Коммутаторное строение и автоморфизмы обобщенных конгруэнц-подгрупп классических групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

КОЛЕСНИКОВ СЕРГЕЙ ГЕННАДЬЕВИЧ

КОММУТАТОРНОЕ СТРОЕНИЕ И АВ ТОМОРФИЗМЫ ОБОБЩЕННЫХ КОНГРУЭНЦ-ИОДГРУИП КЛАССИЧЕСКИХ ГРУПП

01.01.06 — математическая логина, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Красноярск-1!)97

Научный рукоподшель доктор физнко-матемщ ических наук, профессор ЛЕВЧУК В.М.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор РОМАНОВСКИЙ II.С. кандидат физико-математических наук, профессор ЛАРИН .С.1].

Ведущая организация Институт митсматикм н механики УрО РАН, г. Екатеринбург

Зшщпи состоится ” <*-3 ’’ лнВи-рЛ 1998 г. п.

/О

заседании диссертационного совета Д 0С4.в1.02 п Красноярском государственном унииерси Ге1 е но адресу 0000-11, г. Красноярск, пр. Свободный, 79.

С диссершциеЛ можно ознакомиться и библиотеке Красноярского государственного университета.

Автореферат разослан " №■ ” 1997 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физ.-мат. наук Иабемышев С.П.

Актуальность темы. Hcc.ie.'c.naniiii ьомму іа іоріпч о строчиш іі пн ИІ\!(1рфИ.)МІ)ІІ ІГіассЧГІІ'СПИХ . Ill 1Н' ҐІИ Г.! X I J1 \ 11П. .'І ііаіеч )І I pvilll lllfiwi І

.И', нал полем II пал более широкими кольцами ксиффіщіи шов пе:\ їси лзїчіо. U последние деспіплепт :іл<’сі. доспи нуі 11 иначи■ ельчые \-ciiі'Чи її рассмртрепни самых обпціх ситуации. cm. нанесшие об.три Л.А.(упрупенко, X.Пасса, О’Мнрм. Ж.Титса, 10.11.Мі р.і лнкоиа, ІІ.ІІ Il ia тоно'’-' ібогьі 80-90-х годоп ІІ.М. Пстечука. Д.І1. Михалева. К 11. Л-лі,-маїкіпя, .'1.11. І!;;сор:лтеҐгкі, П.1І. Герасимова, К. Аб:> н тр.

Продолгшпельнии интерес вызывал гонрос описании ааіоморфи.ічов уніїтленіїюіі полгрушш /-Ч(Л’) группы ІІЬ-вчл.іе і mm н.ал по ісм (ои-і порождается всевозможными корневыми олемоігі гімн, сооі імчсі нулиши ми положитч'Лііііі.ім корнлм ). Этот вопрос был решен п работах II.II На», лова, А. Уир, Лж. Гнббся и В.М. Ленчу кл. Автоморфизмы группы Г‘Iі{!\ ) для некоторых личных тнпон описаны даліе ллн прои іпо.пліоі о комму тптнниого кольца К г.оиффипшчіion. Когда К пою, іруппа ГФіЛ) пл:і!.іп?ет интерес прежде всего как силонскап ;мюді руппа. Осіаоїсп нерешенным следуй ліній г.опрос Н.М.Лепчука:

(А) Описать пыЛомррфи)Мы пі.іонскоії p-n:'tb;>:;imn /jrrir.u Hhi.mir н'/иіпльііО.’о типи шиї >:0!Н|0ч і-ч'.л л:г;і це.іиг чиї. і і:ч 'in1:1 ьч ;> , ні -1. .';і!тк;і - іі;і()с;;ічс "игао ([',]. м\ч;н:с ! ' , - і.

Il.iivctiiii чіо cu.’imcuaii ;<■ iio'U pymia .'■'Ф(7.,».) і рушій ПІекалю •>(",».) шип '!■ піл кольцом клгксол пнчсищ іюлі їх чисел П'.мІіеМ її ІІр'лПІЧ'ЛеіІнсМ уНІІІІ'ЛсНТГОі'І ііОДІр\ППи ІІ ПОНІ РУ іЛЦ ПО ;і р\ II

!:і.і ііо ■■ іол>лі*» радикала Лл;і сі бсопл. Оімепіч і;:і;;;і'. чіо гниічіу ИЛ М ! I колі | у . л п- пол і ру Г! її классических I [IVIIII р лісе 1ІЛЧ ЧіІЛИ О'Мнра, Х.ІЬссенхаул [10], Ю.Н.Мер.ідііков [Т], І'.Солаппи [II] и лрл Политик і-і:о їй лтііх работ существенно использует меюл О'.Ммріл ппчеіпьіх при страпсгв и основное кольцо ко 'ффіішіеіі roll в :пих рлбопіч ecu, об киль целостности.

Л-А. Супрунеико, 0>. Холл и 10.11. Мерзляков начали спсіема і пческое научение коммутаторного строении кош рулнц-поді ру ни оґщіеіі и спецп-

алышй линейных групп по модулю квазирегулярного идеала, а также более общих - ковровых подгрупп [3], 10.2.2 (см. также "сетевые подгруппы”, З.И.Норевич [1]), в частности, силоьской )«-подгруппы группы (»/.„(Хр«>). Там же и в работах 10.1',.Ноши, 10.II. Сосновского, П.М.Левчука били вычислены нижние центральные ряды группы за исклю-

чением случаев, когда 1 < р ^ р(Ф) = тах{(г,г)/(я,з) | г, я € Ф}). Коммутаторные рнды группы 5Ф(ЕР~), в отличие от случаи Ф типа Л„, остались неописанными. Эти исследования привели к следующим двум задачам:

(Б) Вычислить коммутаторные ряды группы 6’Ф(%?•*), когда система корней Ф отлична от типа Ап.

(В) Вычислить нижние центральные ряды группы 5Ф(2рт), когда 1 < р^р(Ф).

Основные результаты диссертации направлены на решение сформулированных проблем (А)-(В). При их решении применяются как стандартные методы теории групп и теории ассоциативно коммутативных колец, так и специальные методы теории групп Шевалле.

Все результаты, полученные в диссертации, являются новыми.

Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы в исследовании групп Шевалле над ассоциативно коммутативными кольцами и при чтении спецкурсов.

Апробация результатов. Результаты диссертации докладывались на заседаниях Красноярского алгебраического семинара, семинаров ”Ал-п^ра и логика”, "Теории групп” и "Эварнст Галуа" (ИМ СО РАП-НГУ, Новосибирск). Они были,представлены на международных конференциях но алгебре (Красноярск, 199.4 г., С.-Петербург, 1997), на международных конференциях " Исееибирские чтения но математике и механике" (Томск, 1997 г.) и "Мильневскне чтения" (Новосибирск, 1997 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в ра-Гмпих [1Н)-[17).

Объем и структура работы. Диссертационная работе состоит из введения, трех глав и списка литературы (32 наименовании) и занимает 63 страницы. Нумерация утверждений включает номер главы, номер параграфа и Тюрядковый номер утверждения в параграфе.

СОДЕРЖАНИЕ РЛВО'ГЫ

Основными результатами диссертации являются следующие:

- описаны автоморфизмы группы ЯФ{2Р^), когда Ф типов Л„ '(п ф 2), Вп,С„, А,(” > 4) и р > 3 (частичное решение вопроса 12.42, [4]);

- завершено описание нижннх центральных рядов группы Л’Ф(2рт) (решение задачи (В));

- построены коммутаторные ряды групп Л'Ф(з>,„,), йог да р > 2 для Ф типов С„ (п > 1), Й,„_), £>2П (п > 3), К), и р > 3 для Ф = Сг.

Предварительные сведения о группа Шевалле приведены в §1.1.

В §2 первой главы приведены результаты, полученные автором совместно с В.М.Лев'їуком. Введены понятие специального радикального ковра идеалов и операция коммутирования ковров; коммутирование копровых подгрупп при 2р(Ф)А' = К редуцируется к коммутированию соответствующих ковров. Это позволило построение нижнего центрального и коммутаторного рядов всякой ковровой подгруппы, определенной специальным радикальным ковром, свести к рекуррентному построению последовательностей соответствующих ковров (теорема 1.2.2). Отметим, что рекуррентное описание членов нижнего централі,ного и коммутаторного рядов для Ф типа Ап и рекуррентное описание нижнего центрального ряда, когда Ф типа С„, ранее было получено Х.Ролоффом (8), [12].

Одной из главных целей диссертации является разработка конструктивного метода построения специальных радиквльных ковров с помощью арифметических функций. Метод построения последовательностей определенных "арифметических” ковров разрабатывался в работах Ю.И.Мерзлякова, Ю.В.Сосновского и В.М.Левчука.

Для функции / : ФиФ* ми{0} (далее Ф-функции) и квэзирегуляр-

пом* идеал;! ./ ociiiwitoio кидыю А’ чсроа <т(/) обозначим систему ндеадо:1,. (тг (г 6 Ф U Ф*), каллы/) из которых ннлтчсн произведением /{>■) :,i..«ai-плнрои идеала J (J° — А). Дли mio, чтбы кивер a(() Сн,ы специальным радикальным при любом выборе кольца А’ н его квазире! улнрноги идеала ./ необходимо к достаточно, чюбм функция / удовлетворила услошшм G1) 0 < /(./) = /(-Г) < /(./) + П-q), (Ч 6 Ф),

1«2) ./(</) < /(<! ~ 1') 4 /(’О. (<7. г, Ч-г в Ф).

Дли любых Ф-функций /ид определим коммутатор [/,;;] = и\ считан w(ij) (q в Ф) ранным наименьшему из чисел

{/(>•*) 4-<»(<?), f{<l) + <Ar’) (Г £ Ф, '■'(</) Ф 0) /(у-»') +»(Г) 6 4»)),

it полагая

w(ij') - mill{/(7) 4- </(—</), /(-</) 4-;;('/)} («у 6 Ф).

Операции коммутирования коирои а Ф-функцнК - согласованы и енри-недлнно равенство [a(f),cr(y)] = сr([/,fl]). R §3 установлена

Теорема 1.3.1. Пусть } - произвольной Ф-функции с услооинми ко-и/шшети (71), (’*), а Г’ - подгруппа группы (7(а(/)), содержащая S(cr(f))._ Положим :

/<и = /(|) = /, /(.+1) -1/(0./]. /(,'н) = [/(,,./(‘!],i = 1,2,3,....

Тогда cr(Л’1) (t = 1,2,3,...) есть не/,обрастающие послсдооишслъ-

насти специальных радикальных коьроо при любом выборе основного кольца К и его ш.амрегулнриого идеала J; при 2р(Ф)К = К рлды подгрупп

Г 3 S(o(/,„)) Э *М/(.„)) о..., г э S(<r(/<a> I) Э S(*UW)) э...

образуют и Г нижний центральный и, соотистстчешю, коммутаторный ради. .

Таким образом, построение нижнего центрального и коммутаторного рл-;ia произвольной копровой под! рушил, определенной арифметическим копром. сведено к разрешению соответствующих рекуррентных соотношений для функций.

Г,

Полу чі ШЧ.Іе pe.iy.l М гі 111 іі[ііімм:(іііі і о! еч Ы чрчл і - ы і ч ■ іьі рі і' іе 1 ! 1 пни ноагр)imu >'•!>(/і) — ІЩК)'ЦЬі,.І\, і де І\ ./ - і;" Илнічпгч

[5], ч го іжжіїнп і:етралі.нміі |»іл і р\ ііпі.і S'b(l\) !і]иі /<( ■!•)’/. - /і шин ДеЛІК'ТСЯ ІІЧСЛі'.КІІіа 11- 11,(НІС І І.ІО «рифмеї ІІ'ІРСКПХ МЧіріШ С 'є ф\ ІЧЛІНЯМІІ

= -■ —[(hlr — k)/lt\ (г С >!'), имеющими посічяііііче змачг

пме /(0,і) на Ф" (1) - число Кокстера снгнми корней '!>, hi г ф\шлшн высоты корил, [•] - полая часть числа) см. В.М.Левчук j.'ij, її для тжічіі Л,„ С'п также Ю.И.Мерзлнкои [С], [О.Н.Состн.ский ['•]). 1 ’а.і|кчипч vi v ааншле о іеореме 1.3.1 рекурреіп иі.ге Сочі нчшгния дли функции /(г I -((/if >■ - 1' / j мы находим комму гаї opnue ряди снлітсьих ,• и і їді рупії когда ф типов С„, lhn-ь Аі,.. 1'\ при ]> > 2 п '!> -- (,’j мри ;/ > :!. 1! частности, получены следующие результаты. Рид

SC,.{Zr.,) Э $(tt(h)) О S(a(f*)) -J ... SWM) - l-< Л = ~ 1 ~ '«/<1

- является ком.мутаторнным для группы S'('„(Zpm), если число /і in; является степенью двойки и ;і > 2; ряд

so.{z,.m) э S{n(/2)) d s(<r(ij;)) э -.• •l>'(<T(rt-j'-i)) - /■:,

где S = —[- !o;;2(in-f і)j, - является г.оммутаторнмым для SC,(Zp;A, ec in P > 3. Здесь функция ip, совпадает с функцией j_, на мітласте [С1і\ {—?<}) U {0}, и <?,{—!>) = /2.-і.-і(-Ь), где І, - длинный нроеїчй корень системы корней G>.

!! §2 второй главы явно находятся последовательности функций, отвечающих коммутаторным рядам групп Л'Ф(?;,,>'')> когда типов >, {ті > 3) при ;> > 2.

Точные оденки ступеней разрешимости указі,тает Следстпне 2.2.1. Пусть s - ступень разрешимости си.тыкой р-поОгрушш группы Шсслше типа <!• пік) га.іьцач :Zp™ {р > 2), h -

- число Uoncmcpa системы корней <S>. Тогда для Ф тшиш /I (п > I) выполняете» iicp<u,eitanr,o

- [~ »<Л] ~ 1 nth].

Эта же оценки нерпа и для Ф типов |, 01и (п > 3), если п — 1 не ньмшпсн степенью числа 2.

II третьей глине диссертации строится нижние центральные ряды си-ловских р-подгрупп 5'Ф(%р~) в случаях, когда 1 < р < р(Ф) (теоремы

3.1.1, 3.2.1 (ортогональный и симплектичсский случаи), теоремы 3.3.1,

3.3.2, 3.3.3 (системы корней исключительных типов 6"] и 1\). Для групп 5Л„(2рт), исключая случай и = 1 и р = 2, они построены Ю.И.Мерзляко-иым [6], о при п = 1 я р = 2 - Ю.Е.Вапнэ [2]. Для групп ЯСп(Хг~) при р > 2 их описание получено Ю.В.Сосновским [9], а для произвольной группы силовской р-подгруппы 5'Ф(г;,,т) группы Шевалле Ф(2рт) при условии р > р(Ф) - В.М.Лсвчуком [5]. Необходимо отметить, что в исключительных случаях централы группы 5Ф(2рт), как правило, не пвлнютсп ковровыми подгруппами и, вообще говоря, не порождаются элементарными (корневыми и диагональными) элементами, что значительно затрудняет их исследование (а также и формулировку полученных результатов).

О последней, четвертой, главе диссертации изучаются автоморфизмы силовских ^подгрупп групп Шевалле над кольцом К = %рт классов вычетов целых чисел при некоторых ограничениях на простое число р и систему корней Ф. .

Напомним, что при изучении автоморфизмов групп Шевалле над произвольным коммутативными кольцами различают стандартные и нестандартные автоморфизмы. К стандартным автоморфизмам обычно относят внутренние, центральные (единичные по модулю центра группы), диагональные (сопряжениеэлементами Л(х). для некоторого А'-характера х), графовые (индуцированные симметрией диаграммы Дынкина системы корней Ф) и кольцевые. Отметим, что группа $Ф(К) обладает всеми перечисленными выше стандартными автоморфизмами, кроме кольцевых (так как группа автоморфизмов кольца Ътривиальна). Помимо стандартных группа 5Ф(Л’) обладает и нестандартными автоморфизмами, к определению которых мы и переходим.

Пусть г - простой, а Д - максимальный положительный корни сис-

темы корнеіі Ф, причем Д - г 6 Ф. Пусть гакжн А € и (< Є -і-Тогда отображения

ЛМО) = *г(0;гА-г(Л0г'і:д(2А/і/ЛГд-г,г)1 < е К,

» Ф'и, •

4'1(*г-д(0) = хг_д(/)ід(-|Д|2/і(/і^ -Фг„(*- д(*)) = х-д(1)хд-г(л0. «Є-Л.

определяют автоморфизмы группы 5Ф(Л") при р > р{Ф). (Здесь и далее мы указываем образы только тех корневых и диагональных элементов, на которых определяемое отображение деПствуст нетривиально). Далее, если Ф система корней типа С’,,, то отображен л урд,

ЙСМО) = ^г(0*Д-2^(-2Л</ЛглД'аг)гд-г(-ЗАіг/Лгл-г.г)і-д(А<3),

“ Фг„,

Фг„{*іг-д(0) = *,>-д(0*д-{2-0^(с<м0. * є Л,

Где <4 = 1, с1, = Л'гіГ-д/Д'г,д-г, Го = «і ^ _л/Л'г,д.2г, также пвлнютсп автоморфизмами группы 5С„(А').

Пусь система корней типа /?„ или Д,. Тогда отображение 7,„ дли которого

7Л*-д(0) = *-д(<)^.(/'0. . < € -Л можно продолжить до автоморфизма группы 5Ф(А’), положив

7«(г«-д(0) = ^-ДІ'Кі+.(с,/і<), і Є 7,,

ЗДеСЬ 3 Пробегает ВСЄ ПОЛОЖИТеЛЬИЫе КОрНН, ДЛИ КОТОРЫХ П| + л Р ф Наконец, если Ф система корней типа /1„ и число п + 1 делится на /), і о существуют нестандартные автоморфизмы следующего видя:

*!(*-.(<)) = Л,.(<) П Ьп,(1+ІМ),

1=1,•

здесь число і также делится на р. Подгруппу, порожденную анюморфиз-мвми ^ Ф1< 11 обозначим через 1/(Ф,р).

11 )-i і мі і,:\i i au'M Mr і iu p f <>и і липы шшнмсн

Ти»|>» мн 4.^.1. IhjCinu ф птшміи iwpnvil типп Л,4 {п > 2) и.ш Д, (т/ > I). І'огда прои.и>олышй ш,там орфизм группы >’ф(Л‘) ріп-.иі/т пи н и п;)Оіі->іпч!» ніи- cmiHuhpmnoso иитомарфішш ч аыномирфтма н і І (Ф. /»), і-с.ш р > 3.

ЛіІГО\И>)><|»ИЗМЬІ Группы S А і{'/, ишісьшаїч

'ІЧчірсмо <1.3.1. Нр<ш.і<>о.іьииГі аптоморфіші группы 5Л|(;.;;,->) при р > 'Л и vi > 2 рп.і.іпгпетпі в произведение внутреннего, (Кшгпнальпогч, ппнпрплиного импоморфц.шок и ш.шолшрфчима <л\ (Л Є который

ih йетьцет пшжОечпычнш на подгруппа П], • .г_,г(,Уі) и

1ла.г„(1)) = .r„(; t- \сн3-:\1} + 1)Ц>)!,„{\ +A(jJ-i)/2)j-„(At), г е V-

Тгоремы 1.2.1 и 1.3.1 чзешчно jiciimн>г вопрос 12,12 н.і "К<j\ (mтско;ї іст-раліГ. '

ЛИТЕРАТУРА

|1] Іїорі инч 3.11. Описати; полгруші полной линейной группы, cou p ж.'шшх группу днлкшальпых матриц. - Зап. науч. сем. ЛОМИ All ССС.І’. 11)7(1, І) І, 12-2!).

[2] Паши 11).К. Неп 111 п л і. н і. и ■ рилы н рили помму і питнії ж коюрич Ма гріїчіп.іх і рупії. - (ліо. ма г. ;і;урн., 1!)7І, 12. No. З, 1'і“-.гіІП.

[:І| Карі аполон М.І!.. Мгр.ілшпів 10.II. Оспины теории і рупії. - М., ІІа\ка, и:ід. 2, 11)77.

[І] Ііоуроискаіі теїр.ги,. Нгргшптыс попроси іеорпп і рупії. - 12-е пал.. Новосибирск. і І и-г млісмп і ш;п 14) ЛИ СССР, І <)!>2.

['і) Лгнчук II.М. Комму гаторнос строєній: немнорих полі рупії групи ІІІгналле. - Уі;р. кип. жури., 1!И)2, '11, No. G, 78G-795.

[(>] Мі'р.і.шкон 10.II. Центральные рнді.і п рпди коммутантов матричных групп. - Алгебра и логика, l!)(il, 3, No. 1.

[7] Мерл.шков 10.11. Аиюморфіимі.і двумерных кош руонц подгрупп. Алгебра и логика, H)7,'i, 12, No. -1, 177.

К)

[8] Ролофф X. Ншкние центральные рнды п рпды коммуіаніон се11--вых подгрупп полной линейной группы. - Зап. науч. сем. ЛОМИ ЛИ СССР, 1082, 11-і, 180-180.

[9] С'ОСНОВСКИЙ 10.11. КоммутаторноеСГ|І0ИІІН:СИМ1ІЛІ-КЇНЧ1Ч'КИХ I |Н ПН.

- Мат. заметки, 1078, 24, No.5, Сй1-(118.

[10] O’Meara, H.Zassenhaus. The i'Utomorphisms of Hm linear congruence

groups over Detlehinil domains. - J. Namber Theory, 1, ,\o, 2,211-221.

[11] R.E.Solazzi. The automorphisms of the sympWi ic сцц»тuenre giowps.

- J. Algebra, 1972, 21, No. 1, 91-102. '

[12] Ilolofr H. Zentralreihen der Netzunteifttuppen tier Ь'ушріекі is. hen Gruppe. - Math. Nachr, 1082, 108, No. 2, 211-251.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДНССЕРХ-ШШ

[1:1] Колесников С.Г. Коммутаторное строение снлоиских р-ітдгруші групп Шепалле некоторых типов. - В сб. тезисов Ш Мкждунароц. ЫН|ф, по алгебре, Красноярск; КРУ, 1993, с. 157.

[1-1] Колесников С.Г. Коммутаторное строение снлопских р-подгрунн групп Шепалле типов G2,Ft над кольцом Zp-n. - В сб. ’"Научные исследован. а математическом факультете КРУ", Деп. ВИНИТИ N1072 Ш)5 от 18.01.05, 130-119.

[15] Колесников С..Г. Автоморфизмы снлопских ;>-полгрупіі групп GL н SLi(7.rn). - В сб. тезисов Мегкдународ. кош!). "’НсесиОпрскне чтении по математике и механике”, Томск: ТГУ, 1997, с. 18.

1 [16] Колесников С.Г. Об автоморфизмах силовских ;ыюдгрупп груші Шевалло над кольцами вычетов. - Деп. ВИНИТИ от М.11.97, N 3322-097, с. 1-22.

[17] Колесников С.Г., Левчук В.М. Коммутаторные и центральные ряды обобщенных кошруэнц-подгрупп. - В сб. тезисов Мегкдународ. конф. по алгебре, Санкт-Петербург: изд. НИН химнн СНбГУ, 1997. с. 215.

Отпечатано па ротапринте КГТУ.

6G0074, Красноярск, ул. Киренского, 26.

Тираж 100 зк.ч.. Заказ N 2170.