Магнитные свойства и спиновая кинетика кондо-решеток и сверхпроводящих купратов с ионами иттербия тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Кутузов Александр Сергеевич

МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА И СПИНОВАЯ КИНЕТИКА КОНДО-РЕШЁТОК И СВЕРХПРОВОДЯЩИХ КУПРАТОВ С ИОНАМИ ИТТЕРБИЯ

01.04.02 - Теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

003487720

Казань - 2009

003487728

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Казанского государственного университета им. В.И. Ульянова-Ленина.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Кочелаев Борис Иванович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Жихарев Валентин Александрович

доктор физико-математических наук, профессор Тшорский Дмитрий Альбертович

Ведущая организация: Казанский физико-технический институт

им. Е.К. Завойского КазНЦ РАН

Защита состоится 24 декабря 2009 г. в 14:30 на заседании диссертационного совета Д.212.081.15 при Казанском государственном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, 18.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке имени Н.И. Лобачевского Казанского государственного университета.

Автореферат разослан ^ ^ ноября 200е) г.

Ученый секретарь диссертационного совета д. ф.-м. н„ профессор Ерёмин М. В.

Обшая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Тема предлагаемой вниманию читателя работы возникла на основе экспериментальных исследований ряда соединений редких земель с сильными электронными корреляциями методами электронного парамагнитного резонанса (ЭПР). К первой группе таких веществ относятся так называемые кондо-решётки с тяжелыми фермионами. К этому классу веществ относится интерметаллическое соединение УЬК.1ъ8ь, в котором в 2003 г. был обнаружен сигнал ЭПР на ионах иттербия группой д-ра Иорга Зихельшмидта в Институте Макса Планка химической физики твердых тел в Дрездене [1, 2]. Этот результат был большим сюрпризом для физики твердого тела, поскольку считалось, что магнитный момент иттербия должен быть экранирован электронами проводимости вследствие эффекта Кондо. Для понимания природы обнаруженного сигнала ЭПР и возможностей его использования для исследования необычных свойств кондо-решёток с тяжелыми фермионами возникла необходимость теоретического исследования магнитных свойств и спиновой кинетики родственных соединений УЬШъБь и УЫг?8ь в области температур, при которых свойства тяжелых фермионов не соответствуют поведению ферми-жидкости Ландау.

Ко второй группе редкоземельных соединений, рассматриваемых в диссертации, относятся «родительские» вещества высокотемпературных сверхпроводников (ВТСП) со структурой УВа2Си306 (УВСО). Метод ЭПР для исследования этих веществ стал применяться вскоре после открытия ВТСП (см. обзор [3]). В настоящее время такие исследования активно ведутся в Цюрихском университете группой А. Шенгелая под руководством К.А. Мюллера. Полученные недавно результаты с использованием ионов УЬ3+ в качестве ЭПР-пробы (которые замещают ионы иттрия), поставили ряд новых задач для теории [4]. Выяснилось, что основным механизмом спиновой релаксации ионов иттербия в слабо допированных УВСО является спин-фононное взаимодействие. Однако, попытки использовать существующую теорию спин-решеточной релаксации, основанной на модели Дебая, оказались безуспешными. Для выяснения роли различных механизмов спиновой релаксации в высокотемпературных сверхпроводниках потребовалось детальное исследование спин-решеточной релаксации в родительских соединениях со структурой УВСО.

Цели работы и постановка задачи. Целью представленной работы является разработка теории магнитных свойств и спиновой кинетики кондо-решёток с тяжелыми фермионами и слабо допированных ВТСП соединений со структурой УВСО на основе модели локализованных состояний 4/-электроное. Были поставлены следующие задачи: 1) Найти энергетический спектр и собственные функции нона иттербия в тетрагональном кристаллическом электрическом поле; извлечь параметры кристаллического поля из имеющихся эксперментальных данных; 2) На основе решения предыдущей задачи вычислить статическую магнитную восприимчивость соединений УЬК^ьБь и УЫьБь; 3) Получить формулы для вклада спин-фононных взаимодействий в

X : г,

\ ;'.)

ширину линии ЭГТР; 4) Выйти за пределы модели Дебая в теории спин-решеточной релаксации; 5) Сравнить теоретические результаты с экспериментальными данными.

Научная новизна результатов. Показано, что температурная зависимость статической магнитной восприимчивости тежёлых фермионов в области температур и магнитных полей, соответствующей их не-ферми-жидкостному поведению, может быть успешно описана на основе модели локализованных /-электронов. При этом согласие с экспериментальными данными оказалось существенно лучше по сравнению с активно обсуждаемым в литературе обобщенным законом Кюри-Вейсса с дробными показателями, являющимся следствием возникновения квантовой критической точки [5]. Полученный результат указал на перспективность дальнейшего использования модели локализованных электронов для описания спиновой кинетики кондо-решёток на основе ренорм-группового анализа кондовского взаимодействия с широкозонными электронами проводимости [6].

Проведен сравнительный анализ вкладов в ширину линии ЭПР взаимодействия редкоземельных ионов с акустическими и оптическими фононами на основе простой модели колебаний трехмерной двухатомной решетки. Показано, что обычно используемая модель Дебая даёт совершенно неудовлетворительные результаты вследствие игнорирования особенностей плотности состояний, соотношения амплитуд и фаз различных атомов элементарной ячейки для состояний вблизи границ зоны Бриллюэна. Выяснено, что в широком диапазоне температур основную роль в спиновой релаксации играют оптические колебания решётки.

Научная и практическая значимость результатов работы определяется востребованностью полученных результатов для дальнейшего развития теории свойств веществ с сильными электронными корреляциями и прежде всего кондо-решёток с тяжелыми фермионами и высокотемпературных сверхпроводников и для адекватной интерпретации экспериментальных исследований этих веществ методом ЭПР.

Данные исследования проведены при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации в рамках программы «Развитие научного потенциала высшей школы» (контракт № 2.1.1/2985). Результаты работы использованы в научных отчетах по данной теме.

Личный вклад автора. Постановка задач принадлежит научному руководителю. Все решения задач, изложенные в диссертации, выполнены соискателем. Сравнение с экспериментальными результатами выполнялось совместно с научным руководителем и A.M. Скворцовой. Экспериментальные данные были любезно предоставлены группами И. Зихельшмидта и А. Шенгелая.

Положения, выносимые на защиту:

1. Вычислена статическая магнитная восприимчивость соединений YbRfbSb и YblbSb для области фазовой диаграммы, соответствующей не-ферми-жидкостному поведению тяжелых ферминов, на основе модели локализованных 4/*-электронов. Показано, что эта модель хорошо согласуется с экспериментальной температурной зависимостью магнитной восприимчивости в указанной области фазовой диаграммы.

2. Методом функций Грина получены формулы для вкладов в ширину линии ЭПР спин-фононного взаимодействия редкоземельных ионов с нечетным числом/-электронов для основного крамерсова дублета.

3. Показано, что вклад в ширину линии ЭПР оптических ветвей решеточных колебаний играет решающую роль в широком диапазоне температур, причем основную роль играют фононы с волновыми векторами вблизи границ зоны Бриллюэна. Этот вывод подтвержден анализом температурной зависимости ширины линии ЭПР иона Yb3+ в слабо-допированных купратах со структурой YBCO.

Апробация работы. Результаты работы были представлены на семинарах кафедры теоретической физики Казанского государственного университета; итоговых конференциях по научно-исследовательской деятельности за 2007 и 2008 гг.; VIII Научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов научно-образовательного центра Казанского государственного университета «Материалы и технологии XXI века», Казань, 28-29.10.2008; доложены на международных конференциях: «International conference on quantum criticality and novel phases», Дрезден, Германия, 2-5.08.2009; «International conference on strongly correlated electron Systems», Бузиос, Бразилия, 17-22.08.2008.

Публикации. Основное содержание работы опубликовано в 3 статьях и 3 тезисах конференций.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, пяти приложений, списка цитируемой литературы из 51 наименования. Работа изложена на 145 страницах, содержит 17 рисунков и 22 таблицы.

Краткое содержание работы

Во введении обосновывается актуальность выбранной темы, формулируется цель исследования и задачи, решаемые в диссертации, даётся общее описание работы и её составных частей.

Первая глава является обзорной и посвящена описанию основных свойств кондо-решёток с тяжелыми фермионами и слабо допированных соединений высокотемпературных сверхпроводников со структурой YBCO, которые в последние годы вызвали большой интерес. Обращено внимание на результаты исследований методом ЭПР с использованием ионов иттербия.

Приводятся основные черты теории спин-решёточной релаксации, основанной на модели Дебая для решёточных колебаний, и её недостатки.

Во второй главе найдено аналитическое решение задачи на собственные функции, энергетический спектр и g-факторы иона Yb3t в тетрагональном

кристаллическом электрическом поле (КЭП), поскольку КЭГ1 в кондо-решётках YbRh2Si; и YblbSb и в слабодопированных ВТСП-купратах YBCO обладает именно такой симметрией. Результаты главы применимы к любым кристаллам, в которых ионы Yb3+ образуют тетрагональные центры.

Основная электронная конфигурация 4/п свободного иона Yb3t состоит только из одного терма ~F, расщеплённого спин-орбитальным взаимодействие на два мультиплета - основной 2FV2 и возбуждённый 2F5/2. Так как интервал между ними порядка 1 эВ [7], что много больше расщепления в КЭП, можно рассматривать только основной мультиплет *FV2, состояния которого обозначим | JMj ) = | Mj ), где J =7/2 - величина полного момента J, Mj -собственное значение r-проекции J-, ось г направим по тетрагональной оси КЭП. Гамильтониан взаимодействия иона Yb3+ с тетрагональным КЭП, записанный через эквивалентные операторы 0"( J) [7, 8], имеет вид

V = аВпгОЧ + Р(Вр1 + ) + rm + BtOt), ( 1 )

где а = 2/63, /3 = -2/1155, у = 4! 27027; В" - параметры КЭП. Неприводимое двузначное представление D112 группы вращений, по которому преобразуются волновые функции I JMj) свободного иона иттербия, раскладывается на двумерные неприводимые представления Г!, и Г^ ( D1'2 - 2Г7 + 2Г'Ь [7]) двойной тетрагональной группы, относительно которой инвариантен оператор V. Следовательно, состояниями иона YbJ+ в тетрагональном КЭП являются четыре дублета (крамерсовы дублеты). Так как представления Г7 и Г^ входят в разложение D'12 по два раза каждое, то диагонализация матрицы оператора V восьмого порядка сводится к диагонализации двух матриц второго порядка, отвечающим неприводимым представлениям Г'7 и Г^. В таб. 1 приведены энергии Ей, состояния ||), ||> и g-факторы крамерсовых дублетов; g/ = 8/7 - фактор Ланде. Дублеты помечены символами неприводимых представлений или 'Т'7, где к - номер дублета. Проекции эффективного спина ±1/2 обозначены стрелками | и приписаны состояниям дублета так, что (ЦЛ ||) t 0, где Л =Л + 'Л, а фазы выбраны так, что 6[|) = Ц), где 8 - оператор обращения времени [7]. В этой таблице стрелка f (!) и левый (правый) индекс соответствуют верхнему (нижнему) знаку; А = 4Bj/7 + 8Sj/77 + 805"/l43, С = 4ВЦ2\ + 40^/77 - 5600,7429,

D = 2В"/21 - 64В"/П - 160S"/429 ; Коэффициенты волновых функций дублетов симметрии и Г'7 заданы угловыми параметрами <р6 и ipf. ci] = cos(ipti/2), ch_ = sin(^6/2) и с I = cos(p7/2), c2~s in(^7/2), которые выражаются через параметры КЭП посредством формул

2 Î7Î 39В'-50В' ) о 2 f 117^ + 70# } tm'~ 3 V 5 ( 143/?_" + 265; + 140ВГ]' " VJ ( .1435;' + 3905; - 980^' j '

Оператор зеемановской энергии в базисе Ц) каждого дублета

представляется матрицей

= ¿^„я А + + //Л),

(2)

где = (1V_.lt), =я/Т|Л Ип ~ магнетон Бора, Б - оператор эффективного спина 1/2 дублета. Так как ^-факторы каждого дублета зависят только от одного параметра <р& или <р-, (таб. 1), то его можно исключить и найти уравнение, связывающее £ц и g±. На рис. 1 представлена диаграмма ¿--факторов. Сплошная и штрихованная части линии g¡i + 2g1 + lgl = 0 соответствуют

дублетам и 'Т'6, а сплошная и штрихованная части эллипса

ь^1+ ё^!3 = 4о-/ отвечают дублетам 2Г'7 и 'Г'7 соответственно. Линия и

эллипс касаются в точке (-£,/, которая отмечена черточкой.

Таб. 1 Энергии, волновые функции и ^-факторы иона УЬ'+ в тетрагональном кристаллическом электрическом поле.

(Г'7) = -О ± С / соб <р7 £„(Г6) = £>±Л/соз%

|'Г7 Т,1) = +с, | ±5/ 2) ± с, | +3/ 2) |2Г'7 Т,|) = +с21±5 /2)±с, | +3/2) |'Г6 1\4) = ±д, | +7 / 2) ± а, | ±1 / 2) Т,-1) = +а, |+7/2) ± а, | ±1/2)

С3'4 ) = (1 Т СОБ <ов)

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 4 1. ... 1 .. 1 1 1 , 11 ч 111 1 ,, 1 11, . -1 0 1 2 3 4 5 6

Рис. 1 Диаграмма ^-факторов иона УЬЛ+ в тетрагональном ЮП м экспериментальные £-точки. взятые из литературы.

На ¿'-диаграмме (рис. 1) в качестве иллюстрации отмечены известные в литературе из экспериментов по ЭПР £-факторы иона УЬ'" в некоторых

кристаллах. Эта диаграмма позволяет по измеряемым в эксперименте модулям g-факторов судить о нижнем крамерсовом дублете и указать возможные знаки «-факторов. Так, сразу видно, что основным состоянием иона Yb3, в кристалле HfSi04 является дублет JF'fi, и знаки обоих g-факторов отрицательны. Основным дублетом Ybu в кристалле KMgF3 является 4Г'Л, знак gB положительный, а знак gL отрицательный. Не вызывает сомнений, что в кристаллах CaF3 и YBa2Cu3064 тетрагональные центры иона Yb3+ находятся в состоянии 'Г7, и знак положительный, однако g± может быть как отрицательным так и положительным, поэтому на рис. 1 отмечены две точки. Такова же ситуация со знаком gL в кристаллах YbRh2Si2 и Yblr2Si2, если основным состоянием иона Yb3+ является дублет 1Г'7. Отклонение экспериментальных точек от теоретических кривых по-видимому связано с обменным взаимодействием 4/-электронов иона Yb,f с электронами проводимости в YbRh2Sb и Yblr2Si2 (см. ниже). Не зная величины вклада этого взаимодействия в значения g-факторов, дублет 4Г'Й надо тоже рассматривать в качестве возможного основного. В кристалле KY3F|0 g-факторы оказались таковы, что нижним состоянием может быть либо дублет 3Г^, либо 'Г'7. Знание знака gfi позволило бы в данном случае определить нижний дублет, но для этого следовало бы измерять ЭПР в поляризованном по кругу переменном магнитном поле [7].

Часто из эксперимента по неупругому рассеянию нейтронов известны энергии Д( < Д2 < Д3 возбуждённых дублетов иона иттербия относительно основного дублета. В работе удалось аналитически найти все наборы параметров тетрагонального КЭП, которые в точности воспроизводят любую заданную энергетическую схему иона Yb3+:

1 3 1

В" = -Ь + cos (р, + -b-, cos щ,

+ + cos<?3, В*--

я» 13 39 ». 91 А

В. =--b + —-ftcos ю,--o,cos ©7, В.-

160 320 6 6 320 7 7 "

(3)

7\/35 . 35^3, . ——bh sin <р6 ——/>7 sin (р,,

П7л/35, . 273\/3 , .

-a sin®.--о,sm<г>7,

320 320

Таб. 2 Величины Ь. Ьь и b-¡ в выражениях (3).

Нижний дублет ь Ьь bn

т; Е»- Ei] ■+ Ел - ¿41 -E21

Еп - En " £« £j2 — E42 En

- En - ¿'и -£« Ev> ~ £23

Е» - E\4 - ¿24 Ей Е\ц~ E24

где величины Ь, Ьь и 67 зависят от энергий Е„,к дублетов отсчитанных от нижнего дублета (таб. 2). При использовании выражений (3) надо выбрать основной дублет Е* и расположение

возбуждённых дублетов, чтобы выразить соответствующие

разности Е„,к в таб.2 через экспериментальные энергии Д1 <Д2<Д3. Угловые параметры </><, и остаются неопределёнными и могут принимать в (3) любые значения из интервала ~ж!2 < уь, <Р1 < л/2 независимо друг от друга, энергетическая схема от них не зависит. Для определения значений и #>7 необходимо использовать другие экспериментальные данные. Так, знание экспериментальных значений ¿-факторов нижнего дублета при помощи ¿-диаграммы (рис.1) может помочь определить нижний дублет и значение одного угла: <р7 в случае нижнего дублета симметрии Г^ или <рь в случае нижнего дублета симметрии Г,, (таб. 1). Таким образом, экспериментальных энергий и ¿-факторов недостаточно для однозначного определения параметров КЭП, ибо один из углов <рь и щ в (3) остаётся произвольным. При определённых значениях срь и формулы (3) дают известные из литературы параметры КЭП для кристаллов УЬЮьЗь [14, 15], УЫьБь [15], которые были найдены методом наименьших квадратов (то есть отыскивались параметры, дающие наилучшее совпадение рассчитанных численной диагонализацией матрицы (1) уровней энергии возбуждённых дублетов и ¿-факторов основного дублета с соответствующими экспериментальными величинами). Теперь понятно, что к найденным таким методом параметрам КЭП следует отнестись с настороженностью, ибо процедура наименьших квадратов может сойтись к набору параметров КЭП, соответствующих некому случайному значению того угла ср6 и который не определяется по значениям ¿-факторов.

В третьей главе вычислена статическая магнитная восприимчивость металлов с тяжёлыми фермионами (ТФ) УЬШъЗь и УЫьБЬ на основе модели локализованных 4/-электронов. На рис. 2 приведена фазовая диаграмма, показывающая границу перехода между состояниями от антиферромагнитного порядка (АР) к парамагнитному ферми-жидкостному металлу (ЬЯЬ) в зависимости от магнитного поля при температуре Г=0К (так называемая квантовая критическая точка - ОСР) и переход из этих состояний при повышении температуры в парамагнитный металл, не обладающий свойствами ферми-жидкости Ландау (ОТЬ): в частности, сопротивление растёт линейно с температурой. В настоящее время, несмотря на значительные усилия теоретиков, отсутствует общепринятая теория этих фазовых превращений.

Согласно одной из известных моделей тяжелых фермионов С>СР возникает в результате конкуренции локального Кондо взаимодействия и косвенного спин-спинового взаимодействия через электроны проводимости [16,5]. Характерным следствием этой модели является обобщенный закон Кюри-Вейсса для температурной зависимости статической магнитной восприимчивости:

с а< 1. Такой тип поведения восприимчивости с а = 0.75 и 0 = 0 был найден впервые в соединении СеСиз.оАио.) [5, 17], а также в УЬШьЗ}^ с а = 0.6 [18] (рис.4).

1

¡Г

0.1

0.01

0,01 0.1 1 10 20 в(Т)

Рис. 2 Фазовая диаграмма УЫ^!^!: (В ± с).

С другой стороны, многие свойства обнаруженного резонанса в этом металле имеют больше сходства с сигналом ЭПР локализованных /-электронов, чем обычных носителей тока. В частности, на это указывает температурная зависимость интенсивности сигнала ЭПР, которая должна быть пропорциональна статической магнитной восприимчивости: паулиевская восприимчивость носителей тока от температуры не зависит, в то время как интенсивность сигнала ЭПР зависит от температуры Кюри-Вейсс-подобным образом. Более того, угловая зависимость резонансного магнитного поля отражает тетрагональную симметрию КЭП в позиции иона УЬ3+ с сильно

анизотропным ^-фактором # = , где = 0.17, = 3.561,

а ф - угол между магнитным полем и тетрагональной осью с симметрии кристалла. Позднее сигнал ЭПР с аналогичными свойствами был обнаружен также в УЫг^з [9].

На основе вышеизложенных свойств сигнала ЭПР, возник интерес выяснить, насколько приемлем подход полностью локализованных /-электронов для не-ферми-жидкостной области фазовой диаграммы с точки зрения магнитной восприимчивости. Группой Й. Зихельшмидта измерена статическая магнитная восприимчивость УЫ^И^з и УЫг25ь (Иуре) в интервале температур 2 - 30 К. Для анализа эксперимента рассчитана парамагнитная восприимчивость ионов иттербия в этих кристаллах.

Намагниченность кристалла с концентрацией п ионов УЬ,+ равна п(М), где М = — оператор магнитного момента иона иттербия; среднее

значение <Д/() = 5р(р,Ц) (/~х>',г) вычисляется с матрицей плотности р = ехр(-/Ш) / 7., где Z = 5р[ехр(-/?/У)], /3 = \/(кнТ), и гамильтонианом Н = Г - 1У1Н, в котором Г - гамильтониан иона УЬ3+ в тетрагональном КЭП (1), Н - магнитное поле, 7'-температура. Статическая магнитная восприимчивость даётся выражением

5 - -:> . ... # ^ ^ V' ^ й Л V о

атг

УЬВИ^

АР I :

X»

д(М,) }-—

зн. ,

(5)

где Л/,(Л) = ехр(-Л1/)М1 ехр(ЯГ'), среднее (...)„ вычисляется с гамильтонианом V вместо Н. Из экспериментов по неупругому рассеянию нейтронов известны энергии возбужденных дублетов Д] < Дч < Дз отсчитанные относительно основного уровня, а именно: 17, 25, 43 мэВ для УЫИъЗь [19] и 18, 25, 36 мэВ для УЫьЗь [20]. При температурах эксперимента применимо приближение низких температур, когда ехр[-Д123 /квТ]-0 (1 мэВ ~ 11.64 К), и

восприимчивость определяется двумя вкладами Хц - Х* + X*'> гДе первый представляет собой закон Кюри

X* = (п/312){8;ма)гZ(ka\J,\ ка'){ка'и,\ка) = С„ / Т,

(6)

а второй - независящую от температуры восприимчивость Ван Флека

(ка | Jl | та'){та' | \ ка)

(7)

Здесь для состояний дублетов введены краткие обозначения а)Цта),

где ог=?,1, а т - номер дублета из таб.1. При вычислении оказывается Хх-_ - X,- = Хх-=Х,- = 0 н X= Хп = Х1 > что очевидно для тетрагональной симметрии; положим также Ха = Хг С.,-3^,, От = ~ ^ ■ РассматРивая Два возможных нижних дублета (рис. 1) получаем для констант Кюри из (6) = 14, для Х\\1 и нижнего дублета 2Г'7 имеем

/„" = 32 Г

Е,-Е,

(8)

х"'" = )"

6(с: - с,2)" 1 (>/7с,д, - )2 1 (Т7с,а, + лЛ5с,а, )2

£, - £,

£4-£2

для нижнего дублета ^Г^ получаем

^ =32

Е,-Ел

г

я,/, 8аГа2 1 (л/7с,с/, - ч/Т5с,а, )2

Ь - £4 2 £, - £4

1 + ТГ^с.о,)2

н---

о

£\ - £,

(9)

Таб. 3 Расчитанные значения константы Кюри Г (10"6 м3моль"'К) и восприимчивости Ван Флека хО О "6 м3моль~')

Кристалл Нижний дублет Г.

16 8 0.087 - 0.202 0.062 0.09-0.227

YbRh2Si2

17.4 0.107-0.237 0.115 0.053 -0.134

YbIr2Si2 2 г; 4П 14.7 14.7 0.121-0.215 0.127-0.224 1.02 1.04 0.094-0.187 0.083 -0.166

Т.к. по экспериментальным значений ¿-факторов определяется только один угол <р6 или <р1 (таб. 1), а изменение второго в диапазоне (-л/2, л/2) не влияет на энергетическую схему Д| < Д2 < Дз, то результат расчёта восприимчивости Ван Флека приведён в таб. 3 для всех возможных значений этого угла, а также для всех возможных вариантов расположения возбуждённых дублетов из таб. 1 на экспериментальной энергетической схеме Д, < А2 < Д3.

Поскольку в YbRh:Sb gn меньше ¿j примерно в 20 раз, то закон Кюри и восприимчивость Ван Флека играют существенно разную роль при параллельной и перпендикулярной ориентации магнитного поля: константа Кюри С в перпендикулярной ориентации как минимум на два порядка больше таковой Г|( в параллельной ориентации, в то время как восприимчивости Ван Флека и Хц' одного порядка (см. таб. 3). Это означает, как видно на рис. 3о, что в перпендикулярной ориентации основной вклад в восприимчивость даёт закон Кюри, а в параллельной ориентации восприимчивость в гораздо меньшей степени зависит от температуры и определяется восприимчивостью Ван Флека. Для YblrjSh ситуация другая: поскольку ¿-факторы отличаются только в 4 раза, константы Кюри Сх и С, отличаются только на один порядок, а вклады Ван Флека практически такие же как и в YbRhiSi; (таб. 3).

Для описания температурной зависимости магнитной восприимчивости металлов YbRh2Si: и YblbSb нужно еще учесть взаимодействие ионов иттербия с электронами проводимости. Хотя восприимчивость Паули пренебрежимо мала, но полная восприимчивость перенормируется в результате обменного взаимодействия 4/-электронов ионов Yb3+ с электронами проводимости (кондо-взаимодействие), которое после проектирования на нижний крамерсов дублет становится сильно анизотропным

Цт = {>>' 0.)+S;oy (г,)] + (к)} НО)

и РККИ-взаимодействия между ионами Yb3> через электроны проводимости. В Н,м S - оператор эффективного спина 1/2 нижнего дублета. о(г,) - оператор

спиновой плотности электронов на ионе УЬ'+ с радиус-вектором г,, /,1Х -обменные интегралы. Результат перенормировки вследствие учёта кондо- и РККИ-взаимодействий в приближении молекулярного поля подобно изотропному случаю можно записать [21, 22,23] так

^ = + (11) ' + а\ц 6 .1%<тГЯ

гДе х'1 - восприимчивость Паули, Л ± — константа молекулярного поля, g ± -¿■-фактор ионов УЬ3+, а - »-фактор электронов проводимости. В (11) температурнозависящая часть имеет форму закона Кюри-Вейсса с температурой Вейсса в. На рисунках За,Ь (стр.14) сплошными линиями представлен результат подгонки экспериментальных данных по первому выражению в (11), параметры подгонки С1|х, и приведены в таблице 4 (стр.14). Видно, что закон «Кюри-Вейсс + Ван Флек» прекрасно описывает температурную зависимость магнитной восприимчивости УЫ^ьЗ^ и УЫьБь. Сравнение рассчитанных парамагнитных констант Кюри С(|1 (таб.3) с

извлечёнными из подгонки экспериментальных данных С|и (таб.4) показывает, что, как и ожидалось в соответствии с (11), последние уменьшаются вследствие антиферромагнитного знака обменного взаимодействия (У"1 < 0).

На рисунке 4 представлены экспериментальные данные по восприимчивости, любезно предоставленные авторами работы [18], и результат подгонки по формуле (11) и степенной закон Г'"* из [18]. Как видно закон «Кюри-Вейсс + Ван Флек» лучше описывает эксперимент, чем обобщённый закон Кюри-Вейса (4).

Отметим ещё, что отличие экспериментально наблюдаемых ¿--факторов для ионов УЬ3+ от предсказываемых теорией КЭП (см. рис. 1) также объясняется кондо-взаимодействием/-электронов с электронами проводимости (10), ч то для наблюдаемого »-фактора даёт выражение [21,22]

(12)

где £ х - ионные «-факторы в теории КЭП, и приводит к уменьшению наблюдаемой величины эффективного ¿--фактора в силу антиферромагнитного знака обменного взаимодействия (У111 <0 ).

Рис. 3 Статическая магнитная восприимчивость (а) УЬт^'ь при параллельной (Н = 10 кО) и перпендикулярной (Н = 11.2 кв) ориентации магнитного поля (масштаб для Х\\ и Ла различен) и (Ь) УЫь5121-Еуре (Н = 10 кС). Сплошные линии - подгонка по формуле (11). параметры которой приведены в таб.4. Вклад Кюри-Вейса в (11) показан отдельно пунктирной и штрихованной линиями.

Рис. 4 Магнитная восприимчивость УЬЯ!ъ8к измеренная в работе [18]. Штрихованная линия - подгонка по формуле (4) в работе [18]. Сплошная линия -подгонка по формуле (II), парамегры приведены в таб. 4.

Таб.4 Значения константы Кюри С (10"6 м3моль"'К), восприимчивости Ван Флека ХНФ (10*6 м'моль"') и температуры Кюри-Вейса (К), полученные подгонкой экспериментальных данных на рис. 3а.Ь и 4 по формуле (11).

Кристалл Т С, гг в. 11' 1 а

УЬЮъЗЬ 2-30 10.89 0.064 5.43 0.02 0.12 0.76

0.02-3.6 2.31 0.75 0.22 -

УЫг,8ь 2-30 2.84 0.18 4.1 1.04 0.07 1 1.98

В четвёртой главе рассмотрено взаимодействие крамерсова иона с фононами, обусловленное модуляцией кристаллического поля колебаниями решётки [8, 7]. Проектированием на нижний крамерсов дублет получен эффективный гамильтониан спин-фононного взаимодействия Нт = Н)1] + НЦ', где однофононная часть имеет вид

НШ = Х)([>,дс1 (чЛ) + ^СГ(ЧЛ)]5г + (13)

+[ +¿СЛМ)]^+[КЛ'ЛМ)+бчя-<(яЛ)]5.),

а двухфононная такова

н™ = Е К-Ад[С2 (<\'Л'лЛ)3, + 4 (чХЧЛ)5+ + .<(ЧЛ,Ч'Л')5 ]. (14)

цЯ (['Я'

Здесь и Ь л - операторы рождения и уничтожения фонона с волновым вектором ц из частотной ветви А, Б - оператор эффективного спина 1/2 нижнего крамерсова дублета, а выражения для величин С^А), А'^цЛ), С(ч'Л',чЯ), .-^(ц'Л'^Л) приведены в диссертации. Гамильтониан получен для тетрагонального КЭП и произвольно направленного постоянного магнитного поля. Однофононная часть Н^ зависит посредством С|(яЛ) и .(ДчЛ) от величины и направления магнитного поля, а двухфононная Н]^ посредством С(я'Д'^Л) и от направления магнитного поля.

Методом функций Грина была вычислена мнимая часть массового оператора А/(а>), которая определяет ширину Г линии ЭПР:

Г = - 1т Л/К + /0) = ,Я,„]| [5. ,//„,]» = Г, + Г, + Г„ (15)

п~

где (оа - резонансная частота. Вклада Г,, обусловленный однофононными процессами, равен

г:«ч,ив)

Вклад Г,, обусловленный двхфононными процессами с переворотом эффективного спина нижнего крамерсова дублета, имеет вид

Г>7Т £ + + + ^ П7)

" Ч'Л'.Ч/!

а вклад Г',, отвечающий процессам без переворота эффективного спина, таков

Г2 =ТГ X {С'М'Л'^А)? (18)

где п(а> г) - функция Бозе-Эйнштейна.

Найдена угловая зависимость двухфононного вклада в ширину линии в модели Дебая:

Г™'"' = + ^¡п2 в'^Гг(9 = 0) + - = 0), (19)

где в - угол между направлением магнитного поля и тетрагональной осью;

g(в) = J(gi¡ соьв)1 + ; Г,(<9 = 0) и Г'2(0 = О) -

g{в)

вклады, соответственно, от процессов с переворотом и без переворота спина в магнитном поле, параллельном тетрагональной оси. Показано, что в случае кубического КЭП Г,(# = 0) и Г'2{в = 0) совпадают, и зависимость Г"'"' от в исчезает.

В пятой главе для исследования принципиальной стороны вопроса о роли оптических колебаний в спин-решёточной релаксации рассмотрена модель решёточных колебаний двухатомного кристалла со структурой которая позволила рассчитать вклады в скорость релаксации, обусловленные акустическими и оптическими модами, сравнить их между собой и с расчётами в модели Дебая. Предполагалось, что примесный ион иттербия УЬ3+ замешает тяжёлый атом и его релаксация обусловлена модуляцией КЭП колебаниями ближайших лёгких атомов (в частности, в УВСО иттербий замещает иттрий, расположенный между плоскостями СиСЬ; его ближайшим окружением являются восемь атомов кислорода, масса которых в четыре раза меньше атомов меди и во много раз массы самого иттербия). Для определённости массы атомов в модельном кристалле брались такие же, как для меди и кислорода. На рис. 5 представлены температурные зависимости вкладов в скорость релаксации иона УЬ" от двухфононных процессов (17), (18). Как видно при низких температурах скорость релаксации определяется только акустическими фононами. Однако, с повышением температуры роль оптических колебаний решётки резко возрастает и начинает преобладать над акустическими выше 40 К, причём в более высокой области температур вклад акустических фононов пренебрежимо мал по сравнению с оптическими (при Т- 120 К ГГ ~ 10*с, а ГГ" - 10"'с"'). Модель же Дебая. как оказалось, даёт заниженную оценку скорости релаксации не только по сравнению с суммарным вкладом от акустических и оптических колебаний решётки, но и даже по сравнению только с акустическим вкладом во всём интервале температур. Это интересно, потому что, казалось бы, рассмотренная модель учитывает, что в акустической моде при приближении к границе зоны Бриллюэна амплитуды колебаний лёгких атомов уменьшаются, а в модели Дебая все атомы, и лёгкие, и тяжёлые, при любом волновом векторе колеблются с одинаковой амплитудой.

Однако модель Дебая в силу использования линейного закона дисперсии не учитывает возрастание плотности состояний с приближением к границе зоны Бриллюэна, а в рассмотренной модели это обстоятельство выходит на передний план. Сильное возрастание плотности состояний компенсирует уменьшение амплитуды колебаний лёгких атомов и приводит к преобладанию акустического двухфононного вклада в релаксацию по сравнению с таковым, рассчитанным в модели Дебая.

Т(К)

Рис. 5 Сравнение скорости релаксации иона УЬ3"* в модельном кристалле со структурой ЫаС1. обусловленной двухфононными процессами с участием акустических фононов (штриховая линия), оптических фононов (пунктирная) и их суммы (сплошная линия) с рассчитанной в модели Дебая (штрихпунктирная линия).

На рис. 7 (стр. 19) приведена температурная зависимость ширины линии ЭПР наблюдаемого на ионе иттербия УЬ'* в УВСО. Спектр ЭПР соответствует спиновому гамильтониану (2) с |§ц| = 3.13, 1^1 = 3.49 для УВС06.4 [4]. Величины ^-факторов отвечают нижнему дублету 'Г'7 (см. рис. !). Сильная нелинейная зависимость ширины линии ЭПР позволяет сделать вывод о преобладающей роли фононов в релаксации иона УЬ3+, нежели носителей тока. За нелинейную температурную зависимость спин-решёточной релаксации отвечают двухфононные процессы. Таковыми могут быть прямые процессы Орбаха-Аминова [8, 7], при которых ион иттербия совершает переход между подуровнями основного крамерсова дублета посредством перехода в возбуждённое состояние с поглощением фонона соответствующей частоты и последующим спонтанным или вынужденным переходом на основной дублет с излучением фонона. Температурная зависимость скорости релаксации обусловленная такими процессами имеет вид

Г, = СехрГ — — 1. (20)

V 1 )

Эта формула может быть очень хорошо подогнана под экспериментальные данные на рис. 7, при этом для Д получаются значения около 500 К. Но первый возбуждённый уровень в YBCO составляет величину около 1000 К [24]. Значит, такие процессы должны быть исключены из рассмотрения.

Вторым возможным механизмом релаксации являются рамановские двухфононные процессы [8,7], рассмотренные в двух последних главах диссертации, при которых переход между зеемановскими подуровнями основного крамерсова дублета сопровождается виртуальным поглощением фонона с частотой а), и испусканием фонона с частотой си2 с условием а>2 ~ co¡ =± а>о, которое обуславливает эффективность этих процессов, поскольку задействованы могут быть фонолы из любой части спектра. При использовании дебаевского фононного спектра для скорости релаксации, обусловленной этими процессами, из (17), (18) следует известная температурная зависимость вида

Г, = СТ9 J dx~

(21)

Если в этом выражении рассматривать С и температуру Дебая 0„ в качестве подгоночных параметров, то также удаётся подогнать его под экспериментальные данные (рис. 6). При этом для температуры Дебая получается значение 0^ = 650 К. Однако, эта величина слишком большая по сравнению с температурой Дебая, измеренной в экспериментах по теплоёмкости 0« ~ 300 К [25]. Если же зафиксировать значение 0д> = 300 К, то описать эксперимент не удаётся (рис. 6).

ю'

t- , а

л:

<i

ю'

ч 1 ...... 1 . , .

V о YBC06.4

Oebye model:

......е0 = зоок, -

V. ----о0 = б5ок :

^кк*'«, Optical phonon:

V -О = 562 К .

X ^

. . 1

л ®

л

й. йГ

о

6 8 10 12 14

1000/Т(К)

Рис. 6 Температурная зависимость ширины линии ЭПР в У0<!8УЬоо2Ва1Сиз06.,. Сплошная линия - подгонка по формуле (22), штриховая - по формуле (21) (извлечённая из подгонки температура Дебая = 650 К), пунктирная - по формуле (21) с фиксированной 0/) = 300 К.

Т(К)

Рис. 7 Температурная зависимость ширины линии ЭПР в Уо98УЬоо2Ва2Сиз0.г. Сплошные линии - подгонка по формуле (22), параметры подгонки приведены в таб. 5.

Таб. 5 Параметры подгонки экспериментальных данных на рис. 7 для У0 98УЬ0 02Ва2Си.)О,- по формуле (22).

X С (мТл) П(К) Ь (мТл/ К.)

6.1 1214 521 0

6.4 1420 562 0.021

6.5 1068 477 0.03

6.6 710 419 0.058

Подгоночную формула для экспериментальны данных, учитывающую явно наличие оптического спектра колебаний решётки, можно получить из выражений (!7), (18). В них температурная зависимость содержится в множителе п(п+\), где п - функция Бозе-Эйнштейна. Считая оптическую полосу частот узкой, можно вынести этот множитель из-под знака интеграла, тогда получим выражение вида

ехр(0/Г)

Г ,=С--р-+ (22)

[ехр(П/Г)-1|

где О - энергия оптических фононов, и добавлен линейный член. Кривые на рис. 7 подогнаны под экспериментальные данные по этой формуле, параметры подгонки собраны в таб. 5 (линейный по температуре член, следует связать с релаксацией Корринги, поскольку однофононными процессами, дающими подобный же член, при высоких температурах можно пренебречь; параметр Ь для диэлектрика УВС06.1 был положен равным нулю). Согласие с

экспериментом прекрасное. Извлекаемые из подгонки частоты оптических фононов (таб. 5) имеются в УВСО и связаны как раз с колебаниями плоскости СиО: (О = 470 -560 К [26,27]). Первое слагаемое в (22) при значениях П из таб. 5 и температурах эксперимента Т= 60 - 160 К переходит в выражение (20), что объясняет успех последнего при первоначальной обработке экспериментальных данных.

Основные результаты работы

1. Найдено аналитическое решение задачи на собственные функции, энергетический спектр и £-факторы иона УЬ3* в тетрагональном кристаллическом электрическом поле.

2. Выведены формулы, позволяющие получить все возможные наборы параметров тетрагонального КЭП для заданной энергетической схемы расщепления нижнего мультиплета иона УЬ3+.

3. Построена диаграмма g-фaктopoв, которая по измеряемым в спектрах ЭПР £ц> & -факторам позволяет наглядно судить, о том, какой из крамерсовых дублетов иона УЬ3+ является нижним.

4. Вычислена статическая магнитная восприимчивость соединений УЫИъБь и УЫг^ь на основе модели локализованных 4/-электронов. Показано, что полученная температурная зависимость магнитной восприимчивости Кюри-Вейсса и Ван Флека хорошо согласуется с экспериментальными данными.

5. Выведен эффективный гамильтониан спин-фононного взаимодействия для нижнего крамерсова дублета редкоземелного иона с нечетным числом /электронов.

6. Методом функций Грина получены формулы для вкладов спин-фононного взаимодействия редкоземельных ионов с нечетным числом /- электронов в ширину линии ЭПР.

7. Предложена модель колебаний трехмерной двухатомной решетки, позволившая выйти за пределы приближения Дебая при расчёте спин-решёточной релаксации.

8. Показано, что вклад в ширину линии ЭПР оптических ветвей решеточных колебаний играет решающую роль в широком диапазоне температур. Выяснено, что основной вклад двухфононных рамановских процессов как оптических так и акустических ветвей определяется областью пространства волновых векторов вблизи границ зоны Бриллюэна.

9. Проведён анализ экспериментов, показавший, что температурная зависимость ширины линии ЭПР иона УЬ1+ в слабо допированных купратах УВСО определяется вкладом оптических ветвей решёточных колебаний, соответствующих изгибным модам колебаний плоскости СиСЬ

Список работ автора по теме диссертации

1. Kutuzov, A.S. Magnetic susceptibility of YbRh2Si2 and YbIr2Si2 on the basis of a localized 4/ electron approach / A.S. Kutuzov, A.M. Skvortsova, S.I. Belov, J. Sichelschmidt, J. Wykhoff, 1. Eremin, C. Krellner, C. Geibel, B.l. Kocheiaev // J. Phys.: Condens. Matter. - 2008. - Vol. 20. - P. 455208-1-6.

2. Kocheiaev, B.l. Why could electron spin resonance be observed in a heavy fermion Kondo lattice? / B.l. Kocheiaev, S.l. Belov, A.M. Skvortsova, A.S. Kutuzov, J. Sichelschmidt, J. Wykhoff, C. Geibel, F. Steglich // Eur. Phys. J. B. - 2009. - DOI: 10.1140/epjb/e2009-00386-9

3. Kutuzov, A.S. Determination of tetragonal crystalline electric field parameters for YbJ+ and Ce3+ ions from experimental g-factors values and energy levels of Kramers doublets / A.S. Kutuzov, A.M. Skvortsova // Magn. reson. solids - 2009. -Vol. II.-P. 7-13.

4. Кутузов, A.C. Статическая магнитная восприимчивость YbRh2Si2 и Ybir2Si2 / А.С. Кутузов, A.M. Скворцова, С.И. Белов, J. Sichelschmidt, J. Wykhoff, И.М. Ерёмин, С. Krellner, С. Geibel, Б.И. Кочелаев // VIII Научная конференция молодых ученых, аспирантов и студентов научно-образовательного центра Казанского государственного университета "Материалы и технологии XX! века": Тез. докл. - 28-29 октября 2008. - г. Казань. - С. 50.

5. Sichelschmidt, J. Electron spin resonance in Kondo lattice compounds / J. Sichelschmidt , B.l. Kocheiaev, D. Zakharov, I. Fazlishanov, J. Wykhoff, A. Skvortsova, S. Belov, A. Kutuzov, H.A. Krug von Nidda, C. Krellner, C. Geibel, F. Steglich // international conference on strongly correlated electron Systems: Abstracts - 17-22 August 2008. - Buzios/Rio, Brazil.

6. Sichelschmidt, J. Low temperature properties of the EPR in YbRh2Si2 / J. Sichelschmidt , T. Kambe, I. Fazlishanov, D. Zakharov, H.A. Krug von Nidda, J. Wykhoff, A. Skvortsova, S. Belov, A. Kutuzov, B.l. Kocheiaev, C. Krellner and C. Geibel. // Internationa! conference on quantum criticality and novel phases: Book of Abstracts. -2-5 August 2009. - Dresden, Germany. - P. 184.

Цитируемая литература

1 Sichelschmidt, J. Low temperature electron spin resonance of the Kondo ion in a heavy fermion metal: YbRh:Si2 / J. Sichelschmidt, V.A. Ivanshin, J. Ferstl, C. Geibel, F. Steglich // Phys. Rev. Lett. - 2003. - Vol. 91. - P. 156401-1-4.

2 Sichelschmidt, J. Spin dynamics of YbRh2Si2 observed by electron spin resonance I J. Sichelschmidt, J. Wykhoff, H-A. Krug von Nidda, J. Ferstl, C. Geibel, F. Steglich // J. Phys.: Condens. Matter. - 2007. - Vol. 19. -P. 116204-1-6.

3 Kocheiaev B.I. Nanoscale properties of superconducting cuprates probed by the electron paramagnetic resonance / B.l. Kocheiaev, G.B. TeitePbaum //

Superconductivity in complex systems (structure and bonding). - Verlag, Berlin, Heidelberg: Springer. - 2005. - Vol. 114. - P. 205-266.

4 Maisuradze, A. Probing the Yb3+ spin relaxation in YooSYboc2Ba2Cu-,Or by electron paramagnetic resonance / A. Maisuradze, A. Shengelaya, B.I. Kochelaev, E. Pomjakushina, K. Conder, H. Keller, K.A. Müller // Phys. Rev. B. - 2009. - Vol. 79. - P. 054519-1-8.

5 Si, Q. Locally critical quantum phase transitions in strongly correlated metals / Q. Si, S. Rabello, K. Ingersent, J.L.Smith // Nature. - 2001. - Vol.413. -P. 804-808.

6 Kochelaev, B.I. Why could electron spin resonance be observed in a heavy fermion Kondo lattice? / B.l. Kochelaev, S.I. Belov, A.M. Skvortsova, A.S. Kutuzov, J. Sichelschmidt, J. Wykhoff, C. Geibel, F. Steglich // Eur. Phys. J. B. - 2009. - DOl: 10.1140/epjb/e2009-00386-9

7 Абрагам, А. Электронный парамагнитный резонанс переходных ионов, в 2 т. / А. Абрагам, Б. Блини. - М.: Мир. - Т. 1. - 1972. - 652 с. - Т. 2. -1973.-351 с.

8 Альтшулер, С.А. Электронный парамагнитный резонанс соединений элементов промежуточных групп / С.А. Альтшулер, Б.М. Козырев. -М.: Наука.- 1972.-672 с.

9 Sichelschmidt, J. Electron spin resonance of YbIr2Si2 below the Kondo temperature / J. Sichelschmidt, J. Wykhoff, H-A. Krug von Nidda, I.I. Fazlishanov, Z. Hossain, C. Krellner, С. Geibel, F. Steglich // J. Phys.: Condens. Matter. - 2007. - Vol. 19. - P. 016211 -1 -6.

10 Reynolds, R.W. EPR investigations of Er'\ YbH, and Gd3+ in zircon-structure silicates / R.W. Reynolds, L.A. Boatner // J. Chem. Phys. - 1972. - Vol. 56. -P. 5607-5625.

11 Yamaga, M. An electron paramagnetic resonance study on Sm3+ and Yb3+ in KYiFio crystals / M. Yamaga, M. Honda, J-P. R. Wells, T.P.J. Han, H.G. Gallagher // J. Phys.: Condens. Matter. - 2000. - Vol. 12 - P. 8727-8736.

12 Falin, M.L. EPR, ENDOR, and optical spectroscopy of the tetragonal Yb3+ center in KMgF3 / M.L. Falin, V.A. Latypov, B.N. Kazakov, A.M. Leushin, H. Bill, D. Lovy // Phys. Rev. B. -2000. - Vol. 61. - P. 9441-9448.

13 Kirton, J. Correlation of electron paramagnetic resonance and optical-absorption spectra of CaF::Yb3+ 1 J. Kirton, S.D. McLaughlan // Phys. Rev. -1967.-Vol. 155.-P. 279-284.

14 Леушин, A.M. Кристаллическое поле тетрагональных центров иона Yb?+ в интерметаллиде YbRlv-Sb / A.M. Леушин, В.А. Иваньшин, И.Н. Куркин // ФТТ. - 2007. - Т. 49. - Вып. 8. - С. 1352-1355.

15 Leushin, A.M. Crystalline electric fields and the ground state of YbRh2Si2 and YbIr,Sb / A.M. Leushin, V.A. Ivanshin // Physica В. - 2008. - Vol.403. -P. 1265-1267.

16 Gegenwart, P. Quantum criticality in heavy-fermion metals / P.Gegenwart, Q. Si, F. Steglich // Nat. Phys. - 2008. - Vol. 4. - P. 186-197.

17 Schröder, A. Onset of antiferromagnetism in heavy-fermion metals / A. Schröder, G. Aeppli, R. Coldea, M. Adams, O. Stockert, H.v. Lohneysen,

E. Bucher, R. Ramazashvili, P. Coleman // Nature. - 2000. - Vol. 407. —P. 351355.

18 Gegenwart, P. Magnetic properties close to the quantum critical point in YbRh2Sb / P. Gegenwart, Y. Tokiwa, J. Custers, C. Geibel, F. Steglich // J. Phys. Soc. Japan. -2006. -Vol. 75 (Suppl.). - P. 155-159.

19 Stockert, O. Crystalline electric field excitations of the non-Fermi-liquid YbRh2Si2 / O. Stockert, M.M. Koza, J. Ferstl, A.P. Murani, C. Geibel,

F. Steglich // Physica В - 2006. - Vol. 378-380. - P. 157-158.

20 Hiess, A. Magnetisation dynamics of YbIr2Sb / A. Hiess, O. Stockert, M.M. Koza, Z. Hossain, C. Geibel // Physica В.- 2006. - Vol. 378-380. -P. 748-749.

21 Barnes, S.E. Theory of electron spin resonance of magnetic ions in metals / S.E. Barnes 11 Adv. Phys. - 1981. - Vol. 30. - P. 801-938.

22 Кочелаев, Б.И. Режим электронного узкого горла для парамагнитных примесей в металлах в случае анизотропного обменного взаимодействия / Б.И. Кочелаев, A.M. Сафина // ФТТ. - 2004. - Т. 46. - С. 224-237.

23 Матисс, Д. Теория магнетизма / Д. Матисс. - М.: Мир. - 1967. - 407 с.

24 Guillaume, 14. Neutron spectroscopy of the crystalline electric field in high-Tc YbBa^CujO; / M. Guillaume, P. Allenspach, J. Mesot, U. Staub, A. Furrer, R. Osborn, A.D. Taylor, F. Stucki, P. Unternahrer // Solid State Commun. -1992,- Vol. 81. -P. 999-1002.

25 Molnar, S Low-temperature specific heat of single-crystal YBa2Cu307.a / S. von Molnar, A. Torressen, D. Kaiser, F. Holtzberg, T. Penney // Phys. Rev. B. - 1998. - Vol. 37. - P. 3762-3765.

26 Pintschovius, L. Pronounced in-plane anisotropy of phonon anomalies in YBa3Cu,06.6 / L. Pintschovius, W. Reichardt, M. Klaser, T. Wolf, H.v. Lohneysen // Phys. Rev. Lett. - 2002. - Vol. 89. - P. 037001-1-4.

27 Opel, M. Physical origin of the buckling in Cu02: Electron-phonon coupling and Raman spectra / M. Opel, R. Hackl, T.P. Devereaux, A. Virosztek, A. Zawadowski, A. Erb, E. Walker, H. Berger, L. Forro И Phys. Rev. B. - 1999. -Vol. 60. - P. 9836-9844.

Отпечатано с готового оригинала-макета в типографии Издательства Казанского государственного университета Тираж 100 экз. Заказ 89/11

420008, ул. Профессора Нужина, 1/37 тел.: 233-73-59, 292-65-60

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. Обзор основных свойств некоторых соединений редких земель с сильными электронными корреляциями.

1.1 Кондо-решётки с тяжёлыми фермионами.

1.2 Соединения со структурой УВа2Си30б+х.

1.3 Основные черты существующей теории спин-решёточной релаксации.

Глава 2. Ион УЬ3+ в тетрагональном кристаллическом электрическом поле

2.1 Введение.

2.2 Два представления решения задачи о диагонализации симметричной матрицы второго порядка.

2.3 Состояния иона УЪ3+ в тетрагональном кристаллическом электрическом поле.

2.4 Диаграмма ¿-факторов.

2.5 Определение параметров тетрагонального КЭП для иона УЬ3+ по экспериментальным энергиям крамерсовых дублетов и ¿-факторам

2.6 Параметры тетрагонального КЭП для иона УЬ3+ в кристаллах УЬШ^ъ, УЫт2^12 и ЮУ^з.

2.7 Параметры тетрагонального КЭП для иона Се3+.

3.2 Магнитная восприимчивость крамерсовых ионов в КЭП.50

3.3 Парамагнитная восприимчивость ионов УЬ3+ в УЬЩъ812 и УЫг28ь.55

3.4 Сравнение с экспериментом.60

Глава 4. Вклад спин-фононных взаимодействий в ширину линии ЭПР.66

4.1 Введение.66

4.2 Электрон-фононное взаимодействие.66

4.3 Эффективный гамильтониан спин-фононного взаимодействия для основного крамерсова дублета редкоземельного иона.71

4.4 Ширина линии ЭПР.80

4.5 Угловая зависимость двухфононного вклада в ширину линии ЭПР в модели Дебая.85

Глава 5. Роль оптических колебаний кристаллической решётки в спинрешёточной релаксации.91

5.1 Введение.91

5.2 Модель решёточных колебаний трёхмерного двухатомного кристалла.91

5.3 Скорость спин-решёточной релаксации.97

5.4 Сравнение с экспериментом.105

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.110

Приложение А. Нормальные координаты куба и октаэдра.113

Приложение Б. Функции Vn(r).115

Приложение В. Матричные элементы операторов Vn.119

Приложение Д. Величины А2(п, п'), С2(п, п') и Л'2(п, п'), С'2(п, п').128

Приложение Е. Ширина линии ЭПР, обусловленная двухфононными процессами в модели Дебая.137

Список цитируемой литературы.140

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность. Тема предлагаемой вниманию читателя работы возникла на основе экспериментальных исследований ряда соединений редких земель с сильными электронными корреляциями методами электронного парамагнитного резонанса (ЭПР). К первой группе таких веществ относятся так называемые кондо-решётки с тяжёлыми фермионами. К этому классу веществ относится интерметаллическое соединение УЬШ^ь, в котором в 2003 г. был обнаружен сигнал ЭПР на ионах иттербия группой д-ра Йорга Зихелыпмидта в Институте Макса Планка химической физики твердых тел в Дрездене [1,2]. Этот результат был большим сюрпризом для физики твердого тела, поскольку считалось, что магнитный момент иттербия должен быть экранирован электронами проводимости вследствие эффекта Кондо. Для понимания природы обнаруженного сигнала ЭПР и возможностей его использования для исследования необычных свойств кондо-решёток с тяжёлыми фермионами возникло сотрудничество между группой И. Зихелыпмидта и теоретической группой Б.И. Кочелаева в Казанском университете. В качестве первого шага возникла необходимость исследования магнитных свойств родственных соединений УЬШъ812 и УЫг2812 в области температур, при которых свойства тяжёлых фермионов не соответствуют поведению ферми-жидкости Ландау.

Ко второй группе редкоземельных соединений, рассматриваемых в диссертации, относятся «родительские» вещества высокотемпературных сверхпроводников (ВТСП) со структурой УВа2Си30б (УВСО). Метод ЭПР для исследования этих веществ стал применяться группой Э.Г. Харахашьяна и И.А. Гарифуллина в Казанском физико-техническом институте в сотрудничестве с группой Б.И. Кочелаева вскоре после открытия ВТСП. В настоящее время такие исследования активно ведутся в Цюрихском университете группой А. Шенгелая под руководством К.А. Мюллера также в сотрудничестве с группой Б.И. Кочелаева. Полученные недавно результаты с использованием ионов УЬ3+ в качестве ЭПР-пробы (которые замещают ионы иттрия), поставили ряд новых задач для теории. Выяснилось, что основным механизмом спиновой, релаксации ионов иттербия в слабо допированных УВСО является спин-фононное взаимодействие. Однако, попытки использовать существующую теорию спин-решеточной релаксации, основанной на модели Дебая, оказались безуспешными. Для выяснения роли различных механизмов спиновой релаксации в высокотемпературных сверхпроводниках потребовалось детальное исследование спин-решеточной релаксации в родительских соединениях со структурой УВСО.

Постановка задачи. Целью представленной работы была разработка теории магнитных свойств и спиновой кинетики кон до-решёток с тяжёлыми фермионами и родительских ВТСП соединений со структурой УВСО на основе модели локализованных состояний 4/-электронов. Были поставлены следующие задачи: 1) Найти энергетический спектр и собственные функции иона иттербия в тетрагональном кристаллическом электрическом поле; извлечь параметры кристаллического поля из имеющихся экспериментальных данных; 2) На основе решения предыдущей задачи вычислить статическую магнитную восприимчивость соединений и

УЬЪ^г; 3) Получить формулы для вклада спин-фононных взаимодействий в ширину линии ЭПР; 4) Выйти за пределы модели Дебая в теории спин-решёточной релаксации; 5) Сравнить теоретические результаты с экспериментальными данными.

Структура диссертации. Диссертация содержит введение и заключение, 5 глав, 5 приложений и список цитируемой литературы из 51 наименования. Работа изложена на 145 страницах, содержит 17 рисунков и 22 таблицы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулируем основные результаты работы:

1. Найдено аналитическое решение задачи на собственные функции, энергетический спектр и ^-факторы иона УЬ3+ в тетрагональном кристаллическом электрическом поле.

2. Выведены формулы, позволяющие получить все возможные наборы параметров тетрагонального КЭП для заданной энергетической схемы

2 з+ расщепления нижнего мультиплета иона УЬ .

3. Построена диаграмма g-фaктopoв, которая по измеряемым в спектрах ЭПР 8\\> 8± -факторам позволяет наглядно судить, о том, какой из крамерсовых дублетов иона УЪ3+ является нижним.

4. Вычислена статическая магнитная восприимчивость соединений УЬШт^а и УЪЬ^г на основе модели локализованных 4/-электронов. Показано, что полученная температурная зависимость магнитной восприимчивости Кюри-Вейсса и Ван Флека хорошо согласуется с экспериментальными данными.

5. Выведен эффективный гамильтониан спин-фононного взаимодействия для нижнего крамерсова дублета редкоземелного иона с нечетным числом /^электронов.

6. Методом функций Грина получены формулы для вкладов спин-фононного взаимодействия редкоземельных ионов с нечетным числом/- электронов в ширину линии ЭПР.

7. Предложена модель колебаний трехмерной двухатомной решетки, позволившая выйти за пределы приближения Дебая при расчёте спин-решёточной релаксации.

8. Показано, что вклад в ширину линии ЭПР оптических ветвей решеточных колебаний играет решающую роль в широком диапазоне температур. Выяснено, что основной вклад двухфононных рамановских процессов как оптических так и акустических ветвей определяется областью пространства волновых векторов вблизи границ зоны Бриллюэна.

9. Проведён анализ экспериментов, показавший, что температурная

О I зависимость ширины линии ЭПР иона Yb в слабо допированных купратах YBCO определяется вкладом оптических ветвей решёточных колебаний, соответствующих изгибным модам колебаний плоскости Си02.

По теме диссертации опубликовано три статьи:

1. Kutuzov, A.S. Magnetic susceptibility of YbRh2Si2 and YbIr2Si2 on the basis of a localized 4/ electron approach / A.S. Kutuzov, A.M. Skvortsova, S.I. Belov, J. Sichelschmidt, J. Wykhoff, I. Eremin, C. Krellner, C. Geibel, B.l. Kochelaev //J. Phys.: Condens. Matter. - 2008. - Vol. 20. - P. 455208-1-6.

2. Kutuzov, A.S. Determination of tetragonal crystalline electric field parameters

3~f~ 3+ for YbJT and CeJT ions from experimental g-factors values and energy levels of Kramers doublets / A.S. Kutuzov, A.M. Skvortsova // Magn. reson. solids -2009.-Vol. 11.-P. 7-13.

3. Kochelaev, B.I. Why could electron spin resonance be observed in a heavy fermion Kondo lattice? / B.I. Kochelaev, S.I. Belov, A.M. Skvortsova, A.S. Kutuzov, J. Sichelschmidt, J. Wykhoff, C. Geibel, F. Steglich // Eur. Phys. J. B. - 2009. - DOI: 10.1140/epjb/e2009-00386-9 и три тезиса докладов:

1. Кутузов, А.С. Статическая магнитная восприимчивость YbRh2Si2 и YbIr2Si2 / А.С. Кутузов, A.M. Скворцова, С.И. Белов, J. Sichelschmidt, J. Wykhoff, И.М.Ерёмин, С. Krellner, С. Geibel, Б.И. Кочелаев // VIII Научная конференция молодых ученых, аспирантов и студентов научно-образовательного центра Казанского государственного университета "Материалы и технологии XXI века": Тез. докл. - 28-29 октября 2008. - г. Казань. - С. 50.

2. Sichelschmidt, J. Electron spin resonance in Kondo lattice compounds / J. Sichelschmidt , B.I. Kochelaev, D. Zakharov, I. Fazlishanov, J. Wykhoff, A. Skvortsova, S. Belov, A. Kutusov, H.A. Krug von Nidda, С. Krellner, С. Geibel, F. Steglich // International conference on strongly correlated electron Systems: Abstracts - 17-22 August 2008. - Buzios/Rio, Brazil.

3. Sichelschmidt, J. Low temperature properties of the EPR in YbRh2Si2 / J. Sichelschmidt , Т. Kambe, I. Fazlishanov, D. Zakharov, H.A. Krug von Nidda, J. Wykhoff, A. Skvortsova, S. Belov, A. Kutusov, B.I. Kochelaev, C. Krellner and C. Geibel. // International conference on quantum criticality and novel phases: Book of Abstracts. - 2-5 August 2009. - Dresden, Germany. -P. 184.

Следующие положения автор выносит на защиту:

1. Вычислена статическая магнитная восприимчивость соединений YbRh2Si2 и YbIr2Si2 для области фазовой диаграммы, соответствующей нефермижидкостному поведению тяжелых фермионов, на основе модели локализованных 4/сэлектронов. Показано, что эта модель хорошо согласуется с экспериментальной температурной зависимостью магнитной восприимчивости в указанной области фазовой диаграммы.

2. Методом функций Грина получены формулы для вкладов в ширину линии ЭПР спин-фононного взаимодействия редкоземельных ионов с нечетным числом/-электронов для основного крамерсова дублета.

3. Показано, что вклад в ширину линии ЭПР оптических ветвей решеточных колебаний играет решающую роль в широком диапазоне температур, причем основную роль играют фононы с волновыми векторами вблизи границ зоны Бриллюэна. Этот вывод подтвержден анализом температурной зависимости ширины линии ЭПР иона Yb31 в слабо допированных купратах со структурой YBCO.

1. Sichelschmidt, J. Low temperature electron spin resonance of the Kondo ion in a heavy fermion metal: YbRh2Si2 / J. Sichelschmidt, V.A. Ivanshin, J. Ferstl, C. Geibel, F. Steglich // Phys. Rev. Lett. 2003. - Vol. 91. - P. 156401-1-4.

2. Sichelschmidt, J. Spin dynamics of YbRh2Si2 observed by electron spin resonance / J. Sichelschmidt, J. Wykhoff, H-A. Krug von Nidda, J. Ferstl, C. Geibel, F. Steglich // J. Phys.: Condens. Matter. 2007. - Vol. 19. -P. 116204-1-6.

3. Andres, K. 4y:virtual-bound-state formation in CeAl3 at low temperatures / K. Andres, J.E. Graebner, H.R. Ott // Phys. Rev. Lett. 1975. - Vol. 35. -P. 1779-1782.

4. Steglich, F. Superconductivity in the presence of strong Pauli paramagnetism: CeCu2Si2 / F. Steglich, J. Aarts, C.D. Bredl, W, Lieke, D. Meschede, W. Franz, J. Schäfer // Phys. Rev. Lett. 1979. - Vol. 43. - P. 1892-1896.

5. Gegenwart, P. Magnetic-field induced quantum critical point in YbRh2Si2 / P. Gegenwart, J. Custers, C. Geibel, K. Neumaier, T. Tayama, K. Tenya, O. Trovarelli, F. Steglich // Phys. Rev. Lett. 2002. - Vol. 89. - P. 056402-14.

6. Gegenwart, P. Quantum criticality in heavy-fermion metals / P. Gegenwart, Q. Si, F. Steglich // Nat. Phys. 2008. - Vol. 4. - P. 186-197.

7. Si, Q. Locally critical quantum phase transitions in strongly correlated metals / Q. Si, S. Rabello, IC. Ingersent, J.L.Smith // Nature. 2001. - Vol.413. -P. 804-808.

8. Schröder, A. Onset of antiferromagnetism in heavy-fermion metals / A. Schröder, G. Aeppli, R. Coldea, M. Adams, O. Stockert, H.v. Löhneysen, E. Bucher, R. Ramazashvili, P. Coleman // Nature. 2000. - Vol. 407. -P. 351-355.

9. Schaufuss, U. Evolution of the Kondo state of YbRh2Si2 probed by high-field ESR / U. Schaufuss, V. Kataev, A.A. Zvyagin, B. Buchner, J. Sichelschmidt,

10. J. Wykhoff, C. Krellner, C. Geibel, F. Steglich // Phys. Rev. Lett. 2009. -Vol. 102.-P. 076405-1-4.

11. Hossain, Z. Yb-based heavy-fermion metal situated close to a quantum critical point / Z. Hossain, C. Geibel, F. Weickert, T. Radu, Y. Tokiwa, H. Jeevan, P. Gegenwart, F. Steglich // Phys. Rev. B. 2005. - Vol. 72. - P. 094411-1-4.

12. Misra. P. Heavy-Fermion Systems / P. Misra. -Elsevier. 2008. - 338 p.

13. Kochelaev B.I. Spin dynamics in La2-xSrxCu04-5 doped with Mn as revealed by an ESR study / B.I. Kochelaev, L. Kan, B. Elschner // Phys. Rev. B. 1994. -Vol. 49.-P. 13106-13118.

14. Shengelaya, A. Tilting mode relaxation in the electron paramagnetic resonance of oxygen-isotope-substituted La2xSrxCu04-5: Mn" / A. Shengelaya, H. Keller, K.A. Müller, B.I. Kochelaev, K. Conder // Phys. Rev. B. 2001. -Vol. 63.-P. 144513-1-9.

15. Shengelaya, A. Metallic phase in lightly doped La2-xSrxCu04 observed by electron paramagnetic resonance / A. Shengelaya, M. Bruun, B.I. Kochelaev, A. Safina, K. Conder, K.A. Müller // Phys. Rev. Lett. 2004. - Vol. 93. -P. 017001-1-4.

16. Shimizu, H. Magnetic and electronic properties of La2xSrvCu04 as studied by EPR of Er spin probes / H. Shimizu, K. Fujiwara, K. Hatada // Physica C. -1997.-Vol. 288.-P. 190-198.

17. Shimizu, H. Properties of the Cu02-plane in УВа2СизО^ (6 <y < 7) probed by Er-EPR / H. Shimizu, K. Fujiwara, K. Hatada // Physica C. 1998. - Vol. 299. -P. 169-176.

18. Ivanshin, V.A. Electron spin-lattice relaxation of Er3+-ions in Y0.99Er0.0iBa2Cu3O^ / V.A. Ivanshin, M.R. Gafurov, I.N. Kurkin, S.P. Kurzin,

19. A. Shengelaya, H.ICeller, M. Gutmann // Physica С. 1998. - Vol.307. -P. 61-66.

20. Maisuradze, A. Probing the Yb3+ spin relaxation in Y0.98Ybo.o2Ba2Cu30.x by electron paramagnetic resonance / A. Maisuradze, A. Shengelaya,

21. B.I. Kochelaev, E. Pomjakushina, K. Conder, H. Keller, K.A. Muller // Phys. Rev. В.-2009.-Vol. 79.-P. 054519-1-8.

22. Альтшулер, C.A. Электронный парамагнитный резонанс соединений элементов промежуточных групп / С.А. Альтшулер, Б.М. Козырев. -М.: Наука. 1972.-672 с.

23. Абрагам, А. Электронный парамагнитный резонанс переходных ионов, в 2 т. / А. Абрагам, Б. Блини. М.: Мир. - Т. 1. - 1972. - 652 с. - Т. 2. -1973.-351 с.

24. Orbach, R. Spin-lattice relaxation in rare-earth salts / R. Orbach // Proc. Roy. Soc.- 1961.-Vol. A264.-P. 458-484.

25. Кочелаев, Б.И. К теории спин-решеточной релаксации ядерных спинов в ионных кристаллах / Б.И. Кочелаев // ЖЭТФ. 1959. - Т. 37. - С. 242248.

26. Huang, C.Y. Optic phonons in electron spin relaxation / C.Y. Huang // Phys. Rev. 1967.-Vol. 154. - P. 215-219.

27. Van Vleck, J.H. Paramagnetic relaxation times for titanium and chrome alum / J. H. Van Vleck // Phys. Rev. 1940. - Vol. 57. - P. 426-447.

28. Reynolds, R.W. EPR investigations of Er3+, Yb3+, and Gd3+ in zircon-structure silicates / R.W. Reynolds, L.A. Boatner // J. Chem. Phys. 1972. - Vol. 56. -P. 5607-5625.

29. Yamaga, M. An electron paramagnetic resonance study on Sm3+ and Yb3+ m KY3F10 crystals / M. Yamaga, M. Honda, J-P. R. Wells, T.P.J. Han, H.G. Gallagher // J. Phys.: Condens. Matter. 2000. - Vol. 12 - P. 8727-8736.

30. Falin, M.L. EPR, ENDOR, and optical spectroscopy of the tetragonal Yb3+ center in KMgF3 / M.L. Falin, V.A. Latypov, B.N. Kazakov, A.M. Leushin, H. Bill, D. Lovy // Phys. Rev. B. 2000. - Vol. 61. - P. 9441-9448.

31. Kirton, J. Correlation of electron paramagnetic resonance and optical-absorption spectra of CaF2:Yb3+ / J. Kirton, S.D. McLaughlan // Phys. Rev. -1967. Vol. 155. - P. 279-284.

32. Леушин, A.M. Кристаллическое поле тетрагональных центров иона Yb3+ в интерметаллиде YbRh2Si2 / A.M. Леушин, В.А. Иваньшин, И.Н. Куркин //ФТТ. 2007. - Т. 49.-Вып. 8.-С. 1352-1355.

33. Leushin, A.M. Crystalline electric fields and the ground state of YbRh2Si2 and YbIr2Si2 / A.M. Leushin, V.A. Ivanshin // PhysicaB. 2008. - Vol. 403. -P. 1265-1267.

34. Stockert, O. Crystalline electric field excitations of the non-Fermi-liquid YbRh2Si2 / O. Stockert, M.M. Koza, J. Ferstl, A.P. Murani, C. Geibel, F. Steglich // Physica В 2006. - Vol. 378-380. - P. 157-158.

35. Hiess, A. Magnetisation dynamics of YbIr2Si2 / A. Hiess, O. Stockert, M.M. Koza, Z. Hossain, C. Geibel // PhysicaB.- 2006. Vol. 378-380. -P. 748-749.

36. Custers, J. The break-up of heavy electrons at a quantum critical point / J. Custers, P. Gegenwart, H. Wilhelm, K. Neumaier, Y. Tokiwa, O. Trovarelli,

37. С. Geibel, F. Steglich, С. Pepin, P. Coleman // Nature. 2003. - Vol. 424. -P. 524-527.

38. Gegenwart, P. Magnetic properties close to the quantum critical point in YbRh2Si2 / P. Gegenwart, Y. Tokiwa, J. Custers, C. Geibel, F. Steglich // J. Phys. Soc. Japan. 2006. - Vol. 75 (Suppl.). - P. 155-159.

39. Barnes, S.E. Theory of electron spin resonance of magnetic ions in metals / S.E. Barnes //Adv. Phys. 1981. - Vol. 30. - P. 801-938.

40. Кочелаев, Б.И. Режим электронного узкого горла для парамагнитных примесей в металлах в случае анизотропного обменного взаимодействия / Б.И. Кочелаев, A.M. Сафина // ФТТ. 2004. - Т. 46. - С. 224-237.

41. Матисс, Д. Теория магнетизма / Д. Матисс. М.: Мир. - 1967. - 407 с.

42. Аминов, JI.K. Теория симметрии (краткие конспекты лекций и задачи). Учебное пособие физ. фак. КГУ / JI.K. Аминов. Казань. - 1998. - 121с.

43. Наймарк, М.А. Теория представлений групп / М. А. Наймарк. -М.: Наука, 1976.-563 с.

44. Биденхарн, Л. Угловой момент в квантовой физике. Т. 1 / JI. Биденхарн, Дж. Лаук. М.: Мир. -1984. - 302 с.

45. Зубарев, Д.Н. Неравновесная статистическая термодинамика / Д.Н. Зубарев. М. Наука. - 1971. - 416 с.

46. Косевич, A.M. Основы механики кристаллической решётки / A.M. Косевич. М.: Наука. - 1972. - 280 с.

47. Pintschovius, L. Pronounced in-plane anisotropy of phonon anomalies in YBa2Cu306.6 / L. Pintschovius, W. Reichardt, M. Klaser, T. Wolf, H.v. Lohneysen // Phys. Rev. Lett. 2002. - Vol. 89. - P. 037001-1-4.

48. Opel, M. Physical origin of the buckling in Cu02: Electron-phonon coupling and Raman spectra / M. Opel, R. Hackl, T.P. Devereaux, A. Virosztek,

49. A. Zawadowski, A. Erb, Е. Walker, Н. Berger, L. Forro // Phys. Rev. B. -1999. Vol. 60. - P. 9836-9844.

50. Molnar, S Low-temperature specific heat of single-crystal YBa2Cu307.5 / S. vonMolnar, A. Torressen, D. Kaiser, F. Holtzberg, T. Penney // Phys. Rev. B. 1998. - Vol. 37. - P. 3762-3765.

51. Малкин, Б.З. Теория спин-решёточной релаксации Кронига Ван-Флека и расчёт ширины бесфононных линий в оптических спектрах парамагнитных кристаллов / Б. 3. Малкин // Парамагнитный резонанс. -Казань: Каз. ун-т, 1968. - Т. 4. - С. 3-28.