Эндоморфизмы и радикалы колец тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Щ\л 1 9 Ь

■-¿г-1"- • • .

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ

И.В.7Ю150 [¡ОСОБА

Мехаийко-иагекагическиК факультет

На правах рукописи УДК 512.552.12,16

!.ЕШРУБ Владяиир Александрович

ЭНДОШРФЙЗИЫ И РАДИКАЛЫ КОЛЕЦ 01.01.Об - иатематическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации ий соискание ученой степени кандидата фнэико-иатеыатических наук

Москва - 1992

Работа выполнена на кафодре вассе!) алгебры ^еханико-като-штичоского факулы-ота Московского государственного университета км. М.,В.Ломоносова.

Научний руководитель - доктор фиэшо-шхгеыатичеоких наук,

профессор А.В.ИХАЛЕЦ

Официальные оппонент - докгор физико-штешиг.чесгшх наук

доиенг А.А.ТУГАНБАЕВ, кандидат физико-математических наук, доцент С.А.ПВХИЫЬКОВ .

Ведуцал организация - коскове ккй педагогический государственный ушгаорзитет ииэни В.И.Ленина.

Защита диссертации соотоктсп " 2. Ь " 199.2.Г.

в чао. О^ ит, на заседании специализированного совета Д.053.05.05 по иагеиатихе при Московской государственной университете ни. Ц.В.Лоионосова по адрзоу: 11989Э, Шзсква, Репинские горы, ИГУ, иеханмко-иатеиатичесвий факуяьгот, ауд. 1^-08.

С диссертацией иокио ознакомиться в библиотеке ¿юханш.о-иатеиатического факультета ЫГУ. ^

Автореферат разослан

»¿З » Ш?&(?р9( 1992г.

Учения секретарь специализированного совета по иатеиатике Д.053.05.05 при МГУ доктор фиэико-иатематичеоких наук

В.Н.ЧУБАРИКОВ

'V,;: . МАЯ ая- '

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ. Понятие радикала иизет обцеалгебрап-чэскиН характер, оио успешно праыеняется при изучении колец и алгебр, групп, полугрупп, иодулеИ и категории. 3 категории колец, в отличие, скахои, от категории ыодуле'Д, радикальное отображение не является подфуактороу тождественного Функтора (оа. [II ). Поэтйиу продставляется важный выяснить, при каких условиях образ радикзла дашюго ассоциативного кольца относительно некоторого кольцевого эндогор^изка содержится в эюм не радикале кольца. Идеал X кольца & называют ^ -. инвариантным (или инвариантный относительно эндоноруиэиа

Рено [23 и Дин [3] поставили следующую проблоку:

Проблема I. Является ли первичный радикал нстерова слева кольца инвариантный относительно всех инъективных эндоыорфиз-уэв этого кольца?

Более сбце.1 явллотся

Проблема 2. (А.Б.Михалев) Пусть £ радикал в классе всех колец ( ф-алгебр). Найти условия на кольцо н его

эндоморфизм ^ , достаточные для инвариантности радикала 5 (Я?) относительно ^ .

1. Андрунакйевич В.А., Рябухин Ю.И. Радикалы алгебр и структурная теория. - М.:Науна. - 1979.

2. Renault С. Anneaux de polynoneo da Oro sur deo anneaux Artiniena// Cocaun. Aïs. - 1979. - V. 7,M 7. - P. 753-761.

3. Dean С. МоиогюгрМапз and radicale of Uoetherian rings// J. -Us. - 1986. - V. 99, 1! 2. - P. 573-576.

-г -

Ятегаоикар дм арткиовых колец, Рено И для полу-

приыарных колец и Дкн £33 для кетеровых справа колец с условием максимальности для правых аннуляторов доказали инвариантность верхнего нильрадикала относительно инъектквкнх эндоморфизмов. Уилккнсон [5] для весьма узкого круга колец к эндоморфизмов доказал инвариантность радикала Джекобсона.

Ответим, что если идеал ,$(&) инвариантен относительно эндоморфизма ^ , ю аддитивная группа

будет идеалом кольца косых многочленов , что позволяет

свести изучение кольца к изучению кольца косых много-

членов над Б -пслупростым кольцом/?/$ (Я).

Кольцо Л ^р^ , называемое в диссертация расыирением Кона-Кордана, является обобщением » определенного Иор-

даном [6] и исследованного Уилкинсоноы С7Ц • Это расширение описано в более общей случае для'универсальных алгебр в § 7.3 монографии Кона [8] . В работах> [73 и [6] отмечается, что изучение свойств кольцапозволяет переносить результа-

4. Jatogaonkar A.V. Skew polynomial rings over ordoro In Arti-nlan rings // J. Alg, - 1972. - V. 21,N 1. - P. 51-59.

5. Wilkinson J.C. Injoctive endonorphisaa cad naxlaal loft iaeale of left Artlniaa rings // Glasgow Math. J. - 1998. ~ V. 30. N 2 - P. 195-201.

6. Jordan D. A'. Biective extension of injectivo ring endomor-phisms // J. London Kath. Soc., Ser. 2. - 1982, - V. 25,

li 3. - 435-448.

7. Wilkinson J. C. Quotient rings, chain conditions and injactive ring endomorphiems // Glasgow Math. J. - 1989. - V.31, » 2, - i. 173-181.

8. Кон П. Универсальная алгебра. - Ы.: Наука. - 1968.

ты, полученные для кольца косых многочленов & С эс^ в той случае, когда — автоморфизм, на тог случай, когда ^ — кнъективниМ эндоморфизм. Возникает

Проблема 3. Найти свойстза кольца Рч , которые наследовались бы кольцом АСР^Р) •

Обозначим чорез ^ радикал Джекобсона и первичный

радикал соответственно. Классическая теорема Аыицура [9] ут- • верждает, что [Х]^ = I С^О , гдеХ — некоторый ниль-

идеол кольца Й . Кроив гого,

В большинстве работ, где изучаются классические радикалы колец косых многочленов Я? СэС^ ^ » з частности, в рабо-

тах [10 - исследование ограничивается ллпь теи случаем,

когда £ - автсиор^из!.'. Если отказаться ог этого ограничения,

10. 3edl S.S., Raa J, Jacobson radical of skew polynomial ring3 and skew group rings // laT.J. Hath. - 1900. -V. 35, M, - P. 327-337.

11. Jordan C.R.,Jordan D.A. A note oa aeaiprimitivity of Or« exten3ioaa//Con=un.Ug. - 1976. - V.4,N 7. -'P. 647-656.

12. Puczylowski 3.R. Behaviour of radical properties of rings Uder eone algebraic constructions // "Radical Theory". Eger (Hungary),. 1S82. - Colloc.ilath.Soc. Janoa Boliai. -

. V. 33. - P. 449-450.

13. Voskoglou li.O. Senipriiae ideals of skew polynonial rings// Publ. Xnat. Hath.(Beograd). - 1990. - V.47(61).-P. 33-33.

14. Han J. On the ser-isinplicity of skew polynomial rings // Proc.Aner.Math.Soc. - 1984. - V.90.N 3. - P. 347-351.

то за достигнутую таким путем общность прядется платить возникновением ряда проблегг,Б число которых находятся проблемы I и 3.

Проблема 1ШЪ01ПГИБНЫЙ эндоморфизм КОЙЬ-

уд . Найти условия на кольцоР , которые достаточна для выполнения одного еэ следующих р&вгнств: (а) ¿З(РС^^з) —Ы1Х]з

Дли СЙ доказал равенство (а) для нётеровш: ехграва колец с условием максимальности ддя левах оинугвггоров.

Херстейн [163 , [163 высказал следующую гипотезу.

Гипотеза 5. Пусть Р - нбтерово слева кольцо, а ег0

левые идеалы к |_, — левый нильвдзал относительно 2« Тогда левый

идеал [_, пильпотезгтеа относительно 2 •

Херстейн [163 л Мзйэр [17] для архиновых.слова колэц,Хорстейн [153 дан Р1-алге0р и Стаффорд [183 для вполне ограниченных слеш колец, для простых колец и в том случае, когда2 — и модуль артинов,доказали гипотезу 5.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ, Исследование вопроса ой 1гнвариантнсо1и классических радикалов ассоциативных колец относительно эндоморфизмов, приложение полученных результатов к кольцам косых многочленов,

15. Herutoin X.N, A thoorea on loft Uoother!on rinya // J.Math, Anal. Appl, - 1966. - V. 15, W 1. - P. 91-96.

16. Herotein I.N, A nil-nilpotent type of thsoraia // Aspoc'vs of Mathematics and ito Applications. Eloevier Science Publisher B. V. - 1386. - V. 397-400.

17. Meyer J.H, A nil-iropliee-nilpotent result in Artinlen rings // Bull. Austral Math. Soo. - 1986. - V. 34. - P. 267-269.

"V.

18. Stafford J.T. A nil iiuplieB nilpotent theorem for left ideala // J. Algi - 1990. - V. 133, N 2. - P. 545-549.

изучение свойств расширения Хона-Зордана и колец косых многочленов со многими яоммуаирук'диыи перокенсыки, полное решение проблемы I", исследование проблей 2 - И доказательство гипотезы 5 в частном случае.

ИЗТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. В диссертации использованы методы теории ассоциативных колец, развита техника работы о лоаи1.:я аннулп-юрааи. При изучешш свойств колец косых многочленов со многий« коммутирующими пйреыешшыи в работе систематически используется конструкция расширения кольца о помощью множества его инъектив-ных эндоморфизмов (называемая з диссертации расширением Кона-Зордаяа). Кромо того, в работе использованы теореш Шока о нильпотентности нильподколец (ск. [19] , [20] ) и методы их доказательства.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Все основные результата диссертации являются новыми. Основными результатами диссертации являются следующно;

1. получено положительное реиение проблсми Рано (с:.:, проблему I), для широкого класса колец (включающего кольца Голди,

кольца о размерностью Крулля) установлена инвариантность верхне-• *

го нильрадикала относительно всех эндоморфизмов с нильядрои, нойдени классы колоц и алгебр, радикал Дкекобсона которых инвариантен относительно эндоморфизмов с киаэи регулярным ядром или относительно инъектизных эндоморфизмов (теоремы 1.1.2, 1.2.2, 1.2.3, 1.2.4);

2. з чаотном случае доказана гипотеза ХерстеНна (теорема

злл); '

19. Shock Н.С. КА1 subrin^o in finitnesa conditions // Asar. Kath. ümthly. - 1979. - V. 73. - P. 741-743.

20. Shock KeC. Tho ring of endocorphions of a finite dir.ensio-aal module//lar.J.Math. - 1972. - Y.1l,:í 3.-P. 303-3 14.

3. получено описание первичного радикала и радикала Джекоб-сона колец косых многочленов со многими коммутирующими переменными над кольцами с некоторыми условиями конечности (см. теорема 4.2.2 - ^.2.5).

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут найти применения в теории-колоц и гомологической алгебре.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались на Международной конференции по алгебре, посвященной памяти А.И. Мальцева (Новосибирск, -1989г.), на У1 Симпозиуме по теории колец, алгебр а модулей (Львов, 1990г.), на 26 Всесоюзной научной студенческой конференции (Новосибирск, 1983г.), на семинаре по теории колец III! СО АН СССР (19Б8г.), на научно-исследовательском семинаре по обцой алгобрс и семинаре "Кольца и модули" МГУ (Москва, 1987-1992гг.).

ПУБЛИКАЦИИ. Результаты диссертации опубликованы в 7 работах автора 1/ - 7^ список которых приведен в конце автореферата.

ОБЪМ РАБОТЫ. Диссертация изложена на 15*5 страницах и состоит из введения, нулевой главы, четырех глав и двух приложений. Библиография содержит 72 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Глава I посвяцсна решению проблемы Рено г. исследованию вопроса об инвариантности радикалов ассоциативных колец. В § I.I рассмотрены верхний нильради кал JV и обобщенный нильрадикал, в § 1.2 - радикалы Джекобсода ^ и Брауна-.'.'лкКоя.

Теорема I.I.2. Пусть N =l! j — УПДо:.'ор.:г.з:.: колы;а!х

такой, что/(et =г —. Продг.олокп:.;, -П'о судсс: !*\ч;т идеал X / ...

кольца Р такой, чтоX—N> кольцо^?/! удовлетворяет условию максимальности для левых аннуляторов и каждое нильподколь-цо кольца^/Х нильпотентно. Тогда ^ ' •

В следствии I.I.3 приведено 12 типов колец с различными условиями конечности (среди которых кольца ГоДди, айинн'ке алгебри), к которым применима теорема I.I.2. Следствие 1.1.5 доказывает инвариантность верхнего нильрадикала колец относительно косых дифференцирований в ряде случаев. Примеры 1.1,6 и I.I.8 показывают, что верхний нильрадикал Pl-алгобр л радикал Дзекобсона локальных колец не обязаны быть инвариантными относительно всех инъекгивных эндоморфизмов.' Теорона 1.2.2 доказывает инвариантность радикала Дзекобсона кольца Каиа справа (cu. C2IJ) с условием максимальности для аннуляторов, содержащих ог"

носительно инъективяих эндоморфизмов. В теореме 1.2.3 внделон класс полулокальных SBj-алгебр, радикал Дкекобсона которых инвариантен относительно эндоморфизмов с нвазирегулярншз ядром.

Теорема 1.2.3(1). Если/^ — алгебра о единицей над полей К , R- Область.'GJCikafß) t *f (j(R)) ^

, "^Jt(R)) ^ß-(R) . В теореме 1.2.6,доказана инвариантность радикала Брауна-МакКоя в ряде случаев .

3 главе 2 определены основные алгебраические конструкции, исследуемые в работе. Пусть F~ - непустое множество коиыутирую-цих между собой инъективных эндоморфизмов кольца R . Расширение Кона-ЖорданаA(ß jR) опроделено в § 2.1 как наиионьшео кольцо,

С"*

содержащее R , па котором все эндоморфизмы из t продолжаются до попарно коммутирующих между собой автоморфизмов (определение

21. Faith С. Annihilator ideals, associated prisea and Kaah-ücCoy coanutative ringa/yComr.un.Alg. - 1931. - Y.19,n 7,-P.1857-1033.

2.1.1). Доказаны существование и единственность этого расширения (теоремы 2.1.2 и 2.1.5). Б § 2.2 введено понятие [X]- семейства и установлено, что реасгка левых идеалов кольца изоморфна решетке всех £Х1~ ее^еНств левых идеалов кольца^ . Доказано, что свойства кольца "быть арткновым кольцои о единицей" и "иметь ограниченную длину цепочек левых аннуляторов" наследуются кольцом Д^ь). В § 2.3 определены введенные в Г , С 22J , [23]- кольца косых многочленов х

со ¡шогиии коммутирующими переменными (здесь ииъективные

эндоморфизмы,сЦ — косые ' ^ - дифференцирования,

"Обычное" кольцо косых многочленов является кольцом косых многочленов со многими коммутирующими переменными лишь в тем случао, когда

В г.паво 3 доказаны две теоремы о нильпотентности модифицированных ппльобъектов.

Теорема 3.1.4. Пусть ¡_ 11 2. - левые идеалы кольца ,

Ь—, .—, . т . - левиН нильлдеал над » 21 ^ и дл" БССХ

¡И 1 • Тогда ловнй идеал Ц иильпотентен над 2. •

Однородное подкольцо $ кольца R С-^з^у • Й4^ называется (р^ -иильподкольцом, если каждым однородный элемент из 3 иильпотентен. *еореыа 3.2.3 показывает, что если кольцо кольцо Голди, то каждое - нильподкольцо кольца

2. j Vockoglou lú.G. Extonding derivations and enáonorphiDffia to ukew polynomial ringa // Publ. Inat. Uath. (Beograd). -1906. - V. .39(53). - P. 75-82.

23. Voskoglou ií.G. Prlne idéalo oí- okuw polynouial ring a //

Riv. t!ath. Univ. Pama. - 1989. - V. 15, N - P. 17-25.

; Й-Г" 3 нильпотентно. Эта теорема пред-

стазляет собой косой аналог теоремы Иола о нильпотентности ::иль-подкодец.

В главе Ч результаты, порченные з продидуцих глазах, при-иенэиы для исследования радикала Д.чсексбсона' ^ и первичного радикала"® кольца Ь? С ^Ц^Х) $ ' ^ .Пусть Р~ ~ {7-у • Г1 > ^^ - инъективние ондог.орйизыи кольца рч , Тсорсии 4.1.3 и '».1.4 показывают, что зели кольцо ^ удовлетворяет условию цпксииальности для дсвих аннулятэров, то ¡-~ ~ полупервичпость кольца влечет пслулервичнссть

' кольца £ : Г 3 ' а развоакльиа полу-

первичности кольца р ЕХ^Д^ : "¡/«¡р, чго обобщает розуль-гати Зсскоглоу [13] . Пусть ~ свободный коммутативный

моноид, порожденный миозество'ц г.орвценкнх X ~{--у • о^Г} ,

7 «*е£Х]

Теорема 4.2.2 описывает класс колец (включающий кольца Гол-ди слеза), для которых справедливо равенство ^ЗГ^С^/у'^П) ~ Ы[х]. Для колец £ . КЗ Т0Го ко класса, не лиеяцих - крученин, справедливо равенство

4.2.5 найденп условия (эти условия выполняются, з частности, для колец с разиерностьи Крулдп) доотаточиые для выполнения "авенст-

В приложении I получены два новых критерии нетероаости слева кольца косых ыногочленов •

Теорема П1.8. Пустъ|\/-) и Кеъ^ |\| • Кольцо РЮх^^З является нетеровыи слева кольцом тогда и только гог-.да, когда — нетерово слева кольцо, ) и кольцо

"¿О(¡*\С^;является нётеровым слова.

Приложение 2 даст исчерпывающий ответ на вопрос о том, когда кольцо косых многочленов со многими коммут;фувдкми переменном:! без дх5фера1щ:!роБан;й является левым порядком в артиновом слева кольцэ, и представляет собой продолжение исследований, предпринятых Ятогаонкаром Ю, Нордаком [6] и Уилкинсоном [7] »•

Теорема П 2.1. Еслп|Н|<оо , то следующие условия ( I ) и ( 2 ) эквивалентны :

( I ) РчС-*-^^ 'У^ГЦ является левым порядком в артиновом слова кольце ;

( 2 ) расширение Кона~КорданаА(/^ Р) является левым порядком в артгаовом слева кольце.

Теорема П 2,2. Существуют область ^ , но являющаяся об -ласты» Орэ ни слова ни справа, к инъективный эндоморфизм

—5> Р такие, что кочьцо^Х^ является областью Оре слова.

Теорема П 2,5. Если левый редуцированный ранг кольца конечен, то условия (I) и (2), приведенные вше, ^эквивалентны . тому условию, что является левы:,: порядком в артиновом слева кольце.

3 заключение автор выратает глубокую благодарность своему научному руководите.*?:! профессору А.В.^калеву за постановку задач и постоянное руководство работой. Автор глубоко признателен доктору физико-математических наук К.И.Бейдару за многочисленные консультации. ,

РАБОТУ АВТОРА ПО TEH ДИССЕРТАЦИИ

1. Нушруб В.А. Инвариантность радикала ассоциативного кольца относительно мономорфизмов // Материалы 26 Всесоюзно!! научной отуденческой конференции "Студент и научно технический прогресс". Математика - Новосибирск. - 1988. - С. 57-61.

2. Мушруб В.А. Инвариантность радикалов колец и кольца всех многочленов // Международная конференция по алгебре, поевгщена памяти А.К.Мальцева. Тезисы Докладов по теории колец, алгебр и модулой. - Новосибирск. - 1989. С. 95..

3. ¡¿ушруб В.А. Теорема Гильберта о базисе для модуля косых многочленов // 6 Симпозиум по теории колец, алгебр и модулей. -Львов. - 1990. - С. 90.

4. Мушруб B.Ä. 0 гипотезе Херстойна // Весгн. ИГУ. Маг.мех. - 1992. - й 3. - С. 62-64.

5. Цуируб В.А. Относительная нильпотентность левых идеалов // Вестн. ИГУ. Мат. мех. - 1992. - to 6. - С. 50-52.

6. Мушруб В.А. О классическом кольца частных расширения Кона-Кордана // Успехи мат.наук. - 1992. - Т. 47, й 6.

7. üishrub V. Endosorphisms and invariance of radicals of rings // Contemporary Hatheaatics 7. 131, Part 1Г( Proc. of

the Int. Conf. on Alg. Novosibirsk, 1969 ). - 1992. - P. 363380.

Подп. s net. II.II.92 Формат 60x84 1/16

Oöitu 0,875 п. л. ' Заказ I6S9 Тира* 100 экз.

Типограф** ЮТ.?а