Топологическое строение комплексных проективных алгебраических многообразий с изолированными особенностями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИИ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ■ од -

На правах рукописи

НЕЦВЕТАЕВ Никита Юрьевич

ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ СТРОЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ПРОЕКТИВНЫХ ^ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ МНОГООБРАЗИЙ С ИЗОЛИРОВАННЫМИ ОСОБЕННОСТЯМИ

01.01.06 — математическая логика, ллгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург 1996 г.

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук В. А. Васильев.

доктор физико-математических наук,-профессор Н. Л. Гордеев,

доктор физико-математических наук, профессор А. С. Мищенко.

Ведущая организация: Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН.

Защита состоится 18 декабря 19!)(> г. и 13 час. на чассдашш диссертационного совета Д 06.4.Г>7.2!) по члшнте диссертаций на соискание ученой степени доктора наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная пл., д. 2.

Защита будет проходить по адресу: Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, д. 27, зал 311 (помещение ПОМИ).

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М, Горького Санкт-Петербургского государственного университета, расположенной по адресу: Санкт-Петербург, Университетская наб., д.

7/9.

Автореферат разослан 18 ноября 1996 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физико-математических

С. М. Ананьевс.кий

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Более 100 лет топология и алгебраическая гео-етрия развиваются в тесном контакте. В результате их взаимодействия зявились, например, теоремы Лефшеца и их обобщения в алгебраиче-сой геометрии, основные когомологические операции в топологии, значи-зльная часть теории характеристических классов и К -теории, теорема имана-Роха-Хирцебруха и ее обобщения.

Главной специфической областью этого взаимодействия является то-элогия комплексных алгебраических многообразий, занимающая про-ежуточное положение между алгебраической геометрией и топологией ногообразий и развивающаяся вместе с ними. Она состоит из общей теши, включающей в себя теорию Ходжа, теоремы лефшецева типа и т.п., структурной теории, охватывающей специальные классы комплексных тгебраических многообразий. (Отметим, что в последнее десятилетие эоизошел взрыв, связанный с открытием возможности существования гзличных гладких структур на алгебраических поверхностях, чем еще гз подтверждается важность той роли, которую играет топология ал-:браических многообразий, однако мы рассматриваем в первую очередь ногомерные многообразия.)

Вопросы, касающиеся топологии неособых многообразий, в послед-;е время интенсивно исследовались. Наиболее полно изучены неособые шерповерхности комплексных проективных пространств и регулярные злные пересечения (Браудер, Вуд, Кулкарни, Либгобер и другие; см. 1боты [18, 1, 13, 15, 16, 24, 12] а также [3] и приведенные там ссыл-Продолжение этих исследований и по возможности столь же полное эпологическое исследование более широких классов комплексных проектных многообразий — актуальная и остро стоящая проблема.

Что касается многообразий с особенностями, то, например, гиперпо-¡рхности и полные пересечения с изолированными особенностями (ГПИО ППИО) представляют собой классический объект алгебраической геоме-эии. Естественным современным фундаментом для их изучения являет-[ стремительно развившаяся в последние десятилетия локальная теория юбенностей (акад. В. И. Арнольд и его школа, Р. Том, Дж. Милнор,

Лоойенга, Эбелинг и многие другие) с огромной литературой.

О "глобальных" гомотопических и гомологических свойствах особь многообразий также получено большое количество результатов (по пов ду ГПИО и ППИО упомянем здесь в первую очередь работы Либгобера Димки (см. библиографию в [3]). Кроме того, имеются глубокие результ ты, использующие, в частности, теорию смешанных структур Ходжа, дающие, например, оценки количества особых точек: для гиперповерхн стей лучшие оценки принадлежат Варченко, а в случае поверхностей -Мияоке. Для полных пересечений подобные оценки следуют из последш результатов Стинбринка и Эбелинга.

На этом фоне явно не достает результатов о глобальной топологич ской структуре особых многообразий, прежде всего, гиперповерхностей изолированными особенностями. Изучение этой проблемы дает импул] и развитию дифференциальной топологии НЕособых многообразий (к; дифференцируемых, так и алгебраических).

Цель работы. Целью работы является (основанное на специал но разработанной дифференциально-топологической технике) тополог ческое исследование классов комплексных проективных алгебраическ! многообразий (в первую очередь — размерности большей двух) более о щих, чем неособые гиперповерхности и регулярные полные пересечет в комплексном проективном пространстве С. ч

Это, во-первых, неособые многообразия, следующие по сложности з дания за регулярными полными пересечениями,— такие, как детерм: нантальные многообразия, сечения проективных многообразий гиперп верхностями, нуль-многообразия алгебраических векторных расслоений т.д. Во-вторых, это — гиперповерхности в СР^ , имеющие только из лированные (например, квадратичные) особенности. (Совмещение двз указанных направлений обобщения представляется, в основном, техпич ской проблемой, и в настоящей работе такая цель не ставится.)

Некоторые более конкретные цели:

для неособых многообразий рассматриваемого типа найти поддают! еся вычислению инварианты (алгебро-топологической природы, иапр; мер гомотопические), определяющие (дифференциально-)топологическ1:

а;

в том числе, найти достаточные условия диффеоморфпости таких мно-эбразий;

продолжить топологическую классификацию регулярных полных пе-сечепий.

найти возможно более широкие условия, при которых топологический л гиперповерхности с квадратичными особенностями определен про-ейшими и вычислимыми инвариантами (такими как размерность, степь, количество особых точек, их расположение в проективном про-рапстве и т.д.),

дать при этих условиях возможно более конкретное и точное ( "явное") [юлогическое описание многообразия.

Научная новизна. В работе получены следующие новые результаты:

1. Доказано, что если неособое проективное многообразие регулярно дано системой уравнений, количество уравнений в которой "ненамного" евосходит его коразмерность, то это — полное пересечение.

2. Доказаны теоремы сокращения для разложения односвязных диф-ренцируемых многообразий в связную сумму специального вида.

3. Получены новые критерии диффеоморфиости односвязных диффе-:щируемых многообразий и неособых алгебраических многообразий, за-ииых тем или иным "конкретным" способом. Доказано,' что во многих гуациях дифференциально-топологический тип такого алгебраического огообразия определен чисто топологическими характеристиками зада-я.

4. Получен ряд новых результатов о топологическом строении двух ассов пеособых комплексных алгебраических многообразий, следующих сложности задания за регулярными полными пересечениями: сечений юсвязных проективных многообразий гиперповерхностями и полными "улярпыми пересечениями и детермииантальных многообразий.

5. Доказано, что если степень гиперповерхности с изолированными Ценностями достаточно велика (по сравнению с количеством и неновыми характеристиками особых точек), то ее группы гомологий устро-,1 стандартно.

6. Огшсано топологическое строение гомологически стандартной п перповерхности с квадратичными особенностями посредством ее разл< жения в связную сумму.

7. Дано прямое геометрическое объяснение функционального уравн« ния Хирцебруха для виртуальной сигнатуры, чем решена вторая част известной проблемы Тома-Хирцебруха.

Методы. В работе применяются методы алгебраической и диффере! циальпой топологии, теории особенностей и алгебраической геометрш применяется также теория целочисленных билинейных форм. Из cm циальных результатов теории комплексных проективных многообрази применяются теоремы лефшецева типа и оценки на число особенностей

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теорет! ческий характер. Основные результаты могут найти применение в дал) нейших исследованиях топологических свойств и строения комплексны и вещественных проективных многообразий, алгебраической геометрш дифференциальной топологии и теории особенностей, а также в други областях математики, где может понадобиться информация о тополоп ческом строении гладких и алгебраических многообразий.

Апробация работы. Основные результаты диссертации были дол< жены па следующих всесоюзных и международных конференциях:

XIX всесоюзная алгебраическая конференция (Львов, 1987);

Международная алгебраическая конференция памяти А. И. Мальце1 (Новосибирск, 1989);

"Бонн-Берлин" (Берлин, Свободный университет, 1990);

"Топология" (Обервольфах, 1991);

"Семестр Лобачевского'' (С.-Петербург, ММИ им. Л. Эйлера, 1992);

"Топологический симпозиум западного побережья" (Стэнфорд, 1993

Urn _ ^ . _ ^ _ /т - ,______/TV________... АПП -tr\r>,lV

-юиологии комплексных иСооеНностеи (ivuiindnU, чт1 ,

"Вещественные и комплексные особенности" (Ливерпуль, 1996);

Саратовские математические чтения памяти М. Я. Суслина (1989);

на научной конференции в СПбГУ, посвященной 30-летию ФМШ Is 45 при СПбГУ (1992);

«

на XXIX Научной конференции РУДН (1993);

в Математическом институте им. В. Л. Стеклова РАН на семинаре )д руководством акад. РАН И. Р. Шафаревпча (19<К>);

в МГУ па семинарах под руководством акад. РАН А. Т. Фоменко 996), проф. М. М. Постникова (1990), проф. А. С. Мищенко и проф. ). П. Соловьева (1996);

на С.-Петербургском городском алгебраическом семинаре им. Д. К. аддеева (1990);

на С.-Петербургском городском топологическом семинаре им. В. А. эхлина (1988-1993);

в университетах Германии на семинарах под руководством проф. Э. огта (Берлин, Свободный университет, 1990, 1994); проф. X. Цишанга юхум, 1991), проф. Гекльбери (Бохум, 1991); проф, Э. Эно (Эссен, 1991), на общефакультетских семинарах (Гёттинген, 1990; Ганновер, 1994);

в университетах США на семинарах под руководством проф. А. Либ->бера (Чикаго, Иллинойский, 1993), проф. Акбулута (Лэнсинг, Мнчи-1НСКИЙ, 1993), проф. Дж. Левина (Бостон, Брэндайс, 1993).

на семинаре в Страсбургском университете (1996);

на следующих школах-конференциях:

XIII Школа по теории операторов (Куйбышев-Астрахань, 1988);

XXII Воронежская зимняя математическая школа (1989);

III Сибирская школа "Алгебра и анализ" (1989);

XIV Школа по теории операторов (Новгород, 1989);

IV Саратовская зимняя школа по теории функций (1990);

XI и XII Зимние школы "Геометрия и физика" (Срнп, ЧССР, 1991, 192);

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в цютнх автора 1-24, перечисленных в конце автореферата.

Объем и структура диссертации. Диссертация содержит 220 стра-щ машинописного текста и состоит из введения, десяти глав, приложе-1Я и списка литературы из 98 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

1. Способы задания неособых алгебраических многообразий,

Самым естественным, на первый взгляд, является задание систем! уравнений. Удобно потребовать, чтобы задание было регулярным в с; дующем смысле.

Пусть X С СР^ — многообразие размерности и . заданное к; множество, системой I однородных алгебраических уравнений

=0,...,Я(Х1,...,Хлг) = 0 (

степеней с1\,.. . , . Будем говорить, что это задание регулярно, ее; система не имеет особенностей на X , то есть

УРеХ: тк\\{дРг!дХ^{Р)\\ = N - п.

Разница между регулярным заданием и заданием как множества вес ма существенна. Так,'на сегодняшний день открытым остается класс ческий вопрос: всякую ли неособую неприводимую (т.е. связную) алг браическую кривую в (О3 можно задать, как множество, системой уравнений. (Тот же вопрос для кривых в С'! решен положнтельнс В то же время, оказывается, не всякую такую кривую можно регуляр1 задать даже тремя уравнениями.

В СРи всякое неособое многообразие (и, более общим образом, вс кое алгебраическое множество) можно задать как множество системс N уравнений [4]. В то же время не всегда возможно регулярно зада! неособое многообразие N уравнениями (ср. [8]). Правда, число N -критическое, так как N+1 уравнениями можно регулярно задать люб( подмногообразие в Сры .

Регулярные полные пересечения. Пусть X С СР^ .— многообр; зие размерности п , регулярно заданное системой N — п уравнений, т. число уравнений равно коразмерности многообразия X , и пусть степе? этих уравнений равны с1\,..., (¿дг_71 . Тогда X называется регулярны полным пересечением мулыпистепени {(1\ , <¿2 , •■• , ск) (легко в; деть, что с^Х = <¿1 • . . . • ).

Мультпстепепь регулярного полного пересечения определена одпознач-с точностью до перестановки своих компонент.

Кроме того, X определено числами di, ... ,di с точностью до диф-оморфпзма (и даже дпффеотошш).

Напомним некоторые хорошо известные основные факты топологии иных пересечений (ср. [13, 15, 16, 3]). Из теоремы Лефшеца о гипер-оских сечениях следует, что если п 2 , то многообразие X одно-¡зпо, и что HiX = НгСР11 , если i ф п . Группа НпХ свободна, иг ее известен (ср. [18]). Известны также сигнатура sign X (если п гпо) (ср. [18, 14]) и инвариант Кервера (если п нечетно) многообразия (см., например, [1}).

Если н нечетно, то X диффеоморфно связной сумме нескольких ¡емиляров Sn х S'1 и многообразия Xi с Нп Xi = Z © Z или . Последняя группа может быть сделана тривиальной, если инвариант рвера не определен или равен 0 . В этом случае Х\ диффеоморфно эучениому удвоению (т.е. результату склейки (по некоторому диффео-рфизму края) двух экземпляров) некоторого расслоения на диски Z?'1"1"1 ц С P(«-D/2 . Если тг четно и n ^ 4 , то X диффеоморфно связной лме нескольких экземпляров S'n х Sn и многообразия с п -м числом тти, равным | sign X — 1| + 1 . Одновременно, за исключением того /чая, когда I = d\ = do = 2 , многообразие X PL-гомеоморфно связ-1 сумме (п — 1) -связного почти параллелизуемого PL-многообразия и .-многообразия с п -мерным числом Бетти, меньшим 6.

2. Критерии полных пересечений.

Результаты топологии регулярных полных пересечений и теоремы |)шецева типа подсказывают такое направление исследования: изучать юлогические свойства проективных многообразий, заданных "неболь-гм" числом уравнений. Однако оказывается, что, по крайней мере, в /чае регулярного задания такие многообразия часто с необходимостью 1яются регулярными полными пересечениями, и, таким образом, мы получаем никаких новых объектов.

. (Теорема II.3.2). Пусть (пеособое) п -мерное многообразие X в С PN "Улярпо задано при помощи р уравнений. Пусть выполнено одно из

следующих неравенств:

(1) п < | (/V — ,

(2)

Если р ^ N . то • (1-2 • . .. ■ (1Р ■ Если, кроме того, ¡) ^ п + 1

то X является регулярным полным пересечением, регулярно заданны, некоторыми N — п из исходных уравнении, а остальные уравнения явл} гатся их следствиями.

Это существенное обобщение результата Фальтипгса [5] (и одной не зависимо и одновременно полученной теоремы автора, см. работы 1 и 2 Первое утверждение теоремы позволяет предположить, что ее вторе утверждение справедливо п при N ]> > п + 1 .

3. Диффеоморфность и стабильная диффеоморфность одне связных четномерных многообразий.

Определение. Связную сумму Л-/#р(5" х 5") многообразия Л/ ра' мерности 2п и р экземпляров БпхЗп назовем его р -й сшабилизащ ей. Многообразия Л/ и Л/' называются стабильно диффеоморфным'1 если они обладают диффеоморфными стабилизациями:

М#а(Ь,п х 5П) = М'#Ь(Б'1 х Б'1).

Назовем многообразия М п М' строго стабильно диффеоморфньш если порядки этих стабилизации совпадают: а = Ь .

Определение. Назовем многообразие А! стабильным, если ему дис| феоморфпо всякое строго стабильно диффеоморфпое ему многообразие.

3.1 (Теорема III.1.1). Односвязпые (Ак + 2) -мерные многообразия ст; бильпы.

Другими словами, если два односвязных многообразия размерност Ак + 2 строго стабильно диффеоморфпы, то они и диффеоморфпы. Эт же верно для многообразий размерности Ак > 4 , в одно из которы вкладывается 5" х Б'1 с выколотой точкой:

.2 (Теорема III. 1.2). Первые стабилизации олносвязиых многообразий пзмерностп Ак > 4 уже стабильны.

Как покачали и дальнейшем Хэмблтоп и К рек (!)] (ср. [12]), вторая ста-нличация многообразия с конечной фундаментальной группой стабильна.

Соотношение между днффеоморфностыо и строгой стабильной диф-юоморфпостыо вызывает особый интерес потому, что, в отличие от диф-1еоморфности, стабильная диффеоморфность двух многообразий часто арантируется выполнением некоторых легко проверяемых условий, в ом числе и в алгебраической ситуации (см. ниже).

Хотя для односвязных многообразий эти понятия тесно связаны, (как го демонстрируют вышеприведенные результаты), в случае размерно-ги, кратной 4, они, как легко видеть, не равносильны. Естественный онтекст для постановки вопроса о связи между ними дается нормальной эрдантностью.

4. Нормальные отображения и нормальная бордантность.

Пусть X — клеточное пространство, £ — ориентированное век-орное расслоение над X , и пусть М — многообразие со стабильным ормальным расслоением .

Нормальньш отображениел1 /: (М,и) —> (Х,£) называется непре-ывное отображение /: М —» X , накрываемое послойным изоморфиз-ом расслоений и —» £ . (Отметим, что мы не требуем, чтобы X бы-э пространством Пуанкаре, и / не обязательно (и, чаще всего, не) зляется "отображением степени 1".) Нормальная бордантность между эрмальными отображениями и нормальная бордантность относительно эая определяются естественным образом.

В дальнейшем X предполагается односвязным. Пусть А/о , М\ - компактные многообразия размерности 2п и /г : (Л/,, иг) —> (Х,£) , = 0, 1 , — нормально бордантные те\дМг нормальные отображения I частности, фиксирован диффеоморфизм ЭМо —> дМ\ ). Пусть й = (хкНпМа - гкЯ„Л'Л) ^ 0 .

Мы предполагаем, что /о , /1 и. -связны.

В таком случае, в силу теоремы Фридмана-Крека [0, 11], (ср. [12]),

многообразия Mq и М\ стабильно диффеоморфны. Отсюда, в сш наших теорем сокращения, получаем следствия.

4.1 (IV.1.3). Пусть п нечетно. Тогда

Mo —rel Э Mi#fi(S'1 X S").

В частности, если rk HnAio — rk //,, A/j , то Л/ц =!eio -Л'/i .

В случае замкнутых многообразий это теорема Фридмана [6, 7].

4.2 (IV.1.4 и Теорема IV.1.5). Пусть п четно, п -ф 2 . Если Ь > 0 , т

Mo ^relВ Mi#6(Sn xSn).

Если же 6 = 0 , т.е. ткНпМо = гк.НпМ\ , то

Mo#S"1 х S" Srei0 M!#5" х S'\

Кроме того, если найдутся классы u,v € ker/ц^"' с и2 — 0 и ш; = 1 то М0 —rel a Ml •

Лефшецевы нормальные отображения и подмногообразия. Часть свойств комплексных алгебраических многообразий, используемы при их топологическом изучении, удобно выделить в следующем опрел лении.

Определение. Пусть М — замкнутое многообразие размерности 2 и /: (М, и) —> (Х,£) — нормальное отображение. Назовем отображеш / лефшецевым, если оно п -связно и сужение формы пересечений к группу ker torsion невырожденно.

Пусть W — гладкое связное ориентированное замкнутое 2п -мернс подмногообразие гладкого связного ориентированного замкнутого 2m мерного многообразия V . Будем называть (V, IV) лефшецевой парой, W — лефшецевым подмногообразием многообразия V . если включеш VV <—* V является лефшецевым бордизмом (для некоторого расслоения над Ш).

3 (Теоремы IV.1.7 и IV.1.8). Пусть, в предыдущих обозначениях, п ■тпо, п ф 2 , и многообразия Л/о , A/i замкнуты, пусть отображения , fi лсфшеневы, пусть rk 11пМс\ = rk IIn Mi и пусть Tors НПХ = (Tors HnMi) . Тогда всякая изометрия (р , делающая коммутативной гаграмму

НПМ()/torsion-------> H71Mq/torsion

/»,. \ ^ii,. НПХ/ torsion,

ализуется диффеоморфизмом g: Mq —> М\ . (Этот диффеоморфизм >жет быть сделан нормальным и выбран таким, чтобы fi о g ~ /о ). Если рыполнеио неравенство

гк НПМ{ ^ 2 гк НПХ + 2,

кроме того, квадратичный Z -модуль ker /q*^"' знакопеопределен, то комая изометрия </> заведомо существует. В частности, многообразия ) и М1 диффеоморфпы.

Первая часть этой теоремы при дополнительном (и весьма ограничи-пьном) условии ушшодулярпости сужения формы пересечений на груп-кегУ»torsion была.доказана Фридманом [6].

5. Применения.

У вышеприведенных результатов имеется ряд приложений. Среди фферешдаальпо-топологических упомянем здесь почти канонические про-разы [17] и, как частный случай, туго натянутые подмногообразия ко-змерности 2 [23, 6, 7]. В алгебраической геометрии мы попадаем в повия наших теорем, когда рассматриваем нуль-многообразия обиль-[X расслоений и (при некоторых дополнительных ограничениях) про-разы подмногообразий проективного пространства при голоморфных эбражениях в него неособых многообразий (см., например, [22]). Основной пример лефшецевой пары — пара (проективное многообра-его сечение гиперплоскостью общего положения). Другие примеры

получатся, если заменить гиперплоскость гиперповерхностью, лнпепньп. подпространством или регулярным полным пересечением. Еще более об щий случай — многообразие пулей общего сечения обильного алгебрап ческого векторного расслоения.

Лефшецевость этих пар составляет утверждение классических теореи Лефшеца и их обобщений.

Особо стоит отметить применение наших результатов к проблеме диф феоморфпости полных пересечений разной мультистепепп.

5.1 (Предложение V.0.4). Все полные пересечения размерности сНт^, ^ ! за единственным исключением пересечения двух квадрик являются ста бильпыми многообразиями. Поэтому если два полных пересечения раз мерности с1пп£ ф 2 стабильно диффеоморфны, то одно из них являете, стабилизацией другого.

5.2 (Предложение V.6.3). Если векторные расслоения и

С>(с^) над СРм изоморфны (точнее, эквивалентны) как веще ственные векторные расслоения, то регулярные полные пересечения му. тистепени ((1х,... , (1Р) и (с1[ , ... , й'р) в СР1^ стабильно диффеоморф

11Ы.

Можно предположить, что это уже верно, если сужения расслоешп О(^) ''=1 0{(1'1) па СРы~т эквивалентны как веществен

ные векторные расслоения и <1г ■ . .. ■ с!р ~ ■ . .. ■ с1'р . (Высказапна гипотеза кажется правдоподобной благодаря результатам К. Травииг, до казавшей равносильное утверждение при весьма специальных ограпиче ниях па мультистепепи [24] (ср. [12]).

6. Разложение многообразий в связную сумму.

Для упрощения формулировок ограничимся рассмотрением лефшеце вых пар, хотя все нижеследующее буквально переносится на случай леф шецевых бордизмов. Пусть И'2'1 — лефшецево подмногообразие мпогс образия V2"1 .

Если п четно, то билинейная форма Ви. , определенная формулой

Вш(и, V) = -и и и иго е Н2гпУ = Z {и,у £ Я"У/ Тогб),

где w 6 //-'" ~ V — когомологический класс, двойственный реализуемому W гомологическому классу,— симметрическая. Ее сигнатуру мы обозначаем через a(w) .

6.1 (Теоремы VI.2.1. А и VI.2.2.А). Пусть (V, W) — лефшецева пара. Если V односвязпо и n ^ 3 , то W диффеоморфно Wi#q(Sn х Sn) , причем b,i W{ ^ '2(jn V 4- 2 , если п нечетно, и

b„\V! ^ max{2gnV + 1 ,bnV+ | sign W — a(w)|},

если n четно (через gnV обозначено число образующих группы Hn V ). В обоих случаях q = (bnW — bnW\)/2 .

6.2 (Теоремы VI.2.1.В и VI.2.1.С). Пусть в условиях теоремы 6.1 число п нечетно. Пусть Нп V = О и Tors //,i-i V = О . Если инвариант Кернера многообразия W не определен или равен 0 , то оно диффеоморфно многообразию I l'i //: '-^р- (S" х Sn) , где W\ диффеоморфно скрученному удвоению многообразия с краем, гомотопически эквивалентного (n — 1) -мерному остову многообразия V (в его клеточном разбиении без п -

■ мерных клеток [21]).

6.3 (Теорема VI.2.2.В). Пусть в условиях теоремы 6.1 число п четно и

пусть

bnW-bnV > |signW-cr(w)|. (*)

Тогда многообразие W PL-гомеоморфно связной сумме \V2jfcB2 , где W2 — PL-многообразие с bnW? 2gnV + 6 , а В2 — почти паралле-лизуемое PL-многообразие, такое что В2 \ {pt} гомотопически эквивалентно букету bnW — bnW2 экземпляров S" .

В случае полных пересечений и гиперповерхностей проективного пространства получаем известные результаты [13, 15, 16].

7. Детерминантали.

Детперминантальное многообразие, или детерминантпалъ, типа (р, q)r в СPN — это множество общих пулей всех миноров ранга г некоторой матрицы (а^) размером рх q , составленной из однородных

форм а,у от N + 1 переменных. Степени форм а,; должны быть такими, чтобы все миноры матрицы (а;,) были однородными. При г = 1 в качестве иеособых детермппа^ален получаются в точности все регулярные точные пересечения.

В классической алгебраической геометрии рассматривался, в основном, случай линейных детермиианталей, когда все формы а^ первой степени, и случай детермпинптальиых кривых в СРл [19. 20]. Положим

N + (р + </ - г 4- 1)(г — 1) — рч.

Если

р + (1-2г + 2^ п ' ( * )

и матрица (аи) — общего вида, то линейная детермипапталь является иеособым многообразием комплексной размерности п в С РА' . Отметим также, что общие детермцпаптали типа (р, р+1),, в С Рл являются неособыми кривыми. Род их известен.

Нетрудно видеть, что при общем выборе форм Ь1д детермипапталь типа (р, с]),- в неособа и имеет размерность п тогда и толь-

ко тогда, когда неособа линейная детермипапталь этого тина. т.е. при выполнении неравенства ( * ). Ее дифференциально-топологический тип однозначно определен степенями форм Ъ^ (см. п. VII.1.2).

Если (/ ^ р , то группы гомологии неособой детермллантали типа (р, (/),• в размерностях меньших п , такие же, как у _ 1(0') х ХСРМ . В частности, во всех размерностях, кроме п , группы гомологии иеособой детер.мппаитали не зависят от степеней форм а1;- . Ранг п -мерной группы гомологии зависит от степеней форм полиномиально

(см. п. VII.2.1).

7.1 (Теорема VII.3.1). Общая детермипапталь типа {р,ц)Р диффеоморф-па лефшецеву подмногообразию одпосвязиого комплексного многообразия, имеющего такие же гомологии, как СР''-1 х СР^ . Таким образом, к детермипаптплям типа (р,д)п применимы теоремы 6.1-6.3.

8. Оценки количества особых точек гиперповерхности. Определение. Число Арнольда, Л(т, d) определяется по формуле

Л(и,,,1) = ,„„,) € Z'" : <Ща, < .

Как предположил Арнольд ц доказал Варченко, число изолированных особенностей у гиперповерхности степени d в С" + 1 всегда не превосходит Л(п + 1, ci) .

Пусть и четно. Обозначим через Xn(d) какую-нибудь неособую проективную гиперповерхность степени d. в

£рп+1

(например,гиперповерхность Ферма), а через b^(X,,(d)) и b~,(Xn(d) —положительный п отрицательный индексы инерции ее формы пересечений.

Следующее предложение носит вспомогательный характер.

8.1 (Теорема VIII.1.1). Если и четно, то при (и — 4)(с/ — 2) > 17 , (il, d) ф (6, 12) , выполнено неравенство

A(n + l,(i) 5$ mm{b+(Xn(d)) - 1 ,Ь~ (*„(</))}.

Доказательство довольно громоздко. Помимо комбинаторных рассуждений, оно использует компьютерный подсчет чисел Арнольда по явной формуле.

9. Топологическое строение гиперповерхностей с квадратичными особенностями.

В этой главе мы изучаем глобальное топологическое строение комплексных проективных гиперповерхностей с квадратичными особенностями (ГПКО). Если не оговорено противное, всюду предполагается, что tU

размерностьгггиперповерхности отлична от 2.

Пусть А С СГ"£_И —конечное множество, s := card (Л) —его мощность. Обозначим через 6n(A;d) множество всех ГПКО А' С €Р"+1 степени d с Sing AT = А . Нетрудно видеть, что G n(A-,d) является открытым по Зарискому (возможно, пустым) множеством в некотором проективном пространстве, а потому оно неприводнмо и связно. Отсюда

следует, что топологический тип ГПКО зависит лишь от ее степени п расположения особых точек, но не от конкретного выбора самой гиперповерхности.

Таким образом, мы имеем корректно поставленную задачу: для заданных п , А и d описать глобальное топологическое строение гиперповерхностей из &п(А',с1) .

С этой задачей проще всего иметь дело, если количество особых точек s не слишком велико, или степень не слишком мала или гиперповерхность в некотором смысле "типична" или "общего положения". Оказывается, что в таком случае топологический тип гиперповерхности определен простейшими возможными инвариантами, а именно размерностью, степенью и количеством особых точек. С другой стороны, описать топологическое строение того или иного объекта значит предъявить его топологическую модель, что не просто сделать уже для неособой гиперповерхности.

Пусть X С CPn+1 — неособая гиперповерхность степени d . Ее дифференциально-топологический тип определен числами п и d : X = Xn(d) .

Если п ф 2 , то Xn(d) допускает разложение в (дифференциальную) связную сумму вида

Xn{d) ~ Mn(d)#a(STl х 5"), где bn(Mn(d)) = 0 или 2, если п нечетно, и

bn(MTl(d)) - | signed)! < 5,

если п четно [13].

Из результатов гл. 3 следует, что многообразие Mn(d) определено однозначно с точностью до диффеоморфизма.

В окрестности каждой квадратичной особой точки существуют подходящие голоморфные координаты xi,x2,... , , в которых росток гиперповерхности задается уравнением "J^1 xf = 0 . Аффинный квадратичный конус в Cn+1 можно описать как результат стягивания в точку графика нулевого сечения в касательном расслоении п -мерной

сферы Sn . С другой стороны, это касательное расслоение изоморфно нормальному расслоению диагонали в Sn х Sn . Следовательно, окрестность квадратичной особой точки канонически (в естественном смысле) гомеоморфпа окрестности особой точки (т.е. точки, не имеющей евклидовой окрестности) пространства (Sn х S11 / Diagonal)., и, таким образом, это последнее может быть названо "компактной формой" квадратичной особенности. (Отметим, что здесь следует проследить за ориентацией. Всюду далее мы предполагаем, что многообразие Sn х Sn , в котором стягивается диагональ, ориентировано надлежащим образом.)

Определение. Назовем ГПКО X топологически стандартной, если она допускает разложение в (дифференциальную) связную сумму вида

X = Xn{d\s) = M(n;d)#(a - s)(S'1 х Sn)#s{Sn x 5"/Diagonal).

Очевидно, что топологический тип топологически стандартной гиперповерхности X определен числами dimX = n , degX — d и cai'd(Sing X) = s однозначно: X Xn(d\ s) ,

Как мы видим, топологический (и даже дифференциально-топологический) тип топологически стандартной особой гиперповерхности описан с той же точностью, что и тип нео'собой гиперповерхности, откуда и выбор термина.

Обозначения. Пусть А = {Pi,... , Ps} С CPn+1 . Определим число фп(А) = фп({Р\ , ■•• , Ps}) как наименьшую возможную степень такой гиперповерхности Y , что Pi являетдя изолированной особой точкой для Y при каждом г — 1,... ,-s ■

Если точки Pi,.. • , Ps находятся "в достаточно общем положении," то число фп{{Р\,. .. ,Р,}) зависит только от п и s , и мы обозначаем его через ф(п; s) .

9.1 (Теорема IX.0.1). Пусть А С CPn+1 , п > 1 ,— конечное множество. Если d > фп(А) , то любая гиперповерхность X € 6 n(A;d) топологически стандартна.

В частности, пусть фи(А) : = niin{(i_: fc>n(/l; d) ф 0} . Если d > фп(А) , то каждая гиперповерхность X G &n(A\il) топологически стандартна.

Следствие. Пусть X С СPn+l , n > 2 .— гиперповерхность степени ф 2 , с s квадратичными особенностями. Если X удовлетворяет одному из следующих условий:

(1) clegX > 2s ,

(2) degX > f/)„(Sing À') ,

(3) особые точки гиперповерхности ■ X находятся в достаточно общем положении и cleg X > ф(п\ s) ,

(4) особые точки гиперповерхности X находятся в общем положении (в обычном смысле) п (leg X ïï ^ (или, что эквивалентно, S ^ [<ltn;:f-I](7t + 2) ),

то она топологически стандартна.

Приведем еще две доказываемые по дороге теоремы, которым предпошлем одно определение.

Пусть X С CP't + 1 - гиперповерхность с квадратичными особенностями. Из теоремы Лефшеца о гннерилоском сечении следует, что если г ф n , ri + 1 , то ПгX = HiCP'1 . Пусть у — образующая группы H2X = Z . Если n четно, пусть h £ HnX — гомологический класс, двойственный по Пуанкаре классу у''1/2 .

Определение. Будем говорить, что гиперповерхность X гомологически стандартна, если выполнены условия (1—3):

(1) Tors НцХ = 0 ,

(2) H,l+1 X = Hn+1CP'L ,

(3) при четном n класс h € HnX неделим.

9.2 (Следствие к теореме IX.4.5). Пусть х с С рп+1 — гиперповерхность степени des квадратичными особенностями, и предположим, что имеет место один из следующих случаев:

(1) Особые точки Рг фиксированы и степень d достаточно велика: d >ф(щ {Pu P2,...,PS}) .

(2) Особые точки Р, находятся в достаточно общем положении и степень (I достаточно велика: сI > ср(п; а1) .

(3) Особые точки Р, п/юизволыгы и (I > 2.ч + 1 .

Тогда гппс/топсрхность X гомологически стандартна.

9.3 (Предложение IX.6.1). Пусть X С С/"1-1-1 — гомологически стандартная гиперповерхность степени Л с .ч квадратичными особенностями, и пусть выполнено одно из следующих трех условий (1-3):

(1) п нечетно,

(2) ?1 'четно, (п - Л)(с1 - 2) > 18 и (п, с1) ф (6, 12) .

(3) ?I четно, 71^4 и * ^ мт{Ь+(Хп{с1)) - 1,Ь-(Хп{с1))} .

Тогда X топологически стандартна.

В §1 мы обсуждаем понятие диффеоморфных особых гиперповерхностей, котоое позволяет нам сделать более точными наши утверждения о топологическом типе особых гиперповерхностей, а в §2 перечисляем некоторые факты о неособых гиперповерхностях, нужные для дальнейшего изложения.

Доказательство одной существенного технического утверждения, используемого при доказательстве теоремы 9.2. содержится в приложении.

10. Проблема Тома—Хирцебруха.

Мы рассматриваем следующую ситуацию. Пусть А/'1 - ориентированное многообразие. Каждый элемент группы //71_2(Л/; 2) однозначно с точностью до кобордизма представим ориентированным подмногообразием многообразия М . Для г ^ 1 , реализуя г классов подмногообразиями и беря пересечение, получаем отображение

рт- нп-г{м-, 2)х---х я„-2(л/; z)j -» «„-а,.

¿ раз

КомпЪзиция р°г с сигнатурным гомоморфизмом П,—► 2 дает нам так называемую виртуальную сигнатуру

ту: (Нп-2(М;'Щ)'-—> Ъ.

(Разумеется, t¡hO, если n — 2i ^ 4Ж. )

Вообще говоря, p°' не линейно, а /•/■" не полилинейны (в отличие от аналогичного отображения Hu-1 (М; Z) 1 —> Í2n_¿), что видно уже на уровне виртуальной сигнатуры тг . Нелинейность отображения т\ измеряется отображением r-¿ . Точнее, выполняется соотношение, принадлежащее Хирцебруху:

П (х + у) = тг(х) -f ti (у) - т3(ж, у, х + у), ( * )

которое и называется функциональным уравнением для виртуальной сиг-, натуры.

Исходное доказательство Хирцебруха основано на его известной формуле, выражающей сигнатуру многообразия через его L -род и основанной на принадлежащем Тому вычислении кольца . В 1953 г. Хир-цебрух и Том поставили вопрос о непосредственном геометрическом объяснении этого соотношения, см. [10].

10.1 (Теорема Х.0.1). Пусть Мп — ориентированное многообразие, и пусть х, у 6 НТ1_2(М, Ж) , w := х + у . Пусть классы x, y, w реализованы замкнутыми ориентированными подмногообразиями X, Y, IV , которые пересекаются трансверсалыю: пусть T'l~1' : = X П К П И' . Тогда

rV

существует расслоение ТхСР2 над Т , ассоциированное с некоторым С3 -расслоением ш , ТхСР2 = P(w) , так что для ориентированных классов кобордизмов мы имеем:

[IV] = [X] + [У] - [г'хСР2].

Отсюда вытекает соотношение ( * ), поскольку, как легко видеть,

sign(Tx'CP2) = sign(T) = г3(ж, у, х + у),

в силу мультипликативности сигнатуры в случае гомологически простых расслоений [2] .

Наше доказательство теоремы 1 вполне элементарно: оно основано на явной конструкции для многообразия W , имеющей алгебро-геометриче-ское происхождение. Она моделирует процесс возмущения объединения

двух дивизоров. (Эта же модель использовалась в гл. 9). Требуемая кобордаитпость при этом проверяется непосредственно, при помощи техники типа "режем-клеим".

Таким образом, теорема 10.1 дает вполне удовлетворительный ответ на вопрос Тома и Хирцебруха.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Browder W., Complete intersections and the Kervaire invariant, Lecture Notes in Math. 763 (1979), 88-108.

[2] Chern S. S., Hirzebruch F., Serre J.-P., On the index of a fibered manifold, Proc. Am. Math. Soc. 8 (1957), 587-596.

[3] Dimca A., Singularities and Topology of Ну per surf aces, Springer, 1992.

[4] Eisenbud D., Evans E. G., Every algebraic set in n -space is the intersection of n hijpersurfaces, Invent. Math. 19 (1973), 107-112.

[5] Faltings G., Ein Kriterium für vollständige Durchschnitte, Invent. Math. 62 (1981), no. 3, 393-402.

[6] Freedman M. H., Uniqueness theorems for taut submanifolds, Pacific J. _ Math. 62 (1976), 379-387.

[7] Freedman M., Surgery on codimension 2 submanifolds, Memoirs Am. Math. Soc., vol. 12, issue 1, no. 191, 1977, pp. iv -93.

[8] Fulton W., Intersection Theory, Springer-Verlag, Berlin, New York, 1984.

[9] Hambleton I., Kreck M., Cancellation of hyperbolic forms and topological four-manifolds, Preprint MPI/91-37 (1991).

[10] Hirzebruch F., Some problems on differentiable and complex manifolds, . Ann. Math. (2) 60 (1954), 213-236.

[11] Kreck M., Duality and surgery: An extension of results of Browder, Novikov, and Wall about surgery on compact manifolds, Preprint, Mainz, 1985.

[12] Kreck M., Surgery and duality, Preprint Nr. 3, Johannes Gutenberg-Universität Mainz, 1996.

[13] Kulkarni R. S., Wood J. W., Topology of nonsingular complex hypersu-rfaces, Adv. Math. 35 (1980), 239-263.

[14] Libgober A., Some properties of the signature of complete intersections, Proc. Amer. Math. Soc. 79 (1980), 373-375.

[15] Libgober A. S., Wood J. W., On the topological structure of evendimen-sional complete intersections,Trans. Am. Math. Soc. 267 (1981), no. 2, 637-660.

[16] Libgober A. S.. Wood J. W.. Differcntiable sLrucLures on complete int.e-rsccLions. I, Topology 21 (1982), 469-482; II, Proc. Symp. Pure Math., Vol. 40, Singularities (2), 1983, pp. 123-133.

[17] Quirin F., Almost canonical inverse images, Comment. Math. Helvet. 49 (1974), no. 2, 168-174.

[18] Рохлин В. А.. Сравнения no модулю 16 в шестнадцатой проблеме Гильберта, Фупкц. анализ и прилож. 6 (1972), но. 4, 58-64.

[19] Room Т. G., The Geometry of Determinantali Loci, Cambridge Univ. Press, 1938.

[20] Semple J., Roth L., Introduction to Algebraic Geometry, Oxford Univ. Press, 1949.

[21] Smale S., On the sLrucLure of manifolds, Amer. J. Math. 84 (1962), 387-399.

[22] Sominese A. J., Van de Ven A., Homotopy groups of pullbacks of varieties, Nagoya Math. J. 102 (1986), 79-90.

[23] Thomas E., Wood J., On Ttiariifolds representing homology classes in codimension 2, Invent. Math. 25 (1974), no. 1, 63-89.

[24] Traving K., Zur Diffeorno'rphieklassifikation vollständiger Durchschnitte, Diplomarbeit., Mainz, 1985.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Нецветаев Н. Ю., О численных инвариантах некоторых неполных реггулярных пересечений в кн.: Тез. докл. XVI Всесоюзной алгебр, конф., Ленинград, 1981, с. 180.

2. Нецветаев Н. Ю., Топологические свойства некоторых неполных регулярных пересечений, Заи. науч. семин. ЛОМИ 122 (1982), 117127.

3. Netsvetaev N. Yu., On connected sum decomposilion of deterrninantali loci, в кн.: Тез. докл. Ленинградской межд. топологической копф., Ленинград,1982, с.113.

4. Нецветаев Н. Ю., Разложение комплексных проективных многообразий в связную сумму, Докл. Акад. Наук СССР 277 (1984), 299303.

5. Нецветаев Н. Ю., Об одном аналоге гипотезы Барта-Хартсхор'на, Тез. докл. XIX Всесоюзной алгебр, копф., Львов, 1987, с. 90.

6. Netsvetaev N. Yu., On certain topological properties of Lefschetz pencils, в кн.: Тез. докл. Бакинской межд. топологической конф., ч. 1, 1987.

7. Netsvetaev N. Yu., Projective varieties defined by small number of equations are complete intersections, Lecture Notes Math. 1346 (1988),

427-432.

8. Netsvetaev N. Yu., Incomplete intersections and degenerations of complete intersections, Lecture Notes Math. 1346 (1988), 433-453.

9. Netsvetaev N. Yu., Integer lattices' automorphisms and classification of projective hypersurfaces with isolated singularities, в кн.: Межд. алгебраическая конф. памяти Л. И. Мальцева. Алгебраическая геометрия, алгебраические методы в геометрии. Тез. докл., Новосибирск, 1989, с. 91.

10. Нецветаев Н. Ю., О апабилъной даффеоморфиоста односвязиых многообразий. в кн.: Матем. чтения памяти М. Я. Суслнпа. Тез. докл., Саратов, 1989, с. 111.

11. Нецветаев Н. Ю., О топологическом типе комплексных проективных гиперповерхностей четной размерности ^ 4 с изолированными особенностями, в кн.: XIV школа по теории операторов в функциональных пространствах, ч. 2, Новгород, 1989, с. 8G.

12. Нецветаев Н. Ю., Диффеоморфтость и стабильная ди.ффеолюрф-носгпь односвязных многообразий, Алгебра и анализ 2 (1990), по. 2, 112-120.

13. Нецветаев Н. Ю., К вопросу о диффеоморфностпи гладких многообразий, и кн.: Геометрия, топология и приложения. Межвуз. сб. науч. тр. М., 1990, с. 61-63.

14. Netsvetaev N. Yu., Dijfeomorphity criteria, for. simply connected manifolds, Preprint A 90-23 (1990), Freie Uiiiversitat Berlin, Berlin, 10 p.

15. Netsvetaev N. Yu., On the topological structure of hypersurfaces in CP'l+i with quadratic singularities ( n even, ^ 4 ), Topologie, Tagungsbericht 38/1991, Obevwolfach, 1991.

16. Netsvetaev N. Yu., Diffeornorphism criteria for smooth manifolds and algebraic varieties, Contemporary Math. 131, Pt. 3 (1992), 453-459.

17.' Нецветаев H. Ю., По поводу одной проблемы Толш-Хирцебруха., в кн.: Тез. докл. XXIX науч. конф. ф-та фпз.-матем. н ест. наук, ч. 2, Рос. ун-т дружбы народов, М., 1993, с. 44.

18. Netsvetaev N. Yu., Diffeornorphism criteria for simply connected even- ' dimensional manifolds, Adv. in Soviet Math. 18 (1994), 235-243.

19. Netsvetiiev N. Yu., Diffeomorphicity criteria for simply connected manifolds, Am. Math. Soc. Transl. (2) 163 (1995), 135-141.

20. Нецветаев H. IO., Теорема о сигнатуре и некоторые смежные вопросы, Зап. науч. семин. ПОМИ 231 (1995), 197-20!).

21. Нецветаев Н. Ю., О топологическом строении комплексных; гиперповерхностей с квадратичными особенностями,. Зап. науч. семин. ПОМИ 231 (1995), 210-214.

22. Netsvetaev N. Yu., Cobordism versions of the Hirzebruch functional equation for the virtual signature, Topology 36 (1996), 471-480.

23. Netsvetaev N. Yu., Homology and cohomology of hypersurfaces with quadratic singular points in generic position, Adv. in Math. Sci. 30 (1996), 229-233.

24. Netsvetaev N. Yu., Connected sum decomposition of complex projective hypersufaces with quadratic singularities, Preprint MPI 96-102 (1996), Max-Planck-Institut fur Math., Bonn, 20 p.