Компактные и связанные с ними кольца. Несвязные группы и поля положительной размерности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ Сибирского Отделения Российской Академии наук

На правах рукописи

УРСУЛ Михаил Иванович

КОМПАКТНЫЕ И СВЯЗАННЫЕ С НИМИ КОЛЬЦА. НЕСВЯЗНЫЕ ГРУППЫ И ПОЛЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ РАЗМЕРНОСТИ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических паук

Новосибирск — 1992

Работа выполнена в Институте математики с ВЦ АН Республики Молдова

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Михалев А. В.

доктор физико-математических наук, профессор Чобан М. М.

доктор физико-математических наук, Протасов И. В.

Ведущая организация:

Институт математики и механики Уральского Отделения Российской Академии Наук

Защита состоится ф-ё'^/т.а.^С^. 1992 г. в ^^ часов на заседании специализированного совета Д 002.23.01 по присуждению ученой степени доктора физико-математических наук в Институте математики СО Российской Академии наук (630090, Ново-сибирск-90, Университетский проспект, 4).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО Российской Академии Наук.

Автореферат разослан ЯаЬс^/иЛ' 1992 года.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физико-математических

наук Скосырский В. Г.

> ■

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РЛБОТН

л ■

,, , Актуальность томы. Одттм из паправлоний в теории топологи-.колоц являотся структурная теория топологических колоц.

Порвыо работы, относящиося к структурной теории то полот -чоских колец, появились в середино 30-х годов (Поптрягш [1), Джокобсон, Таусская 12], Отобо [3]). Пссло отого последовал цикл работ Капланского [4,5,6,7], во многом определивший дальнейший путь рапвития структурной теории топологических колец. В этих работах построена теория квазирегулярного радикала компактных и локально компактных колоц, а в работах Золинского {0,91 и Лепта-па [10,11] ата теория распространена на случай линейно компактных колец. Попятив линойно компактного кольца, введенное Лефпе-цом и Шевалло, являотся естественным аналогом понятия компактности в топологической алгебре.

Требования компактности и локальной компактности являются тополо.ичоскими условиями конечности, нологаомнми на топологические кольца. Подобно тому как при изучении колец с условиями конечности возникает необходимость рассмотрения н.шыготептпых идеалов, так и при исследованиях по локальпо компактным, компактным и линойно компактным кольцам появляется необходимость рассмотрения непрерывных аналогов атого понятия.

В тоории дискретных колец важен вопрос о взаимоотношения классов шитьколоц и локальпо нилытотептннх колоц. Хорошо известно, что но всякое нилькольцо локально пильпотоптпо. С другой стороны, известно, что при различных ограничениях, кок, напри-мор, наличие нетривиального тождества, условий конечпости, пиль-кольцо локпльно тш.нотчнтно.

Это долаот актуальной задачу построения теории локальпо пильпотонтннх в топологическом смысле идеалов в локальпо ком-

пактши; кольцах. Далее, надставляется актуальной задачи построения теории абстрактных нильидеалов в кольцах с топологическими условиями конечности.

В классе локалъыо компактных групп В.МЛ'лушковым, В.П.Платоновым и другими авторами построена теория локально пронилыю-тентных групп (см., например. [12]).

В топологической алгебре важно знать, когда топология группы (кольца) полностью определяется ее (его) строением как абстрактной группы (кольца) 113], 114]. Дли компактных нолунрос-па колец вгот вопрос решен Уорнером £15}, а в случае иити[юшх колец Халеем [16]. Эти случаи не исчерпывают все инто[>есцые классы колец с единственной компактной топологией. Поэтому интересен поиск широких классов колец с единственной компактной то-пологаей. . -

Часть результатов диссертации относится к вопросу о взаимоотношениях меаду квазикомпонентами и компонентами в топологических кольцах, группах. Понятие квазикомпоненты было введено Ф.Хо-усдорфоы в 1914 хюду. Фундаментальным результатом в этом напрев-лоции является теорема Хаусдо]*!*»-Iliyjiu Бури о совпадении компонент и квазикомпонент в компактных пространствах. Это понятие оказалось вашшы для теории континуумов, дескриптивной теории шоеоств. С другой стороны, в связи с решением одной задачи дескриптивной теории множеств И.О.Новиковым было вводино понятие итерированной квазшимшоиемти. Это попятив 0ими исследовано А.Д.Тайшшовым для шдошошсгв евклидовых пространств, а в пос-лвдаое время А.Лелеком [17]. Итерированные квазикомпоненты яиии юте я иажноди инвариантами ооднростршгсти континуумов, lice это подготовило основу для систематического исследования квазикомпонент в топологических кольцах и rjiyiiilifx.

Из классических результатов Понтрягина и Ковальского но локально кокпоктпнм телам внтекает, что размерность любого локально компактного поля принимает только три значения: 0,1,2. Иотодн, разряботагошо при исследовании квазикомпонент в топологических групп;;*. позволили доказать существовании тонолоппес-■ гоп полой любой заданной размерности (вопрос Белыювп, РочТогзо-ва, Иасшшова, Шахматова, Воислава; см. [10]).

Цоль работи.1) Исслодовать понятии пропильнот чгшости л локальной пропилыютснтности для'компактннх, локально кошактгшх я близких к ним колоц (счотно компактных, псевдокомпатных, линейно ко^актных и т.д.); 2) исследовать строение абстрактпих нильидеалоп топологических колоц с топологическими огратгтония-ш; 3) исследовать вопрос об единственности компактннх топологий па кольцах и свойства наибольших прадкочпакткнх топологий па яболешх группах; 4) исслодовать соотношения мозхцу итерированиями квазикомпонентами и компонентам п топологических кольцах, группах; 5) исслодовать вопрос о существовании топологических полой лябой заданной топологической раз?5орности.

Общая методика исследований. В дяссортацпи ясполъзуптся мотодн и вдои теории колец, теории групп, теории характеров локально компактных абелешх групп, теоротико-тотствашгой топологии.

Научная новизна. Диссертация содержит следующие гтошо результаты .

1. Построена теория пропильпотоптних я локально пронплыто-тептннх локально компактных и связанных с ними колоц.

?.. .У ¡самим достпточнно условия сотариопно повой природа для того, чт< нилькольцо бшю локально нилытотаттпгм, п пчотто, титлпогячоскио и тонолого •алгсбранчоскио.

3. Систематически исследован вопрос оО единственности компактных топологий на кольца*. Решены три нроОлеш ван Дауэна 119} относительно свойств абелевых групп с наибольшей предком-пактной топологией.

4.- Впервые систематически исследованы соотношения между итерированными квазикомпонентами и компонентами топологических груш, колоц.

5. Решен вопрос о существовании топологических полей произвольной топологической размерности.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты и метода данной диссертации могут бить использованы в смежных областях теории топологических колец, теории топологических абелевых групп, полей. Например, результаты пунктов 1, 2 могут служить исходной точкой для аналогичных исследований в классах топологических колец, наиболее близких к ассоциативным кольцам, как, например, альтернативных, йордановых. Кроме того, теория локально пронилыютентных локально компактных колец, развитая в данной диссертации, может иметь интересные гцюдолженин.

Далее, результаты , иолучешшо в диссертации, по линейно компактным, наследствешю линейно компактным кольцам, и методы, которые были при этом разработаны, могут найти применение при изучении топологичоеких грунп, удовлетворяющих аналогичным условиям. То же самое относится и к результатам по единственности компактных топологий на кольцах, по наибольшим нродкошшкпшм топологиям на абелевых грушах, а также по квазикомпонентам топологических групп, колец.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались ни XIV, XV,XVI,XVII Всесовзных алгебраических конференциях, на VII Всесоюзной конференции, по общей топологии , на III,IV,V 'Гирио

польских симпозиумах по общей топологии и оо приложениям, на Московской и Ленинградской международных топологических Koafe-ронциях (1979 и 1982 гг.). пп II,III,IT,v Рсеооюзпых симпозиумах по теории колец, алгебр и модулой, на расширенном заседании семинара "Алгобра и логика" (Новосибирск, 1978), ;ю семинаре по общей алгебре (МГУ), на международном симпозиуме но системам fuzzy (Румыния, Яссы, 1990).....Они опубликованы в [20 - 47].

Обьом и структура работы. Диссертация содоржит 217 страниц машинописного токста и состоит из' введения, пяти глав, разбитых па параграф, и списка цитированной литературы, наечнтмващего 72 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Введение содоржит краткую историю исследуемых в диссертации вопросов , а такжо беглый обзор основных результатов диссертации.

Глава О носит вспомогательный характер; в ней приведены обозначения, используемые в диссертации, изпостные результаты и попятия, доказаны -некоторые простые утверждения.

Одним из основных понятий, применяемых в диссертации, явля-отся понятие нронильпотоитного кольца: Топологическое кольцо R называется пронильпотонтпым, осли для любой окрестности v нуля кольца и найдется такоо натуральное число п, что Rn с т , где r" - 11-я степепь кольца Р. Кольцо R пазыввется локально пронилъпо-ттттм (топологически локвльпо копочтн), осли любое ого конечное подмножество содержится в проняльпотонтном (компактном) под-кольцо .

В 5 1 главы 1 описано локальное строепио локально компакт-пых колец. Помимо вспомогательного характера, приведенная ниже

теорема представляет и самостоятельный интерес а является аналогом классического результата из теории локально компактных абе-jsöhui rpymi, гласящего, что любая компактная группа содержит открытую пролиеву подгруппу:

1.1.9.Теорема. Пусть и - локально компактное кольцо с компактным факторкольцом H/R0 по компоненте R нуля. Тогда в любой окрестности V нуля содержится такой компактный идеал I, что компонента нуля факторкольца к/1 имеет конечный индекс и изомоДОша группе вида Rn х (к/2)ш, где n, m - целые неотрицателыше числа. В частности, R является прооктишшм проделом колец, компоненты нуля коториж имеют конечный индекс и топологически изомо|фш группам типа кп х (iR/z)m.

Приводимое нижа следствие завершает в определенном смысле пост|юонио квазн{)0гулярного радикала для компактных ассоциатив-{шх колец (более слабый вариант этой теоремы был доказан Кандинским в 1947 1"оду).

1.1.11. Следствие. Ивазирогулярний радикал J(I<) произвольного компактного кольци пронилыютеитен.

Ира помощи теоромм 1.1.9 доказывается олидущия тоорима, цоказываицая, что компактные кольца ограничены в сильном смысле.

1.1.29.Теорема. Кавдое компактное кольцо к сильно ограничо но, 1\е. длн любой окрестности V нули найдется такая окрестность U нуля, ЧТО ltu с у & Ш( с У.

В теории топологических колец есть тенденция намыть виз-до, где ото возможно, требование конечности на кишшктность. ü этой связи при определении локальной нрошшлютентности моано было предложить более силышй вариант отото понятая, заменив слово "конечное" на "компактное". В классе всех топологических колец uii приходим к двум различным подклассам типологических

колец. Как показывает слодувдая теорема, если ограничиться ло кально компактными кольцами, то эти понятия совпадают.

1.З.З.Тоорема. Компактно пороящонное локально компактное ЛОКаЛЬНО ПрОНИЛЫЮТОПТНОЭ кольцб пронилыготоптио.

1.3.16.Определение. Говорим, что топологичоское кольцо п обладает локально тгронильпотонтннм радикалом, если существует такой замкнутой двусторонний локально пропил ьпотонтшй идеал в(К), что фокторкольцо п/т>(Г1) по содоржит нопулових (но обязательно зачкпутых) локальпо пронильпотентних двусторонних идеалов.

1.З.ЗО.Тоорсма. Всякое локальпо продкомпактноо кольцо П обладает локальпо пропильпотентпым радикалом г?(й). Кроют того, н/в(П) но содоржит односторонних локально пропильпотептннх двусторонних идоалов.

Сформулировагашо выше теоремы перекликаются с ' аналогичными результатами для локалыго комппктннх групп. С другой стороны имеются и существенные различия; можно сказать, что локально компактные локалыго пронильпотоптнне кольца устроены лучше I го холи локально компактный локальпо пронильпотентные группы. Существенное различно проявляется в следующем: Загакшшо локалыго про-нилыютентной под1'ру1шы локалыго компактной группы может не быть таковой ((12], стр.1265). Как показывает следующая теорема, замыкание локально пропчлытотонтного подколъца локально компактного кольца локально иронильпотонтно.

1.3.24.Теорома. Локально продкомпактное кольцо й, содержащее всюду плотноо локалыго пронильпото]ГПгоо подкольцо Б, локальпо пронильпотентно.

В 5 2 локально пропильпотенпшй радикал, построенный в тео-ромо 1.3.30, применяется для построения структурпой тоории пред-

компактных колец. В } 5 доказано, что в линейно компактных в узком смысле топологических кольцах существует локально нрониль-иотентный радикал и совпадает с квазирегулярным радикалом. § В иосвящен изучению квазирегулярных и пронильиотонтных линейно компактных колец.

1.6.16.Определение. Топологическое кольцо к называется наследственно линейно компактным (коротко н.л.к.), иели всякое ого замкнутое подкольцо линейно компактно.

Для каждого топологического кольца к ощоделим но трансфи-цитной индукции следуицую невозрастакщую цепь идеалов: К(1 - И; йа+1 = [ )К] и Нх - П если а - предельный ординал. Топологическое кольцо и называется трансфинитно г ¡шльпотентным, если существует такой ординал а, что На = {0}. Определение индекса трашфиштной- г-нильпотентности очевидно.

1.6.21.Теорема. Аддитивная группа квазирегулярнош наследственно линейно компактного кольца линейно компактна.

1.6.28.Теорема. Квазирегулярное наследственно лмнойно компактное кольцо и транефшитно г-нилыютснтно индекса с "0и, где ь>0 - первый бесконечный ординал.

Интересно сравнить теорому 1.6.2в со следствием 1.1.11. В то время как квазирегулярное компактное кольцо имеет индекс ^нильпотентности $ "()> квазирегулярнае наследственно линейно компактное кольцо имеет индекс г-нильпотентности $ <>0*) и ата оценка неулучшаема.

Поскольку классы компактных и линейно компактных колец замкнуты относительно тихоновских произведений, а юшсс н.л.к. колец строго содержит класс компактных вполне несвязных колец и строго содержится в классе линейно компактных колец, то возникает вопрос о справедливости аналогичного результата для н.л.к. /

колец. Отметим, что п определении п.л.к. кольца но фигурируют (1чш>трн в лпном нидо, поэтому нельзя доказать, что класс п.л.п. колец зямкнут относительно тихоновских произведений по аналогии с компактным и линейно компактным случаем. Тем пе мопоо имеет место

1 .г,.Теорема.'Если (1^: а о) - семейство паслодстпеппо линейно компактных колец, то П {П(1: « ^ "} -• наследственно линейно компактное кольцо.

Этл теорем.ч длот полотатолышй отвот па вопрос 1.12

(ПО).

Главы II1,17 поспягашш нпхождопюо достаточных условий топологического и тонолого -алгебраического ХЯр. 'КТОра , при которых нилькольцо локально нилъпотонтно.

2.1.0.'Гпоромч. Если п - псовдокомчактное альтернативное нилькольцо. то I? - нилькольцо ограниченного индоксп.

1.Следствие. Если - счотпо компактное альтпрнятившо нилькольцо, то к - нилькольцо ограниченной^ индекса.

• 1.1 о.Следствие. Псовдокомпактноо ассоциативное пильколь-ц >.аддитивная группа которого но имеет 1фучо1гая, нильпотвптно.

2.1.П.Следствие. Если н - в узком смысле линейно компактнее нилькольцо, то в - нилькольцо ограниченного индекса.

2.1.2.4. Георгия. Пусть я - произвольное псевдокомпактнов логоцилтивноо кольцо. Тогда нижний нильрадикал Т(Ю совпадает с верхним нильрадикалом и равен сумме всех правых (левых) шшьидо-;л<>п. Н|У1М1> того, т(п) является обьедипогагом счетного семейства замкнутых н дчножоств кольца И.

Как следует из теоромн 2. 1.?.3, в произвольном компактном (счетно компактном) кольцо нижний нильрадикал .»-компактен (является обьединением счетного семоПетля счетно компактных подмио-

иаств). В частности, шшшИ нильрадикал произвольного компактного кольца изморим относительно мори Хаара.

Топологический левый й-модуль Ы с линейной тополошей называется счетно линейно компактным, если любой Оазис фильтра классов смежности по замкнутым подмодулям имеет непустое пересечение.

2.2.2. Определение. Топологический й-модуль и называется линейно псевдокомпактным, если:

1) и обладает базисом окрестностей нуля из подмодулей;

2) если N - замкнутый подмодуль модуля и и псевдохарактер ИИ/И) модуля и/N не более чем счотон, то И/а - линейно компактный модуль.

2.2.17.Теорема. Пусть И - счотно линейно компактное (линейно псевдокомпактноо) кольцо. Тогда нижний нильрадикал а'(К) кольца й совпадает с верхним нильрадикалом и равен сумме всех левых (правых) шшьидеалов.

2.2.18. Следствие. В произвольном линейно компактном кольце нижний нильрадикал совпадает с верхним нильрадикалом и равен сумме всех левых (правых) шшьидеалов.

Тоорема 2.2.17 дает решение проблемы 70 (а) из [21], стр.

222.

2.2.21.Следствие. Линейно компактное нилькольцо радикально ю Бару.

Здесь же отметим следующий нерешенный.. воп{юо: Лалнется ли нилькольцом ограниченного индекса ассоциативное нилькольцо, допускающее линейно компактную топологию ?

2.2.24. Теорема. Пусть и - аддитивно порснкдешюе хуусдорфо во топологическое кольцо, пространство кото{юго является 0П|Юве ким. Если в - нилькольцо; то и радикально по Вору.

2.2.2G. Следствий. Связное полное топологическое кольцо с первой аксиомой счетности . являвшееся нилькольцом, радикально по Бэру.

Таким образом, топологические условия весьма общого характера позволяют доказать локальную нильпотентность топологических нильколец.

Глава III посвящена изучению вопроса об единственности компактных топологий на кольцах.

3.1.8.Теорема. Всякий идеал конечного индекса компактного ассоциативного кольца с конечным числом топологических образующих открыт.

3.1.9.Следствие. Если ассоциативное кольцо R допускает компактную вполне несвязную топологию TQ, в которой оно имеет конечное число топологических образующих, то любая компактная топология на R совпадает с TQ.

3.1.14. Следствие. Если к - ассоциативное компактное вполне несвязное кольцо с конечным числом топологических образующих, то любой его звдооморфызм (в частности, любой ого автоморфизм) непрерывен.

Последнее следствие усиливает теорему 6 из [22].

Следующая теорема полностью решает вопрос об единственности компактных топологий в классе нильпотентпых колец конечной характеристики.

3.1.23.Теорема. Пусть R - не обязательно ассоциативное нилыютентное кольцо коночной характеристики. Если R - недиск-ротноо компактное (счетно компактное, псевдокомпактное) кольцо, то и допускает но меньшой мере две компактные (счетно компактные, нсевдокомаак'шые) топологии.

Интересен но только вопрос об описании колец, допускающих

единственную компактную топологию, но и некоторые частные «опросы. Одним из таких'вопросов является вопрос оО описании коночных колец, все декартовы степени которых являются кольцами с единственной компактной топологией. Этот вопрос полностью решается следующей теоремой.

3.1.37.Теорема. Пусть Л - конечное (но обязательно ассоциативное) кольцо, И = йр ф ... ф - разложение л на нримарныо

компоненты. Следующие условия эквивалентны:

1) Для любого кардинального числа т кольцо пт допускает единственную компактную топологию;

2) для какого-то бесконечного кардинального числа м кольцо нт допускает единствоиную компактную топологию;

3) для каждого 1 е {1,...,п} либо IV; =■ к , либо л? 1 п и

Апп„ (Ир^) = {О};

4) для любого кардинального числа т любой автоморфизм ком пактного кольца я"1 , где на пш рассматривается топология нроиз ведения, непрерывен;

5) для какого-то бесконечного кардинального числа т любой автоморфизм компактного кольца кт , где на л'" рассматривается топология произволения, непрерывен.

В связи с теоремой 3.1.23 можно выдвинуть гипотезу: Нилыю-топтноо компактное кольцо К дотекает единственную компактную топологию тогда и только тогда, когда его аддитивная группа П(() допускает единственную компактную топологию.

Эта гипотеза частично подтверждается следу кщей теоремой:

3.1.40.Тоорема. Если г компактном кольцо и все идемпотонтн центральны и л0 / (О), то п обладает разрывным автом«р1измнм (здесь Н - компонента нуля группы и).

Построон пример булевого кольца, допускающего ровно две компактные топологии.

Каждой локально компактной абелевой грушю с. можно сопоставить такую компактную абелеву группу ьа и непрерывный изоморфизм 1:а-Я>а со следуицими свойствами: а) [1(0)1 = ЪО; Ъ) если а'-

I

компактная аОолева группа и Г: 0——>0 - гомоморфизм, то имеется

такой непрерывный гомоморфизм *>: ьа-> <5 , что диаграмма

в—-—> ьа хЧ /р

С'

коммутативна.

Если о - дискретная абелева группа, то топология подгруппы

1(0) группы ъо - это наибольшая предкомпактная топология на

& ш

1(0). В этом случае 1(0) обозначается через о . Группы вида о

исследовались многими математиками (см. 123]).

Следующие три теоремы решают положительно три гипотезы ван Дауана из [19].

3.3.5.Теорема. Если а - бесконечная абелева группа, то в* содержит счетное не замкнутое относительно дискретное подмножество.

3.3.14.Теорема. Если а - произвольная абелева группа, то в* содержит дискретное замкнутое подмножество мощности |0|.

3.3.16.Теорема. Если о - абелева группа мощности «1, то с* - действительно компактное пространство.

Заключительная, IV глава, посвящена исследованию соотношений мевду квазикомпонентами и компонентами в топологических группах, кольцах и построению примеров несвязных топологических полой положительной размерности.

Напомним, что квазикомпонентеа точки х топологического

пространства X называется пересеченно всех откркто-замкнугах подмножеств, содержащих точку х.

4.1.1. Определение (см. Новиков П.С., 'Гайманов А.Д. [24, 25, 26]). Квазикомпопентой ранга i точки х топологического пространства X называется квазикомпонента точки х в X и обозначается через 1 (X). Допустим, что определены квазикомпоненты Q^ i?(X), Р < с. Если а = n+i, то полагаем «^„(Х) = , (0^ ^(Х)); ослк же а - предельно, то считаем о (X) = П а ,ЛХ).

Во всяком топологическом кольце к квазикомпонента Q0 a(R) является зашснутим двусторонним идеалом.

4.2.2.Теорема. В произвольном топологическом кольцо R квазикомпонента Q дуля трвпсфинитно r-нильпотентна по модулю с компоненты нуля, т.е. Qa с с для некоторого ординала

4.2.4.Следствие. Если в топологическом кольце R для любого замкнутого правого идоала I [I2] = I, то ого квазикомпонента совпадэет с компонентой.

В частности, если R - регулярное в смысле Неймана топологическое кольцо, то ого квазикомпонента совпадает с компонентой.

Описано строонио квазикомпоненты свободного модуля в классе всех топологических R-модулей над вполне регулярным пространством X, где R - топологическое кольцо с единицей (тоорома 4.2.5). 4.3.10.Теорема. На плоскости к существует такая подгрупп?)

G, что Q, * (с) дискретна и изоморфна группе г целых чисел и vo, о), 1

с = {0} (с - компонента пуля группы о).

Однако некоторые естественные вопросы в этой области оста -вались нерешенными. В частности, но было известно ни одного примера топологоческой группы, г-квазикомпонента которой бы но совпадала с компонентой (вопрос поставлен автору А.Д-ТаЙмаиовнм). Имеет место

4.4.12.Тоорома. Пусть т - произвольное трансфинитноо число ^ i и (S,T) - произвольная топологичвская абелева группа. Тогда существует такая топологичоская абелева группа (o.Tj), содержащая (S.T) в качвство подгруппы, что qq ^(g.tj)) = (S.a')-

Отсвда вытекает, что для любого ординала « существует топологическая абелова группа, «-квазикомпонента которой но совпала ет с компонентой, В частпости, отсвда следует положительное ре шение вопроса А.Д.Таймапова.

На неабелевы группы теорема 4.4.12 не распространяется; то1ш< образом, она носит окончательный характер.

Многими математиками (см. 118], Í27]) ставился вопрос о существовании топологических полей любой заданной размерности Понтера-Урнсона. Модификация метода, содержащегося в доказательство теоремы 4.3.10, позволяет дать утвердительный ответ на этот вопрос:

4.5.1 .Теорема. Для любого натурального числа п в кольцо в? х с" существует вполне несвязное подкольцо sn, являщееся полем, для которого ind Бп - п.

Основными результатами диссертации являются теоремы 1.1.9, 1.1.11, 1.3.3, 1.3.24, 1.3.30, 1.6.24, 1.6.28, 2.1.8, 2.1.23, 2.2.17, 3.1.23, 3.3.5, 3.3.14, 3.3.16, 4.4.12, 4.5.1.

ЛИТЕРАТУРА

1. ronü\ja¿;in Ь. Ubur uto t ige algebraische Kori>i.r//Ann. au tu. i,rr¿. ¥. 33. r\ 163 174.

2. .laoebtion N. .'J'iiLiauky O. LooaU.y oocnpaot, rin^,'ä//Proo. Hat. koad. Rol. 1935. V. ?1. I\106 - 100.

Í■ Otubc Y. On «juaal eva1 ual ion;) ot coir.paot rtnjja//l'r<><i.

Imp. Acad. Tokyo. 1944. V. 20. P. 278 - 282.

4. Kaplansky I. Locally compact rings//Anier. J. Math. 1948. V. 70. P. 447 - 459.

5. Kaplansky I. Locally compact rings II//Amer. J. Math.

1951. V. 73. P. 20 - 24.

6. Kaplansky I. Locally compact rings III//Amer. J. liath.

1952. 7. 74. P. 929 - 935.

7- Kaplansky I. Topological ringa/VAnier. J. Math. 1947. Y. 69. P. 153 - 183.

, 8. Zelinsky D. Haieing idempotents//Duke Math. J. 1954. У. 21. P. 315 - 322.

9. Zelinaky D. Linearly oompaot modules and ringa/ZAmer. J. Hath. 1953. V. 75. P. 73 - 90.

10. Leptin H. Linear kompakte Moduln und Ringe I//Math. Z. 1955. V. 62. P. 241 - 267.

11. Leptin H. Linear kompakte Moduln und Ringe II//Math. Z. 1957. V. 66. P. 289 - 327.

12. Платонов В.П. Локально проективда нильпотонтныв подгруппы и нильэлементы в топологических группах//Изв.АН СССР. Сер. матем.1Э66.Т.ЗО. N.6. 1257 - 1274.

13. B.L. van der ffaerden. Btetigskeitssatze fur halb-,., einfache Liesohe Oruppen//Math. Z. 1933. V. 36. P. 780 - 786.

14. Stewart T.B. Uniqueness of the compact topology in certain oompaot groups//Trans. Amer. Math. Soc. 1960. V. 97. N Э-P. 487 - 494.

15. Warner Б. Compact rings and Stone-Cech comiiaotificati-ono//Arch. Math. 1960. V. 11. P. 327 - 332.

16. Haley D. Equational compactness and oompaot topologier. . in rings satisfying А.С.С.// Faoific J. Math. 1976. Т.62. N 1.

P. 99 - 115.

17. belek A. On the topology oi curves I//Pund. Math. 1970. Y. 67. P. 359 - 367.

18. Нерешенные задачи топологической алгебры (препринт)// Кишинев, Штиинца. 1985.

19. В.К. van Douwen. The maximal totally bounded group topology on G and the biggest minimal Q-враое, ior abelian groups a//Topol. Appl. 1990. V. 34. P. 69 - 91.

20. Днестровская тетрадь. Нерешенные проблемы теории колец и модулей (Оноративно-информационный материал)//Новосибирск. 1982.

21. Szasz P. Radikale und Ringe//VBB Deutsoher Verlag der UieaensohaXten . Berlin. 197522. Липкипа З.С. Локально бикомпактные кольца без делителей

НУЛЯ//ДАН СССР. 1961.Т. 161. N 3. С. 523 - 525.

23. Comfort W.W. and Saks V. Countably compact groups and ilneat totally bounded group topologleaZ/Paciric J. Math. 1973. V. 49. N 1. P. 33 - 45.

24. Новиков П.С. О мощности множества связных А-множеств// ДАН СССР. 1947. Т. 56. С. 787 - 790.

25. Тайманов А.Д. О квазикомпонентах несвязных множеств// Ыатем. сб. 1949. Т. 25(67). С.367 - 387.

26. Тайманов А.Д. О квазикомпонентах несвязных множеств П//Матем. сб. 1952. Т. 30(72). N 3. С. 465 - 482.

27.. Wiealaw V». Topological fielda//Haroel Dekker INC. New York and Basel. 1980.

Работы автора по темо диссертации

28. Урсул М.И. П|юизведение паслвдствоппо липейно компактных колец//Матем. исслод. Кишинев. Штиинца. 1974. Т. 9. вып. 4. С. 137 - 149.

29. Урсул М.И. О связях мезду понятиями компактности, линейной компактности и наследственно линейной компактности в то-пологачоских кольцахУ/Матем. псслед. Кишинев. Штиинца. 1979.

Л

вып. 53. С. 13G - 147.

< 30. Урсул М.И. О произведении наследственно линейно ком нлктных КОЛОЦ//Уснохи мат. iiayic. 1880. Т. 35. N 3. С. 230 - 233.

31. Урсул М.И. О связях мевду понятиями компактности, линейной компактности и наследственно липойной компактности в топологических кольцах ljy/Изв. АН МССР. Сер. ({из.-техн. и матом, наук. 1982. N 1. С. 54 - 55.

32. Урсул М.И. Иильидеалы в нокоторых топологических коль-цах//Алгебраическив и топологические систомы. Матом, исслод. Кишинев. Штиинца. 1982. вып. 65. С. 140 - 151.

33. Урсул М.И. Счетно компактные KOjn.na//7 Всесоюзный сим нозиум по тоории колец, алгобр и модулей. Тезисы сообщений. Новосибирск. 1982. С. 136.

34. Урсул М.И. Компактные нилькольца//Матом, заметки. 1984. Т. 36. вып. 6. С. 839 - 845.

35. Урсул М.И. Локально конечные и локально прооктшшо нилыгатептнне идоалы в топологичоеккх кольцак//Матом. сб. 19Я1. Т. 125(167). N 3(11). С. 291 - 305.

36. Арпаутов В.И., Урсул М.И. О квазикомпонентах топологи чоских колец и модулей//И;ш. АН МССР. Сер. (Jura.-техн. н м.тг<>м. наук. 1904. N 1. С. 9 - 13.

ЛОРа. 1991. N 3(6). 0. G7 - 69.

Подписано в печать 9.01.92. Формат 60x84 I/I6. Объем 1.25 печ.л. Отпечатано на ротапринте. Заказ № 4. Тираж 120 экз.

Типография издательства "Штиинца" 277004. г.Кишинев. ул.П.Мовилэ,8.

37. Урсул М.И. Пример плоской Х'рушш, квазикомпонента которой на совпадаот с компонентой//Матем. закатки. 1985. Т. 30. N 4. С. 517 - 522.

38. Урсул М.И. Вложение топологической грушш в качество Квазикощюненты в другую группу//Матом, исслед. Строго регулярные алгебры и топологии. Кишинев. Штишца. 1987. вып.91. С. 92 -102.

39. Урсул М.И. К теории размерности топологических полой// Цзв. £11 МССР. Сер. физ.- тот. и матом, наук. 1987. N 3. С. 47 48.

40. Урсул У.И. О едаяствошюсти компактных топологий на кольцах/Жатом, всслвд. Модули. алгебра в топологии. Кшшюв. Щтшшца. 1988. вал. 105. С. 142 - 152.

41. Урсул Ы.И. Некоторые закэчацщ о счетно иошактних. булевых кольцах//Изв. АН ЦОСР. Матешзтика. 1990. К 2.'С. 70 -715.

42. Урсул 15.И. Контактные кольца к их обобщения (монографии) //Кишинев. Штиинца. 1991. 160 стр.

43. Урсул М.И. Влошшш прадао&шяктншЕ групп в исеадоком-1ШКТ1Ш0//Изв. АН ССР1£. 1!атематике. 1991. Ы 1 (4). С. 08 - 89.

44. Урсул И.И. Дискретные замкнутые подааюааства в о*7/Изв. АН Р!4 . 1991. Н 2(5). С. 89 - 92.

45. Урсул И.К. Об единственности ¡«омпак'пшх топологий на кольцах//(£эвдуаародная конференция по алгебре посвацешая цамяти ¿.И.Ойраава (1921 - 1991)(Тозиси докладов по теориа колец, алгебр и ю »дудой) Новосибирск. 1991. С. 120.

46.>1]1Ч5и5 К.1. [Зоип(1о(1пваи 1п 1ооа11 у оошрао1 г1п&в//31шро-й1опи1 а1 УГ-)€!а ¿о 1оро1оа1о ^епогаХа в! ар11оаи11е С.'Иа!-гиш. 1991. 1». 200.

47. Урсул и.И. 00 одной широко ван Даузни//Кзв. ¿¡1 Р Иол-