Скорость сходимости некоторых цепных дробей и их приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ФОРМУЛА ОБРЕШКОВА

§1. Вывод формулы

§2. Разложение конкретных функций и оценка остатка

ГЛАВА 2. СКОРОСТЬ СХОДИМОСТИ НЕКОТОРЫХ ТИПОВ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ

§1. Связь цепных дробей с дробями Паде

§2. Формула Тиле

§3. Скорость сходимости цепных дробей специального вида

ГЛАВА 3. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ

§1. Решение гипергеометрического уравнения методом цепных дробей

Работа посвящена исследованию скорости сходимости некоторых цепных дробей для аналитически заданных функций одной переменной, вопросу выяснения общего вида подходящих дробей и приложениям цепных дробей к решению различных задач, связанных с дифференциальными уравнениями и теорией интерполирования функций.

Методы вычисления элементарных функций, а также относящиеся к ним различные формулы играют важную роль в численных методах решения задач, поскольку большой труд составляет вычисление значений элементарных функций и их различных комбинаций.

В работе получена оценка скорости сходимости цепных дробей достаточно общего вида, из которой можно получить, в частности, оценки скорости сходимости цепных дробей для важнейших элементарных функций; при этом в качестве источника цепных дробей могут выступать как дифференциальные уравнения, так и формула Тиле с обратными производными или дроби Паде. Даны оценки скорости сходимости многих разных представлений в виде цепных дробей элементарных функций и связанной с ними гипергеометрической функции.

Важной и вместе с тем сложной является задача выяснения общего вида подходящей дроби, исходя из данного разложения в цепную дробь. Наиболее общий подход к этому вопросу достигается при помощи формулы Обрешкова, которая в свою очередь является одним из обобщений формулы Тейлора. В работе дано новое доказательство формулы Обрешкова, которое можно распространить на функции многих переменных и на случай функций, заданных разложением в ряд Фурье. Получены также оценки остатка формулы Обрешкова для некоторых конкретных функций.

С помощью интерполяционных цепных дробей в работе решены две задачи: задача о точной оценке наилучшей скорости сходимости интерполяционных рациональных дробей к функции \х\ на отрезке [-1;1] среди всех монотонных по модулю последовательностей узлов интерполяции и задача о точной скорости равномерной сходимости рациональных функций, интерполирующих функцию |х| на отрезке [-1; 1] в равноотстоящих узлах.

Приведем кратко некоторые предварительные сведения о цепных дробях и источниках их получения. Выражение

1) ьх + ьг + + ь„ + называется бесконечной цепной (непрерывной) дробью. Элементы цепной дроби „ „ (л; = 1,2,.) - могут быть числами (вещественными или комплексными), функциями (одной или большего числа переменных). Конечная цепная дробь

Ьо+Л. = И (2) Ь1+ Ь2 + +Ь„ о„ называется подходящей дробью порядка п (// = 1,2,.) для цепной дроби (1).

Если существует конечный предел (обозначим его через Т) р

Кт-=- = Т, а л то цепная дробь (1) называется сходящейся и Т называется значением цепной дроби (1). Если же написанный предел не существует (или существует, но равен бесконечности), то цепная дробь (1) называется существенно расходящейся (несущественно расходящейся). Важным является вопрос: в случае сходимости цепной дроби (1) к числу Т оценить скорость стремления к нулю разности К

Т п о. при и->ю в зависимости от п.

Отметим некоторые свойства цепных дробей (1), которыми будем пользоваться. Некоторые из них доказаны в [1]-[5], другие легко можно из них вывести.

1) Числители Рп и знаменатели Оп подходящих дробей цепной дроби (1) удовлетворяют рекуррентным соотношениям

Рп=ЪпРпЛ+апРпг, 0„=ЬпО„,+апОп:, // = 1,2,., (3)

Р.1= 1, Р0=Ь 0, (?-,= о, 00=1.

Отсюда следует, что для цепных дробей с положительными элементами (для положительных цепных дробей) положительными будут все числители Рп и все знаменатели 0„ подходящих дробей.

2) Для сходящихся цепных дробей имеет место равенство (считая о=0)

Л-1 '-'Ок

СЛ-.СЛ а\а2 к-О (2п+2к(2п+2к>2

3) Если а„ > 0, 6„ > 0; // = 1,2,., то

•р Р» йп

О П к 0 \1п*2к\Сп+2к.2

В этом случае для оценки

О. важно оценить знаменатель (?„ снизу.

4) Цепная дробь (1) эквивалентна (т. е. имеют одинаковые значения) обыкновенной цепной дроби

1 1 1 а0 + а, + а2 + +ап + где т. е. обе цепные дроби сходятся к одному и тому же значению или обе они расходятся).

При этом для сходящейся к Т обыкновенной цепной дроби имеют место равенства

Т = а0 + —в";1 =а0 +Х а2' ■

5) Сходимость положительной обыкновенной цепной дроби

1 1 1 а0+- -.-. а, + а, + +ап + равносильна расходимости ряда ос

Для формального степенного ряда (см., напр., [4]) при любых целых неотрицательных // и т существуют такие многочлены п т у=0 у-О что

А, г". у-пит 1

Рациональная дробь из этих многочленов определяемая однозначно функцией /(г) и числами п и т (п,т = 0,1,2,.), называется дробью Паде поля [п,т] для функции /(:). Если и а, г", у-п*т*\ то (при п = т ) рациональная дробь п называется дробью Паде поля [п,п\ для функции /(г). .4) Знаменатели £>т(г) дробей Паде тесно связаны с ортогональными многочленами.

Приведём теперь некоторые известные результаты (см., напр., [3]) о дифференциальных уравнениях как источнике дробей Паде и цепных дробей.

1) Если функция удовлетворяет дифференциальному уравнению

Ьу' + Му + Ы = О, где полиномы иЬ * 0, то для дроби Паде поля \т,к\ для функции х) имеем: знаменатель Ок (х) удовлетворяет однородному дифференциальному уравнению второго порядка хье д;+[(¿'-м)хв-х1.в'-(т+к- 1)ьв]о[. + нок = о с многочленными коэффициентами.

Аналогичное утверждение имеет место и для числителя Рт (х) этой цепной дроби Паде. Поэтому Рт (х) и Ок (х) можно выразить через гипергеометрическую функцию Гаусса 1:{а,р,у\х).

В качестве примеров можно взять функции ех,(\-х)а,(\-х)а \ogi\-x) и др. М

2) Бесконечная цепная дробь (1), где а„ = а0 + а1п + . + арпр ^(а^ Ьп = Ро + Р\п + ••• + РчпЧ {рч * расходится для р >2(1 + 2.

Она сходится в трёх случаях: а) если р> 2</;

Ра + 4<*Р / 1 о) если р = и ——-— <г (- ;

Рч с) если /г = 2</ + 1, р = 2с! + 2 и одновременно — <г(-оо,о). аР

3) Решение уравнения ау = -ху' + у" связано с цепной дробью (1), в которой а„ = // + а, Ьп=Ь. Решение дифференциального уравнения ару = \у-(\+а + р)х]у' + (х-х2)у" приводит к цепным дробям вида (1), где ап = а0(х) + а1(х)г/ + а:(х,)н:, Ъп = Ро(х)+Р\(х)»> причем а0(х),аХх),сс2(х),р0(х1РХх) " некоторые многочлены не выше второй степени. Уравнение Риккати

1 + т]'хк + (/? + р'хк )у + уу• = &ск имеет решение (обращающееся в нуль при х = 0), которое разлагается в цепную дробь ([2])

5хк \у8 + (1 + Р)Ь' + Р')У (уд + п' + Рп'-Р'У 1 + Р + 2 + р + 3 + р + у8+{п + р)(пг]'+р')]хк (у8+п2ц' + прг1'-пР'У + 2 п + р + 2п + \ + р +

Следующие четыре вопроса: 1) развитие теории цепных дробей за последние четыре века;

2) связь цепных дробей с ортогональными многочленами, дифференциальными уравнениями, дробями Паде, рациональными приближениями;

3) приложение цепных дробей в вычислительной математике, прикладной математике, теории управления, биологии, физике твёрдого тела, статистической механике и т. д.;

4) роль выдающихся математиков последних четырёх веков в развитии теории цепных дробей подробно рассмотрены в работах [1]-[6], [9]-[12], [15]-[16]. Изложим краткое содержание работы.

В § 1 главы 1 даем новое доказательство следующей формулы Обрешкова: у, к{к-\)-.,{к-у + \) {х-х„У т + к)(т + к-\)-.'(т + к-у + 1) у! 7 К/

-у т{т-\)-.-(т-у+\) (х-ха)" , (г. г г \ о{т + к)-.,(т + к-у +1) у! 3 1хо)+«т.*и,х.*о) . где

Vм + К)х0 которая широко применяется для выяснения общего вида подходящих дробей в теории цепных дробей.

Наш способ доказательства отличается от имеющихся в литературе ( ср., напр., с [7], [2] ) своей краткостью, а также тем, что его можно приложить к получению аналогов формулы Обрешкова в случае функций многих переменных или в случае, когда рассматриваемая функция /(х) задана не степенным рядом, а разложением в ряд Фурье по ортонормированным многочленам Эрмита (как, напр., в работе [14]).

В § 2 главы 1 рассматриваем, кроме примеров функций ех ,х", 1пл- ([2]), ещё и функцию агс^х и получаем рациональные приближения агс1$х через некоторые многочлены Ру,(*•), для которых получено рекуррентное соотношение.

Кроме того, представляют интерес выражения для ех ,х" ,1п х,агс#х через гипергеометрическую функцию.

В §2 главы 1 даём также оценки при т + к -» х для КкКт к(/"; х,1), (1п /;х,\), Я,,, , (агсц/; дг, 0), а именно к+т)\{к+пг + \)\ ах" х-\ к т

Г(1 -а) X (ш , \к < т t <| \к +т) х-\ кктт

И -1'

0 < г < 1,0 <а < 1; 0<х<1; к+тУ™

Первая из этих четырёх оценок, когда х не только вещественное число, известна (см., например, [13]); но в нашей.ситуации оценка получается достаточно просто. Три других оценки мы в литературе не встречали. В конце §2 главы 1 получена также оценка 1 ы ч т * к ч 1

В(* + 1,т + 1) при г = х +¡у, для которых (1-х)2 + у- < р\у\, т. е. (г-1)" + Н-^ что представляет собой множество точек г из объединения двух кругов с центрами в точках и и РаДиУсами ^ здесь р< 1.

Глава 2 посвящена выяснению скорости сходимости аналитических (элементы ап и Ь„ зависят от переменной) цепных дробей.

В §1 главы 2 рассматривается связь дробей Паде с цепными дробями. Пусть /(г) аналитична в окрестности точки г = 0, т. е.

-н

00= Е/^1' , /0*о. у=0 г$

Тогда, как сказано выше, существуют многочлены Рп ^о,,:*', у=0 т

•в»такие, что у=0 ят(х)-/(г)-Ря (г)=

Если при этом пО - * > Аи1 ~ /и »

7 •••/«-»/+1 /п+т-1 ••••/»г то

Н)Я и/я

Уи+1 --/п-т+Х

1 . Г™ у=0

Здесь ^ = 0 при V > т, /у = 0 при V = -1,-2,.

Если /(г) аналитична в окрестности точки г = х>, т. е. 0 то, как известно, дробь Паде поля [/?,//] для /(г) определяется равенством у=0 у=0 где

Ч„ 00=

1

-1)" .

А» /2л г". 1 А»=А;

Очевидно, <70(г)=1, /?0(г) = /0, />,(г) = /0г + /, -.

00

Установлено, что степенному ряду можно сопоставить

1'=0 цепную дробь

А, А2 А„ о+" г - В, + г - В2 + + г - В/7 + . где а-/- и - ^ д - п А»с» „ ъ 1

А;, 1

С„ = Нт г г->оо

7+1

Г ЫЬаЦц^ - РтА)+,(,„/ - Рп )|.

Верно и обратное утверждение: каждой цепной дроби написанного вида

00 можно сопоставить степенной ряд •> где Л выражается через

А Я Г "■п > "п > •

В §2 главы 2 для цепных дробей (связанных с формулой Тиле) где о/ЙЬ/Й). = г^) = гп,2/^)-пггпхт, доказано следующее утверждение о сходимости: если существует £ и числа /?, =1, , ^ >0, А = 2,3,., такие, что

1) V \/;(/7~0 Для * и 5 из [а,Ь], оо

2) <°°» у=2 то цепная дробь (4) сходится к /(х) равномерно на [а,ь\. Далее, в этом параграфе для цепных дробей вида !.!. , (5) а{(г)+ а2(г)+ + а„( г) + где 2,ак(г)- комплексные числа, доказано следующее утверждение: если и(г)- знаменатель п- ой подходящей дроби цепной дроби (5), то

Яе (*&(*)) = £кеауИ(г)КШГ

6) г* О

Отсюда получаем (ср. с [17]): если цепная дробь (5) сходится на некотором множестве Е к функции и при геЕ и любом к а2к-х(?)> О, Кеа2к(г)>0,то

2к+\

00 о2кМ

И2> 2к«(*)\ . "Е, ц-=о г)}"1. геЕ.

7)

Как приложение неравенств (7) даём оценку для скорости сходимости обобщений цепной дроби Эйлера

Ь2*)у (2.3-хУ (/;(;/ + \)хУ

1+ 1+ "'. + 1 + "' ^ при х>0 и Осу <1.

В частности, если Р„(х)^Оп(х)- подходящая дробь порядка п (л = 1,2,.) для цепной дроби (8) и /(х)- значение цепной дроби (8) для у = 1 и 0 < л- < 1, то

-л*) Ме.М

С X

1п(/1 + 1)' где с - некоторая абсолютная константа. В §3 главы 2 рассматриваем цепные дроби

А л. а.

0 ' Ь1+" + Ь.+'"' для которых *„(*) = («п2 + Р» + /)/(*), Ьп = В/; + С, где а,/?, у, В, С- вещественные числа, /(х)>0- функция, заданная на некотором множестве Ее:(-да,оо), на котором а„(х)>0 и, кроме того, Ьп >0. Следующую функцию

1 + / (1 + 2/) определённую для -1 <2/ <0, где ц{х) > 0 при х е К (и эта функция ц(х) подлежит нахождению), назовем соответствующей цепной дроби (9). Имеет место

ТЕОРЕМА 1. Если положительная на множестве Ес(-х,-ко) функция д(х) такова, что для знаменателей Оп(х) подходящих дробей цепной дроби (9) неравенство в.(ФМ*)У (Ю) имеет место для хеЕ, п = к-2 и п-к- 1 при некотором к>2, а функция Рх(/), соответствующая цепной дроби (9), при каждом хеЕ убывает для е 1

0 \, то неравенство (10) имеет место и для всех п>к при хеЕ. \ к )

Более того, в качестве д(х) можно взять

-—-•

К цепным дробям для многих специальных функций, приведенных в приложении, можно применить сформулированную теорему 1.

В первых двух параграфах третьей главы рассмотрены два примера цепных дробей, являющихся разложениями гипергеометрической функции и решением уравнения Риккати.

В §1 главы 3 рассматриваем функцию у-агс^х- решение дифференциального уравнения х2+1)/-1 = 0, у(0) = 0, которая выражается через гипергеометрическую функцию равенством

15 с( 1 , 3 ^

Известно, что

2 12 22 (//-IVГ2 г . . \ г . . \ агар 2 =- -.----., 2 <£ I /,/со}^ -/,-/со).

6 1+ 3+ +2/7-1+ 1 ' 1 7

Доказано, что если 0„(х)- знаменатель подходящей дроби цепной дроби для я/г/^х, то по меньшей мере при - \<х< \ выполняется неравенство

1 + л1\ + хг V /1 = 1,2.

Из этой оценки и из свойств цепных дробей (см. свойство 3)) следует, что I I \:л+1 агы% х ■ р.Ь) е,М с

1 + л/1 где С - абсолютная константа.

В §2 главы 3 показано, что для цепной дроби, являющейся решением дифференциального уравнения Риккати

1 + Г1\к)^+(р + р'хк)у + уу- =5хк , у(0) = О, условия теоремы из §3 главы 2 будут выполнены для х из некоторой окрестности нуля, определяемой параметрами к,р,у,8,р', и можно взять

1 + ^1 + 4 т]'хк д(х) =

2е

Поэтому знаменатели 0„(х) подходящих дробей соответствующей цепной дроби можно оценить неравенством е.М*

Те п « = 1,2,., для х из некоторой окрестности нуля.

В §3 главы 3 с помощью интерполяционных цепных дробей исследуются аппроксимационные свойства рациональных интерполяций для линейных монотонных таблиц узлов, когда узлы интерполяции заданы в виде некоторой числовой последовательности х0,х-,,.,х„,. и рациональная функция п - ой степени (/7 = 0,1,2,.) интерполирует данную функцию в первых 2// + 1 точках дг0,лг,,.,л-2/1 этой последовательности.

Для четной функции |х|, хе[-1;1], естественно рассматривать таблицы узлов вида

Пусть Я2п(х,а) - четная рациональная функция относительно х степени не выше 2п (« = 0,1,2,.), интерполирующая функцию |г| на множестве узлов = {±Х0,±Х, ,.,+*,„}.

Известно ([18]), что где инфимум берется по всем монотонным (убывающим и возрастающим) положительным последовательностям х0,х,,.,хд.,.; тем самым получена оценка снизу наилучшей относительно монотонных по модулю последовательностей узлов скорости сходимости интерполяционных рациональных дробей к функции |х| на отрезке [-1; l].

С использованием интерполяционных цепных дробей решена экстремальная задача о точном порядке скорости сходимости интерполяционных рациональных функций для функции |х| на отрезке

-l;l] на классе всех монотонных по модулю последовательностей узлов, точнее, доказана следующая

ТЕОРЕМА 2. Имеет место следующее точное равенство inf. .limfew + l)2 maxlW-Л. (х;а)| = 1, {о<*44(Т)}я-*«Л ' «[-l.ij1 1 2«V ' /| где инфимум берется по всем монотонным положительным последовательностям х0,йг = {±х0,±х-1,.,±х2„} .

Как показал С. Н. Бернштейн, если Р„(х) - интерполяционный многочлен, интерполирующий функцию \х\ на отрезке [-l;l] в м равноотстоящих узлах, то последовательность многочленов {/'„(*•)} не сходится к |xj ни в одной точке отрезка [- l;l], кроме точек -1,0,1.

В §4 главы 3 исследуется сходимость последовательности рациональных функций, интерполирующих функцию |х| в равноотстоящих узлах отрезка [-l;l]; получены точные оценки скорости равномерной сходимости последовательности интерполяционных рациональных функций к функции |х| на всем отрезке [-l;l] и, отдельно, точные по порядку оценки на каждом подотрезке отрезка [-l;l], определяемом парой соседних равноотстоящих узлов, что позволило получить шкалу скоростей сходимости этих интерполяционных рациональных функций в зависимости от приближения подотрезка к концам данного отрезка'[-1;1]. Доказана следующая

ТЕОРЕМА 3. Пусть рациональная функция R2„(x\b) степени не выше 2п(п = \,2,.) интерполирует функцию |х| на отрезке [-l;l] в к равноотстоящих узлах b0=0,±bk=±—(к = 1,2,.,2м) ; / - положительное

2/7 решение уравнение e'(t-1) = 1. Тогда для величины выполняются следующие соотношения:

Р"£(2„ + 1)|„(2„ + 1) = lim(рп • 2мIn(2м + !)) = /-! .

Также доказано, что в случае узлов Ь0 =0, ±Ьк =±— (к = 1,2,.,2м) при

2/7 jи всех м = 1,2,. выполняется неравенство

11 1 2яЧ Л 2е//1п(2// + 1) ' апри хе[-Ьп\-ЬтЛ]и[Ьт^,Ьт\ (»/ = 2,3,.,2л/) и всех // = 1,2,.-неравенство т т

2{т-1) Г , ч 2(т-1П

1-е

-(«■1)1 т п \2п + \) I ^2/7 + 1 у I

Вполне аналогичные оценки имеют место и в случае узлов

Ьк=±- (к = 0,1,.,2//) при /7 = 1,2. Однако в этом случае задача

4/7 + 1 оценки уклонения рп на всем отрезке [-1;1] решается значительно проще; как показывают оценки на подотрезках, максимальное уклонение для всего отрезка [-1 ;1] достигается на [-¿0 ;Л0 ] в точке х = 0, причем

1 1 2 Р" " £± ~ (4/, +< <4" + О»" (2п +1) • к=о Ьк к=о 2к + \

Что касается оценки величины рп снизу, фактически доказано следующее: при всех //, начиная с некоторого //0, выполняется неравенство

1 ^ 1

Ри ~ ехр(/)+1 2//1п(2/7 +1) 2{е + 1)//1п (2/7 +1) * где / - положительное решение уравнения <?'(/-1)= 1.

Вполне аналогично рассматриваются случаи узлов

Ь0 = 0, ±Ьк =±~{к = \,2,.,2п-\) и узлов ±Ьк

2/7 4/7 + 1 (к = 0,1,2,.,2/7-1); /7 = 1,2.

Объединив полученные оценки, сформулируем результат в терминах числа узлов интерполяции.

Рациональную функцию /фс) назовем интерполяционной для |х| с равноотстоящими узлами на отрезке [-1;1], если при заданном /?(// = 0,1,.) ее степень <2/7, а число узлов равно одному из чисел 4/7-1,4/7,4/7+1,4/7+2.

Тогда для последовательности интерполяционных рациональных функций гп(х) для |х| с и равноотстоящими узлами на отрезке [-1;1] выполняются равенства lim п • In // max IЫ - г (х)| = 2, л-юо «[-l.lj1 1 "V lim //-Inn тах]Ы-А;(х-)| = 2(/-l), где t - положительное решение уравнения e' {t -1)= l.

Отметим также, что ранее Н. Г. Гашаровым [19] получено неравенство

Рп '2и1п(2и + 1)< 1 (я>я0), о которое перекрывает аналогичный результат X. Вернера [20]; из наших же точных оценок следует неравенство

0,278 < рп • 2wln(2/i +1) < - (// > п0) е

- для случая, когда Ь0= 0, и неравенство

0,278 < р„ • 2wln(2w + l)< 1 («>//0)

- для обоих случаев одновременно, 1 причем нижняя оценка улучшается до / -1 = —т-т— = —т^, где t - корень ехр(/)+1 ехр(/) уравнения е' • (t -1) = 1.

Основные результаты работы опубликованы в [21] - [26].

1. Хинчин А. Я. Цепные дроби, М.- Л., Гостехиздат, 1949.

2. Хованский А. Н. Приложение цепных дробей и их обобщений квопросам приближённого анализа, М., ГИТТЛ, 1956.

3. Perron О. Die Lehre von den Kettenbrüchen, Stuttgart, Teubner,Band 1(1954), 11(1957). ^ 4. Бейкер Дж., Грейвс- Моррис. Аппроксимации Паде, М., Мир, 1986.

4. Джоунс У., Трон У. Непрерывные дроби. Аналитическая теория и приложения, М., Мир, 1985.

5. Люк Ю. Специальные математические функции и их аппроксимации,М„ Мир, 1980.

6. Obreschkoff N. Neue Quadraturformeln, Abhandlungen preuß Akad. Wiss.Math., Naturwiss. Klasse, № 4,5 (1940), 1-20. v 8. Nörlund N. E. Vorlesungen über Differenzenrechnung, Berlin, Springer,1924.

7. Wall H. S. Analytic theory of continued fractions, New York, Van Nostrand,1948.

8. Стилтьес Т. Исследования о непрерывных дробях, Харьков- Киев,ДНТВУ, 1936.

9. Марков А. А. Избранные труды, М.- Л., ГИТТЛ, 1948.

10. Чебышев П. Л. Полное собрание сочинений,т. Ill, М.- Л., Издательст-^ во АН СССР, 1948.

11. Дзядык В. К., Филозоф Л. И. О скорости сходимости аппроксимацийПаде для некоторых элементарных функций, MC, т. 107, №3, 1978.

12. Суетин С. П. О теореме Монтессу де Болора для рациональных аппроксимаций ортогональных разложений, MC, т. 114, 1981.О Tj

13. Риман Б. О разложении отношения двух гипергеометрических рядов вбесконечную непрерывную дробь, Сочинения, Гостехиздат, 1948.

14. Никишин Е. М. Избранные вопросы математического анализа, МоскваТула, 1990.

15. Рамазанов А.- Р. К. Об одной оценке скорости сходимости непрерывных дробей и её применение.Сб. «Функциональный анализ, теория функций и