Дзета-функции алгебраических поверхностей и якобианы кривых рода 3 над конечными полями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Московский государственный университет имени М В Ломоносова

Механико-математический факультет

г

На правах рукописи УДК 512 813 4, 514 75

Рыбаков Сергей Юрьевич

Дзета-функции алгебраических поверхностей и якобианы кривых рода 3 над конечными полями

Специальность 01 01 06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

0031Б8905

Москва - 2008

003168905

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М В Ломоносова

Научные руководители

Официальные оппоненты.

Ведущая организация

доктор физико-математических наук Михаил Анатольевич Цфасман, доктор физико-математических наук профессор Василий Алексеевич Исковских доктор физико-математических наук, профессор Игорь Вадимович Артамкин, кандидат физико-математических наук Александр Геннадьевич Кузнецов

Санкт-Петербургское Отделение Математического Института имени В А Стеклова РАН

Защита диссертации состоится 23 мая 2008 г в 16 часов 40 минут на заседании диссертационного совета Д 501 001 84 при Московском государственном университете имени M В Ломоносова по адресу Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, МГУ, Механико-математический факультет (Главное здание, 14 этаж)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета Московского государственного университета имени M В Ломоносова

Автореферат разослан 23 апреля 2008 г

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501 001 84 при МГУ доктор физ -мат наук, профессор А О Иванов

Общая характеристика работы Актуальность темы.

Пусть X — гладкое проективное многообразие над конечным полем к = Fg с алгебраическим замыканием к В этом случае у многообразия есть набор важных инвариантов Nr Для данного натурального г число Nr — это количество точек на X = X х^к, координаты которых лежат в Fçr Эти инварианты можно объединить в дзета-функцию многообразия

Г=1

А Гротендик доказал, что дзета-функцию многообразия над конечным полем можно вычислить через характеристические многочлены действия Фробениуса на этальных когомологиях1

В случае, когда X — поверхность, можно классифицировать дзета-функции в терминах геометрии и комбинаторики X Например, в статье M А Цфасмана2 изучался вопрос о количестве fc-точек на расслоениях на коники, а в книге Ю И Манина3 классифицированы дзета-функции поверхностей дель-Пеццо степени не меньше 3, но не доказано, что существуют поверхности с такими дзета-функциями

Поскольку любая поверхность получается раздутием минимальной, достаточно вычислить дзета-функции минимальных поверхностей Для этого требуется классификация минимальных поверхностей над конечным полем Если размерность Кодаиры неотрицательна, то достаточно классических результатов Энриквеса, которые были доказаны Бомбье-ри и Мамфордом для поверхностей над алгебраически замкнутым полем произвольной характеристики4 В остальных случаях можно воспользоваться результатами В А Псковских5 и

Ю И Манина6

о классификации

рациональных поверхностей и расслоений на коники

'М Artin, J-L Verdier, A Grothendieck Theorie des topos et cohomologte eiale des schémas Semmatre de Geometrie Algebnque Lecture notes m mathematics 269, 270,305 Springer 1972-1973

'MA Tsfasman Nombre de points des surfaces sur un corps fini Algebraic Geometry and Coding Theory, de Gruyter, Berlin, 1996, 209-224

3Ю И Манин Кубические формы алгебра, геометрия, арифметика "Наука", 1972

4Е Bombien, D Mumford Enriques ' classification of surfaces in characteristic p II Complex analysis

and algebraic geometry, Iwanami Shoten, Tokyo, 1977, 23—12

6B А Псковских Минимальные модели рациональных поверхностен над произвольными полями Иэв Акад Наук СССР Сер мат ,43, 1979,1,19-43

6Yu I Manin Rational surfaces over perfect fields Publ Math IHES 30, 1966, 55-113

В случае, когда многообразие А абелево, множество рациональных точек А(к) является группой Можно попытаться определить, какие группы данного порядка реализуются как группы точек многообразия Для случая эллиптических кривых такая классификация получена Цфасманом7, а также независимо Волохом8 и Рюкком9, которые использовали результаты Схофа10 Для данного простого £, не равного характеристике к, в диссертации изучаена структура групповых схем А[Щ\, где А — абелева поверхность, и А{1] — ядро умножения на I В частности, можно классифицировать группы А(к)/£А(к)

В диссертации также исследуются дзета-функции кривых рода 3 Классификация таких дзета-функций эквивалентна следующему вопросу Пусть f(x) = х6 + а\х5 + агх4 + а^х3 -f дагх2 + q2aix + q3 — многочлен Вейля, соответствующий классу изогении трехмерных абелевых многообразий над конечным полем Требуется выяснить, существует ли гладкая проективная кривая рода 3 над к, у которой был бы такой характеристический многочлен автоморфизма Фробениуса Иначе говоря, есть ли якобиан гладкой проективной кривой в данном классе изогении Для абелевых поверхностей аналогичный вопрос был рассмотрен Рюкком11, который предложил некоторые достаточные условия для случая обыкновенных поверхностей Существенным продвижением стали работы Э Хоува о ядрах поляризаций на абелевых многообразиях над конечным полем12, которые позволили дать полную классификацию дзета-функций кривых рода 2, у которых якобиан является геометрически простым абелевым многообразием Доказать существование кривой, у которой якобиан изогенен произведению двух эллиптических кривых можно при помощи склейки поляризаций — это простой, но эффективный метод, предложенный Серром13. При помощи метода Кани14 можно выяснить, когда склейка поляризаций дает якобиан кривой Эта программа была

7М A Tsfasman Group of points о] an elliptic curve over a finite field Theory of numbers and its applications, Tbilisi, 1985, 286-287

®J F Voloch A note on elliptic curves over finite fields Bull Soc Math Rrance 116 (1988), no 4, 455-458

9H-G, Ruck A note on elliptic curves over finite fields Math Comp 49 (1987), no 179,301-304

10R Schoof Nonsmgular plane cubic curves over finite fields J Combin Theory Ser A 46 (1987), no 2, 183-211

11H-G,RQck Abelian surfaces and Jacobian varieties over finite fields Comp Math 76,1990,351-366

12Например, E W Howe Kernels of polarizations of abehan varieties over finite fields J Algebraic Geom 5 (1996), no 3, 583-608

13K Lauter The maximum or minimum number of rational points on genus three curves over finite fields With an appendix by Jean-Pierre Serre Compositio Math 134 (2002), no 1, 87-111

14E Каш The number of curves of genus two vnth elliptic differentials J RemeAngew Math 485(1997), 93-121

реализована в статье Хоува, Нарта и Ритзенталлера15, где дается полная классификация дзета-функций кривых рода 2 В их статье также можно найти более подробный обзор истории этого вопроса

Про дзета-функции кривых рода 3 известно крайне мало Из результатов Хоува и теоремы Торелли сразу следует, что геометрически простое абелево многообразие размерности 3 над конечным полем является якобианом над квадратичным расширением поля В остальных случаях вопрос был открыт, и шестая глава диссертации посвящена рассмотрению «самого общего» из оставшихся случаев, когда абелево многообразие изогенно произведению геометрически неприводимой абелевой поверхности и не-суперсингулярной эллиптической кривой. С другой стороны, известно, каково максимальное и минимальное количество точек на кривой рода три для некоторых классов конечных полей Кривые с таким свойством называются максимальными или минимальными, соответственно (Помимо упомянутой статьи К Лаутер см , например, статью А Зайцева16 ) Интерес к этому вопросу связан прежде всего с приложениями к теории кодирования Якобианы максимальных и минимальных кривых изогенны произведению трех эллиптических кривых, и трудность вычисления даже количества точек на них не позволяет надеяться, что в ближайшее время будет получена сколько-нибудь полная классификация дзета-функций кривых рода 3.

Цель работы.

Целью работы является классификация дзета-функций некоторых типов алгебраических поверхностей кодаировой размерности нуль и один, а также дзета-функций кривых рода 3, якобиан которых изогенен произведению суперсингулярной эллиптической кривой и геометрически простой абелевой поверхности

Структура и объем диссертации.

Диссертационная работа изложена на 88 страницах и состоит из введения и шести глав Библиография включает 43 наименования.

15Е W Howe, Е Nart, С Ritzenthaler Jacobians in tsogeny classes of abelum surfaces over finite fields Preprint 2006, arXiv math/0607515

16A Zaytsev Optimal curves of low genus over finite fields arXiv 0706 4203vl [math AG]

Научная новизна.

Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем

1 Получена классификация дзета-функций расслоений на коники над гладкими проективными кривыми, поверхностей дель-Пеццо степени 4, поверхностей Куммера и биэллиптических поверхностей при некоторых ограничениях на характеристику основного поля

2 Получена классификация ¿-кручения абелевых поверхностей, где £ — простое число, отличное от характеристики основного поля

3 Для абелевых многообразий размерности 3, которые изогенны произведению геометрически неприводимой абелевой поверхности и несупер сингулярной эллиптической кривой доказаны некоторые необходимые и некоторые достаточные условия существования главной неприводимой поляризации Из них сразу следует достаточное условие существования кривой рода 3 над конечным полем с данной дзета-функцией

Основные методы исследования.

Для исследования многообразий над конечными полями используются методы алгебраической геометрии и программы минимальных моделей над произвольными полями Для изучения абелевых многообразий и поляризаций на них привлекются теории Тейта-Хонды и Хоува

Теоретическая и практическая ценность работы.

Диссертация имеет теоретический характер Доказанные в диссертации теоремы представляют интерес для алгебраической геометрии, алгебры, теории чисел и теории кодирования Результаты диссертации могут быть полезны специалистам из Московского государственного университета, МИ РАН, ИППИ РАН, ПОМИ РАН и НМУ

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах и конференциях

1 Конференция "Arithmétique, geometrie et theone des codes" (Франция, 2005) Доклад "On zeta-functions of Kummer surfaces over finite fields"

2 Семинар "Арифметика алгебраических многообразий" под руководством M А Цфасмана в Независимом Московском Университете (2006) Доклад "Дзета-функции поверхностей Куммера над конечными полями"

3 Семинар "Seminaire de Theone des Nombres de Caen" в Университете г Кан (Франция, 2007) Доклад "Zeta-functions of bielhptic surfaces over finite fields"

4 Семинар под руководством P А Минлоса в ИППИ РАН (2007) Доклад "Дзета-функции кривых рода 3 над конечными полями".

5 Кафедральный семинар кафедры высшей алгебры МГУ (2007) Доклад "Дзета-функции алгебраических поверхностей над конечными полями"

Публикации автора по теме диссертации.

Основное содержание диссертации опубликовано в четырех работах, список которых приведен в конце автореферата [1-4]

Краткое содержание работы

Диссертация состоит из ведения и шести глав.

Расслоения на коники и поверхности дель-Пеццо.

Первая глава посвящена классификации дзета-функций расслоений на коники, которая обобщает теорему Цфасмана17

Теорема 1. [1, 2] Пусть S —> С — минимальное расслоение на коники над кривой рода g У поверхности S над полем к есть f = rkNS(S) — 2 вырожденных слоев, причем f = Х)г<аг> где аг — число вырожденных

17М A Tsfasman Nombre de points dea surfaces sur un corps fint, Algebraic Geometry and Coding Theory, de Gruyter, Berlin, 1996, 209-224

слоев над точками степени г Тогда дзета-функция S имеет вид ZS(t) = ZC(t) ■ ZC{qt) П(1 + ЧТП~а'-

г

Для существования расслоения с такой дзета-функцией необходимо и достаточно существования таких точек х\, . ,xs на С для которых ^dega;, = /, причем ровно аг точек имеют степень г, и s четно

Такие точки всегда существуют при достаточно больших q Если g = 0, то требуемая поверхность существует тогда и только тогда, когда qT > аТ

Мы используем этот результат во второй главе для доказательства следующей теоремы существования, которая позволяет при помощи таблицы Суиннертона-Даера и Манина вычислить дзета-функции поверхностей дель-Пеццо степени 4 при q > 3 Возможные типы действия группы Га-луа основного поля на исключительные кривые поверхности дель-Пеццо классифицированы в книге Манина18 В случае конечного поля остается шесть типов I, II, IV, Y, XVIII и X.

Теорема 2. [1, 2] При q > 3 существуют поверхности дель-Пеццо степени 4 типов И, IV и V, а поверхности типов I, XVIII и X существуют при всех q

¿-кручение абелевых многообразий и поверхности Куммера.

Пусть I — простое число, отличное от характеристики поля к В третьей главе приведена классификация ¿-кручения абелевых многообразий А над к с коммутативной алгеброй эндоморфизмов Фиксируем класс изогении абелевых многообразий Он однозначно определяется многочленом Вейля f{t) = /л(i) — характеристическим многочленом действия автоморфизма Фробениуса на модуле Тейта Т{(А) Ядро умножения на I, которое мы будем обозначать А[£], является конечной этальной групповой схемой Для классификации групповых схем А[£], где А принадлежит классу изогении, соответствующему многочлену Вейля f(t), достаточно классифицировать действия арифметического автоморфизма Фробениуса F на A[¿](k) Это эквивалентно классификации модулей вида Т(А)/£Т(А) над R = Z i[t]/{f{t)) = Z([F] С End (Л) <g> Ze. Мы сведем задачу к более простой в два этапа

18Ю И Манин Кубические формы алгебра, геометрия, арифметика "Наука", 1972

1 Пусть / = Ylf,, И ft = hf mod t, где /,, ht G Z¿[f] и многочлены h, взаимно просты по модулю t Тогда R = П гДе — Поэтому любой модуль над R можно разложить в прямую сумму модулей над R,

2 Можно считать, что для многочлена / 6 Z¿\t] выполняется сравнение /(f) = h(t)d mod i, где унитарный многочлен h(t) € Zrft] неприводим по модулю I Тогда R содержит корень а многочлена h(t), и кольцо Л = Z([a] регулярно и локально

Мы свели нашу задачу к следующей. Пусть Л — кольцо целых не-разветвленного расширения Qi, и P{t) £ A[t] — многочлен без кратных корней, причем P(t) = td mod I Требуется описать (с точностью до сопряжения) такие нильпотентные матрицы М над А/£А, что М можно поднять до матрицы N над Л с условием P(N) — 0. Для формулировки решения нам потребуется следующее определение.

Определение 3. Пусть дан конечный набор натуральных чисел ti/i,.. , wr Этому набору можно однозначно с точностью до сопряжения сопоставить нильпотентную матрицу М = M({w,}) с г жордановыми клетками размера wx Многоугольник Ньютона Np(M) нильпотентной матрицы М = М({и>,}), заданной последовательностью {«;,}, — это многоугольник с наклонами {1 /тг}

Теперь мы можем сформулировать основной результат, который обобщает [4] Пусть R — A[£]/(P(i)), и х — образ t в R Нам нужно описать кручение Д-модулей ранга 1

Теорема 4. Над R существует такой модуль Т ранга 1, что х действует на T/ZT нильпотентной матрицей М — M({w,}), тогда и только тогда, когда многоугольник Ньютона матрицы М лежит не выше многоугольника Ньютона многочлена Р.

Благодаря этой теореме можно получить полную классификацию £-кручения абелевых поверхностей В главе четыре мы применяем этот результат, чтобы дать классификацию дзета-функций поверхностей Кум-мера через дзета-функции соответствующих абелевых поверхностей при условии, что char к ф 2 Напомним определение

Пусть А — абелева поверхность, и char А: ф 2. У инволюции т . и н —а всего 16 неподвижных точек над к Это решения уравнения 2а — 0 Разрешение особенностей S фактора Л/т называется поверхностью Куммера

Теорема 5. [4] Пусть дзета-функция абелевой поверхности А имеет вид.

ZA(t) = flPl(A,t){-lY+i

«=о

Пусть 6Г количество точек степени г на А[2], и

P(t) = K(A,t)]ftl-(qt)r)b' W

г

Тогда дзета-функция S равна

ZS{t) = {l-t)^P{t)-\l-qH)^ (2)

Числа ЬТ можно вычислить, пользуясь таблицами 1, 2, 3 и 4 Числа Ъг, не вошедшие в таблицу, равны нулю

Имеет место соотношение Pi(A,t) = ¿4/а(1 /i) Пусть End0(А) коммутативна, и /¿(f) = {t + l)4 mod 2 Чтобы пользоваться таблицей 1, мы можем заменить все наклоны fi(t) = /¿(i + 1), большие 1, на 1

Таблица 1

Наклоны многоугольника Ньютона многочлена fi(t) = /¿(t + 1) Возможные значения 6,

(1/4) 61 = 2,62 = 1,64 = 3

(1/ЗД) 61 = 2,62= 1,64 = 3 61 =4,62 = 2,64 = 2

(1/2,1/2) 61 = 2,62 = 1,64 = 3 6j =4,62 = 2,64 = 2 61 = 4,62 = 6

(2/3,1),(1/2,1,1) или (3/4) 61 = 2,62 = 1,64 = 3 61 = 4,62 = 2,64 = 2 61 = 4,62 = 6 61 = 8,62 = 4

(1,1,1,1) 61 = 2,62 = 1,64 = 3 61 = 4,62 = 2,64 = 2 61 = 4,62 = 6 6i = 8,62 = 4 61 = 16

В случае, когда fA{t) ф (t + I)4 mod 2, таблица такая

Таблица 2

fA(t) mod 2

t4 + t3 + t2 + t+ 1 6i = 1,65 = 3

i4 + tA +1 + 1 = 2,62 = 1,63 = 2,66 = 1

и 4 не делит /¿(1)

i4 + f3 +1 + 1 6i = 2,62 - 1, h = 2, 66 = 1

и 4 делит fA(l) 6i = 4,63 = 4

t4 + t2 + 1 bi = l,b3 = 5

и 4 не делит ai + a2 -f 1 — 2<j

i4 + i2 + 1 61 = 1,63 = 6

и 4 делит ai -f a2 + 1 — 2q 61 = 1,63 = 1,66 = 1

Рассмотрим теперь случай, когда алгебра Егк1°(Л) некоммутативна Если поверхность А простая, изогенна квадрату несуперсингулярной эллиптической кривой, или произведению двух неизогенных супер сингулярных с некоммутативными алгебрами эндоморфизмов, то /а(0 = Ра{Ъ)2'-

Таблица 3

PA{t) mod 2

t2 + t + l Ь1 = 1Л = 5

i2 + 1 и 4 не делит Рл(1) 61 = 4,62 = 6

i2 + l и 4 делит Ра(1) 61 = 4,62 = 6 61 = 8,62 = 4 61 = 16

Если А изогенна произведению суперсингулярной и обыкновенной эллиптических кривых, то = (£ ±

Таблица 4

f(t) mod 2

f2 +1 + 1 bi = 4, 63 = 4

+ 1 и 4 не делит /в( 1) Ьг = 8, Ь2 = 4 61 = 4,62 = 2,6з = 2

i2 + l и 4 делит /в(1) bi = 16 6Х = 8, Ъ2 = 4 6Х = 4,62 = 6 &! = 4,62 = 2,63 = 2

Наконец, если А изогенно квадрату эллиптических кривой с некоммутативной алгеброй эндоморфизмов, то /¿(t) = (¿±л/д)4, и всегда Ьг — 16

Биэллиптические поверхности.

В главе пять изучаются биэллиптические поверхности При помощи результатов Бомбьери и Мамфорда мы доказываем, что над конечным полем, характеристика которого не равна 2 или 3, классификация биэлли-птических поверхностей аналогична классической, и у каждой поверхности есть тип (а,), (6,), (с,) или (d), где г = 1 или 2 Кроме того, над к определено отображение Альбанезе S В в эллиптическую кривую В Следующая теорема несколько уточняет основные результаты работы [3]

Теорема 6. Дзета-функция биэллиптической поверхности S —> В равна дзета-функции прямого произведения Р1 х В.

Пусть f(t) = t1 — bt + q — характеристический многочлен автоморфизма Фробениуса эллиптической кривой В Необходимые и достаточные условия того, что существует биэллиптическая поверхность S —> В данного типа, перечислены в таблице

Случай Условие.

ы 2 делит 1 — 6 + q

ы 4 делит l — b + q

(Ы 3 делит l—b + q

(62), g = 1 mod 3 9 делит 1 — 6 + g

(62), q = 2 mod 3 3 делит 1 — 6 + q

(С1), Ъ Ф ±2у/д, 4 делит 1 — Ь + q

(с1),6 = ±2^5 16 делит 1 — Ь + д

Ы 8 делит 1 — Ь + q

(«0 6 делит 1 — Ь + q

Дзета-функции этих поверхностей можно вычислить по формуле

у (А = №-Ы + 1)(дЧ2-ЬдЬ+1) 5[) (1-0(1-9«)2(1

Якобианы кривых рода 3.

В шестой главе изучаются главные поляризации на абелевых многообразиях, которые изогенны произведению несуперсингулрной кривой и геометрически неприводимой абелевой поверхности. Наша цель — выяснить, есть ли в классе изогении главнополяризованное многообразие Для этого мы найдем условия на коэффициенты характеристических многочленов автоморфизмов Фробениуса поверхности и кривой = ti+alt3+a2t2+qalt+q2 и /д(¿) = t2—bt+q Пусть К+ — вещественное квадратичное расширение О, заданное многочленом Р(£) = + а^ + — 2q, 8 — дискриминант К+, а Д — дискриминант К\ = ЕпсГ(.В)

Определение 7. Будем говорить, что простое число £ ф р, 2 исключительное, если £ делит Р(Ь), многочлен /в(<) неприводим по модулю £, £2 делит а2 — 4аг + 8д, и К+ неразветвлено над О в £ (то есть £ не делит 6) Будем говорить, что 2 исключительное, если Ь нечетно, 4 делит а.1 + яг + 1 — 2<7, и К+ неразветвлено над О в 2 (то есть 2 не делит 5).

Теорема 8. [4] Пусть А — геометрически неприводимая абелева поверхность, а кривая В несупер сингулярна Если многообразие А х В изогенно главнополяризованному абелеву многообразию, то выполняется одно из следующих условий

(1) существует не исключительное простое £, которое делит Р(Ъ);

(2) существуют такие исключительные простые числа £\.,£т, такие простые идеалы р1, , рт поля К+, лежащие каждый над своим £ц и натуральные числа а,, что р"1, — главный идеал поля К+, порожденный абсолютно положительным элементом, и что £"' делят Р(Ь) для всех г,

(3) р делит Р{Ъ)

Обратно, А X В изогенно главнополяризованному абелеву многообразию, если выполняется одно из условий (1'), (2) или (3), где

(1') существует не исключительное простое I, которое делит Р{Ь), при этом если fs = (t — а)2 mod £, то ft делит /в(а), если же Д = —I, и I = 3 mod 4, то /в ^ (t - a)2 mod I для всех а

Пусть ki — квадратичное расширение к Этот результат дает некоторые необходимые и достаточные условия того, что (A Xk В) <Эк к\ изогенно якобиану гладкой кривой рода 3

Благодарности.

Я благодарю моих научных руководителей Михаила Анатольевича Цфасмана и Василия Алексеевича Псковских за постановку задач и внимание к работе Благодарю заведующего кафедрой высшей алгебры, доктора физико-математических наук, профессора Виктора Николаевича Латышева и всех сотрудников кафедры за творческую атмосферу, которая способствовала научной работе

Список литературы

[1] С Ю Рыбаков Дзета-функции расслоений на коники и поверхности делъ-Пеццо степени 4 над конечными полями Успехи математических наук, 60 5 (2005), 986-987

[2] S Rybakov Zeta-functions of conic bundles and Dell-Pezzo surfaces of degree 4 over finite fields Moscow Math Journal 5 4 (2005), 919-926

[3] С Ю Рыбаков Дзета-функции биэллиптических поверхностей Математические заметки, 83 2 (2008), 278-290

[4] С Ю Рыбаков Кручение абелевых поверхностей над конечными полями и приложения к якобианам кривых рода 3 и поверхностям Куммера Депонировано в ВИНИТИ РАН, 2007, 935-В2007, 35 с

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им М В Ломоносова

Подписано в печать

Формат 60x90 1/16 Уел печ л

Тираж (СО экз Заказ £0

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета

Введение

0.1 Многообразия над конечными полями и дзета-функции

0.2 Алгебраические поверхности.

0.3 Конечные групповые схемы.

0.4 Предварительные сведения об абелевых многообразиях. . . 10 0.5 Классификация дзета-функций эллиптических кривых и абелевых поверхностей.

0.6 Формулировки результатов.

0.6.1 Расслоения на коники и поверхности дель-Пеццо. . 15 0.6.2 ^-кручение абелевых многообразий и поверхности

Куммера.

0.6.3 Биэллиптические поверхности.

0.6.4 Якобианы кривых рода 3.

0.7 Благодарности.

1 Расслоения на коники

1.1 Дзета-функции расслоений на коники.

1.2 Формы проективной прямой над функциональным полем.

1.3 Основная теорема.

1.4 Явные конструкции: поверхности Шаттле.

2 Поверхности дель-Пеццо

3 Абелевы многообразия над конечными полями

3.1 Кольца эндоморфизмов абелевых многообразий.

3.2 Многоугольники Ньютона и ^-кручение.

3.3 Квадратичные расширения.

3.4 ^-кручение абелевых поверхностей.

4 Поверхности Куммера

5 Биэллиптические поверхности

6 Трехмерные абелевы многообразия и якобианы кривых рода 3 над конечными полями

6.1 Конечные подсхемы в абелевых многообразиях.

6.2 Поляризации на абелевых многообразиях.

6.3 Ядра поляризаций абелевых многообразий над, конечными полями.

6.4 Поляризации на трехмерных абелевых многообразиях.

6.5 Якобианы кривых рода 3.

Пусть X — гладкое проективное многообразие над конечным полем к = Fq. В этом случае у многообразия есть набор важных инвариантов Nr. Для данного натурального г число Nr — это количество точек на X = Ixj;!, координаты которых лежат в Эти инварианты можно объединить в дзета-функцию многообразия (см. определение 0.1). А. Гротендик доказал, что дзета-функцию многообразия над конечным полем можно вычислить через характеристические многочлены действия Фробениуса на этальных когомологиях.

В случае, когда X — поверхность, нас будет интересовать структура дзета-функции в терминах геометрии и комбинаторики X. Для некоторых классов поверхностей получена явная классификация. Например, обобщен результат из статьи М.А.Цфасмана [Ts96], где изучался вопрос о количестве к-точек на расслоениях на коники, а также построены поверхности дель-Пеццо степени 4, дзета-функции которых были классифицированы Ю. И. Маниным [Man72].

Поскольку любая поверхность получается раздутием минимальной, достаточно вычислить дзета-функции минимальных поверхностей. Для этого нам потребуется классификация минимальных поверхностей над конечным полем. Если размерность Кодаиры неотрицательна, то достаточно классических результатов Энриквеса над алгебраически замкнутым полем, которые были доказаны Бомбьери и Мамфордом в произвольной характеристике [ВМ77]. В остальных случаях можно воспользоваться результатами В. А. Псковских и Ю.И.Манина о классификации рациональных поверхностей и расслоений на коники [Isk79] и [Мапбб].

В диссертации вычислены дзета-функции следующих типов поверхностей: расслоения на коники над гладкими проективными кривыми (теорема 0.19), поверхности дель-Пеццо степени 4 (теорема 0.20), поверхности Куммера в характеристике не равной двум (теорема 0.23) и биэллиптические поверхности в характеристике не равной двум и трем (теорема 0.24). Для работы с поверхностями Куммера используется классификация ^-кручения абелевых поверхностей (теорема 3.19), где £ — простое число, отличное от характеристики основного поля. Для получения этой классификации используется теорема 0.22 — один из центральных технических результатов работы.

Теорема 3.19 также используется для ответа на еще один вопрос. Пусть f(x) = x6+aix5+a2X4+a3XS-\-qa2X2+q2aiX-\-q3 — многочлен Вейля, соответствующий классу изогении трехмерных абелевых многообразий над конечным полем. Существует ли гладкая проективная кривая рода 3 над к, у которой был бы такой характеристический многочлен автоморфизма Фробениуса? Иначе говоря, есть ли якобиан гладкой проективной кривой в данном классе изогении?

Для абелевых поверхностей аналогичный вопрос был рассмотрен Рюкком [Ru90], который предложил некоторые достаточные условия для случая обыкновенных абелевых поверхностей. После этого многие авторы занимались дзета-функциями якобианов и разработали ряд методов (см. например, [Howe95][Howe96][Howe01]), которые работают не только для поверхностей. Окончательно вопрос для кривых рода 2 был закрыт статьей [HNR06], где также можно найти полный обзор истории этого вопроса.

Мы будем рассматривать случай, когда якобиан нашей кривой рода 3 изогенен произведению эллиптической кривой и геометрически простой абелевой поверхности. Сначала мы выясним, когда существует главная поляризация на таком многообразии, используя [Howe96], а потом применим результат из статьи [OU] и докажем, что над квадратичным расширением наше многообразие будет якобианом. Основные результаты здесь — теоремы 0.26 и 6.23.

Диссертация состоит из введения и шести глав. Во введении приведены основные обозначения и определения, базовые утверждения, необходимые в диссертации, а также формулируются основные результаты диссертации. В первой главе доказана теорема классификации дзета-функций расслоений на коники над произвольной гладкой кривой над конечным полем, и приводятся достаточные условия существования расслоений с данной дзета-функцией. Описаны дзета-функции расслоений над проективной прямой. Во второй главе результаты первой главы используются, чтобы построить поверхности