Абелевые расширения и топологические К-группы многомерных локальных полей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

' >. 3 * г 9:«.

гес^ДАРСТВЕННШ^АНКТйПЕТЕРБУРГСШ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ЗпУКОВ ИГОРЬ БОРИСОВИЧ

УДК 512.62

АБЕЛЕШ РАСШИРЕНИЯ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ К-ГРЖШ МНОГОМЕРНЫХ ЛОКАЛЬНЫХ ПОЛЕЙ

Специальность 01.01.06 -"математическая логика, алгебра и теория чисел"

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург - 1991

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры и теории чисел Государственного Санкт-Петербургского университета.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, профессор Всстоков C.B.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук, зав. лабораторией алгебры ЛОМИ Венков Б.Б.; кандидат физико-математических наук Бенуа Д.Г.

Ведущая организация - Математический институт им. В.А.Стек-лова АН СССР.

Защита диссертации состоится L\ декабря 199I г. в часов на заседании специализированного совета К 063.57.45 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук при Государственном Санкт-Петербургском университете. Адрес совета: 198904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная пл., 2, математико-механический факультет Санкт-Петербургского университета.

Защита будет проводиться по адресу: Санкт-Петербург, наб.р. Фонтанки, 27, 3-й этаж, зал 311 /помещение ЛОМИ/.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке имени А.М.Горького Санкт-Петербургского университета.

Автореферат разослан S ноября 1991 г.

Ученый секретарь специализированного совета, доцент

Р. ¿..Шмидт

, е.; , ОБЩАЯ ХАРАКГЕРИСВШ РАБ01Ы

Актуальность темы. Многомерные локальные поля были впервые

введены и подробно изучены А.Я.Паршиным, и, независимо, К.Като в

работах конца 70-х - начала 80-х годов. В частности, у А.Н.Паршина

П— -мерные локальные поля возникают как результат процесса попол-

Т»

нения п. -мерной схемы в точке . Таким образом, к необходимости изучения полей этого типа приводят определенные задачи арифметики многообразий. В то же время существование многомерной локальной ■ теории полей классов делает такие поля незаменимым инструментом при исследовании различных видов нормированных полей с несовершенными полями вычетов.

Теория многомерных полей, в особенности разнохарактеристичес-ких, весьма далека от завершения. /Разнохарактеристическим называют поле характеристики 0 с первым полем вычетов характеристики р> ./ Одним из ее центральных направлений является создание явных конструкций теории полей классов. Для куммеровых расширений эта задача была решена С.В.Востоковым^. В некуммеровом разноха-рактеристическом случае отсутствует даже какой-либо способ явного построения абелевых расширений. Заметим, что для обычный локальных полей такую конструкцию дает теория Любина - Тэйта.

Теория полей классов связывает изучение абелевых расширений П. -мерного локального поля с определением структуры топологической К-группы Паршина KÎ? К . В случае характеристики 0 известно фактически только строение /р^Кп^К , где р™" -порядок мультипликативного р -кручения в К . Остаются открытыми

^ Паршин А.Н. К арифметике двумерных схем. I. Распределения и вычеты. - Изв.АН СССР, сер.маг., 1976, т.40, с.736-773.

Востоков C.B. Явная конструкция теории полей классов мно-

такие проблемы, как вычисление р-кручения, построение явного топологического базиса, вычисление ядер гоункториальных гомоморфизмов топологических К-групп.

Дель работа. Целью диссертации является:

- описавие и изучение явных конструкций, задающих абелевы расширения полного поля;

- определение расширения, соответствующего подгруппе делимых элементов в группе характеров максимального абелева расширения многомерного поля;

- определение структуры максимального абелева расширения и явное вычисление К-группы Паршна в случае поля без высшего ветвление

- получение пряного "локального" доказательства теоремы А.Н. Паршина о классификации многомерных локальных полей;

- изучение ядра гомоморфизма 1а>(./к : К-*' к!°Г[_, для конечного расширения Ц/К .

Методы исследования. В работе используется теория Х.Мики циклических расширений в некумыеровом случае; явная формула отображения взаимности С.В.Востокова; стандартная техника разложения в степенные ряды и вычислений в топологических К-группах.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Построен явный топологический базис группы КЛ К для П,-ыерного локального поля К без высшего ветвления. Для таких полей предложено описание максимального абелева расширения показателя р1 /а - любое/. Установлено, что подгруппа делимых элементов в грут пе характеров максимального абелева расширения многомерного поля является делимой /и определено соответствующее ей расширение/« Для абсолютно веразветвлешого поля конструктивно задано его максималь-

гомерного лональнсго поля. - Изв.АН СССР, сер.мат., 1985, т.49, №2 с.283-308.

ное абелево расширение.

Получены классификационные результаты, которые приводят к новому доказательству и усилению теоремы А.Н.Паршина. Наконец, вычислено Кег ц>1Ж при определенных ограничениях на 1_/К .

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Ее результаты проясняют структуру максимального абелева расширения шогомерного локального поля; служат развитию конструктивной теории полей классов, К-теории дискрезно нормированных полей.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на алгебраическом семинаре ЛОМИ-ЛГУ, на II Международной алгебраической конференции памяти А.К.Ширшова /Барнаул, 1991/, на семинаре ЛГУ "Формальные группы".

Публикации. По теме диссертации опублинрваны 4 работы.

Объем работы. Диссертация состоит из введения и 10 параграфов, ее объем 106 страниц машинописного текста. Библиография содержит 23 наименования работ.

СОДЕРЖАНИЕ РАВОШ

§1 содержит обзор основных понятий и результатов теории многомерных локальных полей, которые принадлежат А.Н.Паршину, К.Като, С.В.Востокову, И.Б.Фесенко.

Пусть , &_С<Х"1' .... , Г, - цепочка полей

такая, что при является полным дискретно.нормиро-

ванным полем с полем вычетов ° . Тогда говорят, что на задана структура Г\_ -мерного локального поля.

Если сКаг К= |> , будем говорить также, что К - типа 0. В противном случае при некотором ГП / /:

<Ааг <Г «..." сКаг = О,

Будем при этом говорить, что К - типа ПЛ. . р всюду будет обозначать характеристику последнего поля вычетов.

Пусть ^ - простой элемент относительно дискретного нормирования в поле К= А* ; - единица в , класс вычетов

которой является простым элементом в ; ... ; - единица

О пСл-1) о сг.)

в к. , г%_ , ... , , которая при переходе к предпослед-

нему полю вычетов становится простым элементом. .Набор

называется системой локальных параметров поля К . Ьта система определяет в К нормирование ранга п.

- ъ = с^.-.О-' К

где 0"(0)=о° , а при а * О

U-'V)«^, для i« i< /I;

= Uj^, (Cl)

Совокупность а«К » удовлетворяющих условию Сг(й)5 О > образует не зависящее от выбора локальных параметров кольцо нормирования. 0К . Единственнш максимальным идеалом этого кольца является

тк = {а(Г(<Х)> о }

Через (R.K будем обозначать подгруппу ju^ с К* , где q, -число элементов в последнем поле вычетов. Полагаем 11^ = 0* группа единиц; VK = 1 + Ш.к - группа главных единиц; ^(l) =

~ { 1 + О. •' 17сл'(а)»1} .

Если К - типа т ^ 1 , определен абсолютный индекс ветвления ёк = йк Ср ^ • Для поля типа 0 считаем ёк - »=> . Будем говорить при т> 1 , что 1./К полуразветвленное, если [1.'К!] = _ ^(^т.) . . ^-разветвленное, если (Х:К] =

_J-gCil-m.ni, #

Далее, в §1 вводится топология ГЬ-мерного локального поля, которая отличается от обычной топологии, определенной дискретным нормированием, и учитывает топологию полей вычетов. Проверяется ряд утверждений, связанных с разложением в степенные ряды. Определяется также т.н. мультипликативная топология на К* .

Пусть ^ ^ 1 ; ^ К - ^ -я группа Милнора поля К . В качестве топологии на К^К возьмем сильнейшую, для которой выполняются следующие 2 условия.

1. Каноническое отображение (К*К*К секвенциально непрерывно .

2. Если —эс. , у!-«-^ в К"К , то зс^^ —- + £ • Обозначим через А^ К пересечение всех окрестностей нуля в

К^К и определим топологическую К-группу

кГК = КГК/А^К

В К^К определены подгруппы ЧК^К , УК^К

V

U(i)K^K , которые порождаются символа!® {ai, Q»,..., i

Ola,..., € К i Q-t лежит соответственно в U.« , V« U.^ (i) • Имеем

К^К =,..®1=.......„ ZíW,4¡=> UK>;

UK> .....ч.>«и?к

В частности,

К? К = Z{-L.....-UWlLK^K;

Далее приводятся некоторые результаты теории полей классов. Так, отображение взаимности представляет собой непрерывный гомоморфизм

Вк: К^К -Gat (K°Vk) ,

который для конечного абелева расширения L/K дает изоморфизм

0L,K • K^K/NukK^L — GaaCL/K)

В §2 излагаются результаты Мики о связи между циклическими р -расширениями поля и подгруппами норы из его круговых р -расширений, а также доказываются некоторые их следствия и приводятся переформулировки на языке характеров.

§3 посвящен расширением показателя р . Соответствующие результаты были получены совместно с С.В.Бостоновым в С2 3 .

В §4 налагается теория ветвления циклических расширений степени р , а также приводится новое доказательство /без использования теории полей классов/ неравенства Хиодо

¿U(M/L)» + ^ёк + рЗкО/Ю),

где М/К - циклическое расширение степени р8- многомерных полей, L - промежуточное поле, 3k(l/k) и cU(m/L) - глубина ветвления^ L/K и M/l соответственно.

Hyodo, 0. Wild ramification, in tKe imperfect residue field case. - Adv. studies in f>ure matPu, аШ7), pp. 2S7-514.

§5 содержит доказательство классификационных результатов. Введем одно обозначение.

Пусть Р - полное дискретно нормированное поле. Через П^}}

во I

обозначается совокупность формальных рядов .51 с^ , где С-1 е Р , причем:

1. существует а„ , т.ч. 1ГГ (с{) > а0 для всех I ;

2. о-рСО г^?-«' .

Показатель в вводится формулой и"(.|Г с^1) =

~ гпЛг\ ^(сО . Легко видеть, что Р^Л^Т - поле, полное отно-

V

сительно показателя О" , с полем вычетов Р СС "Ь))

Пусть К - П,-мерное локальное поле типа ГП, . Классификационная теорема А.Н.Паршина® утвервдает, что при т_= О К имеет ввд ... (С^)) , при гл. — г\. ,

а при 1« пх. ■« а-1 К является конечным расширением стандартного поля -ий ... {{» ((±))...(("Ь Л . /Здесь 6. -

числовое локальное поле./ Кроме того, у К есть конечное расширение, изоморфное некоторому стандартному полю.

В диссертации предлагается новое доказательство этой теоремы, позволяющее уточнить некоторые ее утверждения, а именно, конкретизировать тип упомянутых конечных расширений. Известно^ , что если Р - полное дискретно нормированное поле, сКаг Р - сЯаг Р 1 то р ~ Р((!.)) • Поэтому случаи т.= 0 и Г71=1\. являются тривиальными. Расширение п.-мерных локальных полей характеристики 0 назовем константным, если оно получается присоединением элементов, алгебраических над &р .

Паршин А.Н.. Абелевы накрытия арифметических- схем. - ДАН

СССР, 1978, т.243, Р4, с.855-858.

5) Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. М., "Мир", 1971. С.527.

Предложение 5.2. Пусть К - типа ; ti,..., tn, - ло-

кальные параметры; к. - алгебраическое замыкание Qp в К .Тогда &сК0сК , К/К0 - конечное 5Г -разветвленное расширение, и есть изоморфизм п. -мерных полей

•f •• i {IT,}}... {{Г.. Л ))... ((Тк)) —- Ко ,

где f= Cd ; fCl})=ti , /-<,..., rvMnTi,....а .

Теорема 5.1. Пусть К - произвольное многомерное поле, cfiar К = 0 • Тогда найдется константное расширение К'/К такое, что К' - стандартное.

Теорема 5.2. Предположим, что К является нормальным конечным расширением некоторого стандартного поля. Тогда существует конечное полуразветвленное расширение L/K и натуральное число с такие, что L(\) - стандартное поле.

Классификационная теорема следует из предложения 5.2 и любой из теорем 5.1, 5.2.

Шестой параграф содержит технические результаты, относящиеся к подгруппам норм из круговых расширений. Из этих результатов, в частности, вытекает, что для любого многомерного поля К характеристики 0 подгруппа делимых элементов в группе характеров Х(КЧ7Ю является делимой группой. Это означает, что если "Ж/^>Ж -расширение L/K продолжается до Ж/рЖ -расширения при любом I , то онБ продолжается и до ^-расширения и, в силу теории Мики, лежит в композите константного и полуразветвленного расширений.

В §7 определяется структура максимального абелева расширения показателя р1 rv-мерного локального поля К типа 1 при е<а-ггч-м^ р и £ / х - любое/. Для этого же класса полей изучается VKr^K • Общий случай легко сводится к случаю m= L .

Кроме того, ручное отображение д отождествляет УК^ К/и(1 Ж? К. с К , структура которой хорошо из-

вестна® .

Для и.(1)К!х/ К в диссертации построен явный топологический базис /теорема 7.2/. Следствием этой теоремы является равенство

1& иаж^к/тк - сб.* 0Р1

, где "Г^ - замыкание кручения в Ц-(1-) К , - алгебраическое замыкание 0р в К . В общем случае / без предположения е" ^р / проверено, что тЛ Ц(0К^К/ТК [б.: Ор1 .

В §8 осуществляется построение максимального абелева расширения показателя р11" полного абсолютно неразветвленного поля К. .

Пусть а.^1 . иыберем для подмножество А1 с Ок

таким образом, что = осе Аь^ представляет собой -базис Кр /Кр при П.-1 и Гр -базис Кр при I- ~ П . Обозначим через К^/К («еА[.) любое циклическое расширение степени ре , содержащее а: , где гс.р - эс =-рГ V . Тогда /К есть

композит линейно разделенных расширений Ке.«/К / 1« Е. % п. ; ы. пробегает Ац / и .

Далее решается задача построения расширений К^/К в предположении . Показатель 1Г поля продолжим на кольцо многочленов (ОрГ&З :

и

( £ а^1) = шСа 1Г(а;)

и, очевидным образом на поле ©¡.("ВО . Через СТ<а обозначим кольцо целых пополнения этого поля. Основная трудность состоит в проверке следующего предложения.

^ Паршин А.Н. Локальная теория полей классов. - Труды МЙАН, 1984, т.165, с.143-170. §3, следствие пз предложения 5.

Предложение 8.4. Существуют ^ = е , UZ , и

- R; Св) £ О*, , i.%-0 , такие, что:

1. mod f>ö0 , gt = 0 wed РOd при i. * О .

2. = пЫрСГ^ .

3. [2^3 j при _

4. Пусть «i , R(X,£>)« = l£ftíCB)XUp"l)+1 . Тогда

<lW\ (р1Щ(х),Ь) = 3(X\R(WX,Bp));

где Go " группа Любина - ТЬйта, соответствующая [р]0 Ш« рХ+ХР .

Будем обозначать через SOO = sex,©) = t ряд, обратный к- R(X) относительно композиции. Пусть <*eAt Можно считать at - cLp , где ele UK . Выберем в KsefS элементы ljt , ... , yt~ А , которые удовлетворяют следующим уравнениям:

íf-^-^g&Cd^.p1

Предложение 8.5. K(yed) является циклическим расширением К степени р>е и содержит корень многочлена Xf~X4~ р" dp

В §9 рассматриваются иные способы построения абелевых расширений с малой глубиной ветвления. Эти результаты получены совместно с С.В.Востоковым. Так, любое абелено расширение К степени рх , глубина ветвления которого меньше е.к , может быть полу-

чено делением р -вектора Витта длины 2 на оператор Картье. Далее, полуразветвленнне абелевы расширения двумерного поля К получаются присоединением ядра изогении некоторой ¿формальной группы над

QK , редукция которой является группой Любина - ТЬйта, определенной над кольцом целых поля вычетов. В терминах автоморфизмов этой формальной группы легко описывается гомоморфизм взаимности для по-

луразветвленных расширений.

Результаты §6 используются также в §10 при определении ядра гомоморфизма топологических К-групп, индуцированного вложением полей. Одна из трудностей при построении многомерной локальной теории полей классов в характеристике 0 связана с тем, что для расширения 1./К естественный гомоморфизм «-(п,^* : К^ К —* К^Ь , вообще говоря, не иньективен. В диссертации вычисляется Кег I», ц/к при определенных ограничениях на 1_/К . Приведем соответствующие форыулировки.

Теорема 10.1. Пусть уК , - круговое р-расшире-

ние. Тогда с^/к иньективен.

Теорема 10.2. Пусть 1_/К - конечное расширение; к /соответственно / - замыкание 0Р в К /соответственно в /. Пусть р* - максимальная степень р , делящая : &

Обозначим через Б натуральное число такое, что р5 аннулирует группу Галуа максимального абелева подрасширения в /К(уур«)

и д . Предположим, что У^6 К . Тогда

Хег ¿г,и/к = ф

где я - число элементов в последнем поле вычетов К. , А - подгруппа К* » состоящая из всех а. таких, что ¡Л.(оЛ; с^-1 ;

- подгруппа К.* I соответствующая по теории Куммера /показателя р31 / максимальному абелеву р -подрасширению в ¡-/К « с - любой элемент , не являющийся нормой из С "5 ) , где •

РЙБОШ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Воетоков C.B., Куков И.Б. Абелевы полуразветвленные расширения двумерного локального поля. - В кн.: Кольца и модули. Предельные теоремы теории вероятностей. Вып.2. Л., изд-во ЛГУ, 1988. С.39-

50.

2. Воетоков C.B., Шуков И.Б., Фесенко И.Б. К теории многомерных локальных полей. Методы и конструкции. - Алгебра и анализ, 1990, т.2, N41, с.91-118.

3. Жуков И.Б. Об абелевых р-раепшрениях абсолютно неразветвленного поля. - Зап.науч.семинаров ЛОМИ, 1991, т.191, с.80-90.

4. Жуков И.Б. Построение абелевых р-расширений абсолютно неразветвленного полного поля. - В кн.: Международная конференция по алгебре, посвященная памяти А.И.Ширшова, Барнаул, 20-25 августа 1991 г. Тезисы докладов по алгебраической геометрии и применениям алгебры к геометрии, анализу и теоретической физике. Новосибирск, ин-т математики СО АН СССР, 1991. С.55.

Подписано к печати 15.10.91г. Фермат 60*90/16. Уч.-изд.л. 0,7. Тирак 100 чкз. Бесплетнс. Зак.656 18.10.91г. Отгечатанс в НИИЯФА.