Линейные системы на алгебраических многообразиях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ.

§ I. Геометрическая интерпретация теоремы Римана-Роха

§ 2. Теоремы об обращении в нуль

§ 3. Теорема Нетера-Энриквеса

§ 4. Классические и современные теоремы о специальных линейных системах на кривой

§ 5. Теоремы Мамфорда и Бовиля ъЬьШ}£.

§ 6. Результаты Сейнт-Дона о моделях поверхностей типа

КЗ. . . . . • г.

§ 7. Теоремы Бертини

ГЛАВА 2. ГЛАДКОСТЬ ОБЦЕГО АНТИКАНОШЧЕСКОГО ДИВИЗОРА НА

МНОГООБРАЗИИ ФАНО.

§ I. Основной результат.

§ 2. Вспомогательные леммы

§ 3. Доказательство теоремы в случае

§ 4. Доказательство теоремы при Х^ £.

ГЛАВА 3. СУЩЕСТВОВАНИЕ ПРЯМОЙ НА МНОГООБРАЗИЯХ ФАНО

§ I. Формулировка основного результата

§ 2. План доказательства теоремы 1.2.

§ 3. Леммы о линейных системах на поверхностях

§ 4. Леммы о линейных системах на многообразии Фано

§ 5. Доказательство предложения 2.5.

§ 6. Доказательство предложения 2.4.

§ 7. Доказательство предложения 2.3.

§ 8. Доказательство предложения 2.2.

ГЛАВА 4. ОТЛИЧИЕ ПРИМИАНОВ ОТ ЯКОБИАНОВ.

§ I. Ортогональные пучки.

§ 2. Поляризация.

§ 3. Примианы и многообразия Прима.

§ 4. Специальные кривые.

§ 5. • • •.

§ 6. Судерэллиптические кривые и некоторые кривые малых родов.

§ 7. Доказательство основной теоремы: случай

§ 8. Доказательство основной теоремы: случайр=*7,6.

§ 9. Доказательство основной теоремы: случай р.

§ 10.Некоторые приложения.

В диссертации изучаются линейные системы на алгебраических многообразиях малой размерности, что приводит к решению нескольких важных проблем алгебраической геометрии.

Пусть X - полное неособое алгебраическое многообразие над алгебраически замкнутым полем й . Еще в классической итальянской алгебраической геометрии было введено понятие (полной) линейной системы / как множества эффективных дивизоров линейно эквивалентных некоторому фиксированному дивизору Д . Полная линейная система ¡Х)0( обладает естественной структурой конечномерного проективного пространства. Собственно под линейной системой или, как еще говорят, линейным рядом понимается произвольное подпространство в Типичным примером этому может служить линейный ряд размерности ^ , состоящий из эффективных дивизоров степени с1 на алгебраической кривой; традиционное обозначение для таких линейных радов ^ Под дивизором в классическом подходе понималась конечная целочисленная комбинация ¿7 ^ подмногообразий коразмерности ^ , что сейчас называется дивизором Вейля.

Современная алгебраическая геометрия пользуется сильно модернизированным языком, основы которого заложил А.Гротендик [ю]. Исходным понятием при этом является понятие обратимого пучка на алгебраическом многообразииуС , которое предполагается полным или проективным, ноуже может иметь особенности. Тогда полная линейная система/и /определяется как множество эффективных дивизоров Картье оЭ таких, что их ассоциированный пучок изоморфен Т. На этот раз /37

-а можно считать лишь открытым подмножеством в проективном пространстве которое может быть отлично от всего пространства Р( /7° (ОС, 3"* )) , если много

Л/— образие .у\ приводимо. А.Бовиль для кривых в этой ситуации ввел важное понятие неособой линейной системы т что позволило перенести многие известные результаты такие, как теорема Клиффода, теорема Мартенса |31]и ее усиление, принадлежащее Мамфорду [25} в неособом случае, на случай кривых с обыкновенными двойными особенностями. В § 1,2,4 гл.4 даны обобщения этих результатов и некоторых других на случай горенштейновых кривых с произвольными особенностями.

Типичным примером хорошей линейной системы является линейная система гиперплоских сечений | Н 1 многообразия , вложенного в проективное пространство. Если же нам задана линейная система

1Л некоторого обратимого пучка, то одной из важных задач алгебраической геометрии является выяснение насколько хороша данная линейная система, т.е. является ли она очень обильной, обильной или хотя бы задает ли она морфизм? На этом пути обычно возникают следующие подзадачи:

А) Найти размерность линейной системы ¡<7 | • ^Б ) Выяснить какова структура базисного множества или же доказать отсутствие такового.

В) Если - » исследовать структуру морфизма

В)еслиЬ = /0 , то разрешить точки неопределенности и перейти к предыдущему пункту.

Что касается пункта ('А) то обычно здесь используют формулу Римана-Роха-Хирцебруха, а также теоремы об обращении в нуль (см. об этом гл. I). Пункты гораздо сложнее и требуют привлечения конкретной геометрии как самого многообразия » так и пучка ч/ . Часто пункт (£>) за/ (Т®гъ/ меняют на исследование кратных линейных систем \ <т~ / . Типичный пример этому конструкция моделей поверхностей общего типа [б] и конструкция моделей некоторых специальных многообразий Фано [18}. С другой стороны, пункт (^В ) представляет также значительный интерес благодаря связи с проекциями многообразия из точки, кривой, поверхности и т.д. В диссертации такой подход является главным рабочим инструментом гл.З.

Значение геометрии линейных систем заключается в том, что они позволяют линеаризовать задачи, которые на первый взгляд кажутся нелинейными. Такова, например, задача описания^касаес подмногообразиям тельных пространств к $ т£СХ) и касательного конуса к тэта-дивизору где X - алгебраическая кривая.

В диссертации изучается ряд важных для алгебраической геометрии линейных систем: специальные линейные системы на кривых, возможно особых, линейные системы на рациональных поверхностях и поверхностях типа ИЗ , а также линейные системы на многообразиях Фано. Укажем основные результаты, ради которых и нужны эти исследования, а также их некоторые приложения.

Джино Фано еще в 30-е годы предпринял изучение трехмерных многообразий д-2 степени , кривые-сечения которых являются каноническими кривыми рода ^ «

Предпринимая современное описание бирегулярной и бирациональ-ной теории таких многообразий В.А.Исковских[18],|19],[20] ,[21] расширил их до более естественного класса многообразий, называемых ныне многообразиями^ Фано. Это трехмерные алгебраические многообразия "V" с обильным ангиканоническим классом - Ку . Первые работы Исковского были сделаны по модулю предположения, что линейная система | ЗД | содержит гладкую поверхность Н , где 71 € Тсс V - обратимый пучок, делящий антиканонический класс - Ку-, т.е. г для некоторого натурального числа Ъ (такое максимальное число X называется индексом многообразия Фано Основной результат гл.2 - теорема 1.2 показывает, что это верно для всех многообразий Фано над алгебраически замкнутым полем характеристики О . Дальнейшее исследование линейной системы К у I делается согласно изложенным выше пунктам

АХ(БХ т

В результате этих исследований Псковских получил, что линейная система /— Ку / на многообразии Фано очень обильна, кроме специальных многообразий из конечного числа семейств. Последние многообразия хорошо описываются с помощью кратных антиканонических линейных систем. Итак, дальнейшие исследования многообразий Фано сводятся к исследованию многообразий Фано основной серии 'Уцу ^ 1Р ^ » которые собственно исследовал Фано. Главным вопросом здесь является ограниченность семейств, что сводится к ограниченности - рода многообразий Фано. Уже в классических работах ¡45],¡38] было известно сколь важно для этого найти прямую t ^ ^ ^

В ¡45] Фано высказал утвервдение о существовании прямой на алгебраическом многообразии

V. группа Пикара которого порождена очень обильным антиканоническим классом - К-у- . Такие многообразия в названы многообразиями Фано пертого^ода и согласно теории экстремальных лучей Мори [зз] имеют очень естественное происхождение при классификации трехмерных многообразий с численно неэффективным каноническим классом. Однако рассуждения Фано, на которое ссылается Рог [38], опирается, главным образом, на счет параметров, что не дает точного доказательства. На важность проблемы существования прямой указывает и Псковских [19]. Эта проблема исчерпывающе решена в гл.З, а именно, согласно основной теореме 1.2 из гл.З на мно-^ гообразии Фано основной серии, имеющем индекс 1 и У^Р'Р существует прямая.

Отсюда непосредственно вытекает следующий критерий существования прямой: Пусть V - многообразие Фано основной серии. На \Г существует прямая тогда и только тогда, когда антиканонический класс — К"у~ не представим в виде суммы двух обильных классов дивизоров. Данный критерий, конечно, является более слабым утверждением, чем теорема 1.2 из гл.З. Тем не менее из него можно извлечь такую мораль: препятствие к существованию прямой имеет чисто топологическую природу по крайней мере в случае основного поля £ нулевой характеристики. Воспользовавшись описанием специальных многообразий Фано, можно убедится, что теорема 1.2 гл.З и критерий рациональности верны для произвольного многообразия Фано, если под прямой понимать эффективный одномерный цикл ^ ^ с - & в ^ • В качестве другого следствия получается решение гипотезы Фано1 из [19], которая утвервдает, что на многообразии Фано первого рода индекса £ всегда существует прямая. Следует отметить о том, что, как недавно показал С.Аццршка под руководством автора диссертации, многообразия Фано первого рода индекса 1 в смысле Исковских есть то же самое, что и многообразия Фано первого рода индекса 4 в классическом смысле [38], т.е. такие у которых антиканоническая линейная система |- К-у-| не имеет распадений. Б качестве еще одного следствия теоремы о существовании прямой и теоремы 6.1 [19} получается, что для многообразий Фа^о "V первого рода и индекса 1 выполнено неравенство — И\-у~ ^22 , что соответствует ограниченности Более того, отсюда получается их полное описание; см.таблицу в (20], [21]. Используя методы гл.З Н.Гушелю удалось недавно решить задачу реализации последних многообразий Фано из этой таблицы. Что касается^общих многообразий Фано, то для них верно неравенство — и верхняя граница достигается на

1Р . В доказательстве этого неравенства также ключевую роль играет существование прямой и его набросок дан в совместной работе с Исковских [20}. Полную разработку этого наброска сделал С.Львовский [24]. Переизложение основной теоремы 1.2 гл.2 имеется в ¡21], а переизложение теоремы 1.2 гл.З - в

В гл.4 исследуются специальные линейные системы на кривых и соответствующие специальные кривые; см., например, § 4, § 6 гл.4. Основным объектом исследования здесь является пара (С X) » состоящая из связной к|швой С , которая в качестве особенностей допускает лишь обыкновенные двойные точки, а основное поле определения алгебраически^амкнуто и имеет характеристику ^2 и инволюции

I •• С - С которая удовлетворяет следующему условию:

Ь ) неподвижные точки инволюции I есть в точности

- 10

V -тг все особые точки кривой С и инволюция 1 сохраняет ветви кривой О в каждой особой точке, V

Такие пары, называемые парами Бовиля, обобщают пары(с^ 1) состоящие из неособой кривой С с инволюцией 1 без неподвижных точек, что соответствует неразветвленному накрытию

Л"' С ' * С- /X С степени ^ . Таким неразветвленным ев конструкции Пр1

Ъ-ШЛ) накрытием, выделяя один из частных случаев конструкции Прима, Мамфорц сопоставил абелево многообразие называемое многообразием Прима или примианом, с естественной

- ^Ср. главной поляризациеи, а потому и с тэта-дивизором Именно это последнее обстоятельство в связи с проблемой Шоттки вызвало первоначальный интерес к этому классу абелевых многообразий. Еще Виртингеру [э] была известна несобственность отображения Прима для неразветвленных накрытий неособых кривых, что привело, к появлению пар Виртингера. Бовиль сопоставил указанным выше парам (О ; I) главные поляризованные абелевы многообразия Т^ЖсЛ) . Но для построения собственного отображения Прима потребовалось введение допустишх пар (см. § 3 гл.4) куда и попадают пары Виртингера. Как видно из § 3 гл.4 исследование вопроса когда примиан Ж> V есть, как главное поляризованное абелево многообразие, сумма якобианов неособых кривых сводится к решению этого вопроса для пар Бовиля (С* ? 1 ) и, более того, для пар удовлетворяющих следующему условию типа стабильности: ^ ^ ^ Для любого разбиенш^ С ~ С1 (У выполнено неравенство Цг С^ П Cz ^ ^ *

Основной в гл.4 является^теорема, утверждающая, что в этой ситуации многообразие Кс, I) изоморфно сумме якобианов неособых кривых в том и только том случае,когда факторкривая с = с /т имеет один из следующих видов: а) С - гиперэллиптическая кривая; с<0 С - тригональная кривая; ) С - квазитригональная кривая;

Ы) с

- плоская квинтика и пара

СД) имеет нечетный тип.

По аналогии с неособым случаем особая кривая С называемся гидерэлжптической, если имеется конечный морфизм Р степени 2 , тригональной - для такого морфизма степени 3 . Кривая, полученная склейкой двух неособых точек гиперэллиптической кривой, называется квазитригональной. Происхождение данного термина, мы объясним немного позже в связи с теоремой Нете-ра-Энриквеса. Если с с Рг - плоская квинтика, т.е. кривая степени ^ на проективной плоскости ЗР , то мы говорим, что пара С^, I) имеет четный или нечетный тип в соответствии с тем четна или нечетна размерность пространства

Н'СО"; , где М-Ор>(*)1с , а г. с = с / т ^ ^ ' - естественная проекция. Когда

С - гладкая плоская квинтика, это означает соответственно нечетность или четность тэта-характеристики , где точка второго порядка на якобиане

Ж) отвечающая двулистному неразветвленному накрытию ЗГ; О

Достаточность в основной теореме гл.4 получается предельным переходом из результатов Далаляна [12] и Мамфорда [й>] для (а.) , Рециласа [з?] для V прозрачная геометрическая интерпретация результата Рециласа имеется в работе автора £51]), Далалян ¡1з] для (с) , Тюрин [42],¡4з] и Масиевицкого [32] для с() . Доказательство необходимости представляет собою развитие теорем Мамфорда и Бовиля о ¿^ > р ~ 5~ (см. § 5 гл.1). В неособом случае по существу оставалось удалить случай суперэллиптических кривых, а в особом случае ^ около десятка случаев различных геометрических структур на С.

В качестве первого приложения основной теоремы гл.4 обратимся к проблеме Шоттки, которая и вызвала изначально интерес к многообразиям Прима. Рассмотрим в пространстве модулей главно поляризованных абелевых многообразий размерности^ подмногообразие /Vабелевых многообразий с Мул © > у где О) - эффективный дивизор главной поляризации.

Это - так называемое многообразие Андреотти-Майера[^2Д. Это многообразие возникает в связи с альтернативным, к аналитическому подходу Новикова и Дубровина в проблеме Шоттки, геометрическим подходом, выясняющим такие внутренние свойства выделяют якобианы среди главно поляризованных абелевых многообразий. Пусть замыкание образа якобианов неособых кривых рода ^ . Согласно Андреотти и Майеру [2^ ^^ есть одна из компонент Бовиль [з], Донаги и Смит [кб] исследовали подробно оставшиеся компоненты в случае ^ = ^ и . Обозначим через многообразие пар Бовиля ££ } Т)с РаСС-) = ^ ^ У . Значение введения примианов состоит в том, что есть подмногообразие в размерности 3^ , содержащее

В теореме 10.5 гл.4 выясняется какие еще компоненты высекает многообразие Авдреотги-Майера ^^ на

Результатом является выделение 3-х компонент малой*размер-гу^ СО нот г ГЯг2:1 ности ; 5 и / я 1 КОМПОнент размерности - ^ , близкой к размерности . С геометрической точки зрения эти компоненты отличаются в общей точке степенью многообразия особенностей С^) относительно поляризации, а именно шЗо достигается максимум, равный ^ I /12 . "

Другой круг вопросов, относящийся к приложению основной теоремы гл.4, связан с вопросами рациональности расслоений на коники. Это вызвало вторую волну интереса в середине 70-х годов к многообразиям Прима. Под расслоением на коники над поверхностью обычно понимается неособое трехмерное многообразие с плоским отображением на неособую поверхность , общим слоем которого является неособая рациональная кривая ^ , задающая экстремальный луч N С [зз"1* Эти многообразия имеют также естественное происхождение в связи с теорией Мори экстремальных лучей. Хорошо известно, что для рациональности многообразия ~\/~необ-ходима рациональность поверхности /3 . Важнейшим инвариантом расслоения на коники является кривая вырождения С ^ 0 . Оказывается, что кривая С допускает лишь обыкновенные двойные особенности. Более того, над неособыми точками кривой С слой отображения Ш состоит из двух проективных прямых !Р пересекающихся в одной точке, а над особыми точками - из одной двукратной^ прямой. Это означает, что пара ('С, I) , состоящая из базы О , параметризующей прямые вырожденных слоев, с естественной инволюцией I , которая переставляет прямые вырозденного слоя, есть пара Бовиля. Если ^ - рациональная поверхность, а основное поле определения есть поле комплексных чисел, то имеется изоморфизм между промежуточным якобианом С!~\/~) многообразия и примианом ~Р (С } 1} пары (С} [4]. С другой стороны, как установил Гриффите, промежуточный якобиан рационального многообразия изоморфен сумме якобианов. Согласно критерию 10.1 гл.4 это условие и достаточно, когда база /Э минимальна, т.е. есть р&циошльная линейчатая поверхность Й\жж проективная плоскость 1Р . Точнее, условие Гриффитса в этой ситуации можно переписать в виде следующего необходимого условия рациональности многообразия У- в терминах второй присоединенной линейной системы:

2 К^ = ^ см. теорему 10.2 гл.4). В случае ^ ~1Р данный результат вытекает из £4] и [Зб]. Укажем теперь на связь кривых вырождения С рационального расслоения на коники ^: Т/~—> /¡З' при ¡Р'ь. э ^ ^ с исключительными случаями из теоремы Нетера-Энриквеса [49»], описанными автором. А именно, в процессе доказательства критерия 10.1 гл.4 установлено не только, что кривая и имеет один из типов (последний случай модифицирован) основной теоремы гл.4, но и расположение этой кривой на • в случае (а) кривая С пересекает слой линейчатой поверхности 1Гн, двукратно, что индуцирует гиперэллиптическую структуру на С , при этом линейная система К ц- СI отображает поверхность ПГ^ на рациоV нальную нормальную кривую степени ^ - 1 в Л. где ^ = | (С) . В случае ) кривая С пересекает слой линейчатой поверхности ^трехкратно, что иццуцирует тригональ-ную структуру на О , при этом линейная система / К р—С / вкладывает "к в поверхность степени в являющуюся пересечением квадрик через канонический образ три-гональной кривой С } <3 ~ $ ^ * Расположение кривой С, в этом случае описывается пунктом г.2 теоремы I [49]. В случае (с) кривая С пересекает слой линейчатой поверхности ^трехкратно, а ^ С и пересекает оставшуюся часть кривой С по двум точкам, что ицдуцирует квазигриго-нальную структуру на &(С), при этом линейная система IК ЦТ С- I отображает на конус степени в РЗ"^ над рациональной нормальной кривой степени в , являющийся пересечением квадрик через канонический квазитригональный образ кривой С . Этот случай возникает лишь для особых кривых С и их: канонический образ также особ; обыкновенная двойная особенность лежит в вершине указанного конуса. Поэтому он не встречается в классической теореме Нетера--Энриквеса, но с другой стороны он есть вырождение григональ-ного случая.

В гл.1 излагается предварительный материал, а также указаны первоначальные формулировки некоторые из результатов, которые получили обобщение или уточнение в данной диссертации.

Основные результаты диссертации содержатся в опубликованных работах автора[49], [бо] , [51] ,¡52~], [бз].

1. Bombieri E., Husemoller D. : Classification and e'mbeddin-•;gs o£ surfaces. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics,v. 29(1975), 329-431.

2. Бурбаки H.: Алгебра. Модули, кольца, формы. "Наука", M., 1966.

3. Wirtinger W.: Untersuchungen über Thetafunctionen. Teubner, Berlin, 1895.

4. Grothendieck A.: Eléments de géometrie algébrique. I.H. E.S., 1961.

5. Гриффите Ф., Харис Дж.: Принципы алгебраической геометрии. "Мир", M., 1982.

6. Далалян С.Г.: Многообразия Прима неразветвленного двулистного накрытия гиперэллиптической кривой. Успехи мат.наук, 1974, т.29, вып.6, с. 165-166.

7. Далалян С.Г.: Многообразия Прима двулистного накрытия гиперэллиптической кривой с двумя точками ветвления. Мат.сборник, 1975, т.98, вып.2, с. 255-267

8. Donagi R.: The tetragonal construction. Bulletin of AMS vol. 4, n. 2, March 1981, 181-185.

9. Donagi R., Smith C.: The structure of the Prym тар. Acta math. 146 (1980), 25-102.X6. Enriques Р.: Le superficie algebraiche. Hicola Zanich-elli Editore, Bologna, 1949.

10. Псковских В.А.: Минимальные модели рациональных поверхностей над произвольными полями. Изв. АН СССР, сер.матем.,т.43, ja I, 1979, 19-43.

11. Исковских Б.А.: Трехмерные многообразия Фано. I, Изв. АН СССР, сер.матем., т. 41 (1977), 516-562.

12. Исковских В.А.: Трехмерные многообразия Фано. Изв. АН СССР, сер.матем., т. 42 (1978), 506-549.

13. Iskovskih V.A., Sokurov V.V.: Báregular theory of Paño 3-folds. Lecture Notes in Math. 732, Berlin-Heidelberg-ITew-York, 1979, 171-182.

14. Исковских B.A.: Антиканонические модели трехмерных алгебраических многообразий. Совр. проблемы мат., том 12, 1979, 5-57.

15. Куликов Вик.С.: Вырождение поверхностей типа КЗ и поверхностей Энриквеса. Изв. АН СССР, сер.матем., 41 (1977), 1008-1042.- 263

16. Lang S.: On quasi-algebraic closure. Ann. of math., vol. 55, 1952, p. 373.

17. Львовский C.M.: Ограниченность степени трехмерных многообразий Фано. Изв. АН СССР, сер.матем., т.45, № 6, 1981, I288-I33I.

18. Mumford D.: Prym Varieties. I. Contrybutions to analysis, A collectio of papers dedicated to Lipman Bers, Academic Press, 1974, 325-350.

19. Mumford D.: Theta characteristics of an algebraic curve. Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 4 (1971), 181-192.

20. Mumford D.: Varieties defined by quadratic equations. C.I.M.E., Varenna (1969), 31-94.

21. Mumford D.: Pathologies. III. Amer. J. Math., 89(1967), 94-1o4.

22. Мамфорд Д.: Абелевы многообразия. "Мир". М., 1971.

23. Reid М.: Lines on Fano 3-folds according to Shokurov. Institute Mittag-Leffler, 1980, report n. 11.

24. Martens H.: On the varieties of special divisors on a curve. J. Reine Angew. Math. 227 (1967), 111-120.

25. Masiewicki L.: Prym varieties and the moduli space of curves of genus five. Ph. D. Thesis, Columbia Univ., 1974.

26. Mori S.: The cone of effective 1-cycles. Preprint,1980.

27. Nagata M.: On ratinal surfaces. I. Memoirs of the College of science, Kyoto, 1963.

28. Ope 0.: Графы и их применения. "Мир". М., 1965.

29. Псковских В.А.: Конгруенции коник. Вестник МГУ, сер. Мат., мех., Ж> (1982), 52-59.

30. Recillas S.: Jacobians of curves with a g^ are Prym varieties of trigonal curves. Bol.Soc.Mexicana,19(1974),9-13.

31. Roth.L.: Algebraic threefolds with special regard to problems of rationality. Springer, Berlin-Heidelberg- New-York, 1955.39e Saint-Donat B.: Projective models of КЗ surfaces. Amer. J. Math., (1974), 96:4, 602-639.

32. СеррЖ.-П., Алгебраические группы и поля классов. "Мир", М., 1968.

33. Szpiro Ъ.: Travaux de Kempf, Kleiman, Laksov sur les diviseurs exceptionnels. Sem.Bourbaki 24eannee,Ex.417,1971/72.

34. Тюрин A.H.: Пять лекций о трехмерных многообразиях. Успехи мат.наук, 1972, 27, В 5, 3-50.

35. Тюрин А.Н.: 0 пересечении квадрик. Успехи мат.наук,1975, 30, & 51-99.

36. Тюрин А.Н.: Средний якобиан трехмерных многообразий.Совр.проблемы мат., том 12, 1979, 5-57.

37. Pano G.: Sulle varieta algebraiche a tre dimensioni a curve-seczioni canoniche. Comm. Math. Helvetici, 14 (19411942), 23-64.

38. Pujita Т.: Defining eqations for certain types of polarized varieties. Compl. anal, and alg. geomet., Iwanomi Shoten (1977), 165-173.

39. Hartshorne R.: Algebraic geomertry. Graduated Textes in Math., 42, Springer, Verlag, 1977.

40. Hartshorne R.: Residues and duality. Lecture Notes in Math. 20, Berlin-Heidelberg-New-York, Springer, 1966.

41. Шокуров В.В.: Теорема Нетера-Энриквеса о канонических кривых. Mai.сб., 1971, 86, J6 3, 367-408.

42. Шокуров В.В.: Гладкость общего антиканонического дивизора на многообразии Фано. Изв. АН COOP, сер.матем., 43 (1979), 430-441.

43. Shokurov V.V.: Distinguishing Prymians from Jacobians. Invent/ Math., vol. 65, Fasc. 2, 1981, 209-219.

44. Шокуров B.B.: Отличие примианов от якобианов. ХУ1 Всесоюзная алгебраическая конференция. Ленинград, 1981, I80-I8I.

45. Шокуров В.В.: Существование прямой на многообразиях Фано, Изв. АН СССР, сер.матем., т.43, & 4, 1979, 922-964.