Описание алгебры инфинитезимальных преобразований вещественной квадрики коразмерности два тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РГ8 О

Московский государственный университет 2 3 МЛР ДО'» имени М.В.Ломоносова

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 51?. 55

Шевченко Светлана Николаевна

ОПИСАНИЕ АЛГЕбРЫ ШФИНГОЕЗИМАЛЬНЫХ ПРЕ06РА30ВАНМ ВЕЩЕСТВЕННОЙ КВАДРИКИ КОРАЗМЕРНОСТИ ДВА

01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1993

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель

доктор физико-математических наук

В.К.Белошалка.

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор

Э.Б.Винберг,

кандидат физико-математических наук, доцент

А.В.Лобода.

Ведущая организация

Нижегородский государственный университет.

Защита диссертации состоится « ОиьИ€ис£ 1994г. в 16 час. 05 мин. на заседании Специализированного совета Д.053.05.04 при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией мокно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ ( Главное здание, 14 этак ).

Автореферат разослан » 1994г.

Ученый секретарь Специализированного совета Д. 053.05.04 при МГУ; профессор

Т.П.Лукашенко

Общая характеристика работы.

Амуалыюспъ теш. Голоморфные преобразования тех или иных геометрических объектов уже давно являются предметом исследования математиков. Известная теорема Римана о конформном отображении (Риман, 1851, Ш) дает описание группы автоморфизмов односвязных областей в с. Любая такая область, чья граница содержит более одной точки, конформно эквивалентна кругу и ее груша автоморфизмов зависит от трех вещественных параметров. При переходе к пространствам с" более высокой размерности (N>1) ситуация становится более сложной. Груша автоморфизмов шара зависит от Ла+2Н вещественных параметров, тогда как груша полидаска - от ЗМ вещественных параметров (Пуанкаре, 1907, [2], Рейнхард, 1921, ). В частности, это означает, что эти области неэквивалентны. Более того, почти любые две случайно выбранные области в с" при N>1 оказываются неэквивалентными, а их группы автоморфизмов - тривиальными (Берне, Шнайдер, Уэллс, 1978, [31).

[П Риман В., Соч., пер. с нем., M.-JL, 1948, с. 49 -87.

12] Poiancare H., Les fonctions analltlques de deux variables et la representation conforme. // Rend. Cire. Math. Palermo, 1907, p. 185-220.

[31 Burns D., Shnider S., Wells R.O.,. Deformation of srlctly pseudo-convex domains. // Invent. Math., 178, v.46, N 3, p. 199-217.

Имеется ряд возможностей для сведения задач, связанных с изучением отображений областей, к задачам об отображениях некоторых вещественных многообразий. Одна из них - переход к отображениям границ этих областей. Другая связана с возможностью перехода к отображениям границ Шилова. Т.к. граница Шилова для таких областей как, например, аналитические полиэдры (области, заданные . конечным числом аналитических неравенств) представляет собой объеденение поверхностей высокой (Ъ1) коразмерности, то встает вопрос о голоморфных отображениях вещественно аналитических поверхностей коразмерности к.

С каадой гладкой поверхностью связан некоторый объект, называемый касательной квадрикой. Это поверхность,

задаваемая в координатах (а1, ... ,zn, w1.....wk),

w=u+lv, уравнением v=<z,z>, где <z,z>=(<z,z>1.....<z,z>k)-

векторнозначная эрмитова фора. Вопрос об автоморфизмах гиперквадрик (к=1) полностью решен ( [4]). Что касается квадрик высокой (к>1) коразмерности, то вакные результаты в этом направлении были получены Тумановым и Хенкиным

[4] Chern S.S., Moser J.K., Real hypersurîaces In complex <

manlfolds. // Acta Math. , 1974, v.133, N 3-4, p. 219-271.

( [53,[6]), Бэлошапкой ([7],[8]) и Абросимовым ([93).

В настоящей диссертации рассматриваются невырожденные квадрики коразмерности два. Опираясь на классические результаты о приведении пары эрмитовых форм к каноническому виду ( [10], т.4.5.19; [113), всякую такую квадрику можно

15] Туманов I.E., Хбнкин Г.М., Локальная характеризация голоморфных автоморфизмов областей Зигеля.// Функциональный анализ и его приложения, 1983, т.17, N 4, с. 49-61.

16] Туманов А.Е., Конечномерность группы CR-автоморфизмов стандартного СП-многообразия и собственные голоморфные отображения областей Зигеля.// Известия АН СССР, сер. мат., 1988, т.52, M 3, с. 651-659.

[7] Белошапка В.К., Конечномерность группы автоморфизмов вещественно аналитической поверхности.// Известия АН СССР, сер. мат., 1988,г.52, N2, с. 437-442. [83 Белошапка В.К., О голоморфных преобразованиях квадрики.// Мат. сборник, 1991, M 2, с. 203-219.

[93 Абросимов A.B., 0 локальных автоморфизмах некоторых квадрик коразмерности два. // Математические заметки, 1992, т.52, N 1, с. 9-14.

[103 Хорн Р., Джонсон Ч., Матричный анализ , М.: Мир, 1989.

[113 Turnbull H.W., On the equivalence of pencils of Hermltlan forma // Proc. London Math., Soc (2), 3 (1935), N 3, p 232-248.

записать в некотором каноническом виде. На основании этого в первой главе дается полная голоморфная классификация (2,п)-квадрик. Во второй главе явно описана их алгебра . инфинитезимальшх автоморфизмов. При этом использованы результаты первой главы диссертации и формула для алгебры, полученная Белошапкой ([8]). Явное описание алгебры позволяет, в частности указать и оценить ее размерность, выделить квадрику с самой богатой группой автоморфизмов.

Цель работы. Изучить невырожденные квадрики коразмерности два. Явно описать их алгебру инфинитезимальшх автоморфизмов.

Метод исследования. Используются методы линейной алгебры.

Научит новизна.

1. На основе классических результатов дана голоморфная классификация квадрик коразмерности два.

2. Явно описана алгебра инфинитезимальшх автоморфизмов невырожденных (2,п)-квадрик.

3. Получены точные оценки .размерности- этой алгебры и выделена квадрика с самой богатой группой автоморфизмов.

Приленение. Диссертация носит теоретический характер. Результаты могут быть использованы при вычислении • групп автоморфизмов поверхностей.

Апробация работ. Результаты настоящей диссертации докладывались на научно-исследовательских семинарах

механико-математического факультета МГУ, руководимых • акад. Витушшным А.Г., акад. Гончаром А.А., д.ф.м.н. Сергеевым А.Г.

ПуЗлитцш. Результаты диссертации изложены в двух статьях, список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертщш. Диссертация состоит из введения и двух глав. Объем работы - 113 страниц. Библиография - 22 названия.

Основное содержание диссертации.

Во введении дан обзор работ, относящихся к теме диссертации, и кратко изложено ее содержание.

В первой' главе диссертации показано, что всякую квадрику коразмерности два можно привести к некоторому каноническому виду.

Пусть {2,п)-квадрика задается парой эрмитовых матриц (Р.О) ( сг,2>1=2р2, . Тогда, используя теорему

о приведении пары эрмитовых форм (Р,0), с^Р^О, к каноническому виду ([ЮЗ, т. 4.5.19) и теорему !ГитЬи11 (¡11}) и проведя дополнительные рассуждения, опирающиеся на возможность линейных преобразований по № в случае квадрик, получим следующий результат.

Утверждение 1. Всякая (2,п)-квадрика, задаваемая парой эрмитовых матриц (Р,0), невырожденным преобразованием координат (1,41) может быть приведена к некоторому каноническому виду, в котором матрицы Р и 0 записывается следующим образом:

Р^ЗЦ^.....£ГР«г'Р/31'-"'РЭв'Р71.....

а=(11ан(£ 0 .....е_0 .Од .....О- ....Д, ), где 1 Г Р. »1

■V

V

го О 11

О • • 1 0

0 1 0

.1 0 о;

V

ГО...О 1 X,

0...1 х,о'

1 х,... о

Х.,01... о

• 1

ц.

Х(еК, е4=±1, 1=1,...,г;

V

0 0 .1

г'о

0 .1 0-

.г "о 4

0 л 1Д)1 0 . . 1

0 .'А 1 " • 1 • • и";'0 0 ✓ 4

2т1'

/1 еС\К, 1=1,...,з;

р.. =

0 1. 0 1 0 -.1

1 0. 0

• • 0

0* ■ 1 0 4 4

П1 + 1

п.

о. =-

0 0. 0 1.*. о'-:?

0 1. 0

• ■ 0

о'-б 1

■п +1

11.

п^Т

-Л V-

^"пТ+Г

V-

п.

1=1.....t.

Здесь клетки Р , 0 , Ря , Оя полностью определяются 1 1 м м

элементарншди делителями, а клетки Р , - минимальными

ч ' 1

индексами п1 пучка матриц гР-зО (г.зеК), ножители инерции е определяются дополнительно.

Опираясь на это утверждение при исследовании вопроса об эквивалентности двух квадрик, приходим к теореме.

Теорема 4. Две квадршш, задаваемые соответственно парами матриц (Р,0) и (Р*,0*) эквивалентны тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:

/

1) квадрики имеют одинаковые минимальные индексы;

2) существует такое дробно-линейное преобразование

Д X

^^—¿К'^'^'Ра^» "А^Л*0)' ЧТ0

1 2

Х^Ц,), 1=1.....г=г*,

Ге,, с^+а^О и если «^-«^>0, то _ +а х 0,

^ 1 1 3 1

если же а1ра-азр1<°> ТО

1 - нечетное -е^ 1(- четное '

1(- четное -с , 1 - нечетное

Следствие 1. При п^з число классов эквивалентности (2,п)-квадрик конечно. При па4 число этих классов бесконечно.

Во второй главе диссертации описана алгебра инфинитезимальных автоморфизмов невырожденной

(2,п)-квадрики М. Белошапка показал ([8]), что н(М) имеет следующий простой вид:

g(M)=(Cz4aw+A(z,z)+B(z,w))g^ + +(зиг+21<г,а«тг(иг,№) где С - пхп-матрица, з - кхк-матрица, А{%,г) - п-значная квадратичная форма на с", а - пхк-матрица, В(2,Ю -

а +сс„X >0 -*■ £,=

12 1 I

а +а X <0 1 2 1

n-значная билинейная форма на с"хск, r(w,w) - к-значная квадратичная форма на ск, причем выполнены следующие соотношения:

2Re<Cz,z>=a<z,z>, (1)

<A(z,z),z>=2i<z,a<z,z», (2) Re<B(z,u),z>=r(<z,z>,u), (3) Im<B(z,<z,z>),z>=0. (4)

Вводя естественную градуировку алгебры g(M), т.е. приписывая переменной z вес 1, w - вес 2, ~ - вес (-1), - вес (-2), получим разложение

g(M)=gû(M)+g1(M)+g2(M). Здесь подалгебра g0(M) отвечает за наличие линейных автоморфизмов, а подалгебра g1(M)+ga(M) - за наличие нелинейных.

В §1 главы 2 решено уравнение (2), благодаря чему описано подпространство g (Ю.

Теореиа 2. Пусть невырожденная (2,п)-квадрика задана парой эрмитовых матриц (P.Q). Тогда подпространство g (М) описывается следущим образом.

I. Пусть det(P)#0 и R=P-1Q. Тогда еозмокны три случая.

1) Если R имеет ровно два различных собственных числа Х^к \2 (XltX,eR либо Ц=ХаеС\к) иве" существует собственный Оазис для R, то dim g (М)=2п. Если при этом в координатах (z.w) пара форм (P,Q) тлеет канонический вид, то ад-произвольный вектор из С", at=(PQ' -(Х4+Х )Е)аа,

A(z,z)=2i[(z(QT-(X1+X3)P)â2)z+(zPâ3)PQz].

2) Если R имеет единственное собственное значение X (XeR)

и (R-XE)2=0, то dim g4(M)=2n. Если при этом в координатах (2,w) пара форм (P.Q) имеет канонический вид, то а2-произвольный вектор из с", a^tPQ -2\Е)а2,

A(z,z)=21[(z(QT-2XP)§a)z+(zPa3)PQzj.

3) В остальных случаях gj(М)=0.

II. Пусть det(rP-sQ)=0 (r.SeiR). Рассмотрим однородные относительно г и з многочленные столбцы х(г,з), являющиеся решением уравнения (rP-sQ)x(r,s)=0. Если среди всех таких решений нет -решений степени 1, то gt(M)=0. Если же существует ровно 1 линейно независимых решений степени 1, то dim gt(M)=21. Если при этом в координатах (z,w) пара форм (P.Q) имеет канонический вид, то

n +i+a i-f-а п +1+а 1+а

а2' =-а4 если nt=1; а 1 =0=а1 если п если J^-И; а^О, если J^-H+r^; где

„1-1 , t OC. + i n . + 2 + Qt 1

arL=i(2V1)' A(z,z)=2i^J=aa1 J z J 1 8n jz, здесь <5* - символ Кронекера.

Следствие 2. dim (íí )=s2n.

В §2 главы 2 решено уравнение (1), что позволило описать подалгебру g0(M). Ввиду большого объема формул, описывающих матрицы С и а, они здесь не приводятся. На основании этих формул получена размерность подалгебры £ (М). Оценив ее приходим к следствию.

Следствие 3. n+1sdlm(go(!í))s(n-1)2+4 при п^З и n+2£dlm(go(M))¿(n-1)2+4 при п=2. Причем нижняя оценка достигается на диагонализуемой квадрике, у которой все собственные значения различны, а верхняя - на квадрике

vl=2Rez1za+z3z3+...+znzn, va=z1z1.

В §3 главы 2 решены уравнения (3) и (4), позволяющие описать подалгебру g2(M).

Теорема 3. Пусть невырожденная (2,п)-квадрика задана парой эрмитовых матриц (P.Q). Тогда подалгебра g2(M) описывается следующим образом.

1) Если det(P)*0 и R=P_1Q имеет ровно два различных собственных числа Х4и Х2 (XltXaeR либо X =X3eC\R) иве" существует собственный базис для R, то dim ga(M)=2. Если при этом в координатах (z,w) пара форм (P,Q) имеет канонический вид , то B^aE+pPQ, B2=PE+£PQ,

«=-51^, Г)=Д+5(Х1+Х2).

2) Если det(P)*0 и R=P-1Q имеет единственное собственное

<

значение X (XeR) и (R-XE)2=0, то dim ga(M)=2. Если при этом в координатах (z,w) пара форм (P.Q) имеет канонический вид, то B^ctE+pPQ, Ba=pE+£PQ, a=-gX2-2pX, 7=-рХ2,

5=-=Х2, п=Д+2?Х.

3)В остальных случаях g (М)=0.

Здесь использованы обозначения:

* . r«i , . m . , m 2 . m 2 2

B(z,w)=w В z+w2B z, v(w,w) = \a » » + « w w +U " +L|W W' .

1 2 ^ ^ . [bj Lnj

<

Следствие 4. dim g2(M)s2.

Итак, суммируя результаты §1, §2 и §3 главы 2, получим два следствия.

Следствие 5. Автоморфизмы невырожденной квадрики М, задаваемой парой эрмитовых матриц (P.Q), линейны во всех случаях, кроме тех, когда

1) <1е1;(Р)*0 и К=Б-10 имеет ровно два различных собственных числа Х1 и Ха (X ,Ха€К либо X =Т «СЧК) иве" существует собственный базис для И,

2) с1е1;(Р)*0 и й=Р-10 имеет единственное собственное значение X (ХсК) и (Е-ХЕ)2=0,

3) (1е1;(гР-80)=0 и среди однородных относительно г и з многочленных столбцов г(г,8), являющихся решением уравнения (гр-з0)х(г,э)=0, существует решение первой степени.

Следствие б. п+1а11т £(М)£П2+7 при п&З, п+2£(11га 2(м)^п2+7 щи п=2. Причем нижняя оценка достигается на диагонализуемой ■квадрике, у которой все собственные значения различны, а верхняя на квадрике

у1=2Иег1Е3+г3Е3+..., у2=г1г1.

Автор глубоко признателен своему научному руководителю д.ф.м.н. Белошапке Валерию Константиновичу за постоянное внимание, помощь и поддержу при выполнении этой работы.

Публикации по теие диссертации.

1. Шевченко С.Н., Описание алгебры инфинитезимальных автоморфизмов квадрик коразмерности два и их классификация. // Мат. заметки, 1994, т. , с.

2. Шевченко С.Н., Квадрики коразмерости два и их автоморфизмы. // Известия АН СССР, сер. мат., 1994, т. ,

N ,с.