Абелевы расширения и топологические К-группы многомерных локальных полей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ САНКТвПЕТЕРБУРГСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

лУКОВ ИГОРЬ БОРИСОВИЧ

УДК 512.62

АБЕЛЕШ РАСШИРЕНИЯ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ К-ГРУПШ

МНОГОМЕРНЫХ ЛОКАЛЬНЫХ ПОЛЕЙ 11.

Специальность 01.01.06 -"Математическая логика, алгебра и теория чисел"

АВТОРЕФЕРАТ

» диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург - 1991

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры и теории чисел Государственного Санкт-Петербургского университета.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, профессор Востоков C.B.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук, зав. лабораторией алгебры ЛОМИ Венков Б.В.; кандидат физико-математических наук Бенуа Д.Г.

Ведущая организация - Математический институт им. В.А.Стек-лова АН СССР.

Защита диссертации состоится декабря 1991 г. в ^G часов на заседании специализированного совета К 063.57.45 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук при Государственном Санкт-Петербургском университете. Адрес совета: 198904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная пл., 2, математико-механический факультет Санкт-Петербургского университета.

Залога будет проводиться по адресу: Санкт-Петербург, наб.р. Фонтанки, 27, 3-й этаж, зал 311 /помещение ЛОМИ/.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке имени А.М.Горького Санкт-Петербургского университета.

Автореферат разослан 5" ноября 1991 г.

Ученый секретарь специализированного совета, доцент

Р.А.Шиидт

ОЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА. РАБОТЫ

Актуальность темы. Многомерные локальные поля были впервые введены и подробно изучены А.Н.Паршиным, и, независимо, К.Като в работах конца 70-х - начала 80-х годов. В частности, у А.Н.Паршина ГЬ -мерные локальные поля возникают как результат процесса пополнения П. -мерной схемы в точке . Таким образом, к необходимости изучения полей этого типа приводят определенные задачи арифметики многообразий. В то же время существование многомерной локальной теории полей классов делает такие поля незаменимым инструментом при исследовании различных видов нормированных полей с несовершенными полями вычетов.

Теория многомерных полей, в особенности разнохарактеристичес-ких, весьма далека от завершения. /Разнохарактеристическим называют поле характеристики 0 с первым полем вычетов характеристики р ./ Одним из ее центральных направлений является создание явных конструкций теории полей классов. Для куммеровых расширений эта задача была решена С.В.Восгоковым^. В некуммеровом разноха-рактеристическом случае отсутствует даае какой-либо способ явного построения абелевых расширений. Заметим, что для обычный локальных полей такую конструкцию дает теория Любина - Тэйта.

Теория полей классов связывает изучение абелевых расширений ГХ. -мерного локального поля с определением структуры топологической К-группы Паршина К^ГК . В случае характеристики 0 известно фактически только строение К^К /р>пКпРК , где р^ -порядок мультипликативного р -кручения в К • Остаются открытыми

Паршин А.Н. К арифметике двумерных схем. I. Распределения и вычеты. - Изв.АН СССР, сер.мат., 1976, т.40, с.736-773.

® Востоков C.B. Явная конструкция теории полей классов мно-

такие проблемы, как вычисление р-кручения, построение явного топологического базиса, вычисление ядер функториальных гомоморфизмов топологических К-групп.

Цель работы. Целью диссертации является:

- описание и изучение явных конструкций, задающих абелевы расширения полного поля;

- определение расширения, соответствующего подгруппе делимых элементов в группе характеров максимального абелева расширения многомерного поля;

- определение структуры максимального абелева расширения и явное вычисление К-группы Паршина в случае поля без высшего ветвления;

- получение прямого "локального" доказательства теоремы А.Н. Паршина о классификации многомерных локальных полей;

- изучение ядра гомоморфизма : для конечного расширения 1_/К .

Методы исследования. В работе используется теория Х.Мики циклических расширений в некуммеровом случае; явная формула отображения взаимности С.В.Востокова; стандартная техника разложения в степенные ряды и вычислений в топологических К-группах.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Построен явный топологический базис группы для Ги-

ыерного локального поля К без высшего ветвления. Для таких полей предложено описание максимального абелева расширения показателя р* / X - любое/. Установлено, что подгруппа делимых элементов в груП' пе характеров максимального абелева расширения многомерного поля является делимой /и определено соответствующее ей расширение/* Для абсолютно неразветвленного поля конструктивно задано его максиыаль-

гомерного локального поля. - Изв.АН СССР, сер.мат., 1985, т.49, Р2, с.283-308.

ное абелево расширение.

Получены классификационные результаты, которые приводят к новому доказательству и усилению теоремы А.Н.Паршина. Наконец, вычислено Кег 1гик при определенных ограничениях на |_/К .

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Ее результаты проясняют структуру максимального абелева расширения многомерного локального поля; служат развитию конструктивной теории полей классов, К-теории дискреэно нормированных полей.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на алгебраическом семинаре ЛОМИ - ЛГУ, на II Международной алгебраической конференции памяти А.И.Ширшова /Барнаул, 1991/, на семинаре ЛГУ "Формальные группы".

Публикации. Ло теме диссертации опубликованы 4 работы.

Объем работы. Диссертация состоит из введения и 10 параграфов, ее объем 106 страниц машинописного текста. Библиография содержит 23 наименования работ.

СОДЕШНИЕ РЖШ

§1 содержит обзор основных понятий и результатов теории многомерных локальных полей, которые принадлежат А.Н.Паршину, К.Като, С.В.Востокову, Й.Б.Шесенко.

Пусть К = , йГ" .....ГЛ Г=Рг - цепочка полей

такая, что при является полным дискретно.нормиро-

ванным полем с полем вычетов (г" ° . Тогда говорят, что на задана структура Г\_ -мерного локального поля.

Если сКагК=}> , будем говорить также, что К - типа 0. В противном случае при некотором ГП / П. /г

сАаг Г=...-сЯс,г =

Будем при этом говорить, что К - типа ГЛ. . р всюду будет обозначать характеристику последнего поля вычетов.

Пусть - простой элемент относительно дискретного нормирования в поле К= ; - единица в , класс вычетов которой является простым элементом в ; ... ; t^. - единица в ' , 4> , ... , , которая при переходе к предпоследнему полю вычетов становится простым элементом. Набор 14,. называется системой локальных параметров поля К . Ьта система определяет в К нормирование ранга п.

О- = 1г„ = (Iг11',..К — где Ц-(0)-о° , а при а * О

II О)" ~ ин ) для

1ГСМ (а4) = (О.)

Совокупность 0.« К » удовлетворяющих условию О >

образует не зависящее от выбора локальных параметров кольцо нормирования. 0К . Единственным максимальным идеалом этого кольца является

тк = {а*0к : СГСО.) > 0 }

Через (Як будем обозначать подгруппу уЧ^ с К* , где с^ -число элементов в последнем поле вычетов. Полагаем ик=0к группа единиц; V* = 1 + Ш.к - группа главных единиц; и.к (1) -

- { 1 ^ а : 1Г<а'(а)> 1 ] .

Если К - типа га % 1 . определен абсолютный индекс ветвления ек ~ . Для поля типа 0 считаем ёк = °° • Будем говорить при пг* 1 , что 1./К полуразветвленное, если = _ ^са га.) ,, л > ^ , "ЗС-разветвленное, если [С1 К] =

Далее, в §1 вводится топология п.-мерного локального поля, которая отличается от обычной топологии, определенной дискретным нормированием, и учитывает топологию полей вычетов. Проверяется ряд утверждений, связанных с разложением в степенные ряды. Определяется также т.н. мультипликативная топология на К* .

Пусть д Ъ- 1 ; К - £ -я группа Милнора поля К . В качестве топологии на К? К .возьмем сильнейшую, для которой выполняются следующие 2 условия.

1. Каноническое отображение (К*)^ —* секвенциально непрерывно .

2. Если сс, -—ос , у.у в К]*К , то .

Обозначим через Л) К пересечение всех окрестностей нуля в К^К и определим топологическую К-группу

кьрк 4' к; К/А; К

В К^К определены подгруппы Ц-К^К , УК^К , 11(1)К^К , которые порождаются символами {сц, а»,..., с^- \ , а»,..., а^ « К* , а1 лежит соответственно в Ц.к » V« • 11^(1) . Имеем

.....• икГк

ак> ............чл-и?«

В частности,

С К = z{tt.....M®11K^K;

UKtpK = .©ftK-tt,.....eVK^

Далее приводятся некоторые результаты теории полей классов. Так, отображение взаимности представляет собой непрерывный гомоморфизм

6к- С'К --Ga£(K°VK),

который для конечного абелева расширения L/K дает изоморфизм

eL/, •• К*р к/Nl/k KaPL GaE (L/K)

В §2 излагаются результаты Мики о связи между циклическими р -расширениями поля и подгруппами норм из его круговых р -расширений, а также доказывается некоторые их следствия и приводятся переформулировки на языке характеров.

§3 посвящен расширением показателя р . Соответствующие результаты были получены совместно с С.В.Востоковш в С 2 3 .

В §4 излагается теория ветвления циклических расширений степе-Ш1 р , а такге приводится новое доказательство /без использования теории полей классов/ неравенства Хиодо

cLO/l) * min. ((f>-1+ р ) dK(L/K)} ^ёк + ^^а/Ю),

где И/К - циклическое расширение степени р8" многомерных полей,

- пробегу точное поле, <L(l/k) и c!k(m/L) - глубина ветвления^ L/K л M/l соответственно.

35 Hyodo, Q. Wild ramificai'mn. in tk.e imperfect residue field case. - Adv. studies irx f>u.re maiA., pp. 287-51^.

§5 содержит доказательство классификационных результатов. Введем одно обозначение.

Пусть Г - полное дискретно нормированное поле. Через ПН}} обозначается совокупность формальных рядов £ сД1 , где С-; е Р , причем:

1. существует П.0 , т.ч. ц: (с^ 3> Л.0 для всех С ;

2. (Сг) .

Показатель в вводится формулой 1г(.Е Сс"Ь') =

I--о©

= гасг\ (ГгСс-Л . Легко видеть, что Г ИД % - поле, полное отно-

V

сительно показателя О" , с полем вычетов Р СС ^ ))

Пусть К - П,-мерное локальное поле типа ГЛ. . Классификационная теорема А.Н.Паршина^ утверждает, что при т_= О К имеет ввд ВчШ) ... (иЛ , при пг = п. ,

а при п.-1 К является конечным распшрением стандартного

поля к-ии -.. {{и.*» «-и.^))...((г.)) . /Здесь -числовое локальное поле./ Кроме того, у К есть конечное расширение, изоморфное некоторому стандартному полю.

В диссертации предлагается новое доказательство этой теореш,

позволяющее уточнить некоторые ее утверждения, а именно, конкрети-

5)

пировать тип упомянутых конечных расширений. Известно , что если ~г - полное дискретно нормированное поле, с^дг Р =сЯаг Р , то ~ ~ р (()) . Поэтому случаи т.-О и пг=ГУ, являются тривиальными. Расширение г\.-мерных локальных полей характеристики 0 назовем константным, если оно получается присоединением элементов, алгебраических над .

Паршин А.Н. £белевы накрытия арифметических схем. - ДАН

СССР, 1978, т.243, Г4, с.855-858.

Вурбаки Н. Коммутативная алгебра. М., "Мир", 1971. С.527.

Предложение 5.2. Пусть К - типа ты ; Ь^..., Ьп. - локальные параметры; (к - алгебраическое замыкание 0р в К . Тогда &еК0сК , К/К0 - конечное Ж -разветвленное расширение, и есть изоморфизм г\. -мерных полей

* •• &{IX}}... {{Т.-Л ((Тп-^г))...С(ТО) Ко ,

где ; , ] = 1,..., п^дгТГ.....а .

Теорема 5.1. Пусть К - произвольное многомерное поле, сК.аг К = 0 . Тогда найдется константное расширение К'/К такое, что К' - стандартное.

Теорема 5.2. Предположим, что К является нормальным конечным расширением некоторого стандартного поля. Тогда существует конечное полуразветвленное расширение 1_/К и натуральное число с такие, что - стандартное поле.

Классификационная теорема следует из предложения 5.2 и любой из теорем 5.1, 5.2.

Шестой параграф содержит технические результаты, относящиеся к подгруппам норм из круговых расширений. Из этих результатов, в частности, вытекает, что для любого многомерного поля К характеристики 0 подгруппа делимых элементов в группе характеров ХСК^/К") является делимой группой. Это означает, что если "Ж/рЖ -расширение 1/К продолжается до 2Г/р1 Ж -расширения при любом I , то ода продолжается и до -расширения и, в силу теории Мики, лежит в композите константного и полуразветвленного расширений.

В §7 определяется структура максимального абелева расширения показателя рг гг-мерного локального поля К типа га>1 при е<а-т.1Ч>^ и ^ / X - любое/. Для этого же класса полей изучается \/Кр°рК . Общий случай легко сводится к случаю гп = 1 .

Кроме того, ручное отображение д отождествляет

, структура которой хорошо из-

¿A

вестна .

"top

Для (_L(i) Кг\ К в диссертации построен явный топологический базис /теорема 7.2/. Следствием этой теоремы является равенство тА U(i) К^ К/Тк — Qp 1 > гДе Тк " замыкание кручения в U.(i)Ka°PK , й. - алгебраическое замыкание 0р в К .В общем случае / без предположения l"v*t>'<' р> / проверено, что

tAU(Í)KÍ?K/Tk ъ .

В §8 осуществляется построение максимального абелева расширения показателя р^ полного абсолютно неразветвленного поля К .

Пусть п.^1 . Выберем для подмножество Ai <= Ок

таким образом, что {5 = представляет собой IF^ -базис

Kftl/Kp при и Dy, -базис Кр при ?.=■ П. . Обозна-

чим через Кi^/K. («.« Al) любое циклическое расширение степени рг , содержащее сс , где сср-гс =-fT'oC . Тогда Ко6,р /К есть композит линейно разделенных расширений Kj_«/K. / ; ы.

пробегает Ац / и Klíi^/K •

Далее решается задача построения расширений Kt,«./K в предположении . Показатель 1Г поля продолжим на кольцо многочленов Qp 1 :

иг( ¿ = n\ia

и, очевидным образом на поле Qf. Через обозначим кольцо целых пополнения этого поля. Основная трудность состоит в проверке следующего предложения.

^ Паршин А.Н. Локальная теория полей классов. - Труды МИАН, 1984, т.165, с.143-170. §3, следствие аз предложения 5.

Предложение 8.4. Существуют = OB) 6 , L е 2 , и ki^RiCE^e Оъ , 1^0 , такие, что:

1. s i rnod pOn , ge = 0 «oj рО» при i * О .

2. Ro s 'ib mod p>ÜD .

3. и-(л) »-l + t+ при ií - i .

4. Пусть = X gt XP , R(X,£>) =

М<Ь) YUp'M+i . Тогда

(р1к(9(х),ъ) = ^^X^RCCpDoX,

где <G0 - группа Любина - ТЬйта, соответствующая Гр]„ (X) — рУ+Х'*.

Будем обозначать через S(X) = ряд, обратный к R(X) относительно композиции. Пусть ые Aj Можно считать ы- dp , где ole Цк . Выберем в Kse^ элементы » ••• i которые удовлетворяют следующим уравнениям:

Предложение 8.5. K(ye>d) является циклическим расширением К степени р? и содержит корень многочлена Хр-Х + р~ dp

В §9 рассматриваются иные способы построения абелевых расширений с малой глубиной ветвления. Эти результаты получены совместно с С.В.Востоковым. Так, любое абелево расширение К степени р*" , глубина ветвления которого меньше - "LC^1 > может быть получено делением р -вектора Витта длины 2 на оператор Картье. Далее, полуразветвленные абелевы расширения двумерного поля К получаются присоединением ядра изогении некоторой формальной группы над

Ок i редукция которой является группой Любина - ТЬйта, Определенной над кольцом целых поля вычетов. В терминах автоморфизмов этой формальной группы легко описывается гомоморфизм взаимности для по-

луразветвленных расширений.

Результаты §6 используются также в §10 при определении ядра гомоморфизма топологических К-групп, индуцированного вложением полей. Одна из трудностей при построении многомерной локальной теории полей классов в характеристике 0 связана с тем, что для расширения 1_/К естественный гомоморфизм 1т>и/к = К^ К —*• > вообще говоря, не инъективен. В диссертации вычисляется Кег I* при определенных ограничениях на 1../К . Приведем соответствующие формулировки.

Теорема ЮЛ. Пусть уК , [-/К - круговое р-расширение. Тогда 1г>1./к инъективен.

Теорема 10.2. Пусть 1_/К - конечное расширение; к /соответственно t / - замыкание 0Р в К /соответственно в 1_ /. Пусть р* - максимальная степень р , делящая Обозначим через в натуральное число такое, что р5 аннулирует группу Галуа максимального абелева подрасширения в ^Рр») /К(/чр°.) и я • Предположим, что К . Тогда

Хег 1г,ц/к = ф

где с^ - число элементов в последнем поле вычетов К , А - подгруппа К' » состоящая из всех а таких, что ;

- подгруппа К* > соответствующая по теории Куммера /показателя о* / максимальному абелеву р -подрасширению в 1-/К « с - любой элемент , не являющийся нормой из ( 3 р^ ) , где & л/^Т^р' •

РВБОШ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Востоков C.B., Жуков И.Б. Абелевн полуразветвленные расширения двумерного локального поля. - В кн.: Кольца и модули. Предельные теоремы теории вероятностей. Вып.2. Л., изд-во ЛГУ, 1988. С.39-50.

2. Востоков C.B., Куков И.В., Фесенко И.Б. К теории многомерных локальных полей. Методы и конструкции. - Алгебра и анализ, 1990, т.2, Р4, с.91-118.

3. Жуков И.Б. Об абелевых р-расширениях абсолютно неразветвленного поля. - Зап.науч.семинаров ЛОМИ, 1991, т.191, с.80-90.

4. Жуков И.Б. Построение абелевых р-расширений абсолютно неразветвленного полного поля. - В кн.: Международная конференция по алгебре, посвященная памяти А.И.Ширшова, Барнаул, 20-25 августа 1991 г. Тезисы докладов по алгебраической геометрии и применениям алгебры к геометрии, анализу и теоретической физике. Новосибирск, ин-т математики СО АН СССР, 1991. С.55.

-"Подписано к печати 15.10.91г. Фермат 60v90/I6. Уч.-изд.л. 0,7. Тираж 100 экз. Бесплатно. Зак.656 18.10.91г. Отпечатано в ШЮОк.