О когомологических свойствах гиперповерхностей в торических многообразиях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение

0. Торические многообразия и основные сведения о них 17 0.1. Определение симплициального торического многообразия

0.2. Однородные координаты на торических многообразиях.

1. Формула Ботта в торических многообразиях и некоторые комбинаторные тождества

1.1. Формула Ботта в проективном пространстве

1.2. Формула Ботта в торическом многообразии.

Первая формулировка

1.3. Формула Ботта в торическом многообразии.

Вторая формулировка.

1.4. Сравнение различных формул Ботта и некоторые комбинаторные тождества

1.5. Вычисление эйлеровой характеристики пучков с логарифмическими полюсами.

2. Полиномы Гильберта-Эрхарта

2.1. Полиномы Гильберта-Эрхарта и двойственность Серра

2.2. Связь коэффициентов полинома €р(и) с индексами пересечений.

3. Гиперповерхности общего положения и когомологическое приведение дифференциальных форм

3.1. Гиперповерхности общего положения в торической компактификации.

3.2. Когомологическое приведение понижение порядка полюсов).

Проблемы, рассматриваемые в диссертации, лежат на стыке многомерного комплексного анализа, алгебраической геометрии и комбинаторики.

Вычисление интегралов от рациональных дифференциальных форм на комплексном многообразии X с полюсами на гиперповерхности И приводит к изучению групп когомологий дополнения Х\Б. Интерпретация этих групп ко-гомологий как групп когомологий де Рама позволяет свести топологическую задачу к алгебраической благодаря фундаментальному результату А. Гротенди-ка. А именно, его так называемая "алгебраическая теорема де Рама" (см. [26]) утверждает, что когомологии неособого аффинного алгебраического многообразия могут быть вычислены по комплексу де Рама рациональных дифференциальных форм. Задача описания групп когомологий де Рама, т.е. задача нахождения размерности и рационального базиса этой группы является весьма актуальной и сложной.

Другой класс задач, связанный с когомологиями гиперповерхностей, состоит в изучении структуры групп когомологий Чеха пучков рациональных дифференциальных форм на многообразии с полюсами на гиперповерхности (дивизоре).

При вычислении когомологий квазиаффинных многообразий и при изучении пучков рациональных дифференциальных форм на многообразии возникает необходимость переходить к различным компактификациям. В последние годы большую популярность в качестве компактифицирующих многообразий получили торические многообразия (см. [14, 6, 15]). Эти многообразия являются естественным обобщением как аффинного пространства Сп, так и проективного пространства Рга. Понятие веера, кодирующего торическое многообразие, впервые появилось в работе М. Демазюра [22] при изучении действий алгебраических групп на рациональных многообразиях. Дальнейшее становление теории тори-ческих многообразий стимулировалось пионерскими работами А. Г. Хованского [13], В. И. Данилова [3], Д. Мамфорда и др. [36], Т. Ода [32] и другими. Торические многообразия составляют специальный класс: эти многообразия нормальны, они являются примерами многообразий Коэна-Маколея и все их особенности рациональны. Тем не менее, они являются хорошей "тестовой площадкой" для многих общих теорий.

Простая комбинаторная структура торического многообразия позволяет формулировать и решать многие задачи алгебраической геометрии комбинаторным путём (например, Кушниренко и Бернштейном была решена задача об индексе пересечения дивизоров общего положения в торическом многообразии на языке смешанных объёмов Минковского многогранников Ньютона, см. [2]) и, наоборот, решать комбинаторные задачи с помощью алгебраической геометрии (например, доказательство гипотез Макмуллена относительно чисел вершин, рёбер, граней и т.д. выпуклого симплициального многогранника было предъявлено Стенли с использованием так называемой трудной теоремы Лефшеца для тори-ческих многообразий, см. [37]). Определение торического многообразия с помощью комбинаторного объекта - веера делает все вычисления более конкретными и служит хорошим источником примеров. Этот подход позволяет связать многие понятия алгебраической геометрии и анализа (пучки, циклы и т.д.) с понятиями элементарной геометрии (многогранники, конусы и т.д.).

В диссертации решаются следующие задачи: вычисление размерности групп когомологий полного симплициального торического многообразия с коэффициентами в пучке дифференциальных форм с полюсами на обильном дивизоре Картье, выяснение вопроса, в каких торических компактификациях пространства Сп заданная аффинная гиперповерхность пересекает трансверсально бесконечно удалённые дивизоры, и задача о понижении порядка полюса рациональной дифференциальной формы (задача когомологического приведения) на неособом торическом многообразии.

Диссертация состоит из трёх глав и одной вводной главы. Опишем коротко содержание диссертации по главам.

В вводной главе приводится определение торического многообразия и однородных координат на торическом многообразии. Каждое торическое многообразие X = Х(Е) задаётся с помощью веера Е - набора выпуклых полиэдральных конусов в пространстве К/1. Конусу а £ Е ставится в соответствие аффинное торическое многообразие а всё многообразие X получается объединением иа по всем конусам а £ Е. Многообразие X является полным (компактным), если носитель веера Е совпадает со всем пространством 11п. Торическое многообразие X = Х(Е) называется симплициалъным, если каждый конус а веера Е порождается линейно независимым набором векторов. Подобно тому, как проективное пространство Рп реализуется как множество классов последовательностей ненулевых комплексных чисел z\, . ,zn+1 по отношению эквивалентности zh . , zn+1) - (Xz i, . , Azn+i), Л 6 C\{0}, полное симплициальноеторическое многообразие X — Х(£) изоморфно фактору

Х(Е) = U(Y,)/G(Y) открытого в топологии Зарисского множества UÇS) = Cd\Z(E), где Z(E) -объединение некоторых плоскостей в О* по действию алгебраической группы G(E).

В параграфе 0.2 приводится определение однородного координатного кольца многообразия X - кольца полиномов

S = 5(Е) = C[*i, каждая переменная Zi которого сопоставлена целой образующей V{ и тор-инвариантному дивизору Д - образующей группы DivX дивизоров Вейля на многообразии X. Кольцо S градуировано по степеням. Под степенью монома za = nii ZT понимается соответствующий класс дивизора deg za :=

У>А i=1 в группе Чжоу х(Х) многообразия X.

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

- получена формула для размерности групп когомологий Чеха полного сим-плициального торического многообразия с коэффициентами в пучке дифференциальных форм с полюсами на обильном дивизоре Картье;

- найдены новые комбинаторно-геометрические соотношения между числами целых точек в гранях симплициальных выпуклых многогранников;

- исследованы свойства р-го полинома Гильберта-Эрхарта и его связь с комбинаторной геометрией целых выпуклых многогранников и теорией пересечений;

- доказан критерий того, что замыкание неособой аффинной гиперповерхности в торической компактификации трансверсально пересекает все бесконечно удалённые дивизоры;

- доказана теорема о понижении порядка полюса дифференциальной формы старшей степени на полном симплициальном торическом многообразии.

Все полученные результаты являются новыми и могут быть использованы в комплексном и комбинаторном анализе, в алгебраической геометрии и математической физике.

Заключение