Проблема погружения и модули Галуа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

| На правах рукописи

I

ПРОБЛЕМА ПОГРУЖЕНИЯ И МОДУЛИ ГАЛУА

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1997

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном Университете

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, профессор ГОРДЕЕВ Николай Леонидович.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

Панин Иван Александрович;

Ведущая организация - Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет.

Защита состоится 21 января 1998годав17час.00мин. на заседании диссертационного совета К 063.57.45 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете. Адрес: 198904, Старый Петергоф, Библиотечная площадь д.2, Мате-матико-механический факультет.

Защита состоится в помещении Петербургского отделения Математического института Российской Академии наук по адресу: 191011, Санкт-Петербург, наб. Фонтшгки д. 27. Ауд .311.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034 Санкт-Петербург, Университетская набережная, Д. 7/9.

кандидат физико-математических наук Андрианов Юрий Александрович.

Автореферат разослан

1997 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета К 063.57.45 Р.А. Шмидт

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Одной из важных задач теории Галуа является проблема погружения. Несколько результатов об этой проблеме были получены А.Шольцем, Р.Врауэром, Х.Райхардтом в 30-е годы нашего века. В 1944 в своей работе В.Н.Дело-пе и Д.К.Фаддеев предложили новый подход к проблеме. В частности, Д.К.Фаддеев сформулировал одно необходимое условие разрешимости задачи погружения - гак называемое условие согласности, которое заключается в существовании некоторого модуля согласности. Д.К.Фаддеев показал, что модуль согласности единствен с точностью до изоморфизма. В 1948 году Х.Хассе переоткрыл условие согласности для случая, когда ядро задачи — абелево, а поле содержит достаточно много корней из I. Он предположил, что это условие является не только необходимым, но и достаточным для разрешимости задачи погружения. Но И.Р.Шафаревич и Д.К.Фаддеев построили контрпримеры к этоН гипотезе Хассе. В частности, в примере Фаддеева ядром проблемы погружения была циклическая группа восьмого порядка; позднее Д.К.Фаддеев и Р.А.Шмидт нашли дополнительое условие разрешимости задачи погружения для этого случая. Задача погружения с абелевым ядром была наконец решена А.В.Яковлевым, который получил необходимое и достаточное условие когомологической природы разрешимости задачи погружения. Одпако этот результат не позволяет строить решения в явном виде. В последнее время вновь возрос интерес к построению явного вида решений, о чем свидетельствует большое количество недавних работ на эту тему, например, серия статей Т.Креспо. В настоящей работе показано, что на самом деле уже оригинальный подход Д.К.Фаддеева позволяет явно построить все решения, если они существуют.

Другая проблема затронутая в диссертации — - это описание структуры группы главпых единиц и р-адического пополнения группы Галуа локального поля рассматриваемых как модули Галуа. Этой задачей занимались такие известные ма-

тематики как Г.Е.Вахлин, М.Краснер, Д.Гильбарг, К.Г.Ивасава. Наиболее важные результаты принадлежат Дж.Тэйту и З.И.Боревичу. В настоящей работе описаны параметры, определяющие с точностью до изоморфизма структуру Галуа этих важнейших модулей.

Цель работы. Целью настоящей диссертации является построение явного вида решений проблемы погружения Галуа, а также изучение структуры некоторых важных модулей Галуа и применение полученных результатов к задаче погружения.

Научная новизна и практическая ценность. В работе получены следующие результаты:

Задача погружения сводится к задаче линейной алгебры, которая хотя и достаточно сложна в общем случае, позволяет дать полное описание решений задачи ншружения Галуа в случае абелева ядра.

Теоремы Яковлева о когомологически тривиальных в размерности 1 модулях доказаны для случая нециклической группы порядка 4.

Описаны параметры, определяющие с точностью до изоморфизма структуру Галуа группы главных единиц и р-адического пополнения группы Галуа расширения локального поля и предложен новый подход к изучению такой структуры. Работа носит теоретический характер.

Общая методика исследования. В работе использованы методы теории Галуа, гомологической алгебры, теории представлений.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались в Университете Бордо-1 в 1996г., а также на Международной алгебраической конференции, посвященной 90-летию Д.К.Фадцеева (Санкт-Петербург,1997г.).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и трех глав, разбитых на 11 параграфов. Объем работы 72 страницы. Библиография содержит 34 наименования.

Содержание диссертации

Во введении дан краткий обзор имеющихся работ по теме диссертации, формулируется постановка задач и излагается основное содержание диссертации.

Пусть К/к - расширение Галуа с группой Галуа Р, и пусть ф - эпиморфизм конечной группы О на Р. Будем говорить, что расширение Галуа Ь/к явлвется решением задачи погружения (К/к,С,ф), если К С Ь, Б - группа Галуа расширения Ь/к, и ограничение на, К любого автоморфизма Галуа, д € (» поля Ь совпадает с ф{ц).

Проблема погружения Галуа и строение мультипликативной группы расширения Галуа и являются предметом настоящего исследования. Основные инструменты, которыми мы пользуемся - это когомологии групп и целочисленные представления групп. Несколько новых результатов о целочисленных представлениях групп, в которых мы нуждались, также включены в данную работу.

Пусть М - векторное пространство над полем К , на котором действуют к-лииейиыс операторы из группы О: будем называть его модулем согласности для задачи погружения (К/к.С,ф), если выполнены следующие условия:

(1) (ах)9 = а?>'5'г9 для всех а £ К, х € М (то есть операторы из группы С вообще говоря, не Л*-линейны, а только ^-линейны);

(2) существует элемент т 6 М такой что элементы {та, а 6 Кег<й} образуют базис А'-линейного пространства М (нормальный базис).

Очевидно, что любое решение задачи погружения является модулем согласности,

поэтому существование модуля согласности необходимо для разрешимости задачи погружения. Будем говорить, что для задачи погружения А/к,в,ф) выполнено условие согласности, если для нее существует модуль согласности. Д.К.Фаддеев показал, что модуль согласности единствен с точночтью до изоморфизма.

Первая глава настоящей работы посвящена построению яв7тых решений задачи погружения. В ней, в частности, показано, кале оригинальный подход Д.К.Фаддеева позволяет явно построить все решения, если они существуют.

Пусть для задачи погружения (К/к, (7, ф) выполняется условие согласности, и М • (единственный) модуль согласности. Пусть далее Е - кольцо эндоморфизмов

М . Умножение на элемент из К определяет эндоморфизм М, откуда выводится каноническое вложение К в Е. Действие группы в естественным образом продолжается на Е, если положить т(е}) = ((ш® ' е)3 для всех гп € М, д 6 О, е € Е. Мы получаем следующие результаты .

Теорема 1. Пусть задача (К/к,С,ф) разрешима. Тогда для любого решения £ существует К-мономорфизм алгебр и в-модулей из £ в Е.

Эта теорема позволяет нам искать решения среди подалгебр Е. Пусть размерность М над К равна п. Выберем гщ, ...т„ - базис М над К и отождествим через этот базис Е и алгебру матриц М„(К), которую далее будем обозначать Кп. Для любого элемента д е в элементы т® суть линейные комбинации Ш],...,т„, т.е.

= с ^ е к.

Теорема 2. Пусть Ь С Е = К„ - решение задачи погружения (К[к, С, Ф); тогда существуют такие матрицы Х1,...,Х„ , что

(1) X] - для всех г, 1 < з < п, и всех д € в;

(2) матрицы А'],..., Хп невырождснчы, полупросты и попарно перестановочны;

(3) матрицы X],..., Х„ линейно независимы над К.

Обратно, если матрицы Х^,Х„ удовлетворяют условиям (1), (2), (3), то они образуют базис подколъца Ь кольца К„, и Ь - решение задачи погружения (К¡к, (3, ф).

Таким образом, построение решений сводится к проблеме линейной алгебры: найти семейство матриц, удовлетворяющих этим трем условиям. Заметим, что это очень общий результат. В частности, он не требует, чтобы ядро было абелевым, но без дополнительных предположений построить требуемые матрицы чрезвычайно трудно. Однако результат окажется очень эффективным, если предположить, что ядро айелево или даже центральное абелево. В этом случае можно упростить конструкцию, предлагаемую Теоремой 2.

Теорема 3. Пусть (К/к,в,ф) - задача погружения с циклическим ядром А = Кег(ф) порядка п, лежащим в центре группы 6?. Предположим, что п-ные корни из 1 принадлежат к и что условие согласности выполняется. Пусть х порождает

группу характеров группы Л. Тогда:

(1) Для любого д € О существует единственный элемент с} е К такой что (ЕобД^"1)™')® = сд{7£аелХ-(а~1)т") АЛИ любого д £ в, то е Л/.

(2) Если К - матрица из А'„ такая, что мзтрипаЛ' = невьгрождентгя, то подалгебра Кп, порожденная X - решение проблемы погружения.

(3) Если порядок группы в не делится на характеристику поля к, то такая патрица. У существует.

Именно эту последнюю теорему мы используем для рассмотрения трех примеров построения решений . Заканчивает главу новое доказательство необходимого и достаточного условия разрешимости задачи погружения, открытого А.В.Яковлевым.

Целью второй и третьей главы является изучение структуры Галуа мультипликативной группы К* расширения Галуа К/к. Поскольлу основной информацией, которой мы располагаем, является теорема Шпайзера, мы, естественно, интересуемся модулями, когомологически тривиальными в размерности 1. Напомним несколько определений.

Пусть (У - конечная группа, А - левый б-модуль. Будем говорить, что модуль А когомологически тривиален в размерности г, если Н'(Со,К*) = 1 для любой подгруппы С0 группы (3. Модуль, когомологически тривиальный во всех размерностях назовем когомологически тривиальным.

Будем говорить, что ¿7-модули Л и Я когомологически эквивалентны, если существует б-модуль X и мономорфизмы о : А -» А', ¡} : В —> X, такие что фак-тормодули X/ 1га л, X/ 1т/3 когомологически тривиальны. А.В.Яковлев описал (3-модули, когомологически тривиальные в размерности 1, когда <? - циклическая р-группа. Во второй главе получено два аналогичных результата для нециклической группы четвертого порядка (Теоремы б и 10). Пусть С =< <т, т > - группа, порожденная коммутирующими элементами а, т второго порядка. Она состоит из четырех элементов с, а, т, <тт. Группа С? имеет три нетривиальные подгруппы: <а>, <т>, <ат>. Групповые кольца факторгрупп над этими подгруппами

АГ] = 22[<7/<сг>], АГ2=22[С/<г>], А:3=22[С/<стг>] являются С-модулями.

Обозначим через У свободный 22-модуль ранга 5 с базисом «1, е2) ез, ¿1, ¿2 и определим действие операторов а, т следующим образом:

сге1=е1, сте2=—ег + ^11 «тез = —ез + ¿1 + ¿2, (^=¿1, сг<12 —¿2, те1 = -е 1+^1, те 2 = е2, тез = -ез + <¿1 + ¿2, ^ = ¿1, =

Теорема 6. Пусть в - нециклическая группа четвертого порядка. Тогда любой когомологически тривиальный в размерности I конечно-порожденный 22[С]-модуль, свободный как йг-модуль, раскладывается в прямую сумму подмодулей, каждый из которых изоморфен одному из модулей: 22 (с тривиальным действием а и т^

22[С], X,, Х2, Х3, Г.

Теорема 10. Пусть £У - нециклическая группа четвертого порядка.. Любой когомологически тривиальный в размерности I О-модуль когомологически эквивалентен прямой сумме 2 2[СУ] -модулей, каждый из которых изоморфен одному из модулей:8 ДГ2> ДГ„ К.

Рассматривается также приложение этих результатов к изучению проблемы погружения.

Пусть ядро задачи погружения абелево и пусть погружаемое расширение ЛГ/£ содержит достаточно много корней из 1. Тогда группа Галуа Р расширения действует на группу характеров ядра. Обозначим через Р факторгруппу группы Р над подгруппой Ро всех элементов, действующих на группу характеров тривиально, и через Ко подполе К принадлежащее подгруппе Д) - Известно, что если группа Р циклическая, то условие согласности является достаточным для разрешимости проблемы погружения. Мы доказываем, что если Р - нециклическая группа порядка 4, то дополнительным условием разрешимости задачи погружения является расщепление одного или нескольких трехмерных коциклов группы с коэффициентами в А'о- Ранее это было известно только для случая циклического ядра восьмого порядка.

Третья глава настоящей работы касается структуры Галуа группы главных единиц и р-адического пополнения мультипликативной группы локального поля К, являющегося конечным расширением Галуа к - расширения (]>р . Осповная идея -

сконструировать модули, которые в некотором смысле приближают данные и порождают инварианты, которые могут быть интерпретированы через теорию локальных полей. Основной результат этой главы - Теорема 3. Речь идет о техническом результате, который мы здесь не формулируем. Теорема 3 описывает параметры, которые определяют с точночтью до изоморфизма структуру Галуа К. а именно степень К над Q. структура модуля Галуа р-составляющей группы Е корней из 1, содержащихся в К, и гомоморфизм из H2(F. Е) в H2(F. К'), индуцированный каноническим вложением Е а К, хде F обозначает группу Галуа К ¡к. Когда теорема была уже доказана, нам стало известно, что похожие результаты были получепы К.Грюнбергом и А.Вайссом совершенно другими методами.

Основные результаты автора по теме диссертации опубликованы:

1. А.А.Яковлева и А.В.Яковлев, Гомологическая характеризация модулей с кручением, Фундаментальная и прикладная математика 1 (1995), по. 4, 1059-1067.

2. A.A.IakovIeva, Problème de plongement et modules galoisiens. PhD Thesis. L'Université Bordeaux [, 1996.

3. A.A.Yakovleva, On modules over noncyclic group of order 4 cohomoîogically trivial in dimension 1, Тезисы международной алгебраической конференции памяти Д.К.Фаддгева, Изд-во СПбГУ, 1997, pp. 141-142.

4. A.A.Yakovleva A.V.Yakovlev, One Galois embedding problem, Тезисы международной алгебраической конференции памяти Д.К.Фаддеева, Изд-во СПбГУ, 1997, р. 141.