Задача погружения и ее применения

Киселев, Денис Дмитриевич

Задача погружения и ее применения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Киселев, Денис Дмитриевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.06 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Задача погружения и ее применения»

Автореферат диссертации на тему "Задача погружения и ее применения"

ФГБОУ ВПО Московский государственный университет имени

М. В. Ломоносова

Киселев Денис Дмитриевич

Задача погружения и ее применения: индекс Шура, оптимальное управление

Специальность 01.01.06 (математическая логика, алгебра и теория чисел)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 ' ¿013

Москва 2013

005538249

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры механико-математического факультета ФГБОУ ВПО Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент Игорь Андреевич Чубаров Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Георгий Борисович Шабат (ФГБОУ ВПО Российский государственный гуманитарный университет)

кандидат физико-математических наук, доцент Илья Юрьевич Ждановский (ФГАОУ ВПО Московский физико-технический институт (государственный университет))

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО Санкт-Петербургский

государственный университет

Защита диссертации состоится "06" декабря 2013 г. в 16 ч. 45 мин. на заседании диссертационного совета Д 501.001.84 при ФГБОУ ВПО Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, г. Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1, МГУ имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С текстом диссертации можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке ФГБОУ ВПО Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова (Москва, Ломоносовский проспект, д. 27, сектор А).

Автореферат разослан "06" ноября 2013 г.

Д 501.001.84 при МГУ

доктор физико-математических наук,^-

профессор

Ученый секретарь диссертационного совета

А. О. Иванов

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Область исследования диссертации относится к таким разделам алгебры как теория Галуа и теория представлений конечных групп. Диссертационная работа посвящена во многом изучению как взаимосвязей между фундаментальным понятием индекса Шура1 неприводимого комплексного характера конечной группы и разделом теории Галуа, известным как задача погружения2, так и доказательству отдельных новых результатов в каждой из перечисленных областей.

Представляет довольно большой интерес построение оценок индекса Шура неприводимого комплексного представления конечной группы относительно поля рациональных чисел. Существует множество подходов к решению данной проблемы. Все они так или иначе используют различные редукционные средства (наиболее важным из них является, пожалуй, теорема Р. Б pay эр а-Э. Витта3), и получаемые оценки могут быть трудно вычислимы, если про строение группы известно не очень много. Однако на практике приходится сталкиваться с необходимостью нетривиально оценивать индекс Шура "равномерно" по всем конечным группам заданного порядка или экспоненты и т.п. Такие "равномерные оценки" уже могут быть вычислены практически без использования какой-либо информации о внутреннем строении данной группы (во многом это относится к таблице характеров а также к р-локальному строению). Представляет интерес помимо оценок индекса Шура еще и нахождение по возможности меньшего по размерности над Q поля алгебраических чисел, в котором данное неприводимое комплексное представление реализуется. Например, вопрос существования такого поля в га-круговом поле, где п- порядок или экспонента группы, весьма нетривиален4. Проблемам "равномерных" оценок индекса Шура посвящены главы 3,4.

1см., например, Т. Yaraada, The Schur Subgroup of the Brauer Group, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 397, Springer-Verlag, Berlin, 1974.

2cm., например, B.B. Ишханов, Б.Б. Лурье, Д.К. Фаддеев, Задача погружения в теории Галуа, Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., М., 1990.

Зсм., например, Ch. W. Curtis, I. Reiner, Methods of representation theory, v.2, Pure Appl. Math. (N.Y.), Wiley, New York, 1987, theorem 74.38.

4E. Spiegel, A. Trojan, "Minimal splitting fields in cyclotomic extensions", Proc. Ams. Math. Soc., 87:1, (1983), 33-37.

С другой стороны, теория задач погружения предоставляет дополнительные средства для исследования индекса Шура, так как хорошо известное условие согласности Д. К. Фаддеева-Х. Хассе5,6'7 для задач погружения с абеле-вым ядром представляет собой по существу критерий равенства индекса Шура единице над фиксированным полем. Такая точка зрения используется в главе 3 для упрощения некоторых доказательств а также в главе 4 уже по существу. Можно, однако, на основании результатов из теории индекса Шура исследовать некоторые вопросы теории погружения. Примеры этому приводятся в главе 4.

Существует довольно интригующая проблема в теории погружения, касающаяся решений таких задач. В теории задач погружения решения наиболее естественно искать в классе алгебр Галуа. Это дает возможность особенно в случае абелева ядра использовать аппарат гомологической алгебры. Именно на этом пути А. В. Яковлевым8 было найдено необходимое и достаточное условие существования решения задачи погружения в случае абелева ядра. Наиболее значительным применением теории погружения стало доказательство теоремы И. Р. Шафаревича о реализуемости конечной разрешимой группы в виде группы Галуа относительно произвольного поля алгебраических чисел9, 10, п'12. Это оказалось возможным потому, что в глобальных полях разрешимость задачи погружения с абелевым (теорема Д. К. Фаддеева-А. Шоль-ца13) и, более общо, нильпотентным ядром14 в смысле алгебр Галуа равносильна разрешимости в смысле полей. Последнее, к сожалению, возможно да-

5Б.Н. Делоне, Д. К. Фаддеев, "Исследования по геометрии теории Галуа", Мат. сб., 15:2, (1944), 213 284.

eH. Hasse, "Existenz und Mannigfaltigkeit Abelscher Algebren mit vorgegebener Galoisgruppe über einem Teilkörper des Grundkörpers" Math. Nachr., 1:1, (1948), 40-61.

7H. Hasse, "Existenz und Mannigfaltigkeit Abelscher Algebren mit vorgegebener Galoisgruppe über einem Teilkörper des Grundkörpers", Math. Nachr., 1:4, (1948), 213-217.

8A.B. Яковлев, 'Задача погружения полей", Изв. АН СССР, сер.матем., 28:3 (1964), 645-660.

9П. Р. Шафаревич, "О построении полей с заданной группой Галуа порядка Изв. АН СССР, сер.матем., 18:3 (1954), 261-296.

10И. Р. Шафаревич, "Об одной теореме существования в теории алгебраических чисел", Изв. АН СССР, сер.матем., 18:4 (1954), 327-334.

ПИ. Р. Шафаревич, "О задаче погружения полей", Изв. АН СССР, сер. матем., 18:5 (1954), 389-418.

"И. Р. Шафаревич, "Построение полей алгебраических чисел с заданной разрешимой группой Галуа", Изв. АН СССР, сер. матем., 18:6 (1954), 525-578.

13В.В. Ишханов, Б. Б. Лурье, Д. К. Фаддеев, Задана погружения в теории Галуа, Наука. Гл. ред. фиэ.-мат. лит., М., 1990, Гл. 3, §6.

14В.В. Ишханов, "О полупрямой задаче погружения с нильпотентным ядром", Изв. АН СССР,

сер.матем., 40:1 (1976), 3-25.

леко не всегда. Простейший пример - задача погружения конечного расширения конечных полей в поле с нециклической группой Галуа. Более сложный пример - погружение конечного р-расширения р-локальных полей15 в поле с р-группой Галуа, число образующих которой больше числа образующих группы Демушкина16,17,18 основного поля. В связи с этим представляет интерес проблема построения разрешимых задач погружения, все решения которых заведомо являются полями. Глава 2 полностью посвящена данному вопросу.

Наконец, в теории Галуа можно ставить естественный вопрос о размерности линейной оболочки над полем к корней сепарабельного многочлена /(х) £ Довольно примечательно, что такая проблема имеет связи с теорией оптимального управления. В главе 5 приводятся некоторые общие результаты по данному вопросу а также изучаются частные случаи, имеющие отношение к задачам оптимального управления. Весьма примечательно, что и здесь используются некоторые результаты теории задач погружения.

Цель работы

Целью диссертации является построение равномерных оценок индекса Шура неприводимых комплексных представлений конечных групп заданной экспоненты или заданного порядка а также оптимальной равномерной оценки индекса Шура на классе конечных групп с известными простыми делителями порядка; построение бесконечной нетривиальной серии примеров задач погружения, у которых все решения являются полями; решение проблемы М. И. Зеликина-Л. В. Локуциевского19 в некоторых частных случаях.

Методы исследования

В работе использованы методы алгебраической теории чисел, теории Галуа, теории погружения, гомологической теории, теории представлений конечных групп, теории индекса Шура.

1БД. Касселс, А. Фрелих, Алгебраическая теория чисел, Мир, М., 1969.

1ВС. П. Демушкин, 'Труппа максимального р-расширения локального поля", Изв. АН СССР, сер. матем., 25:3 (1961), 329-346.

17С. П. Демушкин, "О 2-расширениях локального поля", Сиб. мат. ж., 4:4 (1963), 951-956.

"С. П. Демушкин, 'Топологические 2-группы с четным числом образующих и одним полным определяющим соотношением", Изв. АН СССР, сер. матем., 29:1 (1965), 3-10.

1ЙМ. И. Зеликин, Л. В. Локуциевский, Р. Хильдебранд, "Геометрия окрестностей особых экстремалей в задачах с многомерным управлением", Тр. МИАН, 277, (2012), 74-90, гипотеза 1.

Научная новизна

Все результаты диссертации являются новыми. Перечислим основные:

1. Получены равномерные оценки индекса Шура неприводимых комплексных представлений конечных групп заданного порядка или заданной экспоненты над полем рациональных чисел;

2. Найдена оптимальная равномерная оценка индекса Шура неприводимых комплексных представлений конечных групп, про которые известно лишь множество простых делителей порядка, над полем рациональных чисел;

3. Построена бесконечная нетривиальная серия примеров групповых расширений, для которых существует задача погружения, все решения которой суть поля;

4. Установлен критерий согласности20 n-кругового расширения поля алгебраических чисел к, содержащегося в поле Q(e„). Приведен пример, когда такое расширение не является циклическим. Тем самым, в некоторых частных случаях улучшена теорема Д. М. Голдшмидта-И. М. Айзекса-Б. Фейна21-22;

5. Решена в частных случаях проблема М.И. Зеликина-JI. В. Локуциевско-го23;

6. Даны оценки снизу числа линейно независимых над полем рациональных чисел корней многочленов Чебышева-Эрмита четной степени и многочленов /(ж2), где /(ж) - обобщенный многочлен Чебышева-Лагерра24.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на следующих научных конференциях и семинарах:

20Д. Д. Киселев, "Об оценке индекса Шура неприводимых представлений конечных групп", Мат. сб., 204:8, (2013), 73-82.

21D.M. Goldschmidt, I. M. Isaacs. "Schur indices in finite groups", J.Algebra, 33 (1975), 191-199, theorem 1.

22B. Fein, "Schur indices and sums of squares", Proc. Ams. Math. Soc., 51:1, (1975), 31-34, theorem 2.

23M. И. Зеликин, Jl. В. Локуциевский, Р. Хильдебранд, "Геометрия окрестностей особых экстремалей в задачах с многомерным управлением", Тр. МИАН, 277, (2012), 74-90, гипотеза 1.

24F. Hajir, "On the Galois group of generalized Laguerre polynomials", J. The or. Nombres Bordeaux, 17:2, (2005), 517-525.

1. научно-исследовательский семинар кафедры высшей алгебры мехмата МГУ (Москва, 2011-2013 гг., неоднократно);

2. семинар "Избранные вопросы алгебры" кафедры высшей алгебры мехмата МГУ (Москва, 2009-2013 гг., неоднократно);

3. семинар "Геометрические методы в теории оптимального управления" кафедры общих проблем управления мехмата МГУ (Москва, октябрь, 2012

г.);

4. международный алгебраический симпозиум, посвященный 80-летию кафедры высшей алгебры механико-математического факультете МГУ и 70-летию профессора A.B. Михалева (Москва, 15-18 ноября 2010 г.);

5. международная конференция "Алгебра и комбинаторика", посвященная 60-летию чл.-корр. РАН профессора А. А. Махнева (Екатеринбург, 3-7 июня 2013 г.).

Публикации

Результаты автора по теме диссертации опубликованы в четырех работах [1]-[4].

Теоретическая и практическая ценность работы

Диссертация имеет теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в теории погружения, теории представлений конечных групп, теории оптимального управления. Материалы диссертации могут быть использованы для чтения спецкурсов по теории погружения и ее применениям в теории индекса Шура.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения и пяти глав. Главы подразделяются на разделы и подразделы. В главах 2,4 подразделы отсутствуют.

Диссертация написана на 121 странице. Список литературы состоит из 63 наименований.

Краткое содержание работы

Во введении затронута актуальность темы диссертации, ее структура, перечислены результаты автора.

В главе 1 подробно изложены результаты, не принадлежащие автору, но применяемые в работе. Это сделано для возможности автономного чтения диссертации. По теории индекса Шура излагаются следующие результаты: теорема Р. Брауэра-Э. Витта (теоремы 1.2,1.3, подраздел 1.1.1), теорема М. Бенарда-М. Шахера (теоремы 1.4,1.5, подраздел 1.1.2), теория С. Д. Бер-мана индекса Шура25 (подраздел 1.1.3) в необходимом для диссертации объеме, результат Ю. J1. Баранника26 (подраздел 1.1.4). По задаче погружения излагаются общие технические средства (подразделы 1.2.1-1.2.3), упрощенная концепция условия согласности (см. определение 1.12) вместе с необходимыми результатами А. В. Яковлева и Н. П. Зяпкова27 об универсально согласных расширениях (подраздел 1.2.4); подраздел 1.2.5 содержит критерий разрешимости А. В. Яковлева28 задачи погружения с абелевым ядром, специализированный для полей алгебраических чисел; подраздел 1.2.6 посвящен изложению результата Д. К. Фаддеева29,30 о погружении квадратичного расширения основного поля с характеристикой отличной от двух в алгебру Галуа с ква-тернионной группой.

Глава 2 посвящена ультраразрешимым задачам погружения (см. определение 2.1) и описанию классов сингулярных (см. определение 2.3) решений сопутствующих задач погружения первого рода по отношению к исходным. Именно наличие сингулярных решений влечет за собой существование ультраразрешимых задач погружения, ядро которых не содержится в группе Фраттини объемлющей группы. Введем соответствующие определения.

25 С. Д. Берман, "Представления конечных групп над произвольным полем и над кольцами целых чисел", Изв. АН СССР, сер. матем., 30 (1966), 69-132, §4.

2вЮ.Л. Баранник, "О телах, возникающих в разложении рациональных групповых алгебр конечных групп порядка paq^'\ Изв. вузов. Матем., 187:12, (1977), 13-18.

"Н.П. Зяпков, A.B. Яковлев, "Универсально согласные расширения Галуа", Зап. научн. сем. ЛОМИ, 71 (1977), 133-152.

28А.В. Яковлев, 'Задача погружения для числовых полей", Изв. АН СССР, сер.матем., 31:2 (1967), 211-224.

29Д. К. Фаддеев, "Построение алгебраических областей, группой Галуа которых является группа кватернионов", Уч. зап. ЛГУ, 3:17 (1937), 17-23.

30Д. К. Фаддеев, "Построение полей алгебраических чисел, группой Галуа которых является группа ква-тернионных единиц", ДАН СССР, 47:8, (1945), 404-407.

Определение (2.1). Разрешимая задача погружения, у которой все решения являются полями, называется ультраразрешимой.

Определение (2.3). Рассмотрим разрешимую задачу {К/к, С?, <р, Щ. Допустим существование собственной подгруппы А группы нормальной в С. Тогда задана сопутствующая задача погружения {К/к, С/Л, <р\, И/А) первого рода, где <р = ф\<ра, а </?о: (3 -> в/А-канонический эпиморфизм. Решение Ь\ данной сопутствующей задачи называется сингулярным по отношению к исходной задаче, если для любого решения Ь исходной задачи ЬА ф Ь\. В противном случае Ь\ называется регулярным по отношению к исходной задаче.

Теорема 2.1 использует локальную двойственность Тейта31.

Теорема (2.1). Рассмотрим разрешимую задачу {К/к, С, <р, ./V) с абелевым ядром N. Обозначим Р = Са1 {К/к). Пусть к-локальное поле. Фиксируем собственную подгруппу {если существует) А группы N, нормальную в (2. Тогда любая фиксированная система представителей {по модулю классов эквивалентных в узком смысле регулярных решений) классов эквивалентных в узком смысле сингулярных решений задачи {К/к, С/А, N/А) находится в биективном соответствии с элементами группы

НотИА, К*)/(Нот^АТ, К*)/ЕотР{Ы/А, К*)).

Рассмотрим конечное расширение Галуа глобальных полей Е/Ь. Фиксируем конечное множество 5 неархимедовых точек поля Е, соответствующие пополнения по которым полей Е и Ь (после ограничения точки поля Е), задают разветвленные расширения. Положим Се,в '•= где Уе,я = П

а Ур - группа единиц р-пополнения поля Е. Штрих обозначает переход к двойственной группе.

Аналогичными теореме 2.1 рассуждениями, но только с применением глобальной двойственности Тейта32, доказывается следующая

Теорема (2.2). Рассмотрим разрешимую задачу {К/к, С, <р, Ы) с абелевым ядром N. Обозначим Р = Ог\{К/к). Пусть к-глобальное поле. Пусть 5-

31В. В. Ишханов, Б. Б. Лурье, Д. К. Фаддеев, Задача погружения в теории Галуа, Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., М., 1990, теорема Д.3.2.

32В.В. Ишханов, Б. Б. Лурье, Д. К. Фаддеев, Задача погружения в теории Галуа, Наука. Гл. ред. физ,-мат. лит., М., 1990, следствие к теореме Д.3.5.

конечное множество точек поля К, содержащее все простые делители экспоненты N а также все разветвленные точки поля К над к. Фиксируем собственную подгруппу (если существует) А группы И, нормальную в С?. Тогда любая фиксированная система представителей (по модулю классов эквивалентных в узком смысле регулярных решений) классов эквивалентных в узком смысле сингулярных решений задачи (К/к, С/Л, <р1, ./У/Л) находится в биективном соответствии с элементами группы

(НотР(А, Ск,б)1(НотИЛГ, Ск,3)/Ъ0тр(Ы/А, Ск<8)))'.

Укажем простейшее применение теорем 2.1 и 2.2. Рассмотрим расширение Галуа К/к локальных полей с группой Р. Фиксируем также нечетное число п, такое что для всякого простого р \ п примитивный корень степени р из единицы не содержится в К. Тогда произвольная задача погружения расширения К/к в алгебру Галуа с группой й, имеющая абелево ядро А экспоненты п, ультраразрешима тогда и только тогда, когда А ^ Ф((3). Это и неудивительно-если К/кр- силовское р-подрасширение для некоторого простого р \ п, то ер £ кр, в частности группа Галуа максимального р-расширения поля кр является свободной про-р-группой. Это означает, что наша задача всегда разрешима, равно как и любая присоединенная к ней.

Следующая теорема является ключевой в построении бесконечной нетривиальной (т.е. ядро любой такой задачи не должно содержаться в группе Фрат-тини объемлющей группы) серии ультраразрешимых задач погружения.

Теорема (2.4). Пусть дана ультраразрешимая задача (К/к, й, <р, N). Поднимем ее до задачи (Ь/к, О хр -Ръ тр, Ы), где .Р = Са\(К/к), = ва1 (Ь/к). В указанных ниже достаточных условиях поднятая задача будет ультраразрешимой: либо (1) композиционные факторы группы Са1 (Ь/К) являются неабелевыми простыми группами, а все подгруппы группы N нормальны в N; либо (2) группа Са1(Ь/К) разрешима, а N совпадает со своим коммутантом.

По-видимому не существует примеров задач погружения, удовлетворяющих условию (2) теоремы 2.4, однако доказать или опровергнуть это утверждение весьма непросто. В диссертации рассматриваются случаи, когда ядро N является знакопеременной группой степени не ниже 4 или группой £г(р2)

для простого р. В этих случаях действительно не существует примеров ультраразрешимых задач погружения.

Теорема (2.3). Пусть (К/к, G, N) -разрешимая задача погружения над произвольным полем к. Если N -знакопеременная группа степени не ниже 4 либо группа ¿г(р2) для некоторого простого р, то в качестве решения всегда можно выбрать алгебру Галуа, не являющуюся полем.

Задачи погружения, удовлетворяющие условию (1) теоремы 2.4, построить можно, и на этом основана следующая

Теорема (2.5). Существует семейство неабелевых простых групп <3, являющееся бесконечным, и такое, что для произвольной группы Ni, композиционные факторы которой принадлежат 0, задача погружения для произвольного расширения

1 -► Ni -> Fi F = Gal(Q(v/3)/Q) -> 1

имеет поле-решение L. В частности, задача (L/Q, Q&XpFi, fp, N) является ультраразрешимой, но при этом N ^ Ф(С?8 Xf Fi).

Теорема 2.5 существенно использует так называемую GAR-реализацию над полем рациональных чисел некоторых конечных простых групп33.

Глава 3 посвящена оценкам индекса Шура неприводимых представлений конечных групп, которые можно вывести с помощью теоремы Голдшмидта-Айзекса-Фейна34,33, а также анализом дополнительных условий, необходимых для справедливости данной теоремы.

Теорема (Д. М. Голдшмидт, И. М. Айзеке). Пусть дана произвольная конечная группа G экспоненты n, к-поле нулевой характеристики, такое что Gal(k(e„)/k) циклическая. Тогда для любого неприводимого комплексного характера х S Irr G справедлива оценка | 2. Случай тпк(х) = 2 возможен лишь при £4 £ к.

В формулировке теоремы Голдшмидта-Айзекса присутствует дополнительное условие: \/—Т 6 к. Рассматривается простой пример того, что условие

33G. Malle, В. H. Matzat, Inverse Galois theory, Springer-Verlag, N.Y., 1999, Ch.IV, §3, corollary 3.7, Ch.IV, §4. theorem 4.3, Ch.IV, §3.1.

34D. M. Goldschmidt, I. M. Isaacs. 'Schur indices in finite groups", J. Algebra, 33 (1975), 191-199. 3iB. Fein, "Schur indices and sums of squares", Proa. Ams. Math. Soc., 51:1, (1975), 31-34.

V—Т 6 к существенно для справедливости теоремы. Для краткости будем в дальнейшем называть это условие условием сильной невещественности. Так как группа Gal(к(еп)/к) каноническим образом отождествляется с подгруппой группы Gal(Q(en)/Q), то по полю к можно однозначно (если фиксировать данное каноническое отождествление) построить поле F С Q(en), такое что Gal(Q(e„)/F) = Gal(fc(en)/fc); более того, £4 £ к тогда и только тогда, когда е4 6 F.

Определение (3.1). Пусть поле F, однозначно определяемое по полю к, обладает свойством невещественности: F R. Будем говорить в этом случае, что поле к удовлетворяет условию слабой невещественности.

Однако, условия слабой невещественности недостаточно для справедливости теоремы Голдшмидта-Айзекса.

Пример (3.1). Положим G := Z31 х Q8, где QB обозначает группу кватернионов порядка 8. Легко видеть, что exp G = 124 = 31-4. Возьмем поле к := Q(e31). Тогда для поля к выполнено условие слабой невещественности, но не выполнено условие сильной невещественности. Далее, Gal(fc(ei24)/&) = Gal(A;(i)/A;)-циклическая группа порядка 2.

Б. Фейном36 установлен замечательный достаточный признак применимости теоремы Голдшмидта-Айзекса. Он состоит в том, что —1 должна быть представима в виде суммы двух квадратов элементов основного поля к. Оказывается, существует очень мало случаев, когда данное условие нарушается. Из этого замечания сразу будет следовать, что для вычисления оценки индекса Шура это не играет никакой роли-можно дать наилучшую возможную оценку, обеспечиваемую теоремой Голдшмидта-Айзекса, но при этом не обращать внимания на какие-либо дополнительные условия. Этот вывод сделан в теореме 3.5.

Предложение (3.1). Пусть char А; = 0, п - некоторое сравнимое с нулем по модулю 4 натуральное число, такое что Gal(k(£n)/k) - циклическая группа. Если —1 не представляется в виде суммы двух квадратов элементов поля к, то 2-силовская подгруппа группы Gal(k(sn)/k) имеет порядок 2.

3eB. Fein, "Schur indices and sums of squares", Proc. Ams. Math. Soc., 51:1, (1975), 31-34, theorem 2.

Условие представимости —1 в виде суммы двух квадратов элементов поля к очень легко охарактеризовать в случае, когда к является полем алгебраических чисел. Это сделано в работе37.

Предложение (3.2). Пусть к-поле алгебраических чисел. —1 представима в виде суммы двух квадратов элементов поля к тогда и только тогда, когда, во-первых, архимедово пополнение поля к дает поле комплексных чисел, а, во-вторых, (fcp^/Qh) = 0(mod2), где рг - произвольная простая точка поля к, лежащая над (2).

Следующая теорема помогает охарактеризовать отличие условия Фейна от условия слабой невещественности для подполей в Q(en) (на практике только такие подполя интересны для рассмотрения).

Заметим, что в силу китайской теоремы об остатках справедливо разложение:

Z*n = AiX ...х Ая, rÄen=pk1l...pks-,Ai^Z\t,pl = 2.

Теорема (3.2). 38 Пусть G-конечная группа экспоненты п. Пусть также К - поле нулевой характеристики с условием слабой невещественности, такое что группа Gal{К{еп)/К) является циклической 2-группой. Пусть также Gal(К(еп)/К) П А\ = {1}. Тогда для любого х € IrrG выполнено

тк(х) = 1-

Замечание (3.1). В свете предложения 3.1 и теоремы 3.2 интересно понять, как в сущности зависит нарушение условия Фейна от величины 2-части числа п и условия слабой невещественности. Если пг ^ 2, то условие Фейна несущественно. Будем поэтому считать, что пг ^ 4. Легко видеть, что выполнение условий теоремы 3.2 для поля К влечет в этом случае выполнение условий Фейна для К. В самом деле, возьмем в качестве G группу вида Qg х Z„2 х ¿Г„2, с характером С = X ® 1 z„2 ® 1 г„2,, где х-двумерный неприводимый комплексный характер группы Qg. Выполнение условий теоремы 3.2 влечет равенство

"В. Fein, D. Gordon, J. Smith, "On the representation of -1 as sum of two squares in an algebraic number field", J. Number Theory, 3, (1971), 310-315.

38B оригинальной статье [1] формулировка данной теоремы содержит опечатку, однако доказательство корректно.

тк(С) = 1, откуда (см. доказательство леммы 3.1) —1 представима в виде суммы двух квадратов элементов поля К.

Для простоты считаем в дальнейшем, что К С <0(еп)- Тем самым, условие слабой невещественности для поля К оказывается эквивалентным условию К Е; в частности, данное условие необходимо для справедливости условия Фейна (см. предложение 3.2). Предположим, что п^ ^ 8. В этом случае условие К К не только необходимо, но и достаточно для справедливости условия Фейна. В самом деле, если это не так, то Са1(0(еп)/ЙГ) = ^2, согласно предложению 3.1, причем 0(еп) = К{еа). Согласно предположению а также предложению 3.2 размерность (К • Ог : Ог) нечетна. Это означает, что 0г(О П К ■ «Ъ = 02- Так как (К • Ог)Ы = (К ■ <&) • (МО. то группа Оа1(0,(еП1)/0,) должна быть циклической, что невозможно при п^ ^ 8.

Предложения 3.1,3.2, теорема 3.2 а также замечание 3.1 показывают, что на практике нет никакой необходимости проверять какие-либо дополнительные условия применимости теоремы Голдшмидта-Айзекса для получения оценок индекса Шура над полем рациональных чисел, стремящихся к оптимальным. В свете вышесказанного никаких идейно отличных от примера 3.1 возможностей для невыполнения условия Фейна при выполненном условии невещественности нет. Приведем чуть более просто проверяемый признак, достаточный для справедливости теоремы Голдшмидта-Айзекса, но, однако, более слабый по сравнению с условием Фейна.

Теорема (3.4). Пусть (3 - конечная группа экспоненты п. Пусть далее поле нулевой характеристики К удовлетворяет условию слабой невещественности, причем С&1(К(еп)/К)-циклическая 2-группа. Если

то для любого х £ IrrG выполнено тк(х) = 1-

Следующая теорема строит "равномерную" оценку индекса Шура неприводимых комплексных характеров конечных групп порядка (или экспоненты) п.

Теорема (3.5). Пусть G-конечная группа порядка (или экспоненты) п, а т - порядок какой-нибудь максимальной циклической подгруппы в группе Z*. Если то mq(x) | для любого х € IrrG.

Следующая теорема посвящена Э. Галуа.

Теорема (3.6). Пусть G-конечная группа нечетного порядка п. Пусть далее п — р1} .. .Ps' - каноническое разложение числа п на простые множители. Обозначим т = pi.. ,р3. Если правильный т-угольник допускает построение с помощью циркуля и линейки, то для любого характера х € Irr G имеем тц(х) = 1.

Глава 4 также посвящена оценкам индекса Шура. В связи с теоремой 3.5 вводится и изучается понятие согласного кругового расширения.

Определение (4.1). Пусть /с-числовое поле. Расширение k(sn)/k называется согласным, если для любого простого делителя р числа п силовское р-подрасширение k(£n)/kp согласно, р-расширение k(sn)/k называется согласным, если для любой простой неархимедовой точки q поля к, не лежащей над р, пополненное расширение kq(en)/kq является циклическим.

Класс универсально согласных n-круговых расширений числовых полей периода т | п как легко следует из39 содержится в классе согласных п-круговых расширений. Поэтому согласные расширения более приспособлены для теории индекса Шура.

Доказывается критерий согласности расширения для случая подполя в Q(en) (напомним, что для оценок индекса Шура интересен именно такой случай).

Предложение (4.2). p-pacuiupeHueQ(en)/k согласно тогда и только только тогда, когда для любого нечетного простого q \ п, такого что q ф р, р | (q — 1) либо Qq(sn)/kq - универсально согласное расширение периода р, либо £пя, € кщ. Здесь ц-произвольная точка поля к, лежащая над q.

Универсально согласные расширения из предложения 4.2 полностью охарактеризованы40, поэтому предложение 4.2 является полноценным арифметическим критерием. Важность предложения 4.2 обусловлена следующим результатом.

39Н.П. Зяпков, A.B. Яковлев, "Универсально согласные расширения Галуа", Зап. научн. сем. ЛОМИ, 71 (1977), 133-152, теоремы 5,6 и комментарии к ним.

40Там же, теорема 6.

Предложение (4.1). Согласность расширения числовых полей к(еп)/к влечет за собой для произвольной конечной группы G экспоненты (или порядка) п и произвольного неприводимого характера х £ 1гг(? оценку тпк(х) I 2.

Приводится пример согласного нециклического расширения.

Пример (4.1). Рассмотрим произвольную конечную группу G, порядок которой имеет вид п = paqß, где 2 < р < q, ра \ (q - 1), а ^ 2. Применение теоремы 4.3 (см. ниже) дает оценку mq(x) I Ра Для произвольного неприводимого характера х 6 Irr G. Применение теоремы 3.5 дает rnq(x) | р"~г. Рассмотрим цепочку включений

Q CkC Q{en),

где к = Q(en)sJ'1p(Gal(®e")/®). Легко видеть, что еПр G kq для произвольной простой точки q поля к, лежащей над q. Действительно, в силу ра | (q — 1) имеем Даже еПр £ Qq. Наконец, заметим нецикличность группы Gal(Q(e„)/fc).

Предложение 4.1 усиливает тем самым теорему Голдшмидта-Айзекса. Нередко на практике возникает потребность оценить индекс Шура неприводимого комплексного характера некоторой конечной группы, про которую известна лишь информация о простых делителях порядка. В таком случае естественная оценка является оптимальной.

Теорема (4.3). 41 Рассмотрим для конечного множества простых чисел ir класс <3Ж конечных групп вида

<5, := {G : \G\ = Д pl\ tp е N}.

JJ6JT

Если |7г| > 1, либо 7Г — {р ф 2}, то оптимальной равномерной оценкой индекса Шура над полем Q неприводимых характеров групп класса <3Ж является

mQ(x) I [{(Р-1)*: pe7r,p^2}]VGG0T,VxeIrrG.

Если же 7г = {2}, то

mq{x) |2, VGg®*, V^elrrG.

41 Для натуральных чисел аi,.. •, а* символом [aj,..., а*] обозначается их наименьшее общее кратное.

С помощью теории индекса Шура устанавливается универсальная согласность п-круговых р-расширений р-локальных полей, которую непосредственно проверить довольно затруднительно.

Теорема (4.2). Рассмотрим р-расширение р-локальных полей к(£п)/к. Если р = 2, то потребуем \/—Т € к. Расширение к(еп)/к является универсально согласным периода п.

Наконец, результаты главы 5 посвящены оценке снизу размерности векторного пространства над полем к, порожденного корнями некоторого многочлена из кольца к[х]. Результаты раздела 5.1 не принадлежат автору. Они приведены для возможности автономного чтения диссертации.

Определение (5.1). Многочлены

определенные для всех действительных значений а е К, называются обобщенными многочленами Чебышева-Лагерра.

Теорема (5.4). Пусть а 6 О \ й<о, либо а = 1 — п — г для некоторого г £ Тогда для всех натуральных п, кроме, быть может, конечного

числа, любая система из корней многочлена Ь^(х2), квадраты любых

двух элементов которой различны, линейно независима над (0.

В следующей теореме Нп{х) обозначает многочлен Чебышева-Эрмита степени п.

Теорема (5.5). При п > 12 многочлены Нчп{х) и ^Я2(п+1)(я;) удовлетворяют свойству: для каждого указанного многочлена любая подсистема из его корней, квадраты любых двух элементов которой различны, линейно независима над (ф.

Теоремы 5.4,5.5 основаны на применении следующего общего результата.

Лемма (5.1). Пусть а(х) £ -сепарабельный многочлен степени п — 1 над полем к с отличной от 2 характеристикой, где п £ Пусть далее СаЦ(а) = б'п-ъ либо СаЦ(а) = Л„_ 1. В этом случае любые [|] корня многочлена А(х) := а(х2), квадраты которых попарно различны, линейно независимы над к.

Представляется весьма любопытным, что задача об оценке снизу размерности векторного пространства, порожденного над к корнями некоторого многочлена из к [ж], находит свое применение в теории задач оптимального управления. Для понимания формулировки теоремы 5.8 (см. ниже) приведем некоторые результаты М. И. Зеликина и Л. В. Локуциевского.

Рассмотрим оптимизационную задачу

г+оо

•1(х) - / (х> Сх) & 111111 О-)

на траекториях управляемой системы

х= и, |и| < 1, х в V, и Е 17 = V; хМ(0) = при А: < д- 1.

Здесь V - евклидово пространство со скалярным произведением •), а С -некоторый самосопряженный линейный оператор. Функция х{€) считается абсолютно непрерывной вместе со своими 29—1 производными. Управление и(£) 6 ¿х(0;+оо)-измеримая функция. Прежде сформулируем доказанную ранее42 теорему о траекториях, не покидающих собственное подпространство V/ формы С. Любую двумерную плоскость Ь в V/ мы будем рассматривать как комплексную плоскость43 С. Итак,

Теорема (5.2). 44 В любой двумерной плоскости Ь С V}, содержащей О, есть [<?/2] пар оптимальных траекторий45 задачи (1), имеющих вид

х(г) = (Акг2? ехр |±га,ь1п М})^') = ехр|±га^ 1п (2)

где Ок £ 15+ различны и находятся из условий

1т Р„(а) = 0, (—1)?+111е Рд(а) > О, (3)

а коэффициенты Ак 6 ®+ находятся из условия (—1)9+1КеРд(а^) = 1 /Ак-Здесь

42М.И. Зеликин, Л. В. Локуциевский, Р. Хильдебранд, 'Теометрия окрестностей особых экстремалей в задачах с многомерным управлением", Тр. МИАН, 277, (2012), 74-90.

43Комплексная структура на Ь выбирается согласовано с евклидовой структурой на Ш.

44В оригинальной работе формулировка данной теоремы содержит опечатку, хотя доказательство корректно.

45 С точностью до поворота и сдвига по времени.

Рч(а) = (2я + га) ((2д - 1) + га)... (1 + га). (4)

Если д нечетно, то в Ь есть еще одна траектория вида х = ^ и и = 1.

Отметим, что в решениях (2) управление совершает счетное число оборотов по окружности Ь П (М = 1} при £ —» 0 за конечное время. Сама траектория х(£) представляет собой логарифмическую спираль, которая тоже проходится за конечное время.

В некоторых случаях линейные комбинации решений (2) дают новые оптимальные решения задачи (1), управление в которых уже двигается не по окружности, а по тору, вложенному в сферу |и| = 1. Для отыскания всех траекторий такого типа мы воспользуемся группой Ли симметрий данной задачи и выделим семейства траекторий, не выходящий за пределы одной орбиты. Для этого выпишем систему принципа максимума. Положим

Х\ = X, Х^ = Х2, • • • , = Хд

Тогда гамильтониан (функция Понтрягина) имеет вид (рх,... ,рд - сопряженные переменные)

Н = -А0(Са;ь 3:1) + (ри х2) + ... + (рд, и). Нетрудно показать, что До Ф 0. Положив До = получаем

р[ = Сх 1, р'2 = -ри ...,р'д = -ря-1 и и = рд/\рд\ Вид этой системы сильно упроститься, если обозначить

гк = {-ХУ'Ьрд-к+х и г„+к = Схк при к ^ д. (5)

Тогда х = С~1гя+1 и

= ¡¿ = г3;...; ¿2, = Си; и = (6)

Данная система обладает следующими симметриями:

1. Группа в! = 50(И) х 80(У2) х ... х 50(Га) с ЗО^) действует на гк и и одновременными поворотами и переводит векторы скоростей (а значит и решения) системы (6) в себя.

2. Группа Сг = К+ действует масштабированием: пусть Л 6 тогда г* \2<>-к+1гк. На самом деле, вектор скорости системы (6) удлиняется в А раз при этом действии. Однако, интегральные кривые по-прежнему переходят в интегральные кривые (только скорость движения по ним возрастает в А раз).

Теорема (5.3). Рассмотрим любой набор двумерных плоскостей Ьт С т = 1,..., N, где - какие-то различные46 собственные подпространства формы С. Если набор собственных значений Xj1,...,XjN формы С удовлетворяет условию

ЛЮ _ ^Ю _ = РяЫ = "' л■

для каких-то различных то любая траектория вида Ф) = £ М2« ехр{±га;т1п|г|)2/т,

т=1 (-7)

и(= ^ Е Ьт ехр-1 ±гаи 1п |*| \ут,

т=1 }

является оптимальной для задачи (1) при любом выборе единичных векто-

ров ут 6 Ьт и ненулевых чисел Ьт € К, лишь бы ц2 ^ ^т = 1-

т= 1

Более того, таким способом описываются все возможные (с точностью до сдвига по времени) оптимальные траектории задачи (1), не покидающие какую-либо фиксированную орбиту группы С? = х Сг-

Теорема (5.8). При каждом п = 4, 15 в соответствующей задаче оптимального управления 1 (при надлежащем выборе согласно теореме 5.3 матрицы С) существует оптимальное решение, управление которого проходит всюду плотную обмотку к-мерного тора (к ^ [|]). Такая обмотка (точнее ее половина, соответствующая положительному направлению времени) целиком проходится за конечное время. Оптимальное решение представляет собой логарифмическую спираль, которая также проходится за конечное время.

46 Случай N = 1 не исключается. В этом случае подойдет любое собственное значение Aj формы С, лишь бы dim V,- > 1.

Благодарности

Автор считает своим приятным долгом выразить признательность коллективу кафедры высшей алгебры за предоставленную возможность неоднократного выступления на научно-исследовательском семинаре. Хочется также поблагодарить научного руководителя к.ф.-м.н. доцента И. А. Чубарова за внимание к работе, посильную помощь.

Автор благодарит чл.-корр. РАН д.ф.-м.н. профессора М. И. Зеликина и к.ф.-м.н. ассистента JI. В. Локуциевского за предоставленную возможность проиллюстрировать теорию Галуа на примере задачи оптимального управления.

Работы автора по теме диссертации

[1] Д. Д. Киселев, "Поля разложения конечных групп", Изв. РАН. Сер. мат., 76:6, (2012), 95-106.

[2] Д. Д. Киселев, Б. Б. Лурье, "Ультраразрешимость и сингулярность в проблеме погружения", Записки научных семинаров ПОМИ, 414, (2013), 113— 126.

[3] Д. Д. Киселев, "Об оценке индекса Шура неприводимых представлений конечных групп", Мат. сб., 204:8, (2013), 73-82.

[4] Д. Д. Киселев, "Примеры задач погружения, у которых решения только поля", УМЕ, 68:4, (2013), 181-182.

В работе [2] соавтору принадежат: исследование условия согласности в задаче (k(s/d)/k, Qg, tp, Z4) для char А; ф 2, d 6 к*/к*2, вводная часть а также замечания по поводу универсально разрешимых задач.

Диссертанту в работе [2] принадлежат: доказательство теоремы 2, теоремы 3 и теоремы 4.

Теорема 1 получена авторами совместно.

Подписано в печать 28 октября 2013 г. Объем 1,0 усл. п. л. Тираж 100 экз. Отпечатано в типографии «Реглет». Заказ № 206 119526 г. Москва, пр-т Вернадского, д. 39 www. reglet. Ru, тел. +7 495 363 78 90

Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Киселев, Денис Дмитриевич, Москва

ФГБОУ ВПО Московский государственный университет имени

М.В. Ломоносова

Киселев Денис Дмитриевич

Задача погружения и ее применения: индекс Шура, оптимальное управление

Специальность 01.01.06 (математическая логика, алгебра и теория чисел)

Диссертация

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент И. А. Чубаров

На правах рукописи

04201451675

Москва 2013

Содержание

0 Введение 3

0.1 Актуальность темы....................................................3

0.2 Цель работы ..........................................................5

0.3 Методы исследования................................................5

0.4 Теоретическая и практическая ценность............................5

0.5 Результаты автора по теме диссертации............................6

0.6 Структура и объем диссертации....................................10

0.7 Апробация работы....................................................10

0.8 Благодарности........................................................11

1 Вспомогательные утверждения 11

1.1 Индекс Шура..........................................................11

1.1.1 Теорема Брауэра-Витта......................................11

1.1.2 Теорема Бенарда-Шахера....................................19

1.1.3 Результаты С. Д. Бермана об индексе Шура................21

1.1.4 Об одном результате Ю. Л. Баранника......................37

1.2 Задача погружения....................................................39

1.2.1 Алгебры Галуа................................................40

1.2.2 Подъем, спуск, сопутствующие задачи......................44

1.2.3 Описание решений задачи погружения......................48

1.2.4 Условие согласности, универсальная согласность..........51

1.2.5 Условия погружения А. В. Яковлева........................63

1.2.6 Об одной теореме Д. К. Фаддеева............................65

2 Ультраразрешимые задачи погружения 68

2.1 Сингулярные и регулярные решения................................69

2.2 Примеры ..............................................................78

3 К теореме Голдшмидта-Айзекса 81

3.1 Исключительный случай р = 2......................................81

3.2 Новые достаточные условия..........................................83

3.2.1 Об условии Фейна............................................83

3.2.2 Алгоритмический признак....................................84

3.2.3 Другой достаточный признак................................86

3.2.4 Оценка индекса Шура над полем Q........................87

4 Оценка индекса Шура 91

4.1 Описание главы........................................................91

4.2 Доказательства теорем................................................93

4.3 Критерий согласности расширения..................................97

5 Линейная независимость корней многочлена 100

5.1 Введение................................100

5.1.1 Иррациональная обмотка тора...............101

5.2 Доказательство линейной независимости .............108

5.3 Примеры ...............................111

5.4 Обмотка тора.............................112

О Введение

0.1 Актуальность темы

Настоящая диссертационная работа посвящена во многом изучению как взаимосвязей между фундаментальным понятием индекса Шура (см. [62]) неприводимого комплексного характера конечной группы и разделом теории Галуа, известным как задача погружения (см. [16]) так и доказательству отдельных новых результатов в каждой из перечисленных областей.

(во многом это относится к таблице характеров а также к р-локальному строению). Представляет интерес помимо оценок индекса Шура еще и нахождение по возможности меньшего по размерности над Q поля алгебраических чисел, в котором данное неприводимое комплексное представление реализуется. Например, вопрос существования такого поля в n-круговом поле, где п- порядок или экспонента группы, весьма нетривиален [61]. Проблемам "равномерных" оценок индекса Шура посвящены главы 3,4.

С другой стороны, теория задач погружения предоставляет дополнительные средства для исследования индекса Шура, так как хорошо известное условие согласности Фаддеева-Хассе (см. [5] а также [54, 55]) для задач погружения с абелевым ядром представляет собой по существу критерий равенства индекса Шура единице над фиксированным полем. Такая точка зрения используется в главе 3 для упрощения некоторых доказательств а также в главе 4 уже по существу. Можно, однако, на основании результатов из теории индекса Шура исследовать некоторые вопросы теории погружения. Примеры этому приводятся в главе 4.

Существует довольно интригующая проблема в теории погружения, касающаяся решений таких задач. В теории задач погружения решения наиболее естественно искать в классе алгебр Галуа. Это дает возможность особенно в случае абелева ядра использовать аппарат гомологической алгебры. Именно на этом пути A.B. Яковлевым (см. [41]) было найдено необходимое и,достаточное условие существования решения задачи погружения в случае абелева ядра. Наиболее значительным применением теории погружения стало доказательство теоремы И. Р. Шафаревича о реализуемости конечной разрешимой группы в виде группы Галуа относительно произвольного поля алгебраических чисел (см. [36]-[39]). Это оказалось возможным потому, что в глобальных полях разрешимость задачи погружения с абелевым (теорема Д. К. Фаддеева-А. Шольца [16, Гл. 3.§6, теорема 3.6]) и, более общо, нильпотентным ядром (см. [15]) в смысле алгебр Галуа равносильна разрешимости в смысле полей. Последнее, к сожалению, возможно далеко не всегда. Простейший пример -задача погружения конечного расширения конечных полей в поле с нециклической группой Галуа. Более сложный пример - погружение конечного р-расширения р-локальных полей в поле с р-группой Галуа, число образующих которой больше числа образующих группы Демушкина (см. [7],[9],[10]) основ-

ного поля. В связи с этим представляет интерес проблема построения разрешимых задач погружения, все решения которых заведомо являются полями. Глава 2 полностью посвящена данному вопросу.

Наконец, в теории Галуа можно ставить естественный вопрос о размерности линейной оболочки над полем к корней сепарабельного многочлена f(x) £ к[х]. Довольно примечательно, что такая проблема имеет связи с теорией оптимального управления. В главе 5 приводятся некоторые общие результаты по данному вопросу а также изучаются частные случаи, имеющие отношение к задачам оптимального управления. Весьма примечательно, что и здесь используются некоторые результаты теории задач погружения.

0.2 Цель работы

Целью диссертации является построение равномерных оценок индекса Шура неприводимых комплексных представлений конечных групп заданной экспоненты или заданного порядка а также оптимальной равномерной оценки индекса Шура на классе конечных групп с известными простыми делителями . порядка; построение бесконечной нетривиальной серии примеров задач погружения, у которых все решения являются полями; решение проблемы М. И. Зеликина-Л. В. Локуциевского1 в некоторых частных случаях.

0.3 Методы исследования

0.4 Теоретическая и практическая ценность

И. Зеликин, Л. В. Локуциевский. Р. Хильдебранд, "Геометрия окрестностей особых экстремалей в задачах с многомерным управлением", Тр. МИАН, 277, (2012), 74-90, гипотеза 1.

0.5 Результаты автора по теме диссертации

Перечислим основные результаты, полученные автором. Все перечисляемые результаты являются новыми и составляют научную новизну диссертации.

Теорема 0.1 использует локальную двойственность Тейта (см. [16, теорема Д.3.2]). Понятие сингулярных и регулярных решений вводится в определении 2.3.

Теорема 0.1. Рассмотрим разрешимую задачу (К/к, О, <р, Ы) с абелевым ядром N. Обозначим Р = Од1(К/к). Пусть к-локальное поле. Фиксируем собственную подгруппу (если существует) А группы N, нормальную в С. Тогда любая фиксированная система представителей (по модулю классов эквивалентных в узком смысле регулярных решений) классов эквивалентных в узком смысле сингулярных решений задачи (К/к, С?/А, ср1, N /А) находится в биективном соответствии с элементами группы

Нот^А, К*)/(Нот^АТ, К*)/Ъ.отР(Ы / А, К*)).

а Ур- группа единиц р-пополнения поля Е. Штрих обозначает переход к двойственной группе.

Аналогичными теореме 0.1 рассуждениями, но только с применением глобальной двойственности Тейта (см. [16, следствие к теореме Д.3.5]), доказывается следующая

Теорема 0.2. Рассмотрим разрешимую задачу (К/к, (£>, ./V) с абелевым ядром N. Обозначим Р — Са1 (К/к). Пусть к-глобальное поле. Пусть 5-конечное множество точек поля К, содержащее все простые делители экспоненты N а также все разветвленные точки поля К над к. Фиксируем собственную подгруппу (если существует) А группы N. нормальную в С. Тогда любая фиксированная система представителей (по модулю классов эквивалентных в узком смысле регулярных решений) классов эквивалентных в

узком смысле сингулярных решений задачи (K/k, G/A, </?i, N/A) находится в биективном соответствии с элементами группы

(Нот Р(А, С к, s)/ (Hom^(iV, Ск,3)/ЯотР(М/А, CKis)))'.

Теорема 0.3. Рассмотрим ультраразрешимую задачу (К/к, G, (р, N). Поднимем ее до задачи (L/k, G Хр Fi, Тр, N), где F = Qdl(K/k), F\ = Gd\(L/k). В указанных ниже достаточных условиях поднятая задача будет ультраразрешимой: либо (1) композиционные факторы группы Gal(L/K) являются неабелевыми простыми группами, а все подгруппы группы N нормальны в N; либо (2) группа Gai (L/K) разрешима, а N совпадает со своим коммутантом.

По-видимому не существует примеров задач погружения, удовлетворяющих условию (2) теоремы 0.3, однако доказать или опровергнуть это утверждение весьма непросто. В диссертации рассматриваются случаи, когда ядро N является знакопеременной группой степени не ниже 4 или группой Ь2(р2) для всех простых р. В этих случаях действительно не существует примеров ультраразрешимых задач погружения.

Теорема 0.4. Пусть (К/к, G, N) -разрешимая задача погружения над произвольным полем к. Если N-знакопеременная группа степени не ниже 4 либо группа /^(р2) для некоторого простого р, то в качестве решения всегда можно выбрать алгебру Галуа, не являющуюся полем.

Задачи погружения, удовлетворяющие условию (1) теоремы 0.3, построить можно, и на этом основана следующая

Теорема 0.5. Существует семейство неабелевых простых групп (5, являющееся бесконечным, и такое, что для произвольной группы N\, композиционные факторы которой принадлежат задача погружения для произвольного расширения

1 -> iVi -► F = Gal(Q(\/3)/Q) -> 1

имеет поле-решение L. В частности, задача (L/Q, QsX-fFi, N) является ультраразрешимой, но при этом N ^ Ф(£?8 XF Fi)-

Теорема 0.6. Пусть G-конечная группа порядка (или экспоненты) п, а т - порядок какой-нибудь максимальной циклической подгруппы в группе Z*. Если п ф 4, то m<q>(x) | для любого х £ IrrG.

В связи с теоремой 0.6 вводится и изучается понятие согласного кругового расширения (см. определение 4.1) и доказывается критерий согласности расширения (см. предложение 4.2). Приводится пример согласного нециклического расширения (см. пример 4.1).

Следующая теорема посвящена Э. Галуа.

Теорема 0.7. Рассмотрим конечную группу G нечетного порядка п. Пусть далее п — р^1 ... pkss - каноническое разложение числа п на простые множители. Обозначим т — pi.. .ps. Если правильный т-угольник допускает построение с помощью циркуля и линейки, то для любого характера х £ Irr G имеем mq(x) = 1-

Нередко на практике возникает потребность оценить индекс Шура неприводимого комплексного характера некоторой конечной группы, про которую известна лишь информация о простых делителях порядка. В таком случае естественная оценка является оптимальной.

Теорема 0.8. 2 Рассмотрим для конечного множества простых чисел -к класс конечных групп вида

<5* |G| = JJ ptp, tp € N}.

pGir

Если 17г| > 1. либо тт = {p ф 2}; то оптимальной равномерной оценкой индекса Шура над полем Q неприводимых характеров групп класса является

I [{(Р - 1), : Р е тг, р ф 2}] VG G VX G IrrG.

2 Для натуральных чисел aj,..., а^ символом [ai,.... a/t] обозначается их наименьшее общее кратное.

Если же 7г = {2}, то

т®{Х) |2,УСеб„ УХе1ггС.

Наконец, результаты главы 5 посвящены оценке снизу размерности векторного пространства над полем к, порожденного корнями некоторого многочлена из кольца к[х]. В следующей теореме Щ(х) обозначает обобщенный многочлен Чебышева-Лагерра степени п (см. определение 5.1).

Теорема 0.9. Пусть а Е 0 \ %<<о, либо а = 1 — п — г для некоторого г £ Тогда для всех натуральных п, кроме, быть может, конечного числа, любая система из корней многочлена квадраты любых двух

элементов которой различны, линейно независима над (Ц).

В следующей теореме Нп(х) обозначает многочлен Чебышева-Эрмита степени п.

Теорема 0.10. При п > 12 многочлены П2П(х) и ^Н2П+\{х) удовлетворяют свойству: для каждого указанного многочлена любая подсистема из его корней, квадраты любых двух элементов которой различны, линейно независима над (Ц).

Представляется весьма любопытным, что задача об оценке снизу размерности векторного пространства, порожденного над к корнями некоторого многочлена из к[х], находит свое применение в теории задач оптимального управления.

Теорема 0.11. Для натурального п ^ 2 можно построить многомерную задачу оптимального управления, имеющую в качестве решения траекторию в виде логарифмической спирали, проходимой полностью за конечное время, а в качестве управления- траекторию в виде всюду плотной обмотки -мерного клиффордова тора, которая проходится за конечное время (точнее та ее половина, что соответствует положительному направлению времени), если многочлен К{х) степени п — 1. определяемый из условия

^ 2 п

И(х2) = — 1т ТТ(г£ + ])■> х 11 з=1

имеет относительно поля <0> группу Галуа, содержащую 1 (после канонического вложения в 5„_1). В частности, это так при п ^ 15.

0.6 Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения и 5 глав. Главы подразделяются на разделы и подразделы. В главах 2,4 подразделы отсутствуют. В главе 1 излагаются некоторые известные результаты в проблеме погружения и теории индекса Шура, многократно используемые в диссертации. За исключением вводной части главы 5 (раздел 5.1) все результаты глав 2-5 получены диссертантом самостоятельно.

Диссертация написана на 121 странице. Список литературы состоит из 63 наименований.

0.7 Апробация работы

Результаты работы докладывались на научно-исследовательском семинаре кафедры высшей алгебры (2011-2013 гг.), на семинаре "Избранные вопросы алгебры" кафедры высшей алгебры (2009-2013 гг.) а также на семинаре "Геометрические методы в теории оптимального управления" кафедры общих проблем (октябрь, 2012 г.) управления механико-математического факультета МГУ. Результаты главы 3 докладывались на международном алгебраическом симпозиуме, посвященном 80-летию кафедры высшей алгебры механико-математического факультете МГУ и 70-летию профессора А. В. Михалева (Москва, 15-18 ноября 2010 г.) а также на научной конференции "Ломоносовские чтения" (Москва, ноябрь 2011 г.). Результаты главы 5 докладывались на международной конференции "Алгебра и комбинаторика", посвященной 60-летию чл.-корр. РАН профессора А. А. Махнева (Екатеринбург, 3-7 июня 2013 г.).

По теме диссертации автором опубликованы 4 работы в журналах ВАК (работы [20]-[23]). В работе [21] соавтором написано введение, проверено условие согласности в задаче погружения квадратичного расширения поля с характеристикой отличной от двух в поле с кватернионной группой восьмого порядка, а также сделаны замечания по поводу универсально разрешимых задач погружения. Остальная часть работы [21] выполнена диссертантом самостоятельно.

В работе [20] в формулировке теоремы 1.4 (и, как следст