Кольца непрерывных функций со значениями в топологическом теле тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

РГб

о

2 1

ИШ1Ш M .В ЛОМОНОСОВА

Мзхешкко-штематическкй факультет

, а

На щшах рукопиои УДК 512.556

БЕЧТШШ Евгений Ынзсайлович

КОЛЩА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ СО ЗНАЧЕНИЯМИ В ТОПОЛОГИЧЕСКОМ ТЕЛЕ

(01.(Д.06 - математическая логика, алгебра-н тэория чноал)

1К """ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

АВТОРЕФЕРАТ

даооертвциз va, ссаояаняа ученой степени доктора физико-матоматетаоких наук

Мсюква - 1994

Работа выполнена на кефедцю. алгебры Московского педагогичео-кого государственного университета имени В. И.'Ленина.

Официальные оппонента:

доктор физико-математических наук, профессор В.И. АРНАУТОВ,

доктор физико-математических наук, профессор A.B. МИХАЛЕВ,

доктор физико-математических наук, профеооор A.A. ТУГАНБАЕВ

Ведущая организация - Институт математики и механики Уральского отделения РАН

Зашта диссертации состоится 1994 года

в чао- !ш заседании специализированного Совета № 2 по

математике Д.053.05.05 при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119899 Москва , Ленинские горн, МГУ им. М.В.Ломоносова, механико-математичеокий факультет,' аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ.

Автореферат разослан "&_"_: _ 1994 г.

Ученый секретарь специализированного совета Д.053..05.05 при МГУ, доктор,физико-математических наук

ОВЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАШШ

Акттаяънооть темы. Объектом исследования а предлагаемой диссертации является кольцо С (X , F) всех непрерывных функций, определенных на топологическом пространства X , со значениями в хаусдорфовоы топологическом тела F .

У истоков теории колец непрерывных функций стояли Банах /банаховы пространства функций/ и М.Стоун /двойственность для булевых алгебр и колец/. Одним из основных импульсов к возникновению теории колец С (У,, послужило успешное использование вещественных чисел в общей топологии /большая лемма Урысона, вло-яение в тихоновские кубы, стоун-чеховская компажтификация/.

Началом развития теории колец непрерывных функций явились работы М. Стоуна Сif ] 1937 года и И.М.Гел1фацда и А.Н.Колмогорова [Л ] 1939 года. В этой работе Стоуна ш встречаем и свойство Стоуна о том, что фактор-кольцо счх/и/м кольца всех ограниченных функций из C(Xj Ш по любому его максимальному идеалу М изоморфно паяю R. , п конструкции ком-пактификации Стоуна-Чеха J3X тихоновского пространства X , и описание максимальных идеалов колец С ( X, &) на компактах X , и теореш 0гоуна-8ейврштрасса и Блнаха-Стоуна, и результаты о строении замкнут идеалов и подколец нормированных колец CCA, fe) дан кошактов X , и определяемоеть каа-дого компакта X нормированным кольцом С (% t & ) . Стоун получил данные результаты для нормированного кольца С*{Х,Ц) на тихоновском пространстве /в основном на компакте/ X , наделенного супремум-нормой.

Следущий шаг сделали И.М.Гельфанд и А.Н.Ксшлогороп в [£ 1. Она рассматривали С С X , $1) как чисто алгебраический объект

- кольцо, и показала, что для каждого тихоновского пространства

- X максимальный спектр кольца , т.е. пространство всевозможных максимальных идеалов в С С X, Q) , вэятоа со стоуновской топологией, канонически гомеоморфеи J3 X .Из теоремы Гельфанда-Колмогорова вытекает, что произвольное кольцо

гармонично /т.е. имвет хаусдорфов максимальный спектр/ и каадый его простой идеал содержится в единственном максимальном идеале. Эта теорема, выявляодая определенный дуализм межлу топологией и алгеброй, по праву считается классической} она неоднократно привлекала внимание исследователей [40"),

)

С * 3, г 6 3 .

Важной вехой становления теории колец С С X, $2) стала больная статья Хьштта 3 1348 года, в которой пошаю

прочего определены -пространства, называемые сейчас хьшт-товскш-и, и доказана определяемость всякого хьвйттобского про-страиста X кольцом С ( У-, §1) ,

В 50-е года Гиллиан и ЗСенриксвн ввали важные понятия Р-про-странства и р -пространства С 9 1 , занявшие далее заметное место в теории колец непрерывных функций.

Перше двадцать лег развития теории колец непрерывных функций нодатокпла известная монография йшшна и Днерисона [40 3 , выиедаая в 1960 году, В ной сформулированы следунцие три общие задачи для колец С ( X , $1) :

I/ определяемость топологических пространств кальцачта иди другими алгебраическими системами непрерывных функций;

2/ изучение связей мовд-топологическими свойствам^ пространств и алгебраическими свойствами соответствущкх колец непрерывных функций;

3/ иссладоааше алгебраического строения колец непрерывных функций, описание кольцевых свойств, обидос всем кольцам нспро~ ровных функций.

Существе»шое мосто в теории кслец С ГХ, $2) заняла теория идеалов. 2-идеалы, проогье идеалы, чистые идеалы, проективные идеалы; струквдше пространства. Определенный вклад в теорию идеалов колец непрерывных функций внесли Гиллиан, Хенриксен , Коле, Джонсон, Мавдалкер, Дитрих, Рудц, Брукшер, Де Марко, Ле Донне, Шуи.

Свойства колец С ОС ДОя произвольного топологического тела |г рассматривал Каплаиский [13 ] в 194? году. До этого фигурировала в основном кольца С (X, Р) при р = , /и С - в теории банаховых алгебр/. В частности, Кац-ланскнй поставил следующую проблему: верно ли, что для всякого компактного пространства % и для любого топологического тела Р асе собственные идеалы кольца С(%, Р) являются .фиксированными ? В дальнейшем для колец С(%,Р) исследовалось свойство Стоуна, обобщались классические теоремы Стоуна-Всйер-штрасса [ 7 1 и Гелв^анда-Кошогорова С 5" 3 . Так, в работе [ 5" 3 1975 года Бахман и др. изучали кольца непрерывных фупкг.г.<1 со значениям! в топологическом поле, главным образом - в п^йш

нульмерном поле.

Теория колец С ГХ , развивалась параллельно и во взаимосвязи с теорией банаховых алгебр /нормированных колеи/, возникшей л разработанной в трудах И.М.Гельфанда,. Г.Е.Еилова, М.А. Ваймарка, Проблем гармоничности для, банаховых алгебр ставил М.А.Наймарк [ 4 ] , а дая произвольных колец - Гиллман-18 ] . Развитие неархнмедова функционального анализа /особенно*, р-ади-ческого/ [ {¿I 3'. теории банаховых алгебр над неархшодово лср-мпроввнпши нолями вызвало новый интерес к кольцам непрерывных Функций оо значениями в сга/их разнообразных тонолоппоскях телах.

Теория колец непрерывных фушецвй служит на только обширным полем для исследований, но л полезным методом в смежных областях математики /обаей топологии; функциональном анализе, теории функциональных представлений колец, нестандартном анализе, К-то-ории и т.д./. Отметим такяе, что в раках теории Е-компактнсс-ти изучались алгебраические систст непрерывных Е-з начти функций. йлеются связи и с Ср-теорией' С ^ Т-

Поль работы - иссладавалиа-свойств колец , Р) в

СЛ9ДУХШХ направлениях::

I. Структурная теор:ш колец Р) для несвязных яор-

шруошх тел р я И — С , Н' Деория делимости; свойот-Еа идеалов, нокоммутативные аспекта, кольцевая характеризашш топологических спойстз/.

П. Развитие о&цей теории колец непрерывных функций, связанной со свойствами максимального спектра колец Ciy.Fi .

Основные метощ последовать. Црпмеияитсл метода с труп -турной теории колец, общей топологии /расширения пространств, ., первичный и максимальный спектры/, теории пупсов /пучковые представления колец/, топологической алгебра /строение топологических тел/, функционального анализа /аналог преобразования Гвль-фанда, подкольца Гельфавда/. Кроме того, применяются разработанные оригинальные методы изучения колец С (У-, FJ : условия делимости непрерывных Я -значшсс функций, разбиение конуль-гао-жества, 2Е-идеалы в новой роли и т;д..

Научная новизна. Все результаты диссертации являются навыки. Основными результатами работы мазшо назвать следутеие.

I. Построение элементарной теории делимости в кольцах непрерывных функций со значениями в произвольном несвязном •

нормируемом теле (§§ 5 и 17, лемма 13.1 ).

2. Дано решение проблем Л.А.Скорнякова и А.А.Туганбаева о том, когда кольцо С(X, Р) : а/ является кольцом Безу?,

б/ дистрибутивно? ( теорема 17.4 ) .

3. Получен положительный ответ на вопрос Л.А.Скорнякова о плоскостности простых идеалов в кольцах С(Х}Р) при локально компактных полях Р ( теорема 13.1 ).

4. Решение проблемы гармоничности для колец С (У., 7).

5. Решение проблемы Капланского о структуре идеалов в кольцах С СХ, Р/ на компактных пространствах У. /упомянутой вше/,(теорема 6.1 ).

6. Распространение теоремы Гелвфанда-Кодмогорова на кольца С (%, Р) ( теорема 9.1, предложение 9.1 ) .

7. Для пучка колец ростков непрерывных Р -значных функций па X к дая лучка Ламбека кольца С(%, р) решена проблема Еньектилности, заключающаяся в характеризации инъективного пучка через его вялость и самоинъективность колец-слоев и кольца глобальных сечений (теорема 19.1) .

8. Решение двух проблем Хенриксена: о внутренне-топологической характеризации р-пространств и об алгебраической характе-разацки локальной связности хьюпттовских пространств X в терминах колец ССХ, Ю Спредасжения 17.4 и 18.7) .

Практически и теотютичеокая пеннооть. Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут найти применение в теории колец, общей топологии, функциональном анализе. .Отдельные теш диссертации могут быть использованы при чтении спецкурсов к проведении спецсеминаров в университетах и педвузах.

АггообАггая т^аботы. Результаты работы докладывались на 1У, У и У1 Всесоюзных сщюзиумах по теории колец, алгебр и модулей, на ХП1 и XIX Всесоюзных алгебраических конференциях, на Международной топологической конференции в г.Баку в. 1987 году, на Международной конференции по алгебре памяти А.И.Мальцева в г.Новосибирске в 1989 году, на У Тирасподьском топологическом симпозиуме, на школе по топологической алгебре в г.Тирасполе в 1988 году, на научно-исследовательских семинарах по алгебре, теории колец п модулей, обпей топология в МГУ шени М.В.Ломоносова ,

на алгебраическом семинаре з ШГУ шо?ги В.Н.Лшина, на ксгф-'уег иуях и семинарах Уральского н Тартуского университетов, на соединенном алгебраическом я то^олстячост'ет ссчтоаре в Йнепттугй уатыитгш и механики Ургльского отделения РАН.

Публикуя. Оснсышэ результаты дясссрташга опубликованы в 32 работах, список которых претедян в конце автореферата.

Структура я объем гас с тот ерш. Диссертация состоит иг? введения. д.четырех глав, разбитих на 19 параграфов со сгогоиной нумерацией, а такяа списке литература и продмотного указателя, * Полный объем.диссертации 240 страниц. Библиография содержи? I?2 наименования.

СфдРШЗЕ РАБОТУ

По эводеняи даны краткая история тему диссертации я ods^p ее основных результатов.

Глава I имеет а ссиозвом подго*<шгелы:ов "эначаше. В § I собран» месте различило х?.рактзрязада.г гдлгфалдознх stater.. Кольцо (Z с одшпщей называется гелгфаядовыч, еедз доя ж5ет его различии максимальных правах аде-злов И п /V существу»? тжг.е a G £\М и ^бРЛ >V , a ££»(7 , В i 2 ркс-смятгпвавтся лучют колец :? пучкоззз прэдетяаденгя кслеп, з чао-г-иссти для колец ССХ., F) . Здесь ш несколько усоеерайвсгво-вага извосткув результата.

р -нуль-мкожествсм в К •гагг.гл-тся тожество вида Z~(f)~ =-- its X • /fat) = 0} , / G CjfX, F). тьпааогичесаоа тело I" назовем 0-прявсдго.км, рсли пространство F uaoto представить как объединение двух собственных F -яулмшиеств э р /й-ю означает, что коетцо С(F, F) обладает ненулевыми делителями пуля/. Заметим, что любоо несвязное иди р-тйхоновсясз /например, липс-йно связное/ тело F СИтряводимо. Наряду с этим в § 3 доказана слодупцая пршщшшшгьная

Тестема зд. Если F - полутопологичесное тало о гаяьфаяде-вым кольцом С (IF, F) , то р - топаяагичегяоо .етяо* Яаичз», для любого полутопологнческого поля F , ив ЯаЖЯЭТЦЭГеСЯ №ПОЛО~ гическим полем, кольцо С { F, F) - не герпсгггческоа«

Данная теорема /доказанная методом дамбекэвавого представления/ и пример Бурбаки соотвогстаутоэго поля р .ноказаваст, что в наших исследованиях естественно было ограничиться тополопггескжя

гслвдв F i поскольку дахе для иойутопологических полей парес-ïttûï бнгь цорнши осиовша теоремы 7.1, 8.1 и 9.1.

§ 4 оодорзот необходимый материал о расширениях топологических пространств / р -компактное расширение, компакткфккация Ва-шгаавского, теорема Урысота/.

Существенное место зангадот § 5, посвященный разработав техники дзлпмосги в кольцах непрарнзЕшх функций со значениям в хдуолзволыюм несвязном нормируемом тело. 11а этой осново мсскно строить геора» колец С (У\, F) »ш несвязных нормируемых тел F , в о многом параллельную теория колец С СХ, ÎZ ) /55 5 и 17, глава 3/, по к существенно отакчахедтосл. от последней /предложение 5,1 а/, б/, г/, условие 3 теореш 5.1, предложение 5.Э, теорема 17.2/. Наяболео вшшэ прпложэшш свойств делимости получены в §§ 13 ri 17.

Творена БД. Пуоть F - несвязное нормируемое тело, il , С пет Я™ К - произвольное пространство. Для качьца С== " , F) рассматривается следущае свойотва:

1. С есть кольцо Без у, т.е. какдай ого конечно-порозщэн-шй правый вдоал является глазным правым ккйалон.

2, С - НОДгКйЛЬЦо /любые два элемента в С имеет ЙОД/.

S. С ормахово /см. С S 1 /.

Тогда I 2 , а если F несвязно, то эквивалентны все три свойства /для связного F это на так/.

3 главе « разрабагизаатся вопросы общей теории колец непрерывных функций, одташрутиеся вокруг проблем rapuoira-чпооти колец С б / F ) . В § 6 изучаются нетощутативше аспекты в теории кштц С —C(X,F) Для производных топалогических ■ тела F и пространства X . Теорема 6.1 утверждает, что при веожа слабых ограничениях на р все Максимальные односторонние вдоалы коЛпЦй С являются "2-идеалами, а Потому - деуоторонна. Нойоинш, что идеал У кольца С называется й -идеалом, если $ <= ^ при JmÔÉz £ G У п G С , удовлетворяющих включению Z(f<) . Доказано, что правая йкЕарцантность некоммутативного кольца С влечет ого слабую раккартовооть. .Приводятся кеобходшлда условия гарлощгчноей* кольца С .

Пте.шодеш№ 6.1. Если F -■ формируемое топологическое тело, то каадь^ первичный односторонний, вдеал кольца С является вполне перы^шш'и даумо^кшда. '

Мы .даем «едущее решение проблемы гармоничности: ' '

Теорема 7Д. ДЛЯ всякого топологического тела F равносильны

утверждения:'

а/ все кольца CfX, F) гармо1ичны/их максшальпнй спектр хаусдорфов/;

6/ все кольца С ("А, р) гелв£'&ндовн ;

в/ С( F,F) - гармоническсе каящо;

г/ кольцо CfF, Р) гольфавдово;

д/ F О-приводямо.

Эта теореяа представляет tíodoíí характерный результат именно общей теории к ситец С ( 'Á, р) .в предложении 7.1 показало , что несвязность F равносильна нульмерности максимальных спектров всех колец вида CfX, F) . В предложении 7.2'',угаерзда-ется, что F -нормальность пространства X влечет гельфацдо-еость кольца С (X, F) .

§ 8 содержит решение сфорлулированной выше проблем» Капланс-кого :

Теогзт Q.I. Дш всякого топологического тела F и дая любого компактного пространства X все собственные.правые /левые/ .идеалы кольца ССУ\, F) являются фиксированными.

Идеал в , F) яазшшется фиксированным, если все ого

элементы обращаются в нуль в некоторой точке из X . При доказательство теоремы 8.1 привлекаются топологические свойства проективной прямой над F и свойство О-приводимосТи. Извлекается ряд следствий. Так, компактность F-тихоновского пространства

X эквивалентна фиксированном^ всех максимальных идеалов кольца ,С (У-, F) . Методом функционального-предстазлегам выводится, что компактные F-тихоновские пространства F-нормальна.

В § 9 в общей ситуапяг анализируется теорема Гельфавда-Коя-ыогорова и предлагается "несвязный" аналог неодет Геяьфавда-Шилова. В предложении 9.1 дается наиболее общая форма теорема Гельфанда-Колмогорова.

Пусть У - произвольное F-тихоновскоо пространство. Обозначим через X стоун-чеховскую ког.спакта|ш:ацгю X в случае линейно связного тела F и компактификацию Банашевокого пространства. X в случав несвязного тела F .

Теорема 9.1. Если топологическое тело р несвязно или ¿ганей-по связно, то отображение ___

--> МР- {f¿C(*,F): ¡>s 2Г(Рлр%]

есть гомеоморфизм j^p-X' .lía Максимальный спектр кольца C(X,F).

При 'F ~ & имеем классическую' георему Гел^анда-Кодмого-рова [ Л. 1, Получаются пр^лонения к кслы^ С Ct, F) • ■

8 адсилсгц, лг-i весвязшх F и да дае&ао сгяыах F c.apa-ВЗДЖЙС sBoîïoïBo O'îCîmâ.

§ 10 носаяден язученш? osoSotp подерсогравсгаа F-ЗДзалов

/йдазясш коразкаркоогд I/ «аксгыадшлч! спектра и подкаяьца

Гель^да ис«ьай CfX, F) . Ята каздсй фушиот feCfK,F)

езтесазошавз оф&зш окредалкэгея "вродажкша" , заданное

на вектором sofô-UKaas'rae каксгыаяьного спектра Tib кольца

С (У-1 F) t содзркащем вса р-адеалы. Вое га Функщгл f , ■

гл когоризс f" ог.радалесз на всем fft. , образует подпольно

Гель^акзд в С (У., F) ; олйбейаая тот-догая на tîl. . откося-

тедько которой кеируриаш указаизгя f , называется гельфаедов-

с&ой. Тспслвп® «а мио&естза F-идеалов, рассматриваемом как

ci

нодаростракотэо тихоновской отеяени F , назовем тахо-

ноззксй, 3 мюрзив ЮД да любого топологического тела F доказала яквйгалентиость сладувдих утверндошй! : F - F -ТИХОНОВСКОЙ ГГР'-i любых X К f G Cf X , F ) фуШЦКЛ f Heapâpœua на саоей ооластзс опредэлания; при любом Z на мяо-жеагаз bear р-адзгдоа ксшда С ["Л, F ) стоунсвская топология оов&ад£э? с сжжовспсМ, В качества одного ;:з слодствий патучеи результат s рж проазвскшых нуяшерисго тела р и пространства % ns. tîl. отоуксвсх-шя тояояогкя совпадает с г&ифая-дшсяМ.

Ксдказгда Гели|едгд& KOsiïHfâ CfX,F) к подпространство F-вдзадев в fît , их отличие от C()i, Р ) и fît соответ-стзэнйэ, слуват мерой различая теория колец CfKjF) к теории кошутауевнкх белаховых алгебр /над С /.

В главе 2 важн?к рать в доказательствах играет яеша 6.2. Для далнзй X и F рассмотрим отображение ф : )( —v ffi,

fC^)^ Mx={feC(X,Ç):№=0} / <f> непрерывно и его образ плотзгг в fti /. Тогда получ&ем:

V/e crX,F) ( { M € Ш : / с M 3 )

все максимальные идеалы в CY^. F) суть -идеолм.

В главе S нсслэдунтся алгебраические свойства идеалов в катодах . F) . Хотя для F=-|2. >шогкз результата известны, но даже для топологических тал ft , Н , р-оди-ческих чисел результаты главы 3 являются новыми. .

В § И описаны чистчёь идеалы колец С£% F) и -F)

/теорема ПЛ/, Данное описание подобно теореме 9.1 к спирается

кек кз гозуль?&ги глазу 2, тек а на теарвт-о~хояхсдо*в утвер-аденяя, обо&гздке разул ыйтн Вкуша а До Марко.

В э 12 расстагрйгзагсл оороедао проектами« идьалоэ колец ССХ, F).. Показано, что есдз F - вэдрякремоо топологи-чеонс-з 26.-Л, л&калыго т?о:,щвктнсо ила яшааэдееся иоо1Лэкыг< чор-шру«и* под-'и, то адеаа И jj""^/€ CCX,F):BSZ//)},

колы;з С(А,Р) прсокхгаен /как правый -модуль/

•тогда и гол1.--о тогда, когда он порождается вдекпстек«*'.. Этот фзхт ьр:а®кк9тоя в § 10 г.ри полутонов коледсвюс характэркзэдзи* кгяоторпх сзойотв тспадсгггшсяаа простршготв; замотай /яртар 18.1/, что or. s3çon дал дасхретшх топологических тел F . lia кольца С С а , F i рлспроотродша теорема Брукюра од условиях проэкпгенг-олк произвольного щюстого идеала в С i X > fi) . Прад'.схшыш 12.Я утвэрадабт, что для лг<5ых'О-Пряводюдм'о тала ■

F и локально компактного р-рвгуляексго пространства А -идеал коли» С^У., F) , соетседий из функщй

с кошяхяши носвтялём, ярооктавея в том я только ?ом случае, когда пространство X парякомпактно. При p = получаем известный poîy.*v?aï Бкука.

5 13 иосаяисн доказательству слзд>тщей тоореми /в случае F - I?' устанозлешгой автором ранее/, лакгпей ревгакяа задачи Л. А. Скоря'ткева :

Тзогама I3.I. Пусть F - несэязнса нормируемое тело, , С глн $-{ и X - произвольное гояологическоо пространство. Тогда всякий полуперзичный идегд кольца С (К: F) является плоским правым С (А > F) -модулем.

Например, плоским являются все первичные /в частности, максимальные/идеалы в CfX, F) и вое %-идсатк /в частности, идеал Ссо (X F) /.

В § 14 с помощью специалыгнх фу^пщионально-алгебраичвасих приемов исследуются первичные и псовдолярвпчныо идеалы в катъ-цах непрерывных функций со значениями в несвязных нормируемых телах. Даны характеризаиии таких идеалов. Охмотии, что совпадение первичных и псзвдопервичннх идеалов в кольце С(Х , F) рев-посильно регулярности кольца C(XjF) .

В § 15 вводится и изучается понятие универсально раягас-глсго идеала кольца С(У- > F) . Показачо, что дт/'ОЙ npsBi.11 идеал кольца С(Х, F) , для которого С/' , упнверсально

разлойсл. В дрлънойксм а тот результат применяется для кольцевой

-Ю-

характерцзалзга локально связных пространств! Здесь Д С/ — = A .' * € У } . В теореме 15,1 показано, что если F

- подтаю нормированного тела кватернионов, замкнутое относительно сопряжения, то прп любом X все идемпотентные односторонние идеалы в С(Х , F) впопго полуперзиадш и даусторотш. В следствии 15.3 утверждается, что дан ряда подтел F в f| в кольцах С(У>> F) понятия вдемпотентного и подувервич-iroro идеалов равносильны.

В заключительной главе 4 диссертации исследуются связи между топологическими свойства?®! пространств X и алгебраическими свойотвамп стзечакщих ем колец ССУ\} F) .

Тедрема 16.I. Если F - топологическое О-прпводамое тело, то функтор Сл(' , F) осуществляет двойственность /антиэквивалентность/ между категорией всех F-регулярных пространств X п их непрерывных отображений и категорией топологических колеп Сд/ £ X , F) с компактно-открытой топологией $ их 'непрерывных гомоморфизмов, сохраняющих константы.

Показано, что при любом О-врвводамом топологическом теле F всякое локально компактное F -регулярное пространство X определяется CCA, F) -модулем С00 ("X, F) .К теме онре-даляемости топологических пространств относятся и другие результата § 16.

К числу центральных результатов диссертации принадлежат теоремы § 17.

Гиллиан п Холркксен топологическое пространство X назвали F-пространством, если С(У\ у - кольцо Еезу; ими были получены различные характеризации F^P001-?™0™ Г 2 1 ] . Встал вопрос о внутренне-топологической характеризации F -пространств Денраксец/. С другой стороны, Л.А.Скорняковым была поставлена задача нахождения алгебраических ц топологических критериев того, что кольцо С (У,, FJ при локально компактном пата F , отличном от & , бшю би кольцом Безу. В § 17 даны ответы на эти /и на другие/ вопросы.

Пространство X назовем F^тпроот]^шством, если для любых, двух счетных семейств его открыто-двиаиутых мноашотв, объединения А к В которых не пересекаются, р X найдется открыто-замкнутое множество, содержащее А не пересвкшцвося с В . Топологическою пространство назовей' обобщенным Р-пространством, если пересечение каждого счетного'семейства его открыто-замкнутых множеств открыто. ,. .

Теорема 17.4. Пусть F - несвязное' нормируемое тело, R. ,

£ или и X - произвольное топологическое пространство. Тогда кольцо С(У., р ) является кольцом Бозу /дкстрибутив-но справа/ тогда п только тогда, когда имеет место один из слу-чаэз: ч/

а/ р ~ / . {£. или !П п X есть р-пространство; б/ р - нодасхреглоэ кесвязвоо локально кохнактноо тело п X есть р0 -пространство;

е/ р не локально ксгшсктно п X - обобщенное Р-прост-ранство;

г/ р даскрстпо и X ~ лзбоа пространство. Дагагая теорема слуга?. рзсзнкем отмечегпшх выше проблем Л.А. Скорияксьа я А.А.Туганбзова.

В гэоре.мо 17.2 показало, что если нормируемое тело Р не локально компактно, а одно лз пространств р или X нульмерно, то С(X ., р) есть кольцо Еезу С()'., р) регулярно.

В дополнение к теорог.те 5.1 доказано /георо;.э 17.1 и 17.3/ , что ее®; является локально ко-мпшгаги.г толом пли несвязнш норлфг/г^'^; полем, то яра любом X кольцо С(%, р) является кольцгл Базу тогда и только тогда, когда СГХ/Р) - НСК-кольцо. Показало /следствие 17.5/, что и классе вссвогмс-ннх нормируема* тол локально колющею тала Н выделятся топ свойства.!, что при лэбом X С С'--Р ] - кольцо Базу <&==> С (У* Л ) слабо рют.артозо.

В заклтеиие § 17 п терминах введенного понятая ;£-цепп множеств да га 'чисто тепачоглтескнз характерпзащш нуль-множеств и р-пространств, что реем? задачу Хепрпксена.

В § 18 рзссьатр'лш.'Зтся разлкчшз характсризашш на Ьзкко колец ССА, Р) топодсютосккх свойств пространств X . Например, в прэдастеюш 10.7 приведен кольцевой критерия лекальной свйзпости произвольного хьюттсвского пространства, что дает решение другой задачи Хе|гриксена 3 ■ К осисвшы результатом диссертации относится и ТвртюуаД^Д. Д®1 -табих топологического тала р и р -тахс-новского пространства X эквивалентны утверждения:

а/ кольцо С(У\, Р 3 самоияхективно /справа или слова/; б/ X - экстремально.несвязное пространство, в котором пересечение любого семейства откритнх множеств, кощность которого не превосходит Модности тела р , открыто;

в/ пучок колец ростков' непрерывных р-значннх функций над пространством X' ияъектмзен /вялый/; . ....

г/ ламбековскяЯ пупок кольца С Г а , F} нал ого маиси-мальным спектром инъектавен /вялый с садоЕггшгшвиаш слоями/.

Теп самым рэиаэтся проблема ипъеятивиости для пучков колец ira пунктов в/ к г/ ("Бапаюевокий, В .Д .Головин [ д~} ) .

Получены приложения теоремы 15.1. В частности, дано топологическое .описеше инъокгивдах идеалов в кольцах С (У-, F) Наконец, получена эквивалентность оледугаих утверждений: дискретность произвольного гахояовского пространства X разпосяль-ва скютгьоктивностн кольца CÎX, fi) ; все карданата неизмеримы /акскша Улама/.

ЩГТИРШАШАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Архангельский A.B. Топологические пространства функций. -М. : МГУ, 1989.

2. Гатьфекд U.V., Колмогоров А.Н. О кольцах кепрерывшх функций ка топологкчбскюс пространствах // ДАН СССР. - 1339. -Т. 22, Я Ï. - С. 11-15.

3. Голова;; В.Д. Гомологии аналитических пучков и теорг&ы двойственноста. - М.: йаука, 1986.

4. Ifeiteap; M.А. Норгяфсватые кольца. - К.: Наука, Î9G8.

5. BdcfuK^a Bes&itSteôt, E.,Aivàcli.t W&tk&t (Uiiiß оВ £uhc£ioM Ъ^ЬЯ vaêues чк a ■§ie£d.ff TXOM.Z. Am/t. McxiÄ. See. - 1975. - V. 204,

ä 4. - F. 91-112.

6. H .¿ ., WaMcU. Präne and- M&fiüfuzt

ÜSüxiM <м. Ж&ймуй oß CCX) // . ■ 1991. - № I. - P. 45-62.

7. P. (?.^ctPjctik £.<4\<-<е.

Stoiie.- -tfl&c&em \ъ&и?М>. флШ f/

Pacif. J. Mctfjl. - I9S8. - Y 27, »2. - P, 2f3-240.

8. Щлф WùtfL U<XiiSdOt0 Myt^vbU'te Щхш, {{ FimC. ИиШ. - 1957. - v. .45, К X. - P, И-16.

э. йШтиоЬ., Цемш&Шк. М- ажб'л^'^л

ßuwtous <м. tetUcH evotjf д.шкА€&£

<x£eœ£ 4% pni^-ifxxC. & TtauS fiwt/t. MaM. $ct.~ 1956. - V 82, » 2, - P. 366-591.

10. йШ^ццt. L., t M. fÜMJß cputcHuoüü

ßmvbtoРгш1снс : Yoi^ /täsbtcudL, Ибо.

H. НемлаАшь . ¿Ся.уо€^гсе (поШмз ен афе--Ягси* о§. С(%) г/ ¿ес-Ь . /Шы чк Риле ак£

Арре. Ма££. - 1985. - V: 95. - Р. 195-203.

12. Н^хь Е. Шуя о§ ъме,-

I // ТсаиЗ. Ашм. МаМ рос. -

1948. - V 64, » I. - Р. 45-99.

13. Карваифу. У. Торо&фсае, // /Ыеъ. 1 -1947. - V: 69. - Р. 153-183. ' -

14. ШхЩ А.С. И. Усш.. -

оид^з. - •• Мс*:се£ 1973.

15. ^Ьне М. -¿йжям с^

-борс&зду.^ Тгалл. Аыи^. - 1937. - V 41, ЛЭ. - Р. 375-481.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТШ ДИССЕРТАЦИИ

I. Вечтомов Б.М. О модуле всех функций над кольцом непрерывных функций // Матом, заметки. - 1980. - Т. 28, в. 4. - С.481-490.

2. Вечтомов Е.М. 0 связи некоторых свойств идеалов кольца . непрерывных функций // 1У Всесоюзный симпозиум по теория колец, алгебр и модулей. - Кишинев, 1980. - С. 1В.

3. Вечтомов Е.М. 0й идеалах колец непрерывных функций // Изв. вузов. Матем. - 1981. - Л I. - С. 3-Ю.

4. Вечтомов Е.М, 0 модуле функций о бикшпактвшга носителями над кольцом непрерывных функций // Успехи матем. Наук. - 1982.

- Т. 37, в. 4. - С. 151-152. _

5. Вечтомов Е.М. О дистрибутивных кольцах непрерывных функций // У Всесоюзный симпозиум по теории колец, алгебр и модулей.

- Новосибирск, 1982. - С. 28.

6. Вечтомов Е.М. Диотрибутаэннз кольца непрерывных функций я Р-пространства // Матем. заметки. - 1983. - Т. 34, в. 3, -С. 321-332. • •

7. Вечтомов Е.М. 0 некоммутативных кольцах непрерывных функций // ХУЛ Всесоюзная алгебраическая конференция. - Минск, 196Э.

- Ч. 2. - С. 38-39.

8. Вечтомов еЛд. 0 кольцах непрерывных кватернионно-вначпых функций // Вестник МГУ. Сер. 1. Кат., мех. ~ 1384. - 0 2. - 0.91.

9. Вечтомов Е.М. Универсально разложимые, идеалы в кольцах непрерывных функций // У Тираспсльский симпозиум по общей топологии и ее приложениям. - Кишинев, 1985. - О: 54-66.

- Ki-

10. Вечтомов E.H. О кольцах непрерывных функций со значениями в топологических телах // Вестник МГУ. Сер. I. Мат., мех. -1985. - » 5. - С. 06.

11. Вечтомов E.t.i. О кольцах непрерывных функций со значениями в локально бикомпактных полях // Абелевы группы и модули. -Томск, 1986. - № 4. - С. 20-35.

12. Вечтомов Е.М. Некоторые свойства колец непрерывных функций со значениями в топологических телах // ХП Всесоюзная алгебраическая конференция. - Львов, 198?. - Ч. I. - С. 50.

13. Вбчтсыов E.H. 0 редуцированных вальцах // Полугруппы и частичные группоиды. - Я.: 1987. - С. 3-14.

14. Вечтомов Е.М. Т0-пространства и топологические полугруппы непрерывных характеристических функций // Меэдународпая топологическая конференция. - Баку, 1987. - Ч. 2. - С. 71.

15. Вечтомов Е.М. О кольцах непрерывных функций со значениями в топологических телах // Матем. исслсд. - Кишинев, 1988. -й 105. - С. 45-52.

16. Вечтомов Е.М. Чистые идеалы колец и теоре?,;а Екутпа // Абелевы группы и модули. - Томск, 1989. - & 8. - С. 54-64,

17. Вечтомов Е.М. Об алгебраических объектах, ассоциированных с топологическими пространствами // Международная конференция по алгебре памяти А.И.Иальцева. Алгебр, геометрия. - Ново-сибзрск, 1939. - С. 17.

18. Бечтсмов Е.М. О некоторых, свойствах-идеалов колец непрерывных функций // Топол. црр(>?1)5ш?тэа. и их отображения. - Рига, IS89. - С. 40-49.

19. Вечтсядов B.Mi. Вопросы; опредаияемооти топологических пространств алгебраическими системами, непрерыв}шх функций // Итоги науки и техн. ВИНИТИ; Алгебра. Топология. Гешетрия. - 1990. -Т. 28. - С. 3-45.

20. Вечтомов E.H. Кольца непрерывных функций и кольца глобальных сечений // 71 симпозиум nq-jтеории колец, алгебр и модулей.

- Львов, 1990. - С. 32.

21. Вечтсков Е.М. О полугруппах непрерывных частичных функций на топологических пространствах // Успехи матем. наук. -1990. - Т. 45, в. 4. - С. 143-144.

22. . Вечтомов Е.М.'Кольца и модули функций // Проблемы теоро-тической и прикладной математики. - Тарту: Тартуский ун-т, 1990.

- С. Í08-III.

23. Вечтомов Е.М. О кольцах непрерывных функций, являвшихся

кольцаш Безу // Абелсвы группы и модули. - Томск, 1991. -К 10. - С. 17-22.

24. Вечтомов Е.М-, Кольца непрерывных функций. Алгсбрзигческке аспекты // Итоги пауки и техн. ВИНИТИ. Алгебра. Топология. Геометрия., - 1991. - Т. 29. - С. 119-191.

25. Вечтомов Е.М. Кольца непрерывных функций на топологических пространствах. Избранные темы. - ГЛ.: Моск. пед. гос. ун-т, 1992.

26. Вечтомов Е.М. К теореме Гельфавда-Колмогорова о максимальных идеалах колец непрерывных функций // Успехи матем. наук.

- 1992. - Т. 47, в. 5. - С. 171-172.

27. Вечтомов Е.М. Т -пространства и топологические решетки непрерывных ("о, 1} -эначных функций //Та/б&с 11£.ТоЬглг^Яе.Л.

- 1992. - № 940. - С. 101-106.

28. Вечтомов Е.М. Кольца непрерывных функций и теордя Гелъ-фанда // Успехи матем. нарт. - 1993. - Т. 48, в. I. - С.163-164.

29. Вечтомов Е.М. Функциональные представления колец. - М.: Моск. пед. гос. ун-т, 1993.

30. Вечтомов Е.М. К теории колец нвпрзрыв1шх фушштй //

■ Третья Международная конференция ло алгебре. - Красноярск, 1993.

- С. 71-72.

31. Вечтомов Е.М. Кольца непрерывных функций и пучки колец // Успехи матем. наук. - 1993, - Т. 43, в. 5. - С. 167-163.

32. Вечтомов Е.М. Кольца и пучки // Итоги науки и техн. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. Топология - I / ВИНИТИ, 1993. - Т. 6.