Абелевы расширения многомерных полных полей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

РГ6 од

2 ¡.!;<п 15 сакст-ш'даургшй государсгвзшый университет

На правах рукописи

БЕККЕР Борис Ыеерович АБМЕВЫ РАСШИРЕНИЯ

многомерных полных полей

Специальность 01.01.06 -^тематическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1993

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры и теории чисел катематико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук, профессор Н.Л.Гордеев

кандидат физико-математических наук, доцент И.Б.йесенко

Ведущая организация - Санкт-Петербургское отделение .

математического института им.В.А.Стеклова РАН

Защита состоится tCAfY/Л 1993 г. в час.

на заседании специализированного Совета К 063.57.45 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете (адрес Совета: 198904, Санкт-Петербург, Ст.Петергоф, Библиотечная пл., 2, математико-механический факультет СПбГУ). Защита Судет проходить по адресу: I9I0II, Санкт-Петербург, наб.реки Фонтанки 27, 3-й этаж, зал 311 (помещение ПОМИ РАН).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан 1993 г.

Ученый секретарь специализированного Совета, кандадит

физико-математических наук P.A.Шмидт

СБ1Ц(Щ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ. Классическая локальная теория полей классов описывает абелевы расыирешш локального поля ( конечного расширения О р или ¡Рр ({У])) в терминах мультипликативной группы исходного поля. В ряде работ А.Н.Парашн и К.Като построили теорию полей классов для многомерных локальных полей положительной характеристики. Оказалось, что абелевы расширения таких полей р соответствуют подгруппам в топологической < - груше ¡ф (р) = (Р). где К» -П- -я К - группа Милнора поля К • Л„ (р) - пересечете всех окрестностей нуля в некоторой топологии на кГ*, (р).

А.Н.Парнш неоднократно ставил вопрос о том, как уотрое-ны абелевы расширения многомерных полных полей в случае, когда последнее поле вычетов алгебраически замкнуто. В одномерном случае - это замкнуто-полные поля, изучавшиеся Серром. Так как в случае, когда характеристика равна нулю, предпоследнее поле вычетов является квазиконечным, то естественно возникает задача построения теории полей классов для многомерных полных полей с квазиконечным полем вычетов. С другой стороны, в 40 -50-х годах в работах Накаяма, Шиллинга и Уэпплса локальная теория полей классов была обобщена на случай одномерных полных дискретно нормированных нолей с квазиконечным полем вычетов.

В настоящей работе теория полей классов строится для многомерных полных полей положительной характеристики с квазиконечным полем вычетов.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Целью работы является описание абелевых расширений многомерных полных полей положительной характеристики с квазяконечным полем вычетов.

НАУЧНАЯ НОВИНА. Все основныз результаты диссертации являются новыми. В диссертации дается определение топологических К -групп Паршина и приводится описание топологического базиса в таких группах. Далее, полученные результаты используются для построения теории полей классов по методу Нойккрха -Оеоенко. Наконец, дается описание норменных подгрупп в ^ -группах Паршина в терминах так называемых аналитических подгрупп.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Результаты и методы работы применимы в теории полей классов. На том ге пути можно получить теории полей классов и в случае квазшсонечного поля вычетов нулевой характеристики.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты работы докладывались на семинаре им.Д.К.Фаддеева Санкт-Петербургского отделения Математического института им.В.А.Стеклова Российской АН и на международной конференции по алгебре и. логике (Барнаул, 1991 г.)

ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликованы две работы

[I] " [2] . '

ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и занимает 59 страниц машинописного текста. Библиография содержит 22 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Настоящая диссертация посвящена опиоашю абелевых расширений многомерных полных полей положительной характеристики с квазиконечным полем вычетов.

Глава I, соотоящая из двух параграфов, содержит необходимые в дальнейшем вспомогательные сведения: в §1 приводится формализм теории полей классов Нойкирха-Феоенко, в §2 формулируются нужные для главк 3 сведения об аддитивных полиномах над квазиконечными полями.

В первых двух параграфах главы П дается описание алгебраической и топологической структуры многомерных полных полей положительной характеристики. Пусть К - такое поле и К*.., .... К0 ~ к - его поля вычетов. Подъемы локальных параметров полей К^ = К , Кк_, . ••• » в поле К образуют систему локальных параметров .,■(:, поля К • Пря этом К изоморфно полю формальных рядов !< ((-Ь,))... ((4К)) .Группа К*~ снабжается топологией Паршина, в которой умножение и взятие обратного секвенциально непрерывны. В §3 определяются топологические

X - группы Паршина и дается описание топологических образующих этих груш.

Пусть К^ (К) -ы -я К - груша Мялнора поля К . Она снабжается сильнейшей топологией, в которой проекция (К"*])*4"—* Км С К) • произведение и взятие обратного секвенциально непрерывны. В случае конечного поля подгруппа бесконечно делимых элементов группы К^ К) содержится в пересечении всех открытых подгрупп в (К) и топологическая К - груша к^Р^К) определяется как фактор (К) по пересечению всех открытых подгрупп. В случае же квазиконечного поля к это' определение требует модификации. Пусть (К) - сумма пересечения всех открытых подгрупп в и подгруппы бесконечно дели-

мых элементов. Назовем И- -й К. ~ группой Паршина К^ЧСК) поля к группу 1<С(К)/\„(к).

Доказывается следующее утверждение ( теорема 2.3.1] .

Пусть К - полное - мерное поле с квазиконечным полем вычетов |<, . Пусть характеристика ^ равна р > о . Тогда груша топологически

. где

пороздеяа символами

>1 (Mj»,--,^} 'Где

ôeW ; [i + 9-tï.. ,^,-tj,, '

0 пробегает элементы базиса Ц над tFj, и наименьшее Z , для которого не делит оя на ^ ,

не равно ни одному из чиоел j* , ... ,

Далее, о помощью обобщения спаривания Артша-Шрайера-Витта получается доказательство следующего утверждения (теорема 2.3.2 ) ••.

Пусть К - полное И- - мерное поле характеристики р > О о квазиконечным полем вычетов 1< . Тогда имеет место изоморфизм

к^рсю - 2 ® к>сюк® V^CK),

где ш,,еет топологический базис, состоящий из

символов вида ( <[ +д С- - ij, г , iyn_ ^ .где

Р пробегает элементы базиса к над и наимень-

шее V » для которого t-t не долится на р , не совпадает ни с одним из чисел , ... , J„_( .

В §4 содержится построение теории полей клаосов по методу Нойщрха-Фесенко. Доказывается существование гомоморфизма взаимности

г1/р : ы CL/F) - KU/>Cf)/Vl/f К%)

и получается взаимно-однозначное соответствие мезду конечными абелевыми расширениями поля К и норменными подгруп-памп в К^СЮ •

Глава И посвящена теореме существования, т.е. описанию норменных подгрупп группы КС ^ ) Б термш1ах основного поля К

Подгруппа Не К* называется аналитической, если она открыта и для каздого мультяиндекса X ? О существует полином ^ ( X ) в [X] ~ кольцо целых поля К)

такой, что редукция — ненулевой аддитивный поли-

ном над к и для любого имеет место включение

^х^Ь-.-с ^ и'.

Это определение не зависит от ьыбора системы ___

локальных параметров поля К . Подгруппа Н в называется аналитической, если существует аналитическая подгруппа в Н в к* такая, что

.Н'кйГСкОс'Н .

Доказывается следующее утвервдение ( теорема 3.2.1 ) .

Множество норменных подгрупп в -совпадает

о множеством аналитических подгрупп, конечного индекса.

Результаты диссертация опубликованы в следующих работах.

1. Веккер Б.М. Топологические группы Паршина полного дискретно нормированного пола конечной высоты // Тезисы докладов международной конференции по алгебра и логике. Барнаул. 1991.

2. Бегаер Е.М. Абелевн расширения полного дискретно нормированного поля конечной высоты // Алгебра и анализ. 1991. Т.З. Вып. 6. С. 76 - 84.