Частотные оценки хаусдорфовой размерности аттракторов и глобальная устойчивость конечномерных динамических систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ЛЕНИНГРАДСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

БОЙЧЕНКО

Владимир Андреевич

ЧАСТОТНЫЕ ОЦЕНКИ ХАУСДОРФОВОЙ РАЗМЕРНОСТИ АТТРАКТОРОВ И ГЛОБАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ КОНЕЧНОМЕРНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Специальность 01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ЛЕНИНГРАД

1990

Работа выполнена па кафедре теоретической кибернетики мзтематико-механпческого факультета Ленинградского ордена Ленина и ордена Трудового Красного Знамени государственного университета.

Научный руководитель— доктор физико-математических наук, профессор Г. А. ЛЕОНОВ

Официальные оппонент ы:

доктор физико-математических наук, профессор С. Ю. ПИЛЮГИН. кандидат физико-математических наук, доцент И. М. БУРКНИ

Ведущая организация — Горьковскпй государственный университет

Защита состоится « » 1990 г. в часов

на заседании специализированного совета К 063.57.49 по присуждению ученой степени кандидата наук в Ленинградском государственном университете по адресу: 198904, Ленинград, Старый Петергоф, Библиотечная площадь, дом 2, ыатематико-мехаиический факультет ЛГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ленинградского университета.

Автореферат разослан « 42 » ¡¿С^ЬТ/а^ ,990 г.

Ученый секретарь специализированного совета К 063.57.49 кандидат физико-математических наук, доцент А. И. ШЕПЕЛЯВЫЙ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Интерес к размерности Хаусдорфа в теории обыкновенных дифференциальных уравнений обусловлен, прежде всего, обнаружением в фазовых пространствах некоторых нелинейных систем странных аттракторов, для которых размерность является одной из количественных характеристик сложности их топологического строения. Трудности вычисления хаусдорфовой размерности, исходя непосредственно из ее 'определения, делают актуальной задачу получения соответствующих аналитических оценок.

При исследовании систем, в которых возможно хаотическое поведение решений, возникает задача нахождения условий существования или отсутствия странных аттракторов. Достаточным условием последнего является глобальная асимптотическая устойчивость системы.

Цель работы состоит в установлении частотных оценок хаусдорфовой размерности аттракторов и условий глобальной асимптотической устойчивости систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Методы исследования. В работе используются: частотная теорема Якубовича—Калмаиа, модифицированная теорема Дуади—Оэстерле, аналог теоремы Хартмана—Олеха, результаты Ляпунова о разрешимости матричных уравнений, критерий орбитальной устойчивости Леонова, теория Флоке, теоремы Ляпунова, Перрона, Еругина о правильных и приводимых системах.

Научная новизна. В диссертации получены новые частотные условия, позволившие оценить хаусдорфову размерность аттракторов, а при некоторых дополнительных предположениях дать условия глобальной асимптотической устойчивости п-мерных нелинейных систем.

Рассмотрена одна трехмерная система, являющаяся обобщением широко известной системы Лоренца. Исследованы ее простейшие свойства. В случае единственного состояния равновесия установлена асимптотическая устойчивость в целом, доказана диссипативность, даны оценки области диссипатив-пости.

Опираясь на доказанные в диссертации частотные теоремы, получены оценки хаусдорфовой размерности аттракторов и условия глобальной асимптотической устойчивости обобщенной системы Лоренца. Как следствие этих теорем получены результаты для системы Лоренца. Проведено их сравнение с ранее известными. Показано, в частности, что они улучшают соответствующие результаты Р. Смита и Р. Темама.

Применение теорем относительно обобщенной системы Лоренца продемонстрировано также на примерах следующих

з

конкретных физических систем: жидкого гироскопа, вращения твердого тела в сопротивляющейся среде, конвективного движения жидкости во вращающемся эллипсоиде, взаимодействия волн в плазме. Полученные при этом результаты либо являются новыми, либо улучшают известные.

Поскольку использованный в работе подход к установлению условий глобальной устойчивости тесно связан с критерием орбитальной устойчивости Г. А. Леонова, исследуется также круг вопросов, связанных с этим критерием. В диссертации впервые доказано, что в случае периодических решений условие орбитальной асимптотической устойчивости Леонова эквивалентно хорошо известному условию Андронова—Витта.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации могут найти применение в исследованиях многомерных нелинейных систем, в которых возможно хаотическое поведение решений, в частности, при изучении различных физических систем, сводимых к обобщенной системе Лоренца.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры теоретической кибернетики математико-механического факультета ЛГУ (1984— 1990 гг.), на III Уральской конференции «Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения» (Пермь, 1988г.).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, включающего 68 наименований, изложена «а 96 страницах машинописного текста.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 работ

L1-9J.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении формулируются цели исследования и обсуждаются подходы для их достижения. Дается краткая аннотация глав диссертации.

В первой главе рассматриваются вопросы, связанные с критерием орбитальной устойчивости Г. А. Леонова 1 ограниченных решений автономных систем. Дается определение S-условия, ¡непосредственно связанного с условием орбитальной асимптотической устойчивости Г. А. Леонова. Устанавливается эквивалентность S-условия условию Андронова—Витта в случае периодического решения. Вводится понятие старшего орбитального показателя Ляпунова и выясняется его связь с S-условием. Приводятся условия устойчивости (орбитальной и по Ляпунову), формулируемые с использованием

1 Л е о н о в Г. А. Критерий орбитальной устойчивости траекторий автономных систем//Вестн. ЛГУ. Сер. I. 1987, № 1. С. 26—29.

старшего орбитального показателя и 5-условия. Доказывается теорема об .орбитальной неустойчивости ограниченных решений.

Рассмотрим систему вида

х=цх),хед», (1)

где /(*) — непрерывно дифференцируемая вектор-функция. Обозначим. х((, л'0) решение системы (1), проходящее при ¿ = 0 через точку х0. Будем предполагать, что решение х((,хп) ограничено и выполняется неравенство

\Ш\!(х(1, л-0)) |>0. (2)

; ' ' Л 0

Введем в рассмотрение систему в вариациях на решении А'о)

у=$7(ху,х0))у, (3)

а также вспомогательную линейную систему

и — Ь(х{(, Л'о)) к, (4)

где матриц;-, Ь{х) определяется равенством

/ I ул _ ^ _ К* ( Ж •

\}\! { <)Х дх

Здесь и далее свезючкои обозначена операция эр.митового сопряжения.

Определение 1. Будем говорить, что выполняется 5-условне, если существует симметричная ограниченная непрерывно дифференцируемая /гХ»-матрица #(/), длл которой справедливы неравенства

0

V' н Л" таких, что х*[(х({, .г0)) =0. Здесь у—некоторое положительное число. В § 1.1, который носит вспомогательный характер, устанавливается ряд предложении, относительно характеристических показателен Ляпунова решении систем (3) и (4) в предположении выполнения 5-условия.

В § 1.2 доказывается следующая теорема об эквивалентности 5-уеловия классическому условию Андронова—Витта в случае, когда рассматриваемое решение д-(г, хп) периодическое.

Теорема 1.2.Г.,.Предположим, что х0) — периодическое решение системы (1), отличное от состояния рав- овесид.

Тогда выполнение 5-условпя необходимо и достаточно для выполнения условия Андронова—Витта. Более того, если /"(л') — вектор-функция класса Ск(к^. 1), то при выполнении условия Андропова—Витта матрицу Н(1), входящую в Я-ус-ловие, можно выбрать также класса С".

Из этой теоремы вытекает, что критерий Леонова орбитальной устойчивости ограниченных решений автономных систем включает в себя как частный случай аналог теоремы Андронова—Витта об орбитальной асимптотической устойчивости периодических решений (исключая утверждение о наличии асимптотической фазы).

В § 1.3 применительно к автономной системе (1) вводится следующее определение понятия старшего орбитального показателя Ляпунова, предложенное в более обще» ситуации В. М. Миллионщиковым

Определение 2. Старший орбитальный показатель Ляпунова определяется равенством

где / берется на решении х((, х0) системы (1).

Здесь ||-|| — операторная норма, /— единичная матрица. Как и выше предполагаем, что для лг0 решение х{1, х<>) ограничено и выполняется неравенство (2).

Следующая теорема устанавливает связь между орбитальным показателем и 5-условнем.

Т е о р с м а 1.3.1. Предположим, что справедливо неравенство

к система (4) приводима. Тогда выполняется 5-условне.

В этом же параграфе, применяя результаты Б. П. Деми-довича2, даются условия орбитальной асимптотической устойчивости и устойчивости по Ляпунову, формулируемые с использованием старшего орбитального показателя Ляпунова и ¿-условия.

В § 1.4 доказывается теорема об орбитальной неустойчивости ограниченных решений системы (1) в предположении приводимости вспомогательной системы (4).

Вторая глава диссертации посвящена частотным оценкам сверху хаусдорфовой размерности инвариантных компактных

1 Миллионщиков В. М. Теорема об орбитальной устойчивости// Дифферент уравнения. 1987. Т. 23. № 6. С. 1093—1094.

2 Демидович Б. П. Об орбитальной устойчивости ограниченных решений автономной системы//Дифференц. уравнения. 1968. Т. 4. № 4. С. 575-588. № 8. С. 1359—1373.

/.°' &(-Т0) <0

множеств и условиям глобальной асимптотической устойчивости нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнешш.

В § 2.1 на основе частотной теоремы Якубовича—Кал-маиа получены частотные условия, позволяющие дать оценку хаусдорфовой размерности инвариантных компактных множеств для систем вида

.г=Л*+М>(/, С*х), (/, а-)6 RlXG, (5)

где G — открытая выпуклая область в А, В, С — постоянные яХя-матрицы, Ф (t, о)—непрерывно дифференцируемая т-периодичеокая по t вектор-функция. При выводе этой оценки применяется модифицированная теорема Дуади— Оэстерле.

В случае, когда система (5) автономна, т. е. имеет вид

х=Ах+ВФ (С*х), x£G, (6)

с помощью аналога теоремы Хартмана—Олеха, доказаны частотные теоремы о глобальной асимптотической устойчивости.

Для произвольной точки Ха G обозначим x(t, х0) решение системы (5) с начальным условием х(0, дс0)=*о. Предположим, что существует открытая область DczG, обладающая свойством: если хо 6 D, то x(t, Хо) 6 О при [0, т]. Введем отображение сдвига F-:D->-G, задаваемое равенством F-. (хо)=х(т, .to). Пусть KzzD — произвольный компакт, инвариантный относительно F-, т. е. F~ (К')=К. Обозначим dim К хаусдорфову размерность /С. Введем в рассмотрение передаточную матрицу %(р) — С* (р1—А)~1В, где р — комплексное число, / — единичная матрица.

Теорема 2.1.1. Пусть существуют положительные числа /, it y> Для которых выполнены следующие условия:

1) имеет место неравенство

\-4tR", VC. -v)

2) пара {Л+уА стабилизируема;

3) все собственные значения матрицы Л-f у/ лежат справа от мнимой оси;

4) выполнено частотное условие

RexO'w—у)—(iio—y) >° Vw€ lim <o2[Rex(tM—y)— >-x* (»w—y) 1 >°-

Тогда, если существует число р € [0, «], для которого справедливо неравенство

| [(п-р)¥-Иг/(/, Х((, х0))]сИ<Оул-обА', о

то сПт/ССр.

Здесь /(/, х) — матрица Якоби правой части системы (5). Рассмотрим теперь систему (6). Предположим, что найдется односвязная выпуклая область й такая,, что Ссб и любая траектория системы (6), имеющая общую точку с границей области Л, пересекает ее строго внутрь.

Теорема 2.1.2. Пусть существуют положительные числа /. и у, Для которых выполнены следующие условия: 1) имеет место неравенство

VI€/?»,

2) пара {/4-{-у/, В} стабилизируема;

3) все собственные значения матрицы А-\-у1 лежат справа от мнимой оси;

4) выполнено частотное условие

ИехО'ш—/.х* V') >° У1» 6 Я1,

Ит<о2[Г?е ^(цо—у) —(¡'ы—\)г{ш—у)] >0. Тогда, если справедливо неравенство

(л—2)\Ч-Ь-<0 у* б А

то любая траектория в О стремится к некоторому состоянию равновесия при ¿-»-оо.

Здесь J (х) — матрица Якоби правой части системы (6). В этом же параграфе доказаны еще две теоремы, аналогичные теоремам 2.1.1 и 2.1.2, в которых ослаблено частотное условие 4) за счет усиления условия 2).

В § 2.2 вводится в рассмотрение трехмерная система вида

х = —ёх-\-с1у—ауг,

у—гх—у—хг, (7)

г= — Ьг-\-ху,

где й, Ъ, г —положительные числа, а — произвольное вещественное число. Эта система гари а=О совпадает с широко известной системой Лоренца, в которой впервые численно были обнаружены и исследованы хаотические колебания. Числен-'

сНЬ* да

дФ да

(С*х)

Ные эксперименты1'2 позволили продемонстрировать существование странных аттракторов в системе (7) и при аф0.

Рассматриваются простейшие свойства системы (7). Определяются состояния равновесия и их число. Показывается, что в зависимости от параметров системы возможно одно, три или пять состояний равновесия. В случае единственного состояния равновесия, устанавливается асимптотическая устойчивость в целом. Доказывается диссииативность системы (7) и, используя 5-цроцедуру, выводятся некоторые оценки расположения области диссипативности в фазовом пространстве, обобщающие па случай произвольного а соответствующие оценки Г. А. Леонова, полученные для системы Лоренца.

В § 2.3 на основе результатов, изложенных в § 2.1 для «-мерных систем, устанавливаются оценки хаусдорфовой размерности аттракторов и условия глобальной асимптотической устойчивости обобщенной системы Лоренца.

Введем число к*, определяемое следующим образом:

при а = 0 /.'■' = при й>0 ;.* = при а<О

2*2

2х2

- [ (1 -boro) ír-f-1 а0г—х11 ];

^ Va

У.2 '

(а0г—у.,)- ,

4 у.2 г au

если 11 —[-«о 1 (йог—x¡)—4a0lr^¡0, 1

2х2

(j l-f a0\lr—aor+Kt),

если | 1 -fа0| (flor—v.\) —-Wrs^O.

Здесь ki^O, x2>0, хз>0 — варьируемые параметры; a0— — axi/y.-A, 1= 1, если b-^2, / = 0,5/;/Т Ь— 1, если 2.

Введем в рассмотрение квадратное уравнение относительно у

4x.i(t/у) (1 + — \') — (d—xix.i/x2)-=0.

Обозначим у* число, равное наибольшему вещественному корню этого уравнения, если он существует. В противном случае положим у*=0.

1 П и к о в с к и й А., С., Рабинович М. И., Трахтеигерц В. Ю. Возникновение стохастпчносги при распадном ограничении параметрической неустойчивости//ЖЭТФ. 1978. Т. 74. Вып. 4. С. 1366—1374.

2Глуховский А. Б., Должанский Ф. В. Трехмодовые геострофические модели конвекции вращающейся жидкости//Изв. АН СССР. ФАО. 1980. Т. 16. № 5. С. 451—462.

Теорема 2.3.1. Пусть К—аттрактор системы (7). Тогда имеет место оценка

сНт/С^З— (¿+6 + \)/ки (8)

где /г( = т{ гпах {й-\-л*х3хз, Ь-\-\*, у*}.

х.>0

Следующий результат, несколько загрубляющий результат теоремы 2.3.1, дает весьма простую оценку размерности аттракторов системы Лоренца.

Следствие 2.3.1. Пусть а = 0, ¿>1, К—аттрактор системы (7). Тогда имеет место оценка

д\т К^З- (4+Ь+\)/к2,

где d+b+ У b~ 1+2)dr ].

что эта оценка лучше, че!

dim ЛГ s£3— (d+b + 1)//г3,

Показывается, что эта оценка лучше, чем известные оценки Р. Смита1

где ___

и Р. Темаиа2

dim/C<2+ jp^TOT'

тде

b{r+d)

Ь=-{<1+Ь+1)+т1

4у т2(Ь~ 1)

пн = тах(Ь, й), ш2=тт(|, й).

Теорема 2.3.3. Пусть при г—г' найдутся числа «1^0, Х2>0, хз>0 такие, что выполнены неравенства

/*К4*З-А-К0, ?.*-</- КО,

4х.1(/.*х2хя—1) (к*—с1—Ь) — х>{с1—

Тогда система (7) глобально асимптотически устойчива при г<г'.

Следующий результат, несколько загрубляющий результат теоремы 2.3.3, дает весьма простое условие глобальной асимптотической устойчивости системы Лоренца.

'Smith R. A. Some applications o! Hausdorii dimension inequalities for ordinary differential cquations//Proc. Royal Soc. Edinburgh. 1986. V. 104A. P. 235—259.

2 T e m a m R. Infinite-dimentional dynamical systems in mechanics and phisics. New York — Berlin: Springer—Verlag, 1988.

Следствие 2.3.2. Пусть а—О, Ь> 1. Система (7) глобально асимптотически устойчива, если выполнено неравенство

4Уй-1(М-1)(<Ц-1)

с1(Ь+2уЬ-1) ' { '

Показывается, что неравенство (9) выделяет более широкую область в пространстве параметров, чем известно?, условие Р. Смита 1

г< „¡п (

<> ( '/+&■(-1 \d-\-b-\-\

В § 2.1 развивается подход к установлению условии глобальной устойчивости системы (7), который опирается на одно следствие из частотной теоремы 2.1.2.

Для произвольного положительного числа а положим

р(а) = (а+Ь)(а-

<7(«) = -Г (<*+1) («+- -~г}Ы-аг).

Теорема 2.4.1. Система (7) глобально асимптотически устойчива, если при некотором а выполняется одно из двух условий

1) irp(a)iSi<Mа)Ь

я .hJ?-\ х ±.wi-~ar\

г 1 '

' I

2

>0;

4(</+&) (/'+1) 2) 1гр(а)>\ч(а)

4 (й-1- 1)(Ь+\)р (а) - (а- Л. |2 РГ-р (к) -

--1- (¿+1) (с? аг)->0.

Для системы Лоренца из этой теоремы вытекает Следствие 2.4.1. Пусть а—0. Тогда система (7) глобально асимптотически устойчива, если

/■< (6+1) (Ъ/й+\),

или

2Т Ь~1 М_1_М ГЛД-П ^ХПшт !-1-

1 Smith R. A. Some applications of Hausdorff dimension inequalities for ordinary differential equations//Proc. Royal Soc. Edinburgh. 1986.

V. !04A, P. 235—259.

Формулируемое ниже следствие оказывается полезным при исследовании ряда конкретных физических систем, в частности, рассматриваемых в последнем параграфе диссертации.

Следствие 2.4.2. Предположим, что й—аг. Тогда система (7) глобально асимптотически устойчива, если

г<(Ь + 1)(Ь/с1+\)/1-г.

В § 2.5 применение полученных в §§ 2.2—2.4 результатов относительно обобщенной системы Лоренца (7) иллюстрируется па примерах конкретных физических систем: жидкого гироскопа, вращения твердого тела в сопротивляющейся среде, конвективного движения жидкости во вращающемся эллипсоиде, взаимодействия волн в плазме. Кроме рассмотренных примеров указываются еще несколько физических систем, сводимых к системе (7), и которые, следовательно, также могут быть исследованы на основе полученных в диссертации теорем.

Публикации, содержащие основные результаты диссертации

1. Бойченко В. Л., Леонов Г, А. Об орбитальных показателях Ляпунова автономных систем//Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1988. Вып. 3. С. 7—10.

2. Б о й ч с н к о В. А. Орбитальные показатели Ляпунова н устойчивость решений автономных систем. Тезисы докладов III Уральской региональной конференции «Функционально-дифференциальные уравнения н их приложения». Пермь, 1988.

3. Бойченко В. А., Леонов Г. А. Частотные оценки хаусдор-фовон размерности аттракторов нелинейных систем//Дифференн. уравнения. 1990. Т. 26. № 4. С. 555—563.

4. Бойченко В. А. Частотные теоремы об оценках размерности аттракторов и глобальной устойчивости нелинейных систем. Л., 1990. Деп. в ВИНИТИ 4.04.90, № 1832—В90, 50 с.

5. Бойченко В. А., Леонов Г. А. Об оценках размерности аттракторов н глобальной устойчивости обобщенной системы Лоренца//' Вести. Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1990. Вып. 2. С. 7—13.

6. Бойченко В А., Леонов Г. А. Об оценке размерности аттракторов системы Лоренца. Л., 1988. Деп. в ВИНИТИ 26.06.88, № 6722-В88, 5 с.

7. Бойченко В. А., Леонов Г. А. О хаусдорфопой размерности аттракторов системы Лоренца//Диффереш. уравнения. 1989. Т. 25. № 11. С. 1999—2000.

8. Бойченко В. А. Сравнение двух методов опенки области дпссн-пативности системы Лоренца. Л., 1984. Деп. в ВИНИТИ 11.01.85, № 306— 85Деп, 6 с.

9. Б о й ч е н к о В. А., Леонов Г. А. Система Лоренца в динамике нематических жидких кристаллов. Л., 1986. Деп. в ВИНИТИ 25.08.86, № 6076—В 86, 5 с.

Типография ЛИШЭ, 194156, Ленинград, пр. Энгельса, 23' Заказ 481. Тираж 120 экз. Бесплатно.