Алгебраические множества над абелевыми и нильпотентными группами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Федосеева Юлия Михайловна

Алгебраические множества над абелевыми и нильпотентными

группами

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

В.Н. Ремесленников

Омск-1998

Оглавление

Введение 4

1. Алгебраические множества над абелевыми группами 8

1.1. Уравнения над абелевыми группами........................8

1.2. Категория С-групп............-..................10

1.3. Канонический вид системы уравнений над абелевыми группами......................................................18

1.4. Классификация алгебраических множеств................27

1.5. Описание координатных групп ............................28

2. Алгебраические множества над нильпотентными группами 32

2.1. Уравнения над нильпотентными группами................32

2.2. Классификация алгебраических множеств в С1, С Е 37

2.3. Невырожденные системы уравнений......................39

2.3.1. Переход к мальцевским пополнениям..............40

2.3.2. "Хорошее" подмножество множества решений невырожденной системы уравнений. ......... 41

2.3.3. Примеры...................................43

2.3.4. Высоты элементов нильпотен^ной группы без кручения ..................................................48

2.3.5. Структура множества решений невырожденной системы уравнений......................51

Введение

Настоящая диссертация посвящена созданию основ алгебраической геометрии над абелевыми и, более общо, над нильпотентными группами. Основной проблемой в классической алгебраической геометрии является проблема классификации алгебраических множеств над заданным полем к. Здесь под алгебраическим множеством понимается множество решений системы полиномиальных уравнений с коэффициентами из поля к.

Системы уравнений над группами изучались во многих работах по теории групп и к настоящему времени получено большое количество результатов о системах уравнений и множествах их решений. В работе [ВМИ] Г. Баумслаг, А. Мясников и В. Ремесленников перенесли основные понятия классической алгебраической геометрии на категорию всех групп. Были определены аналоги кольца многочленов, аффинного пространства, алгебраического множества, идеала, кольца регулярных функций, введена топология Зарисского, понятие неприводимого алгебраического множества. Также в [ВМ11] были изучены свойства этих понятий и взаимосвязи между ними. В указанной работе система понятий подобрана таким образом, чтобы она работала достаточно эффективно для групп, близких к свободным, например, для гиперболических групп. Так, основным понятием в ней является понятие О-области. Для развития алгебраической геометрии для многообразий групп, отличных от многообразия всех групп, большинство понятий, сформулированных в этой статье, пригодны, но им необходимо придать форму, более удобную для данного многообразия. Так обстоит дело, например, с понятием уравнения. Кроме того, многие понятия, например, С-область, не работают для разрешимых и нильпотентных групп, так как любая такая группа не является С-областью. Поэтому для развития алгебраической геометрии для нильпотентных и разрешимых групп потребовался дополнительный набор понятий и новые методы доказательства теорем.

В диссертации построены аналоги основных понятий алгебраической геометрии над абелевыми и нильпотентными группами, полностью классифицированы алгебраические множества над абелевыми группами и дано описание координатных групп для них. В случае нильпотентных групп ситуация оказалась существенно сложнее. Вряд ли удастся получить удовлетворительную классификацию всех алгебраи-

ческих множеств над нильпотентными группами. Поэтому в диссертации выделены конкретные системы уравнений над нильпотентными группами, для которых классификация все же возможна.

Опишем содержание работы по главам. В первой главе специализируются понятия алгебраической геометрии над группами для многообразия абелевых групп, исследуются системы уравнений над абеле-выми группами и их множества решений.

Параграф 1 главы 1 содержит определения аналогов кольца многочленов, аффинного пространства, алгебраического множества, идеала, определение координатной группы.

Важным понятием в алгебраической геометрии над группами является категория (2-групп. В параграфе 2 дано определение С-группы, исследованы свободные конечно порожденные абелевы С-группы, определены категории С-дискриминируемых и (^-аппроксимируемых абелевых групп. Здесь же определяется характеристика £((?) для произвольной абелевой группы (?, с помощью которой удается классифицировать координатные группы для алгебраических 'множеств над абе-левыми группами и описать все С-аппроксимируемые абелевы группы. Основным результатом является

Теорема 3. Пусть С абелева группа и Н — конечно порожденная С-группа: Н = С? © Щ. Тогда Н аппроксимируется группой С если и только если <

В параграфе 3 изучаются системы уравнений над абелевыми группами. Вводятся определения матрицы над абелевой группой, определителя такой матрицы, элементарных преобразований над ней. Изучены свойства определителя и получен канонический вид матрицы над абелевой группой и канонический вид системы уравнений над абелевой группой. Доказан аналог теоремы Кронекера - Капелли для абелевых групп без кручения.

В параграфе 4 определяются морфизмы алгебраических множеств и классифицируются алгебраические множества над абелевой группой. Теорема 5. Пусть 7 С С — алгебраическое множество. Тогда с точностью до изоморфизма алгебраических множеств У имеет вид:

№],..., <3[ег], С,..., (?)

где в{ Е М, ег-|вг+1, г = 1,..., г — 1, г < п и — т-слой группы С.

Основным результатом параграфа 5 является теорема, дающая описание координатных групп над абелевой группой С:

Теорема 6. Конечно порожденная абелева С-группа Н является координатной группой некоторого множества У С С1 тогда и только тогда, когда £(Н) = £((2).

Во второй главе диссертационной работы переписываются основные понятия алгебраической геометрии над группами для многообразия нильпотентных групп и изучаются множества решений систем уравнений над нильпотентными группами.

В параграфе 1 даны основные определения алгебраической геометрии над нильпотентными группами, введено определение матрицы системы уравнений, определение невырожденной, вырожденной, уни-модулярной, квазиунимодулярной систем уравнений.

В параграфе 2 исследуются системы уравнений от одной неизвестной над 2-ступенно нильпотентной группой О. В случае, когда группа С не имеет кручения, получена полная классификация решений систем уравнений от одной неизвестной над группой С.

В параграфе 3 главы 2, состоящем из 5 пунктов, исследуются невырожденные системы уравнений. В случае, когда группа С — делимая, структура множества решений невырожденной системы уравнений над группой (7 достаточно проста. В общем случае для описания множества решений мы используем две идеи: переход к системам уравнений над пополнением группы О и идею каскадной системы.

Основным результатом пункта 3.2 является Теорема 9. Пусть 5 — невырожденная система уравнений над конечно порожденной нильпотентной группой С без кручения, состоящая из г уравнений от п неизвест.ных и записанная в канонической форме. Тогда проекция множества решений системы 5 на последние п — г координат, отвечающим свободным переменным, содержит класс смежности по подгруппе конечного индекса группы Оп~г.

В пункте 3.3 приведены примеры нахождения множества решений невырожденной системы уравнений.

В пункте 3.4 приведено определение р-высоты элемента нильпотентной группы и изучены её основные свойства.

Основными результатами пункта 3.5 являются Теорема 11. Пусть — конечно порожденная нильпотентная группа без кручения и Б — невырожденная система уравнений над группой состоящая из г уравнений от п неизвестных и записанная в каноническом виде. Если Б совместна, то существует конечное число классов смежности по подгруппе } в = п — г, так,

что если свободным переменным хг+\,... ,хп придадим произвольные значения из этих классов смежности и подставим их в систему Б, то полученная система является совместной и имеет единственное решение.

И наоборот, любое решение системы 5 может быть получено таким образом.

Теорема 12. Существует алгоритм, распознающий совместность невырожденной системы уравнений над конечно порожденной нильпо-тентной группой без кручения.

Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в научных исследованиях, а также при чтении специальных курсов по теории групп.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [Ф1, Ф2, ФЗ, Ф4, Ф5] и докладывались на международной конференции "Комбинаторные и вычислительные методы в математике" (Омск, 1998 г.).

Автор глубоко благодарен своему научному руководителю профессору В.Н. Ремесленникову за постоянное внимание и поддержку в работе.

1. Алгебраические множества над абелевыми группами

1.1. Уравнения над абелевыми группами.

В работе [ВМЫ] Г. Баумслаг, А.Г. Мясников и В.Н. Ремесленников ввели основные понятия и определения алгебраической геометрии над группами. Мы переписываем эти определения для абелевых групп, учитывая их специфику.

Пусть С — абелева группа, Р = Р(Х) — свободная абелева группа с базой X = {х\,..., = С © Р.

Определение 1. Уравнением над группой С мы будем называть элемент з группы 0[Х] = С (В Р — О (В и писать 5 — 0. Элементы множества X будем называть при этом переменными, а элементы группы С — константами.

Как элемент прямой суммы, й записывается в виде

з = агХ1 Н-----1- апхп + д, (1)

где оц Е Ж, д Е С. Множество 5 = | Е С[Х] г Е /} будем называть системой уравнений над С (обозначение 5 = 0).

Решением системы 5 = 0 над группой £ будем называть п-ку элементов (о,1,..., ап), й{ Е С), такую, что после замены Х( на аг- в каждом уравнении системы 5 = 0 получается равенство 0 = 0. Множество решений системы уравнений 5 над группой (7 будем обозначать 1^(5) или если из контекста понятно, над какой группой ищется мно-

жество решений системы 5. Система уравнений

= тцх\ + ... + ггцпхп + = 0, г Е /,

называется однородной, если = 0 для всех г Е I. Иначе система 5 называется неоднородной.

Аналогом аффинного п-мерного пространства будет прямое произведение Сп п копий группы (7, а группа С[Х] будет аналогом алгебры многочленов над С. Элементы группы (7™ мы будем называть точками.

Замечание 1. Пусть С — абелева группа.

1) Пусть 5 = 0 — однородная система уравнений над С и М = У(7(5). Тогда М — подгруппа в С*1.

2) Если 5 неоднородная система уравнений над С и М = 1^(5), то М = / + Мо, где / некоторое решение системы 5, а М"0 — множество решений соответствующей однородной системы ¿о-

Замечание 2. Пусть 5 = 0 — однородная система уравнений над абелевой группой О и М = ^(5). Пусть также д — (д 1,... ,дп) Е М, — некоторое решение системы Б, а ср Е АиЮ — некоторый автоморфизм группы С. Тогда точка (99(^1),..., (р(дп)) также является решением системы Б.

Определение 2. Системы уравнений 5 и Т над абелевой группой С называются эквивалентными, если множества решений этих систем изоморфны в категории алгебраических множеств.

Определение 3. Множество У С С будем называть алгебраическим множеством, если существует система уравнений Б над О такая, что У = У(Б).

Определим групповой аналог понятия идеала подмножества аффинного пространства.

Определение 4. Пусть У С С". Идеалом множества У называется множество

1(У) = Е в[Х\ I Уд Е Уз{д) = 0}. Если У пустое множество, то полагаем 1(0) =

Множество 1(У) имеет хорошее описание на языке гомоморфизмов. С каждым решением д Е У свяжем гомоморфизм ад : —> С,

являющийся С-ретрактом и отображающий Х[ в д^, г = 1,..., гг. Тогда

1(У)= [)Кега-д. (2)

де¥

Очевидно, что 1(У) — подгруппа С[Х].

Определение 5. Координатной группой множества У будем называть фактор-группу С(У) = й[Х]/ 1(У).

Определение 6. Пусть 5 С Радикалом системы 5 будем на-

зывать подгруппу 1(у(3)) = Яас1(3).

Замечание 3. Системы S = 0 и Т = О над абелевой группой G определяют одно и то же алгебраическое множество тогда и только тогда, когда Rad(S) = RadiT).

Предложение 1. [BMR] Пусть G — абелева группа, п £ N.

1) если УЬУ2 С Gn и Yx С У2, то I(Yi) Э /(У2).

2) если ТиТ2 С G[X] и Тх С Т2, то V(Ti) D У(Т2).

/(у1иу2) = /(у1)п/(у2).

всякого Y С Gn V(I(Y)) = У, где У замыкание У.

Доказательство. Дословно повторяет доказательство, приведенное в книге Хартсхорна [Hart]. D

1.2. Категория G'-групп.

Определения. Группа G-автоморфизмов.

Понятие G-группы — это аналог понятия расширения фиксированного поля в теории полей.

Определение 7. [BMR] Зафиксируем некоторую абелеву группу G. Тогда абелеву группу Н будем называть G-группой, если существует мономорфизм

ф : G —> Н.

Мы иногда упоминаем пару (</>, Н) как G-группу Н. Группа G может быть превращена в G-группу, если взять в качестве ф вложение G в себя. Заметим, что G'-группа есть просто группа Н с отмеченной подгруппой, которая изоморфна G. Часто бывает удобно рассматривать этот изоморфизм как вложение, т.е. отождествлять G с её копией в Н.

Класс G-групп очевидным образом составляет категорию. В частности, мы имеем следующее

Определение 8. [BMR] Гомоморфизм

в :Н —► Я'

из абелевой G-группы (ф,Н) в абелеву G-группу (ф',Н') называется G-гомоморфизмом, или просто морфизмом G-групп, если

дфв = дф' для всех g £ G.

Заметим, что такой С-гомоморфизм в : Н —Н' из С-группы Н в С-группу Н' (отождествляя О и её образы в Я и Я') есть просто гомоморфизм из Я в Я' который тождественен на С. В частности, ^-гомоморфизм из б'-группы Н в С-группу С есть гомоморфизм из Н на ее подгруппу С который тождественен на С, т.е. ретракт из Н на С.

Определение 9. [ВМЯ] й-гомоморфизм

9 :Н —> Н'

из С-группы (ф,Н) в О-группу (ф',Н') называется С-изоморфизмом, если 9 — изоморфизм Н и Н' и для любого д £ С дфв = дф'.

Определение 10. [ВЫЯ] Пусть Н — О-группа. Тогда мы говорим, что множество X С Н С-порождает Н если

Н = дг<Х,0>.

Если X может быть выбрано конечным, то мы говорим, что Н является конечно порожденной С-группой.

Определение 11. [ВМЯ] Пусть О абелева группа. Тогда абелева С-группа Н называется свободной абелевой С-группой, если существует такое подмножество X из Н, что

1) X С-порождает Н,

2) для любой абелевой О-группы Н' и любого отображения 9 : X — Н' существует единственный С-гомоморфизм (р : Н —Н', совпадающий с 9 на X.

Мы называем X множеством свободных О-порождающих группы Н и говорим, что Н свободно С-порождена множеством X.

Определение 12. [ВМЯ] Рангом свободной абелевой С-группы Н называется мощность множества свободных С-порождающих X этой группы.

В классе абелевых С-групп свободными (^-группами являются группы, изоморфные прямой сумме группы (7 и свободной абелевой группы: Н = С ф ^(Х). Таким образом, конечно порожденная свободная абелева С-группа ранга п изоморфна группе = Н. Рассмотрим

группу автоморфизмов группы Н. Пусть X = {х\,... }хп] множество свободных С-порождающих Я. Опишем четыре типа нильсеновых преобразований:

N1. Х{ -У Х^, Х^ У Xк -^ к ф 1^]')

N2.

N3. х1 —> Xi + х^ хк —>- Хк, г ф 3, к Ф ^ N4. х{ —> XI + д, хк —> Хк, к ф1,д еС.

Предложение 2. Пусть множество У — {у\,..., получается из множества X конечной цепочкой преобразований ЛП.-Л/"4. Тогда У также является множеством свободных С-порождающих группы Н.

Доказательство. Достаточно доказать, что утверждение справедливо, если У получается из X применением только одного из преобразований УУ1-7У4. Для N1,7У2, N4 утверждение очевидно. Проверим для N3. Пусть X = {XI,... ,хп}, У = {жь ... ,Хг + .. ... ,хп}. Пусть в : У —> Н'. Допустим, что существует (^-гомоморфизмы ф и ф, продолжающие в и не равные друг другу. Тогда ф(х{+х^ = ф(хгЬж/), = 'ф(хз), следовательно, ф{х{) + ф{х^) — ф(х^) + ф(ху), ф(хг) = ф(х^. Получили два ^-гомоморфизма, из Н на Н1, совпадающих на X, но не равных друг другу. Противоречие^

Для любого натурального числа п и абелевой группы С определим кольцо матриц Мп(0). Элементами этого кольца будут матрицы размера п х (п + 1), первые п столбцов которых составлены из целых чисел, а последний столбец составлен из элементов группы С. Матрицу А £ Mn(G) можно записать в виде:

А=(А\д), (3)

где А Е Мп (2), д — (дъ... , дп)г, д{ £ О,г. — I,...,/?,. Сложение на Мп(С) определим естественным образом: пусть А = (А | д), В = (В | /г), тогда

А + В = (А + В I д + 1г). Умножение на Мп{С) определим следующим образом:

Ав = (АВ \ д + АЬ).

Множество матриц А £ МП(С) таких, что йеЬ^А) ф 0 составляют группу по умножению, которую мы обозначим СЬп(С).

Предложение 3. Пусть (7 абелева группа и Н свободная абелева конечно порожденная С-группа. Тогда Аи1с{Н) = СЬп(С).

Доказательство. Пусть Н — О 0 Хп и X = {х\,..., хп} — множество свободных С-порождающих группы Н. Пусть А Е СЬп{С). Построим С'-автоморфизм (рд : Н —> Н. По определению свободной (7-группы, достаточно задать значения <р>д на множестве X. Пусть а^ Е Z,gг■ Е = \oiijlg = {9ь ■ ■ • ,9пУ и

А = (А\д).

Положим

(рд{х1) = ацХх + ... + Щпхп + д{

для всех г = 1,...,п. Отображение : X —> Н продолжается до С-гомоморфизма, который мы обозначим так же. Для <рд существует обратный ^-гомоморфизм, действие которого на X в векторной форме запишется так:

Обратно, пусть (р Е АиЬо{Н). Тогда (р определяется своим действием