Структура и тождества некоторых градуированных алгебр ЛИ тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Репин Дмитрий Владимирович

СТРУКТУРА И ТОЖДЕСТВА НЕКОТОРЫХ ГРАДУИРОВАННЫХ АЛГЕБР ЛИ

Специальность 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

у

Ульяновск - 2005

Работа выполнена на кафедре алгебро-геометрических вычислений государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования Ульяновский государственный университет

Научный руководитель- доктор физико-математических наук, профессор Мищенко Сергей Петрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Ведущая организация: Казанский государственный университет

Защита состоится 21 декабря 2005 г. в 14-30 часов на заседании диссертационного совета Д 272.278 02 при Ульяновском государственном университете по адресу. г.Ульяновск, Университетская набережная, 1, ауд.703.

Отзывы по данной работе просим направлять по адресу: 432970, 1' Ульяновск, ул Л.Толстого, 42, УлГУ, Управление научных исследований

Зайцев Михаил Владимирович

кандидат физико-математических наук, доцепт Богомолова Ирина Викторовна

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ульяновского государственного университета.

Автореферат разослан " * " " ноября 2005

г.

Ученый секретарь диссертационного совета

looker zl2Jim

характеристика работы

Актуальность темы.

Настоящая диссертация посвящена исследованию градуированных тождеав некоторых алгебр Ли, которые порождают многообразия почти полиномиального роста.

В теории многообразий линейных алгебр в случае характеристики ноль основного поля любое тождество эквивалентно некоторой системе полилинейных тождеств1, поэтому исследование строения полилинейных частей относительно свободной алгебры некоторого многообразия, дает полную информацию об эгом многообразии

Важной числовой характеристикой для произвольного многообразия является последовательность размерностей пространства полилинейных элементов степени п, рост которой называется ростом многообразия. Многообразия алгебр Ли делятся на три группы' многообразия полиномиального роста, мноюобразия экспоненциального роста и многообразия сверхэкспонепциального роста. Важную роль играют многообразия почти полиномиального роста, то есть само многообразие имеет экспоненциальный рост, а любое собственное подмногообразие имеет полиномиальный рост. В настоящее время известно только пять многообразий алгебр Ли почти полиномиального роста. Из работ И.В. Воличенко2,3 и С П Мищенко4,5,6 следует, что в классе разрешимых многообразий алгебр существует только четыре многообразия почти полиномиального роста Кроме того, построен млько один пример неразрешимого многообразия почти полиномиального роста, это многообразие порождается простой трехмерной алгеброй Ли, которое подробно исследовано Ю.П. Размысловым7,8 и В. Дренски9.

1 Drensky V. Free Algebras and PI-Algebras, Graduate course in algebra, Springer-Verlag Singapore, 2000

2 Воличенко И Б Об одном многообразии алгебр Ли, связанном со стандартными тождествами Вест АН БССР- Сер. ф!з -магем. навук, 1980, »1, 23-30.

3 Воличенко И Б. Об одном многообразии алгебр Ли, связанном со стандартными тождествами Beciu АН БССР- Сер фи -матем. навук, 1980, №2, 22-29

4 Мтценко С.П. Многообразие алгебр Ли с двуступенно нильпотентным коммутантом Весц1 АН БССР, сер. фи.-мат. навук, 1987, №6, 39-43.

5 Мтценко С П. О разрешимых подмногообразиях многообразия, порожденного алгеброй Витта.//Матем. сб.- 1988.T.136, №3, 413-425

" Мищенко С .П. Рост многообразий алгебр Ли. (обзор)//УМН-1990 -Т45, №6(276), 25-45

7 1'азмыслов Ю П О конечной базируемое™ тождеств матричной алгебры второго порядка над полем характеристики нуль //Алгебра и логика, 1973, т 12, №1, 83-113

8 Размыслов Ю П Конечная базируемость некоторых многообразий алгебр //Алгебра и логика, 1974, т. 13, №6, 685 693.

Дренски В С Представления симметрической группы р

¡разия линейных алгебр -

рос. национальная Библиотека

с.

09

4блиотекд

19 Щ7 '

«| I I I ».jm t

Еще одним направлением исследований в теории линейных алгебр является изучение градуированных алгебр, например10'11,12,13,14,15 В этом направлении существует несколько типов задач: описание всех градуировок на некоторой конкретной алгебре, нахождение базиса градуированных тождеств, нахождение числовых градуированных характеристик, описание строения полилинейных частей копространства идеала градуированных тождеств.

Цель работы.

1 Исследование градуированных тождеств простой трехмерной алгебры Ли

2 Исследование градуированных тождеств алгебры Ли, порождающей наименьшее многообразие, в котором не выполняется ни одно стандартное тождество

3 Исследование градуированных тождеств алгебры Ли, свя ¡апной с неприводимым бесконечномерным модулем трехмерной нильпотентной алгебры Ли.

Методы исследования.

В диссертационной работе использованы методы юории линейных алгебр теории многообразий алгебр Ли, теории представления симметрической группы и техника диаграмм Юнга

Достоверность результатов.

Достоверность результатов диссертационного исследования обеспечивается строгостью постановок задач и математических методов их решения.

Научная новизна.

Все основные результаты являются новыми и состоят в следующем. Исследовано строение полилинейных частей копространств идеалов градуированных тождеств

Матем. сб, 1981, Т.115, №1, 98-115.

'"Giambruno А , Mishchenko S., Zaicev М. Polynomial identities on superalgebias and almosf polynomial growth Communications in Algebra, 2001, V 29, №9, 3787 - 3800

"Giambruno A , Mishchenko S , Zaicev M Group actions and asymptotic behavior of graded polynomial identities J.London Math.Soc., 2002, (2)66, 295-312

12Di Vincenzo О M. On the graded identities of Mu(£), Isr J Math 80 (1992), 323-336

"Bahturin Yu , Giambruno A , Riley D Group graded algebras satisfying a polynomial identity Israel J Math, bf 104 (1998), 145-155.

"Vasilovsky S Yu Z„ - graded polynomial identities of the full matrix algebra of order n Pror AMS 127(12) (1999), 3517-3524.

"Vaailovsky S Yu. Z - graded polynomial identities of the full matrix algebra Commun Algebra bf 26(2) (1998), 601-612

как модулей над соответствующими произведениями симметрических групп некоторых градуированных алгебр Ли.

Положения выносимые на защиту.

Описание строения полилинейных частей копространств идеалов градуированных тождеств как модулей над соответствующими произведениями симметрических групп:

1. простой трехмерной алгебры Ли с естественными градуировками.

2. алгебры Ли, порождающей наименьшее многообразие, в котором не выполняется ни одно стандартное тождество, с заданной на ней -градуировкой.

3 алгебры Ли, связанной с неприводимым бесконечномерным модулем трехмерной нильпотентной алгебры Ли, с заданной на ней - градуировкой

Практическая и теоретическая ценность.

Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в теории многообразий линейных алгебр, при изучении как алгебр Ли с градуировкой или без градуировки, так и при изучении супералгебр Ли

Апробация работы.

Результаты настоящей диссертации докладывались на XII ежегодной научно-практической конференции молодых ученых УлГУ (Ульяновск, 2002), международной молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения -2002"(Казань, 2002) VI международной конференции по алгебре и теории чисел, посвященной 100-летию Н.Г. Чудакова (Саратов, 2004), семинарах кафедры алгебро-геометрических вычислений Ульяновского Государственного Университета

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[5].

Личный вклад.

Направление исследования и постановка задач предложены научным руководителем д.ф.-м.н., профессором Мищенко С.П Формулировка и доказательство основных результатов выполнены автором самостоятельно

Объем и структура диссертации.

Диссертация объемом 64 страницы состоит из введения, трех глав, списка литературы из 28 наименований и списка публикаций автора по теме диссертации из 5 наименований.

Содержание работы

Основными результатами настоящей диссертации являются теоремы 2, 3, 4, 5, 6

Во введении обоснована актуальность работы и формулируются основные утверждения диссертации.

В первой главе вводятся основные определения и понятия, связанные с теорией многообразий алгебр Ли, теорией градуированных алгебр и техникой диаграмм Юнга, а также описываются пять многообразий алгебр Ли Vo, VI, V?, V3, V4 почти полиномиального роста и некоторые их свойства. .

Пусть F - поле характеристики 0. Алгеброй Ли называется линейная ajiie6pa L, в которой выполнены тождества:

ху = -ух, (xy)z + (yz)x + (zx)y = 0

для любых x,y,z 6 L.

Многообразием алгебр Ли называют класс алгебр, удовлетворяющих некоторому фиксированному набору тождеств. О многообразиях алгебр Ли см монографию Ю А Вахтурина16. Обозначим через Id(L) = {/ € F(X) | / = 0 - тождество L} множество всех тождеств алгебры L, где F(X) свободная шн ебра Ли от счетною множества свободных порождающих X = {xi,i2> • •}•

В случае поля нулевой характеристики любое тождество эквивалентно системе полилинейных тождеств, которая получается при помощи метода полной линеаризации17. Пространство

Рп = spanF{xC(l) ■ ■ ■ av(n) | av(1) • • • x„w С F(X),a e S„}

называется пространством полилинейных полиномов от п переменных Рассмотрим действие симметрической группы Sn на пространстве Р„, если о € Sn и f(xl5 .. ,r„) е Р„, тогда

af(xi,... ,хп) = f(x„m,... x„w).

Так как подпространство Р„ П ld(L) инвариантно относительно этого действия, то факторпространство

р

P"(i) = РпПЫЩ

1бБахтурин Ю.А. Тождества в алгебрах Ли. Москва, Наука, 1985.

"Мальцев А И Об алгебрах с тождественными определяющими соотношениями -Матом, сб., 1950, Т. 26, №1, 19-33.

наделяется структурой левого Sn - модуля. Пространство Pn(L) мы также будем обозначать Pn(V), где V многообразие, порожденное алгеброй L

Эта идея позволяет применить теорию представлений симметрической группы при исследовании тождественных соотношений линейных алгебр Подробное изложение этой теории можно прочитать в книгах по теории представлений, например18,19, а приложение этой теории к многообразиям линейных алгебр, например, в монографии Ю А Бахтурина16 и в статьях В. Дренски9 и С.П. Мищенко6.

Последовательность А — (А^Лг,.. ,Xt) называют разбиением числа п и обозначают А (- п, если А[ + А2 + ... + А* = п и А! > А2 > > \к > О Классы изоморфных неприводимых Sn - модулей находятся во взаимооднозначном соответствии с разбиениями числа п. Для каждому такого разбиения А строится диаграмма Юнга, состоящая из к строк, а ¿-строка состоит из А, клеток. Er то заполнить клетки диаграммы числами от 1 до п, то получим таблицу Юнга. По каждой таблице Юнга d можно построить идемпо±ент групповой алгебры FS„, который пропорционален элементу следующего вида

е« = £ (-!)>?.

где Rd подгруппа симметрической группы, оставляющая на месте множество чисел, принадлежащих каждой фиксированной строке таблицы, а С а анало1ично определенная подгруппа только относительно столбцов.

Элемент fi = edo(x]... хп) свободной алгебры Р(Х) порождает в FSn - модуле Р„ неприводимый подмодуль FS„fi.Все элементы подмодуля FSnfd определяют эквивалентные между собой тождества.

Обозначим через ха характер неприводимого S„ - представления, соответствующего А I- п, и для произвольного многообразия V имеет место разложение

Xn(V) = Xn (Р„(У)) = £>ЛХЛ, (1)

Ahn,

где тд-соответствующие кратности.

Аналогичным образом техника диаграмм Юнга переносится на случай градуированной алгебры, которая описана во втором параграфе первой главы в случае Z2 градуированной алгебры.

18Кэртис Ч., Райнер И. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр -М .Наука, 1969.

"Джеймс Г Теория представлений симметрических групп -М Мир, 1982

В случае алгебр Ли известно всего пять многообразий алгебр Ли почти полиномиального роста Это многообразие У0, порожденное простой трехмерной алгеброй Ли з12 матриц второго порядка со следом равным нулю Это единственное известное пока многообразие почти полиномиального роста, которое не является разрешимым Оно подробно исследовано в работах Ю П Размыслова7,8 и В.Дренски9.

Следующим примером является многообразие Л^Л, определяемое тождеством (х1х2)(х3х4)(хьх6) = 0 Для единообразия всех примеров, следуя статье6, обозначим многообразие Л^А через VI. Доказательство того, что многообразие Ц является почти полиномиального роста, содержится в работе С.П. Мищенко4 Ещр одним примером многообразия почти полиномиального роста является многообразие, исследованное в работах И.Б.Воличенко2'3. Оно порождается алгеброй Ли Ь вида

Обозначим это многообразие через Многообразие У2 является наименьшим многообразием, в котором не выполняется ни одно стандартное тождество.

Для дальнейших примеров многообразий алгебр Ли почти полиномиального роста нам понадобятся следующие алгебры.

Рассмотрим ассоциативно-коммутативное кольцо многочленов от переменной 4, которое обозначим Я. Это кольцо можно рассматривать как абелеву алгебру Ли Обозначим через Мч двумерную алгебру Ли с базисом {И,е} и таблицей умножения ке = — еЬ, = к, а через N3 трехмерную нильпотентную алгебру Ли с базисом {а, Ь, с} и таблицей умножения Ьа = — аЪ = с, ас = Ьс — 0 Тождества неприводимых представлений этих алгебр были исследованы в работах М.В. Зайцева20 и С П Мищенко21.

Превратим йв М2 - модуль, полагая /(¿)/г — tf(t),f(t)e = tf'{t), а также ъ N3 - модуль, считая, что /(¿)а — /'(<), /(<)Ь = /(£)с = /(<) Штрих над

многочленом обозначает взятие производной. Необходимые нам алгебры - такие полу прямые произведения:

Обозначим через Уз многообразие, порожденное алгеброй N, а через У4 многообразие, порожденное алгеброй М. Многообразия У3 и К) отличаются от многообразия Уо, так как они разрешимы ступени три. В этих многообразиях

203айцев М В. Тождества неприводимых представлений алгебры Гсйзепберга Мат модели и методы в социальных науках Труды вторых матем чтений МГСУ М 1994, 1-4.

21 Мищенко С П Тождества неприводимых представлений двумерной мегабелевой алгебры Мат модели и методы в социальных науках Труды третьих матем чтений МГСУ М 1995, 49-51

, где Л - бесконечномерная алгебра Грассмана, а 0 - нулевая алгебра

М = П\М2, N = R\N3.

выполнено стандартное тождество некоторой степени, даже система юждсств Капелли некоторого порядка, поэтому они отличаются от многообразия V2 Также многообразия Уз и V4 отличаются от многообразия V\, так как в мноюобразие V3 выполнены стандартное тождество степени 6 и тождество

(х1х2хз)(х4х5хь) = О,

а в многообразии V4 стандартное тождество степени 5, которые не выполняются в многообразии У;. Доказательство того, что многообразия V3 и У4 имеют почти полиномиальный рост, приведены в работах С.П. Мищенко6,5

Вторая глава диссертации посвящена изучению градуированных тождеств простой трехмерной алгебры Ли я12- Здесь основное поле F - алгебраически замкнутое поле характеристики 0. В первом параграфе рассмотрены всевозможные градуировки на L = si? конечной группой G. В предположении, чю G порождается Supp L, все эти градуировки изоморфны четырем классическим градуировкам:

1) Тривиальная градуировка. L = Lq

2) г2-градуировка. L = L0(B Lu где La =< en - e22 >, Ii =< Pi2,e?i >

3) Z, x г2-градуировка. L = L00(B Ll0 © L0l ® Llu где

Loo =< 0 >, LЮ =< eu - £22 >, Loi =< £12 + 621 >, Ln =< p12 - e2i >

4) Za-градуировка L = L-X Ф L0 ф Lx, где

L-i =< e12 >, Lo =< en - e22 >, L, =< e2i > .

Теорема 1. Пусть G - конечная абелева группа. Тогда любая G -градуировка изоморфна одной из четырех классических градуировок: 1 ) тривиальной градуировке; 2) Z2 градуировке; 3) Z2 х Z2 - градуировке; 4) Z3 - градуировке.

Во втором параграфе второй части дано полное описание полилинейной части идеала градуированных тождеств Z2 - градуированной алгебры sl2.

Теорема 2. Пусть для многообразия V^2 дано разложение S* х — характера

Xk,n~k(Vo*)= Y1

AHfc pthn-k

тогда m\tlt = 1, если А = (k), ¡1 = (ç + г, g), и выполнены следующие условия

1 )кфщ

2) г ф Щ

3) г s 1 или к + q = 1 (mod 2), в остальных случаях тп\= 0.

При доказательстве теоремы используется техническая лемма 4 4 из статьи В Дренски9 . Введем обозначения h = еп — е22, е = е12, / = е?ь где еч- матричные единички.

Лемма 2. Пусть f(xl,x2,xs) — однородный степени d, по г, многочлен о свободной ассоциативной алгебре и d, = <т, (mod 2), <т, = 0,1, г — 1,2.3 Тогда

f(h,e + f,e - /) = eh" (е + /)«(е - f)°\ t € К

В третьем параграфе второй главы дано описание полилинейной части идеала градуированных тождеств алгебры sl2 с Ъ2 х Ъ2 - градуировкой .

Теорема 3. Пусть для многообразия ¡)ано разложение Sp х 5, х 5Г х Si-

характера

Хм.r,i(VbZ2xZ2) - £

fl-r.Tihl

тогда тЛл„)1Г = 1, Р^ли X = (p), ¡л = (q),u = (r),n — (t) и выполнены условия:

1) P = 0;

2) q ф n, г фп, t ф n;

3) q - r = 1 (mod 2) или r - t = 1 (mod 2), в остальных случаях = 0.

В четвертом параграфе второй главы доказывается техническая лемма, которая используегся при доказательстве основной теоремы этого параграфа, описывающей строение полилинейной части идеала градуированных тождесхв Z3 - градуированной алгебры sl2.

Лемма 3. Пусть /(х\,х2,хз) — однородный степени dt по ж, многочлен в свободной ассоциативной алгебре. Тогда

f(e,h,f)

0, | dx di |> 1, eje, dl — d$ = l, €2/, d}-di = \, Езвп + U622, di = d3,

где б, € Р.

Теорема 4. Пусть для многообразия К02э дано разложение Бр хх Бг -характера Хм,г(^о2з)= XI ® ® X")'

»(-г

тогда = 1, если X = (р),¡г — (?), ^ = (г)и выполнены следующие условия.

1) рфп, я Ф п, г фп\

2) |р-г|<1. В остальных случаях = О

Третья глава посвящена изучению градуированных тождеств алгебр, порождающих многообразия V2, V3. Характеристика основного поля F предполагается равной 0. Пусть Л - бесконечномерная алгебра Грассмана с порождающим множеством Е = {еь • • , е„, . }, относительно операции коммутирования она является алгеброй Ли Л'"'. Векторное пространство Л с нулевым умножением будем рассматривать как абелеву алгебру Ли, которую обозначим А°. Зададим действие Л'-' на Л" следующим образом

= (Зг9})°,

гЛе St> (9i9:)° € Л°,д} € Л'-'. Рассмотрим алгебру L — Л° X Л(~' с умножением

(З? + )(»2 + S2) = 9i9i ~ 9i9i + [ffb$а],

где [Pi 152] - коммутатор в ассоциативной алгебре Грассмана Л

В первом параграфе третьей главы рассмотрена Z2 - градуировка на L:

£ = ¿00 ¿1, где L0 - Л<-\ и = Л",

описано строение полилинейной части идеала градуированных тождеств, вычислены формулы последовательностей коразмерностей и кодлин.

Теорема 5. Пусть для многообразия V2Zi дано разложение Sk х Sn к - характера

Xk,n-k(V?2) = Xk,n-k(L) = т*ЛХ\ ® Xii), (2)

At-fc fjhn—k

тогда для п > 2

1. тХ0 = 1, еслм А= (p+l,ln-',-2),/i = (l),p = 0,...,n 2, S "ia,*« = 0 в остальных случаях.

c°'(V2z>) = п2"~2, if(K2Z2) = п - 1.

Рассмотрим трехмерную нильпотенгную алгебру Ли с базисом {а, 6, с} и таблицей умножения Ъа = —ab = с, ас = be = 0, и ассоциативно-коммутативное кольцо многочленов R от переменной t относительно операции коммутирования Я является абелевой алгеброй Ли, превратим ее в правый N3 модуль, полагая действие базисных элементов N3 следующим образом:

м ° о = f'(t), f(t) О ъ = t/(f), f(t) о С = f(t)

Ра<гмофим полупрямое произведение N = Я X N3 и зададим 7,2 градуировку на алгебре N:

N = ЛГ0 ф ЛГ,, где Дг0 = ЛГ3, ЛГ, = Я

Во втором параграфе приведено описание полилинейной части идеала градуированных тождеств алгебры N.

Теорема 6. Пусть для многообразия дано разложение х 5„ - характера

Хк,п-к(У?*) = х*,в-*(ЛГ) = ™\Лх\®х?),

АНЬ

¡¿гп-к

тогда для п > 2

тл,м = 1, если А = (р + 5 + ЛР + ?,р)>М = (1); 2 тл>м = 1, если Л = (р + д,р),/л = (1); 3. т(„-!),(!) - 1;

= 0, е остальных случаях.

Основные выводы.

Исследовано строение полилинейных частей копространств идеалов градуированных тождеств как модулей над соответствующими произведениями симметрических групп:

1. простой трехмерной алгебры Ли с естественными градуировками .

2 алгебры Ли, порождающей наименьшее многообразие, в котором не выполняется ни одно стандартное тождество, с заданной на ней Ъг -градуировкой.

3. алгебры Ли, связанной с неприводимым бесконечномерным модулем трехмерной нильпотентной алгебры Ли, с заданной на ней - градуировкой

Публикации автора по теме диссертации

[1] Репин Д-В. Градуированные тождества простой трехмерной алгебры Ли Вестник Самарского государственного университета 2004 Второй спец выпуск с 5-16

[2| Репин Д В. Тождества градуированной простой трехмерной алгебры Ли Сборник докладов и тезисов докладов студентов и аспирантов на XII ежегодной научно-практической конференции. Выпуск 11 - Ульяновск Изда1ельпво УлГУ, 2002 г с 12-13.

[3] Репин Д.В. Тождества градуированной простой трехмерной алгебры Ли. Труды Математического центра имени Н И Лобачевского Т. 18/ Казанское математическое общество. Лобачевские чтения - 2002//Материалы международной молодежной научной школы - конференции - Казань' Издательство Казанского математического общества, 2002 - с 73-74

[4] Репин Д.В. Тождества Ъ3 - Градуированной простой трехмерной алгебры Ли Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения. Тезисы докладов VI Междунар конф., посвященной 100-летию Н.Г.Чудакова (Саратов, 13 - 17 сентября 2004 г.). - Саратов Изд-во Сарат. ун-та, 2004. с. 101-102

[5] Ренин Д В Тождества Ъг - градуированной алгебры Ли связанной с трехмерной нильпотентной алгеброй Ли. Международная алгебраическая конференция' К 100-летию со дня рождения П.Г.Конторовича и 70-летию Л Н.Шеврина, Екатеринбург, 29 августа - 3 сентября 2005 г: Тез докл - Екатеринбург Изд-во Урал ун-та, 2005. - с. 112-113

Подписано в печать 16.11.05. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ №156/£С%

Отпечатано с оригинал-макета в лаборатории оперативной полиграфии Ульяновского государственного университета 432970, г. Ульяновск, ул. Л. Толстого, 42

OS - 2 26 79

РНБ Русский фонд

2006-4 23576

Введение

1 Алгебры Ли, градуированные алгебры и их многообразия

1.1 Основные определения.

1.2 Z2 - градуированные алгебры Ли

1.3 Многообразия алгебр Ли почти полиномиального роста

2 Градуированная алгебра sfo

2.1 Градуировки на алгебре sfo. 2.2 Тождества гг-градуированной алгебры s/

2.3 Тождества Z2 х 72-градуированной алгебры SI2.

2.4 Тождества Z3-rpaflynpoBaHHoii алгебры s/г

3 Некоторые многообразия алгебр Ли, порожденные Z2 - градуированными алгебрами Ли

3.1 Многообразие V^

3.2 Многообразие V3 2.

При изучении тождественных соотношений в линейных алгебрах одним из важных вопросов является нахождение численных характеристик для описания количества тождеств некоторой конкретной алгебры или многообразия алгебр. Такой характеристикой для произвольного многообразия V является размерность Cn(V) пространства полилинейных элементов степени п. Числа cn(V) образуют последовательность, рост которой называют ростом многообразияV. В ассоциативном случае А.Регевым в [28] было показано, что любое собственное многообразие ассоциативных алгебр имеет не более чем экспоненциальный рост. В алгебрах Ли это не так, существуют многообразия алгебр Ли со сверхэкспоненциальным ростом. Одним из таких многообразий является многообразие AiV"2, определяемое тождеством (Х1Х2Х3) (х^х^хо) = 0. Данное многообразие было подробно исследовано И.Б. Воличенко [5],[6]. Новые результаты исследования этого многообразия можно посмотреть в работе А. Джамбруно, С.П. Мищенко и М.В. Зайцева [12].

В теории многообразий линейных алгебр хорошо известны результаты о многообразиях с почти полиномиальным ростом, то есть само многообразие имеет экспоненциальный рост, а любое его собственное подмногообразие -полиномиальный.

В ассоциативном случае А.Р. Кемером [16] было показано, что только два многообразия ассоциативных алгебр имеют почти полиномиальный рост. Одно из них порождено бесконечномерной алгеброй Грассмана Л, второе - алгеброй UT2 верхнетреугольных матриц порядка два.

В случае алгебр Ли в настоящее время известно только пять многообразий почти полиномиального роста. Из работ И.Б. Воличенко [3],[4] и С.П.Мищенко [19],[20],[21] следует, что в классе разрешимых многообразий алгебр существует только четыре многообразия почти полиномиального роста. Кроме того, построен только один пример неразрешимого многообразия почти полиномиального роста, это многообразие порождается простой трехмерной алгеброй Ли, которое подробно исследовано Ю.П. Раз-мысловым и В.Дренски [26],[27], [9].

В последнее время большой интерес повернут на изучение алгебр с дополнительными условиями: алгебр с инволюцией, градуированных алгебр, например, [1],[10],[11],[24],[13],[14]. Из работ A. Giambruno, С.П. Мищенко, A. Valenti [11],[24] существует только два многообразия ассоциативных алгебр с инволюцией почти полиномиального роста. Одно из них порождается алгеброй С?2 = F © F, где F - основное поле, с инволюцией (a, b)* = (6, а). Это многообразие играет роль аналогичную роли бесконечномерной алгебры Грассмана А. Второе многообразие порождается четырехмерной алгеброй (аналогично UT2).

Данная работа посвящена изучению градуированных тождеств алгебр Ли, порождающих многообразия почти полиномиального роста.

Работа состоит из введения и трех глав. В первом параграфе первой главы даны основные определения и понятия, связанные с теорией многообразий алгебр Ли и техникой диаграмм Юнга. Во втором параграфе приведены основные определения, связанные с Z2 - градуированными алгебрами Ли, описана техника диаграмм Юнга для случая Z2 - градуированных алгебр, введены понятия градуированной коразмерности и градуированной кодлины.

Третий параграф носит реферативный характер, в котором описываются пять многообразий Vo, Vi, V2, V3, V4 почти полиномиального роста и некоторые их свойства.

Вторая глава диссертации посвящена изучению градуированных тождеств простой трехмерной алгебры Ли si2. Здесь основное поле F - алгебраически замкнутое поле характеристики 0. В первом параграфе рассмотрены всевозможные градуировки на L = si2 конечной группой G. В предположении, что G порождается Supp L, все эти градуировки изоморфны четырем классическим градуировкам:

1) Тривиальная градуировка. L — Lq.

2) г2-градуировка. L = L0©Li, где Lq =< ец — в22 >, Li =< ei2,e2i >.

3) Z2 х г2-градуировка. L = L00 Ф L10 Ф L0i ф L'u, где

Аю=<0>> L10 =< en - e22 >, Lqi =< eu + e2i >, Ьц =< eu - e2i > .

4)^з-градуировка. L = 1 ф L0 ф Li, где

-1 =< ei2 >, Lo =< ец - e22 >, £1 =< e2i > .

Теорема 1. Пусть G - конечная абелева группа. Тогда любая G - градуировка изоморфна одной из четырех классических градуировок: 1) тривиальной градуировке; 2) Ъч - градуировке; 3) Z2 х Z2 - градуировке; 4) Z3 - градуировке.

Во втором параграфе второй части дано доказательство технической леммы 4.4 из статьи В.Дренски [9] и дано полное описание полилинейных частей копространства идеала градуированных тождеств Z2 - градуированной алгебры 5/2. Введем обозначения h — ец — е22, е = 612, / = e2i, где eij~ матричные единички.

Лемма 2. Пусть f(x 1, Х2, £3) — однородный степени di по Х{ многочлен в свободной ассоциативной алгебре и di = <jj {mod 2), = 0,1, г = 1, 2,3.

Тогда г, е + /, е — /) = eh^(е + /Г2(е - /Г, е G F.

Теорема 2. Пусть для многообразия Vq 2 дано разложение Sk х — характера

Xk,n-k(V^2)= тл,м(хл<Э Хм),

АЬ-Л; fj,hn—k тогда = 1, если \ — (k), /i = (q + r,q)yu выполнены следующие условия:

1) А; ф щ

2)г ф щ

3) r = 1 или к + q = 1 (mod 2), в остальных случаях т\)/х = 0.

В третьем параграфе второй главы дано описание полилинейных частей копространства идеала градуированных тождеств алгебры s^c Z2 х Z2 -градуировкой .

Z х Z

Теорема 3. Пусть для многообразия VQ 2 2 дано разложение SpxSqx Sr х St-характера

Xp,q,r,t{Vl3Z2XZ2) = mA,^(XA <S> X/. ® Хг/ ® Хтг), fHr,7rht тогда = 1, если \ = (p), fi = (q),v = (r), 7Г = (£) и выполнены условия: 1) p = 0;

2) чФп1 r Ф Щ t ф Щ

3) q — г = 1 (mod 2) шш г — £ = 1 (mod 2), в остальных случаях тдлг,)Я- = 0.

В четвертом параграфе второй главы доказывается техническая лемма, которая используется при доказательстве основной теоремы этого параграфа, описывающей строение полилинейных частей копространства идеала градуированных тождеств Z3 - градуированной алгебры s^

Лемма 3. Пусть f(x 1, Х2, £з) — однородный степени d{ по xi многочлен в свободной ассоциативной алгебре. Тогда f(e,hj) =

О, | d3:|> 1, е\е, d\ — dz = 1, 62/, d3-dv=l, езец + б4е22, di = ds, где бi E f.

Теорема 4. Пусть для многообразия V^13 дано разложение SpxSqxSr характера

ХрлЛЦ?3) = rnxwixx-® Хц ® Xv)> vbr тогда = 1, если А■= = = (г)и выполнены следующие условия:

1) Р Ф Щ яф ni г Ф Щ

2) | p-r |< 1.

В остальных случаях = 0.

Третья глава посвящена изучению градуированных тождеств алгебр, порождающих многообразия Уг, V3. Характеристика основного поля F предполагается равной 0. Пусть Л - бесконечномерная алгебра Грассмана с порождающим множеством Е = {е\,., еп,.}, относительно операции коммутирования она является алгеброй Ли Л^-). Векторное пространство Л с нулевым умножением будем рассматривать как абелеву алгебру Ли, которую обозначим А0. Зададим действие на Л° следующим образом

9i9j = (зд)°, где Оmf е A0,9j е АН: Рассмотрим алгебру L = Л° X Л^ ) с умножением

01-+ 9i)(92.+ 92) = 9I92 ~ 9291 + \gu 92], где #2] коммутатор в ассоциативной алгебре Грассмана Л.

В первом параграфе третьей главы рассмотрена - градуировка на L:

L = L0 ф Lh где Lo — Л(), Lx = Л°, описано строение полилинейных частей копространства идеала градуированных тождеств, вычислены формулы последовательностей коразмерностей и кодлин.

Теорема 5. Пусть для многообразия V^2 дано разложение Sk х Sn-k - характера

Xk,n-k(V22) = Xk,n-k(L)= ^ mx^{x\ ®Xix), (1)

Al-Jfc" цЬп—к тогда для п > 2 1. mA)M = 1, если А = (р+ 1,1пр~2),/2 = (1 ),р = 0,. ,п - 2, mx,fi = 0 в остальных случаях. П2п~\ l9nr{V^) = n- 1.

Рассмотрим трехмерную нильпотентную алгебру Ли iV3 с базисом {а, 6, с} и.таблицей умножения Ьа = —аб = с, ас = be = 0, и ассоциативно-коммутативное кольцо многочленов R от переменной t относительно операции коммутирования. R является абелевой алгеброй Ли, превратим ее в правый А^з - модуль, полагая действие базисных элементов следующим образом: f) о а = f'(t),f(t) О ь = tf(t), f(t) О с = /(*). 8

Рассмотрим полупрямое произведение N = R \ iV3 и зададим Z2 - градуировку на алгебре N:

N = N0 ® NU где N0 = N3, М = R.

Во втором параграфе приведено описание полилинейных частей копро-странства идеала градуированных тождеств алгебры N.

Теорема 6. Пусть для многообразия Vz 2 дано разложение Sk х - характера

Хк,п-к{Уз2) = Xk,n-k(N)= ^ тх,ц{х

ЛЬ к ц\-п—к тогда для п > 2

1. mA)/i = 1, если X = (р + q + r,p + q,p), \i = (1);

2. тх,Й = 1, если А = (p + q,p),V = (1); 3- m(ni))(i) = 1;

4■ т\— О? в остальных случаях.

Основная часть результатов опубликована в работах автора [29],[30],[31],[32],[33]:

В заключении автор хотел выразить чувство глубокой благодарности своему научному руководителю д.ф.-м.н. профессору С.П. Мищенко за постановку задач, полезные советы, постоянное внимание к работе и моральную поддержку.

1. Анисимов Н.Ю. Коразмерности тождеств с инволюцией алгебры Грас-смана//Вестн. Моск. Ун-та. Сер.1. Математика. Механика. 2001, N 3, с. 25-29.

2. Бахтурин Ю.А. Тождества в алгебрах Ли.-М.:Наука, 1985.

3. Воличенко И.Б. Об одном многообразии алгебр Ли, связанном со стандартными тождествами. Весщ АН БССР: Сер. ф1з.-матем. навук, 1980, N 1, с. 23-30.

4. Воличенко И;Б. Об одном многообразии алгебр Ли, связанном со стандартными тождествами. Весщ АН БССР: Сер. ф1з.-матем. навук, 1980, N 2, с. 22-29.

5. Воличенко И.Б. О многообразии алгебр Ли AN2 над полем характеристики нуль//ДАН БССР 1981. T.25.N 12, с. 1063-1066.

6. Воличенко И.Б. Многообразие алгебр Ли с тождеством [^1,Ж2,а:з][сс4,а;5,а;б]] = 0 над полем характеристики нуль// Сиб. матем. журн., 1984, Т.25, N 3, с.40-54.

7. Джеймс Г. Теория представлений симметрических групп.-М.:Мир,1982.

8. Drensky V., Giambruno A. Cocharacters, codimensions and Hilbert series of the polynomial identities for 2 x 2 matrices with involution//Canad. J. Math. 1994. 46. 718-733.

9. Дренски B.C. Представления симметрической группы и многообразия линейных алгебр.-Матем. сб., 1981, Т.115, N 1, с. 98-115.

10. Giambruno A., Mishchenko S., Polynomial growth of the *-codimensions and Young diagrams, Communication in Algebra,2001,29(1),277-284.

11. Giambruno A., Mishchenko S. On star-Varieties with Almost Polynomial Growth, Algebra Colloquium 8:1 (2001) 33-42.

12. Giambruno A., Mishchenko S., Zaicev M. On the colength of a variety of Lie algebras. International Journal of Algebra and Computation. Vol.9, N 5(1999),483-491.

13. Giambruno A., Mishchenko S., Zaicev M. Polynomial identities on superalgebras and almost polynomial growth. Communications in Algebra, 2001, V.29, N 9, 3787 3800.

14. Giambruno A., Mishchenko S., Zaicev M. Group actions and asymptotic behavior of graded polynomial identities. J.London Math.Soc.,2002, (2)66, 295-312.

15. Зайцев M.B. Тождества неприводимых представлений алгебры Гейзен-берга. Мат. модели и методы в социальных науках. Труды вторых ма-тем. чтений МГСУ. М.:1994, с. 1-4.

16. Кемер А.Р. Т-идеалы со степенным ростом коразмерностей. Сибирский математ. журнал, 1976, N 19, с. 37-48.

17. Кэртис Ч., Райнер И. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр.-М.:Наука, 1969.18.'Мальцев. А.И. Об алгебрах с тождественными определяющими соотношениями. -Матем. сб., 1950, Т. 26, N 1, с. 19-33.

18. Мищенко С.П. Многообразие алгебр Ли с двуступенно нильпотентным коммутантом. Весщ АН БССР, сер. ф1з.-мат. навук, 1987, N 6, с. 39-43.

19. Мищенко С.П. О разрешимых подмногообразиях многообразия, порожденного алгеброй Витта.//Матем. сб.- 1988.Т.136, N 3, с. 413-425.

20. Мищенко С.П. Рост многообразий алгебр Ли. (обзор)//УМН-1990.-Т.45, N 6(276), с. 25-45.

21. Мищенко С.П. Тождества неприводимых представлений двумерной ме-табелевой алгебры. Мат. модели и методы в социальных науках. Труды третьих матем. чтений МГСУ. М.:1995, с. 49-51.

22. Мищенко С.П. Цветные диаграммы Юнга // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1993. N 1, с.90-91.

23. Mishchenko S., Valenti A. A Star-Variety with Almost Polynomial Growth, Journal of Algebra 223 66-84 (2000).

24. Наумова Л.Е., Седова H.O. Некоторые многообразия почти полиномиального роста.//Труды молодых ученых УлГУ: Сборник докладов. -Ульяновск: УлГУ, 1999. 128 с. - стр. 20-21.

25. Размыслов Ю.П. О конечной базируемости тождеств матричной алгебры второго порядка над полем характеристики нуль. //Алгебра и логика, 1973, т. 12, N 1, с. 83-113.

26. Размыслов Ю.П. Конечная базируемость некоторых многообразий ал-гебр.//Алгебра и логика, 1974, т. 13, N 6, с. 685-693.

27. Regev A. Existence of identities in А®В// Isr. J. Math. 1972. 11.131-152.Публикации автора по теме диссертации

28. Репин Д.В. Градуированные тождества простой трехмерной алгебры Ли. Вестник Самарского государственного университета. 2004. Второй спец. выпуск, с. 5-16.

29. Репин Д.В. Тождества градуированной простой трехмерной алгебры Ли. Сборник докладов и тезисов докладов студентов и аспирантов на XII ежегодной научно-практической конференции. Выпуск 11. Ульяновск: Издательство УлГУ, 2002 г. с. 12-13.