Феноменологические аспекты взаимодействий тяжелых кварков в методе вакуумных корреляторов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Введение

1 Адиабатические потенциалы и состояния гибридного мезона как возбуждения струны КХД

1.1 Вывод гамильтониана гибридного мезона в модели струны КХД.

1.1.1 Производящая функция фоновой теории возмущений.

1.1.2 Функция Грина и петля Вильсона, гибридного мезона.

1.1.3 Формализм вспомогательных полей.

1.1.4 Гамильтониан гибридного мезона.

1.2 Режимы гамильтониана гибридного мезона.

1.2.1 Потенциальный режим.

1.2.2 Гамильтониан струнной поправки.

1.2.3 Квазиклассический режим.

1.2.4 Переход к гамильтониану глюлампа при Д = 0.

1.2.5 Режим малых колебаний.

1.3 Вычисление адиабатических потенциалов в потенциальном режиме полной модели струны КХД.

1.3.1 Вычисление невозмущённых адиабатических потенциалов.

1.3.2 Струнная и спиновая поправки •.

1.3.3 Адиабатические потенциалы с учётом поправок.

2 Распределения полей в мезонах и барионах, и статический потенциал в барионе

2.1 Билокальное приближение метода вакуумных корреляторов

2.2 Распределения полей в мезонах.

2.3 Петля Вильсона бариона.

2.4 Распределения полей в барионах

2.5 Барионный потенциал.

2.6 Корреляционные функции и распределения полей в теории с конечной температурой

2.6.1 Определение параметров корреляционных функций.

2.6.2 Зависимость глюонного конденсата от температуры

2.6.3 Распределения полей кварка и антикварка в фазе деконфайнмента

3 Поведение константы сильного взаимодействия статического кварк - ан-тикваркового потенциала при учёте влияния фоновых полей на распространение динамических глюонов

3.1 Статический потенциал и определение константы связи в V-схеме.

3.2 Определение константы сильного взаимодействия а в {у) в ФТВ.

3.3 Поведение фоновой константы взаимодействия смв{<1).

3.4 Фоновая константа &в(т) в координатном пространстве.

3.5 Статический потенциал на малых расстояниях

В настоящее время установлено, что сильные взаимодействия частиц описываются квантовой хромодинамикой (КХД) (см., например, монографию [1]). Как известно, в лагранжиан КХД входят триплет кварков, составляющих фундаментальное представление цветовой группы 317(3), для каждого аромата кварка, и октет глюонов (калибровочных векторных бозонов), образующих присоединённое представление цветовой группы 311(3).

Константа взаимодействия КХД исчезает на малых расстояниях и растёт на больших [2]. На малых расстояниях теория является асимптотически свободной. В области высоких энергий (порядка 2 ГэВ - масса т-лептона - и выше) константа связи КХД достаточно мала, и можно использовать стандартную теорию возмущений. К процессам, описываемым теорией возмущений, относятся аннигиляция е+е- в адроны, распады т-лептона и 2Г-бозона, глубоко неупругое рассеяние, а также процессы Дрелла-Яна. В этих процессах расчёты по теории возмущений получили экспериментальное подтверждение.

В области больших расстояний константа связи КХД велика, и стандартная теория возмущений, использующая константу связи в качестве параметра разложения, неприменима. К области сильной связи относятся состояния наблюдаемых адронов. Адроны являются бесцветными, тогда как теория возмущений работает с исходными цветными объектами КХД. Поэтому необходимо использовать непертурбативные методы, применимые для работы с явлениями, не описываемыми теорией возмущений. Одним из таких методов является метод вакуумных корреляторов (МВК), который используется в диссертации для изучения непертурбативных глюонных возбуждений вакуума КХД и физических свойств струны КХД.

В МВК предполагается, что глюонные поля в КХД играют двоякую роль. Во-первых, глюоны динамически распространяются в вакууме, и на малых расстояниях этот процесс может быть описан теорией возмущений. В частности, взаимодействие кварков на малых расстояниях посредством одноглюонного обмена приводит к цветовому кулонов-скому взаимодействию кварков [3]. Во-вторых, глюоны образуют в вакууме непертурба-тивный конденсат, который является средой (фоновым полем), в которой распространяются пертурбативные глюоны и кварки. Разработанный в ИТЭФе метод правил сумм ¡4] позволяет учитывать глюонный конденсат в качестве малой непертурбативной поправки в различных процессах на основании операторного разложения вне рамок теории возмущений [5]. Так, например, глюонный конденсат приводит к непертурбативным поправкам Волошина-Лейтвилера [б, 7] к цветовому кулоновскому взаимодействию.

Метод вакуумных корреляторов предназначен для работы с корреляторами напря-жённостей глюонных полей. В МВК предложена параметризация корреляторов скалярными формфакторами [8]. При этом непертурбативные формфакторы экспоненциально спадают, отражая стохастические свойства фоновых полей (см. обзор [9]). Согласно МВК, на больших расстояниях между кварками фоновое поле образует струну, натянутую между кварком и антикварком (струну КХД), и обеспечивает конфайнмент, то есть отсутствие в спектре теории физических состояний цветных частиц (см. обзор [10]).

Формализм МВК для глюонов, получивший название фоновой теории возмущений (ФТВ) [11], был разработан на основании теории фоновых полей [12], и рассматривает конституентные (динамические, "валентные") глюоны как возмущения в запирающем фоновом поле непертурбативного вакуума. Отличительной особенностью этого подхода является возможность различать запирающие ("непертурбативные") конфигурации глюонного поля и запертые ("пертурбативные") валентные глюоны.

Из МВК в пределе нулевой корреляционной длины фоновых полей следует модель струны КХД [13] (см. также обзор [14]). В этой модели используется закон площадей для петли Вильсона. Модель содержит только непертурбативный один параметр - натяжение струны а, определяемый феноменологически из наклона траекторий Редже ме-зонного спектра. Модель струны КХД успешно применялась для вычисления спектров мезонов [15], гибридов [16, 17], глюболов [18] и глюлампа (глюона, связанного со статическим источником в присоединённом представлении) [19]. В первой главе диссертации на основании работ [20, 21] данная модель применяется для изучения гамильтониана и адиабатических потенциалов гибридных мезонов. В модели гибридный мезон состоит из статических кварка и антикварка, и точечного динамического глюона, распространяющегося в фоновом поле.

Результаты, вошедшие во вторую главу данной диссертации - распределения полей статических кварка и антикварка, [22, 23, 26], в том числе для теории поля с конечной температурой [24], а также распределения полей и статический потенциал, определяющий энергию поля, для трёх статических кварков [22, 23, 25, 26] - получены в МВК с учётом конечной корреляционной длины Тд непертурбативных глюонных полей в вакууме.

Согласно ФТВ, взаимодействие пертурбативных глюонов с фоновым полем приводит к тому, что глюоны в петле Вильсона связаны массивной струной, которая перенормирует константу взаимодействия. В результате фоновая константа связи уже не имеет полюса Ландау. На больших расстояниях она "замерзает" (или насыщается). Поведение фоновой константы связи и связанное с ним поведение статического потенциала исследовано в работе [27], содержание которой вошло в третью главу диссертации.

Во всех задачах, рассмотренных в диссертации, кварки считаются бесконечно тяжёлыми и выполняют роль статических источников. Такие системы являются простейшими, и играют роль атома водорода в исследовании свойств мягких глюонов. Действительно, глюонные эффекты здесь не размываются эффектами, связанными с лёгкими динамическими кварками. Кроме того, для статических систем отсутствует проблема выделения движения центра масс. В такой постановке задачи непосредственное сравнение результатов с экспериментальными данными по спектроскопии адронов невозможно. Однако, статические кварки являются хорошим приближением для тяжёлых адронов. Особенно следует отметить, что полученные в первой главе диссертации результаты можно сравнить с гибридными возбуждениями чармония и боттомония.

Кроме того, для задач со статическими кварками получены достаточно точные результаты на решётке. Решеточная калибровочная теория, разработанная Вильсоном вскоре после появления КХД, представляет собой дискретизацию КХД, которая обладает естественной регуляризационной схемой - импульс обрезания в ней определяется размером шага решетки. Решеточные вычисления на компьютере являются симуляцией величин вакуумных средних операторов методом Монте-Карло, и поэтому они называются ещё численным экспериментом. Различные идеи и методы, разработанные в решёточных полевых теориях за последние десятилетия, вместе с развитием алгоритмов численного вычисления и прогрессом в компьютерных технологиях сделали эти теории одним из самых мощных средств вычисления непертурбативных характеристик КХД. В настоящее время имеется большое количество решеточных вычислений спектров частиц, статических и адиабатических потенциалов, а также распределения полей в кварк-антикварковой струне (см. обзор [28]). Результаты, полученные в диссертации методом МВК, успешно выдерживают сравнение с решёточными симуляциями (как и другие упомянутые результаты, полученные в модели струны КХД). Такие результаты диссертации, как распределения полей в барионе, ещё не проверены на решётке.

Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и трёх приложений. В первой главе изложен формализм модели струны КХД, и на его основании получен гамильтониан гибридного мезона со статическими кварками. Мы изучаем режимы полученного гамильтониана без учёта спина валентного глюона. Кроме того в этом разделе мы строим адиабатические потенциалы в полной модели струны КХД, которые согласуются с

Основные результаты диссертации опубликованы в научных журналах, доложены на двух секционных докладах на Сессии-Конференции отделения ядерной физики РАН-2000, на международной конференции Нас1гоп'2001 и на теоретических семинарах ИТЭФ.

В заключение я хотел бы выразить искреннюю благодарность моим научным руководителям Юлии Сергеевне Калашниковой и Юрию Антоновичу Симонову за внимательное отношение, руководство и помощь в работе, а также Алле Михайловне Бадалян, в соавторстве с которой были получены результаты, вошедшие в последнюю главу диссертации.

Я глубоко благодарен моим родителям за неоценимую поддержку и любовь.

Заключение

В диссертации в рамках метода вакуумных корреляторов решены три задачи, связанные с непертурбативными глюонными возбуждениями вакуума КХД и физическими свойствами струны КХД.

Получены следующие основные результаты:

1. В первой главе диссертации в модели струны КХД в пределе нулевой корреляционной длины вакуума получен гамильтониан гибридного мезона, состоящего из кварка, антикварка и валентного глюона. Изучены без учёта спина глюона режимы полученного гамильтониана: потенциальный режим, работающий до расстояний между кварком и антикварком Л ~ 1 Фм, квазиклассический режим больших значений А проекции орбитального момента глюона на кварк-антикварковую ось, и режим малых колебаний при больших Я. Для квазиклассического режима и режима малых колебаний построены адиабатические потенциалы в сравнении с потенциалами струны Намбу-Гото. Показано, что квазиклассический режим обладает асимптотикой, близкой к струне Намбу-Гото; различие между ними объясняется различием рассматриваемых струнных конфигураций. В режиме малых колебаний поправка к линейному потенциалу конфайнмента при больших Я пропорциональна Я-1/3, а на промежуточных расстояниях при больших А существенную роль играет член ~ А /К Получен гамильтониан струнной поправки к потенциальному режиму. Вычислены адиабатические потенциалы в потенциальном режиме с учётом цветового кулоновского взаимодействия и спина глюона, и показано, что они хорошо согласуются с решёточными данными.

2. Во второй главе с учётом конечной величины корреляционной длины фоновых полей в вакууме Тд в билокальном приближении метода вакуумных корреляторов получены распределения полей в мезонах и барионах. Показано, что на больших расстояниях между кварками образуется струна с профилем = 2а(1 + \х[Тд\) ехр(— \х/Тд\). Струна в барионе является суперпозицией трёх мезонных струн, роль антикварка для которых играет струнный узел. В области струнного узла поле подавлено, и степень его подавления зависит от конфигурации кварков. Наибольшее подавление полей происходит в конфигурациях, близких к равностороннему треугольнику, а наименьшее - в кварк-дикварковой конфигурации.

В этой же главе вычислен статический потенциал в барионе (энергия глюонного поля). Отличительной особенностью потенциала является рост его наклона на промежуточных расстояниях, вследствие подавления полей в центре бариона, до значения Зет. Показано, что потенциал в конфигурации равностороннего треугольника хорошо согласуется с решёточными данными. Исследована зависимость потенциала от конфигурации кварков при фиксированной полной длине струны. Показано, что наиболее энергетически выгодной является конфигурация равностороннего треугольника, а конфигурация трёх кварков, расположенных вдоль одной линии, в которой один кварк находится посередине двух других, более выгодна, чем кварк-дикварковая конфигурация.

Кроме того, в этой главе на основании МВК для теории с конечной температурой изучены поведение глюонного конденсата в области перехода деконфайнмента и распределения полей системы кварка и антикварка в фазе деконфайнмента. Продемонстрировано разрушение струны фазовым переходом деконфайнмента. Полученное поведение глюонного конденсата может объяснять пик "неидеальности" непосредственно за переходом деконфайнмента, полученный на решётках. Параметры корреляционных функций определены фитированием решёточных данных.

3. В третьей главе диссертации исследовано поведение константы сильной связи вследствие влияния фоновых непертурбативных полей в вакууме КХД на распространение динамических глюонов. Показано, что двухпетлевое приближение является хорошим приближением для константы связи. Сравнивается поведение фоновой константы связи и константы связи стандартной теории возмущений. Показано, что стандартная теория возмущений становится неприменимой для вычисления константы сильной связи уже на расстояниях г > 0.05 Фм. При г > 0.4 Фм фоновая константа приближается к величине замерзания. В этой области оправдано применение феноменологического корнельского потенциала. Показано, что в области 0.05 Фм < г < 0.1 Фм разность статических кулоновских потенциалов в фоновой и стандартной теориях возмущений является линейной функцией с наклоном ~ 1 ГэВ2. Суммой фонового кулоновского потенциала и линейного потенциала с наклоном а = 0.2 ГэВ2 описано поведение статического кварк-антикваркового потенциала, вычисленного на решётке, в области малых расстояний.

1. F.J.Yndurain, The Theory of Quark and Gluon Interactions, Springer-Verlag, 1999. H.D.Politzer, Phys.Rev.Lett. 30, 1346 (1973);

2. D.J.Gross and F.Wilczek, Phys.Rev.Lett. 30, 1323 (1973); Phys.Rev. D8, 3635 (1973), и D9, 980 (1974).

3. A.De Rujula, H.Georgi, and S.L.Glashow, Phys. Rev. D12, 147 (1975); S.N.Gupta and S.F.Radford, Phys.Rev. D24, 2309 (1981) and D25, 3430 (1982).

4. M.A.Shifman, A.I.Vainshtein and V.I.Zakharov, Nucl. Phys. B147, 385 (1979) and Nucl. Phys. B147, 448 (1979)

5. V.A. Novikov, M.A. Shifman, A.I. Vainshtein, and V.l. Zakharov, Sov.J.Nucl.Phys.27, 274 (1978), Yad.Fiz.27, 514, (1978).

6. M.B.Voloshin, Nucl.Phys. B154, 365 (1979) и Ядерная Физика 36, 143 (1982); H.Leutwyler, Phys.Lett. B98, 447 (1981).

7. Yu.A.Simonov, S.Titard, F.J.Yndurain, Phys. Lett. B354, 435 (1995).

8. H.G.Dosch, Phys.Lett. B190, 177 (1987); H.G.Dosch and Yu.A.Simonov, Phys.Lett. B205, 399 (1988); Yu.A.Simonov, Nucl.Phys. B307, 512 (1988).

9. A.Di Giacomo, H.G.Dosch, V.I.Shevchenko and Yu.A.Simonov, hep-ph/0007223. Ю.А.Симонов, УФН 4, 337 (1996).

10. Yu.A.Simonov, in: Lecture Notes in Physics, v.479 p.139 (1996), Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg; Phys.At.Nucl. 58, 107 (1995).

11. B.S.De Witt, Phys.Rev. 162, 1195 (1967) and Phys.Rev. 162, 1239 (1967); J.Honerkamp, Nucl.Phys. B48, 269 (1972);

12. G.'tHooft, Nucl.Phys. B62, 44 (1973);

13. G.'tHooft, Lectures at Karpacz, Acta Univ. Wratislaviensis 368, 345 (1976); L.F.Abbot, Nucl.Phys. B185, 189 (1981).

14. A.Yu.Dubin, A.B.Kaidalov, and Yu.A.Simonov, Phys.Lett. B323, 41 (1994); Phys.At.Nucl. 56, 1745 (1993).

15. Yu.A.Simonov, Lectures at the XVII International School of Physics, Lisbon, 1999, hep-ph/9911237.

16. Yu.S.Kalashnikova, A.V.Nefediev, and Yu.A.Simonov, Phys.Rev. D64, 014037 (2001).

17. Yu.A.Simonov, in Proc. of Workshop on Physics and Detectors for DA<£NE, Frascati, 399 (1991);

18. Yu.A.Simonov, in Proc. of HADRON'93 Conference, Como, 2629 (1993).

19. Yu.S.Kalashnikova and Yu.B.Yufryakov, Phys.Lett. B359, 175 (1995); Phys.At.Nucl. 60, 307 (1997).

20. A.B.Kaidalov and Yu.A.Simonov, Phys.Atom.Nucl. 63, 1428 (2000); A.B.Kaidalov and Yu.A.Simonov, Phys.Lett. B477, 163 (2000).

21. Yu.A.Simonov, Nucl.Phys. B592, 350 (2000).

22. Yu.S.Kalashnikova and D.S.Kuzmenko, Vibrating the QCD string, Yad.Fiz. 64, 1796 (2001); hep-ph/0006073.

23. D.S.Kuzmenko and Yu.A.Simonov, Field distributions in heavy mesons and baryons, Phys.Lett. B494, 81 (2000).

24. Д.С.Кузьменко и Ю.А.Симонов, Струна КХД в мезонах и барионах, ЯФ 64, 110 (2001), hep-ph/0010114.

25. D.S.Kuzmenko and Yu.A.Simonov, Finite temperature correlation functions, Phys.Atom.Nucl. 64, 1887 (2001).

26. D.S.Kuzmenko and Yu.A.Simonov, Triangular and F-shaped hadrons in QCD, препринт ИТЭФ N7 (2002), hep-ph/0202277.

27. Д.С.Кузьменко, Распределение полей и статический потенциал в барионе, препринт ИТЭФ N6 (2002).

28. A.M.Badalian and D.S.Kuzmenko, Freezing of QCD coupling affects the short distance static potential, Phys.Rev. D65, 016004 (2002).

29. G.S.Bali, Phys.Rept. 343, 1 (2001).

30. A.I.Vainstein and L.B.Okun, Sov.J.Nucl.Phys. 23, 716 (1976).

31. A.Donnachie and Yu.S.Kalashnikova, Phys.Rev. D60, 114011 (1999).

32. M.Foster and C.Michael, Phys.Rev., D59, 094509 (1999).

33. K.J.Juge, J.Kuti, and C.Morningstar, in Proc. of the Third Int. Conf. on Quark Confinement and the Hadron Spectrum, Jefferson Lab, 1998, hep-lat/9809015; in Proc. of LATTICE98, Boulder, USA, 1998, Nucl.Phys.Proc.Suppl. 73, 590 (1999).

34. R.P. Feynman, Phys. Rev. 80 440 (1950); ibid. 84 108 (1951); V.A. Fock, Izvestya Akad. Nauk USSR, OMEN, 1937, p.557; Schwinger, Phys. Rev. 82 664 (1951).

35. Yu.A. Simonov, Nucl. Phys. B307 512 (1988).

36. Yu.A. Simonov and J.A. Tjon, the Michael Marinov Memorial Volume, "Multiple facets of quantization and supersymmetry", Eds. M. Olshanetsky and A. Vainshtein (World Scientific).

37. Y.Nambu, Phys.Rev. D10, 4262 (1974).

38. L.Brink, P.Di Veccia, P.Howe, Nucl.Phys. B118, 76 (1977); Yu.S.Kalashnikova and A.V.Nefediev, Phys.At.Nucl. 60, 1389 (1997).

39. V.L.Morgunov, A.V.Nefediev, and Yu.A.Simonov, Phys.Lett. B459, 653 (1999).

40. E.S.Swanson and A.P.Szczepaniak, Phys.Rev. D59, 014035 (1999).

41. N.Isgur and J.Paton, Phys.Rev. D31, 2910 (1985).

42. D.Horn and J.Mandula, Phys.Rev. D17, 898 (1978) .

43. Yu.A.Simonov, Nucl.Phys. B324, 67 (1989);

44. A.M.Badalian and Yu.A.Simonov, Phys.Atom.Nucl. 59, 2164 (1996).

45. N.Brambilla, A.Pineda, J.Soto, A.Vairo, Nucl.Phys. B566, 275 (2000).

46. R.L.Jaffe, K.Johnson and Z.Ryzak, Ann.Phys. 168, 344 (1986).

47. T.J.Allen, M.G.Olsson, S.Veseli, Phys.Lett. B434, 110 (1998).

48. A.Di Giacomo, M.Maggiore, and S.Olejnik, Phys.Lett. B236, 199 (1990); Nucl.Phys. B347, 441 (1990).

49. L.Del Debbio, A.Di Giacomo, and Yu.A.Simonov, Phys.Lett. B332, 111 (1994).

50. P.Cea and L.Cosmai, Phys.Rev. D52, 5152 (1995).

51. Ch.Schlichter, G.S.Bali, and K.Schilling, Nucl.Phys. В (Proc.Suppl.) 42, 273 (1995); Phys.Rev. D51, 5165 (1995).

52. R.W.Haymaker, V.Singh, Y.Peng and J.Wosiek, Phys.Rev. D53, 389 (1996).

53. Ch.Schlichter, G.S.Bali, and K.Schilling, Nucl.Phys.Proc.Suppl. 63, 519 (1998); ibid 42, 273 (1995); Prog.Theor.Phys.Suppl. 131, 645 (1998).

54. M.Rueter and H.G.Dosch, Z.Phys. C66, 245 (1995);

55. H.G.Dosch, O.Nachtmann, and M.Rueter, Preprint HD-THEP-95-12.

56. C. Alexandrou, Ph. de Forcrand, and A.Tsapalis, nucl-th/0111046.

57. T.T. Takahashi et al., Phys.Rev.Lett. 86 18 (2001).

58. Yu.A.Simonov, JETP Lett. 54, 256 (1991); Yu.A.Simonov, JETP Lett. 55, 605 (1992); Yu.A.Simonov, Yad.Fiz. 58, 357 (1995);

59. Yu.A.Simonov, Lectures at the E.Fermi International School, Varenna 1995, preprint ITEP-37-95;

60. E.L.Gubankova and Yu.A.Simonov, Phys.Lett. В 360, 93 (1995).

61. A.Di Giacomo, E.Meggiolaro and H.Panagopoulos, preprint IFUP-TH 14/96, hep-lat/9603018.

62. Yu.A.Simonov, Письма в ЖЭТФ 71, 187 (2000), hep-ph/0001244; V.I.Shevchenko and Yu.A.Simonov, Phys.Rev.Lett. 85, 1811 (2000).

63. G.S.Bali, Nucl.Phys. В (Proc.Suppl.) 83, 422 (2000).

64. M.Campostrini, A.Di Giacomo and G.Mussardo, Z.Phys. C25, 173 (1984); A.Di Giacomo and H.Panagopoulos, Phys.Lett. B285 , 133 (1992);

65. A.Di Giacomo, E.Meggiolaro and H.Panagopoulos, Nucl.Phys. B483 , 371 (1997).

66. Yu.A.Simonov, Phys.Rept. 320, 265 (1999).

67. Review of Particle Physics, Eur.Phys.J. С 15, 191 (2000).

68. A.Di Giacomo, E.Meggiolaro and H.Panagopoulos, preprint IFUP-TH 12/96, hep-lat/9603017.

69. F. Karsch, in QCD: 20 years later, eds. P.M.Zerwas and H.A.Rastrup, World Scientific, 1993; Nucl.Phys.Proc.Suppl. 83, 14 (2000);

70. S.Ejiri, preprint UTCCP-P-95, hep-lat/0011006.

71. S.P.Booth et.al. Phys. Lett. B294, 385 (1992); K.D.Born, E.Laermann, T.F.Walsh, and P.M.Zerwas, Phys. Lett. B329; 325 (1994).

72. G.S.Bali and K.Schilling, Phys. Rev. D47, 661 (1993);

73. G.S.Bali, K.Schilling, and A.Wachter, Phys. Rev. D56 2566 (1997).

74. SESAM collaboration, U.Glässner et.al. Phys. Lett. B383, 98 (1996), hep-lat/0002028; C.Bernard et.al., Phys. Rev. D62, 034503 (2000).

75. E.Eichten, K.Gottfried, T.Kinoshita, K.D.Lane, and T.-M. Yan, Phys.Rev.Lett. 34, 369 (1975);

76. E.Eichten, K.Gottfried, T.Kinoshita, K.D.Lane, and T.-M. Yan, Phys.Rev. D21, 203 (1980).

77. G.S.Bali, Phys. Lett. B460, 170 (1999).

78. Yu.A.Simonov, Письма в ЖЭТФ 57, 513 (1993); ЯФ 58 113 (1995).

79. A.M.Badalian and Yu.A.Simonov, ЯФ 60, 714 (1997).

80. Yu.A.Simonov, Phys.Atom.Nucl. 65, 135 (2002); hep-ph/0109159.

81. L.Susskind, Coarse grained QCD in R.Balian and C.H.Llewellyn Smith (eds.), Weak and electromagnetic interactions at high energy (North Holland, Amsterdam, 1977).

82. M.Peter, Phys. Rev. Lett. 78 602 (1997); Nucl. Phys. B501, 471 (1997).

83. Y.Schröder, Phys. Lett. B447, 321 (1999); Nucl.Phys.Proc.Suppl. 86, 525 (2000); Ph.D. thesis, DESY-THESIS-1999-021.

84. A.Billoire, Phys. Lett. B92, 343 (1980)

85. Particle Data Group, Eur. Phys. Jörn. С, 15, 85 (2000)

86. S.Capitani, M.Lüscher, R.Sommer and H.Witting, Nucl. Phys. B544, 669 (1999).

87. A.M.Badalian and B.L.G.Bakker, Phys. Rev. D62, 094031 (2000).

88. W.Marciano, Phys. Rev. D29, 580 (1984).

89. S.Godfrey and N.Isgur, Phys. Rev. D32, 189 (1985).

90. A.M.Badalian, Phys. Atom. Nucl. 63, 2173 (2000) (translated from Yad Fiz.) 63, 2269 (2000).