О рациональных приближениях к некоторым бесконечным цепным дробям тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

СТАСОЕВ Ботаз Георгиевич

к,/?

сО РАЦИОНАЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЯХ К НЕКОТОРЫМ БЕСКОНЕЧНЫМ ЦЕПНЫМ ДРОБЯМ

Специальность 01.01.06 - Математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1997

Работа выполнена в институте прикладной математики и информатики Государственного научного центра республики Северная Осетия-Алания.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор КОЙБАЕВ В А

Официальные оппоне нты :

доктор физико-математических наук, профессор САЛИХОВ В.Х.

кандидат физико-математических наук, доцент ШМЕЛЕВ АА.

Ведущая организация - Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова.

Защита состоится ......6—»■■ ......Ш.......... ... 1997 г. в часов

на заседании диссертационного Совета К 053.01.02 в Московском педагогическом государственном университете по адресу: 107140, Москва, Краснопрудная ул., д. 14, МПГУ, ауд. 301.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МПГУ по адресу: 119435, Москва, Малая Пироговская ул., д. 1, МПГУ.

Автореферат разослан .................1997 года.

Ученый секретарь диссертационного Совета ^—^ КАРАСЕВ ГЛ.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА. РАБОТЫ Актуальность теш. Задача приближения вещественных чисел рациональными числами - одна из важнейших задач теории диофантовых приближений. Она занимает достаточно важное место в современной теории чисел и органически связана с теорией алгебраических чисел, теорией трансцендентных чисел и теорией диофантовых уравнений.

Начало теории аппроксимации алгебраических чисел рациональными числами положил Ж. Лиувилль, опубликовавший в 1844г. ее первую теорему, давдую достаточный признак трансцендентности числа. В 1909г. А. Туэ получил первое усиление теоремы Лиувилля. Дальнейшие усиления теоремы Туэ между 1921г. и 1955г. были получены последовательно К.Зигелем, Ф. Дайсоном, А.О. Гельфондом. Существенное продвижение в проблеме приближения алгебраических чисел рациональными получил К.Рот в 1955г.

Задачи, связанные с выяснением арифметической природы классических постоянных, с древнейших времен привлекали внимание математиков. В этой связи отметим, что трансцендентность неперова числа е была доказана в 1873г. Ш. Эрмитом, а в 1881г. Ф. Линдеман, пользуясь методом Эрмита, доказал трансцендентность числа %. В настоящее время теория трансцендентных чисел - достаточно стройная и глубоко развитая математическая теория.

Проблемы теории диофантовых приближений решаются, в основном тремя аппаратами. Это принцип Дирихле, ряды Фарея и цепные дроби.

Поскольку приближенные значения действителльного числа,

даваемые аппаратом цепных дробей, являются, в известном

смысле, наилучшими, то задача разложения действительного

числа в цепную (непрерывную) дробь, является очень важной в

теории диофантовых приближений. Однако до настоящего времени

неизвестно разложение в цепную дробь ни одного

алгебраического числа степени выше 2. Более того,

неизвестно, может ли такое разложение иметь ограниченные

элементы, или, наоборот, неограниченный ряд элементов и т.д.

Эти задачи исключительно трудны и почти еще не изучены.

Поэтому в последнее время внимание числовиков привлекают

вопросы, связанные с выяснением арифметической природы цепных

дробей, элементы которых растут по определенным

закономерностям. Достаточно интересны проблемы, касающиеся

выяснения наилучших приближений как для классических

постоянных, так и для трансцендентных чисел, не являющихся

числами Лиувилля и Рота.

Отметим в этом направлении превде всего работы К.

Зигеля, Г. Веббера, К. Дэвиса, Ж. Шиокавы, О. Такеши и др.

Цель настоящей работы - продолжить этот круг

исследований по цепным дробям. Точнее говоря, перед нами

стоят задачи:расширить класс непрерывных дробей, связанных с

числом е и найти для них наилучший порядок приближения;

1

получить разложение в арифметическую цепную дробь для и

найти для него наилучший порядок аппроксимации; разложить в

1

непрерывные дроби некоторые числа, выражающиеся через и найти для них наилучший порядок приближения; определить наилучший порядок приближения для цепных дробей, элементы

которых растут по какимто заданным закономерностям; исходя из порядка приближения, установить трансцендентность одного класса цепных дробей; построить цепные дроби, допускающие заданный порядок приближения.

Научная новизна. Основными результатами диссертации являются:

1. Установлены ' товдества, связывающие некоторые квадратические иррациональности и ряды, общие члены которых выражаются через произведения чисел Фибоначчи, а также товдества, представляющие цепные дроби с арифметическими или геометрическими прогрессиями в виде отношения рядов.

2. Получены разложения в цепные дроби для некоторых трансцендентных чисел, являющиеся комбинациями числа е и

найден для них наилучший порядок приближения.

1

3. Получено разложение tgg-, а е N в арифметическую цепную дробь и найден для него наилучший порядок приближения.

4. Получены разложения в арифметические цепные дроби

для некоторых трансцендентных чисел, которые выражаются 1

через tg¡J- и найден для них наилучший порядок приближения.

5. Получен наилучший порядок приближения для цепных дробей, элементы (или подпоследовательности элементов) которых растут по арифметической или геометрической прогрессии.

6. Установлена трансцендентность одного класса цепных дробей, неполные частные которых растут быстрее показательной функции.

7. Построены цепные дроби, допускающие заданный порядок

аппроксимации.

Все основные результаты, выносимые на защиту, являются новымии получены самостоятельно.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Почти все полученные результаты имеют практические приложения в приближенных вычислениях. Результаты диссертации могут быть включены в спецкурсы для студентов-математиков.

Методы исследования. В работе используются классические методы теории чисел (метод "рекуррентных соотношений" Эйлера, Ламберта и др.), методы доказательства трансцендентности чисел, основанные на теоремах Зигеля и Рота.

Применен новый подход для нахождения неполных частных разложений алгебраических иррационашюстей вида Уъ.

Апробация работа. Все основные результаты обсуждались по мере их получения на семинарах по теории чисел в Тбилисском госуниверситете, на семинарах по диофантовым приближениям в Московском госуниверситете им. М.В. Ломоносова, на семинарах по алгебре и анализу в Северо-Осетинском госуниверситете, докладывались на республиканских, всесоюзной (Тбилиси, 1985г.) и 3-ей международной (Тула, 1996г.) конференциях.

Структура и объеи работы. Диссертация состоит из введения, трех глав исписка литературы. Объем работы составляет 11 Ь страниц машинописного текста. Библиография включает 110 наименований.

Публикации. Основные ре-зультаты диссертации

опубликованы в работах 1-11.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Введение носит вспомогательный характер. Приводится краткий обзор литературы, эскизно излагаются основные результаты работы. Здесь же собраны необходимые сведения и результаты из теории приближений алгебраических чисел рациональными числами, из теории трансцендентных непрерывных дробей и их приближений, из теории цепных дробей, используемые в дальнейшем.

Пусть (р^) - некоторая положительная функция, убывающая с ростом q. Говорят, что иррациональное число а допускает приближение числами р € 2, ц <е т, порядка ср^), если существует постоянная с1 > 0, зависящая от а и функции <р(ч), такая, что неравенство

Р

Iя - < ^фСЧ) имеет бесконечное число решений в числах р ( 2, ч ( м.

Порядок приближения ф^) называется наилучшим порядком приближения числа а, если существует постоянная с£ > О, зависящая от а и ф^), такая, что при любых р с 2, q ^ и

Р

|а - > с2ф^).

В частности, если ф^) = q"vf V > 0, то говорят о степенном (наилучшем степенном) приближении порядка V числа «рациональными числами.

Известно, что любое иррациональное число а единственным образом представимо в виде бесконечной

арифметической цепной дроби.

а = [ао;а1,а2,...,ак,...], ао € г, ai € и, 1= 1,,2,... Подходящие дроби

Рк

-д— = [^.'^.^„...а к = 1,2,3,...

иррациональнеого числа а являются наилучшими приближениями к Р

а, т.е.л если -рг- расположено блике к а, чем его подходящая ч

дробь — , где к > 1, то q > ч., "к К В первой главе приводятся формальные свойства аппарата

цепных дробей, иллюстрируется их применение к доказательству

тождеств и к разложению квадратических иррациональностей

специального вида в ряда с помощью чисел Фибоначчи. Получены

разложения для

1 1

Г^ 1 а а /-Ц Ш- , ава , а е ,

/ иу '

а также разложения некоторых других трансцендентных чисел,

1

связанные счислом е, в цепные дроби. Для найдена

соответствующая арифметическая цепная дробь. Найдены

соответствувдие арифметические цепные дроби для чисел. 1 _1 1 _ 1 11

^ а Га Уа Уа

В первом параграфе собраны основные используемые в работе определения, обозначения и вспомогательные факты. , Здесь же приводятся некоторые применения аппарата цепных дробей к доказательству тоадеств. Показывается связь мевду бесконечными цепными дробями и отношениями рядов типа:

ТЕОРЕМА 1.1.5. Пусть а > О, d > 1 - целые числа. Тогда

if_!_l.fV_1_f.

I fc0 s!(a-Hl3)!Us J L 3!(a+d+d3)I!<iS J

= ja+d; a+2d, a+3d.....a+nd, ...J,

где (a+ds)!! = a(a+d)...(<x+ds), если ax0; (ds)!!=dBs! .

ТЕОРЕМА 1.1.6. Пусть a > 1 - целое число. Имеет место равенство

[ n^-iH.ffn^-ir1]"^

Ifco m=0- J »-fco в=0 -I

= [о; Л2, a3, ak, ...j.

Устанавливается трансцендентность некоторых цепных дробей с помощью теории Зигеля /ТЕОРЕМА 1.1.10/. Во втором параграфе доказывается, что

1) Кт7ТГ-Щ1/Г1гГ) = [ О; (4X+1)u, (4A.+3)v , u, v «/N, /ТЕОРЕМА 1.2.1/;

2) а*иа = [ а+1; '¿а,-1, '¿К. 1 , а e/N , /ТЕ0РЕМА1.2.2/;

(1/a)«1/e = [ о; a—1, 2a, 1, '¿к, '¿а-1 , a e/N , a > 1,

/ТЕОРЕМА 1.2.3/.

Третий параграф посвящен разложению tg(1/a) цепную дробь. ТЕОРЕМА 1.3.1. Пусть a > 1, a e/N. ТОГДЭ

tg(1/a) = [ 0; a-1, 1, (2\+1 )a-'l ^ .

ТЕОРЕМА 1.3.2.

tg 1 = [1; 1, 1, 3, 1, 5, 1, 7, 1, 9, 1, ... L Здесь же получены разложения

а/

а-1£(1/а) = 11; (4Л.+3)-вг-2, 1, 4Л.+3 , а е/1* ;

о/

(1/а)-1£(1/а) = [ О; л2-1, 1, (4А+1), 1, (4А.+5)аг-2 , 1 < а е/И ; В/

= [ 1; (4Х.+3)-« -2, 1, 4Х+3 , а е/Ы ;

Г/

(1/Ко")= £ 0; а-1, 1, (4Х+1), 1, (А+Ь)е-2 ,

1 < а е/ы .

Во второй главе находится наилучший порядок аппроксимации к непрерывным дробям, элементы которых растут по определенным закономерностям. На основе теоремы Рота доказывается трансцендентность одного класса цепных дробей. Строятся цепные дроби, допускающие заданный порядок приблиижения.

В первом параграфе доказываются четыре теоремы о диофантовых приближениях к цепным дробям с арифметическими прогрессиями. ТЕОРЕМА 2.1.1. Пусть «» > о, а > 1 - целые числа;

ос = £ ао; а+а, <1+2й, ..., а+па, ... J Тогда для любого е > 0 неравенство

1« - < Ц- + е> 1п2'п 9

4 и д^Хп я

имеет бесконечно много решений в целых р <¿1, д е/Ы.

Существует число q'= я(е) такое, что

1« - -5-1 > (4- - е> 4

4 и д q

для всех целых р, q, где q > q•.

ТЕОРЕМА 2.1.2. Пусть ап, а >0.....а > О; а > 1.....а > 1

и 1 Ш 1 ш

- целые числа;

ос =[ а0; VAd2, .... V-^/W! :

с = min { §-. .....-£-).

12 m

Тогда для любого s > О неравенство

I« —i-| < (с + 6) ^ q 4 q^ln q

имеет бесконечно много решений в числах р eZ, q e/N. Существует число q'= q(s) такое, что

> (с - £) lngto ч 4 q^ln q

для всех целых р, q; q > q'.

ТЕОРЕМА 2.1.3. Пусть t^, b2, ... , ba, а > 1 - конечная последовательность натуральных чисел: а>. о, ..., «т> 0, d^ 1, 1, ..., йт> 1 - целые числа;

« =t VV Ь2' V «^Г V^a.....ат+ЛЛгА=1 :

г га т ш

= min { д—, д—, ..., -д-}.

1 2 т

Тогда для любого е > О неравенство

_ _е_, < (с + Е) у q

Ч q In q

имеет бесконечное множество решений в целых числах р, q.

Существует число q'= q(e) такое, что

!«--§-!> (с -е) lngln Я Ч q2ln q

для всех целых р, q, где q > q'.

ТЕОРЕМА 2.1.4. Пусть П, mit 1 = 1,2, ...,П, -

натуральные числа;

ta11- а1а.....e1m}' Сагг *22.....tt2m2}' '

4l' an2.....апш } "

п

конечные последовательности целых неотрицательных чисел;

{Ь11» Ь12.....b1s íb21' Ь22' b£s • —

tb ,, b ... b },

ni* n2* ns *

m

ídn, d12, .... Ü1BJ, íd21, d22, .... d^}.....

Cln1' <W — dnm 1 "

n

конечные последовательности целых положительных чисел; a eZ; ОС =[ а0; D11t D1a, ап-1Лап..........

D . , .... Ь J~a +Ш , „.., а +Ш ] л,™, = ni пе п. п, пт пт Л=1

mil п п

= [aQ; w1f ы2, ш3, wk, ...];

Q = т1 + т2+...+ тп; r _ _1Т) г п fl П П О \

С — Ш1П -gr- , -gp, -g- , .... "сГ , .... -сГ >'

11 12 1m. п1 nm

1 п

Тогда для любого е > 0 неравенство

_ Р , < (с + е) ДД inq

4 qln q

имеет бесчисленное множество решений в целых р, q.

Существует число q = q(e) такое, что

Iе* —д~1 > (с - е) lngf q 4 q ln q

для всех целых р, q, где q > q' .

Из этих теорем следуют результаты Дэвиса относительно рациональных поиближений к числам «, «1/л , ег/а. Отметим также следующие следствия.

СЛЕДСТВИЕ 2.1.1. Пусть a e/N. Тогда для любого е > О неравенство

^ 4- - < h¿- + в) ln2f q

4 q ln q

имеет бесконечно много решений в целых р, q.

Существует число q'= q(e) такое, что для любого p/q eQ

-4---S-I > <-Z=- - в> ' ч * V-

4 с q^ln q

Тем самым находится постоянная с > О, о которой говорится в одной теореме Шиокавы. В теореме О.Такеши при а = 2 получен

б qcln q

СЛЕДСТВИЕ 2.1.3. Пусть a e/N. Тогда для любого е > О неравенство

Ith 4- - -S-l < + е) Л?11

q2ln q

q 1 -

имеет бесчисленное число решений в целых р, q.

Существует число q*= q(e) такое, что для любого p/q eQ

Itt -4- - +1 > (-ZS- - е) . q * Ч-.

4 q ln q

Здесь же устанавливается, что наилучший порядок приближения

<p(q) ДОИ

1/ Г?ЛГ--№(1/1ПгГ), u, v e/N, с = rain С ^у-)

ln ln q .

равен с

q2ln q

2/ (1/a)th(1/a), Л e/N, ae1/a, a e/N, (1 /a)eUa,a > 1, a e/N, a-tg(1/a), o > 1, а e/N,

равен • ln ln Я 2a q2ln q

равен равен

1

ln ln q ln q

ln

<3 ln q

ín q •

2

равен —

2a 1

q2ln q ln ln q

ln

(1/л) • tg(1/a), a > 1, a e/N, равен 0

2a2

fSTtgd /KÍT), a e/N, равен —

2a

1/K5^tg(1/K^), a > 1, a e/N, равен —

2л qcln q

Указаны некоторые другие трансцендентные числа, допускающие

qm q ln q

q2ln q ln ln q

ln ln_q

slnq

2t

порядок аппроксимации с • ln ln q ^

q ln q

ТЕОРЕМА 2.2.1. Пусть a , о > 1 - целые числа;

a =taQ; a, a? a?.

*

Тогда для любого е > 0 неравенство

р / а

1« - < ^ + е) Ч

имеет бесконечно много решений в целых числах р «г, q е/Ы. Существует число = д(е) такое, что для любого р/^ еО

21n а

п 1 1п Ч

1« - -2-1 > - е) ч , Ч * я*.

ТЕОРЕМА 2.2.2. Пусть в , а. > 1 , т > 1 - целые числа;

ос а0;

ю

Тогда для любого е > О неравенство

_2_

_ 1 г га хп q

I« - < + в) Ч

имеет бесконечно много решений в целых р, я.

Существует число q(e) такое, что для любого рЛ} еС},

_, ^__el I

<1 УаГ

п 1 "" Г m In q

I« - -g-l > (r±= - S) q . q * q*.

TEOPSiA 2.2.3. Пусть a,> 1 ,...,«> 1 - целые числа;

\j i m

«=t v .....Л Lr

b = max С a,, ..., a >,

1 Ш

A = a a...a . 12 m

Тогда для любого e > О неравенство

- /5

_ . In A In q

< (КБ^ + e) q

In

имеет бесконечно много решений в целых числах р, q.

Существует число q■ = q(e) такое, что для любого р^ «£)

-2-/,2 ■ .-1пЬ

_ г 1п А 1п ч

1« - -{р| > (1/КБ"- 6) q , где, q >

В ФЗ устанавливается трансцендентность одного класса цепных дробей.

ТЕОРЕМА 2.3.1. Пусть а^Ъ, а > 1, а. еН, О > 1 -фиксированные числа. Тогда цепная дробь

г . о о2 о*1"1 ,

ос =( ао; а, а , а , а , ... ]

- трансцендентна.

ТЕОРЕМА 2.3.2. Пусть Ъ., Ь„, ... , Ъ , з > 1, - конечная

1 с 3

последовательность натуральных чисел; а > 1, а е/я, о > 1 -фиксированные числа; д0- произвольное целое. Тогда цепная дробь

о* со

« =[ а0; Ъ,, Ь2, .... Ьд, а ] х=1;

- трансцендентна.

Ф4 посвящен вопросу построения цепных дробей, допускающих порядок аппроксимации q~s(ln qГ1. Эта задача возникла в связи с одной гипотезой С. Лента, состоящей в том, что для

алгебраического числа « степени п > 3 неравенство

Щ Ч

где о > 1 - фиксированное число, имеет только конечное число решений в целых положительных числах. ТЕОРЕМА 2.4.1. Пусть

ос =[ 0; 1, 2, а3, ..., ... ], где ак= к-[1п к], к > 3. Тогда для любого е > О неравенство 1« - < (1+е^-г( 1п q )"1

имеет бесконечно много решений в целых положительных р, q.

СЛЕДСТВИЕ 2.4.1. Пусть ( г(, г&, ту ... } - множество всех простых чисел; г.,< г£< г3< ... ;

«ж = [0; гг г£, гэ.....гк, ...] .

Тогда для любого е > 0 неравенство

I« — —§—1 < (1+е)ч_2( 1п а Г1, имеет бесконечное множество решений в целых числах р,

В третьей главе дано описание алгоритма для нахождения элементов разложения в непрерывную дробь алгебраических иррациональностей вида /¿Г на наш взгляд более удобного, чем известный алгоритм, сводящийся к выделению целой части числа.

$1 посвящен описанию алгоритма . Точнее говоря, с каждой алгебраической иррациональностью « = /аГ связывается последовательность многочленов, определяющих полные /неполные/ частные разложения /йГ. Доказана

ТЕОРЕМА 3.1.1. Пусть й е /ы, не являющееся точным кубом. Тогда диофантово уравнение

(^-уа)2- 4(у2-хя)(й2-у1;) = й2 имеет бесконечно много решений в целых х, у, z, г [см. [25]] . Указывается способ нахождения этих решений. В Ф2 выводится, что если Ь( К х') - длина периода разложения квадратической иррациональности К х,' то

{ Ь(Гх") I X е/к, X * к2, к е/Ы } = /К Заметим, что это положение установлено в одной работе Ф. Бернштейна. Нами получено независимое от нее доказательство.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Тасоев Б.Г. Об одном способе решения одного класса диофантовых уравнений // Труды Тбил. ун-та. 1977. 189. с.17-28.

2. Тасоев Б.Г. О применении цепных дробей к доказательству некоторых тождеств.// Труды педвузов ГССР. 1978. т.5. с. 128-137.

3. Тасоев Б.Г. О свойствах одной арифметической функции. Труды Тбил.ун-та. 1980. 214. с.66-75.

4. Тасоев Б.Г. О множестве значений одной арифметической функции. // Труды педвузов ГССР. 1978. т.7. с.96-105.

5. Тасоев Б.Г. О множестве значений одной арифметической функции, 2. // Труды педвузов ГССР. 1980. т.8. с.109-122.

6. Тасоев Б.Г. О некоторых свойствах чисел Фибоначчи// Труды педвузов ГССР.1982. т.9. с.76-88.

7. Тасоев Б.Г. О некоторых задачах в теории цепных дробей// Труда Тбил. ун-та. 1984. с.53-84.

8. Тасоев Б.Г. Алгоритм нахождения неполных частных разложений в цепные дроби одного класса алгебраических чисел// Межвуз. сб. науч.тр. Тбил. госпед. ин-т. 1985. с.63-71.

9. Тасоев Б.Г. О рациональных аппроксимациях к цепным дробям с заданными ограничениями их неполных частных и о длине периода квадратичной иррациональности. Сев.-Осет.гос.ун-т, 1995. 44с.

10. Тасоев Б.Г. О рациональных аппроксимациях к некоторым бесконечным цепным дробям// Сев.-Осет. гос.ун-т. Владикавказ, 1995-ЗЭс. Деп. в ВИНИТИ 12.09.95, № 2551-В95.

11. Тасоев Б.Г. О рациональных приближениях к некоторым трансцендентным числам// 3 международная конф. "Современные проблемы теории чисел и ее приложения. Тула. 1996. с.138-139.

В. С