Асимптотические свойства глобальных полей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Математический институт им. В. А. Стеклова Российская Академия Наук

На правах рукописи УДК 512.754, 512.742, 511.23, 511.331

Зыкин Алексей Иванович Асимптотические свойства глобальных полей

Специальность: 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

094699874

" 7 ОКТ 7010

Москва - 2010

004609874

Работа выполнена в отделе математической физики Математиче екого института имени В. А. Стеклова РАН

Научные руководители:

д. ф.-м. н. Сергеев Армен Глебович.

д. ф.-м. н. Цфасман Михаил Анатольевич;

Официальные оппоненты:

д. ф.-м. н. Шабат Георгий Борисович; к. ф.-м. н. Горчинский Сергей Олегович.

Ведущая организация:

Санкт-Петербургское Отделение Математического институт им. В .А. Стеклова РАН.

Защита диссертации состоится 7 октября 2010 г. в 14 часов 00 мину на заседании диссертационного совета Д.002.022.03 в Математиче ском институте им. В. А. Стеклова Российской Академии Наук □ адресу: 119991, Москва, ул. Губкина, 8 (9 этаж).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математическо го института имени В. А. Стеклова РАН.

Автореферат разослан 7 сентября 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.002.022.03 в МИ РАН д. ф.-м. н.

Долбилин

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Асимптотическая теория глобальных полей была заложена в 80е-90е годы С. Г. Влэдуцем и М. А. Цфасманом, сначала для функциональных, а затем и для числовых полей. Исходной точкой для развития теории послужила следующая проблема: для положительного целого числа д и степени простого числа g найти максимальное число точек на кривой рода д над конечным полем Fg. Задача оказывается весьма сложной и полный ответ в настоящее время известен лишь для д — 1 и д = 2. Также имеются частичные результаты для д = 3, которые получаются с помощью рассмотрения якобианов среди абелевых многообразий размерности 3, что является предметом изучения во второй части этой диссертации.

С. Г. Влэдуц, В. Г. Дринфельд1, а затем М. А. Цфасман2 получили интересные результаты, рассматривая эту проблему под несколько другим углом. Более конкретно, им удалось доказать асимптотические границы для максимального числа точек на кривых, когда д —У оо, a q фиксировано. Эти границы оказываются оптимальными, если q — квадрат целого числа. Их идеи имели многочисленные приложения в теории кодирования, в теории упаковок сфер и т. п.3

Сама асимптотическая теория была развита далеко за пределы этих границ для числа точек и объединяет в настоящее время самые разнообразные результаты. Несколько примеров: обобщенная теорема Брауэра-Зигеля для функциональных и числовых полей, границы для регуляторов и дискриминантов, асимптотическая теория дзета-функций глобальных полей, границы для числа точек на

влэдуц, С. Г.; Дринфельд, В. Г. О числе точек алгебраической кривой. Функ. Анализ и Прил. 17 (1983), no. 1, 68-69.

2Tsfasman, М. A. Some remarks on the asymptotic number of points. Coding Theory and Algebraic Geometry, Lecture Notes in Math. 1518, 178-192, Springer—Verlag, Berlin 1992.

3Tsfasman, M. A.; Vlädu£, S. G.; Nogin, D. Algebraic geometric codes: basic notions. Mathematical Surveys and Monographs, 139, American Mathematical Society, Providence, M, 2007.

многообразиях над конечными полями...

Классическая теорема Брауэра-Зигеля утверждает следующее: если к пробегает последовательность конечных нормальных расширений поля рациональных чисел Q такую, что Пк/ log |Z?fc| —>• 0, т log Л* Д*/log у\Щ\ —> 1 (здесь щ — степень, Dk — дискриминант, Rk — регулятор, a /ifc — число классов идеалов поля к.).

Исследование вопросов, связанных с этой теоремой ведет сво начало от основополагающих работ К. Зигеля и Р. Брауэра. Он было продолжено многими авторами. Упомянем особо работы X. Старка, рассматривавшего вопросы эффективности4, а также боле поздние исследования С. Лобутена5

Одним из достижений в этом направлении было ослаблени условий классической теоремы Брауэра-Зигеля. А именно, М. А Цфасман и С. Г. Влэдуц показали6, что, принимая во внимани вклад неархимедовых точек, можно обобщить теорему на с луча" расширений полей, для которых условие щ/ log \Dk\ —> 0 не выпол няется. В нашей работе мы также изучаем возможность ослаблени условий классической теоремы Брауэра-Зигеля и получаем новы результаты в этом направлении.

Упомянем также о попытках обобщения теоремы Брауэра Зигеля на случай больших размерностей, появившихся в последне время и представляющих особый интерес. Так, М. Андри изуча поведение порядка группы Шафаревича-Тейта и регулятора дл эллиптических кривых, заданных над фиксированным числовы полем7. Предположив выполнение гипотез Берча и Свиннертона Дайера, Римана, Шпиро, ему удалось свести данный вопрос к неко торому вопросу об L-функциях эллиптических кривых, похожем на тот, что возникает в классической теореме Брауэра-Зигеля. М

4Stark, Н. М. Some effective cases of the Brauer-Siegel Theorem. Invent. Math. 23(1974) 135-152.

sLouboutin, S. R. Explicit lower bounds for residues at s = 1 of Dedekind zeta functions an relative class numbers of CM-fields. Trans. Amer. Math. Soc. 355 (2003), 3079-3098.

6Tsfasman, M. A.; VladuJ, S. G. Asymptotic properties of global fields and generalized Brauer Siegel theorem. Moscow Mathematical Journal, Vol. 2 (2002), Num. 2, 329-402.

7Hindry, M. Why is it difficult to compute the Mordell-Weil group. Proceedings of th conference "Diophantine Geometry", 197-219, Ed. Scuola Normale Superiore Pisa, 2007.

А. Цфасман и Б. Э. Кунявский изучали аналогичную проблему для семейств постоянных эллиптических поверхностей над конечными полями8. Даже в этом, казалось бы, простом случаем возникают весьма нетривиальные эффекты, связанные с поведением дзета-функций кривых на критической прямой и низколежащими нулями.

Явная форма теоремы Брауэра-Зигеля с контролем остаточного изучалась Ф. Лебаком как в случае числовых, так и в случае функциональных полей9. При этом важной оказывается теория предельных дзета и L-функций. развитая М. А. Цфасманом и С. Г. Влэду-цем в функциональном и в числовом случаях10.

Нули L-функций содержат важную информацию об арифметических свойствах объектов, с которыми эти L-функции ассоциированы. Вопрос о распределении этих нулей изучался многими авторами с различных точек зрения. Например, большое внимание уделялось обобщенной гипотезе Римана, утверждающей, что все нетривиальные нули L-функций лежат на критической прямой. Немало внимания было уделено изучению более тонких свойств нулей дзета и L-функций, выходящих за рамки тех, что могут быть получены из обобщенной гипотезы Римана. Фундаментальными являются работы X. Иванца, Н. Катца, Ф. Мишеля, П. Сарнака, в которых исследуются вопросы о низколежащих нулях, о расстояниях между последовательными нулями, а также связь с теорией случайных матриц11.

Распределение нулей на критической прямой для дзета-функций Дедекинда числовых полей изучалось С. Ленгом12 в асимптотиче-

8Kunyavskii, В. Е.; Tsfasman, М. А. Brauer-Siegel theorem for elliptic surfaces. Int. Math. Res. Not. IMRN 2008, no. 8.

9Lebacque, P. Generalised Mertens and Brauer-Siegel Theorems. Acta Arith. 130 (2007), no. 4, 333-350.

10 Tsfasman, M. A.; VläduJ, S. G. Asymptotic properties of zeta-functions. J. Math. Sei. 84 (1997), Num. 5, 1445-1467.

nKatz, N. M.; Sarnak, P. Random matrices, Frobenius eigenvalues, and monodromy. American Mathematical Society Colloquium Publications, 45, American Mathematical Society, Providence, RI, 1999.

12Lang, S. On the zeta funetion of number fields. Invent. Math. 12 (1971), 337-345.

ски плохом случае и М. А. Цфасманом и С. Г. Влэдуцем в асимптотически хорошем случае13. Подобный вопрос для случая большей размерности (эллиптические кривые над функциональными полями) рассматривался Ф. Мишелем14.

Проблема нахождения максимального числа точек на кривых данного рода изучалась и с неасимптотической точки зрения. Немалое количество усилий было сделано для получения оценок для конкретных родов. Один из подходов к проблеме, предложенный Ж.-П. Серром15, состоит в том, чтобы ответить на данный вопрос для абелевых многообразий (что несложно, благодаря теореме Хонды-Тейта), а затем, выбрать среди всех абелевых многообразий, те, которые соответствуют якобианам. Этой последней проблемой мы подробно занимаемся в одной из глав диссертации.

Для рода g — 1 проблема является тривиальной, а для g — 2 вопрос был полностью решен Ф. Ортом, К. Уено, П. Локхарто для случая алгебраически замкнутых полей и Ж.-П. Серром для незамкнутых. Кроме того, для полей положительной характери стики важной вклад был сделан Э.Нартом, К. Ритценталером и Э. Хоувом, которым удалось полность определить классы изогений содержащие главнойоляризованые абелевы многообразия.

Случай абелевых многообразий размерности 3 над алгебраиче ски замкнутыми поля был полностью рассмотрен Ф. Ортом и К Уено16, доказавшими, что множество якобианов есть в точност множество неразложимых главнополяризованных абелевых много образий, а также Д.-И. Игусой17, давшим (над С) характеризацш этого множества в терминах некоторых модулярных форм Зигеля Для незамкнутых полей данный вопрос рассматривался в одно"

13Tsfasman, M. A.; VläduJ, S. G. Asymptotic properties of global fields and generalized Brauer Siegel theorem. Moscow Mathematical Journal, Vol. 2 (2002), Num. 2, 329-402.

14Michel, P. Sur les zéros de fonctions L sur les corps de fonctions. Math. Ann. 313 (1999) no. 2, 359-370.

15Serre, J.-P. Rational points on curves over Finite Fields. Notes of Lectures at Harvar University by F. Q. Gouvêa, 1985.

16Oort, F.; Ueno, К. Principally polarized abelian varieties of dimension two or three ar Jacobian varieties. J. Fac. Sei. Univ. Tokyo Sect. IA Math., 20, (1973), 377-381.

17Igusa, J.-I. Modular forms and projective invariants. Amer. J. Math, 89, (1967), 817-855.

из работ Ж.-П. Серра18, где и были сформулированы вопросы, на которые мы отвечаем в рамках одной из глав диссертации.

Цель работы

Цель работы — изучение асимптотических свойств дзета-функций, L-функций, глобальных полей и многообразий над глобальными полями, а также изучение якобианов среди трехмерных абелевых многообразий над не алгебраически замкнутыми полями.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа изложена на 121 странице и состоит из введения и двух частей, включающих в себя пять глав. Библиография включает 70 наименований.

Научная новизна

Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Доказано обобщение классической теоремы Брауэра-Зигеля на случай почти нормальных расширений числовых полей.

2. В предположении обобщенной гипотезы Римана доказана асимптотическая формула для логарифмических производных дзета-функций в области Res > | с явным остаточным членом.

3. В предположении обобщенной гипотезы Римана доказано, что нули L-функций модулярных форм становятся равномерно распределенными на критической прямой, когда уровень N или вес к (или оба) стремятся к бесконечности.

lsLauter, К. Geometric methods for improving the upper bounds on the number of rational points on algebraic curves over finite fields, with an appendix by J. P. Serre. Journal of Algebraic Geometry 10 (2001), 19-36.

4. Изучены асимптотические свойства семейств дзета и Ь-функций над конечными полями в контексте трех проблем: основное неравенство, результаты, обобщающие теорему Брауэра-Зигеля и распределение нулей. В частности, обобщены результаты Ф. Мишеля о равномерной распределенности нулей ¿-функций эллиптических кривых над ¥q(t), а также результаты Я. Ихары об асимптотическом поведении постоянных Эйлера-Кронекера функциональных полей.

5. Получен ответ на вопрос Ж.-П. Серра о характеризации якобианов среди трехмерных абелевых многообразий над не алгебраически замкнутыми полями характеристики ноль.

Основные методы исследования

Для исследования асимптотических свойств дзета и ¿-функций используется аппарат явных формул, теория обобщенных функций, методы X. Старка и С. Лобутена из аналитической теории чисел, подходы М. А. Цфасмана и С. Г. Влэдуца к асимптотическим задачам в алгебраической геометрии и теории чисел. Для изучения якобианов среди абелевых многообразий используются свойства пространств модулей кривых и абелевых многообразий, теория модулярных форм Зигеля и Тейхмюллера

Теоретическая и практическая ценность работы

Диссертация имеет теоретический характер. Доказанные в диссертации теоремы представляют интерес для теории чисел, алгебраической геометрии и теории кодирования. Результаты диссертаци могут быть полезны специалистам из МИ РАН, ПОМИ РАН, НМУ, МГУ, ИППИ РАН, ГУ ВШЭ.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах и конференциях:

1. Конференция "Zeta Functions" (Москва, Россия, 2006). Доклад: "The generalized Brauer-Siegel theorem".

2. Конференция "Global Fields" (Москва, Россия, 2007). Доклад: "Asymptotic problems in the theory of global fields".

3. Семинар по теории чисел в Математическом институте Фурье (Гренобль, Франция, 2007). Доклад: "Problèmes asymptotiques en théorie des corps globaux".

4. Конференция "Arithmetic, Geometry, Cryptography and Coding Т11еогу"(Марсель, Франция, 2007). Доклад: "On the BrauerSiegel Theorem for Varieties over Global Fields".

5. Семинар по теории чисел в Математическом Институте JIio-мини (Марсель, Франция, 2007). Доклад: "Sur le Théorème de Brauer-Siegel pour des Variétés sur des Corps Globaux".

6. Семинар по теории чисел в Иерусалимском Университете (Иерусалим, Израиль, 2008). Доклад: "On the generalized Brauer-Siegel theorem and limit zeta functions".

7. Семинар по алгебраической геометрии в Университете Бар-Ил ан (Тель-Авив, Израиль, 2008). Доклад: "Jacobians among abelian threefolds".

8. Конференция "Zeta Functions-2" (Москва, Россия, 2008). Доклад: "On the Euler-Kronecker constant and limit zeta functions".

9. Конференция "Arithmetic, Geometry, Cryptography and Coding Theory" (Марсель, Франция, 2009). Доклад: "On the asymptotic properties of zeroes of L-functions".

10. Семинар отдела алгебры МИ АН (Москва, Россия, 2009). Доклад: "Якобианы и абелевы многообразия размерности три".

Публикации автора по теме диссертации

Основные результаты диссертации опубликованы в шести работах, список которых приведен в конце автореферата [1-6].

Краткое содержание работы

Диссертация состоит из введения и двух частей, включающих в себя пять глав. Первая часть посвящена изучению асимптотических свойств дзета-функций, ¿-функций, глобальных полей и многообразий над глобальными полями. Цель второй части — изучение якобианов среди трехмерных абелевых многообразий. Дадим описание каждой главы.

Глава 1.

В этой главе мы изучаем обобщения классической теоремы Брауэра-Зигеля для числовых полей. Мы называем поле алгебраических чисел почти нормальным, если существует конечная башня числовых полей <0> = Кц С К\ С • • ■ С Кт = К такая, что все расширения Кг/К^\ являются нормальными. Ослабляя условие одно из условий классической теоремы Брауэра-Зигеля, мы доказываем следующее ее обобщение на случай почти нормальных расширений числовых полей:

Теорема 0.1. Пусть /С = {К¿} — семейство почти нормальных числовых полей, для которого nкi/\og\Dкi\ —> 0, когда % —>• оо. Тогда

ЪёИкЛъ 1

пт-. — 1,

где кк, Я-к и — число классов идеалов, регулятор и дискриминант поля К соответственно.

Асимптотически хороший случай (т. е., когда Нтп^/к^ > 0) был уже известен в этой общности благодаря работам С. Г. Вл-

эдуца и M. А. Цфасмана. Однако, их методы оказываются неприменимыми в асимптотически плохом случае. Мы используем идеи X. Старка, а также некоторые неравенства С. Лобутена для доказательства нашего результата.

Затем, используя подход, предложенный К. Мэром и Ф. Хаджи-ром, мы строим башни асимптотически хороших расширений (башни полей классов) со значениями отношения Брауэра-Зигеля

lim loZh*Rk меньшими, чем в примерах известных ранее, log yJ\Dk\

Глава 2.

Эта глава выполнена в соавторстве с Филиппом Лебаком.

В этой главе мы изучаем асимптотическое поведение логарифмических производных дзета-функций в семействах глобальных полей. Эта задача важна и интересна так как, с одной стороны, она связана с основным неравенством Цфасмана-Влэдуца (в случае функциональных полей оно дает оценку на число точек на кривых над конечным полем), а, с другой стороны, с явной теоремой Брауэра-Зигеля. Наш основной результат таков:

Теорема 0.2. Для всякого глобального поля К, целого числа N > 10 и е = ео + ¿61 такого, что ео = Ree > 0, имеет место:

1. в случае функционального поля К, являющегося расширением F r(i),

V /Фг/ , 1 7 П I \ , 1 _ ^ Г(Н0/ _ 1 + logr К + ) + r-è+* - 1

2. в случае числового поля К в предположении обобщенной ги-

потезы Римана для дзета-функций Дедекинда '

Здесь Фд — число идеалов поля К с нормой д, дк — род поля К в функциональном случае и дк — \ogyf\DK\ в числовом случае, Zк{s) — (к(5)/(к($) — логарифмическая производная дзета-функции Дедекинда поля К.

Кроме того, в той же главе получены результаты, улучшающие остаточный член в явной теореме Брауэра-Зигеля, доказанной ранее Ф. Лебаком.

Основной метод доказательств в этой главе — явные формулы А. Вейля. Однако, применение их в числовом случае сопряжено с весьма тонкими аналитическими рассмотрениями.

Глава 3.

Эта глава посвящена изучению распределения нулей ¿-функций модулярных форм. Каждой примитивной модулярной форме / веса к} относительно Го(Аг/) сопоставляется мера

2тг_ !Ь

Мр)=О

где ¿(/о) = | (р — , а р пробегает все нетривиальные нули Ь-функции здесь 5а обозначает атомарную меру (меру Дира-

ка), сосредоточенную в о.

Мы доказываем следующий результат:

Теорема 0.3. В предположении обобщенной гипотезы Римана для Ь-функций модулярных форм, для любого семейства {/7(г)}

примитивных форм веса kj и уровня Nj с kj + Nj —> со предел

А = lim А,- = lim А л

J—ЮО j-¥ ОО

существует, в пространстве мер медленного роста на R и равен мере с плотностью 1 (т. е. нули L-функций модулярных форм становятся равномерно распределенными).

Глава 4.

В этой главе мы изучаем асимптотические свойства семейств дзета-и L-функций над конечными полями. Мы занимаемся следующими тремя проблемами: основное неравенство, результаты, обобщающие теорему Брауэра-Зигеля и распределение нулей. Мы аксиоматически определяем класс дзета и L-функций, к которым применимы наши методы, таким образом, что большинство предыдущих результатов С. Г. Влэдуца, Ж. Лашо и М. А. Цфасмана касательно сходных проблем для дзета-функций кривых и многообразий над конечными полями включаются в нашу схему. Мы изучаем, до какой степени их результаты для кривых остаются верными в этом общем контексте.

Далее мы даем несколько конкретных приложений. Самый интересный случай — это случай L-функций семейств эллиптических поверхностей, недавно изучавшийся Б. Э. Кунявским, М. А. Цфасманом, М. Андри и А. Пачеко. Полученные нами результаты позволяют приблизиться к доказательству некоторых их гипотез, связанных с обобщением теоремы Брауэра-Зигеля на подобные семейства и описывающих асимптотическое поведение группы Шафаревича-Тейта и регулятора эллиптических поверхностей. Кроме того, наши методы позволяют получить обобщение результатов Ф. Мишеля о равномерной распределенности нулей L-функций эллиптических кривых над Fq(t).

В классическом случае кривых над конечным полем, как следствие более общих результатов, нам удается получить теорему о предельных дзета-функциях, являющуюся обобщением одного из

результатов Я. Ихары об асимптотическом поведении постоянных Эйлера-Кронекера функциональных полей.

Глава 5.

Эта часть выполнена в соавторстве с Ж. Лашо и К. Ритценталером.

Основной вопрос, изучающийся в этой главе: как определить, является ли заданное абелево многообразие размерности 3 якобианом кривой над данным не алгебраически замкнутым полем к. Эта проблема, кроме самостоятельного интереса, имеет приложения к вопросу о максимальном числе точек на кривых малого рода над конечными полями.

Используя модулярные формы Зигеля мы даем полный ответ на данный вопрос в случае, когда д — 3 и поле определения абе-левых многообразий к содержится в С. Более точно, мы реализуем следующую стратегию. Для поля к и модулярной формы Зигеля / над к веса Н > 0 и рода д > 1 мы определяем инвариант ¿-классов изоморфизма главнополяризованных абелевых многообразий (А, а). Кроме того, если (А, а) является якобианом гладкой плоской проективной кривой, мы показываем, как сопоставить / классический плоский инвариант.

Как первое следствие этих конструкций, для д = 3 и к С С мы получаем новое (строгое) доказательство формулы Клейна, связывающей модулярную форму Зигеля Х18 с дискриминантом плоских квартик.

Вторым следствием является ответ на основной вопрос этой главы. Он дается с помощью модулярных форм Зигеля Х18 и 2мо-, которые были определены Д.-И. Игусой как произведение всех функций тета-нуль с четными характеристиками и как тридцать пятая элементарная симметрическая функция от восьмых степеней функций тета-нуль с четными характеристиками соответственно. Мы доказываем следующий критерий:

Теорема 0.4. Пусть (А, а) — главнополяризованное трехмерное абелево многообразие, определенное над полем к С С. Пусть

£¿1,^2,^3 — произвольный базис ^¿.[А], а 71,... 7(5 — симплектиче-ский базис (для поляризации а) пространства Н\(А,Ъ), так что

П = п2] =

•••

является матрицей периодов (А, а). Положим т — € Нз.

1. Если 5И14о(т) — 0 и Х18(т) = 0, то (А, а) разложимо над к. В частности, оно не является якобианом.

2. Если £но(т) / 0 « Х1&{Т) — 0) то существует гиперэллиптическая кривая Х/к такая, что расХ,~ (А, а).

3. Если Х18(т) 7^ то (А-, а) изоморфно якобиану над к тогда и только тогда, когда

{п,54 Х18 (т)

является квадратом в к.

Эта теорема дает ответ на вопрос Ж.-П. Серра о характериза-ции якобианов среди трехмерных абелевых многообразий. Ее доказательство использует, во-первых, формулу Клейна, а, во-вторых, описание действия изоморфизмов на значения модулярных форм Зигеля.

Благодарности

Я благодарю моих научных руководителей Михаила Анатольевича Цфасмана и Армена Глебовича Сергеева за постоянное внимание к данной работе и многочисленные советы. Выражаю благодарность Ж. Лашо, Ф. Лебаку и К. Ритценталеру за возможность работать в соавторстве. Также благодарю М. Балазара, С. Г. Влэдуца, С. Лобутена и Э. Руае за полезные обсуждения.

Публикации по теме диссертации

[1] А. И. Зыкин, "Brauer-Siegel and Tsfasman-Vladut theorems for almost normal extensions of global fields". Moscow Mathematical Journal, т. 5- (2005), номер 4, 961-968.

[2] А. И. Зыкин, "On the generalizations of the Brauer-Siegel theorem". Труды конференции AGCT 11 (2007), Contemp. Math, series, 487 (2009), 195-206.

[3] А. И. Зыкин, "Асимптотические свойства дзета-функции Деде-кинда в семействах числовых полей". Успехи математических наук, 64:6(390) (2009), 175-176.

[4] А. И. Зыкин, "Теорема Брауэра-Зигеля для семейств эллиптических поверхностей над конечными полями". Математические Заметки, 86:1, 148-150.

[5] А. И. Зыкин, Ф. Лебак, 'Логарифмическая производная дзета-функций в семействах глобальных полей". Доклады Академии Наук, т. 431 (2010), номер 2, с. 162-164.

[6] А. И. Зыкин, Ж. Лашо, К. Ритценталер, "Якобианы и абелевы многообразия размерности 3: формула Клейна и вопрос Сер-ра". Доклады Академии Наук, т. 431 (2010), номер 3, с. 313-315.

Введение

I Асимптотические свойства дзета и Ь-функций

1 Теоремы Брауэра—Зигеля и Цфасмана—Влэдуца для почти нормальных расширений числовых полей

1.1 Введение.

1.2 Доказательство теоремы 1.1.1.

1.3 Доказательство теоремы 1.1.4.

2 Логарифмическая производная дзета-функций в семействах глобальных полей (совместно с Ф. Лебаком)

2.1 Введение.

2.2 Доказательство теоремы 2.1.1.

2.3 Доказательство теоремы 2.1.2.

2.3.1 Сумма по простым.

2.3.2 Архимедовы члены.

2.3.3 Сумма по нулям: главный член.

2.3.4 Сумма по нулям: остаточный член.

2.3.5 Сумма по нулям: трудная часть.

2.4 Доказательство теоремы 2.1.4 и следствии

3 Равномерное распределение нулей /-/-функций модулярных форм

3.1 Введение.

3.2 Доказательство теоремы 3.1.1.

4 Асимптотические свойства дзета-функций над конечными полями

4.1 Введение.

4.2 Дзета и ¿-функции.

4.2.1 Определения

4.2.2 Явные формулы.

4.2.3 Примеры

4.3 Семейства дзета и ¿-функций

4.3.1 Определения и простейшие свойства.

4.3.2 Примеры

4.4 Основные неравенства.

4.4.1 Основное неравенство для ¿-функций.

4.4.2 Основное неравенство для дзета-функций.

4.4.3 Примеры

4.5 Обобщения теоремы Брауэра-Зигеля

4.5.1 Предельные дзета-функции и теорема Брауэра-Зигеля

4.5.2 Поведение в центральной точке.

4.5.3 Примеры

4.6 Распределение нулей.

4.6.1 Основные результаты

4.6.2 Примеры

4.7 Открытые вопросы и дальнейшие направления для исследования .•.

II Абелевы многообразия размерности

5 Якобианы и абелевы многообразия размерности 3: формула Клейна и вопрос Серра (совместно с Ж. Лашо и К.

Ритценталером)

5.1 Введение.

5.1.1 Теорема Торелли.

5.1.2 Кривые рода 3.

5.2 Модулярные формы Зигеля и Тейхмюллера.

5.2.1 Геометрические модулярные формы Зигеля.

5.2.2 Комплексная униформизация.:

5.2.3 Модулярные формы Тейхмюллера.

5.2.4 Действие изморфизмов

5.3 Инварианты и модулярные формы.

5.3.1 Инварианты.

5.3.2 Геометрические инварианты пеособых плоских квартик

5.3.3 Модулярные формы как инварианты

5.4 Случай рода

5.4.1 Формула Клейна.

5.4.2 Якобианы и трехмерные абелсвы многообразия

5.4.3 Случай большей размерности.

Диссертация состоит из двух основных частей. Первая часть посвящена изучению асимптотических свойств дзета-функций, Ь-функций, глобальных полей и многообразий над глобальными полями. Цель второй части — изучение якобианов среди трехмерных абелевых многообразий. Ввиду обширности тематики, дадим описание каждой части и каждой главы.

Первая часть.

Асимптотическая теория глобальных полей была заложена в 1990е годы С. Г. Влэдуцем и М. А. Цфасманом, сначала для функциональных, а затем п для числовых полей. Исходной точкой для развития теории послужила следующая проблема: для положительного целого числа д и степени простого числа д найти максимальное число точек на кривой рода д над конечным полем ¥д. Задача оказывается весьма сложной и полный ответ в настоящее время известен лишь для д = 1 и д — 2. Также имеются частичные результаты для д = 3, которые получаются с помощью рассмотрения якобианов среди абелевых многообразий размерности 3, что является предметом изучения во второй части этой диссертации.

С. Г. Влэдуц, В. Г. Дринфельд и М. А. Цфасман получили интересные результаты, рассматривая эту проблему под несколько другим углом.

Более конкретно, им удалось доказать асимптотические границы для максимального числа точек на кривых, когда д —>■ оо, а фиксировано. Эти границы оказываются оптимальными, если д — квадрат целого числа. Их идеи имели многочисленные приложения в теории кодирования, в теории упаковок сфер и т. п.

Сама асимптотическая теория была развита далеко за пределы этих границ для числа точек и объединяет в настоящее время самые разнообразные результаты. Несколько примеров: обобщенная теорема Брауэра-Зигеля для функциональных и числовых полей, границы для регуляторов и дискриминантов, асимптотическая теория дзета-функций глобальных полей, границы для числа точек на многообразиях над конечными полями. .

Целью первой части диссертации является, прежде всего, более глубокое изучение асимптотической теории глобальных полей, в особенности, числовых полей, где многие результаты менее точны, чем в функциональном случае из-за возникающих аналитических трудностей. Затем мы рассматриваем другие ситуации, где асимптотическая теория может быть применена. Более точно, мы изучаем следующие три случая с разных точек зрения: дзета-функции многообразий большей размерности над конечными полями, ¿/-функции эллиптических поверхностей над конечными полями и ¿-функции модулярных форм. Думается, что эти три случая — лишь предвестники общей теории, которую еще предстоит развить.

Теперь опишем содержание каждой из глав.

В этой главе мы изучаем обобщения классической теоремы Брауэра-Зигеля для числовых полей. Мы называем поле алгебраических чисел почти нормальным, если существует конечная башня числовых полей Q = Kq С Ki С • • • С Кт = К такая, что все расширения Ki/K^i являются нормальными. Ослабляя условие одно из условий классической теоремы Брауэра-Зигеля, мы доказываем следующее ее обобщение на случай почти нормальных расширении числовых полей:

Теорема 0.0.1 (см. теорему 1.1.1), Пусть /С = {К— семейство почти нормальных числовых полей, для которого nxj log\DKi\ 0, когда г —у оо. Тогда log hK.RK. hill -7=== = 1,

->оо l0g y/\DK.\ где Кк, Rk и ^к число классов идеалов, регулятор и дискриминант поля, К соответственно.

Асимптотически хороший случай (т. е., когда limn^/ log\Dk\ > 0) был уже известен в этой общности благодаря работам С. Г. Влэдуца и М. А. Цфасмана. Однако, их методы оказываются неприменимыми в асимптотически плохом случае. Мы используем идеи X. Старка, а также некоторые неравенства С. Лобутена для доказательства нашего результата.

Затем, используя подход, предложенный К. Мэром и Ф. Хаджиром, мы строим башни асимптотически хороших расширений (башни полей классов) со значениями отношения Брауэра-Зигеля lim log; меньшими, log VI At I чем в примерах известных ранее.

Эта глава выполнена в соавторстве с Филиппом Лебаком.

В этой главе мы изучаем асимптотическое поведение логарифмических производных дзета-функций в семействах глобальных полей. Эта задача важна и интересна так как, с одной стороны, она связана с основным неравенством Цфасмана-Влэдуца (в случае функциональных полей оно дает оценку на число точек на кривых над конечным полем), а, с другой стороны, с явной теоремой Брауэра-Зигеля. Наш основной результат таков:

Теорема 0.0.2 (см. теоремы 2.1.1 и 2.1.2). Для всякого глобального поля К, целого числа N > 10 и е = ео + ге\ такого, что во = Re е > 0, имеет место:

1. в случае функционального поля К, являющегося расширением Fr(i),

Фг/ , 1 7 Л, V 1

Г(М/ 1 ■ log г ' / - 1

2. в случае числового поля К в предположении обобщенной гипотезы Римана для дзета-функций Дедекинда j^logq 1

Здесь Фд - число идеалов поля К с нормой q, дк род поля К в функциональном случае и дк = log у/\Ок\ в числовом случае, Zx{s) = C'k{s)/(k(s) — логарифмическая производная дзета-функции Дедекинда поля К.

Кроме того, в той же главе получены результаты, улучшающие остаточный член в явной теореме Брауэра—Зигеля, доказанной ранее Ф. Лебаком.

Основной метод доказательств в этой главе — явные формулы А. Вейля. Однако, применение их в числовом случае сопряжено с весьма тонкими аналитическими рассмотрениями.

Глава 3.

Эта глава посвящена изучению распределения нулей ¿-функций модулярных форм. Каждой примитивной модулярной форме / веса kf относительно Го(А/) сопоставляется мера

Lf(s)•, здесь 5а обозначает атомарную меру (меру Дирака), сосредоточенную в а.

Мы доказываем следующий результат:

Теорема 0.0.3 (см. теорему 3.1.1). В предположении обобщенной гипотезы Римапа для Ь-функций модулярных форм, для любого семейства {/,(.-)} примитивных форм веса к^ и уровня Nj с /с7 + А^- —)► оо предел существует в пространстве мер медленного роста на Ш и равен мере с плотностью 1 (т. е. нули Ь-функций модулярных форм становятся равномерно распределенными). пробегает все нетривиальные нули ¿-функции

Д = Нт = Нт А/.

2—^оо 3~>оо

3 ^оо

В этой главе мы изучаем асимптотические свойства семейств дзета- и ¿-функций над конечными полями. Мы занимаемся следующими тремя проблемами: основное неравенство, результаты, обобщающие теорему Брауэра—Зигеля и распределение нулей. Мы аксиоматически определяем класс дзета и ¿-функций, к которым применимы наши методы, таким образом, что большинство предыдущих результатов С. Г. Влэдуца, Ж. Лашо и М. А. Цфасмана касательно сходных проблем для дзета-функций кривых и многообразий над конечными полями включаются в нашу схему. Мы изучаем, до какой степени их результаты для кривых остаются верными в этом общем контексте.

Далее мы даем несколько конкретных приложений. Самый интересный случай — это случай ¿-функций семейств эллиптических поверхностей, недавно изучавшийся Б. Э. Кунявским, М. А. Цфасманом, М. Анд-ри и А. Пачеко. Полученные нами результаты позволяют приблизиться к доказательству некоторых их гипотез, связанных с обобщением теоремы Брауэра-Зигеля на подобные семейства и описывающих асимптотическое поведение группы Шафаревича-Тейта и регулятора эллиптических поверхностей. Кроме того, наши методы позволяют получить обобщение результатов Ф. Мишеля о равномерной распределенности пулей ¿-функций эллиптических кривых над ¥д(Ь).

В классическом случае кривых над конечным полем, как следствие более общих результатов, нам удается получить теорему о предельных дзета-функциях, являющуюся обобщением одного из результатов Я. Ихары об асимптотическом поведении постоянных Эйлера-Кронекера функциональ

Вторая часть.

Эта часть выполнена в соавторстве с Ж. Лашо и К. Ритценталером.

Исторически вопросы, рассматриваемые в этой части диссертации, мотивированы той же задачей, что и в первой части: найти максимальное число точек на кривых над конечными полями. Здесь нас интересует случай малых родов д, тогда как в первой части, напротив, предполагалось, что д —> оо. Разница между методами применимыми в этих ситуациях весьма значительна.

Один из подходов к этой проблеме, предложенный Ж.-П. Серром, состоит в том, чтобы ответить на выше сформулированный вопрос для абе-левых многообразий (что несложно, благодаря теореме Хонды-Тента), а затем, выбрать среди всех абелевых многообразий, те, которые соответствуют якобианам. Этой последней проблемой мы и занимаемся в этой части диссертации.

Используя модулярные формы Зигеля мы даем полный ответ на данный вопрос в случае, когда д = 3 и поле определения абелевых многообразий к содержится в С. Более точно, мы реализуем следующую стратегию. Для поля к и модулярной формы Зигеля / над к веса К > 0 и рода д > 1 мы определяем инвариант £:-классов изоморфизма главнополяризованных абелевых многообразий (А, а). Кроме того, если (А, а) является якобианом гладкой плоской проективной кривой, мы показываем, как сопоставить / классический плоский инвариант.

Как первое следствие этих конструкций, для д = 3 и к С С мы получаем новое (строгое) доказательство формулы Клейна, связывающей модулярную форму Зигеля Xi8 с дискриминантом плоских квартик.

Вторым следствием является ответ на основной вопрос этой главы. Он дается с помощью модулярных форм Зигеля Xi8 и Ещь которые были определены Д.-И. Игусой как произведение всех функций тета-иуль с четными характеристиками и как тридцать пятая элементарная симметрическая функция от восьмых степеней функций тета-нуль с четными характеристиками соответственно. Мы доказываем следующий критерий:

Теорема 0.0.4 (см. теорему 5.4.5). Пусть (А, а) — главпополяризовапное трехмерное абелево многообразие, определенное над полем к С С. Пусть — произвольный базис а 7ь • • - 7б ~ симплектический базис (для поляризации а) пространства Н\{А,Ъ), max что п = [Qi п2] = : является матрицей периодов {А, а). Положим т — ^ И3.

1. Если Si4o(r) = 0 и Xis(T) = 0, то (А, а) разложимо над к. В частности, оно не является якобианом.

2. Если Ei4o(r) ф 0 и XieC?") — существует гиперэллиптическая кривая X/к такая, что (JacX,j) ~ (А, а).

3. Если Xis(r) Ф 0) то (Аа) изоморфно якобиану над к тогда и только тогда, когда

2тг)54 Х18(Г) det(^2)18 является квадратом в к.

Эта теорема дает ответ на вопрос Ж.-П. Серра о характеризации якобианов среди трехмерных абелевых многообразий. Ее доказательство использует, во-первых, формулу Клейна, а, во-вторых, описание действия изоморфизмов на значения модулярных форм Зигеля.

Благодарности

Я благодарю моих научных руководителей Михаила Анатольевича Цфасмана и Армена Глебовича Сергеева за постоянное внимание к данной работе и многочисленные советы. Выражаю благодарность Ж. Лашо, Ф. Лебаку и К. Ритценталеру за возможность работать в соавторстве. Также благодарю М. Балазара, С. Г. Влэдуца, С. Лобутена и Э. Руае за полезные обсуждения.

Часть I

Асимптотические свойства дзета и

Ь- функций

1. Atkin, А. О. L.; Lehner, J. Hecke operators on Г0(m). Math. Ann. 185 (1970), 134-160.

2. Bilu, Y. F. Частное обсуждение.

3. Brauer, R. Oil zeta-functions of algebraic number fields. Amer. J. Math. 69, Num. 2, 1947, 243-250.

4. Birkenhake G.; Lange, H. Complex abelian varieties. Second edition. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 302 Springer-Verlag, Berlin, 2004.

5. Brieskorn, E.; Knörrer, H. Plane Algebraic Curves. Birkhäuser Verlag, 1986.

6. Bramer, A. The average rank of elliptic curves. I. Invent. Math. 109 (1992), no. 3, 445-472.

7. Chai, C.-L. Siegel moduli schemes and their compactiiications over C. Arithmetic geometry (Storrs, Conn., 1984), 231-251, Springer, New York, 1986.

8. Deligne, P. Formes modulaires et représentations Z-adiques. Séminaire Bourbaki, 11 (1968-1969), Exposé No. 355.

9. Deligne, P.; Mumford, D. The irreducibility of the space of curves of given genus. Inst. Hautes tudes Sei. Publ. Math. 36 (1969), 75-109.

10. Deligne, P.; Serre, J.-P. Formes modulaires de poids 1. Ann. Sei. Ecole Norm. Sup. (1974), 507-530; ■= Serre, J.-P. Œuvres, vol. III, No 101, 193-216.

11. DiPippo, S.; Howe, E. Real polynomials with all roots on the unit circle and abelian varieties over finite fields. J. Number Theory 73 (1998), no. 2, 426-450.

12. Влэдуц, С. Г.; Дринфельд, В. Г. О числе точек алгебраической кривой. Функ. Анализ и Прил. 17 (1983), no. 1, 68-69.

13. Faltings, G.; Chai, C.-L. Degeneration of abelian varieties. Ergebnisse der Matheinatik und ihrer Grenzgebiete (3), 22. Springer, Berlin, 1990.

14. Van Der Geer, G. Siegel modular forms. Препринт, arXiv: math/0605346v2 math. AG] (2007).

15. Gel'fand, I.M.; Kapranov, M.M.; Zelevinsky, A.V. Discriminants, resultants, and multidimensional determinants. Birkhauscr, Boston, (1994).

16. Gizatullin, M. On covariants of plane quartic associated to its even theta characteristic. Algebraic geometry, 37-74, Contemp. Math., 422, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2007.

17. Goldfeld, D. M. A simple proof of Siegel's theorem. Proc. Nat. Acad. Sci. USA 71 (1974), c. 1055.

18. Gradshteyn, I. S.; Ryzhik, I. M. Table of integrals, series, and products. Translated from the fourth Russian edition. Fifth edition. Translation edited and with a preface by Alan Jeffrey. Academic Press, Inc., Boston, MA, 1994.

19. Guàrdia, G. Jacobian nullwertc and algebraic equations. J. Algebra 253 (2002), 112— 132.

20. Hajir, F.; Maire, С. Tamely ramified towers and discriminant bounds for number fields II. J. Symbolic Comput. 33 (2002), no. 4, 415-423.

21. Hindry. M. Why is it difficult to compute the Mordell-Weil group. Proceedings of the conference "Diophantine Geometry", 197-219, Ed. Scuola Normale Superiore Pisa, 2007.

22. Hindry, M.; Pacheco, A. Un analogue du théorème de Brauer-Siegel pour les variétés abéliennes en charactéristique positive. Препринт.

23. Hoyt, W.L. On products and algebraic families of Jacobian varieties. Ann. of Math. 77, (1963), 415-423.

24. Ichikawa, T. On Tcichmiiller modular forms. Math. Ann. 299 (1994), no. 4, 731-740.

25. Ichikawa, T. Teichmiiller modular forms of degree 3. Amer. J. Math. 117 (1995), no. 4, 1057-1061.

26. Ichikawa, T. Theta constants and Teichmiiller modular forms. J. Number Theory 61 (1996), no. 2, 409-419.

27. Ichikawa, T. Generalized Tate curve and integral Teichimiller modular forms. Amer. J. Math. 122 (2000), no. 6, 1139-1174.

28. Igusa, J.-I. Modular forms and projective invariants. Amer. J. Math, 89, (1967), 817855.

29. Ihara, Y. On the Euler-Kronecker constants of global fields and primes with small norms. Algebraic geometry and number theory, Progr. Math., 253 (2006), Birkhauser Boston, Boston, MA, 407-451.

30. Iwaniec, H.; Kowalski, E. Analytic number theory. American Mathematical Society Colloquium Publications, 53. AMS, Providence, RI, 2004.

31. Iwaniec, H.; Sarnak, P. Dirichlet ¿-functions at the central point. Number theory in progress, Vol. 2 (Zakopane-Koscielisko, 1997), 941-952, de Gruyter, Berlin, 1999.

32. Katz, N. M. p-adic. properties of modular schemes and modular forms. Modular functions of one variable, III (Antwerp, 1972), 69-190. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 350, Springer, Berlin, 1973.

33. Katz, N. M.; Sarnak, P. Random matrices, Probenius eigenvalues, and monodromy. American Mathematical Society Colloquium Publications, 45, American Mathematical Society, Providence, RI, 1999.

34. Klein, F. Zur Theorie der Abelschen Funktionen. Math. Annalen, 36 (1889-90); = Gesammelte mathematische Abhandlungen XCVII, 388-474.

35. Koblitz, N. Jacobi sums, irreducible zeta-polynomials, and cryptography. Canad. Math. Bull. 34 (1991), no. 2, 229-235.

36. Kunyavskii, B. E.; Tsfasman, M. A. Brauer-Siegel theorem for elliptic surfaces. Int. Math. Res. Not. IMRN 2008, no. 8.

37. Lachaud, G.; Ritzenthaler, C. On a conjecture of Serre on abelian threefolds. Algebraic Geometry and its applications (Papeete, 2007), 88-115. Series on Number Theory and Its Applications 5. World Scientific, Hackensack, NJ, 2008.

38. Lachaud, G.; Tsfasman, M. A. Formules explicites pour le nombre de points des variétés sur un corps fini, J. Reine Angew. Math. 493 (1997), 1-60.

39. Lagarias, J. C.; Odlyzhko, A. M. Effective versions of the Chcbotarev density theorem. Algebraic number fields: L-functions and Galois properties (Proc. Sympos., Univ. Durham, Durham, 1975), Academic Press, London, 1977, 409-464.

40. Lang, S. On the zeta function of number fields. Invent. Math. 12 (1971), 337-345.

41. Lang, S. Algebraic number theory (Second Edition), Graduate Texts in Mathematics 110, Springer-Verlag, New York, 1994.

42. Lauter, K. Geometric methods for improving the upper bounds on the number of rational points on algebraic curves over finite fields, with an appendix by J. P. Serre. Journal of Algebraic Geometry 10 (2001), 19-36.

43. Lcbacquc, P. Generalised Mcrtens and Brauer-Sicgcl Theorems. Acta Arith. 130 (2007), no. 4, 333-350.

44. Lockhart, P. On the discriminant of a hyperelliptic curve. Trans. Amer. Math. Soc. 342, (1994), 729-752.

45. Louboutin, S. R. Explicit upper bounds for residues of Dedekind zeta functions and values of L-functions at s = 1, and explicit lower bounds for relative class number of CM-fields. Canad. J. Math, Vol. 53(6), 2001, 1194-1222.

46. Louboutin, S. R. Explicit lower bounds for residues at s = 1 of Dedekind zeta functions and relative class numbers of CM-fields. Trans. Amer. Math. Soc. 355 (2003), 30793098.

47. Louboutin, S. R. On the Brauer-Siegel theorem. J. London Math. Soc. (2) 72 (2005), no. 1, 40-52.

48. Martinet, J. Tours de corps de classes et estimations de discriminants. Invent. Math. 44 (1978), no. 1, 65-73.

49. Mestre, J.-F. Formules explicites et minorations de conducteurs de variétés algébriques. Compositio Math. 58 (1986), no. 2, 209-232.

50. Michel, P. Sur les zéros de fonctions L sur les corps de fonctions. Math. Ann. 313 (1999), no. 2, 359-370.

51. Mumford, D.; Fogarty, J.; Kirwan, F. Geometric invariant theory. Third edition. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) 34. Springer-Verlag, Berlin, 1994.

52. Oort, F.; Ueno, K. Principally polarized abelian varieties of dimension Uvo or three are Jacobian varieties. J. Fac. Sei. Univ. Tokyo Sect. IA Math., 20, (1973), 377-381.

53. Poitou, G. Sur les petits discriminants. Séminaire Delange Pisot Poitou, 18e année (1976/77), Théorie des nombres, Fase. 1, Exp. No. 6, Secrétariat Math., Paris, 1977.

54. Salmon, G. Traité de géométrie analytique à trois dimensions. Troisième partie. Ouvrage traduit de l'anglais sur la quatrième édition, Paris, 1892.

55. Schwartz, L. Théorie des distributions. Hermann, Paris, 1966.

56. Serre, J.-P. Rational points on curves over Finite Fields. Notes of Lectures at Harvard University by F. Q. Gouvêa, 1985.

57. Serre, J.-P. Two letters to Jaap Top. Algebraic Geometry and its applications (Tahiti, 2007) 84-87. World Scientific, Singapore, 2008.

58. Shafarcvich, I. Extensions with prescribed ramification points. Publ. Math. I.H.E.S. 18 (1964), 71-95.

59. Silverman, J. H. Advanced topics in the arithmetic of elliptic curves. Graduate Texts in Mathematics, 151, Springer-Verlag, New York, 1994.

60. Stark, H. M. Some effective cases of the Brauer-Siegel Theorem. Invent. Math. 23(1974), 135-152.

61. Tate, J. Classes d'isogénie des variétés abéliennes sur un corps fini. Séminaire Bovrbaki, 11 (1968-1969), Exp. No. 352, 95-110.

62. Taylor, R. Galois representations. Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. I (Beijing, 2002), 449-474, Higher Ed. Press, Beijing, 2002.

63. Tsuyumine, S. Thetanullwerte on a moduli space of curves and hyperelliptic loci. Math. Z. 207 (1991), 539-568.

64. Tsfasman, M. A. Some remarks on the asymptotic number of points. Coding Theory and Algebraic Geometry, Lecture Notes in Math. 1518, 178-192, Springer—Verlag, Berlin 1992.

65. Tsfasman, M. A.; VlâduÇ, S. G. Asymptotic properties of zeta-functions. J. Math. Sci. 84 (1997), Num. 5, 1445-1467.

66. Tsfasman, M. A.; Vlâdut;, S. G. Infinite global fields and the generalized Brauer-Sicgcl theorem. Moscow Mathematical Journal, Vol. 2 (2002), Num. 2, 329-402.

67. Tsfasman, M. A.; Vladu^, S. G.; Nogin, D. Algebraic geometric codes: basic notions. Mathematical Surveys and Monographs, 139, American Mathematical Society, Providence, RI, 2007.

68. Xaries, X. Частное обсуждение.