Алгоритм Якоби-Перрона и совместное приближение функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. АЛГОРИТМ ЯКОБИ-ПЕРРОНА.

§ I. Обозначения.

§ 2. Элементарные свойства алгоритма Якоби-Перрона.

§ 3. Свойство соответствия непрерывной дроби разложенному в нее вектору

§ 4. Ийинственность разложения в непрерывную дробь. Обрыв непрерывных дробей и линейная зависимость над

§ 5. Слабо совершенные системы функций

ГЛАВА II. ПРЕДЕЛЬНО ПЕРИОДИЧЕСКИЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ.Ц<$

§ I. Свойства характеристического многочлена.

§ 2. Сходимость предельно периодических непрерывных дробей.67

В диссертации рассматривается обобщение варианта непрерывных (цепных) дробей., называемых J? -дробями с одномерного случая на векторный. Это обобщение осуществлено с помощью алгоритма Якоби-Перрона. Чтобы определить более подробно объект нашего исследования, сделаем два отступления: первое касается Р-дро-бей и второе - алгоритма Якоби-Перрона.

Непрерывными дробями называют выражения вида а0+-^ V

Сол) где вещественные или комплексные "элементы непрерывной дроби" г , cL могут зависеть от параметров. Непрерывная дробь выпи

Г* *N сывается по функции (ряду, числу) и тогда говорят о "разложении" в нее функции (ряда, числа). Ценность непрерывных дробей заключается в том, что подходящие дроби к ним do+ -^ о). п. иногда дают лучшее приближение разложенной в непрерывную дробь величины, чем другие конструкции. Например, непрерывные дроби могут сходиться за пределами круга сходимости ряда Тейлора функции и т.п. Тип приближения и его "качество" существенно зависят от алгоритма, с помощью которого непрерывная дробь получена,и от свойств самих приближаемых величин.

Различают несколько типов непрерывных дробей в Зависимости от вида их элементов и их свойств. Это г I —дроби

N. Т -Дроби , С-дроби , Р -дроби и другие (см. [гз] ,[3>2j). Особое место в теории чисел занимают правильные непрерывные дроби Р 1 о 4

0.2)

Р. z для которых Z > Pi I р2>-- ёЛ/ . В них с помощью алгоритма Евклида раскладываются действительные числа. По способу получения и свойствам к ним наиболее близки функциональные непрерывные дроби, носящие название Р-дробей. Происхождение их названия (от англ. p4.inet jjai paft ; его ввел Магнус [20] ) объясняется тем, что знаменатели dР-дроби (более точно: Р-дроби с центром в бесконечности) находятся по исходному ряду a = = 2L ^0,ez Съе Z) (о.з) — Y о как главные части d к = а 0 в точке 2 - рядов

V- -г "

Z}, рекуррентно связанных друг с другом: Q t - 4/( ), fc С Л/ . Все числители

Р-дробей равны единице, а их знаменатели - многочлены от £ Если отвлечься от того, что вместо взятия целой части берется главная часть ряда, то алгоритм построения Р-дробей - это алгоритм Евклида деления с остатком.

Другой важной составляющей предмета рассмотрения диссертации является алгоритм Якоби-Перрона.

Первое обобщение на многомерный случай алгоритма непрерывных дробей, по-видимому, было дано в работе Эйлера . Алгоритм Эйлера был насколько изменен Якоби, который придал вычислениям больше единообразия (см. [j?] ,£.483 ), а затем перенесен Перроном с двумерного случая на случай произвольной размерности[25]. Перрон ввел удобную символику и доказал сходимость, однозначность и другие важные свойства алгоритма. Последовательность операций в алгоритме Якоби-Перрона та же, что и в алгоритме Евклида. Единственное отличие этих двух алгоритмов состоит в том, что в алгоритме Якоби-Перрона на каждом шаге обращаются не числа, а векторы. Операция обращения векторов .<3 ^(R

I ' Ж ' me /V ) с неравной нулю первой компонентой определяется формулой i а- 4 а m

WL

По алгоритму Якоби-Перрона любой вектор а € [R может быть разложен либо в конечную, либо в бесконечную правильную числовую непрерывную дробь i 1

4-

0.4) В

2 +

При этом компоненты векторов р^ в (Р*^) - целые неотрицательные при к. > О числа, удовлетворяющие определенным неравенствам-, (определение этого варианта алгоритма разложения в непрерывную дробь см. в § 2 главы I).

В последнее время интерес к алгоритму Якоби-Перрона возродился вновь. Швайгер исследовал метрические свойства алгоритма [2.83 » а Л.Бернштейн доказал его периодичность для некоторых классов чисел С/МЗ . Были сделаны попытки обобщений алгоритма Якоби-Перрона. Рубан перенес его на случай р-адических чисел а де Брюен впервые применил его для разложения функций -в работе [\Ъ]им были обобщены на векторный случай С-дроби.

Другой вариант приложения алгоритма Якоби-Перрона к случаю функций предложен в настоящей диссертации: на многомерный случай обобщены Р -дроби. Обозначим через К поле формальных рядов вида со

Ь Z (vZ) (0-5)

IC=Y с комплексными коэффициентами. С помощью алгоритма Якоби-Перрона по вектору О. <г К 6 строится конечная, либо бесконечная многомерная Р-дробь - непрерывная дробь, имеющая вид (0.4) , но в которой теперь компоненты (fOj ( j= > •• • >,V1) векторов рк не целые числа, а многочлены, при к > о удовлетворяющие неравенствам

0.6) j- 1 p.^m-i

Непрерывные дроби, удовлетворяющие приведенным выше условиям, будем называть правильно сконструированными, не предполагая арчДоч L , что они получены по алгоритму Якоби-Перрона. Компоненты векторов и -х подходящих дробей o{ix к правильно сконструированной непрерывной дроби (0.4) будут рациональными функциями. Степень наименьшего общего кратного их знаменателей (после всех возможных сокращений в кольце многочленов

4 Л 1X1 отзывается равной Z.

Одномерные Р -дроби обладают следующим свойством (это свойство было известно еще Чебышеву ^ см. £ 8J ) . Договоримся через f(-f-) обозначать порядки нуля рядов вида (0.5) (т.е. это номер первого отличного от нуля коэффициента *t T'C-f) ^ '* тогда для и-х подходящих дробей к Р-дроби, выписанной по Си , будет справедливо т (a-eij = S^ (о.?)

П. как и раньше, числа S ^ " Z- ^^ f к "" это степени знаменателей функции сС^),

Дадим определение. Будем говорить, что функциональная непрерывная дробь соответствует степенному ряду, если начальные коэффициенты разложений в степенные ряды подходящих дробей к (СМ) совпадают с коэффициентами данного ряда и число совпадающих коэффициентов стремится к бесконечности ; аналогично вводится понятие вектор-ряда, соответствующего многомерной непрерывной дроби. В § 3 первой главы диссертации решается вопрос о возможности обобщения свойства (0.7) на случай векторов размерности т^ 2 .

Теорема 2. Любой правильно сконструированной м, -мерной Р -дроби соответствует некоторый вектор О- 6 К , причем если непрерывная дробь не оборвалась до (и+1)-го шага (не верны неравенства

0.8) где 4 , €-2. при L=2v.>m , а число ^(И+О зависит только от степеней многочленов (pz)m .

В скобках заметим, что в методических целях во введении нами изменена редакция формулировок некоторых теорем).

Теорема 2 точна в том смысле, что стоящая в правой части ("0.8) величина не может быть заменена большей величиной, зависящей лишь от номера компоненты разности (X и степеней компонент векторов р^ 7 pz ^ . ? . Справедлива

Теорема 4. При т^-2 для любой последовательности натуральных чисел £ существует вектор 3 € , раскладывающийся в Jr ■-дробь (0 о4), для которой степени многочленов - последних компонент векторов рк равны S^. (ice Л/^ , а все неравенства (0.8) обращаются в точные равенства не /V; >т)

Величины ) , фигурирующие в формулировках теорем

2 и 4, находятся по формулам рекуррентного типа

Г если ^ [ если с "начальными условиями" у (2.-1*0 = . ^ =

Г — 7 + ^ при этом можно показать, что ^(.И) [m-f J

С помощью теоремы 2 доказывается ряд свойств многомерных Р -дробей.

Замечание 2 (свойство соответствия^). Непрерывной дроби, построенной по алгоритму Якоби-Перрона, соответствует тот вектор, из которого она была получена.

Теорема 5 (свойство единственности). Любая правильно сконструированная непрерывная дробь может быть получена из соответствующего ей вектора при помощи алгоритма Якоби-Перрона.

Правильные числовые непрерывные дроби ф.2) обладают важным свойством: их обрыв равносилен тому, что разложенное в непрерывную дробь число - рациональное. Рассмотрим вопрос о том, в каком случае обрываются многомерные р*-дроби, т.е. на одном из шагов алгоритма Якоби-Перрона в процессе обращения вектора происходит деление на нуль.

Необходимое условие обрыва выясняется без труда. Оно оказывается и достаточным условием. Используя теорему 2, в § 4 первой главы доказывается

Теорема 6. Векторная Р -дробь обрывается тогда и только тогда, когда компоненты разложенного в нее вектора вместе с рядом, состоящим из одного члена - единицы, линейно зависимы над кольцом многочленов (С ^ .

Для сравнения опишем ситуацию для других вариантов многомерных непрерывных дробей. Для Ш-мерных правильных числовых непрерывных дробей необходимое условие обрыва - это линейная зависимость над 21 единицы и компонент раскладываемого в непрерывную дробь вектора. Оно является достаточным в случае 2. (см. [££]), и не является таковым при : Перроном в [£5] приводятся примеры алгебраических вещественных, чисел £ , степени меньшей, чем m-М , для которых вектор ( -J**) разлагается в бесконечную периодическую непрерывную дробь. Для и -мерных (^-дробей результат, аналогичный результату

Перрона, был получен де Брюеном в работе [V^J .

В одномерном случае известно, что подходящие дроби к Р -дроби для Ol составляют главную диагональ таблицы Паде рада Ct (по поводу таблицы Паде см. ро] ,["32] ,[23J ,[2-7]).

Одним из обобщений на многомерный случай классических аппроксимаций Паде являются совместные приближения нескольких функций рациональными функциями с общим знаменателем (см.ОЮ).

В § 5 главы Г изучается связь многомерных Р -дробей с одним из, вариантов совместных приближений, который приспособлен для аппроксимации наборов функций в бесконечности (см. [1]). Для приближений такого рода в [2] введено понятие слабой совершенности системы функций. Справедлива

Теорема 7. Для того, чтобы система рядов ал вида

CXJ а, = Z Qi,; (i=<,.,nO

Г" d была слабо совершенной, необходимо и достаточно, чтобы вектор

3 = разлагался в m-мерную Р -дробь (0.4), в —» которой р0- 0 , а векторы при к>0 устроены так: все их компоненты, кроме последних, - комплексные числа, а последние компоненты () ^ - линейные функции.

Вторая глава диссертации посвящена изучению сходимости Р -дробей в точках комплексной плоскости (С , т.е. сходимости в этих точках последовательности подходящих дробей.

В то время, как в теории одномерных непрерывных дробей имеется значительное число содержательных теорем о сходимости, вопросы сходимости многомерных непрерывных дробей изучены в меньшей степени. Помимо работ Перрона [24], [2 5J, в которых, в частности, была доказана сходимость правильных и изучены свойства сходимости периодических числовых многомерных непрерывных дробей, можно назвать результаты Озерского и де Брюена (первым были обобщены на двумерный случай теорема Коха и признак сходимости Зейделя - Штерна (см. [1*5]), вторым изучались многомерные С-дроби (см. т).

Г,

В настоящей работе оказалось удобным рассмотреть два понятия сходимости m -мерных непрерывных дробей. Первое - это традиционно рассматриваемое понятие сходимости в (С и второе - понятие сходимости в wl—мерном комплексном проективном пространстве рассматриваемом как комплексное многообразие. При этом считаем, что IL, погружено в С|Р~ т.е. С гомеоморфно некоторой гиперплоскости ^pC С. IP ^: (С — •

В одномерном случае наиболее простой после класса обрывающихся непрерывных дробей и вместе с тем важный класс - это периодические непрерывные дроби. В правильные периодические непрерывные дроби раскладываются вещественные квадратичные иррациональности (теорема Лагранжа, см.[5] ), а периодические JP -дроби связаны с теорией абелевых интегралов (см. , а также статью Чеботарева Q ^ 1 ).

Многие распространенные функции раскладываются в так называемые предельно периодические непрерывные дроби, т.е. непрерывные дроби (0.1), для которых существует натуральное числоТ (период) такое, что t К-»<=*> i-t К 1 t

Свойства сходимости таких непрерывных дробей описываются теоремой, доказанной в работах Ван Флека и Прингсхейма (см. [ bO[2. также [б] ) и ее обобщением на предельно периодические непрерывные дроби (О,Г) с произвольным периодом Т~ , данным Зацом в [29] .

Теорема (Ван Флек-Прингсхейм)• Предельно периодическая С -дробь d + — о с, г i + йкк Cw= С е(СМо}

И. оо

0.9)

1 + сходится в комплексной плоскости, из которой удалена полупрямая £ £ | afajc , сг! ^ 4 J . Результаты о разложении в предельно периодические Р-дроби марковских функций были получены Видомом в работе [ЗЗ].

В главе П настоящей диссертации изучается сходимость функциональных и числовых предельно периодических непрерывных дробей. Одна часть доказанных там утверждений , относящаяся к структуре множества сходимости, в значительной степени опирается на специфический вид JP-дробей. Утверждения этой части будут приведены потом. «Цругая часть, приводящаяся во введении под названием теоремы А, касается сходимости произвольных непрерывных дробей. Чтобы сформулировать ее, введем необходимые понятия.

Непрерывную дробь (0.4) с элементами р^ век~ торами из С ^ назовем предельно периодической с периодом Т~ ее-(Те Л/). если существуют пределы

Р^т - 6 с

-tlV*m t=i,.,T). (о.ю)

Для предельно периодической непрерывной дроби определим зависящие лишь от ее предельных величин матрицы

Н'

0 С 0 1 \

0

0 i 1 0 фл X •1-1 т-1 1 ->"'■) 1 ?

0 • 1 Ф J о.и) m в ^.„т, (о.н) t i t-H -Ы-Т-1 и многочлен

QOO= eleKW^E), te (•<,.,T], (0.12) который будем называть ее характеристическим многочленом (здесь {Г £ G- L (vvt-HjC ) - единичная матрица).

Теорема А. Пусть для числовой предельно периодической непрерывной дроби выполнены условия:

1. ее характеристический многочлен обладает единственным и однократным корнем *)[ 0 с максимальным модулем;

2. для любого х £ ,. у Т j вектор (о, С , . , \) £ С лежит в максимальном инвариантном подпространстве матрицы , не содержащем собственного вектора, отвечающего числу , тогда данная непрерывная дробь сходится в смысле С Р m скорость ее сходимости к пределу - геометрическая, с показателем, равным модулю отношения второго по величине корня характеристического многочлена к Я0 .

Теорема А содержится в теореме 9, которую мы приведем ниже. Из работ Перрона вытекает, что приведенную теорему сколько-нибудь значительно усилить нельзя:

Теорема В. Пусть числовая предельно периодическая непрерывная дробь оказалась периодической и для нее не выполнено условие теоремы А; тогда, если все максимальные по модулю корни ее характеристического многочлена однократные, то непрерывная дробь расходится в смысле (СРти, следовательно, в смысле (С**1.

Можно заметить, что теорема А без каких-либо изменений переносится на числовые предельно периодические непрерывные дроби с произвольными не равными нулю числителями b ~- Г- ' e CM, r

1+-^ в определении предельной периодичности для них нужно в дополнение к (0.10) потребовать существования пределов Xim. с ;

Ь*,». , Т ).

Все рузультаты в главе П формулируются для Р -дробей. Определение понятия предельной периодичности для них согласуется с приведенным выше определением, данным душ числовых непрерывных дробей. Предельно периодическими названы Р -дроби (0.4), для которых в каждой точке Ъ £ (С имеются пределы (О.Ю), а компоненты векторов ^ (-(: - Л >. - это многочлены, удовлетворяющие неравенствам

Последнее требование означает, что составленная из векторов » т j jp-r- периодическая непрерывная дробь Р. 1 V должна быть JP -дробью.

В каждой точке Z £ (С матрицы ^Р, YH , и характеристи П ческие многочлены для предельно периодическихJr -дробей определяются снова по формулам (0. -И), (СМ2).

В леммах 6-ГО устанавливается структура множества, на котором сходится предельно периодическая Р-дробь. Оно состоит из конечного числа связных компонент областей \к 0 > . ^ ^ (La Ж )» причем лишь одна из них - компонента 1lQ - неограни-чена. Дополнение в С к этому шожеству состоит из конечного числа замкнутых ограниченных кусков алгебраических кривых (множество 1е) и конечного множества Ь . В точках множества 1о не выполнено требование I теоремы А, а в точках множества А -требование 2. Поведение предельно периодической непрерывной дроби вне множества X I) Ь описывает о

Теорема 9. Равномерно внутри каждой из конечного числа связных компонент открытого множества С 4 (I0Ua) предельно периодическая векторная Р -дробь сходится в смысле С IP ™ к голоморфной функции из данной компоненты в С (Р ; скорость сходимости - геометрическая, с показателем, равным модулю отношения второго по величине корня характеристического многочлена к его максимальному по модулю корню.

С точки зрения теории функций важным представляется вопрос о сходимости непрерывной дроби в смысле сходимости в (D m . Частичный ответ на этот вопрос душ предельно периодической непрерывной дроби дает следующий критерий.

Теорема 10. Предельно периодическая р> -дробь сходится в смысле (С ^ во всех (за исключением не более чем счетного числа точек) точках компоненты IX и тех компонент Ы ^ (С £ LJ), где она сходится в смысле (С хотя бы в одной точке. Вектор-функции, к которым сходится непрерывная дробь, продолжаются на всю соответствующую компоненту до вектор-функций с мероморфными там компонентами.

В конце главы Г (см. предложение I) утазан класс предельно периодических непрерывных дробей, для которых множество с4 (i0ua) связно: с ^ (tpua) - 1/l .Для непрерыв

Г m ных дробей из этого класса вопрос об их сходимости в решается полностью. В случае, если размерность m непрерывной дроби больше единицы, указанный класс сравнительно узок, но в случае па -1 им исчерпываются все предельно периодические непрерывные дроби.

В заключение я выражаю глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Е.М.Никишину за постоянное внимание и поддержку.

1. Никишин Е.М. О системе марковских функций.- Вестник МГУ, сер. 1. математика - механика, 1979, $ 4, с. 60-63.

2. Никишин Е.М. О совместных аппроксимациях Паде,- Матем. сб., 1980, 113(155), В 4(12), с. 499-519.

3. Озерский А.В. Цепные алгоритмы,- Рига, изд-во Латв. университета, 1981.

4. Рубан А.А. Алгоритм Перрона для р-адических чисел и некоторые его эргодические свойства.- Доклады АН СССР, 1972, т. 204,JS I, с. 45-48.

5. Хинчин А.Я. Цепные дроби.- М., Наука, 1978, 112 с.

6. Хованский А.Н. Приложение цепных дробей и их обобщений к вопросам приближенного анализа.- М., Гостехиздат, 1956.

7. Чеботарев Н.Г. О вычислении абелевых интегралов через элементарные функции.- Успехи матем. наук, 1947, т. 2, вып. 2(18), с. 3-20.

8. Чебышев П.Л. О разложении функций в ряды при помощи непрерывных дробей.- Прил. к IX тому Записок Имп. Академии наук, 1866, J£ I; Поли, собрание соч. П.Л.Чебышева, т. II Математический анализ, М.-Л., изд-во Академии наук СССР, 1947,с. 416430.

9. Abel N.H. Sur 1'integration de la formule differentiell gckoz/ ^ , R et J5 etaut des fonctions entieres.-Jour. fur Math., 1826, v. 1, p. 185-221 .

10. Baker G.A. The Pade approximants in theoretical physics.-New York, Akademik Press, 1975, 306 p.

11. Euleri L. De relatione inter ternas pluresve quantitates instituenda.- Euleri comentationes arichmeticae collectae, T. 2, С.-П., 1849, c. 99.

12. Franc E. Corresponding type continued fractions.- Amer. Jour. Math., 1946, v. 68, P 1, p. 89-108.

13. Jacobi C.G.J, liber die Auflosung der Gleihungx i- -t-cx! * — -f 'It Journal fur die reine 1 \ г к. > *und angevandte Mathematik, 1868, Bd. 69, s. 21-28.

14. Jacobi C.G.J. Allgemeine Theorie der Kettenbruchahnlichen Algorithmen, in v/elchen jede Zahl aus drei vorgergehenden gebildet wird.- Journal fur die reine und angevandte Mathematik, 1868, Bd. 69, s. 29-64.

15. Leighton \V., Scott W.T. A general continued fraction expansion.- Bull. Am. Math. Soc., 1939, v. 45, 8, p. 596-605.

16. Magnus A. Certain continued fractions, associated with Pade table.- Math. Zeitschrift, 1962, v. 78, H* 4, s. 361-374.

17. McCabe J.H., Murphy J.A. Continued fractions which correspond to power series expansions of two points.- Jour. Ins.Math. Appl., 1976, v. 17, 2, p. 233-247.л

18. Paley R.E.A.C., Ursell H.D. Continued fractions in several dimensions.- Proc. Cambridge Phil. Soc.,,1930, v. 26, № 2, p. 127-144.

19. Perron 0. Die Lehre von den Kettenbruchen; Band II.- Stuttgart, Teubner Verlagsgesellshaft, 1957, 316 s.

20. Perron 0. Uber die Konvergenz der Jacobi Kettenalgorithmen mit komplexen Elementen.- Sitzungsberichte Bayer. Akad. Wiss. Munchen (raath.-phys. Klasse), 1907, v. 3, № 3, s. 401-482.

21. Perron 0. Grundlagen fur eine Theorie des Jacobischen Ketten-bruch AlgorithmusMath. Ann., 1907, v. 64, Nfi 6, s. 1-76.

22. Pringsheim A. Uber Konvergenz und functionen-theoretishen Character gewisser Limitar-periodisher Kettenbruche.-Sitzungsberichte Bayer. Akad, Wiss. Miinchen (math.-phys. Klasse), 19Ю, v. 6, p. 1-52.

23. Schweiger P. The metrical theory of Jacobi-Perron Algorithm.-Lecture Notes in Math., v. 334» Berlin, Springer-Verlag, 1973, 111 p.4

24. Szasz 0. Uber die Erhaltung der Konvergencz unendlicher Kettenbruche bei independenter Veranderlichkeit aller ihrer Element е.- Jour, fur die reine und angewandte Mathematik, 1917, v. 147, 1, s. 132-160.

25. Thron W.J. Some properties of continued fractions 1+dQz+K(z/1+dnz).- Bull. Am. Math. Soc., 1948, v. 54, №■ 2, p. 206-218.

26. Van Vleck E.B. On the convergence of algebraic continued fractions, whose coefficients have limiting values.- Trans. Am. Math. Soc., 1904, v. 5, N& 3, p. 253-262.

27. Wall H.S. Analytic theory of continued fractions.- New York, Van Nostrand, 1948, 433 p.

28. Widom H. Extremal polynomial associated with a system ofcurves in the complex plane.- Adv. Math., 1969, v. 3, p. 127-232.

29. Pade Approximation and its Applications; Proceedings of a Conference held in Antwerp., Belgium, 1979.- Berlin, Sprin-ger-Verlag, 1979.

30. Парусников В.И. Алгоритм Якоби Перрона и совместное приближение функций.- Матем. Сб., 198!, т. 114(156)2,с. 322-333.

31. Парусников В.И. Предельно периодические многомерные непрерывные дроби.- Препринт ИПМ им. М.В.Келдыша АН СССР, 1983,62, 24 с.