Исследование глобальной асимптотической устойчивости фазовых систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.11 ВАК РФ

РГ6 од

1 I* МП ^

казахскии государственный национальный университет им.аль-фараби

На правах рукописи

РСЫМБЕТОВ Марат СансызОаевич

УДК 62-50

ИССЛЕДОВАНИЕ ГЛОБАЛЬНОЙ АСИННТОТНЧЕСКОИ УСТОЙЧИВОСТИ ФАЗОВЫХ СИСТЕМ

Специальность 01.01. 11 - системный анализ и автоматическое управление

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата Физико-математических наук

Алматы - 1993

/

Работа выполнена на кафедре теории управления Казахского государственного Национального университета имени Аль-Фараби.

Научные руководители:

заслуженный деятель науки И{, доктор технических наук, профессор С.А.АЯСАГАЛИЕВ

кандидат физико-математических наук, доцент Ш.А.АЙПАНОВ

Официальные оппоненты:

- доктор физико-математических наук М. И.РАХИМБЕРДЙЕВ

- кандидат физико-математических наук, доцент Т.Н.БИЯРОВ

Ведущая организация: - Казахский ордена Трудового

Красного Знамени политехнический институт имени В.К.Ленина.

Защита диссертации состоится __мая____1993 г.

в на заседании специализированного совета,

К 058.01.19 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в Казахском государственном Национальном университете им.Аль-Фараби по адресу: 480012, г.Алматы, улица Масанчи, 39/47.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке . КаэГУ.

Автореферат разослан апреля ^ г>

Учений секретарь

специализированного совета, I ___щ д д^л^дз

доцент ор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

¿кт^альность_2зботь1. Исследование устойчивости фазовых систем получили развитие в исследованиях систем радионавигации, фазовых систем автоматической подстройки частоты, устойчивости работы синхронных машин, маятниковых систем и др.

К работам качественного исследования динамических систем прежде всего следует отнести методы, созданные А.Н.Ляпуновым, А.Пуанкаре, И.Бендикссном и др.

Наиболее строгим и математически обоснованным мзтодом исследования устойчивости нелинейных систем является прямой метод Ляпунова. Развитие метода функций Ляпунова били посвящены известные монографин А.И.Лурье, Н.Г.Четаева, И.Г.Иалкина, А.Л.Летоза, Н.Н.Красовского, В.И.Зубова, Ж.Ла-Салля, С. Лефще-ца, Е.А.Барбасина, В.В.Румянцева, К.П.Персидского, A.A.Воронова, А.А.Беделы5аева, Б.Ж.Майгарина, С.А.Айсагалиеза и др.

Исследованию колебания маятника посвязцяны работы Ф.Три-kossi, Л.Америо,. Г.Зейферта, Г.Сансоне, которые послужили отправной точкой для дальнейших исследований фазовых систем бо-л%е слояной структуры.

Для исследования устойчивости " в целом" фазовых систем потребовалось разработка специальной теории в рамках зторо-го иетода Ляпунова, которая учитывает специфику этих систем, обусловленного наличием периодических неликейностей по некоторым координатам. Существенным вкладом в развитие этой теории была процедура построения функций Ляпунова, предложенная D.H. Бакаевым и А. А.Гугои, хоторуа принято называть "процедурой

Бакаева-1Укаи. Сна получила дальнейпее развитие в работах Г.А.Леонова, В.А.Корякина, А.Н.Чурилова, Г.А.Леоновым предложен метод сведения задачи об устойчивости нелинейной системы к исследованию уравнения второго порядка. Качественное исследование систем второго порядка проведено в книге Е.А.Барбаши-на и В.А.Табуевой.

Построение функции Ляпунова, даже для простейких фазовых систем второго порядка является чрезвычайно трудной проблемой-Иззестные критерии глобальной асимптотической устойчивости фазовых систем, полученные с привлечением частотных методов, трудно проверить из-за наличия параметра , изменяющегося

от - оо до + оо . Поэтому разработка нового метода решения задачи глобальной асимптотической устойчивости фазовых систем без использования функций Ляпунова и частотных методов является актуальной проблемой.

Ц®2ью_]эаботи является исследование глобальной асимптотической устойчивости фазовых систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, правые части которых периодичны по некоторым координатам. Рассмотрены также системы со смешанными нелинейностями (периодическая нелинейность и нелинейность из сектора). Полученные теоретические результаты применены для исследования прикладных задач.

Методикеследования. В основе исследования лежат методы обшей теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории устойчивости движения, теории матриц.

® диссертационной работе предлагается новый подход к решению задачи устойчивости фазовых систем без

использования функций Ляпунова и частотных теорем Якубовича-Калмана.

1. Получены достаточные условия глобальной асимптотической устойчивости фазовых систем "с нулевой" и "ненулевой нагрузкой."

2. Получены достаточные условия глобальной асимптотической устойчивости систем со смепаннымя нелинейности«! для случаев с "нулевой" и "ненулевой нагрузкой "

В диссертации проведены теоретические исследования глобальной асимптотической устойчивости фазовых систем. Полученные результаты использованы для речения практических задач, таких как выделение области глобальной асимптотической устойчивости систем фазовой автоподстройки частоты с пропорционально интегрирующим фильтром в автономном случае, нахоящение области глобальной асимптотической устойчивости переходного процесса в синхронной *капиие при приближенном учете демпферных клеток.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на конференции молодых ученых и специалистов К|зГ7 (1988), меивузовской конференции-конкурсе молодых ученых и специалистов КазГУ (1990), Всесоюзной конференции по дифференциальным уравнениям и оптимальному управление (Апхабад, 1990), научных семинарах кафедры теории управления КаЗПУ.

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в работах /1-5/.

- б -

Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. Общий объем работы составляет 90 страниц; список литературы вклочает 71 наименование; в работе 4 рисунка.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во_введении приводится обзор литературы по теме диссертации, обоснована актуальность темы, приведены постановки задач.

В главе I рассматривается фазовая система, описываемая дифференциальными уравнениями вида

2 <~ Az + 8 f(6)t б ' +-R у> (Ö),

2(0)-Zo, 6fo)-6o, t>Q,. <ЗС)

где А,В, С, R - постоянные матрицы соответственно порядков (f>" n)/n'wj, (tn*n),(m*mj ; вектор-функция (<fi (ф,...,

fm(^т)) является периодической с периодом Дк , т.е. У>к(6к+Ак)*-Ч>к(бк) , К*= i,tn) , непрерывно дифференцируема и функции <рк (6V) удовлетворяет условиям

• , , df*(6*) -

где числа< О, JMzk >01 K = 1,tr\.

Будем предполагать, что функции Y> ii" имеют ровно два нуля на множествах С О, Дк], К= 1 соответственно (в прикладных задачах часто встречаются такие нелинейности) .

Предположим, что значения интегралов ^ 4>к (6J cL 6К =о{к1 К* 1м. (3)

€о

Заметим, что если все о(к"0 » K~1rtv , то фазовая система (I) называется системой с "нулевой нагрузкой", в противном случае - системой с "ненулевой нагрузкой".

Пусть Zfi)*2C-t}0,2o),6(t)~6rt;0,6o), t>0

решение системы дифференциальных уравнений (I) при начальных h _h> . условиях 2ов Ь, Оо е Е, IZol + < с^0.

Стационарное шокество

Л фазовой системы (I) определяется формулой

А ■ (4)

Для фазовой системы (I) поставлена следуицая задача: найти условия, налагаемые на матрицы А, В, С, R,

dlaft выполнении

которых система (I) глобально асимптотически устойчива, т.е. j|p6oe решение систеш (I) обладает свойствам

üm Z(t)~0] Utn б(Ь) = б# ; iün У (бЮ) ~ 4>(б#)~0.

t—ao t-*<*>

В § I.I. получен алгебраический критерий для системы (I) в случае с "кулевой нагрузкой". Результаты сформулировали в виде ле>?< я тсореми.

Пусть пара ( А, В ) - управляема и существует матрица О порядка ( 177 * П ) такая, что матрица

- о -

порадка ( m * m ) является неособой. Тогда вдоль решения системы (I) имеем

V(6<ti)=T~1&liLa)-fa(t)],t>0 (5)

6{t)'( C-Kz'Gh)z(t) + Rfiei(±)> t>o (6)

Лемма, 2. Пусть выполнены условия леммы I, матрица и пусть Н - Н* , - некоторые симметричные матрицы

порадков (fixhj ,(tr>*tn) соответственно, причем

-2&*Н V

Тогда вдоль решения системы (I) несобственный интеграл

со

h~U R 2 (t) + z*lt) Рз 2 (t)\ dt<Cz~ &m Z*(t) *

С

* (Лгг1е*Н)г (t) + Hjz0,

где матрицы

р, ^га^^ЧцЛ'ц, рг-И u - l*.) - i- ils а-¿Л;1 и,

Рз - H-A^H-HA+AVr^B'H + HBr-^A, С* cotvot > о

Тео£вма_1. Для глобальной асимптотической устойчивости фазовой системы (I) с "нулевой нагрузкой" достаточно, чтобы выполнялись следущие условия:

1) Пара ( А , В ) - управляема, матрица А - гурзице-

ва;

2) существует матрица О пордцка такая, что матрица Г^бВ порядка т*(Т) , неособая;

ф А

3) существует симметричные матрицы Н'Н , А=А соответственно порядков П*П , т *т такие, что Н =

= 2 А Г1© ;

4) матрица Т/ > О и выполнено одно из следующих усло-

зий:

- а) либо Р1>0 , Рз >0 ;

б) либо р1 >0, Рз = 0<Э >0 , система (I) глобально асимптотически устойчива на линейном многообразии

Й2 =0 • 0- ~ матрица порядка С^х Ь.

В § 1.2 получены достаточные условия глобально асимптотической устойчивости системы (I) для случая с "ненулевой нагрузкой".

Результат сформулирован в виде теоремы.

Тео£.ема_2. Для глобальной асимптотической устойчивости фазовой системы (I) с "ненулевой нагрузкой" достаточно, чтобы выполнялись следущие условия:

1) Пара ( Л, В ) - управляема, матрица А - гурзицмя;

2) существует матрица Э порядка т * П такая, что

матрица порядка /О* ГО , неособая;

3) диагональные матрицы = {... у ^Чт^

(¿¿а^ /и вектор ^/^-у^Утакие, что ^• ^ •

4) симметричные матрицы

соответственно

порядков Л "Л , Л1>/Т) . такие, что

5) матрица Р/ ) 0 , ?ь>0 ;

6) матрица 4 Я г , где матрицы Я*, Яг . - матрицы порядитхт) -С{<4№'(СВ+Нк+М)К,№,=с&+№+М,

4>, - Ф^Г/^-есУъ'м,,

7) фазовая система - 0~ глобально ' асимптотически устойчива, норма

В § 1.3 рассмотрена система фазовой автоподстройки частоты с пропорционально интегрирующим фильтром в автономном случае и найдены области глобальной асимптотической устойчивости с ■•пользованием результатов теорем 1,2. г

В главе 2 рассматривается следующая система со смешанными нелинейностями:

г-Ьг+Ъ(6)}

V(6) = 4(6+AJ, comt>0,46^) 4>:E-*Em (a) Y (6) = W6+b),V6 eE*; «)

9(^6) i

Cj (í <r)-y (i Ó+A), $ О, 6) e e) c io)

где A, д>, С - постоянные матрицы соответственно порадков (h* h) , (h , fñ*r>l) ; вектор-функция . Щ = (%(6)}(6))£ С\Е") : скалярные функции ,

(б) непрерывно дифференцируемы; "ХН) - tt - вектор-функция; 6(í) , ^f(£) - скалярные функции.

В частности, уравнениями вида (7) при условиях (8)-С 10) описывается динамика регулятора Буасса-Сарда, динамика синхронных двигателей и генераторов.

Пусть 2 ft) Oj Zo), ftt) = dit; О; б о),

1 (i) = V(t j O, Va)} ~¿s>0 - репение систем дифференциальных уравнений (7) при начальных условиях Zpé Е ¿P £ í1\ )10 е Е, ll0\ + \do\+\Jo\<°o.

Стационарное множество фазовой системы (7) определяется формулой А = {2 = 0,^ = 0,4 | =

В § 2.1 получены достаточные условия глобальной асимптотической устойчивости системы (7) в случае с "нулевой нагрузкой".

Результат сформулирован в виде теоремы.

Теолсма_3. Для глобальной асимптотической устойчивости системы (7) со смешанными нелинейностями в случае с "нулевой нагрузкой" достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:

1) Матрица/4 + Я'Г/) - гурвицева, пара [А В} - управляема;

2) существует матрица О поредка Ш * П такая, что мат рица О В поредка ГП^/П неособая;

3) для симметричных матриц Н = Н . А* соответственно порядков (Л * Ь) , (т*т) выполнены соотношения

(Н*оГ-'А т'19)(А *ХЬ)*с/\ i мь) *(н *еЪ*~'Л < о; НВ + С = А

асимптотически устойчива.

В.§ 2.2. получен алгебраический критерий для системы (7) с "ненулевой нагрузкой".

Результат сформулирован б виде теоремы. Теопема_4. Для глобально асимптотической устойчивости системы (7) со смешанными нелинейностями в случае с "ненулевой

4) система второго поредка

+ /У1>0, уч^Яу о

глобально

нагрузкой" достаточно, чтобы выполнялись следутщие условия:

'I) Матрица - гурвицева, пара (А + Д1п;

- управляема, числа уи1 > X >0,^1 ~Л > О '

2) существует матрица 6 порядка (т * Г)) такая, что матрица &В поредка (171 * М) является неособоЯ;

3) для симметричных матриц Н = Н# , А =А* соогветстэен-но порядков (Г)" Ь) ,(Ю*т) выполнены соотношения

'"Л Г1в)(А + М») + (А+Мп)*(н Г фо,

НВ + С =

4) система второго порядка

9 + а Ул (//1-л)'е + ч>(о)= о.

глобально асимптотически устойчива.

В 5 2.3 рассмотрены уравнения переходного процесса в синхронной мапине при приближенном учете демпферных клеток и найдена область глобальной асимптотической устойчивости.

нп защиту:

I) Получены алгебраические 'критерии глобальной асимптотической устойчивости фазовых систем с "нулевой нагрузкой" и с "ненулевой нагрузкой". Критерии получены с помощью оценок несобственных интегралов вдоль рзоения системы с использованием известной леммы Барбалата.

Преимущества данного критерия состоит в тем, что не требуется построения каких-либо функций Ляпунова и использования частотной теоремы Якубовича-Калмана.

2) Катод, предложенный для вывода алгебраического критерия глобальной асимптотической устойчивости фазовых систем,

был распространен на динамические системы со смешанными нелинейностями. Критерий глобальной асимптотической устойчивости систем со■ смешанными нелинейностями был получен в два этапа: на первом этапе доказана ограниченность решения системы со смепан-ными нелинейностями, а на втором этапе, используя свойства ограниченности решения системы, показано стремление решений системы к какоцу-либо положение равновесия из стационарного множества . Критерии получены для систем со смешанными нелинейностями для случаев с "нулевой нагрузкой" и с "ненулевой нагрузкой".

3) На основе полученных критериев была решена задача глобальной асимптотической устойчивости систем фазовой автоподстройки частоты с пропорционально интегрирующим фильтром в автономном случае. Найдены области глобальной асиштотической устойчивости для этей задачи в двух случая*: с "нулевой нагрузкой" и с "ненулевой нагрузкой".

С помощью критерия глобальной асимптотической устойчивости динамических систем со смешанными нелинейностями решена задача устойчивости переходных процессов в синхронной машине при,*» приближенном учете демпферных клеток. Аналогично найдена область глобальной асимптотической устойчивости для рассматриваемой системы.

Результаты диссертационной работы могут быть применены для исследования устойчивости электроэнергетических и робото-технических систем, устройств фазовой автоподстройки частоты,

маятниковых систем и т.п.

' СПИСОК РАБОТ, (ПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Рсымбетоз Н.С. Управляемость регулируемых систем.// В сб.: Конференция молодых ученых и специалистов КазГУ. - Алма-Ата: КазГУ, 1988. - С.257.

2. Рсымбетов М.С. Исследование управляемости и глобальной асимптотической устойчивости одного класса фазовых систем. // В сб.: Межвузовская конференция-конкурс молодых ученых и специалистов КазГУ.- 4.1.- Алча-Ата: КазГУ, I990.-C.I7.'

3. Айпанов Ш.А., Рсымбетов М.С. Об одной методе решения задачи управляемости для линейных систем со скалярным управлением. //В сб.: Дифференциальные уравнения и оптимальное управление: Тезисы докладов Всесоознсй конференции.- Апхабад: Ылыч, 1990. - С. 146-147.

4. Айсагалиев С.А., Рсымбетов М.С. К теории синхронизации.-Алма-Ата» 1992. - 28 с. - Деп. в КазНИЙШ, 14.04.92,

3 3684-Ка 92.

5. Айсагалиев С.А., Айпанов Ш.А., Рсымбптов М.С. Обобщенные теоремы о глобальной асимптотической устойчивости фазовых систем// Доклады АН РК, 1992, Р 3, С.3-0.

СвЯ