Структура идеалов как модулей Галуа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Основные обозначения

Введение

Глава 1. Теорема Крулля-Шм ид та и прочие вспомогательные результаты

§1. Теорема Крулля-Шмидта для конечномерных модулей.

§2. Теорема Крулля-Шмидта для модулей конечного ранга.

§3. Переход к пределу в теореме Крулля-Шмидта.

§4. Тензорное произведение как алгебра Галуа.

§5. Композит-модули

§6. Некоторые результаты о ветвлении в абелевых расширениях

V г'./.ъ :>•;-•• .■-,■> . - ■ ■ • •■:

Глава 2. Разложимость идеалов как модулей Галуа в строго сепарабельных абелевых расширениях локальных полей

§7. Разложение идеалов в циклических расширениях степени р

§8. Случай расширения с группой Галуа {Ъ/(р))

§9. Доказательство теоремы А.

§10. Свойства циклических расширений

§11. Доказательство теоремы Б.

Глава 3. Изоморфность идеалов как модулей Галуа.

§12. Случай неразложимых идеалов

§13. Факторная эквивалентность

§14. Доказательство теорем Г и Д.

Глава 4. Разложимость идеалов в дедекиндовых кольцах.

§15. Поле разложения.

§16. Доказательство теоремы Е.

Глава 5. Разложимость идеалов в неабелевом случае.

§17. Центральные идемпотенты.

§18. Разложимость идеалов.

Стало общим местом в работах по аддитивным модулям Гадуа числовых полей в первую очередь ссылаться на Гильберта, который в 1897 году доказал следующий результат. Кольцо целых абелева расширения поля Q, степень которого взаимно проста с дискриминантом, имеет целый нормальный базис (см. [Н], Satz 132). С этого момента начало развиваться исследование аддитивных модулей Галуа глобальных и локальных шлей. Чуть позже Шпайзер ослабил условие Гильберта и доказал тот же результат для абелевых всюду ручных расширений поля Q. Если обратиться к произвольному абелевому расширению числовых полей, то требование, чтобы это расширение было всюду ручным, для существования нормального базиса в кольце целых, как оказалось, является необходимым, но не достаточным, и поэтому появилось много работ, где изучаются препятствия к существованию нормального базиса у кольца целых. Подробности можно найти в монографии Фрёлиха (см. [Fr]). В случае наличия дикого ветвления у расширения структура кольца целых как модуля Галуа остается практически неисследованной до сих пор. Имеются лишь разрозненные результаты.

В локальной ситуации дело обстоит много лучше, хотя и здесь в случае дикого ветвления сделаны лишь первые шаги. Возникают следующие естественные вопросы:

A) Когда два идеала изоморфны как модули Галуа?

Б) Когда кольцо целых (его идеалы) разложимо в нормальном расширении локального поля (в общем случае - полного дискретно нормированного поля с полем вычетов конечной характеристики) как модуль Галуа?

B) Какова структура кольца целых (его идеалов) как модуля Галуа?

Ответ на первый вопрос получен практически полностью (см. [Byl] для абелева случая и [BV4] в произвольном случае).

Условия разложимости идеалов в абелевых р-расширениях получены также почти во всех случаях. Для обычных локальных полей см. [BoV, VI, V2, Ml, М2, МЗ], для полных дискретно нормированных полей с произвольным полем вычетов конечной характеристики и абелевых р-расширений с сепарабельным расширением полей вычетов см. [BVZ, BV1]. Отметим, что разложимость идеалов существенно используется как при исследовании изоморфности идеалов, так и при изучении структуры кольца целых как модуля Галуа (см., например, [Ву2]). Суть дела в том, что часто приходится применять теорему Крулля-Шмидта, в которой неразложимость исследуемых модулей является одним из условий.

Остановимся теперь на последнем вопросе. Здесь первый общий результат был получен Э. Нётер, которая в 1932 году (см. [N]) доказала, что в нормальном расширении локального поля (т.е. конечного расширения поля Qp) кольцо целых имеет нормальный базис тогда и только тогда, когда расширение является ручным (т.е. слабо разветвлено). Для идеалов кольца целых в расширениях с высшим (диким) ветвлением аналогичный результат был доказан С. Улломом и в явном виде С. Востоковым (см. [U, V3]). А именно, пусть К/к — вполне разветвленное р-расширение локального поля к. Тогда идеал I кольца целых О поля К имеет нормальный базис в том и только в том случае, если расширение является элементарным абелевым с единственным скачком ветвления, равным 1, а идеал I изоморфен максимальному идеалу кольца О. Фрёлих и Мията обобщили результаты Нётер и Уллома, изучая кольцо целых (Фрёлих) и идеалы (Мията) с точки зрения относительной проективности (см. [М4]). Существование нормального базиса у идеала I в нормальном расширении К/к с группой Галуа (? равносильно, очевидно, тому, что идеал является свободным модулем ранга 1 над групповым кольцом о [С] (или, что тоже самое, изоморфен о [С?]).

Указанные выше результаты показывают, насколько редко кольцо целых и его идеалы могут иметь простую структуру. Заметим при этом, что групповое кольцо о [б] никак не связано с идеалом I, поэтому естественно попытаться найти такой порядок в алгебре к[0\, который был бы тесно связан с идеалом. Такой порядок впервые определил X. Леопольдт в работе [Ь] и он называется ассоциированным порядком (в российской литературе - кольцо множителей). Леопольдт (см. [Ь]) показал, что в конечном абелевом расширении К/к для к — кольцо целых поля К изоморфно своему ассоциированному порядку. Это оказалось верным также, когда к - круговое расширение поля ¡0) ( см. [СЦ ВЬ, В1]), но есть примеры поля к, для которых существуют расширения К/к поля к при этом даже неразветвленные, такие что в них кольцо целых не изоморфно своему ассоциированному порядку (см. [Вг]).

Как уже отмечалось, в глобальном случае ситуация значительно сложнее и практически нет общих результатов. Вопрос о разложимости кольца целых и его идеалов Галуа решен для абелевых расширений дедекиндовых колец (поле вычетов в каждой точке которого имеет конечную характеристику) в предположении сепарабельности всех расширений полей вычетов (см. [В1У] для р-расширений и [ВУЗ] в общем случае). В частности, это означает, что найдены условия разложимости колец целых в абелевых расширениях числовых полей.

Эта работа посвящена, в основном, исследованию вопросов А) и Б). Основным методом является непосредственное изучение аддитивных модулей Галуа. При этом получаемые результаты имеют большую общность.

Автором также достигнут существенный прогресс в последнем вопросы. Однако по формальным причинам соответствующие результаты не вошли в диссертацию (работы находятся в печати).

Для исследования основных вопросов мы в первой главе формулируем и доказываем некоторые вспомогательные результаты.

Одним из основных инструментов исследования разложимости идеалов является теорема Крулля-Шмидта (теоремы об однозначности разложения в сильной формулировке, т.е компоненты одного разложения можно дополнить компонентами другого), см. параграфы 8 и 19. В первых трех параграфах я доказываю эту теорему и некоторые связанные с ней результаты для широкого класса колец. Как известно, для этого достаточно доказать, что кольца эндоморфизмов неразложимых модулей локальны, этим мы и будем заниматься. Этот результат хорошо известен для полей и других артиновых,нетеровых колец. Аналогичный результат для колец целых локальных полей был доказан в [ВР].

В первом параграфе доказывается, что теорема Крулля-Шмидта для конечнопорожденных алгебр над данным кольцом равносильна гензелевости этого кольца. Это утверждение было доказано в работе [Е] для коммутативных алгебр.

Во втором параграфе я занимаюсь модулями конечного ранга. Основное утверждения параграфа 2 сформулировано в виде перехода (т.е. если свойство выполнено для одного кольца, то оно выполнено для другого, связанного с первым). Если применить переход один раз, то получится утверждение для гензелевых колец нормирования, при многократном применении получаются кольца целых многомерных (в весьма общем смысле) полей.

В параграфе 3 доказывается что утверждение о локальности колец эндоморфизмов неразложимых модулей выполнено для предела колец, если оно выполнено для каждого из них.

Таким образом, описываемые результаты являются обобщением классических. Они были доказаны в [В1].

В четвертом параграфе приводятся некоторые технические результаты о тензорном произведении полей. Они нужны нам для того, чтобы расширить скаляры в случае отсутствия в нижнем поле требуемых корней из единицы.

В пятом параграфе вводится аналог дробных идеалов для этих произведений и доказываются некоторые результаты о них.

В шестом параграфе доказываются некоторые вспомогательные результаты из теории ветвления. Они нужны для того, чтобы исследовать те расширения, в которых есть разложимые идеалы.

Результаты этих трех параграфов не являются полностью новыми, но существенно отличаются от известных постановкой и общностью рассматриваемой ситуации. Они были получены в первых параграфах \BVZI и [ВУЗ].

В главе 2 доказываются две основных теоремы про разложимость идеалов как модулей Галуа в строго сепарабельных расширения полных дискретно нормированных полей. Параграфы 7-9 посвящены доказательству следующего результата.

Теорема А,

Пусть К/к — абелево р-расширение полных дискретно нормированных полей характеристики 0 с полем вычетов характеристики р. Предполагается, что соответствующее расширение полей вычетов сепарабельно. Пусть С? = (К/к), и пусть о — кольцо целых поля к. Тогда некоторые идеалы в К разложимы как о[<У|-модули, если и только если индекс ветвления К ¡к не равен 1 и делит дифференту К/к.

Этот результат был получен в

В оставшейся части главы этот результат усиливается. Находятся условия разложимости данного идеала в абелевом р-расширении полного дискретно нормированного поля. Доказывается следующая теорема.

Теорема Б.

Пусть мы находимся в условиях теоремы А и Ш — максимальный идеал кольца целых поля К. Тогда идеал I = разложим как о[СО]-модуль в том только в том случае, если выполнено два условия: а.) Рт | Эк/л

Ъ.) Или К = Ki(^Kll где тгкх — униформизующий элемент подрасширения Кг в К/к такого, что \К : Ki) = р, или в р-адическомразложении ус = лг0 + ^1Р+-., 0 iC щ < р — 1, либо х0 = О, либо существует щ, 0 ^ г < т - 1, такой, что > ё, где е mod (р — 1), 1<ё<р — 1.

Десятый параграф посвящен случаю циклического расширения степени р, который является базой при индукционном рассуждении в общем доказательстве. Наконец, в одиннадцатом параграфе доказывается заключительный результат главы — теорема Б.

Этот результат был получен в [BV1].

В третьей главе исследуется вопрос об изоморфности идеалов как модулей Галуа во вполне разветвленных расширениях полных дискретно нормированных полей.

Во первом параграфе главы найдены необходимые и достаточные условия изоморфности неразложимых идеалов в произвольном р-расширении Галуа. Грубо говоря, не бывает неочевидных изоморфностей между идеалами. Результат формулируется следующим образом.

Теорема В.

Пусть 11,1-2 — о[0]-неразложимые идеалы в произвольном /^-расширении Галуа К ¡к полных дискретно нормированных полей. Тогда It и h h = aJ2, a € k.

Следующий параграф является подготовительным к последнему, четырнадцатому параграфу главы, в котором обобщаются результаты Н. Байотта. Он доказал в работе [Byl], что в абелевом вполне разветвленном нециклическом р-расширении, при наличии некоторого ограничения на наименьший скачок ветвления группы Галуа G = Gal(К/k) два идеала изоморфны как модули Галуа тогда и только тогда, когда разность их показателей делится на степень расширения п = [К -. к]. В четырнадцатом параграфе этот результат усиливается, доказывается то же утверждение для произвольного р-расширения Галуа, которое не является циклическим и почти максимально разветвленным.

Так как случай р = 2 почти полностью разобран в [By], то будем считать, что р> 2.

Теорема Г.

Если максимальный скачок ветвления нормального вполне разветвленного расширения К/к не превосходит — 1, то I\ « h h — ah, к. г

Используемые методы позволяют легко доказать следующее утверждение для не р-расширений.

Теорема Д.

Если п = psm, (m,p) = 1, G — H®D, card(D) = m, KD = N, KH = E, Gal(K/N) = {g), Nfk удовлетворяет условиям теоремы Г, то идеалы h и ¡2 изоморфны как о[С}-модули тогда и только тогда, когда г = j mod п.

Результаты главы были получены в [BV4].

В четвертой главе исследуется разложимость идеалов в расширениях дедекиндо-вых колец. Основной результат главы формулируется следующим образом. Пусть о — дедекиндово кольцо нулевой характеристики с полем отношений к. Пусть К/к — абелево расширение нечетной степени с группой Галуа G. Мы предполагаем, что расширения соответствующих полей вычетов сепарабельны. Пусть £>к — целое замыкание кольца о в К и ^к/k — дифферента расширения К ¡к.

Теорема Е.

В К/к существуют G-инвариантные идеалы, разложимые как о[С]-модули, тогда и только тогда, когда существует подрасширение F в К/к, F ф К, такое, что степень [К : F] делит дифференту ® k/f этого подрасишрения.

В пятнадцатом параграфе мы избавляемся от поля разложения, т.е. доказываем, что разложение любого композит-модуля должно происходить над кольцом целых подполя разложения простого идеала, делящего п. В последнем, шестнадцатом параграфе четвертой главы дано доказательство основного результата.

Результаты главы были получены в [ВУЗ]. Случай р-расширений был отдельно разобран в [BLVJ.

В последней, пятой главе доказываются некоторые результаты, связанные с разложимостью идеалов как модулей Галуа во вполне разветвленных неабелевых расширениях локальных полей. В семнадцатом параграфе для них доказывается отсутствие нетривиальных центральных идемпотентов, т.е. идемпотентов из кольца эндоморфизмов большего поля как модуля Галуа, которые являются также элементами стабилизатора идеала в групповой алгебре Галуа, а значит, будут лежать в центре групповой алгебры. Таким образом, выполнено следующее утверждение.

Теорема Ж.

Если К/к — вполне дико разветвленное расширение полных дискретно нормированных полей с полем вычетов характеристики р, то *BK/k(I,I) = Hom0[G] (I, I) не содержит центральных идемпотентов, а значит, ?8К/к(1,1) неразложим как кольцо.

Этот результат был доказан также в работе [М1] для некоторого частного случая. К сожалению, вопрос о разложимости идеалов в общем случае остается открытым. Однако при некоторых ограничениях на скачки ветвления неразложимость удается доказать в восемнадцатом параграфе.

Теорема 3.

Если К/к обладает тем свойством, что для каждого промежуточного нормального подрасишрения к с F с К с циклическим центром H = Gai(F/k) степени m выполнено h < "^J"1, где h — наибольший скачок ветвления F/k, то в К нет идеалов, разложимых как о\С]-модули.

Результаты пятой главы были получены в [В2].

В заключение автор выражает глубокую благодарность за постановку задач и постоянную поддержку своему научному руководителю профессору C.B. Востокову.