Модули Галуа, связанные с мультипликативной группой многомерного локального поля тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РГ6 ОД УНИВЕРСИТЕТ

- 1 ЯНВ 1996 На правах рукописи

Андрианов Юрий Александрович

Модули Галуа, связанные с мультипликативной группой многомерного локального поля

Специальность 01.01.06 — • '' Математическая логика., алгебра и теория чисел"'

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург — 1995

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры и теории чисел Санкт-Петербургского Государственного Университета.

Научный руководитель — доктор физико-математических наук,

профессор Боревич З.И.

Официальные оппоненты — доктор физико-математических наук, доцент Скопин А.И.;

кандидат физико-математических наук Беккер В.М.

. Ведущая организация — Московский Государственный Университет.

Защита диссертации состоится января 1996 г.

в ^(у часов иа заседании диссертационного совета К 063.57.45 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском Государственном Университете (адрес совета : 198904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная пл., 2, математико-механический факультет Санкт-Петербургского Государственного Университета).

Защита будет проводиться по адресу : Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, 27, 3-й этаж, зал 311 /помещение ЛОМИ/.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке имени A.M. Горького Санкт-Петербургского Университета.

Автореферат разослан декабря 1995 г.

Ученый секретарь диссертационного'

совета, доцент P.A. Шшидт

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. Теория полей классов многомерных локальных полей была построена в работах А.Н. Паршина и К. Кат о в конце 70-ых годов. Эта теория использует аппарат алгебраической Д'-теории и позволяет описывать абелевы расширения п-мерного локального поля К в терминах подгрупп топологической /¡"-группы Паршина К'пор(К).

Изучению структуры группы К„Р{К) посвящены работы А.Н." Паршина, К. Като, C.B. Востокова, И.Б. Фесенко, И.Б. Жукова. Важной является задача описания группы К'пор(К) как модуля с операторами из группы Галуа (см., например, А.Н. Паршин "Кого-мологии Галуа. и группа Бауэра локальных полей", Труды математического института им. В.А. Стеклова, т. 183, стр. 159-169,, 1990 г.). Тем не менее полностью эта задача не решена.

Цель диссертации. Целью диссертации является :

1) описание модуля главных единиц неразветвленного расширения многомерного локального поля простой характеристики;

2) для n-мерных локальных полей L характеристики р > 0, р ф 2, являющихся р-расширениеи Галуа локального поля

— описание /»-пополнения группы K*°P(L) как модуля Галуа;

— описание р-пополнения модуля VI(^r{L) как модуля Галуа (обозначения см. ниже).

3) для одномерных локальных полей L характеристики нуль (то есть конечных расширений поля р-адических чисел), не содержащих нетривиальных корней степени из единицы

— описание /»-пополнения группы L* как модуля Галуа;

— описание модуля главных единиц поля L.

Методы исследования. В работе используется метод З.И. Боре-вича исследования модуля главных единиц ^-расширения локального поля, техника теории жогомологий, вычисления в т«»«логических А'-группах. '

Научная новизна. Изучено строение модуля главных единиц неразветвленного расширения многомерного локального поля простой характеристики как модуля Га туа.

Получено описание р-пополнения топологической ^-группы многомерного локального поля Ь простой характеристики (для случая р-расширений). Для абелевых ^расширений полей этого типа изучено строение р-пополнения группы УК^ор(Ь) как модуля Галуа.

Лля произвольных конечных расширений Галуа одномерных локальных полей (конечных расширений поля р-адических чисел), не содержащих корней степени р из единицы, р ф 2, получено описание р-п^полнения их мультипликативной группы и группы главных единиц как модулей Галуа.

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер.' Ее результаты дополняют известные ранее сведения о структуре группы Галуа максимального абелева р-расширения многомерного локального поля положительной характеристики.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре ЛГУ "Формальные группы" (1992 г.), на XVI всесоюзной алгебраической конференции (Ленинград 1981 г.), на международной конференции по алгебре (Барнаул 1991 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликованы 4 работы.

Объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и семи параграфов. Общий объем работы — 87 страниц. Библиография содержит 39 наименований работ.

Содержание работы.

Глава I состоит из четырех параграфов и посвящена многомерным локальным полям простой характеристики.

В §1 содержатся основные определения и результаты теории, подробно изложенные в статьях А.Н. Паршина, К. Като, С.В Восто-кова, И.Б. Жукова, И.Б. Фесенко, В.Г. Ломадзе.

Поле К называется п-мерным локальным полем, если существует цепочка полей

причем № при 1 < i < п является полним дискретно нормированным полем с полем вычетов а к^ = Fq — конечное поле из q — р!° элементов.

Пусть tn — простой элемент относительно дискретного нормирования l/fc(„) поля Обозначим <п_1 единиду поля К, которая в поле является простым элементом относительно дискретного нормирования "¿.(»-о ноля Двигаясь дальше слева на-прво по указанной цепочке полей, аналогично выбираем единицу t¡ (1 < t < п) поля К, соответствующие классы вычетов которой являются единицами в fe^"-1*, • • • но при переходе к полю вычетов fc(') становится простым элементом поля Полученный набор 'ni 'n-ti"' •, 'i называется системой локальных параметров поля К. Система локальных параметров поля К определяет нормирование йК ранга п поля ÜT. . •

«К = (»*,— ,»4) : K'-+Zx---xZ = Z", которое задается формулой

гд<и>п(а;)~ i/kM(x),

,/„_!(*) = ^..„(Гс^), • ••, =

и черта над элементом означает, что берется соответствующий класс вычетов.

На группе Zn вводим лексикографическое упорядочивание, считая (¿i,--- ,tn) < (ji,• • • ,j'„), если для наибольшего индекса з, для которого i» ф j„ имеем «л < j,. •

Совокупность всех элементов х 6 -К"*, удовлетворяющих условию Рк(®) > (0,0, ••• • ,0), образует кольцо нормирования Or-. Оно не зависит от выбора системы локальных параметров поля К. Единственным максимальным идеалом кольца О к является

:тк = {хеок |рк(*) >(о,о,-,о)}.

Через Е1 и Ек обозначим подгруппы в К*, определяемые равенствами

Ех = {1 + г | 1/„ух) >1,х е К] Ек — О'к

Мультипликативная группа К' н-мерного локального поля К рас-кладыгается в прямое произведение

К" - {*„} х • • • х {<1} х ц х Ук

п экземпляров бесконечных циклических групп {!«},- • • , {<1} с образующими <„,-• • ,¿1 соответственно, группы ¡1 всех корней из единицы степени, взаимно простой с р, и подгруппы Ук = 1 + ЯЛ*-, которую мы будем называть подгруппой главных единиц.

На аддитивной группе К+ »-мерного локального поля вводится топология, соответствующая нормированию ранга п. На мультипликативной группе К* вводится топология прямого произведения дискретной топологии на {<„} х • •• х {¿1} х (л и индуцированной из топологии в Ук.

Пусть локальное поле Ь является конечным расширением п-мер-ного локального поля К. Расширение Ь/К называется неразпет-вленный, если его степень равна степени расширения последних полей вычетов полей Ь и К. Расширение Ь(К называется вполне разветвленным, если степень расширения последних полей вычетов равна единице. В произвольной расширении Ь/К существует единственное максимальное неразветвленное расширение ¿о поля К, содержащееся в Ь. При атом расширение Ь/Ьо вполне разветвлено. Если, кроме того, Ь/К есть расширение Галуа с группой б, то поле ¿о является неподвижным полем группы

Со = {д Е С I х" - х е ши для всех х € Группа <?о называется группой инерции расширения Ь/К.

Обозначим Кт{К) — т-ую К-групау Милнора я-мерного локального поля К. Наделим группу Кт{К) сильнейшей топологией, удовлетворяющей условиям :

1) каноническое отображение К' х • • - у. К'—> Кт(К) непрерывно по каждому аргументу,

2) если —» х, у; —» у, то —* ху и х,"1- —» ж"*1.

Пусть Лт(Л") — пересечение всех окрестностей единицы в Кт(К). Обозначим топологическую К-группу

К%*(К) = Кт(К)/Ат(К)

Предложение (А.Н. Паршин) Пусть К — локальное поле размерность п г» ■ • ,<п — система локальных параметров, х € К1^Х(К), т > 0. Тогда х является произведением символов вида :

^ {*1И — >*•«,+,}> 'г < ••• <

2) {«,*„,••• ,Ьт}, абГ,% ц <••• <гт;

3) П •■• П ,<,„}, <■■-<«„,

а„>Д„ а|>Д1(аз,— ,о„)

где индексы удовлетворяют следующим условиям :

а) Ап > 0; А„_! > 0, если А„ = О;--*;, Лг(0,••• ,0) > 0, если

б) если к — к(а1,- •• ,а„) таково, что ацтобр ф 0, а^-ц з • •• = а„ г 0(то(1р), то к £ {¿1, • • ч'т}.

а) "а" пробегает аддитивный базис поля

Перейдем в группе К*£Р{К) к аддитивной записи. В К^Р(К) определены подгруппы ЕК^"{К), УК%Р(К), которые порождаются символами {XI,хг• ,а;т}, где х€ Л"*, леясиг соответственно в Е/с, У«-, Е\. - В дальнейшем будем считать К — ^,((<1)) • • • {(<„)). Для группы К^"Р(К) имеем разложение

К°?(К) = 2{<„ •••,<„}© ^Г(^) * © и- 01Г-'Ли--, <„} ф

Далее'в §1 приводится принадлежащее А.Н. Паршину определение необходимой для дальнейшего двойственности Ви'тта для полей пи-да 1Г= Р9((*!))'. »((«„)).

Обозначим А — ноле отношений кольца W(Fq) векторов Витта, К = A((ti)) -•■((<„)). Рассмотрим кольцо Щ/С) векторов Витта над К. Каждый элемент кольца W(K) имеет вид

i = (зо, 1ь • • •), xoiSi, • • • € К. Введем вспомогательные координаты

х(т) = xl ' Н-----hpmim, ?т» = 0,1, • • ■

Тогда имеем хт — Pin(x(0),i(l), • • • ,s(m)), vi — 0,1,- • -, где Pm — многочлены с коэффициентами из Z[j;]. Сложение и умножение в кольце Ц'(К) задаются универсальными многочленами от переменных Жо, так, чтобы

(х + у){.т) = х(т) 4- у(т) (xt/)(т) = х(гп) ■ у{т).

Кроме того, W(K) =limU'm(iv), где \V{K) — кольцо, состоящее из векторов Витта длины т.

Для произвольных XI, ••■ ,Хт 6 К', Уо, ••• , Ут — \ € К обозначим ® 11 ' • • 1 Уо, ■ • • , Ут-1 ИХ подъемы в К. Положим

• ,Хт\Уо, ■■ ' !/т-|]*- = («' 0,Wb"'Wm-l) 6 ^'т(^),

где

w, = Р,{restim^1 Л ... А ... ,геЧ(у(т — Л • • • А modp.

Х\ Хп Х\ эсп

и resfc — вычет в локальном поле К ~ A((ii))- ■ •((£„)).

Символ ( • j • ] д- не зависит от выбора подъемов ij, • • • i„, V«,---Vm-\ В К-

Символ ( ■ | • \к определяет непрерывное и невырожденное спаривание

. ( • | • J*- : К°г(К)/рт х Wm(K)f(F - l)Wm(K) —* Z/p"1,

где -Р(2/о, • • • ,Ут-¡) — (!/о> • ' • !>•

В силу двойственности это спаривание задает гомоморфизм группы К'пар(К) на всюду плотную подгруппу группы Галуа максимального абелева р-расширения поля К.

Если Ь/К — абелево р-расширение с группой Галуа <7, то сужение автоморфизмов с максимального абелева р-расширения поля К на поле Ь задает эпиморфизм К*°Р{К) —► й.

А.Н. Паршин доказывает, что ядром этого отображения является образ группы К„Р(Ь) при гомоморфизме переноса

: К'^(Ь) — К'п»(К).

Таким образом, имеет место точная последовательность

о — к*п°р{Ь) К1°'(К) —» й —» 0.

В §2 доказана следующая теорема. Теорема 1. Пусть К = ^((<1)) ■ • • ((<„)) — п-мерное локальное поле характеристики р, Ь — нераэвстеленное расширение поля К с группой Галуа С. Тогда группа V/, является свободным 2р[С]-модулем со счетным числом образующих.

Целью §3 является доказательство следующих теорем. Теорема 2. К = ^((<1)) •• • ((<п)), £ — конечное расширение поля К с группой Галуа С. Существует Zp[G]•мoдyлъны■й изоморфизм между группой Галуа максимального абелева р-расширения поля Ь и р-пополнением Аь = НтК1„Р(Ь)/М, где N пробегает все открытие

У

подгруппы группы К1?Р(Е), индекс которых есть степень числа р. Теорема 3. Пусть К = ^((<1)) •• -((М)' ^ — конечное расширение поля К с группой Галуа С. Тогда 2р[<3]-модулъ А1 (см. теорему 2) отличается от модуля I ® I па прямое слагаемое, являющееся

свободным 2Т[0\-модулем (I — идеал кольца порожденный

Краткое содержание §4. Напомним, в чем заключаются основные этапы' изучения ZP[G]-модуля V/, для одномерного локальчого воля, предложенные З.И.

Боревичем ("О группе главных единиц нормального р-расширения регулярного локального поля", Труды МИАН СССР, 1965, т.80, стр. 30-44).

Пусть К — конечное расширение поля р-адических чисел Qpi не содержащее нетривиальных корней степени р из единицы, L/K — р-расширение, [К : Qp] = m, [L : К\ = п. \

Во-первых, дается следующее описание 2р[С]-модуля

Л = A(L') = \imL*/L*'>' —

— р-пополнения мультипликативной группы L* поля L. Если S — свободная группа с гп4 1 образующей, плотная в группе Галуа максимального р-расширения поля К и G ^ S/R, то 2,,[С]-модуль А изоморфен р-пополнению A(Ro) группы До = на которой

операторы из G действуют по формуле g(r{R,R]) = /г/-)(Д, й], где д = fmodR. Поэтому 2р[С]-модули /1 и I ® I отличаются на свободное прямое слагаемое.

Во-вторых, доказывается, что имеет место точная последовательность <£р[С]-иодулей

0 —► I —► Vi Ф Z„\G} —► А —> 0.

В-третьих, проверяется, что элемент с € Ext(A, I), соответствующий этой точной последовательности, переходит при изоморфизме Ext(A,/) —► Нот(G,Z/(n)) в гомоморфизм х> ядро которого совпадает с подгруппой инерции.

При этом х является сквозным эпиморфизмом

X:G—>H\G,ZP),

где отображение G —► H~1(GtI) задается соответствием д —► (д - l)mod/ • I, а отображение H~l(G,I) —> H°(G,ZP) возникает из точной когомологической последовательности, определенным образом связанной с последовательностью

0 —» 7 —> Vl@Zv[G\ —> А —» 0.

Решив эти три промежуточные задачи, нетрудно указать такое расширение 0 —► I —► X —► А —► 0, что модуль X на свободное прямое слагаемое отличается от Уъ.

Пусть теперь К — п-мерное локальное поле'характеристики р > О, р ф 2, Ь/К — конечное р-расширевие Галуа. В §4 эта программа реализуется для описания р-пополнения АУК^ор(Ь) £р[С?]-модуля УК„Т(Ь) без р-кручения. Группа Галуа максимального сеп&рабель-ного р-расширения поля К — это свободная про-р-группа. Это обстоятельство позволяет получить результаты о строении ЯР[С?]-модуля АУК11ор(Ь), аналогичные результатам Г,К. Пака о строении мультипликативной группы главных единиц функционального поля простой характеристики как модуля Галуа (Управление и информация, вып. 5, 1974, 142-148).

Теорема 4. Пусть К = ^,((<1)) • • • ((<п))> ^¡К — конечное р-расшире• ние Галуа. Тогда имеет место точная последовательность 2р\р\-модулей

О —» / —» АУК^Р{Ь) Ф 2„[<3] —» А1 —V 0.

Теорема 5. К = )) • • • ((£»>)) — п-мерное лекальное поле ха-

рактеристики р > 0, р ф 2. Ь(К — конечное р!расширение Галуа с группой Галуа б. Тогда класс точных последовательностей, эквивалентных последовательности

0 —► / —► АУК*пор(1)& 0

из теоремы. 4, переходит при изоморфизме Ех1—» СЬагС в характер, ядро которого совпадает с подгруппой инерции.

В доказательстве теоремы 5 приходится преодолевать трудности, связанные с тем, что гомоморфизм взаимности определен с помощью двойственности Витта (см. выше), а характер х имеет когомологическую природу.

Вторая глава посвящена исследованию строения'2г,[(?]-модуля главных единиц регулярного (одномерного) локального поля характеристики нуль.

Мы приводим здесь эти результаты автора [1], [2] об одномерных локальных полях, так как метод, которым они получены, может

быть использован для обобщений теоремы 5 в многомерном случае. Заметим, что в недавней (1995 г.) работе А.В. Яковлева указан другой подход к решению задачи описания модуля главных, единиц одномерного локального поля.

Пусть к — конечное расширение поля (}р р-адических чисел, р ф 2, [к : С}г\ = т, К/к — конечное нормальное расширение с группой Галуа й. Для случая р-расширения К/к задача описания модуля IV = Е\ была решена З.И. Боревичем. В настоящей работе разбирается общий случай (К/к не обязательно р-расширение).

Прежде псего заметим, что случай расширения без простого ветвления мало чем отличается от случая р-расщирения. Действительно, если показатель ветвления е = еду* есть степень числа р, то, как показано З.И. Боревичем, группа Галуа £?(£/&) максимального р-расширевия Ь поля ветвления Ко расширения К/к содержит свободную группу 5ст+ 1 образующей в качестве всюду плотной подгруппы. В атом случае можно проверить (мы на этом не останавливаемся), что 2р[С?]-модуль А(К*) изоморфен р-адическому пополнению А(Яо) аналогично тому, как в случае р-расширения. Поэтому общий метод исследования строения Е\ остается прежним, хотя формулировки некоторых теорем немного изменяются.

Иначе дело обстоит в случае, когда показатель ветвления е = е^-д может быть представлен в виде е = еори, где во > 1 и {ео,р) = 1. При этом описание Ир[С]-модуля А = А(К*) усложняется тем, что группа Галуа Са1(Х/&) максимального р-расширевия Ь поля ветвления Ко расширения К/к не является свободной про-р-группой, как это было в случае р-расширения. Точнее, группа Са\(Ь/к) содержит всюду плотную подгруппу Р/\У, где F — свободная группа с образующими ••• ,хт\ IV — нормальный делитель F, порожденный словами ¿е°, sts~lt~'l; д — число элементов поля классов вычетов кольца целых элементов поля к (см. §5 теорема 6). Поясним, в чем заключается упомянутое усложнение. Пусть С а Р/Щ превратим Ко = Д/[Д, Л] в С-операторную группу, полагая д(г[Д, Л]) = /г/-1[2?,Л], д — /тойЯ. В случае р-расдшрения важным оказывается изоморфизм между А и р-адическим пополнением Л(Ло) модуля

7?о. Ведь тогда имеем изоморфизмы

Ех^Л,/) сг Ех1(А(Ео),1) ~ Ех1(1®1,1) ~ Ех1(/,2р) ~

- н2(в,гр) ~ нот(с, гР1грохйр) = сЬагС.

В общем случае 2р[С]-модули Л = А(К') и Л(Яо) не изоморфны. Поэтому под вопрос ставится изоморфизм между группами Ех1( А, I) и Ех<;(Л(/?о), /) и, как следствие, описание расширений модуля I при помощи А характерами из СЬагС. Между тем известно, что в общем случае имеет место точная последовательность Ир[С]-модулей

О —► / —► Ех © ^[С] —> А —► 0.

§6 посвящен выяснению связи между А и А(Пц). Рассмотрим точную последовательность

1 —> Я —г» Г/И' —♦ в — 1,

о

в которой эпиморфизм Т)\У —► С индуцирован сужением автоморфизмов с поля Ь на поле К. Обозначим Но = Н/[Н,Н] и определим действие операторов из й на Но формулой д{Н[Н,Н]) = /Н/~ЧН,Н], / 6 /тойН = д. Тогда модуль А изоморфен р-адическому

пополнению А(Нц) операторной группы Но (теорема 7). Имеет место точная последовательность 2[<?]-модулей 0 —> \Уо —► До —► Я0 —» 0, где Н о = Л]. Умножим тензорно (над Я) ка-

ждый член этой последовательности на Получим точную последовательность 2р[(7]-модулей

—» Яо ® гр —у Но ®2Р —► 0.

Основным для дальнейшего является утверждение 2 теоремы 8 : УУд ®ZV — свободный модуль с одной образующей и выписанная последовательность ZI,[G]-мoдyлeй распадается. Учитывая, что Ho®Zp ~ А(Н0) и Л о ® 2Р ~ А(П0), приходим к выводу : Яр[б]-модуль А отличается от А(Яо) на свободное прямое слагаемое. В конце §6 описан

модуль A(Ro) в терминах образующих и определяющих соотношений для абелевого К/к, являющегося композитом вполне разветвленного /.»-расширения и слабо разветвленного расширения поля к.

§7 посвящен изучению строения модуля Е\. Имеет место точная последовательность

О —♦ I -U Ei ф ZP[G] -La—* О

(теорема 9). Добавляя к Ei ф ZP\G] и А свободный ^[Gj-модуль ранга один в качестве прямого слагаемого, получим точную последовательность

(1) 0—* J J22» Е! Ш ZP[G\ Ф ZP[G\ ¿£1» А 0 ZP[G] — 0.

Имеем изоморфизм Ext(j4(i?o), I) ~ CharG. В теореме 10 доказывается, что класс последовательностей, эквивалентных последовательности (1), отображается при этом изоморфизме на гомоморфизм X € CharG, ядро*которого совпадает с подгруппой группы G, состоящей из автоморфизмов, оставляющих неподвижными элементы неразветвленного расширения поля к степени р", содержащегося в К, где / = fop" — степень инерции, (/o.jp) = 1. В конце §7 мы применяем полученные результаты для описания модуля главных единиц абелева расширения К/к, являющегося композитом слабо разветвленного и вполне разветвленного /»-расширения поля к (К — регулярно).

Работы автора по теме диссертации.

1. Андрианов Ю.А. О группе главных единиц регулярного локального поля, рассматриваемой как модуль Галуа. Материалы XVI Всесоюзной алгебраической конференции, ^.1, с.5-б, 1981.

2. Андрианов Ю.А, О модуле главных единиц регулярного локального поля. Сборник "Кольца и линейные группы", Краснодар, 1989, с.4-13.

3. Андрианов Ю.А. О гомоморфизме взаимности для двумерных локальных полей. Международная конференция по алгебре, Барнаул 1991, с.36.

4. Андрианов Ю.А. О двумерных локальных полях. Сборник "Алгебры, группы, многообразия", Владивосток, 1992, с.3-13.