-ч) !

_Те о р е м а 2.1.8. Пусть 8>,0,$*О *<; ,

¡¿= < тг / принадлежат области

/12/

Тогда

п

- 12 -П { п

л

Х6 £7

<

где

+ "я/").

[(п- пе)Х +п£х][(п-п£)У+п£у]

/13/

П £ - наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству

'/г

я /

*£■*,— -Т

/ -н

£ =

Гг-^]' ~ ХУ

В § 2 установлены необходимые признаки сходимости ВЦЦ о положительными действительными компонентами.

Теорема 2.2.1. ВЦЦ '

оо Л* .

4+ ЬЛ т~

с положительными частными знаменателями расходится, если

Г. N К К М

рк + -.---— —— - <

}Т> -» ©о к.г

где

\ЫК « ГП1ГЧ ( в, (К) ■ (р**,КР~*>к),

I рк = гпах ( 6,/к) <р ' Р* Vе)

/15/

минимальный и соответственно максимальный частннй знаменатель етой дроби на К -м этаже, ¿(к.т)« мт

Теорема 2.2.2. В обозначэжшх предадущей теоремы ВЦЦ /14/ расходится, если сходится рад.

21

К-*

Т_е_о а 2.2.4. Для ВОД /14/, где в11К}>0 /к-г.г..

= независимо от того сходится она или расходится

Г К /Г Л Л К

Рк-1 + ---~--:---------- —.Г -

(t'm

*

где Ргт = &Б 0пР°деЛ9Н0 в теореме 2.2.1.

В § 3 установлены достаточные признаки сходимости ВЦЦ с положительными действительными членами.

Теорема 2.3.1. ВЦЦ /14/ с положительными действительными частными знаменателями сходится, если в обозначениях теоремы 2.2.1

Г , К Ж К Н

á'm

/тг-»оо

До> + Рки + ■■■+ oí. s

Следствие 2.3,1. В1Щ /2/ с положительными компонентами сходится, если расходится ряд со

со.

К'г

где

SK = т< г?

а,

1(К\

_Т_е о р_е м а 2.3.5. ВОД /14/, где 30-0 , 6(-(К)>0//с^.г. /р- р- ^к /,. сходится, еслиОг(тп) оо при т -» «» , причем справедлива оценка

4 h

-1 ¿

N

гт

a,(rn)

где^- К-я аппроксиманта ВЦД /Ы/первая компонента вектора

а,(т)У

гт

6,M -п

i-z

dtW),

N'<

О . О

О О

°<(-1 об;

<*L

иЦ-1 ■ о

УГ' о о О

di-, 1

dzrnf j

I'

к j

» ßi определяются согласно /15/, - согласно /13/ в предположении, «iTo'i-y^Xs сх^ ,y=ocfc- , , Iя р£ и

¿sj . Л* К Н К ■ аС; = +

fa*+ flt*i + -~ + 0*5

fS) -TV M ff /f

A e

<*tVf + AV/Э + d( V3 + ■ • • + üs /<■ = S = ггп+t/1 »0(5, если S-i четное и ßs в противном случав, ¿fS= ¿f/ •

Следствие 2.3.4. ВЦЦ /14/ с положительными частными знаменателями сходится, если

я?-/ z(m-n)

Jim 21 Ыь 00 •

Теорема 2.3.7. Пусть для ВЦЦ /14/ с действительны« положительными частными знаменателями и б0т О выполняется условие: существует натуральное число У?/ , что для всех индексов * и т , таких, что / справедливы неравенства

Лг/" Л-5 ыгс* * - * с/гт„)* U,

Nzt+г + 2 с/А/Н + ¿гы* * ■ + К

где Ki определены в.теореме 2.3.5. Тогда ВЦЦ /14/ сходится, если схз '

ряд оСк расходится^

К'1

В § 4 установлены не обходимте и достатоадгга признаки схсди-' мости ВЦЦ о положительными действительна® элементами,

Теорема 2.4.3. Если для ВЦЦ /14/ с положительными частными знаменателями существует константа ? & , тазая, что

ßtc oiK jKzt.B,... /,

где с*/«? , ßhc определяются согласно /15/, то эта дробь сходится тогда н только тогда, когда рад Лб/ расходится.

Теорема 2.4.5. Цуоть » обозначениях предедущей теоремы для ВОД /14/ существует.константа ЛОО , такая, что "

Тогда дробь /14/ сходится тогда и только тогда, когда ряд /16/ расходится.

В § 5 рассмотрены вопросы сходимости ветвящихся цепных дробей с неотрицательными' действительными компонентами.

ГЛАВА 3. ПН13НЛКИ СХОДИМОСТИ. ВОД С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛОВЫМИ КСЫПОНЕОТАМИ

В § I исследованы вопросы сходимости ВОД с частными числителями равными единице, в частности, рассмотрены многомерные аналоги теорем Ван Флека и Кох.

Те о р е м а 3.1.1. Пусть все частные знаменатели ВОД /14/ принадлежат области

{ге£-- < £./ • /17/

где <£ - произвольное^ как угодно малое положительное действительное число / О < £< /. Тогда

I/ каждая '"-я аппроксиманта />^г> = А>3.- / ВОД /14/ принадлежит области /17/;

2/ существуют конечные пределы четных^п и нечетных ^¿гн-* подходящих дробей при п -» оо ;

3/ ВОД /14/ сходится, если при введении обозначений

«к = ™'»(1в11к)1- Гр- Щр-т), /18/

Рк-'пгаХ(1 6, (К)\ ■ <р-'Л Р*

выполняется одно из условий:

а/ расходится рад .

СО

где бд- = <УК f Л''о(/с-г + Л■

Г к- < т ■ 1С- /

—целая часть —^— ;

• 6/

ат+1

У ык.,

со

Кар

ык+

К

N

К

/Г

&К+1 + + Рк+З + ■■■ +

с сю,

Те ор ем_а 3.1.3. Пусть для ВЦЦ /14/, где 0о= О ; фК)Ы. //с г'р ~/, N. р-ос ' / ряд /16/ сходится, где определяют -ся согласно /18/. Тогда справедливы оценки

где ^т и В/п , Р'т и От соответственно числитель и знаменатель >71 -Й йппроксйыанты /14/ и цепной дроби

. 'Л"

/V

/V

уЗ, V- Да ^/с +

! С я

С

й ( г ,

если эт? четное „ если »» начетное.

Из полученных оценок следует, что

&'тг> ят-о , а т - о.

УП-*оО ГП-+О0

Оцнако из сходимости ряда /16/ в данном случае еще не следует, как это имеет место в одномерном случае, роходимость ВОД /14/. Построен соответствующий пример.

В § 2 установлены признаки оходиыооти ВЦЦ з частными знаменателями равными единице.

Т е о рема 3.2.1. Если для ВЦЦ

N

Т\ V— Сч(К)

/19/

с комплексными частными числителями выполняются условия:

1Сию1 * * £ = Т^с /,/20/

то I/ ВЦД /19/ абсолютно сходится;

2/ справедливы не'улучшаемые оценки скорости сходимости

ип-а

.если 06 ■£ < или

)/„ - А,/ , если * ,

1?п 4т! - (п+1)(ггг-и) .

где П>Ю!^К - к - я подходящая дробь ВЦД /19/;

3/ наилучшей областью значений,- соответствующей области элементов /20/, является круг

./2 - Г/-**)"/*

4/ предельная константа является наилучшей, ее

нельзя увеличить.• сохраняя при этом сходимость ВЦД /19/. Теорема 3.2.2. Цусть для ВОД оо Н г

4 *ът. ' >а'

с комплексными частными числителями выполняются условия

где •

или

g-,/>c)£i2, о* :г..иг4/

Тогда ВЦП /21/ абсолютно сходится и ее наилучшей областью значений является круг: I - i .

Теорема 3.2."5.' ВЦД /19/ с комплексными частными числителями сходится, если для произвольного натурального Т1 и

произвольного набора индексов , 1г /п выполняются условия

7?

Х.1С(1К)\ М"' глЧЖ, ОС /.

Теорема 3.2.6. Цусгь частными числителями ВОД /19/ являются комплексные числа, такие, что

Nюах(1с((К,1: //С'Г.г,... /

является цепной последовательностью с минимальными параметрами тг)р о,\ удовлетворяющими условиям

Тогда ВЦЦ /19/ абсолютно сходится, если сходится рад

ОО /с

Т=<+21П»>с(<-™с)~1 /25/

Значение ВЦЦ /19/ и всех ее аппроксиманг принадлежит области

I * - т/гт. /Г/ Г (г- 1)(г г- <)~!

где Т - сумма рада /25/.

Теоремы 3.2.1, 3.2.2, 3.2,5, 3.2.6 являются многомерными аналогами признаков сходимости цепных дробей соответственно Ворпицкого, СкоттагУолла, Кох, Ван Флека.

В § 3 установлены многомерные аналог» параболических теорем. Те о р а м а 3.3.1. Пусть частными числителями ВЦЦ /19/ являются комплексные числа, принадлежащие области

С- /г/- < (г/*/*/*■£)}.

где 6 - кал угодно малое действительное число '№< *число веток ветвления дроби /19/. Тогда

I/ существуют конечные пределы чвтнях/^^ и нечетных ^п^ подходящих дробей при ??-»оо ;

2/ ВЦЦ /19/ сходится, если наполняется одно из двух условий; либо существует тркой номер к . , что вс« / е'р « /Т/1,,

/о. ^^ /, либо расходится рад

оо

где

и s--

■теп

. I£úic>l

причем те наборы индексов, при которых C¿¡Kf О при нмнммкзацня кэ рассматриваются;

3/ область значений ВЦД /19/ принадлежит кругу j ■<

Т о о р ® м а 3.3.2о Пусть влементы С(/к)/К* - . р* К / ВЦЦ /19/ принадлежат области

Р€Л - {?е£- Re( 2 expf-£%L)¿ (¿H)~'(/-£)coss¿¡}-

где-^< <5"< в £ ~ как угодно малое действительное число ¡ о «£ «. J /„ Тогда выполняются следствия I/ и 2/ пред едущей теоремы и область значений ЕЦЦ /19/ принадлежит Kpyiy

I*rcosbJe*P/'<*)¡ Á Т/'- íCosü)'-

В § 4 установлены аналоги признаков сходимости Прингсгейма для ВЦД. В качестве следствия теоремы 3.2.2 имеем два аналога теоремы СлешнскОго-Прингсгейма.

Те о р а и А 3.4.1. BL& ti! с комплексными компонентами, удовлетворяющими условиям

абсолютно сходится и ээ наилучшей областью значений является круг; 12- 3al í* .

Теорема 3.4.2. ВЦЦ /2/ о комплексными элементами, удовлетворяющими условиям

абсолютно сходится и зе наялучщей обл&егыз значений яаляэтея круг г /2-601^АГ о

Усиление этих теорем связано либо о переходом в действитель-

ную областьt либо с изучением дробей, значение которых принадлежат граница области значений.

Обозначим через ti множество мул&тиивдвксов

Cf-3(M)»{i(K) K.f.e....,<¿--07; р*г7к} ■ /26/

Рассмотрим ВОД /2/ с действительными элемента™, такимиt что все .-ci & О U 'ttcjû С/ /. Используя эквивалентные преобразования /2/ приведем к виду, когда все 6L г О / ¿//cj е /. Пусть выполняются неравенства

Xùfci ' викГЩг-О Р<Ы> Я'«*) ' ? /./27/

где &йк) " ! af/tcil , число отрицательных элементов

• II, если П((ю>0, ^ " Jl, если O!tK)<0 ,

liKl " [О, если r?ù/cl"0, ltKi \о, если а<Ш>0.

Преобразуем ВЦЦ 121, для которой выполняются условия /27/, к ВЦЦ с неотрицательньии элементами, используя следующий алгоритм: каждое звено

/V

'v (K*t>

тг

t/c+f

где /С»О или О при /с* / , (0*0 , заменим ему тождествен-

но равным выражением

Ч/к) , N '

о с- V ' У Л<кн1.

1к*,-< 1 ¡- Г7<>«>а<"С"> '«"'"„«Г Аналогичную процедуру проделаем для всех новообразованных звеньев

/ а«1с*г)

Г в о р в м а 3.4.3, Пусть элеиентвда /2/ являются действительные. числа, удовлетворяв^« условиям; ес® а,/к}£С!/¿к) £ 'У /„ справедливы неравенства /27/, где С определяется осуласно /26/. Если преобразованная ВЦЦ, построегат согласно этссакного васз алгоритма, сходится, то дробь /2/ сходится и к тоиу ж® прздзяус Т о о р в и а 3.4.4. Пусть для ВЦЦ /2/ зыполкяотся условия предедущей теоремы, пртаем > О , если (/с 4 Ж .

Тогда /2/ сходится, если расходится рад

ОС

/С«2

где

\Sttm) ^гт-к

¿.етп-л. гд.^,

™-1-2-1. С

/■ у^гш-к _гк+* 7

. Г,11т <)а1(гт

гт-к

ггнп

Ьипм)

н ^ обозначает множество всех мультиивдексов ^^, "К индексов которых удовлетворяют неравенствам А" , остальные

/V ^

■я?- "К индексов - неравенствам У л ( 2 4 ^('а-О » ^гг» //" ~ П0Д"

•г '

множество , у которого, заранее известно, что последний чн-

докс (г>ч удовлетворяет неравенству Г>,1гп.1) <(тг> » а

г/ ~ Угп 4 -^п, //> причем каздое из указашп.к множеств ин-коксов лвллатся пустим, если хотя би одно из характеразугн?IX ото неравенств противоречиво.

1 е о р в и а 3.4.5. Цгсть для ЩД /2/, где в0~0, вшол-- ;;:штск условия теорем 3.4.1. Тогда

I/ дробь /2/ абсолютно сходится к ее наилучшей областью значений 'является круг 1ё/4/ I

2/ /г/-* тогда щ Только тогда» когда выполняется условно

111к> "'' а((К1 \, каждое выражение в квадратных скобках обозначает среднее гармоническое /II/, существует угол у что

и

айк<*) <0 С/.

Прй выполнении этих условий 2 * 1 Р) .

Применяя пункт 2/ теоремы 3.4.6 можно получить усиление те-эрз«еа 3,4.I»

Теорема 3.4.11. /(усть элементами ВЦД /2/ являются ком-пжоконыэ тела, удовлетворяющие неравенствам

/ /вию^-К/аик,!** /.

Тогда дробь /2/ сходится, если для каждого <7 /'/ ^ / хотя бы одно мз этих нер*авенств строгое. , ^

В § 5 рассмотрены области сходимости, окрестности сходимости

и области устойчивости для ЩЦ.

ГЛАВА 4. НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ВЕТВЯЩСЯ ЦЕ11ШХ ДРСБЕЙ

В § I установлены признаки равномерной сходимости функнио-ных ВОД» рассмотрен многомерный аналог теоремы Стилтьеса-Витали. Те о р в и а 4.1.2. Пусть элементами ВОД

являются действительные функции, заданные в некоторой области

об с С и удовлетворяющие услогаяш

I/ существует константа л(> о , что для всех о&

/Ои',*?.ж /, 2/ ° & 2 С & /»

3/ существует неотрицательная константа т? /О * й * такая, что для всех ? € 8}

¿Ок+оП(**')€■ С/ /.

Тогда ЩЦ /28/ равномерно сходится в области <25 , если выполняется одно из двух условий: либо сущестует такой номер К , что

все (У(//г)(2)**0/либо расходится ряд

2-5"*.'

с-г

если О * й < , либо

. 5К ^ - Л.

«.^ой - УП-.1С

т к**

ор

если ~ " '

где С определяется согласно /26/,

с/1(1С„(Чг) - ФЛоЫ

причем те наборы индексов и те значения , при которых = О при минимизации ие учитываются. В § 2 исследованы положительно определенные ветвяаршся цэя-

ныэ. дроби и многомерные аналоги ^ -дробей. ЩЦ

сю // -,<?

" ^ !К>

где б0 , (5^ , О^, ////с/£ С// - комплексны® числа, ^

/('/г. С/ / - комплексные переменные, называется-положительно определенной, если для всех г? £ /V и ^¿^Ъ ЦIЫФ & / неотрицательно определены квадрагические форма

п N гг_

.г

к''

• Зцесь .А/*УЖ ^ У !, У опре-

деляется согласно /26/.

Те о рем а 4.2.1. Бели ВЦЦ /29/ положительно определена, тогда все знаменатели подходящих дробей в областях

У™ ° / У /., где С/ определяется согласно /26/.

Теорема 4.2.2. ВЦЦ /29/ положительно определена, если выполняются условия:

I/ Н'Ю* У Л

2/ существуют такие действительное числа О * * *

1«к) & 3 /, что

где ° , = ^ , ./в, /ю - У*"

Условие 2/ в теореме можно заменить неравенством

«¿у * М '1 ■ /31/

Т а о р е м а 4.2.4. Если для ВЦЦ /29/ выполняются условия /31/, где

0«к>>О, #0/30+у0>0, >о ЦЧЮбСП

Уию-У"* У!* то ее /Э-е аппроксиманты ^/^/удо-

влетворяют соотношениям

вад

оо

г

'ее;

где (&<т еС1 называется многомерной ^ »дробью. Если существуют такая действительная константа ,А/ > О, что

где <ШУ, к^г.г..., 6а , то,^ -дробь /32/

называется ограниченной, а минимальное число Л^ , при котором справедливо /33/ называется ее границей.

Теорема 4.2.6. ВЦЦ /32/ ограничена тогда и только тогда, когда существует действительное число Н>0 , что

71

и -П АГ

+ »'«к.»пивнт /Э4/

где Уцк)» " произвольные комплексные числа и

-п и

ЛГ-О

Минимальное число Н , при котором справедливо /34/ называется нормой дроби /1й/,

Теорема 4.2.7. Многомерная ограниченная ^ -дробь у 32/ с границей^ равномерно сходится з области/^ / /V = !.

Теорема 4.2.8. Многонергая ограниченная^-дробь /К/ равномерно сходится на каждом ограниченном множестве из С расстояния которого до множества УС0 положительно, где

{гес"*': хк*ъ&+#ксо5е*уо(е)

о * в<гъ лг=сГл: Ус{6)-(г>/(Ф(£6): Н£11-/, /)}

квадратическая форма вида /30/, где вместо , о^/ду

поло .еко соответственно

ф -дробь называется действительной, если все 60£

Теорема 4.2.9. Действительная ограниченная многомерная -дробь /32/ о нор- 1Й /У равномерно сходится на каждом компакте , расстояние которого до области

положительно.

В § 3 рассмотрены многомерные аналоги С -, 5 ^'-дробей. Ветвящаяся цепная дробь

~ * о-

¿о+ЪИ^-

К'! '/с* 1 /г

[- комплексные числа, называется многомерной регулярной С -дробью. Если все 0(/К)>0, то /36/ называется многомерной 5 -дробью, если же °ЦКГ гДв О'П'Ме Г/ /, то /35/ на-

зывается многомерной $ -дробью. В каждом из этих случаев наряду о /35/ можно рассматривать ВОД, обратную к ней.

Теорема 4.3.2. Цусть /35/- многомерная С-дробь, такая, что /¿ 'т а о и

■я'"- % ■

Где " * ' - декартово про-

изведение -/У областей

„ - м- ехр/агрсг-г^с]■

7,$ I" "-1 "—/-.--у- -о/-^ ¿уу/а/

Тогда ВЦЦ /35/ сходится к функции ^ , мероыэрфмой в ,52^млм тожественно равной бесконечности. Теорема 4.3.4. ВЦЦ

00 К 2 ■ V'

в^«»*'* , /зб/

/С«/ «/ '

где 2^«/ ,2 £ а((к)>01к*1,г... ., Р-Я* / равномер-

но сходится на каждом компакте области /?е >С /✓'- /, если расходится рад

оо К = 1

Теорема 4.3.8. Многомерная ^-дробь /35/, где вместо каадого?/>еположено?<//су/вообще говоря, независимые переменные/ абсолютно сходится, если для произвольного набора индексов I♦ , <г ,..., 1'к-1 ^

Гк*1

Сходимость будет абсолютной и равномерной, если кроме того

П - О . где ТТ}К- тт'п(■ </Ь -Щр--/ус).

К'1 к г _

Те о реи а 4.3.10. ВДЦ /36/, где = ' е "V И

— . • р*/,К / равномерно сходится в каздш компакте из Ь , расстояние которого до области

ут 2,- - о, ъ / > У, дуг}

положительно.

БЦЦ навивается соответствующей кратному степенному раду, если разложение ее кавдой >7= ой подходящей дроби //?«<£ ■/ в формальный степенной ряд совпадает с «сходным радоы до всех членов степени У1 включительно. Построение соответствуй^)« цйпшзс' дробей

является одним из основных подходов, применяющихся для разложения аналитических функций в непрерывные дроби. В § 4 рассмотрен мовый тип двумерной соответствующей цепной дроби к двойному степенному раду» Кше® в работах Х.И.Кучминской0 Мар^и и 0. Донохо&8 В.Семашко,, АоКоут и В. Вердонк исследовались три типа таких дробей для двойных степенных рядов„ два из которых в отличие от одномерной случая имели нелинейные частные числители, б третьем ~ переменные X и в разложение входили не равноправно.

Для заданного формального двойного степенного ряда соответствующую ВЦД ищем в виде

а ,1 V- °<'к> <К

+ -1---' /37/

где ¿¡/(С) н 0£К-(аК)\,«(КЦ -к , К/КЛ-ч * <2 ' <■ К ■ Построен рекуррентный алгоритм для вычисления коэ<Нициентов дроби /37/р установлены необходимые и достаточные условия существования данного алгоритма.

Утверждение 4.4.1. Если формальный двойной степенной рад.является разложением функции+ ¿^^ то соответствующая ВОД /37/ вырождается в непрерывную дробь вида

Последнее утверждение не справедливо для трех других типов ранее рассматриваемых соответствуюн(их ВИД.

В § 5 построены разложения отношения гипергеометрических функций Агтояя в ветвящиеся цепные дроби. Доказано, что эти дроби являются соответствующими к' формальным степенным рядам, в которые разлагаются рассматриваемые отношения- Как и в одномерном случав из этих разложений можно получить подставление гипергеометрических функций Аппеля

Р^//, б;С, С; ¿Г,, ёг) в виде ВЦД. В качестве иллюстрации запишем разложение F¿(^. 6, €'; С, С,-г,, '¿г) в ветвйпуюся цепную дробь

. РЛА^С.С';*,,^)-

г г

1-И

- 29

У1'И)

Л

V«*) г,;

г

'-21 /я » /

где

^Р« ' если 'П*'<

если 1п*3> . У^а0,У^01о и

Ору , если

» если <п"пнт2, ар ..если ¿п'ё.'пн'*, , если ¿яг3'*

р - количество единиц в мультиинцексе <%.= П-р и

2/.

пг ^Р-Ч-^'б^Р) в+Р а

а па я :-:> "Ь----~>Ог

(Р+УНс-б+Р-*)

РГ*(с+гр-1)(с+гр)' р с+гр' РУ~(с+гр-г)(с+гр-1)'

' 'л.'

» ^ р определяются с помощью аналогичны формул, где вместо С , 6 , р и £ соответственно взято С' , 3 , % и р .

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Построены основы аналитической теории ветвящихся цепных дробей,. в частности,

. I/ исследованы свойства ветвящихся цепных дробей? обоснованы формулы для числителей и знаменателей подходящих дробей в виде определителей, дано полное описание класса эквивалентных ВОД, установлен многомерный аналог тождеств Эйлера равноценных преобра-

7

зовоний цепных дробей в ряды и др.

2/ разработана методика исследования сходимости ветвящихся цепных дробей о положительными н комплексными компонентами. В парвсм случае используется метод специальных неравенств типа средних гармонических, во втором, в основном,- применительно к ВЦД метод мажорант.

3/ получены многомерные аналоги наиболее известных и часто иопользуемых признаков сходимости непрерывных дробей: теоремы ЗвДцелл, Прингсгейма, Воргтицного, Ван Флека, параболических теорем и многие другие.

а/ построены и исследованы многомерные аналоги некоторых типов функциональных непрер л<ых дробей : положительно определенных ВЦД, многомерных аналогов^ С В -, -дробей, двумерных соответствующих цепных дробей с линейными частными числителями»

5/ разложены отношения гнлергеометрическкх функций Аппеля в ветвящиеся цепные дроби.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТУ ОЛУБЛИКОВЛШ В.РАБОТАХ:

1. Вода ¡ар Д.1. Аналог ознаки зб1жност1 ВорпГтського для г1ллястих яанпюговкх дроб1в //Штання як!сно1 теорП диференц1альких р1внянь та 1х застоеування.- Ки1в: 1М АН УРСР, 1978.- С.7-0.

2. Боднар Д.И. Необходимый признак сходимости ветвящихся цепных дробей о положительными компонентами //Мат. методы и физ„-мех. поляо- 1979.- йш. 10.- С.15- 19.

3. Боднар Д. И. Необходимый и достаточный признак сходимости ветвящихся цепных дробей с положительными членами //Там же.-1981.- ЕЫп. 13.- С. 12- 15.

4. Боднар Д.И. Признаки сходимости ветвящихся цепных дробей с

({~ ~<к хо<г '/с /

частными звеньми вида ^

же.- 1962.- Вып. 15.- С.30- 35. 5. Боднар Д.И. Современное состояние аналитической теории ветвящихся цепных дробей //Числ. методы решения задач мат. физики: Тез. докл. Всесоюзн. школы молодых ученых 26 мая - 4 июня

1983, Львов: В 3 ч.- М,: 1983» ч.З.- С.16- 18.

6. Боднар Д.И. Признаки сходимости ветвящихс" цепншс дробей

• //Докл. АН УССР. Сер. А.- 1983.- К? 8.- С.З- 7„

7. Боднар Д.И. О сходимости и вычислительной устойчивости ветвящихся цепных дробей //Межд. конф, по конструктивной теории функций, Варна 27 мая - 2 июня 1984: Доп. представленные тез. докладов.- София, 1984.- С.15.

8. Боднар Д.И. Многомерные положительно определенные дроби //Мат. методы и физ,- мох. поля.- 1985.- ант. 22.-С.25 -29.

9. Боднар Д.И. Ветвящиеся цепные дроби.- Киев: Наукова думка, 1966.- 176 с.

10. Боднар Д.И. Положительно определенные ветвящиеся цепные дроби //Теория функций и приближений: Труды 2-й Саратовской зимней школы 24 января - 5 февраля 1984, Саратов. В 3 ч.- Саратов, 1986, ч.2.- С.46- 49.

11. Боднар Д.И. Области сходимости и области устойчивости для ветвящихся цепных дробей //Теория функций и приближений: Труды 3-й Саратовской зимней школы 27 января - 7 февраля 1986, Саратов: В 3 ч.- Саратов, 1987, ч. 2.- С. б- 8.

12. Боднар Д.И. Признаки сходимости ветвящихся цепных дробей //Теория фикций и смежные вопросы анализа: Труды МИ АН СССР

им. В.А.Сгеклова,- 1987.- 180.- С.52- 53.

13. Боднар Д.И. Признаки сходимости некоторых типов ветвящихся цепных дробей '//Теория приближения функций: Труды межд. конф. 31 мая - 5 июня 1983, Киев,- М.: Наука, 1987.- С.63- 65.

14. Боднар Д.И. Признаки сходимости различных типов функциональных ветвящихся цепных дробей //Новь» подходы к решению диф. уравнений: Тез. докл. Всесоюзной конф. май 1987, Дрогобыч.-М., 1987.- С.15- 16.

15. Боднар Д. И. Аналоги признаков сходимости Прингсгейш для ветвящихся цепных дробей //Докл. АН УОСР. Сер. А.- 1988.-I? 10,- С. 36- 39.

16. Боднар Д.И, Ветвящиеся цетше дроби и интегральные уравнения //Интегральные уравнения в прикладной моделировании: Тез.• докл. Ш республ. научно-техн. конф, 14- 16 ноября 1989, Одесса: В 2 ч.- Киев, 1989, ч, I,- С, 32 -33.

17. Боднар Д.И. Пшэргзоиетрнческие функции двух переменных и ветвящиеся цепные дроби //Теория приближения функций: Тез.

докл. Всесоюзн. школы 31 августа - 8 сентября 1989, Дуцк.-Киев, 1989,- СЛ9- 20.

18. Боднар Д.И. Двумерные соответствующие ветвящиеся цепные дроби о линейными относительно переменных компонентами //Современные проблемы теории функций: Тез. докл. Всесоюзн. школы-конф. 19- 29 мая 1989,- Баку, 1969.- С. 22- 23.

19. "однар Д.И. 11ризнаки сходимости многомерных д- -дробей //Методы исследований дифференциальных и интегральных операторов.-Киевг Наукова думка, 1989. С.22- 27.

20. Боднар Д.И, Признаки сходимости типа Прингс гейма для ветвящихся цепках дробей //Укр. мат. журнал.- 1989.- 41, 1С II.-C.I559- 1563.

21. Боднар Д.И. Двумерные соответствующие ветвящиеся цепные дроби с линейными относительно переменных частными числителями //Докл. АН УССР. Сер. А.- 1990.- » 10.- С. 3- 6.

22. Боднар Д.И. Некоторые типы функциональных ветвящихся, цепных дрсхой и свойства функций, которые они представляют //Экстремальные задачи теории приближения и их приложения: Тез. докл. научн. конф. 29- 31 мая .1990,- Киев, 1990.- C.I8.

23. БодНар Д.И. Разложение отношения гинергеометрических функций двух переменных в ветвящиеся цепные дроби //Мат. методы и физ.- мех. поля.- 1990.- Вып. 32.- С.40 - 44.

24. Боднар Д.И. Соответствующие ветвящиеся цепные дроби с линейными частными числителями для двойного степенного ряда //Укр. мат. журнал - 1991,- 43.- Г 4.- С. 474 - 482.

25. Боднар Д.Ио Аналог признака сходимости Зейделя для ветвящихся цепных дробей //Ноные подходы к решению диф. уравнений: Тез. докл. третьей всесоюзной конференции 17- ?Л нюня 1991 , Дрогобыч,- М.„ I99J.- С.13.

26. ВоОлдо D.I. Cony»rg»noe orlttrla oi «ose typва of branoheä ooatlßu»<J fraotlona //Тези М1жнародно1 математично! конфервн-цП, присвячено1 100-р1ччю народження С.Банаха, 6-8 травня 1992.- ЛьвГв, 1992,- С.6.