Вербальные и эквациональные подгруппы групп преобразований тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

1 " РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

^ о ?'ЦЙ СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

Специализированный совет Д 002.23.01

ВЕРБАЛЬНЫЕ И ЭКВАЦИОНАЛЬНЫЕ ПОДГРУППЫ ГРУПП ПРЕОБРАЗОВАНИИ

(01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

С / . ВАРДАКОВ Валерий Георгиевич

ч

На правах рукописи

УДК 512.54

Новосибирск • 1994

Диссертация выполнена в Новосибирском государственном университете.

Научный руководитель - действительный член Петровской Академии

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

Ведущее учреждение - Математический институт им. В.А.Стеклова

Защита состоится 16 июня 1994 г. в 17 часов на заседании специализированного совета Д 002.23.01 при Институте математики

СО РАН по адресу: 630090, Новосибирск, 90, Университетский проспект, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО РАН.

Автореферат разослан "¿'^" мая 1994 г.

Ученый секретарь совета

наук и искусств, доктор физико-математических наук, профессор Ю.И.Мерзляков.

профессор В.М.Левчук,

кандидат физико-математических наук, доцент Ю.В.Сосновский.

Росийской Академии наук.

кандидат физико-математических нау

В современной теории групп весьма заметное место занимают группы преобразований, в том числе линейные группы, а также группы автоморфизмов различных алгебраических систем. Кроме того, многие интересные примеры групп возникает именно как группы преобразований .

Диссертация посвящена изучению вербальных и эквациональных подгрупп некоторых груш: преобразований. Напомним, что вербальной подгруппой группы С относительно множества теоретико-групповых слов V называется подгруппа, порождённая множеством значений слов из V на группе С, т.е.

V«?) = гр( | » - V, г^)

(см. [?, с.1383). Эквационалъной подгруппой называется подгруппа, определяемая в группе системой уравнений (в том или ином смысла). Классический пример вербальной подгруппы - коммутант, эквациональных подгрупп - алгебраические группы матриц.

В первой главе диссертации исследуются вербальные и алгебраические подгруппы общей линейной группы. К алгебраическим относятся, в частности, классические группы - специальная линейная, ортогональная, симплектическая.

Винтер С36] доказал, что если С - вполне приводимая периодическая подгруппа группы <31Л(К), где К - алгебраически замкнутое

поле, то С сопряжена в СЪп (К) с подгруппой из (К0), где К0 -простое подполе поля К, .а черта означает алгебраическое замыкание (см. также [141, теорема 52.2.1).

В § 1 главы 1 рассматривается следующий вопрос: если в условиях теоремы Винтера группа С удовлетворяет некоторой системе полиномиальных уравнений, то можно ли найти такую матрицу а е (К), что С,а 01 п (К ) и Са также удовлетворяет этой системе?

Как будет доказано, ответ на этот вопрос положительный. Более того, условие периодичности можно ослабить до следующего: все характеристические корни любой матрицы из С лежат в поле к, где к - алгебраически замкнутое подполе поля К. Мы докажем, что если к, К - алгебраически замкнутые поля, к <= К, С - вполне приводимая группа из <Р1Л(К), причём: а) для всякой матрицы ^ е <3 все её характеристические корни лежат в к, б) матрицы из С удовлетворяют некоторой системе уравнений

/а(Х) = 0, а е I, (1)

где /а(Х) - многочлены из &Ш, то существует такая матрица а е (К), что Са ^ О, (к) и все матрицы группы ва также удовлетворяет системе (').

Мы построим примеры, показывающие, что условие полной приводимости существенно, но если требовать вместо сопряжённости лишь изоморфность, то получается следующий положительный результат: всякая коньчно порожденная подгруппа £ группы <?1П(Я) такая, что все характеристический корни каждой матрицы из 6 лежат в к, изоморфна некоторой подгруппе группы где т > п.

Результаты § ! опубликованы в 137 3 -

Хорошо известно (см., например, 17, е.253), что всякая матрица из общей линейной группы в1>п{Т) над полем Т представима в виде произведения элементарных трансвекций и диагональной матрицы, причём из самого доказательства легко вытекает оценка числа элементарных трансвекций, требующихся для такого разложения. Это число зависит только от л и не зависит от самой матрицы. Возникает проблема: для группы 5 с порождающим множеством й найти наименьшее га е N и {+«} такое, что всякий элемент из <? представим в виде произведения < т элементов из Следуя Ю.И.Мерзлякову [141 будем называть такое п шириной группы С относительно множества й и обозначать теШС.й-).

Много работ посвящено вычислению ширины линейных груш относительно различных множеств порождающих. Перечислим некоторые из них. Картер и Келлер [221 доказали, что ширина группы £1п(б), п > 3, где б - кольцо целых чисел алгебраического числового поля, относительно множества элементарных трансвекций конечна. К.Х.Закирьянов Г6] установил конечность ширины симплектической группы $р2П> п > 3, относительно множества элементарных матриц. Аналогичные результаты для некоторых групп Шевалле над тем же кольцом о получил О.Н.Тавгень [173. С другой стороны, ван дер Каллен [34 3 доказал, что если Т - поле бесконечной степени трансцендентности над своим простым подполем, то группа (ГСх!) при п > 2 имеет бесконечную ширину относительно множества элементарных трансвекций.

Так как группа матриц <51 (Я) над кольцом Я изоморфна группе автоморфизмов СЪп(И) свободного л-мерного модуля М = Яп, то по аналогии с предыдущими результатами можно изучать разложения

автоморфизмов из <91п(М) в произведение простых автоморфизмов, которые в случае коммутативного кольца Я исчерпываются трансвекциями и дилатациями. Теорема Дь'ёдонне [24] утверждает, что если V - л-мерное векторное пространство над полем Т, то всякое преобразование о & С1>п (У), не являющееся большой дилатацией, представимо в виде произведения £ л-! трансвекций и одного простого преобразования; если же о является большой дилатацией, то она представима в виде произведения £ л трансвекций и одного простого преобразования. Эллерс и Лауш [281 получили аналогичные утверждения для группы автоморфизмов СХП(М), л > 3, свободного модуля М = Еп над локальным ассоциативным кольцом К с единицей. В этой же работе ими были получены аналогичные результаты для некоторых других классических групп.

Дьёкович Г25] изучал разложимость простого преобразования модуля М = й", л г 3, над телом К в произведение трансвекций и отражений, и получил критерий разложимости простого преобразования в произведение трёх трансвекций, а также критерий разложимости простого преобразования в произведение трёх отражений. А.А.Коробов (8] обобщил эти результаты, найдя критерий разложимости простого преобразования в произведение трёх простых преобразований с заданными параметрами.

В § 2 вводится понятие обобщённо-элементарной трансвекции, являющееся обобщением элементарной трансвекции, а также отмечаются некоторые их свойства. Кроме того, мы выделим некоторый класс свободных модулей, состоящий из модулей с условием дополняемости, и заметим, что всякий простой автоморфизм свободного й-модуля М с

условием дополняемости, в некоторой базе имеет матрицу, которая либо является обобщённо-элементарной трансвекцией, либо матрицей вида diag(1 ,...,1, Л.), \ е Я*. Эти результаты потребуются в §§ 3-4.

В § 3 исследуется разложимость свободных Я-модулей, где Я -целостное ассоциативное кольцо с единицей. Доказывается, что если ранг стабильности кольца Я равен m и M = йп, я > 3, удовлетворяет условию дополняемости, то всякое преобразование а из GLn(M), п > m, не являющееся большой дилатацией. представимо в виде произведения s 2(л-а) трансвекций и одного преобразования с вычетом < и. Если же а - большая дилатация, то она представима в виде произведения s я трансвекций и одного простого преобразования.

В § 4 исследуются автоморфизмы свободного z-модуля M = zn при п > 3 и доказывается, что всякий такой автоморфизм представим в виде произведения s 2я+6 простых автоморфизмов. В качестве следствия получается, что ширина группы Sln(z) относительно множества коммутаторов не превосходит Ш при всех л г 3. (Известно, что при п=2 эта ширина бесконечна). Тем самым улучшена оценка Нькмена [30]: ширина группы SLn{2 ) не превосходит cln(n)+40, где с = 21л(3/2). Отметим, с другой стороны, что для достаточно больших п эта ширина < 4 (см. [353).

Результаты §§ 2-4 анонсированы в [41].

Вторая глава диссертации посвящена группам подстановок. Ито [283 доказал, что при п s 5 всякий элемент из коммутанта симметрической группы Sn является коммутатором. Ope [313 обобщил этот результат на группу подстановок счётного множества. Так как в группе подстановок всякий элемент g лежит в том же классе сопря-

женных элементов, что и элемент то из результата Ито следует, что для всякой четной подстановки а найдется такой класс сопряжённых элементов С (зависящий от о), что а е С-С. Возникает естественный вопрос: существуют ли такие классы сопряжённых элементов С, что Лп £ С-С ? Или в более общей формулировке (предложенной Бреннером и Эвансом [20]): описать все чётные подстановки, представимые в виде произведения двух элементов порядка к {к 2 4). При к=2,3 такие подстановки описали Багински и Моран (18,293. Кроме того, Бреннер и Эванс (20] выдвинули гипотезу, что при любых целых к & 4 и т & 1 всякий элемент группы представим в виде произведения двух подстановок, каждая из которых в разложении на независимые циклы состоит из т циклов длины (При й=2,3 это неверно).

Ранее гипотеза Бреннера-Эванса была доказана только при й=4, я г 1 и при & 2 5, и = 1 (см. (21, с,1033, (193). Во второй главе диссертации она доказывается в полном объёме.

Результаты второй главы опубликованы в [391.

Третья глава диссертации целиком посвящена вычислению ширины вербальной подгруппы У(С) группы О относительно множества теоретико-групповых слов V, т.е. относительно множества 2 значений слов из V на группе С. Перечислим некоторые из уже известных результатов. Наиболее общий результат здесь принадлежит Ю.И.Мерзлякову [13] (см. также [14, § 123): всякая вербальная подгруппа алгебраической группы С < в1п (О). где 0 - алгебраически замкнутое поле бесконечной степени трансцендентности над простым подполем, имеет конечную ширину относительно любого слова V. В других работах выбирались конкретные группы в и слова V и дава-

лись оценки ширины wid(G,i;).

Ряд работ посвящен исследованию ширины коммутанта некоторых классических групп относительно коммутатора v = х-1у~1ху. Так, . например, Томпсон [33] доказал, что если F - поле, то wld(GZnlT),v) = 1, wid(SZn(F),v) £ 2 при любом nag. Гоу {27] доказал» что ширина wid(Sp2n(F),?>) коммутанта симплектической группы не превосходит 2 при любом п > 1. С другой стороны, известно, что ширина всякой собственной вербальной подгруппы группы Sl2(2) относительно любого нетривиального слова бесконечна. При я 2 3 Ньюмэн [30] доказал, что wid(SIn(2)< о». Но для кольца R - Fix] многочленов над полем Т бесконечной степени трансцендентности над простым подполвм и любого л > 2 ширина wld(SIn(fl),«) бесконечна. Этот и другие близкие результаты были получены в работе Денниса и Васерштейна [23].

В §§ 1-3 третьей главы вычисляется ширина вербальных подгрупп группы кос Вп. Напомним, что группа Вп задаётся множеством порождавдих ____и определяющих соотношений

ai°Mci = "Р" г=1'2.....

OtOj = при I t-j\ 2 2,

Во вспомогательном § 1 описывается строение группы кос, в частности, приводится нормальная форма слов, введённая A.A. Марковым [12].

В § 2 решается проблема вхождения в коммутант группы кос. доказывается, что ширина всякой несобственной вербальной подгруппы (т.е. единичной подгруппы или всей группы) конечна. Кроме того, на примере показывается, что ширина wld(G.V), вообще говоря.

зависит от множества V, а не только от подгруппы V«?).

В § 3 устанавливается, что при п а 3 всякая собственная вербальная подгруппа группы кос Вп, определённая конечным множеством слов, имеет бесконечную ширину относительно этого множества. Конечность множества V существенна, так как для всякой вербальной подгруппы 7(6) можно построить такое множество слов 1С, вообще говоря, бесконечное, что = У(<?) и }(С,1С) = 1.

Результаты о ширине вербальных подгрупп групп кос, полученные в диссертации, являются завершением ряда исследований, начатых вопросом Г.С.Маканина: "Построить косу, принадлежащую коммутанту группы кос и не являющуюся коммутатором" (см. [93, вопрос 6.22). Ю.С.Семёнов (163 указал в Вэ элемент, равный произведению двух коммутаторов и не сводящийся к одному коммутатору. Н.Н.Репин [15 3 показал, что относительно слова £х,уЗ = х~1у_1ху коммутанты групп В^ и ВА имеют бесконечную ширину, а затем В.Г.Дурнев и В.К.¡Балашов [3 3,[4 3 установили, что и любая собственная вербальная подгруппа этих групп, определённая конечным множеством слов (или, что равносильно, одним словом), имеет бесконечную ширину. Их доказательство основано на том, что группы В3 и В4 допускают гомоморфизм на свободное произведение а всякая собственная

вербальная подгруппа такой группы имеет бесконечную ширину [323. При п & 5 гомоморфизма группы Вп на нетривиальное свободное произведение не существует (53, поэтому необходимы были существенно иные соображения.

В § 4 главы 3 мы исследуем некоторые свойства группы ?п крашеных кос. Напомним, что ?п - ядро гомоморфизма группы Вп на группу подстановок , отображающего порождающий аг на транспо-

зищда (г,г+1), г=1,...,п-1.

Так как груша ?п получается из свободной группы несколькими последовательными расширениями посредством свободных групп, то естественно ожидать, что некоторые свойства свободной группы должны сохраняться к в ?„. В частности, в свободной группе извлечение корней однозначно и два взаимно обратных элемента сопряжены тогда и только тогда, когда они оба равны единице. Мы покажем, что оба эти свойства справедливы и в группе крашеных кос. Кроме того, будут построены примеры, показывающие, что оба свойства уже неверны для всей группы кос Вп(п г 3). Эти результаты дают положительное решение вопросов Г.С.Маканина 11.54 и 11.55 из £93.

В § 5 главы 3 исследуются группы более широкого класса -группы Артма £2], т.е. группы с порождающими ! е I, и определяющими соотношениями

ага^а2... = а^а^а^... при 1,3 е I,

где слова, стоящие слева и справа, состоят каждое из одинакового числа га^ чередующихся букв а^ и а^. Группе Артина соответствует определенный граф Кокстера (см. £1, с.243), и соответствующие обозначения графа мы будем использовать для обозначения самой группы. В частности, группы кос, которые мы ранее обозначали символом 'Вп будут обозначаться в § 5 символом Ап_1, а через Вп -группу с соответствующим графом Кокстера.

Мы докажем, что любая собственная вербальная подгруппа групп Артина Аг{1 г 2), Зг(1 > 2), £ 4), '?4, <?2, Г2(р)(р а 5),

Лги > 1), вг(1 2 2), сг(1 г 3), Ъг(1 г 4), ?4, Ъг имеет бесконечную ширину относительно любого конечного множества слов V. Кроме основного случая А^Ц > 2), разобранного в §§ 1-4, ранее

это было известно только для коммутанта группы 1г(р) при нечетном р относительно коммутатора 121. Аналогичные результаты получаны в диссертации также для граф-групп.

Заметим, что доказательство по существу заключается в сведении всех перечисленных выше случаев к основному случаю групп кос Аг(1 г 2), рассмотренному в § 3.

Результаты третьей главы опубликованы в работах £383, [403.

Диссертация состоит из введения и трех глав, разбитых на 13 параграфов. Объем работы - 170 стр. Библиография - 57 названий.

Все результаты диссертации являются новыми. Они опубликованы в работах [37-413 и докладывались на семинарах "Эварист Галуа", "Алгебра и логика", на семинаре по теории груш в Новосибирском университете, на алгебраическом семинаре в Омском университете, на 11 -м Всесоюзном симпозиуме по теории групп (Свердловск, 1989), на 3-й Международной конференции по алгебре (Красноярск, 1993).

Автор выражает сердечную благодарность Ю.И.Мерзлякову за научное руководство работой и всестороннюю помощь к поддержку.

ЛИТЕРАТУРА

[1 3 Вурбаки Н. ¡Группы и алгебры Ли, главы ГМТТ. - М.: Мир,

1972.

[2 3 Гривблат В.А. О коммутаторных уравнениях в группах Артина конечного типа // Международн. конф. по алгебре: Тез. докл. по теории групп. - Новосибирск, 1989. С.37.

[31 Дурнев В.Г. О ширине коммутанта групп кос S3 и Деп. в ВИНИТИ, 1987. JS4040-B87.

[4] Дурнев В.Г., Шадашов В.К. О ширине коммутанта групп кос В3 и 8^ // 19-я Всесоюзн. алгебр, конф. - Львов. 1987. С.89.

[5] Дурнев В.Г. О фактор-группах кос Вп // Деп. в ВИНИТИ. JS6760-B87. 1987.

[6] Закирьяяов К.Х. Конечность ширины симплектической группы над кольцами алгебраических чисел относительно элементарных матриц // Алгебра и логика. 1985. Т.24, Ж5. С.667-673.

[7 3 Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. 3-е изд. М.: Наука, 1982.

(8 3 Коробов A.A. О разложении простого преобразования в произведение простых преобразований с заданными параметрами. В сб. статей: Некоторые проблемы дифференциальных уравнений и дискретной математики. Новосибирск, 1986. С.28-33.

(93 Коуровская тетрадь: Нерешённые вопросы теории групп. 10-е изд. Новосибирск. 1986. 11-е изд. Новосибирск. 1990.

[103 Линдон Р., Шупп.П. Комбинаторная теория групп. - М.: Мир, 1980.

[113 Магнус В., Каррас А., Солитэр Д. Комбинаторная теория групп. М.: Наука, 1974.

[123 Марков A.A. Основы алгебраической теории кос // Тр. МИАН, 1945. Т.16, С.1-54.

[133 Мерзляков Ю.И. Алгебраические линейные группы как полные группы автоморфизмов и замкнутость их вербальных подгрупп // Алгебра и логика. 1967. Т.6, ЛИ. С,83-94.

(143 Мерзляков Ю.И. Рациональные группы. 2-е изд. М.: На-

ука, 1987.

[151 Репин Н.Н. О коммутаторных уравнениях в группах Вэ и В4 // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. - Тула,

1986. С.114-117.

[161 Семенов D.C. 0 коммутаторах в группах кос // 10-й Все-шгон. симп. по теории групп. - Минск, 1986. С.207.

[173 Тавгень О.Н. Ограниченная порождаемость групп Шевалле над кольцами S-целых алгебраических чисел // Известия АН СССР, Сер. математическая. 1990. Т.54, »\. С.97-122.

(183 Baginski С., On sets of elements of the same order in the alternating group An // Publ. Math. 1987. V.34, JS3-4. P.313- 315. '

[193 Bertram E., Even permutations as a product of two conJugate cycles // J.Comb. Theory. Ser.A. 1972. V.12, P.368-380.

[203 Brenner J.b., Evans R.J., Even permutation as a product of two elements of order five // J.Comb. Theory. Ser.A.

1987. V.45, P.196-206.

[213 Brenner J.L., Riddell J., Covering theorems for finite nonabelian simple groups VII. Asymptotics in the alternating group // Ars.Combin. 1976. V.1, P.77-108.

[223 Carter D., Keller C. Bounded elementary generation of SLn(o) // Amer. J. Math. 1983. V.103, Ji3. P.673-687.

[233 Itennls R.K., Vasersteln b.N. On a question of M.Newman on the number of commutators // J. Algebra. 1988. V.118, Ji1. P. 150-161

* » i

(243 Dieudonne J. Sur les generateurs des groupes classiques. Summa Brasil. Math. 1955. V.3, P.149-179.

[253 DJokovlc D.Z. Characterization of dilatations which are expressible as a product of three transvections or three reflections // Proc. Amer. Math. Soc.1984. 7.92, JS3. P.315-319.

[263 Ellers E., Lausch H. Generators for classical groups of moduls over local rings // J. Geometry. 1990. V.39, #1-2. P. 60-79.

[27 3 Cow R. Commutators in the symplectlc groups // Arch. Math. 1988. V.50, #3. P.204-209.

(283 Ito N.A. A theorem of alternating group An(n^5) // Math. Japon. 1951. V.2, JS2. P.59-60.

(293 Moran C., Reflection classes whose cubes cover the alternating group // J.Comb. Theory. Ser.A. 1976. V.21, Ji1. P.1-19.

[303 Newman M. Unimodular commutators // Proc. Amer. Math. Soe. 1987. V.101, M. P.605-609.

[313 Ore S. Some remarks on commutators // Proc. Amer. Math. Soc. 1951. V.2, P.307-314.

f.323 Rhemtulla A.H. A problem of bounded expressibility in free products // Proc. Cambrigde Phil. Soc. 1968. V.64, Ji3. P.574-584.

[333 Thompson R.C. Commutators In the special linear and general linear groups // Trans. Amer. Math. Soc.)961. V.101, №1. P.16-33.

[343 van der Kallen VI. SL^ (c[j]) does not have bounded word length // Lect. Notes 1982. V.366, P.357-361.

(353 Vaserstein L., Wheland E. Commutators and companion matrices over rings of stable rank.1 // Linear Algebra Appl.

1990. V.142, »U P.263-277.

[361 Winter D.J., Representations of locally finite groups // Bull. Amer. Math. Sac. 1968. V.74, . P.145-148.

Работы автора по теме диссертации [371 Бардаков В.Г. Об уменьшении поля представления линейной труппы // Материалы 23-й Всесоюзной научной студенческой конференции. Математика. - Новосибирск. 1985, С.12-15.

[38] Бардаков В.Г,,, К теории групп кос // Матам, сб. 1992. Т.183, №. С.3-42.

[393 Бардаков В.Г. Разложение чётных подстановок на два множителя заданного циклового строения // Дискрет, матем. 1993. Т.5, ЛИ. С.70-90.

[403 Бардаков В.Г. О вербальных подгруппах групп кос // 11-й Всесоюзн. симл. по теории групп. - Свердловск. 1989, 0.10.

[413 Бардаков В.Г. О разложении на множители автоморфизмов свободных модулей // 3-я Международен конф. по алгебре. - Красноярск. 1993, С.34.

Подписано к печати 4 ь

Формат бумаги 60*84 1/16. Объем 1 п.л., 1,25 уч.-изд.л.

Тираж 100 экз. Заказ 4V/

Отпечатано на ротапринте Института математики СО РАН 630090, Новосибирск, 90, Университетский просп., 4