Минимальные модели Сулливана и гладкие дифференциальные формы многообразия тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА

тб ол

^ ^ МЬханиД^математический факультет

на правах рукописи

МИЛЛИОНЩИКОВ Дмитрий Владимирович

УДК 515.14:515.164

МИНИМАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ СУЛЛИВАНА И ГЛАДКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ МНОГООБРАЗИЯ

01.01.04 - геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1994

Работа выполнена на кафедре высшей геометрии и топологии механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель - академик РАН С. П. Новиков

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук В. М. Бухштабер

кандидат физико-математических наук, доцент Е. С. Голод

Ведущая организация - Институт математики Сибирского отделения РАН

^^ШЙ/ " 1994 едании Специализированного Совета №

Защита диссертации состоится

года в 16 час. 05 мин. на заседании Специализировй Д.053.05.05 при Московском государственном университете по адресу 119899, ГСП, Москва, Воробьевы горы, МГУ, мсханико-математичес-кий факультет, ауд. 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться б библиотеке механико-математического факультета МГУ (14 этаж).

Автореферат разослан " О " (Л&ХЛ'ОбУ/гЦ ■■ 1994 года.

Ученый секретарь Специализированного совета № Д.053.05.05, доктор физико-математических наук,

профессор В. Н. Чубариков

)

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОШ

Актуальность теш. Теория рационального гомотопического типа сформировалась в самостоятельную область алгебраической тополопш благодаря основополагающим работам Сулливана и Квиллена [ I 3, [ 2 ]. Теория Сулливана, которой посвящена- настоящая работа, представляется более простой и геометрически наглядной. Как известно, этот подход заключается в сопоставлении скмшшциальному комплексу ( шогооОразшэ Мп ) некоторой свободной дифференциальной алгебры над полек рациональных чисел, называемой минимальной моделью Суллизана , которая однозначно ( с точностью до изоморфизма ) определяет рациональный гомотопический пи симшшшклъвого комплекса ( многообразия Цп). Минимальная коде ль строится кццуктивно по алгебре рациональных полиномиальных дифференциальных форм, форм, определенных на .каздом- симплексе комплекса . (. триангуляции, ».¡зогообразия ) таким, образок, что коэффнцкенты являются рациональными полиномами координат, с соответствующими условиями их "склейки" на пересечения! сюттлексов. Алгебра когсмологий таких форм изоморфна рациональным :>огомологйям симшициальвого комплекса ( многообразия ). Отметим, что с точки зрения классической алгебраической тополопш алгебра таких форм дает реиение проблемы

[ I ] Sullivan D. Infinitesimal computations in topology // ШЕЕ. Publ. Hath. 1977, Y.47, P. 269-331. [ 2 ] Qaillen. Rational Hoir.Qtopy Theory // Ann. of Hath. 90 -(1969), P. 205-295 .

коммутативных рациональных цепей для симшшциальных комплексов.

Предложенная - Сулливаном конструкция сразу ке привлекла внимание шогих. исследователей.. Активно . .изучались вопросы, связанные как с внутренними проблемами этой теории так и с многочисленными приложениями : Делинь", Морган, Гриффите, Сулливан ( [ ■ 3 ] ) доказали форлалъкоааъ кэлеровых многообразий: рациональный гомотопический тип этих многообразий полностью определяется кольцом их -когомологий; Сулливан, Вигю-Пурье ([ 4 ]) вычислили минимальную модель пространства свободных петель одноезязного топологического пространства x, что позволило ем усилить теорему Громола-Майера о замкнутых геодезических ; Оказывается, что у многообразий есть лишь "два типа роста размерностей рациональных гомотопических групп: полиномиальный и экспоненциальный ( рационально эллиптические и рационально гиперболические многообразия ), в [ 5 ] используя это, Гроув и Гальперин получили ряд результатов об инвариантных, относительно некоторой Езо'-'огрли, геодезических на- римановом, многообразии.

' Многочисленные исследования, посвященные, если так мокко сказать, собственным проблемам . теории Сулливана, ее связям с

[ 3 ] Гркйитс Ф., Делинь П., Морган Дх., Сулливан Д. Вещест-ве1шая гомотопическая теория кэлеровых многообразий // ЛИ. 1984. Г. ЗЭ, вып. 5., С. 97-106.

[ 4 ] Sullivan S-, Yigue-Poirrier M. The homology theory of closed geodesic problem// Diif. Geon., 11 т.4 (1976), 633-644- . [ 5 ]' K.Grove,Halperin S., Contributions of rational homotору theory to global problems in geometry, IKES. Publ. Math. 1932, V.56, P.- 379-385.

подходом Квиллена, позволяют сегодня смотреть на разные эти подхода как на единую теорию рационального гомотопического типа. Остановимся на такой задаче аналитической теории, гомотопна,, как "проОлела голстотшчесни^ периодов" : для односвязного многообразия м с конечными числами Бегти задать конечный V р список интегралов дифференциальных форм ва и, задающих Оазис линейного пространства ( г ( м ) )*. Примером, послужившим для постановки такой задачи, является конечно Ее форлула Тайтхеда для инварианта Хопфа Н{ £ ) гладкого отобракения I : й3 —> 5г:

Ж М = | ?'( ш ) где

53

/ и = 1 , б» = ( и ) Бг

Решения этой проблемы могут быть предложены, к^к в рамках -теории Сулливана, так и при помощи итерированных штегралов Чена.

Формулы Сулливана, все з:е , представляются более естественными обобщениями формулы Уайгхеда, правда в подынтегральных выражениях стоят не обычные гладкие формы, а формы весьма специального вида' - рациональные гюлинолиальныэ форш. Такие формулы иозшо написать и при помощи гладких форм, но тогда придется , вообще говоря, отказаться ^от свойства целочисленности значений наших гомотопических штегралов.

С.П.Новиков, заметав неэффективность конструкции в рациональном случае, предложил строить рациональную минимальную модель непосредственно по алгебре гладких форм многообразия, используя в качестве рациональней структуры лишь целочисленный Оазис циклов многообразия [ 6 ], [ 7 ]. Процесс ( * ) такого

построения неоднозначен и может встречать, вообще говоря , препятствия. Поэтому возникли ( с 6 ] ) такие естественные задачи, которые и составили .цель работы.

Цель работы состоит в исследовании процесса построения моделей рационального гомотопического типа но алгебре гладких форм многообразия; в каком случае он не встречает препятствий; ошсать с точностью до деформации морфизмы вложений минимальных моделей в алгебру гладких форм; доказать рациональность значений гомотопических интегралов типа формулы Уайтхеда для инварианта Хопфа, вычисленных при помощи таких вложений.

Метода исследований. В диссертации используются метода гомотопической топологии, теории спектральных последовательностей и гомологической алгебры.

Научная новизна . Все основные результаты диссертации являются новыми и опубликованы в работах автора. Работа носит теоретический характер и мокет найти применение в алгебраической 'топологии,' 'то:;р.п; 'гладких многообразий и некоторых' вопросах "геометрии в целом Основные результаты диссертации следущие : I. Доказано существование ( п + к )-ступенного вложения минимальной модели рационального гомотопического тша многообразна! м*1 в алгебру вещественных гладких дифференциальных форм А*( н" * •

[ 6 ] Новиков С.П. Аналитическая теория гомотопий. Кесткость гомотопических; интегралов // ДАН СССР. 1985. Т. 283, & 5 С.1088-1091.

í 7 ] Новиков С.П. Аналитический обобщенный инвариант Хопфа. Многозначные функционалы // УМН. 1984. Т. 39, вып. 5. С. 97-106.

2. Алгебра реализована как свободная подалгебра в Л* ( мп х ). Доказана рациональность гомотопических периодов

такой реализации.

3. Построена спектральная последовательность для вычисления "пространства модулей" классов гомотошш влокений минимальной модели вещественного гомотопического типа, в Л* ( н11 * к® ).

4. Для формальных многообразий установлено взаимнооднозначное соответствие кезхду классами гомотопии вложений и

в А* ( мп х к® }, найдено достаточное условие продолжаемости эффективного процесса реализации в алгебре А*( Кп * к™ )

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на се;,«шаре по алгебраической топологии под руководством М.М.Постникова в Московском государственном университете, на конференции " Александровские чтения" ( г.Москва, 1990 г.), на международной конференции по топологии ( г.Москва, МГУ, 1990 г.).

Публикация. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [ I ], [ 2 ], приведенных в конце авторе(£ерата. Все работы выполнены без соавторов.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав, разбитых в обцей сложности на 10 параграфов, а также из списка цитированной литературы. Формулы, теоремы и прочее нумеруются в каждой главе отдельно, при ссылках на утверждения и формулы других глав впереди добавляется соответствующий • номер главы. ОйцкЗ объем диссертации 59 страниц. Библиография содержит 32 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕР2АНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обсуздается актуальность теш работы, дается обзор результатов, связанных с данным исследованием к приведен обзор содержания диссертации.

Первая глава является вводной к содержит, все необходимые определения и понятия, использованные в данной работе. Глава состоит.из 3-х параграфов.

Вторая глава состоит из четырех параграфов и посвящена, можно так сказать, теореме существования: исследуется возможность построения рациональной модели Сулливана, используя алгебру гладкихчвеиэственных фэрм многообразия , а также свойства гомотопических интегралов для такой реализации.

В § 2.1 изучается эффективный процесс построения ( * ) рациональней минимальной модели гладкого многообразия, предложенный С.П.Новиковым [ 6 ]. Напомним, что для построения рациональной ьсдэлй ' (Мп') необходимо рассматривать некоторую гладкую триангуляцию ы11 и определенную относительно нее алгебру Л* ( Кп, ® ), элементы которой заданы неявго к выглядят крайнэ сложно но сравнении-с Л* ( мп ). В работе С.Я.Новикова [ 7, ] приведен аЩюктивннй процесс ( * ) построения минеральной модели рационального гомотопического типа к шрфизма

-ф<а : Л>(кП> "" Л-СМ- ). Строго говоря, но алгобре Л* ( к11 ) строится некоторая. рациональная минимальная алгебра ( причем процесс ( * ) шевт встречать препятствия ) и морфнзм ф : -» Л* ( м11 ) такой, что интегралы форм из образа ¡¡Гн*^) с нк( мп,е ) будут рациональными на решетке циклов г ),

V к , а также ф*Нк( Яо ) ® к = КГ\ к ) - образ ф*Нк( ^ ) порождает все пространство м11, к ).

- 5 -

Предположим, что процесс ( * ) не встретил препятствий, и мы построили некоторую минимальную алгебру над о ( вместе с

• МОрфИЗМОМ, (¡> .), ДЛЯ КОТОРОЙ, СОГЛаСНО КОНСТРУКЦИИ . ( * ) а ® о? =

здесь Лд обозначает минимальную модель вещественного типа). Будет ли при этом существовать морфизм р: -» Л*рТ( йП<® )> индуцирующий изоморфизм когомологий ? Т.е. будет ли рациональная алгебра являться действительно лтилалъной моделью

■ рационального типа по определению ( от морфизма р нам нужно лишь его существование ) ? Вопрос этот важный,- т.к. ' из •жф1 » к = л в к не следует, вообще говоря, изоморфизма "\п 3 Лэг' ■ж01,,Л1ог ~ рэцкональнне модели. Таким обрззом, мы пришли к таким задачам :

1. Мохэл ли. .т построить процессов ( г ) алгебру ?

2. Если же удалось тюсщхллпь, Судет ли. ока минимальной моделью рационального тта ?

За^ачаппе. В работе рассматриваются только односвязние многообразия и'алгебры.

Рассмотри?.! л%т( !1п, о ) А* ( !1П, е) - естественное вложение рациональных форм в алгебру вещественных куссчнсгладких форм Уитни и морфизм А* (ы11,®), задандий минимальную

модель рационального гомотопического типа.

Теорена 2.1. Существует деформация о (голатопия) морфизма

р = % р: -у А* (Ы11, к) топая, что 1т ор с л* ( цп ).

Зигачаняе. Морфизм ор мокет быть получен при помощи ( * ), но явной процедуры для произвольного многообразия, вообще говоря, предъявить невозможно.

§ 2.3 ' посвящен, в общем-то, формальному вопросу о существовании влояения в алгебру А*( а" х к" ) . Морфизм ор

п 1

кз § 2.3 Судет лишь вложением для ® -« с м - элементов

1=г

степени вше п просто нет в алгебре Л* ( мп ). В [ 6 ] было предложено строить влояевие всей модели в алгебру Л*('НП х к™ ). здесь стоит уточнить-определения и рассмотреть : а) прямой спектр многообразий -

| ц11 х м11 х кк —> х К1, к < 1, к,1 е N | ,

где Кп х кк —► кп х к1, к < 1 - стандартное вложение :

в) индуцированный а) обратный спектр алгебр :

| Л*(МП х (ф*: л*(Мп х к1) — л*(ЕП х Кк), к 2 1 | ,

Определение 2 А. Алгеброй Л* ( к" х к® ) назовем предел обратного спектра алгебр в) :

А* ( мп x ет ) = к*. л* ( кп x кк )

" Обозначим через (ф*: Л* ( и11 * ею )' -» л* ('кп х к1') -стандартный предел проекций при к » .

Теорема 2.2. Существует вложение ф : ^ —» Л*( Кп х кш ) млниммъной лодели рационсиъгюго голстопаческого тлю. лногообраэия ып 6 алгебру Л*( м11 х ) такое , что

. . п+К

(с )*ф : .л Е° х г ) будет влохекигл. для © л .

1=2

Замечание. Тем самым, по определении, морфизм является ( п + к )-смупекш& Ьлохениел лшижиъной лодели -д^.

§ 2.4 посвящен проблеме гомотопических периодов. Построенные в § 2.3 морфизш геометрической реализации позволяют написать формулы для гомотопических интегралов, доказана

Теореиа 2.3. Значения голотопических интегралов Оля лорфизма реализации ф : —» Л* ( м11 * к00 ) является рационалъкылц числам!.

В третьей главе, состоящей из трех параграфов, рассматриваются вопроса, связанные с описанием гомотопических классов влокений ^ к в алгебру Л*( и11 х ). Известно, что ([ 3 ]) существует взаимнооднозначное соответствие между классами гомотопии [л^ , Л"(мп х к00)] и [л^, ] - мнокеством гомотопических классов автоморфизмов модели , причем последнее имеет естественнуй структуру группы 0.

Заиечанне. Мы рассматриваем только автоморфизмы ( вложения ) когомологически неподвихные -на залшутх оарозущих : /й = (3/, а = х а + фш а ( если « а - замкнутая образующая ).

В § 3.1 рассматривается 2-градуированная супералгебра дифференцирований минимальной алгебры л : "

со

л(л)=.®а(л)-. ( цег )

-со 4 ...

л ( л ) = ^ дифференцирования г степени д : ъл3 с л3*4 }. Суперкошутатор вводится по формуле:

[ т,. т2 ] = г, "гг - (-1 )аЪтг-а1, т^ л ), т£ е г>ъ( л )

Кроме этого, в л ) вводится структура дифференциальной градуированной алгебры - дифференциал 2 степени + 1 :

5= [й, ] : з ( л ) -» ® ,(1)

а а+1

В в ( л ) рассмотрим убывающую филшрацихз Р :

Я ( ) = ( Л ) => Р2^) (Л ) э Р1!) ( ) о ...

Ч . Ч Ч Ч1

где Р1®^ -л ) = | дифференцирования степени ц, грив, на |

Утверждение, фильтрация Р согласована с дифференциалом 5:

Замечание. Фильтрация Р,' вообще говоря, естественным • образом не согласована с суперкоммутатором .

Перейдем к подкомплексу ) с з>{ л ), л ) = © Ъ{ л ),

ч

.ж ) = д> ( >1 ), 2>0( л ) образовано

даЦйрещировашями, которые отображают замкнутые образующие « а в точные элементы из л.

Фильтрация Р комплекса х>{ л ) порождает фильтрации подкомплекса £>( л ) :

?рд( .л ) = Рря( м. ) п л ),

§ 3.2 рассматривая взаимнооднозначное соответствие между классами гомотопен [л^. Л* (мпхшт)] и л^], получаем как

следствие из цепочки лакм '[ I ]:

Теорему 3.1. Группа й классов голсжотт аЗяолорфизяов додели преЗставши в биде : С = ехр с/В, где с, - алгебра Ми. дифференидробакий г степени 0 лоОели какшг, что хс2 = <3т, т^ а = а с если а - залщрюя образующая ; Зля некоторого дшШеренцпрования 1 степени -1, профаитсризсванная по идеалу в дифференцирований вида г = «2 + сК, гЭе -дифференцирование ¿одели. ^ степени -1.

Теореыа 3.2. Дуот.ь ^ - форяалъноя алгебра. Тогда существует взсхшюодиознаиное соапвеяетгвиг хежЭу классами, голшагш. вложений Ь* * к"; ] и [л^ , Л*(кп * кт;3-

В § 3.3 удается построить такую спектральную последовательность, которая "вычисляет" алгебру С/В , вот ее и стоит принять за ''пространство модулей .вложений" ^ в алгебру

Л* ( м11 х кт ). Оказывается, что найденное в [ 6 ] . предпространство "модулей" К соответствует первому члену' е^1,4 этой спектральной последовательности :

Теореиа 3.3. Фильтрация подкомплекса з> ( -л ), индуцированная ' порождает спектральную последовательность:

Г ,ЕР.Ч ¿Р. Ч . ЕР+г.д-г+1 \

г ' г "г- /

со следующими свойствами :

( а ) Ер-? = КегсР-^ / 1?тйр-г,ч+г'-1 ;

Г+1 Г" Г

• ( Ь ) Ер'4 = %(л ) » лгР+С!, р + q * О ; ( О ) ЕР'4 = 1С < Л. )н£р+4( М ), р + Ч * О ,

Ер'~р = ( 1егГр)* » Нр( ), Гр - гололорфизл Туревича;

(д. ) Еш присоединен к Н* ( л ( м )) относительно

убывсхцей фильтрации.

!%*( з>( -н ) ) = 1т [ Н*( л )) — н* ( -Л ))]

( е ) пусть - литиальная лодель бедственного тхта

многообразия ип, <Нт ип = п < а , тогда Вт = Е , фильтрация

.1? является конечной, н1(5(л))= о ер,чС конечная сулиа,

р+ч=1 а

так как Е13'4 * О, лишь при О < гр + д < п, р!2 ). Алгебра

5 = н°( 2>"( л )) = е ер'4 как векторное пространство.

p+q=0 П

Следствие 3.1. Пусть К - формальное лногоойразие. Процесс ' ( if. ) построения лодели задаваемый элелетох а из

предпроспранства лодулей К = = «• ( ЯегГ )* ® нр( л^)

встречает препятствие тогда и только тогда, когда а нельзя.

t»t I

_ представить в вше а = а + а , где а лежит в прооОразе

П ® ЯелЗр,_р, а а - элелекп рациональной решетки; г р г

«>р ( ЯегГр)* ® Нр( ) с ( 2егТр>* ® Нр( ^ ).

Следствие 3.2. Пусть к - формальное лногообразие. Процесс ( 4 ) построения лодели ^ продолжается при любол выборе ф^*^ а ( xj а - незалкнутая образующая. ) тогда и только тогда, когда б£,-р = о- , при. любол значении г, а р = г,п..

Пример I. Пусть 2Г - 4-х-мервое замкнутое компактное односвазное многообразие, тогда процесс ( * ) не встречает препятствий, существует единственный класс гомотодии геометрической реализации в алгебре Л*( м11 х ш03 ).

¿втор выракает-благодарность своему научному руководителю . академику РАН С.П.Новикову за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Работа Выполнена при финансовой подцерже гранта Российского фонда фундаментальных исследований Л 94-01-01444.

пукшшда; аетора по так диссертадщ [ I ] Миллионщиков Д.В. Вложения минимальной модели а-гомото-пического типа в алгебру гладких форм Л*( м ). // УМН. 1988.

■ Т* 43, вып. 2. С. 147-148. [ 2 ] Мшишонаиков Д.В. Некоторые спектральные последовательности в -аналитической теории гомотопна. // Матем. заметки. 1990. Т. 47, J6 5. С.52-61.