Топологические первичные радикалы колец и групп

Базигаран Бехнам

Топологические первичные радикалы колец и групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Базигаран Бехнам АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2005 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.06 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Топологические первичные радикалы колец и групп»

Автореферат диссертации на тему "Топологические первичные радикалы колец и групп"

На правах рукописи УДК 519.48

Базигаран Бехнам

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПЕРВИЧНЫЕ РАДИКАЛЫ КОЛЕЦ И ГРУПП

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел.

АВТОРЕФЕРАТ диссертадии на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2005

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

Научные руководители:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук,

профессор A.B. Михалев

кандидат физико-математических наук,

доцент С.Т. Главацкий

доктор физико-математических наук,

профессор И.В. Кожухов.

кандидат физико-математических наук,

доцент А.Ю. Голубков.

Тульский Педагогический

Государственный Университет им. Л.Н.Толстого.

Защита диссертации состоится "18 "март 2005 г. В 16 ч. 15 мин. На заседании диссертационного совета Д.501.001.84 в Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, механик»-математический факультет, аудитория 14-08 .

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 4 марта 2005 г.

Учёный секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 в МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

В. Н. Чубариков

те *

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

В 1943 году Бэр1 построил нижний нильрадикал кольца трансфинитным бэровским процессом. Маккой2 ввел понятия первичного кольца и первичного идеала и с их помощью ввел в рассмотрение первичный радикал - пересечение всех первичних идеалов кольцах. Левицкий3 с помощью га-последовательностей доказал совпадение радикала Бэра и радикала Маккоя.

Теория радикалов топологических колец начала развиваться по аналогии с радикалами дискретных колец, т.е. колец без топологии. И.Капланский эффективно использовал радикалы в теории топологических колец. В.И. Арнаутов4 определил топологический радикал Бэра L(R) аналогично нижнему нильрадикалу кольца, который в дискретном случае совпадает с ним, и рассмотрел его свойства (в том числе то, что (L(R))n ~ L(Rn)) где Rn - кольцо матриц размерапхп над кольцом R. Он определил как множество всех элементов b G R, для которых любая т'-последовательность, начинающаяся с Ь, является исчезающей, и показал что в классе топологических колех, обладающих базисом окрестностей нуля, состоящим из идеалов,

'Ваег R. Radicals ideals. J. Math., 1943, 65

'McCoy N H. Prime ideals ш general rings. Amer. J. Math., 1949, 71

'Levitzki J. Prime ideals and lower radical Amer. J. Math , 1951, 73

4 Арнаутов В И. Топологический радикал Бэра и разложение колец. Изв. АН СССР. Сер. мат — 1963. - Т. 5, Л> 8. - С. 1209-1227. _

РОС НАЦИОНАЛЬНА« БИБЛИОТЕКА

имеет место равенство

ffî(R) = р){Р | Р - открытый первичный идеал в R}. В этом классе колец приведен пример, показывающий отличие ЯП(Я) от L(R).

По предложению А.Г.Куроша, К.К. Щукин5 определил первичный радикал группы как пересечение всех первичных нормальных подгрупп, и доказал, что первичный радикал совпадает с множеством всех строго энгелевых элементов группы.

Цель работы. Изучение свойств топологических аналогов первичного радикала в топологических кольцах и группах.

Методы исследований. В диссертации используются методы теории групп, теории топологических групп, теории колец и теории топологических колец.

Научная новизна. Результаты работы являются новыми. Основными являются следующие:

1. Исследован топологически первичный квазирадикал n(R) (пересечение всех замкнутых первичных идеалов в топологическом кольце R), и доказан ряд его свойств.

2. Приведены примеры, показывающие отличие fjt(R) от ранее изучаемых топологических аналогов первичного радикала.

3. Дано описание топологически первичного квазирадикала

'Щукин К.К. К теории радикалов s группах. Дан, 142 N.5 (1962)

? , 2 ^ * < *

' 't УЦ Ргп *

ц(К) как пересечения всех минимальных замкнутых первичных идеалов в топологическом кольце К.

4. Исследованы топологически первичные квазирадикалы колец матриц и доказано, что (/х(Д))п = /¿(Яп).

5. Исследованы топологически первичные квазирадикалы колец многочленов и доказано , что ц{Б[Х\) = (/л(Я))[Х].

6. Исследован топологически первичный псевдорадикал группы г}(С) = Г\{Р\Р- топологическая первичная нормальная подгруппа }, и дано его описание как пересечения всех минимальных замкнутых первичных нормальных подгрупп в топологической группе <2.

7. Исследован топологически первичный радикал группы 77'(С?), и дано его описание как пересечения всех открытых первичных нормальных подгрупп в классе топологических групп С, обладающих базисом окрестностей единицы, состоящим из нормальных подгрупп.

Практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы в дальнейших исследованиях по структурной теории топологических колец и топологических групп. Результаты диссертации могут быть полезны специалистам и аспирантам, занимающимся теорией топологических колец и топологических групп.

Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались на семинаре "Кольца и модули" кафедры высшей алгебры МГУ.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 2 работах, список которых приводится в конце реферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из трёх глав, содержащих одиннадцать параграфов. Все основные результаты (леммы, теоремы, следствия и т.п.) имеют тройной индекс: первое число указывает на номер главы, второе — на номер раздела, а третье — на номер соответствующего результата. Объем диссертации - 64 страниц, список литературы содержит 26 наименований.

Краткое содержание диссертации

В Первой главе изложены краткие сведения о первичных радикалах в группах и кольцах, и о топологических группах и кольцах.

Вторая глава посвящена топологическому первичному квазирадикалу в кольце.

В параграфе 2.1 приведены определения и общая тоерия радикалов топологических колец.

В параграфе 2.2 приведены определения топологического первичного идеала, и топологического первичного квазиради-

кала ¡л(Я).

Определение 1. Пусть Я - топологическое кольцо, /¿(Л) = | Р - замкнутый первичный идеал в ./?}.

Приведены примеры, которые показывают, что Ь{Я) ф /л(Я) Ф Ш(Я), где Ь(Щ - топологический радикал Бэра и Ш{Я) - множество всех элементов 6 € Л, для которых любая т'-последовательность, начинающаяся с Ь, является исчезающей.

В параграфе 2.3 рассмотрены радикальные свойства ц(Я), в частности:

Предложение 1. Пусть топологическое кольцо Я является непрерывным гомоморфным образом топологического кольца Я. Если ц(Я) = Я, то ц{Я) = (Я).

Предложение 2. Если Я - топологическое кольцо, то

и{я/т) = {о}-

Предложение 3. ц{Я) является пересечением всех замкнутых идеалов I в Я, таких что р(Я/1) = {0}.

Предложение 4. Пусть Я - топологическое кольцо и I - замкнутый идеал в Я, и пусть Я/1 и I не имеют замкнутых первичных идеалов. Тогда Я тоже не имеет замкнутых первичных идеалов, т. е. если I) = I и р(Я/1) = Я/1, то ¡¿(Я) = Я.

Предложение 5. Пусть I ~ идеал топологического кольца Я, тогда С / П ц{Я).

Предложение 6. ¡л{1) является идеалом в топологическом кольце Я для каждого идеала I.

Предложение 7. Для открытого идеала I топологического кольца Я имеем I) = р{Я) П I.

Дано определение топологических т-систем как открытых т-систем, рассмотрены их свойства.

Предложение 8. Каждый топологический первичный идеал I кольца Я содержит минимальный топологический первичный идеал этого кольца.

Предложение 9. Пусть Я - топологическое кольцо, тогда ц(Я) = Р|{Р | Р - минимальный топологический первичный идеал в Д}.

В параграфе 2.4 рассматривается кольцо матриц Я^. Доказано следующее предложение.

Предложение 10. Для топологического кольца Я имеет место равенство (ц(Я))п = ¡¿{Яп).

В параграфе 2.5 рассматривается топологическое кольцо многочленов. Получены следующие результаты.

Предложение 11. Пусть Я - топологическое кольцо, тогда

КВД) = ия))[х].

Предложение 12. Если Я - топологическое кольцо, то Ь(Я)[Х] С ЦЯ[Х)).

Приведен пример, который показывает, что в общем случае Ь(Я)[Х] Ф Ь(Я[Х}).

Третья глава посвящена топологическим первичным радикалам в топологической группе. Рассмотрены два подхода к их определению.

В параграфе 3.1, который посвящен первому подходу, приведено следующее определение;

Определение 2. Класс групп Я навивается радикальным, если:

1. Гомоморфный образ Я.-группы есть Я-группа.

2. Всякая группа обладает Я-радикалом, т.е. нормальной Я-подгруппой, содержащей все другие её нормальные Я-группы.

3. Фактор-группа всякой группы по её Я-радикалу не содержит отличных от Е нормальных Я-подгрупп.

Определение 3. Замкнутую нормальную подгруппу Р топологической группы (7 назовём топологической первичной нормальной подгруппой, если из [А, В] С Р следует А С Р или

вер, где А и В — замкнутные нормальные подгруппы группы (?.

Определение 4. Пусть С? - топологическая группа, и пусть Г7(С) = р){Р | Р - топологическая первичная нормальная подгруппа}. Назовём ^(С) топологическим первичным квазирадикалом.

Определение 5. Подмножество К топологической группы С? назовём топологической к-системой в если К открыто и для любых двух элементов а и Ь из К коммутант [(а), (6)] содержит по крайней мере один элемент из К, т.е. [(о), (6)] С\К ф 0, где (а) - нормальная подгруппа порожденная элементом а. Пустое множество будем считать топологической к-системой.

Определение 6. Неединичную топологическую группу С? назовём топологической первичной, если её единичная нормальная подгруппа является топологической первичной нормальной подгруппой.

Получены следующие результаты.

Предложение 13. Каждая топологическая первичная нормальная подгруппа Р группы & содержит минимальную топологическую первичную нормальную подгруппу этой группы.

Предложение 14. Пусть (7 - топологическая группа, тогда г](С) ~ Р){Р | Р - минимальная топологическая первичная нормальная подгруппа}.

Предложение 15. Пусть (7 - топологическая группа. Тогда т](0/г](С)) = {е}, где е - единица группы С/г](С).

В параграфе 3.2, который посвящен второму подходу, приведено следующее определение.

Определение 7. Пусть й - топологическая группа. Элемент а € (7 назовем топологически строго энгелевым элементом, если для любой окрестности единицы V и для любой последовательности Ь,1,Ь,2,... элементов (7 существует N £ N такое, что хп £ V для п > И, где х\ = а,Х(+1 = [а^, [ж„/ц]]. Множество всех топологически строго энгелевых элементов топологической группы С? обозначим через ^'{С).

Получены следующие результаты.

Предложение 16. Пусть <2 - топологическая группа, тогда Я П{Я ! Н ~ открытая первичная нормальная подгруппа в С?}.

Предложение 17. Пусть (? - топологическая группа с базисом окрестностей единицы, состоящим из нормальных подгрупп, тогда г]'{С) — (~}{Н | Я - открытая первичная нормальная подгруппа в С?}.

Предложение 18. В топологической группе G с базисом окрестностей единицы, состоящим из нормальных подгрупп, rf(G) является замкнутой нормальной подгруппой.

Предложение 19. Пусть G - топологическая группа, Н ~ замкнутая нормальная подгруппа группы G и ф\ G —> G/H -естественная проекция. Тогда 4>(r]'(G)) С rj'(G/H).

Предложение 20. Пусть G - топологическая группа с базисом окрестностей единицы , состоящим из нормальных подгрупп. Тогда T)'{G/rf{G)) — {е}, где е - единица группы G/v'(G).

Таким образом, в классе топологических групп с базисом окрестностей единицы , состоящим из нормальных подгрупп, r)'(G) является радикалом.

Известно6, что всякая локально компактная вполне несвязная группа G с совпадающими левой и правой равномерными структурами обладает базисом окрестностей единицы, состоящим из нормальных подгрупп. В классе таких групп rf(G) является радикалом.

Благодарности

Автор рад представившейся возможности выразить благодарность своим научным руководителям д.ф.-м.н. профессору A.B. Михалеву за постановку задач, постоянное внимание

•Бурбаки Н. Общая топология. Топологические группы, числа—М.: ИЛ, 1969.

к работе, и полезные советы, и к.ф.-м.н., доценту С.Т. Гла-вацкию за многочисленные обсуждения и комментарии, полезные советы, и ценную помощь. А также за их теплое отношение, сделавшее совместную работу очень приятной. Также автор благодарен всем сотрудникам кафедры высшей алгебры механико-математического факультета Московского государственного университета.

Работы автора по теме диссертации

(1] Базигаран Б., Главацкий С.Т., Михалев A.B. Топологический первичный квазирадикал, фундаментальная и прикладная математика, Т.10, вып.З, с. 11-22.(2004)

(научным руководителям принадлежат идея доказательства, а Б.Базигаран принадлежит доказательство утверждений)

[2] Базигаран Б., Главацкий С.Т., Михалев A.B. Топологические первичные радикалы групп, фундаментальная и прикладная математика, Т.10, вып.4, с. 1-7.(2004)

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова. Подписано в печать 11, С6.0<> Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. 0,1 Ъ

Тираж 100 экз. Заказ

Лицензия на издательскую деятельность ИД В 04059, от 20.02.2001г.

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета

р-4820

РНБ Русский фонд

2006-4 12787

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Базигаран Бехнам

Введение

1 Предварительные сведения

1.1 Первичный радикал группы.

1.2 Первичный радикал кольца.

1.3 Топологическая группа.

1.4 Топологическое кольцо.

2 Топологический первичный квазирадикал в кольце

2.1 Радикалы топологических колец.

2.2 Определения, примеры.

2.3 Отношения включения.

2.4 Случай колец матриц

2.5 Случай колец многочленов

3 Топологический первичний радикал топологической группы

3.1 Первый подход.

3.2 Второй подход

Введение диссертация по математике, на тему "Топологические первичные радикалы колец и групп"

Начало общей теории радикалов колец и алгебр было положено в 1953 году А.Г. Курошем [11], которая нашла свое развитие в статях В.А. Андрунакиевича [2] и [3], и многих других. В работе [11] А.Г. Курошем введены основные понятия и указаны основные методы построения радикалов: радикалные и полупростые классы и их характеристики; отношения порядка для радикалов; нижний радикал, порожденный данным классом алгебр, его построение; верхний радикал, определенный некоторым классом алгебр. Одновременно, аналогичные идеи были развиты в работах Амицура [7] и [8]. Хотя основные положения этой теории распространялись кроме колец и на другие алгебраические системы, в частности, группы, она не учитывала специфики последних. Б.И. Плоткин в своей серии работ [19] [20] [21] модифицировал аксиомы этой теории с учетом особеностей групп, во многих пунктах качественно отличной от соответствующей теории в ассоцативных кольцах и не укладывающейся в общую схему теории радикалов А.Г. Куроша. В [12] А.Г. Курош обратился к теории радикалов в группах, и начал её построение на основе своих прежним понятий и результатов. В 1943 году Бэр [10] построил нижний нильрадикал кольца трансфинитным бэровским процессом. Маккой [16] ввел понятия первичного кольца и первичного идеала и с их помощью ввел в рассмотрение первичный радикал - пересечение всех первичних идеалов кольцах. Левицкий [15] с помощью га-последовательностей доказал совпадение радикала Бэра и радикала Маккоя.

Теория радикалов топологических колец начала развиваться по аналогии с радикалами дискретных колец, т.е. колец без топологии. В теории радикалов топологических колец, как, впрочем, и в дискретном случае, исследования проводились по следующим двум направлениям:

- общая теория радикалов;

- тория конкретных радикалов.

В цикле работ Капланского по топологическим кольцам существенную роль играл радикал Джекобсона. В [5] В.И. Арнаутов определил топологический радикал Бэра L(R) аналогично нижнему нильрадикалу кольца, который в дискретном случае совпадает с ним, и рассмотрел его свойства (в том числе то, что (L(R))n = L(Rn)) где Rn - кольцо матриц размера п х п над кольцом R. Он в [5] определил 9R(R) как множество всех элементов b Е Л, для которых любая га'-последовательность, начинающаяся с 6, является исчезающей, и показал что в классе топологических колех, обладающих базисом окрестностей нуля, состоящим из идеалов, имеет место равенство I Р ~ открытый первичный идеал в R}. В этом классе колец приведен пример, показывающий отличие m(R) от L(R).

По предложению А.Г.Куроша ( [23] и [24]) К.К. Щукин определил первичный радикал группы как пересечение всех первичных нормальных подгрупп, и доказал, что первичный радикал совпадает с множеством всех строго энгелевых элементов группы.

Данная диссертация посвящена изучению радикальных свойств следующих обьектов: квазирадикала fJ<(R) (пересечение всех замкнутых первичных идеалов в топологическом кольце R); r](G) = f){P | Р - топологическая первичная нормальная подгруппа}; rf'(G) (множество всех топологических строго энгелевых элементов топологической группы).

Научная новизна. Результаты работы являются новыми. Основными являются следующие:

1. Исследован топологически первичный квазирадикал fi(R) (пересечение всех замкнутых первичных идеалов в топологическом кольце Я), и доказан ряд его свойств.

2. Приведены примеры, показывающие отличие fi(R) от ранее изучаемых топологических аналогов первичного радикала.

3. Дано описание топологически первичного квазирадикала fj>(R) как пересечения всех минимальных замкнутых первичных идеалов в топологическом кольце R.

4. Исследованы топологически первичные квазирадикалы колец матриц и доказано, что (/i(R))n = Rn).

5. Исследованы топологически первичные квазирадикалы колец многочленов и доказано, что /jl(R[X]) = (/ll(R))[X].

6. Исследован топологически первичный псевдорадикал группы rj{G) = f]{P | Р - топологическая первичная нормальная подгруппа }, и дано его описание как пересечения всех минимальных замкнутых первичных нормальных подгрупп в топологической группе G.

7. Исследован топологически первичный радикал группы r]f(G), и дано его описание как пересечения всех открытых первичных нормальных подгрупп в классе топологических групп (2, обладающих базисом окрестностей единицы, состоящим из нормальных подгрупп.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [25], [26].

Благодарность. Автор рад представившейся возможности выразить благодарность своим научному руководителю д.ф.-м.н. профессору А.В. Михалеву за постановку задач, постоянное внимание к работе, и полезные советы и к.ф.-м.н., доценту С.Т. Главацкию за многочисленные обсуждения и комментарии, полезные советы, и ценную помощь. А также за их теплое отношение, сделавшее совместную работу очень приятной. Также благодарен всем сотрудникам кафедры высшей алгебры механико-математического факультета Московского государственного университета.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Базигаран Бехнам, Москва

1. Андрунакиевич В. А., Рябухин Ю. М. Радикалы' алгебры и структурная теория. — М.: Наука, 1979.

2. Андрунакиевич В. А. Радикалы ассоциативных колец I ма-тем. сборн. 44(1958)

3. Андрунакиевич В. А. Радикалы ассоциативных колец II ма-тем. сборн. 55(1961)

4. Arnautov V. I., Glavatsky S. Т., Mikhalev А. V. Introduction to the Theory of Topological Rings and Modules. — New York: Marcel Dekker, 1996.

5. Арнаутов В. И. Топологический радикал Бэра и разложение колец // Изв. АН СССР. Сер. мат. -1963. Т. 5, № 6. -С. 1209-1227. Т

6. Арнаутов В. И. Общая теория радикалов топологических колец // Изв. АН РМ. Мат. -1996.-Т. 2 (21).

7. Amitsur S.A. A general theory of radicals, I: Radicals in complete lattices. Amer. J. Math., 1952, 74

8. Amitsur S.A. A general theory of radicals, II: Radicals in rings and bicategories. Amer. J. Math., 1954, 76

9. Бурбаки H. Общая топология, топологические группы, числа- М.: ИЛ, 1969.

10. Baer R. Radicals ideals. J. Math., 1943, 65

11. Курош А.Г. Радикалы колец и алгебр // матем. сборы. 33(1953)

12. Курош А.Г. Радикалы в теории групп // Дан, 141 N.4 (1961)

13. Курош А.Г. Теоря групп. — Наука, 1967.

14. Kaplansky I. Topological rings. Amer. J., 1947, vol. 69

15. Levitzki J. Prime ideals and lower radical. Amer. J. Math., 1951, 73

16. McCoy N.H. Prime ideals in general rings. Amer. J. Math., 1949, 71

17. Марков А.А. О свободных топологических группах, изв. АН СССР. сер. матем. Т.9, 1945

18. Белоногов В.А. Задачник по теории групп. — Наука, 2000

19. Плоткин Б.И. Обобщенные разрешимые и обобщенные нильпотентные группы, умн, Т.12, Вып.4 (1958)

20. Плоткин Б.И. Радикальные группы, матем. сборн. 37(79) (1953)

21. Плоткин Б.И. Радикальные и полупростые группы. Труды Моск. матем. общ. 6(1957)

22. Хузурбазар М.Ш. Мультипликативная группа тела // Дан, 131 N.6 (1960)

23. Щукин К.К. К теории радикалов в группах // Дан, 142 N.5 (1962)

24. Щукин К.К. Радикалы групп. Дисс. (1962)

25. Базигаран Б., Главацкий С.Т., Михалев А.В. Топологический первичный квазирадикал. Фундаментальная и прикладная математика, Т. 10, вып.З, с. 11-22.(2004)

26. Базигаран Б., Главацкий С.Т., Михалев А.В. Топологические первичные радикалы групп. Фундаментальная и прикладная математика, Т. 10, вып.4, с. 1-7.(2004)