Усиленно согласные расширения Галуа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

идцнонлльной лкддеши шк республики кшмстт

РГ 5 ОД

.~ Да правах рушшиси

3 п ОДТ

ТОКТОСУЫОВ ХыргалВек Пурыаиаяювич

УСИЛЕННО СОГЛАСНЫЕ РАСШИРЕНИЯ ГАЛУА 01.01.06 - иажштмесиаа логина, алгебра и пеоршГ чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата фишка-мтснатчестж туя

Ашалш - 1995

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры и теории чисел Санкт-Петербургского государственного университета и на кафедре алгебры и геометрии Ошского государственного университета.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ -

доктор физико-математических наук, профессор

ЯКОВЛЕВ АНАТОЛИЙ ВЛАДО,МРОР.ИЧ

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ -

Санкт-Йетербургское Отделение математического института им. В.А.Стеклова РАН

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОШОНЕНТИ-

доктор физико-математических наук, профессор .

РОМАНОВСКИЙ НИКОЛАЙ СЕМЕНОВИЧ

кандидат физико-математических наук, доцент

МЕЙРЕМБЕКОВ КУАНЫШ АЕЛАЕШ1Ч

Защита состоится "&1" t)<r1995 г. в ^

часов

на заседании СпециализированнЬго совета Д 53.04.02 по присуждению ученой степени доктора наук при Институте теоретической и прикладной математики HAH PK.

Адрес совета: 480021, Алматы, ,ул. Пушкина, 125. '

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института теоретической и прикладной математики HAH PK.

Автореферат разослан " ' VJ1 с^ч л /дя 1995 Г

Ученый секретарь Специализированного совета, доктор технических наук

А.Н. Казангапоь

ОЩЛЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАВОТЦ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ. Работа посвящена изучению вопросов, . связанных с обрзтной задачей теории Галуа и задачей погружения. Развитие этой тематики имеет большое значение для многих областей алгебры и теории чисел: теории Галуа, диофантових уравнений, алгебраической . геометрии. Утверждения об усиленно согласных расширениях Галуа о разрешимой группой могут оказаться полезными и при изучении группы классов числового поля. Все это делает рассматриваемые вопроси актуальными.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Построение нового класса расширении - усиленно согласных, - который описывается в гомологических терминах, и демонстрация возможности использования таких расширений в решении обратной задали теории Галуа для разрешимых групп.

ОБЩАЯ МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЙ. В работе применяются методы гомологической, алгебры и теории полей классов, а также теории погружения полей, развитой- в работах ряда математиков: Д.К.Фаддеева, Х.Хассе, И.Р. Шафаревичз, А.В.Язвлена, Кохендор-фера и др.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Вводится новое понятие - усиленно согласное расширение и получен ряд новых результатов, а именно: существование решения задачи погружения для усиленно согласных расширений, связь усиленной согласности с отображением Фаддее-ва-Кохендорфера, а таске построены усиленно согласные расширения, не содержащие корни из 1.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа носит теоретический харап-ч1- Методы работы могут быть применены к другим важным езда- ■ -!..ш теории Галуа и теории алгебраических чисел: Понятие усиленно согласного расширения, по-видимому, окажется полезным при гомологическом подходе к задачам теории Галуа.

АЛРОВАЩШ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались ¡п объединенном алгебраическом семинаре им. Д.К.Фаддеева ЛСШ ГАИ-кафедры высшей алгебры и теории чисел Санкт-Петербургского государственного университета и на семинаре кафедры алгебры и ио-метрии Ошского государственного университета, в лаборатории ач-гебри Института теоретической и прикладной математики НАЛ Ги_~ публики Казахстан, на Алматинском городском семинаре по ялгг'>.' и логике профессора В.П. Добрицы.

ПУЕМШЩ&З. По материала),! диссертации опубликованы ч^-гыр'-; работы. Из них одна работа в соавторстве.

ОБЪЕМ-РАБОТЦ. Диссертация состоит из введения, семи из-

\

раграфов, заключения и занимает 44 страницы машинописного текста. Библиография содержит 20 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ. Во введении формулируется задача погружения в теории Галуа и дается краткий обзор по результатам, полученным по теории погружения полей.

Напомним задачу погружения полей.' А.В.Яковлевым была даня следующая формулировка: Пусть - эпиморфизм конечной группы О. на группу Галуа расширения к /к . Решить задачу погружения (_ К/к, О, у), значит построить поле (или алгебру Галуа) ¡^э К I Являющееся расширением Галуа поля к с группой Галуа & , такое, что для любого автоморфизма ^ с О поля Ь его ограничение на К совпадает о •

Необходимым (но не достаточны),О условием разрешимости и^ дачи погружения С К /к , С, уО является условие согласности ' Д.К.Фаддеева-Хассе.

В § 1 привадится несколько формулировок условия согласности. -

В следущем параграфе вводятся новые понятия: сопровождающая задача, условие усиленной согласности.

Рассмотрим задачу погружения Ч>) . Если

подгруппа группы С, содержащая Ке-г^, А^с Кег.»р нормальный делитель в Сг, подполе К , принадлежащее подгруппе 'Р С СгI) , ^ - индуцированный у эпиморфизм факторгруппы О/А^ на группу Галуа расширения К/к^ , то задача погружения ( К /к1, , называется сопутствующей для исходной задачи.

В определении сопутствующей задачи, отбрасывая условна С^эКеау, мы получим новый класс задач, которые будем называть сопровождающими для исходной задачи. Будем говорить, что для задачи (К/к} О, у) выполнено усиленное условие согласности, если обычное условие согласности выполняется'^для всех сопровождающих задач с збелеЕыми ядрами.

В третьем параграфе доказывается следующая теорема, которая является одной из основных в работе.

ТЕОРЕМЛ. Пусть к/к - расширение Галуа с группой Галуа Р,

ч: С —* Р, 0: --->р, О--'/V -

такие эпиморфизмы, что 0. ^ , Кег. в - циклическая

группа простого порядка. Пусть далее, для задачи (К/к, О,'»)3)-

;илюлнено условие усиленной согласности. Тогда существуют группа Н и ее эпшорфизм у на Р, для которых Кег. у -абелева группа, и выполняется следующее свойство: для существования решения I задачи погружения ( К /г-, ^ , 0 ) такого, что задача (. 1/к, С, у ) удовлетворяет условию усиленной согласности, необходимо и достаточно, чтобы существовало решение задачи погружения (К/к , И, у ) , причем за ранее известно, что для последней.задачи выполнено обычное условие- согласности.

В § 4 отмечается, что для задачи погружения ( К/к, выполнено обычное условие согласности; таким образом необходимое и достаточное условие существования усиленно согласного решения задачи погружения (Ксовпадает с дополнительным условием погружения, найденным А.В. Яковлевым.

В § Б, доказываются следующие редукционные теоремы да усиленно согласных расширений:

ТЕОРЕМА 1. Для задачи погружения ( К/к, С, у) выполнено условие усиленной согласности тогда и только тогда, .когда условие согласности выполняется для всех сопровождающих задач, у которых ядро абелева р-.группа, а погружаемое расширение имеет группой Галуа р-группу (р - простое число).

. ТЕОРЕМА г. Для того, чтобы для задачи погружения полей алгебраических чисел (_К/к, у) выполнилось условие усиленной согласности, необходимо и достаточно, чтобы для все;; простых делителей дивизоров с1 поля К для з'адзчи , ^ > '¡и)

(где Кд- -адическое пополнение поля К , - - адическое пополнение к , Р, с Р=Г,£к/к) группа разложения дивизора сС, - ^ • ~ 0ГРшиче1:1П

! ~

'I' па (у ) выполнилось условие усиленной согласности.

ТЕОРЕМА 3. Пусть (К/к, С, ) ■ задача погружения, •удовлетворяющая условию усиленной согласности, £>•

нормальный делитель группы 6 , такой что ¡3 /й>1 - абелева р-группа, I - решение задачи погружения С/^А. (г/&1, ^ ) Тсгда для задачи погружения (.Л/к, С-, V') ' выполнено условие согласности для любой сопровождающей задачи погружения о нОелевь'м ядром, порядок которого взаимно прост с р.

Следующий параграф посвящен связи между условием усиленной согласности и отображением Фаддеева-Кохендорфера.

В последнем параграфе развитая ранее теория применяется I'. задаче погружения полей алгебраических чисел, не содержащих корни из 1. Доказывается следующая теорема, которая также является одной из основных в работе.

ТЕОРЕМА. Пусть (К /к, С, '?)- задача погружения, удовлетворяющая условию усиленной согласности, причем К - пол* алгебраических чисел и для любого простого делителя р порядка ядра «еау в р - периодическом пополнении Кр поля К нет корней р-й степени из 1. Тогда существует поле, решавшее эту задачу.

Существенную роль в доказательстве этой теоремы играет теорема Ксхендсрфера, а также изучение задач погружения, удовлетворяющих условию усиленной согласности, для случая, когда -сгружаемое поле локально.'

•' ЗМШНЕИШ. В работе введены новые понятия - сопровсддся-цие задачи, условие усиленной согласности и усиленно согласнда расширения Галуа. Доказана теорема о существовании решения задачи погружения для усиленно согласных расширения. Установлена

связь усиленной согласности с отображением Фаддеева-Кохендер-фера. Доказаны редукционные теоремы для усиленно согласных 'расширений. Построены усиленно согласные расширения, не содер-жашие корней из 1.

Тема диссертации актуальна и относится к одной из трудных разделов классической алгебры. Полученные результаты являются новыми и представляют интерес специалистам в обааогп теории Галуа, общей алгебры, проблемы разрешимости.

. РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Токтосунов Ж.Н. Полупрямая задача погружения нолей алгебраических чисел с разрешимым ядром // Вестник ЛГУ, Сер.1, 1990, вып. 3, (N 15). - С. 120-121.

2. Токтосунов Ж.Н., Яковлев A.B. Усиленно согласные расширения Галуа // Доклады HAH Республики Казахстан, 1993, N 5, С. 6-11.

3. Токтосунов Ж.Н. Усиленно согласные расширения Галуа, не содержащие корней из 1 // Информатика и образование. Тезисы докладов республиканской научно-практической конференции. Республика Кыргызстан, Ош, 1993, стр. 1.

4. Токтосунов Ж.Н. Усиленно согласние расширения Галуа для шлей алгебраических чисел // Депонирование в КаэгосИНТИ, 11с., 07.07.9-1,11 Б144-КаЭ4,

Токтосунов Жыргалбек Нурмаматович Галуа кушейтглген ундес кецеймелер!

Жумыс Галуа назарнлсыньщ Kepi ece6i кэне эр1стердщ батуп есебшен байланысты мэселелерд1 зерттеуге арналган.

Есептерд1 жетелейтш жаца угкм атаулары енгчзглдх :

- ктаейтхлген ундестхк шарты;

- ктаейттлген Галуа ундес кецеймелер!. Ктшейтхлген ундес кецеймелер ушхн бату есеб!нщ meraiMi

болатындыры туралы TYfliH шешхлген. Ктаейтхлген ундест1ктп{ ' §аддеев-Кохепдорфер бейнелеухмен байланысы дэлелденген. Кушей--тглгерг ундес кенеймелер ушхн келтгру туй1ндерх шевнлген. 1-ден TY6ipi жон;, кушойтхлген ундес кенеймелер тургызылган.

Toktosunov ' Zbyrgalbeck Huxmamatovich 3trong Agreeing Galua Extensions

Thid work ia devoted to the investigation of the problcnn connected with the Galua theory inverse problem and with the problem of fields immersion.

Kevr concepts - accompanying problems, strong agreement condition and strong agreeing Galua extensions - are introduced in the paper. The theorem of existence of the immersion problem solution for strong agreeing extensions ia proved. The connection of strong agreement with Faddeev-Cohendorfer' mapping ia established.. Ihs reduction'theorems for strong agreeing exten-.aiona are also proved.

The strong agreeing extensions which isn't contain the roots from 1, are constructed.'