О многомерных цепных дробях модели Клейна: классификация двумерных граней, алгоритмы, примеры тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 511.9

Карпенков Олег Николаевич

О многомерных цепных дробях модели Клейна: классификация двумерных граней, алгоритмы, примеры.

Специальность 01.01.04. -геометрия и топология

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

АВТОРЕФЕРАТ

Москва - 2005

Работа выполнена на кафедре теории динамических систем механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Научные руководители- академик РАН, профессор

Арнольд Владимир Игоревич

доктор физико-математических наук, профессор

Закалюкин Владимир Михайлович

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

Мощевитин Николай Германович

кандидат физико-математических наук, доцент

Сосинский Алексей Брониславович

Ведущая организация: Салкт-Питербургское отделение

Математического

института им. В. А. Стеклова РАН

Защита диссертации состоится 15 апреля 2005 г. в

16 ч 15 мин. па заседании диссертационного совета Д.501 001.84 в Московском государственном университете им. М. В Ломоносова по адресу. 119992. ГСП-2. Москва. Ленинские горы. МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 зтаж).

Автореферат разослан_15 марта_ 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 в МГУ А/

профессор ' ^

В. Н. Чубариков

W9JLg

ton? 33

Общая характеристика работы Актуальность темы.

В этой работе изучаются свойства и способы построения парусов многомерных цепных дробей по Клейну, а также строится большое количество I примеров парусов двумерных цепных дробей.

Проблема об обобщении понятия обыкновенных цепных дробей на многомерный случай была поставлена Ш. Эрмитом в 1839 году1. Множество > попыток решить эту проблему привело к возникновению нескольких за-

мечательных теорий многомерных цепных дробей. Одной из наиболее известных моделей обобщения одномерных цепных дробей па многомерный случай является модель Клейна. Определение многомерной цепной дроби по Клейну было дано Ф. Клейном2. Предположим, что квадратичная форма f(x, у) — ах1 f bxy + су2 с целыми коэффициентами является произведением двух линейных необязательно целочисленных сомножителей Клейн рассмотрел следующую модель одномерной ценной дроби для данной квадратичной формы Линейные сомножители квадратичной формы f(x,y) порождают четыре конуса с центром в начале координат. В каждом конусе строим выпуклую оболочку множества всех целых точек, содержащихся в этом конусе. Границы таких выпуклых оболочек называются парусами. Одномерная цепная дробь — множество четырех построенных парусов Только на вершинах парусов одномерной цепной дроби достшает-ся минимальное значение модуля формы f(x,y) на множестве целых точек без начала координат. Это свойопю позволяет строить рациональные приближения решений уравнения f(x,y) — 0, которые являются наилучшими приближениями среди рациональных чисел с небольшими по модулю числителями и знаменателями. Отметим, что. если уравнение f(x,y) = О не имеет рациональных решений, то, по теореме Лаграпжа, паруса соответствующей цепной дроби являются алгебраически периодическими, что позволяет просто описывать множество вершин парусов дроби

Пусть теперь F(x,y,z) — кубическая форма с целыми коэффициентами, представимая в виде произведения трёх линейных однородных форм.

■С Herraite Letter to С D J Jacobi J Reine Angew Math vol 40, (1839), p 286 2F Klein Ueber emegeometnerhe Auffassung der gewöhnliche Kettenbruchentwicklung Narhr

Ges. Wiss Goitingen Math-Phyi Kl , 3. (1895), 357-359.

-J-

РОС. НАЦИОНАЛЫ! «I БИЬЛИОГГК\ С. nerepov рг '

aoofpK

По аналогии Клейн построил "двумерную цепную дробь" Линейные сомножители квадратичной формы F(x, у, z) порождают восемь конусов с центром в начале координат. В каждом конусе Клейн рассмотрел выпуклую оболочку множества всех целых точек, содержащихся в этом конусе. Двумерная цепная дробь по Клейну — множество всех восьми построенных выпуклых оболочек, которые также называются парусами. Вершины границы этой выпуклой оболочки также доставляют минимальное значение функции IF(x, у, z)\ па множестве целых точек без начала координат. Если уравнение F(x,y,z) = 0 не имеет рациональных решений, то из 1Соремы Дирихле об единицах следует, что все парусы соответствующей цепной дроби являются алгебраически периодическими. Это позволяет просто описывать множество вершин на парусах дроби. Конструкция Клейна двумерной цепной дроби непосредственно обобщается на многомерный случай.

Ряд свойств одномерных цепных дробей имеет многомерные аналоги. X Цушхаси3 обнаружил связь между периодическими многомерными цепными дробями и многомерными касаовыми особенностями. Связь между многомерными цепными дробями и базисами Гильберта описана Ж.-0. Мусчафиром4 и О. Н. Германом5 M Л. Концевич и Ю. М. Сухов в своей работе6 изучили некоторые статистические свойства парусов случайно выбранной многомерной цепной дроби. Классическая теория обыкновенных цепных дробей описана в книге А Я. Хинчина7 В своей книге В И Арнольд8 представил обзор чеорем и задач, связанных с одномерными и многомерными ценными дробями.

Большое количество примеров парусов двумерных цепных дробей было построено в работах Е. И. Коркиной9. Ж. Лашо10, А. Д. Брюно и В. И. Па-

'Н Tsuchihashi Higher dimensional analogues of periodic continued fractions and cusp singularities Tohoku Math Journ v 35(1983) pp 170 193

4Ж О Муочафир, Паруса и базисы Гильберга Функ ан и прил , i 34(2000), вып 2, < 4349

50 H Герман Паруса и базисы Гильберта Труды МШ'АН, декабрь 2002

°М L Kontsevirh and Yu M Suhov Statistics of Klem Polyhedra and Multidimensional Continued Fractions-, Amer. Math Soc Transi, v 197(2), (1999)

7А Я Хиичин Цепные дроби. M.: ФИЗМАТГИЗ, 3 изд , (1961).

®В И Арнольд Цепные дроби М, Московский Центр Непрерывного Математического образования (2002).

"Е И Коркина Двумерные ценные дроби Самые простые примеры Труды Мат ин-га им В. А. Стеклова т 209(1995), с 143-166.

шО Lachaud. \oiles et Polyèdres de Klem Preprint n 95-22, Laboratoire de Mathématiques Discrètes du С N R.S Luminy (1995)

руспикова11 Интересная коллекция парусов двумерных цепных дробей собрана К. Брштсом12.

Интерес к геометрическим свойствам многомерных цепных дробей был инициирован работой В. И. Арнольда13 и последующей работой Е. И. Кор-киной14. Начиная с 1989 года. В И. Арнольд сформулировал серию проблем и гипотез, связанных с геометрическими свойствами многомерных цепных дробей Большинство из этих проблем до сих пор остаются открытыми, а геометрические свойства многомерных цепных дробей практически не изученными. В предлагаемой работе предпринимаются первые шаги по заполнению этого пробела. Одним из первостепенных естественно возникающих геометрических вопросов является вопрос о гранях: какие компактные, грани бывают у парусов многомерных цепных дробей?

Компактные грани парусов многомерных цепных дробей являются выпуклыми многогранниками, вершины которых — целы«; точки. Такие объекты правильно изучать с точностью до целочислеппо-линейтюй эквивалентности. Два многогранника называются целочислепно-линейно (цело-численно-аффинно) эквивалентными, если существует линейное (аффинное) преобразование пространства, сохраняющее решётку целых точек, которое переводит один многогранник в другой. Полный ответ па сформулированный вопрос был известен только для одномерных компактных граней Плоскость называется целой, если она целочислелно-аффинно эквивалентна некоторой проходящей через начало координат плоскости, содержащей подрешётку решётки целых точек, ранг которой равен размерности плоскости. Рассмотрим целую га-мерную плоскость и целую точку в дополнении к этой плоскости. Пусть евклидово расстояние от данной точки до данной плоскости равно I Обозначим через lo минимальное ненулевое евклидово расстояние до данной плоскости от целых точек (т+ 1)-мерной плоскости, натянутой на рассматриваемые двумерную плоскость и целую точку. Отношение I,/Iq называется целочисленным расстоянием от данной целой точки до данной целой плоскости.

11А Д Крюно В И Парусников Mhoi 01 ранники Клейна д ш дв}х кубических форм Да-венаорта Мачем -»метки, 56(4) (1994), с. 9-27

I2K. Bnggs Klein pol)hcüra http.//www.btexact com/people/brigg8k2/klem-polyhcdra.html.

13V I. Arnold /4-graded algebras and continued fractions Commun. Pure Appl. Mdth , 112(1989). pp. 993-1000

"E I Korkma The simplest 2-dimensional continued fraction International Geometrical Colloquium Moscow 1993

Для любого выпуклого многоугольника, расположенного па плоскости на единичном расстоянии от начала координат, существует такое положительное целое к, что существует некоторая А:-мерная цепная дробь, у которой ccib парус, одна из 1раней которою целочисленно-линейно эквивалентна данному многоугольнику Кроме того, две двумерные грани, плоскости которых расположены ría единичном расстоянии от начала координат, целочислснно-линейно эквивалентны тогда и только тогда, когда соответ- J

ствующие многоугольники целочислснно-аффинно эквивалентны.

До настоящего момента про компактные двумерные грани парусов многомерных цепных дробей, плоскости которых расположены па целочисленном расстоянии, большем единицы от начала координат, было лишь известно, что они либо треугольные, либо четырёхугольные (см. работу Ж.-Ü Муссафира15) В настоящей работе полностью классифицированы компактные двумерные грани парусов многомерных ценных дробей, плоскости которых расположены на заданном целочисленном расстоянии от начала координат, большем единицы, с точностью до целочислснно-линейпого отношения эквивалентности

Многомерная периодическая алгебраическая цепная дробь является совокупностью нескольких бесконечных многогранных поверхностей, па каждой ит которых свободно действует некоторая свободная абелева группа, переставляющая многомерные грани. Фактор каждой многогранной поверхности по этой группе гомеоморфен тору (размерности паруса). Фундаментальной областью паруса относительно действия группы называется объединение нескольких граней, содержащее ровно по одной грани из каждого класса эквивалентности. Алгебраическая периодичность парусов многомерной цепной дроби позволяет восстановить любой из парусов цепной дроби по его фундаментальной области, которая содержит лишь конечное число граней. Таким образом, мы сталкиваемся с проблемой нахождения эффективного метода, при помощи которого можно перечислить все грани какой-либо фундаментальной области.

Алгоритма построения фундаментальных областей для парусов многомерных цепных дробей не существовало до работы Т. Шинтани16, напи-

1SJ -О Moussofii Voiles ot Ро1><Чгся de Klein Geometrie, Algorithmes et Statistiques Docteur en sciences thèse, Université Tans IX - Dauphine, (2000)

10T Shintani On evaluation of zeta functions of totally real algebraic number fields at nonpositive integers J Fat Sei Umv Tokyo Sect IA v 23(1976), pp. 393-417

санной в 1976 году. Следуя работе Т Шинтани, Е. Томас и А. Т. Васкес17 построили несколько фундаментальных областей для двумерного случая. Окончательная версия алгоритма, позволяющего строить фундаментальные области для алгебраических расширений поля <Q представлена Р. Ока-заки18. Е. И. Коркина и Ж. Лашо, используя такой алгоритм, посчитали несколько серий фундаментальных областей парусов для периодических алгебраических двумерных цепных дробей.

Немного позже Ж.-О. Муссафир19 разработал алгоритм, который существенно отличается от алгоритма Оказаки. Алгоритм работает для произвольного (не обязательно периодического) паруса: он вычисляет ограниченную часть паруса. Такой алгоритм основан на дедукции. А именно, сначала выдвигается гипотеза о структуре граней для большой части паруса, затем проверяется, являются ли эти грани настоящими гранями паруса.

В настоящей работе описан новый усовершенствованный дедуктивный алгоритм, который предназначается специально для случая фундаментальных областей периодических парусов. Алгоритм позволяет реализовать идею Ф. Клейна построения парусов периодических цепных дробей для исследования кубических форм с целыми коэффициентами.

Цель работы.

Цель настоящей работы: описать все целочисленно-аффипиые типы трёхмерных многоэтажных вполне пустых выпуклых отмеченных пирамид; вывести и доказагь теорему о классификации двумерных компактных граней парусов многомерных цепных дробей Клейна; разработать метод построения фундаментальных областей парусов двумерных периодических цепных дробей Клейна; вычислить бесконечные серии фундаментальных областей парусов двумерных цепных дробей.

17Е Thomas and А Т Vasques On the resolution of cusp .singularities! and the Sluutaiu décomposition in totally real nib» number fields Math Arm v 247(1980), pp 1 20

"R Oka/aki On an effective determination of a Shintani's decomposition of the cone J Math Kyoto I'mv , v33-4(1993) pp 1037-1070.

19 J-O Moussa fi I Voiles et Polyèdres dp Kloin Geometrie, \lgorithmes et Statistiques Dortpur en sciences thèse Université Paris IX Dauphine, (2000)

Основные методы исследования.

В работе используются методы и результаты геометрической теории чисел, топологии, линейной алгебры, выпуклого анализа, геометрии, компьютерных вычислений.

Научная новизна. J

Основные результаты работы являются новыми и состоят в следующем:

1. Найдены все целочислешго-аффинные типы трёхмерных выпуклых пирамид с целыми вершинами, одна из которых отмечена, причём целочисленное расстояние от отмеченной вершины до противоположной грани больше одного, а, кроме того, все целые точки пирамиды, несовпадающие с отмеченной вершиной, принадлежат противоположной грани. Приведены полные целочисленно-линейпая и целочислен-но-аффинная классификации компактных двумерных граней парусов многомерных цепных дробей Клейна

2. Разработан алгоритм проверки фундаментальности областей парусов двумерных периодических цепных дробей Клейна; показана его полиномиальная сложность; выписаны явные оценки на количество действий сложения, умножения и сравнения, необходимых для его реализации. Улучшена хсхника Ж.-О. Муссафира и Р. Окамки построения фундаментальных областей парусов многомерных периодических цеп-пых дробей Клейна

3 Построены два двупараметрических семейства и три однопарамет-рических семейства (с натуральными параметрами) фундаментальных областей парусов двумерных периодических цепных дробей Клейна. Выписаны уравнения, которым удовлетворяют параметры соответствующих семейств. Эти уравнения имеют и другие решения, которые ведут к построению новых однопарамстрических семейств фундаментальных областей парусов двумерных периодических цепных дробей Клейна.

Практическая и теоретическая ценность.

Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы в различных задачах геометрической теории чисел, выпуклого анализа, теории динамических систем и теории особенностей.

( Апробация результатов.

Результаты диссертации докладывались на научно-исследовательском семинаре академика В. И. Арнольда в Москве (2003, 2004); на семинаре "Arithmétique et Théorie de l'Information" в Laboratoire de Mathématiques Discrètes dn C.N.RS. в Люмипи (Франция), 2004. руководители профессо-ры Ж. Лаига и Ф. Родиер; на "Петербургском семинаре по теории представлений и динамическим системам'", руководитель профессор А. М. Вершик (ПОМИ РАН, Санкт-Петербург), 2004; па семинаре "Utrccht Geometry and Topology Seminar" (Нидерланды), 2002: на семинаре "Дискретная геометрия и геометрия чисел", МГУ, руководители д. ф,-м. н. Н. Г. Мощевитин и д. ф.-м. н. Н. П. Долбилин, 2004; на семинаре "Арифметика и геометрия", МГУ, руководители д. ф.-м. н. Н. Г. Мощевитин и к. ф.-м. н. А. М. Рай-городский. 2003: на семинаре по общей теории аппроксимаций д. ф-м и , ироф С В. Конягина, МГУ, 2005: на семинаре "Séminarc d'Aniol'd sur les singularités-' в Париже (Франция), 2004, руководитель академик В. И. Арнольд.

Публикации.

1 Основные результаты опубликованы в 2 работах, список которых приведен

в конце автореферата.

I

Структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Полный объем диссертации 162 страниц, библиография включает 65 наименований.

Краткое содержание работы

Во введении отражена история вопросов, рассмотренных в диссертации, и приведен обзор результатов, связанных с темой исследования. Кратко излагается содержание работы и формулируются основные результаты.

Первая глава посвящена основным определениям (многомерных цепных дробей по Клейну, алгебраически периодических многомерных цепных дробей алгебраических иррациопальпостсй, фундаментальной области паруса периодической цепной дроби). В этой главе также обсуждается связь между одномерными цепными дробями и обыкновенными цепными дробями. Кроме того, обсуждаются определения инвариантов действия группы БЬ(п + 1,2), такие как целочисленные расстояния. Все необходимые определения были даны в разделе "Актуальность темы".

Во второй главе приводятся полные целочисленно-линейная и цело-численно-аффинная классификации компактных двумерных граней парусов многомерных ценных дробей, лежащих в двумерных плоскостях на целочисленных расстояниях, больше единицы от начала координат. Целочисленно-линейная классификация двумерных граней парусов многомерной цепной дроби сводится к аффинной целочисленной классификации отмеченных выпуклых трёхмерных пирамид в трёхмерном пространстве, обладающих следующими двумя свойствами: во-первых, все вершины основания отмеченной пирамиды, а также её вершина — целые точки; во-вторых, все отличные от вершины отмеченной пирамиды целые точки отмеченной пирамиды лежат на её основании.

Выпуклый многогранник называется выпуклой отмеченной пирамидой с выделенными гранью и вершиной вне плоскости этой грани, если он совпадает с объединением всех отрезков, одни из концов которых совпадают с выделенной вершиной, а другие концы принадлежат выделенной грани. Выделенная грань называется основанием отмеченной выпуклой пирамиды, выделенная вершина вершиной отмеченной выпуклой пирамиды.

Выпуклый многогранник (многоугольник, отрезок) называется целым, если все его вершины — целые точки. Выпуклая (отмеченная) пирамида называется целой, если она является целым выпуклым многогранником. Целая выпуклая-отмеченная пирамида называется вполне пустой, если она не содержит целых точек, отличных от вершины и целых точек основания

В п-мериом пространстве через (а],..., а*) при к < п обозначим точку с координатами (ах,..., а*, 0,..., 0).

Обозначим отмеченную пирамиду с вершиной в начале координат и с четырехугольником в основании с вершинами

(2, -1,0), (2, -а - 1,1), (2,-1,2), (2, Ь - 1,1), где Ь > а > 1, через М„,ь; с треугольником в основании с вершинами

((, г - 1, -г), (а + £,г - 1, -г). (£, г, -г), где а > 1, г > 1, через Т|г; (2,1,6- 1), (2,2, -1), (2,0, -1). где 6 > 1, через Щ] (2, -2,1), (2, -1,-1), (2,1,2) через У; (3,0,2), (3,1,1), (3,2,3) через V/. В разделах 6, 7 и 8 доказана следующая теорема.

Теорема 1. Любая многоэтажная вполне пустая выпуклая отмеченная трехмерная пирамида целочислеино-аффинно эквивалентна ровно одной из отмеченных пирамид следующего списка. Список

— четырёхугольная отмеченная пирамида где, Ь > а > 1;

треугопьная отмеченная пирамида Т$г, где а > 1, целые числа £ и г взаимно-простпы и удовлетворяют неравенствам: а > 1, г > 2 и 0 < £ < г/2;

треугольная отмеченная пирамида Уь, где Ь > 1; треугольная отмеченная пирамида V; треугольная отмеченная пирамида IV.

Прежде чем перейти к целочислешго-линейной и целочисленно-аффин-ной классификации компактных двумерных граней парусов многомерных цепных дробей, лежащих в двумерных плоскостях на целочисленных расстояниях, больше единицы от начала координат, отметим известный ранее результат в этом направлении.

Теорема Муссафира. Пусть .Р — двумерная компактная грань двумерного паруса цепной дроби, а г — целочисленное расстояние от, начала координат до двумерной плоскости, содержащей её. Тогда выполняется следующее.

1. Если г = 1, то для любого N > 2 существует двумерная цепная дробь, и у неё существует парус, содержащий грань Р с N вершинами.

2. Если г — 2, то грань Р содержит не более четырёх вершин.

3. Если г > 3, то грань Р содержит только три вершины. В разделе 10 доказана следующая теорема.

Теорема 2. Любая двумерная компактная грань паруса двумерной цепной дроби, целочисленное расстояние до двумерной плоскости которой больше единицы, является целочисленно-линейно эквивалентной одной из граней следующего списка.

Список "аг":

— треугольнику с вершинами (£,г — 1, —г), (а + £,г — 1, —г), (£,г, —г), г<?е а > 1. а целые числа £ иг взаимно-просты и удовлетворяют неравенствам г>2и0<£< г/2;

— треугольнику с вершинами (2,1,6—1), (2,2, —1), (2,0, —1), где Ь > 1,— треугольнику с вершинами (2, -2,1), (2, -1, -1), (2,1,2);

треугольнику с вершинами (3,0,2), (3,1,1), (3,2,3). Все треугольники списка "ач" являются попарно целочисленно-линейно неэквивалентными. Каждый треугольник списка "а^" является двумерной гранью паруса некоторой двумерной цепной дроби.

Любая двумерная компактная грань паруса п-мерной цепной дроби при п > 3 целочисленное расстояние до двумерной плоскости которой больше единицы, является целочисленно-линейно эквивалентной одной из граней следующего списка.

Список п > 3:

— четырёхугольник с вершинами (2,-1,0), (2,-а - 1,1), (2,-1,2), (2,6- 1,1), где Ь > а > 1,

— треугольник с вершинами (£,г — 1, —г), (а + — 1, —г), (£,г. —г), где а > 1, а целые числа £ и г взаимно-просты и удовлетворяют неравенствам г>2и0<£< г/2;

— треугольник с вершинами (2,1, Ь — 1), (2,2, —1), (2,0,-1), где Ь > 1; треугольник с вершинами (2, -2,1), (2, —1, —1), (2,1,2);

— треугольник с вершинами (3,0,2), (3,1,1), (3,2,3).

Все грани списка "ап" являются попарно целочисленно-линейно неэквивалентными. Каждый многоугольник списка "а„" является двумерной гранью паруса некоторой многомерной цепной дроби.

Следствие 3. Любая двумерная компактная грань паруса многомерной цепной дроби, целочисленное расстояние до двумерной плоскости которой равно двум, является целочисленно-аффинно эквивалентной одному из многоугольников следующего списка.

Список "/32":

Рис. 1: Цолочисленноаффинные типы грачей списка "/З2'.

- четырёхугольник с вершинами (-1,0), (-а - 1,1), (—1,2), (Ь - 1,1), где Ь > а > 1 (па рисунке 1а случай а = 2, Ъ = 3), при этом соответствующая такой грани выпуклая отмеченная пирамида целочислснно-аффинно эквивалентна отмеченной пирамиде Маи (все такие четырёхугольные грани встречаются только у парусов многомерных цепных дробей любой размерности, большей двух, и не встречаются у парусов двумерных и,епных дробей);

треугольник с вершинами (—1,0), (0,-2) и (2,1) (см. рисунок 1Ь), при этом соответствующая такой грани выпуклая отмеченная пирамида эквивалентна отмеченной пирамиде V;

треугольник с вершинами (0, -1), (0,1) и (6,0) при Ь> 1 (на рисунке 1с случай Ь = 5). при этом соответствующая такой грани выпуклая отмеченная пирамида эквивалентна отмеченной пирамиде Щ;

- треугольник с вершинами (0,0), (о, 0) и (0,1) при некотором а > 1 (па рисунке Ы изображхн треугольник при а — 5); при этом соответствующая такой грани выпуклая отмеченная пирамида эквивалентна отмеченной пирамиде

Любая двум,ериая компактная грань паруса многомерной цепной дроби, целочисленное расстояние до двум.ерной плоскости которой равно трём, являет,ся целочисленно-аффинпо эквивалентной одному из многоугольни-

(0,1)

1,0)

(0,1)

(-1Т-1)' «)

(О, и)

(а, 0)

Ь)

Рис. 2' Целочисленно-аффишшо типы граней списка "Д^

(0,1)

(0,0) '

(а,0)

Рис. 3. Целочисленно-аффинныр типы граней списка ",вг" при г > 4.

ков следующего списка.

Список "/З3":

— треугольник с вершинами (-1,-1), (1,0) и (0,1) (па рисунке 2а), при эт.ом соответствующая такой грани выпуклая отмеченная пирамида эквивалентна отмеченной пирамиде IV;

— треугольник с вершинами (0,0), (а, 0) и (0,1) при натуральном а (на рисунке 2Ь изображен треугольник при а = 5), при этом соответствующая такой грани выпуклая отмеченная пирамида целочисленно-аффинно эквивалентна выпуклой отмеченной пирамиде Т* 3.

Любая двумерная компактная грань паруса многомерной цепной дроби, целочисленное расстояние до двумерной плоскости которой равно г при г > 4, является целочисленно-аффинно эквивалентной одному из многоугольников следующего списка.

Список "Д.":

— треугольник с вершинами (0,0), (о, 0) и (0,1) при некотором а > 1 (на рисунке 3 изображен треугольник при а = б), при этом соответствующая такой грани выпуклая отмеченная пирамида целочисленно-аффинно эквивалентна выпуклой отмеченной пирамиде где целые числа £ и г взаимно-просты и удовлетворяют неравенствам 0 < £ < г/2.

При различных £ соответствующие грани целочисленпо-линейно неэквивалентны, однако целочисленно-аффинно эквивалентны. Все грани для каждого из приведённых списков являются попарно целочисленно-аффин-

по неэквивалентными. Эти списки не являются избыточными {то есть дня као/сдого многоугольника из списка /9Г существует г-мерная цепная дробь, хотя бы один из парусов которой содержит двумерную грань, цело-численно-аффинно эквивалентную рассматриваемому многоугольнику).

В разделе 11 приводятся формулировки нерешённых проблем, связанных с обобщениями доказанных теорем.

В третьей главе описан новый дедуктивный алгоритм построения парусов многомерных цепных дробей. Пусть задан целочисленный неприводимый гиперболический оператор А Е ЯЬ(п+1, Z). Обозначим через Е(Л) множество пссх целочисленных операторов, коммутирующих с А. Эти операторы образуют кольцо со стандартными матричными сложением и умножением. (Как группа по сложению, Е(Л) изоморфно Жп+1.)

Рассмотрим подмножество множества БЬ{п + 1, Ж) Л Е(А), которое состоит из всех операторов с положительными вещественными собственными значениями. Обозначим это подмножество через Е(А). Из теоремы Дирихле об единицах следует, что подмножество Н(.4) образует мультипликативную абелеву группу, изоморфную и, что действие этой группы свободно. Каждый онераюр из зтой группы взаимно-однозначно переводит объединение всех парусов п-мерной цепной дроби в себя Поскольку все собственные значения оператора положительны, все паруса также переходят в себя взаимно-однозначно.

Для того, чтобы получить фундаментальную область паруса многомерной цепной дроби, связанной с оператором А. достаточно выполнить следующие действия.

Дедуктивный алгоритм построения одной из фундаментальных областей для заданного паруса заданного оператора А.

Шаг 1. Вычислить базис аддитивной группы кольца Е(Л)

Шаг 2. Вычислить базис группы Е(Л), используя результат шага 1.

Шаг 3. Найти некоторую вершину паруса заданного ортанта

Шаг 4- Выдвинуть гипотезу о фундаментальной области паруса, используя результаты шага 2 и шага 3.

Шаг 5. Проверить предложенную на шаге 4 гипотезу. Если гипотеза неверна или непроверяема, следует возвратиться к шагу 4

В разделе 13 приводится описание двух общих шагов для индуктивных и дедуктивных методов. Все результаты раздела 13 не являются новыми и

приводятся лишь для полноты изложения (см. работы Г. Кохена20 и Ж. Jla-шо21). В разделах 14, 15 и 16 описана основная новая часть алгоритма.

Далее обсуждается алгоритм проверки гипотез для фундаментальных областей парусов двумерных цепных дробей. Предположим, имеется гипотеза о некоторой фундаментальной области D для одного из парусов двумерной периодической ценной дроби, построенной по оператору А, а также

0 некотором базисе Si, Вг группы ЩА). Пусть р, (г = 0,1, 2) — количество всех г-мерных граней фундаментальной области D. Пусть F, (г = 1,...

— все двумерные грани (известны все их вершины и стороны). Построенная фундаментальная область и базис гипотетически обладают следующими свойствами;

i) замыкание фундаментальной области гомеоморфно двумерному диску;

ii) операторы В\ и В~г определяют склейку этого диска в двумерный тор. Проверка гипотезы Проверка проходит в семь следующих этапов-

1. Проверка условия i) 2 Проверка условия ii).

3. Поиск целочисленных расстояний от начала координат до двумерных плоскостей двумерных граней.

4. Проверка на наличие целых точек внутри отмеченных пирамид с вершинами в начале координат и с основаниями в двумерных гранях F,

5. Проверка выпуклости при двуфанных углах.

6. Проверка правильности звёзд при вершинах

7. Проверка принадлежности всех нульмерных граней набора D одному ортанту.

Теорема 4. Если набор граней D удовлетворяет всем условиям пунктов

1 7 то D явлж тся фундаментальной областью некоторого паруса цепной дроби, построенной по оператору А

В разделе 15 доказана оценка на количество действий сложения, умножения и сравнения.

Теорема 5. Для предлагаемой проверки предполагаемой фундаментальной области необходимо не более С(ро + р\ + рг)"4 действий сложения.

МН Cohen A Course in Computational Algebraic Number Theory Graduate texts m mathematics Berlin, Springer, (1973)

nG Lachaud Voiles et Polyfcdres de Klein Preprint n 9Г)-22, Laboratoire de Mathématiques DisrrHes du C.N.H.S., Lummy (1995).

умножения и сравнения, где С - константа, не зависящая отрг.

В четвёртой главе построены два двупараметрических семейства и три однопараметрических семейства (с натуральными параметрами) фундаментальных областей парусов двумерных периодических цепных дробей Клейна.

Первый пример дву параметрического семейства

Теорема 6. Пусть т — Ъ — а — 1, п = (а+ 2) (6 + 1) (а, Ъ > 0). Рассмотрим, парус оператора Ат п, содержащего точку (0,0,1). Пусть А — (1,0, а+2), В = (0,0,1), С = (6-а-1,1,0) v D = ((6+1)2, 6+1,1). Тогда следующий набор граней: 1) точка А: 2) от,резки АВ, AD и BD; 3) треугольники ABD и В DC — образует одну из фундаментальных областей

Первый пример однопараметрического семейства.

Теорема 7. Пусть т — -а, п — 2а + 3 (а > 0). Рассмотрим парус оператора Ат п. содержащего точку (0,0,1). Пусть А — (0,0,1), В = (2,1,1), С = (7,4,2). D = (-а, 1,0) и Е = (3,2,1).

Тогда при а — 0 следующий набор граней: 1) точка А; 2) отрезки АВ, AD и BD; 3) треугольники ABD и BDC (точка Е содержится в треугольнике BDC) — образует одну из фундаментальных областей.

При а > 0 следующий набор граней■ 1) точки А и Е; 2) отрезки АВ, AD, BD. BE, DE и СЕ; 3) треугольники ABD, DEB, DEC и BED образует одну из фундаментальных областей.

Второй пример однопарамстрическою семейства.

Теорема 8. Пусть т — 2а — 5, п — 7а — 5 (а > 2). Рассмотрим парус оператора Атм. содержащего точку (0,0,1). Пусть А = (—14,4, —1), В — (-1,1 - а, 7а2 - 10а+ 4), С = (1,5 - 7а, 49а2 - 72а + 30), D = (0,0,1), Е = (-1,0, 2а - 1) и F - (0,2 - 2а, 14а2 - 24а + 11). Тогда следующий набор граней: 1) точки А, Е и F, 2) отрезки АВ, AD АЕ, DE, BE, DP. BF и CF, 3) треугольники ЕВА, ADE, FDC, FBC и четырёхугольник EBFD обязует одну из фундаментальных областей.

Третий пример однопараметрического семейства.

Теорема 9. Пусть т — а - I, п — 3 + 2а (а > 0). Рассмотрим парус оператора Ат>п. содеро/сащсго точку (0,0,1). Пусть А = (1,-2а-3,4а2 +

11а+10), В = (0,0,1), С = (—4а—11,2а+5, -а-2), И (-а-2,0, а2+3а+ 3), £ = (-2,1,0).^ = (-2а-3,а+1,1) мС = (0,-1-а, 2а2+5а+4). ТЪгЛ следующий набор граней: 1) т,очки А, Е и Р; 2) отрезки АВ, АС, ВС, СБ, ОР, ЕР и СР; 3) треугольники АВС, ЮРС, ЕСР и пятиугольник ВЕРОС образует одну из фундаментальных областей.

Второй пример двупараметрического семейства.

Теорема 10. Пусть т = -(а + 2)(6 + 2)+ 3, п = (а + 2)(6 + 3) -3 (а > 0, 6 > 0) Рассмотрим парус оператора Атп, содержащего точку (0,0,1). Пусть А = (Ь2 + ЗЬ + 3,б2 + 26 - а + 1,аЧ + За2 + 4а6 + Ь2 + 6а + 56 + 4), В = (б2 + 56 + 6, б2 + 46 + 4, б2 + 36 + 3), С = (-об - 2а - 26 - 1,1,0), И = (0,0,1), Е = (6+4,6+3,6+2), Г = (6+2,6+1, а+6+2) м С - (1,1,1).

Тогда при а = 0 следующий набор граней: 1) точки А, Е и С; 2) отрезки АВ, АР, РО. ВР, Пв, СЕ, и СС; 3) треугольники АВР, ССО, С ЕС и пятиугольник ВРОСЕ ~ образует одну из фундаментальных об пастей.

При а > 0 следующий набор граней■ 1) точки А, Е и С; 2) отрезки АВ, АР, РВ. ВР, ОС, СЕ, СС и ВО; 3) треугольники АВР, ССД СЕС, ВОР и четырехугольник В ОСЕ образует одну из фундаментальных областей.

Отметим, что во всех теоремах четвёртой главы образующие подгруппы коммутирующих с оператором Атл операторов, которые не переставляют паруса, выражаются через операторы Ат,п и а/ + 0А~}п, где а и ¡3 ненулевые целые числа. Оказывается, в общем случае верно следующее .утверждение- если определитель матрицы оператора а/+/ЗЛ~'п по модулю равен единице, то и определитель матрицы оператора а1 + ¡ЗА'1, к» п ■1 ка по модулю равен единице для произвольного целого к.

В других последовательностях операторов Лто+дЧПо где з 6 N. видимо, фундаментальные области имеют много общего (например, количество многоугольников и их типы). Заметим, что числа а и /3 для таких последовательностей обладают следующим интересным свойством Поскольку

|а/ + /ЗА~]п\ =а3 + а2{3т - а/32п + /З3,

целые числа т и п, для которых |а3 + а2рт - аВ2п + /З3| = 1. существуют тогда и только тогда, когда а3 — 1 нацело делится па /3, и /З3 — 1 нацело делится на а, или а3 +1 нацело делится на /3, и /З3 +1 нацело делится на а.

Boj. например, неисследованные пары (с*,/?) с 10 > а > /3 > -10 (помимо описанных в теоремах этой главы) будут следующими: (3,2), (7, -2), (9, —2), (9,2), (7,-4), (9,4), (9,5), (9,7)

Автор выражает огромную благодарность и признательность академику РАН, профессору В. И Арнольду за постановку задачи, постоянное внимание к работе и моральную поддержку. Автор благодарит профессора В. М Закалюкииа, Е. И Корки ну, профессора Ж. Лашо, д. ф.-м. и. М А. Цфасмана. Р. Урибе и к ф -м н Г. А. Кабатянского за полезные обсуждения и замечания.

Работы автора по теме диссертации

1.0 Н Карпенков. О триангуляциях торов, связанных с двумерными цепными дробями кубических иррациональностей. Фупкц ан. и прил., 2004. т. 38. вып. 2. 2004, 28-37.

2 О Н Карпенков О двумерных цепных дробях целочисленных гиперболических матриц с небольшой нормой, Успехи матсм. паук, 2004. т. 59, вып. 5. 149-150

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж 100 экз. Заказ № $

01.0 -1- 01 03

РНБ Русский фонд

2005-4 41928

.i

\ i

* 4 ■»

; ( :

/ 399

UVift 35 '

Введение.

0.1 Об одном обобщении одномерных цепных дробей на многомерный случай.

0.2 Результаты работы.

0.3 Задача о двумерных гранях парусов многомерных цепных дробей.

0.4 Об алгоритмах построения парусов многомерных цепных дробей.

0.5 Примеры фундаментальных областей парусов двумерных цепных дробей.

0.6 Организация работы.

Глава I. Основные определения.

1 Общие определения.

2 Определение многомерной цепной дроби.

2.1 Многомерные цепные дроби по Клейну.

2.2 О взаимосвязи между одномерными цепными дробями по Клейну и обыкновенными цепными дробями.

2.3 Многомерные цепные дроби, связанные с общим гиперболическим оператором.

2.4 Определение п-мерной цепной дроби (п + 1)-алгебраической иррациональности. Обобщения теоремы Лагранжа.

3 Целочисленные инварианты и разбиения торов.

3.1 Некоторые примеры целочисленно-линейных и целочисленно-аф-финных инвариантов.

3.2 Целочисленные расстояния и углы между целыми плоскостями, разбиения тора.

Глава II. Двумерные грани.

4 Формулировка основной теоремы.

5 Предварительные определения и утверждения.

5.1 Предварительные определения и обозначения.

5.2 Утверждение о специальных сечениях целого параллелепипеда.

5.2.1 Лемма о специальных сечениях целого параллелепипеда с пустой гранью.

5.2.2 Доказательство утверждения 5.5.

5.3 Следствие о целочисленных расстояниях между противоположными вершинами и плоскостями граней пустого тетраэдра.

6 Вспомогательное следствие о пустых целых тетраэдрах.

6.1 Лемма об одном узле решётки.

6.2 Доказательство следствия 6.2.

6.3 Классификация пустых треугольных отмеченных пирамид.

6.4 Классификация пустых тетраэдров.

7 Доказательство теоремы 4.1: многоугольные отмеченные пирамиды.

7.1 Утверждение о целом параллелограмме внутри целого многоугольника.

7.2 Случай пустой отмеченной пирамиды с пустым параллелограммом в основании.

7.3 Случай вполне пустой отмеченной пирамиды с целым параллелограммом в основании с единственной целой точкой внутри.

7.4 Общий случай.

8 Доказательство теоремы 4.1: треугольные отмеченные пирамиды.

8.1 Случай 1: треугольное основание содержит целый многоугольник.

8.2 Случай 2: целые точки основания, отличные от его вершин, не лежат на одной прямой.

8.3 Случай 3: целые точки основания, отличные от его вершин, лежат на одной прямой, первый вариант расположения прямой.

8.4 Случай 4: целые точки основания, отличные от его вершин, лежат на одной прямой, второй вариант расположения прямой.

8.5 Случай 5: целые точки основания, отличные от его вершин, лежат на одной стороне основания.

8.6 Неизбыточность списка "M-W" теоремы 4.1.

9 Классификация компактных двумерных граней.

9.1 Теорема Муссафира.

9.2 Формулировки классификационных утверждений о двумерных гранях.

10 Доказательство теоремы 9.2.

10.1 Полнота списков "о;п" теоремы 9.2 при п > 2.

10.2 Реализуемость граней из списков "ап" при п > 2.

10.2.1 Реализуемость треугольных граней.

10.2.2 О реализуемости многоугольных граней.

10.2.3 О реализуемости граней из списков "ап" при п > 2.

10.3 Неэквивалентность граней из списка "ап" (при п > 2).

10.4 О многоугольных гранях двумерных цепных дробей.

11 Неисследованные задачи.

Глава III. О новом алгоритме.

12 Описание нового алгоритма.

12.1 Основная схема алгоритма.

12.2 Основные элементы алгоритма.

13 Общие вопросы, относящиеся к базисам решётки.

13.1 Теорема о специальном базисе внутри целого параллелепипеда.

13.2 Шаг 1. Вычисление базиса аддитивной группы кольца Н(Л).

13.3 Шаг 2. Вычислить базис группы

14 О фундаментальных областях и аппроксимациях парусов.

14.1 Шаг 3. Нахождение некоторой вершины паруса.

14.2 Шаг 4. Выдвижение гипотезы о фундаментальной области паруса.

15 Проверка выдвинутых гипотез в двумерном случае.

15.1 Краткое описание этапов проверки и формулировка основных результатов этого раздела.

15.2 Доказательство теоремы 15.1: проверка условия

15.3 Доказательство теоремы 15.1: проверка условия 11).

15.4 Доказательство теоремы 15.1: вычисление целочисленных расстояний от начала координат до двумерных плоскостей двумерных граней.

15.5 Доказательство теоремы 15.1: проверка наличия целых точек внутри отмеченных пирамид с вершинами в начале координат и с основаниями в двумерных гранях

15.6 Доказательство теоремы 15.1: проверка выпуклости при двугранных углах.

15.7 Доказательство теоремы 15.1: проверка правильности 2-звёзд при вершинах.

15.8 Проверка принадлежности всех нульмерных граней набора £> одному ортанту; завершение доказательства теоремы 15.1.

15.9 Доказательство теоремы 15.3: лемма об инъективности проекции на гранях.

15.10Доказательство теоремы 15.3: лемма о конечном покрытии фундаментальной области.

15.11 Доказательство теоремы 15.3: лемма о взаимно-однозначности проекции.

15.12Доказательство теоремы 15.3: лемма о выпуклости.

15.133авершение доказательства теоремы 15.3: основная часть.

16 О проверке гипотез для многомерного случая.

Глава IV. Примеры.

17 Семейство фробениусовых операторов и его свойства.

17.1 Определение фробениусовых операторов.

17.2 Простейшие свойства фробениусовых операторов.

17.3 Цепные дроби и характеристические многочлены соответствующих операторов.

18 Фундаментальные области некоторых серий операторов Ат<п

18.1 Фундаментальные области первого двупараметрического семейства: формулировка результата и выдвижение гипотезы.

18.2 Проверка гипотезы теоремы 18.1.

18.3 Фундаментальные области первого однопараметрического семейства.

18.4 Фундаментальные области второго однопараметрического семейства.

18.5 Фундаментальные области третьего однопараметрического семейства.

18.6 Фундаментальные области второго двупараметрического семейства.

18.7 О построении парусов новых серий двумерных цепных дробей.

В этой работе изучаются свойства и способы построения парусов многомерных цепных дробей по Клейну, а также строится большое количество примеров парусов двумерных цепных дробей.

0.1 Об одном обобщении одномерных цепных дробей на многомерный случай.

Проблема об обобщении понятия обыкновенной цепной дроби на многомерный случай была поставлена Ш. Эрмитом в 1839 году [62]. Множество попыток решить эту проблему привело к возникновению нескольких замечательных теорий многомерных цепных дробей. Одной из наиболее известных моделей обобщения одномерных цепных дробей на многомерный случай является модель Клейна. Определение многомерной цепной дроби по Клейну было дано Ф. Клейном в работах 1895 и 1896 годов [26] и [27]. В дальнейшем многомерные цепные дроби по Клейну будем называть просто многомерными цепными дробями. Предположим, что квадратичная форма /(ж, у) = ах2 + Ьху + су2 с целыми коэффициентами является произведением двух линейных необязательно целочисленных сомножителей. Клейн рассмотрел слеудющую модель одномерной цепной дроби для данной квадратичной формы. Линейные сомножители квадратичной формы /(х,у) порождают четыре конуса с центром в начале координат. В каждом конусе строим выпуклую оболочку множества всех целых точек, содержащихся в этом конусе. Границы таких выпуклых оболочек называются парусами. Одномерная цепная дробь — множество четырёх построенных парусов. В первой главе работы обсуждается разница между понятиями обыкновенной цепной дроби и одномерной цепной дроби для модели Клейна.

Только на вершинах парусов одномерной цепной дроби достигается минимальное значение модуля формы /(х,у) на множестве целых точек без начала координат, см. более подробно в [18]. Это свойство позволяет строить рациональные приближения решений уравнения }(х,у) = 0, которые являются наилучшими приближениями среди рациональных чисел с небольшими по модулю числителями и знаменателями. Отметим, что, если уравнение /(х,у) — 0 не имеет рациональных решений, то, по теореме Лагранжа, паруса соответствующей цепной дроби являются алгебраически периодическими, что позволяет просто описывать множество вершин парусов дроби.

Пусть теперь Р(х,у,г) — кубическая форма с целыми коэффициентами, представимая в виде произведения трёх линейных однородных форм. По аналогии Клейн построил "двумерную цепную дробь". Линейные сомножители квадратичной формы Г(х, у, г) порождают восемь конусов с центром в начале координат. В каждом конусе Клейн рассмотрел выпуклую оболочку множества всех целых точек, содержащихся в этом конусе. Двумерная ценная дробь по Клейну — множество всех восьми построенных выпуклых оболочек, которые также называются парусами. Вершины границы этой выпуклой оболочки также доставляют минимальное значение функции у, г)\ на множестве целых точек без начала координат и, тем самым, наилучшие целочисленные и рациональные приближения для решений уравнения F(x,y,;г) = 0. Если уравнение Р(х,у, г) = 0 не имеет рациональных решений, то из теоремы Дирихле об единицах (см. [12]) следует, что все парусы соответствующей цепной дроби являются алгебраически периодическими. Это позволяет просто описывать множество вершин на парусах дроби.

Конструкция Клейна двумерной цепной дроби непосредственно обобщается на многомерный случай.

Ряд свойств одномерных цепных дробей имеет многомерные аналоги. X. Цу-тихаси [57] обнаружил связь между периодическими многомерными цепными дробями и многомерными касповыми особенностями. Связь между многомерными цепными дробями и базисами Гильберта описана Ж.-О. Муссафиром [41] и О. Н. Германом [19]. М. Л. Концевич и Ю. М. Сухов изучили некоторые статистические свойства парусов случайно выбранной многомерной цепной дроби [28]. Обобщению одномерных цепных дробей с ограниченными целочисленными длинами рёбер (числа отвечающие таким цепным дробям хуже всего приближаются подходящими дробями) на многомерный случай и исследованию их свойств посвящены работы Б. Ф. Скубенко [51] и [52] и О. Н. Германа [20]. Классическая теория обыкновенных цепных дробей описана в книге А. Я. Хин-чина [56]. В своей книге [6] В. И. Арнольд представил обзор теорем и задач, связанных с одномерными и многомерными цепными дробями.

Большое количество примеров парусов двумерных цепных дробей было построено в работах Е. И. Коркиной [30], [32] и [33], Ж. Лашо [34] и [35], А. Д. Брю-но и В. И. Парусникова [14], [44], [45], [46] и [47], автора [64] и [65]. Интересная коллекция двумерных цепных дробей собрана в работе К. Бриггса [13].

Все необходимые определения приведены в следующей главе.

Кроме геометрического обобщения многомерных цепных дробей, предложенного Клейном, и, исследуемого в этой работе, существует несколько других интересных обобщений. Взаимосвязи между этими обобщениями на настоящий момент практически не изучены, их нахождение несомненно приведёт к новым открытиям в разных областях математики. Перечислим наиболее известные из обобщений обыкновенных цепных дробей.

Первое знаменитое обобщение обыкновенных цепных дробей на многомерный случай было предложено К. Якоби [63] в 1869 году. Он рассмотрел алгоритм построения приближения произвольных векторов в двумерном пространстве рациональными векторами и обобщил его на векторы в п-мерном пространстве. В дальнейшем алгоритм К. Якоби был изучен и модифицирован О. Перроном [48]. Полученные в работах К. Якоби и О. Перрона алгоритмы называются алгоритмами Якоби-Перрона, а рациональные приближения — многомерными цепными дробями (по Якоби и Перрону). Некоторые эргодические свойства обыкновенных цепных дробей имеют обобщения для многомерных цепных дробей Якоби-Перрона [58], [49] и [59]. В дальнейшем, различные версии алгоритмов Якоби-Перрона были представлены и изучены в работах Д. М. Хардкастла и К. Ханина [55], Т. Гаррити [23] и [10], Л. Д. Пустыльникова [50] и многих других работах (см. также книги Л. Бернштейна [11] и Ф. Швейгера [60]).

В своих работах Г. Минковский [38] и Г. Ф. Вороной [17] предложили ещё одно обобщение обыкновенных цепных дробей. Многомерные цепные дроби, построенные этими авторами обладают некоторыми геометрически-алгоритмическими свойствами, аналогичными свойствам обыкновенных цепных дробей. Их идеи получили развитие в работах А. Д. Брюно и В. И. Парус-никова [15] и [16]. Недавно в работах А. К. Миттал и А. К. Гапты. [39] и [40] было построено теоретико-числовое обобщение одномерных цепных дробей.

0.2.Результаты работы.

В этой работе решены следующие задачи.

1. Классифицированы все двумерные грани парусов многомерных цепных дробей на плоскостях, расположенных на целочисленном расстоянии, большем единицы от начала координат, с точностью до целочисленно-линейного отношения эквивалентности.

2. Описан новый эффективный алгоритм построения фундаментальных областей двумерных периодических парусов цепных дробей. Все шаги алгоритма, кроме последнего, буквально обобщаются на многомерный случай. Обобщение последнего шага упирается в сложные задачи общей топологии. В работе предложено некоторое обобщение последнего шага, которое не является эффективным.

3. Построено два двупараметрических и три однопараметрических семейства фундаментальных областей парусов периодических двумерных цепных дробей. Параметры этих семейств — положительные целые числа.

Первые два результата практически независимы и полезны сами по себе. Однако классификация двумерных граней сильно облегчает последний шаг алгоритма результата 2 в двумерном случае.

Построение семейств фундаментальных областей парусов периодических двумерных цепных дробей п. 3 целиком базируется на алгоритме результата 2. Опишем полученные результаты более подробно.

0.3 Задача о двумерных гранях парусов многомерных цепных дробей.

Интерес к геометрическим свойствам многомерных цепных дробей был инициирован работой В. И. Арнольда [3] и последующей работой Е. И. Коркиной [30]. Начиная с 1989 года, В. И. Арнольд сформулировал серию проблем и гипотез, связанных с геометрическими свойствами многомерных цепных дробей. Многие из этих проблем до сих пор остаются открытыми, а геометрические свойства многомерных цепных дробей практически не изученными. Задачи о геометрических свойствах многомерных цепных дробей по Клейну вошли в качестве одного из разделов в программу по изучению "псевдопериодической топологии", разработанную В. И. Арнольдом [5] и представленную в книге [4] под редакцией В. И. Арнольда, А. В. Зорича и М. Л. Концевича.

В предлагаемой работе предпринимаются первые шаги по изучению геометрических свойств многомерных цепных дробей. Одним из первостепенных естественно возникающих геометрических вопросов является вопрос о гранях: какие компактные грани бывают у парусов многомерных цепных дробей?

Компактные грани парусов многомерных цепных дробей являются выпуклыми многогранниками, вершины которых — целые точки. Такие объекты правильно изучать с точностью до целочисленно-линейной эквивалентности. Два многогранника называются целочисленно-линейно (целочисленно-аффинно) эквивалентными, если существует линейное (аффинное) преобразование пространства, сохраняющее решётку целых точек, которое переводит один многогранник в другой. Итак, переформулируем задачу.

Какие компактные грани бывают у парусов многомерных цепных дробей с точностью до целочисленно-линейного отношения эквивалентности?

Полный ответ на этот вопрос был известен только для одномерных компактных граней. Одномерные компактные грани парусов многомерных цепных дробей могут содержать любое конечное число целых точек. Две одномерные компактные грани целочисленно-линейно эквивалентны тогда и только тогда, когда количества целых точек на них совпадают.

Прежде чем осветить ситуацию с двумерным случаем, приведём нужные определения. Точка пространства называется целой, если все координаты этой точки являются целыми числами. Плоскость называется целой, если она целочисленно-аффинно эквивалентна некоторой проходящей через начало координат плоскости, содержащей подрешётку решётки целых точек, ранг которой равен размерности плоскости. Рассмотрим целую ^-мерную плоскость и целую точку в дополнении к этой плоскости. Пусть евклидово расстояние от данной точки до данной плоскости равно I. Обозначим через /0 минимальное ненулевое евклидово расстояние до рассматриваемой плоскости от целых точек, лежащих в (к + 1)-мерной плоскости, натянутой на данные /¿-мерную плоскость и целую точку. Отношение 1/1о называется целочисленным расстоянием от данной целой точки до данной целой плоскости. Целочисленное расстояние является целочисленно-аффинным инвариантом. Целочисленное расстояние до начала координат является целочисленно-линейным инвариантом.

Итак, в двумерном случае исходная задача распадается на две задачи.

Какие компактные грани, располоэюепные на плоскостях с единичным целочисленным расстоянием от начала координат, бывают у парусов многомерных цепных дробей (с точностью до целочисленно-линейного отношения эквивалентности граней дробей) ?

Какие компактные грани бывают у парусов многомерных цепных дробей (с точностью до целочисленно-линейного отношения эквивалентности граней цепных дробей) на данном целочисленном расстоянии от начала координат?

Ответ на первый вопрос довольно прост. Для любого выпуклого многоугольника, расположенного на плоскости на единичном расстоянии от начала координат, существует такое положительное целое к, что существует некоторая /¿-мерная цепная дробь, у которой есть парус, одна из граней которого целочисленно-линейно эквивалентна данному многоугольнику. Кроме того, две двумерные грани, плоскости которых расположены на единичном расстоянии от начала координат, целочисленно-линейно эквивалентны тогда и только тогда, когда соответствующие многоугольники целочисленно-аффинно эквивалентны.

До настоящего момента про компактные двумерные грани парусов многомерных цепных дробей, плоскости которых расположены на целочисленном расстоянии, большем единицы от начала координат, было лишь известно, что они либо треугольные, либо четырёхугольные (см. работу Ж.-О. Муссафира [42]).

В настоящей работе классифицированы компактные двумерные грани парусов многомерных цепных дробей (размерности многомерных дробей не фиксированы), плоскости которых расположены на заданном целочисленном расстоянии от начала координат, большем единицы, с точностью до целочисленно-линейного отношения эквивалентности. Классификация опирается на классификацию трёхмерных многоэтажных вполне пустых выпуклых пирамид с отмеченной вершиной.

0.4 Об алгоритмах построения парусов многомерных цепных дробей.

Многомерная периодическая алгебраическая цепная дробь является совокупностью нескольких бесконечных многогранных поверхностей, на каждой из которых свободно действует некоторая специальная дискретная группа, переставляющая многомерные грани, причём фактор каждой многогранной поверхности по этой группе гомеоморфен тору соответствующей размерности. (См. точные определения в подразделе 2.3.) Фундаментальной областью многогранника относительно действия группы называется объединение нескольких граней, содержащее ровно по одной грани из каждого класса эквивалентности. Алгебраическая периодичность парусов многомерной цепной дроби позволяет восстановить любой из парусов цепной дроби по его фундаментальной области. Эта фундаментальная область содержит лишь конечное число граней. Таким образом, мы сталкиваемся с проблемой нахождения эффективного метода, при помощи которого можно перечислить все грани какой-либо фундаментальной области.

Алгоритма построения фундаментальных областей для парусов многомерных цепных дробей не существовало до работы Т. Шинтани [61], написанной в 1976 году. Пусть Р— абсолютно вещественное алгебраическое поле степени п. Рассмотрим все различные вложения поля ^ в I и обозначим их через г = 1, • • • ,п (их ровно п, поскольку поле Р абсолютно вещественно). Рассмотрим следующее вложение поля ^ в 1". Для произвольного элемента х поля Р полагаем

Т. Шинтани рассматривал группу всех абсолютно положительных элементов кольца целых чисел в алгебраическом поле Р и её действие (покомпонентное умножение на абсолютно положительные элементы х+) на (К+)" при описанном вложении. Он показал, что фундаментальная область этого действия является конечным объединением симплициальных конусов специального типа. (Отметим, что при перенумерации вложений щ поля ¥ в Е фундаментальные области заменяются целочисленно-линейно эквивалентными.) Утверждение Т. Шинтани о строении фундаментальной области (с доказательством) фактически и лежит в основе одного из алгоритмов построения парусов одномерных периодических цепных дробей. Следуя работе Т. Шинтани, Е. Томас и А. Т. Васкес построили несколько фундаментальных областей для двумерного случая в работе [53]. Окончательная версия алгоритма, позволяющего строить фундаментальные области для алгебраических расширений поля <0>, представлена Р. Оказаки в его работе [43]. Е. И. Коркина в работах [30], [32], [33] и Ж. Лашо в работах [34], [35] посчитали бесконечное количество фундаментальных областей парусов для периодических алгебраических двумерных цепных дробей. Алгоритм построения фундаментальных областей парусов многомерных цепных дробей, использованный в перечисленных выше работах, базируется на принципе математической индукции. Этот алгоритм последовательно вычисляет грани фундаментальной области, при этом приходится проверять, что построенная на г-ом шаге грань не лежит в одной орбите (действия описанной выше группы) с некоторой гранью, построенной раньше г-ого шага. Оказывается (см. [43]), при помощи такого алгоритма фундаментальная область паруса цепной дроби строится за конечное число шагов.

Немного позже Ж.-О. Муссафир разработал алгоритм, который существенно отличается от алгоритма Оказаки (см. [42]). Алгоритм работает для произвольного (не обязательно периодического) паруса: он вычисляет любую ограниченную часть паруса. Такой алгоритм основан на дедукции. А именно, сначала выдвигается гипотеза о структуре граней для большой части паруса, затем проверяется, являются ли предположительные грани настоящими гранями паруса. Этот алгоритм также применим и для случая периодических парусов.

В третьей главе настоящей работы описан новый усовершенствованный дедуктивный алгоритм, который предназначается специально для случая фундаментальных областей периодических парусов (впервые напечатан в работе автора [25]). Алгоритм позволяет дать ответ на первоначальный вопрос Ф. Клейна о построении парусов периодических цепных дробей для исследовании кубических форм с целыми коэффициентами. Основное преимущество предложенного автором алгоритма заключается в следующем: количество "ложных" вершин конечного приближения многогранника гораздо меньше по сравнению с количеством "ложных" вершин, получаемых при использовании алгоритма Ж. Мус-сафира. Это на порядок сокращает время вычисления соответствующих выпуклых оболочек.

Отметим, что предлагаемый алгоритм существенно использует периодичность парусов периодических многомерных цепных дробей, и, следовательно, он неприменим к парусам непериодических многомерных цепных дробей.

Для двумерного случая в настоящей работе доказано следующее утверждение.

Проверка гипотезы о фундаментальной области паруса двумерной периодической цепной дроби, содержащей N граней всех размерностей, проходит не более чем за СЫ4 действий сложения, умножения и сравнения, где универсальная константа С не зависит от числа N и цепной дроби.

0.5 Примеры фундаментальных областей парусов двумерных цепных дробей.

При помощи описанного в этой работе алгоритма автор обобщил известные ранее частные примеры и бесконечные серии примеров вычисления фундаментальных областей парусов двумерных периодических цепных дробей, а также построил множество новых примеров и серий примеров фундаментальных областей (см. также [64] и [65]). Пользуясь результатами экспериментов, автор выписал полный список всех периодических двумерных цепных дробей кубических иррациональностей, построенных по целочисленным матрицам с нормой, меньшей семи, с точностью до целочисленно-линейного отношения эквивалентности (см. работу [24]). (Под нормой матрицы здесь понимается сумма модулей её коэффициентов.)

0.6 Организация работы.

Настоящая работа организована следующим образом.

Первая глава посвящена основным определениям. Некоторые общие определения приведены в разделе 1. В разделе 2 вводится понятие многомерных цепных дробей по Клейну и определяются алгебраически периодические многомерные цепные дроби алгебраических иррациональностей. В этом разделе также обсуждается связь между одномерными цепными дробями и обыкновенными цепными дробями. В разделе 3 приведены определения разбиения многомерного тора, связанного с парусом многомерной периодической цепной дроби, и фундаментальной области паруса периодической цепной дроби. Кроме того в этом разделе обсуждаются определения инвариантов действия группы ЗЬ(п + 1, й), такие как целочисленные длины и углы между плоскостями.

Во второй главе работы формулируются и доказываются теорема о целочис-ленно-линейной и следствие о целочисленно-аффинной классификациях двумерных граней парусов многомерных цепных дробей. Эти утверждения выводятся из теоремы о целочисленно-аффинной классификации многоэтажных вполне пустых выпуклых трёхмерных пирамид с отмеченной вершиной. В разделе 4 сформулирована теорема о классификации многоэтажных вполне пустых выпуклых пирамид с отмеченной вершиной. В разделе 5 приведены понятия и определения, необходимые для понимания второй главы, а также доказаны несколько вспомогательных утверждений, которые понадобятся при доказательстве основной теоремы второй главы. В разделе 6 формулируется и доказывается частный случай теоремы раздела 4 — теорема о пустых тетраэдрах. В следующих двух разделах доказывается теорема о классификации многоэтажных вполне пустых выпуклых пирамид с отмеченной вершиной: в разделе 7 разбирается случай многоугольных пирамид с отмеченной вершиной; в разделе 8 — случай треугольных пирамид с отмеченной вершиной. В разделе 9 сформулированы теорема о целочисленно-линейной классификации и следствие о целочисленно-аффинной классификации двумерных граней парусов многомерных цепных дробей. В разделе 10 приводится доказательство сформулированной в разделе 9 теоремы. Формулировки нерешённых проблем, связанных с доказанными теоремами, приведены в разделе 11.

В третьей главе работы описан новый алгоритм построения фундаментальных областей парусов периодических многомерных цепных дробей, в частности разобраны методы выдвижения гипотез о фундаментальных областях и их проверки. Весь алгоритм построения проходит в шесть шагов, его план обсуждается в разделе 12. В разделе 13 приводится описание двух общих шагов для индуктивных и дедуктивных методов. В этом разделе показывается, как находятся образующие группы 57у(п, й)-матриц, коммутирующих с заданной. Все результаты раздела 13 не являются новыми и приводятся лишь для полноты изложения (см. книги X. Кохена [22] и Ж. Лашо [35]). В разделах 14, 15 и 16 описана основная новая часть алгоритма. В разделе 14 показано, как следует выдвигать гипотезы о фундаментальных областях. Раздел 15 посвящён проверке гипотез о фундаментальных областях для парусов двумерных цепных дробей. Проверка гипотез для парусов многомерных цепных дробей обсуждается в разделе 16.

Четвёртая глава работы посвящена многочисленным примерам, полученным при помощи метода, описанного в третьей главе. В разделе 17 изучаются свойства двумерных цепных дробей, построенных по фробениусовым операторам, обсуждается связь классов эквивалентностей триангуляций торов с кубическими расширениями поля рациональных чисел. (Подробный анализ свойств кубических расширений поля рациональных чисел и их классификации проводится Б. Н. Делоне и Д. К. Фаддеевым в работе [21].) В разделе 18 разобраны примеры возникающих фундаментальных областей двумерных дробей кубических ирра-циональностей. Вычисление первого примера приведено полностью со всеми деталями. Остальные примеры сформулированы в виде конечных результатов с полным описанием фундаментальных областей и необходимых целочисленно-линейных инвариантов. Каждый пример предоставляет собой сразу целое од-нопараметрическое или двупараметрическое бесконечное семейство двумерных цепных дробей кубических иррациопальностей (параметры пробегают все положительные целые числа). В заключение этого раздела разобран метод построения фундаментальных областей новых (аналогичных) бесконечных однопара-метрических семейств парусов двумерных цепных дробей.

Автор выражает огромную благодарность и признательность академику профессору В. И. Арнольду за постановку задачи, постоянное внимание к работе и моральную поддержку. Автор благодарит профессора В. М. Закалюкина, Е. И. Коркину, профессора Ж. Лашо, М. А. Цфасмана, Р. Урибе и Г. А. Каба-тянского за полезные обсуждения и замечания.

1. М. О. Авдеева, В. А. Быковский, Решение задачи Арнольда о статистиках Гаусса-Кузьмина, Препринт, Владивосток, Дальнаука, (2002).

2. М. О. Авдеева, О статистиках неполных частных конечных цепных дробей, Функц. ан. и прил., т. 38(2), с.1-11, (2004).

3. V. I. Arnold, A-Graded Algebras and Continued fractions, Commun. Pure Appl. Math., 142(1989), pp. 993-1000.

4. V. Arnold, M. Kontsevich, A. Zorich (Eds) Amer. Math. Soc. Transl., v. 197(2), (1999).

5. V. I. Arnold, Preface, Amer. Math. Soc. Transl., v. 197(2), (1999), pp. ix-xii.

6. В. И. Арнольд, Цепные дроби, M, Московский Центр Непрерывного Математического образования (2002).

7. Задачи Арнольда, Фазис, М., (2000).

8. В. И. Арнольд, Многомерные цепные дроби, Регулярная и хаотическая механика, т. 3(3), с. 10-17, (1998).

9. В. И. Арнольд, Статистика целочисленных выпуклых многоугольников, Функц. ан. и прил., т.14(1980), вып. 2, с. 1-3.

10. О. R. Beaver, Т. Garrity, A two-dimensional Minkowski ?(х) function, Journal of Number Theory, vol. 107, (2004), pp. 105-134.

11. L. Berstein The Jacobi-Perron Algorithm: Its Theory and Applications, Lecture Notes in Mathematics, vol. 207(1971), Springer.12. 3. И. Боревич, И. P. Шафаревич, Теория чисел, 3 изд., М, (1985).

12. К. Briggs, Klein polyhedra, http://www.btexact.com/people/briggsk2/klein-polyhedra.html, (2002).

13. А. Д. Брюно, В. И. Парусников, Многогранники Клейна для двух кубических форм Давенпорта, Матем. заметки, 56(4), (1994), с. 9-27.

14. А. Д. Брюно, В. И. Парусников, Сравнение разных обобщений цепных дробей, Матем. заметки, 61(3), (1997), с. 339-348.

15. А. Д. Брюно, Правильное обобщение цепной дроби, ИПМ им. Келдыша, препринт 86, Москва (2003).

16. Г. Ф. Вороной, Об одном обобщении алгорифма непрерывных дробей, Собр. соч. в 3-х томах АН УССР, т.1, (1952), с. 197-391.

17. A. Weil, Number theory, an approach through history, Birkhauser, Boston, (1984).

18. О. H. Герман, Паруса и базисы Гильберта, Труды МИРАН, декабрь 2002.

19. О. Н. Герман, Паруса и норменные минимумы решёток, принято к печати в Матем. сборник (2004).

20. Б. Н. Делоне, Д. К. Фаддеев, Теория иррациональностей третьей степени, М.-Л.: Ак. наук СССР (1940).

21. Н. Cohen, A Course in Computational Algebraic Number Theory, Graduate texts in mathematics. Berlin, Springer, (1973).

22. T. Garrity, On periodic Sequences for Algebraic Numbers, Journal of Number Theory, vol. 88, (2001), pp. 86-103.

23. O. N. Karpenkov, On examples of two-dimensional periodic continued fractions, preprint, Cahiers du Ceremade, UMR 7534, Université Paris-Dauphine, (2004).

24. O. N. Karpenkov, On some new approach to constructing periodic continued fractions, preprint n 12, Laboratoire de Mathématiques Discrètes du C.N.R.S., Luminy (2004),http://iml.univ-mrs.fr/editions/preprint2004/files/karpenkov.pdf.

25. F. Klein, Ueber einegeometrische Auffassung der gewöhnliche Kettenbruchentwicklung, Nachr. Ges. Wiss. Göttingen Math-Phys. Kl., 3, (1895), pp. 357-359.

26. F. Klein, Sur une représentation géométrique de développement en fraction continue ordinaire, Nouv. Ann. Math. 15(3), (1896), pp. 327-331.

27. M. L. Kontsevich and Yu. M. Suhov, Statistics of Klein Polyhedra and Multidimensional Continued Fractions, Amer. Math. Soc. Transi., v. 197(2), (1999) pp. 9-27.

28. С. В. Конягин, К. A. Севастьянов, Оценка числа вершин выпуклого целочисленного многогранника через его объём, Функц. ан. и прил., т.18(1984), вып. 1, с. 13-15.

29. Б. I. Korkina, The simplest 2-dimensional continued fraction, International Geometrical Colloquium, Moscow 1993.

30. E. I. Korkina, La périodicité des fractions continues multidimensionelles, C. R. Ac. Sei. Paris, v. 319(1994), pp. 777-780.

31. E. И. Коркина, Двумерные цепные дроби. Самые простые примеры., Труды Мат. ин-та им В. А. Стеклова, т. 209(1995), с. 143-166.

32. E. I. Korkina, The simplest 2-dimensional continued fraction., J. Math. Sei., 82(5), (1996), pp. 3680-3685.

33. G. Lachaud, Polyèdre d'Arnold et voile d'un cône simplicial: analogues du thèoreme de Lagrange, С. R. Ac. Sei. Paris, v. 317(1993), pp. 711-716.

34. G. Lachaud, Voiles et Polyèdres de Klein, preprint n 95-22, Laboratoire de Mathématiques Discrètes du C.N.R.S., Luminy (1995).

35. G. Lachaud, Sails and Klein Polyhedra, Contemp. Math., v. 210(1998), pp. 373385.

36. А. К. Lenstra, H. W. Lenstra, Jr., and L. Lovâsz, Factoring Polynomials with Rational Coefficients, Mathematische Ann., v.216(1982) pp. 515-534.

37. H. Minkowski, Généralisation de le théorie des fractions continues, Ann. Sei. Ее. Norm. Super, ser III, vol. 13, (1896), pp. 41-60.

38. А. К. Mittal, А. К. Gupta, Bifurcating Continued Fractions, (2000), http://www.arxiv.org/ftp/math/papers/0002/0002227.pdf

39. A. K. Mittal, A. K. Gupta, Bifurcating Continued Fractions II, (2000), http://www.arxiv.org/ftp/math/papers/0008/0008060.pdf

40. Ж.-О. Муссафир, Паруса и базисы Гильберта., Функ. ан. и прил., т. 34(2000), вып. 2, с. 43-49.

41. J.-O. Moussafir, Voiles et Polyèdres de Klein: Geometrie, Algorithmes et Statistiques, docteur en sciences thèse, Université Paris IX Dauphine, (2000) see also at http://www.ceremade.dauphine.fr/~msfr/

42. R. Okazaki, On an effective determination of a Shintani's decomposition of the cone J. Math. Kyoto Univ., v33-4(1993), pp. 1057-1070.

43. В. И. Парусников, Многогранники Клейна для третьей экстремальной кубической формы, ИПМ им. Келдыша, препринт 137, Москва (1995).

44. В. И. Парусников, Многогранники Клейна для пятой экстремальной кубической формы, ИПМ им. Келдыша, препринт 69, Москва (1998).

45. В. И. Парусников, Многогранники Клейна для седьмой экстремальной кубической формы, ИПМ им. Келдыша, препринт 79, Москва (1999).

46. В. И. Парусников, Многогранники Клейна для четвёртой экстремальной кубической формы, Матем. Заметки, 67(1), (2000), с. 110-128.

47. О. Perron, Grundlagen für eine theorie des Jacobischen kettenbruchalgorithmus, Math. Ann., vol. 64(1907), pp. 1-76.

48. Т. Fujita, S. Iio, M. Keane и М. Ohtsuki, On almost everywhere exponential convergence of the modified Jacobi-Perron algorithm, Ergod. Th. and Dynam. Sys., vol. 13(1993), pp. 319-334.

49. JI. Д. Пустыльников, Обобщённые цепные дроби и эргодическая теория, Успехи Мат. Наук, т. 58, вып. 1(349), (2003), с. 113-164.

50. Б. Ф. Скубенко, Минимумы разложимой кубической формы от трёх переменных, Зап. научных семинаров ЛОМИ, т. 168 (1988), Аналитическая теория чисел и теория функций, 9, Ленинград, "Наука".

51. Б. Ф. Скубенко, Минимумы разложимых форм степени п от п переменных при п > 3, Зап. научных семинаров ЛОМИ, т. 183 (1990), Модулярные функции и квадратичные формы, 1, Ленинград, "Наука".

52. Е. Thomas and А. Т. Vasques, On the resolution of cusp singularities and the Shintani decomposition in totally real cubic number fields, Math. Ann. v.247(1980), pp. 1-20.

53. G. K. White, Lattice tetrahedra, Canadian J. of Math. 16(1964), pp. 389-396.

54. D. M. Hardcastle и К. Khanin, On almost everywhere strong convergence of multi-dimensional continued fraction algorithms, Ergod. Th. and Dynam. Sys., vol. 20(2000), no 6, pp. 1711-1733.

55. А. Я. Хинчин, Цепные дроби, M.: ФИЗМАТГИЗ, 3 изд., (1961).

56. Н. Tsuchihashi, Higher dimensional analogues of periodic continued fractions and cusp singularities, Tohoku Math. Journ. v. 35(1983), pp. 176-193.

57. F. Schweiger, Invariant measures for maps of continued fraction type, J. Num. Theory, vol. 39(1991), pp. 162-174.

58. F. Schweiger, Ergodic Theory of Fibred Systems and Metric Number Theory, Oxford University Press (1995).

59. F. Schweiger, Multidimensional Continued Fractions, Oxford University Press (2000).

60. T. Shintani, On evaluation of zeta functions of totally real algebraic number fields at nonpositive integers, J. Fac. Sei. Univ. Tokyo Sect. IA, vol. 23(1976), pp. 393-417.

61. C. Hermite, Letter to C. D. J. Jacobi, J. Reine Angew. Math. vol. 40, (1839), p. 286.

62. C. G. J. Jacobi, Allgemeine theorie der kettenbruchähnlichen algjrithmen, in welchen jede Zahl aus drei vorhergehenden gebildet wird, J. Reine Angew. Math, vol. 69, (1868), pp. 29-64.

63. О. Н. Карпенков, О триангуляциях торов, связанных с двумерными цепными дробями кубических иррациональностей, Функц. ан. и прил., т.38(2004), вып. 2, с. 28-37.

64. О. Н. Карпенков, О двумерных цепных дробях целочисленных гиперболических матриц с небольшой нормой, Успехи Мат. Наук, т. 59(2004), вып. 5, с. 149-150.Работы автора по теме диссертации.