Дифференциально-алгебраические и геометрические основы центральной динамики на кривых второго порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ФГБОУ ВПО Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова

На правах рукописи

Герасимова Ольга Вячеславовна

Дифференциально-алгебраические и геометрические основы центральной динамики на кривых второго порядка

01.01.06 -математическая логики, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва-2014

10 НОЯ 2014

005555522

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры механико-математического факультета ФГБОУ ВПО "Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова".

Научные руководители: Михалёв Александр Васильевич,

доктор физико-математических наук, профессор Размыслов Юрий Питиримович доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник

Официальные оппоненты: Голубева Валентина Алексеевна,

доктор физико-математических наук, профессор (ФГБОУ ВПО Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), профессор факультета прикладной математики и физики)

Голубков Артём Юрьевич, кандидат физико-математических наук, доцент факультета прикладной математики и информатики (ФГБОУ ВПО Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана)

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО "Тульский государственный педагогический университет им. Л.Н. Толстого"

Защита диссертации состоится 26 декабря 2014 г. в 16 ч. 45 мин. на заседании диссертационного совета Д 501.001.84 на базе ФГБОУ ВПО "Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова" по адресу: Российская Федерация, 119991, г. Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1, МГУ имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С текстом диссертации можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке ФГБОУ ВПО Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова (Москва, Ломоносовский проспект, д. 27, сектор А), http://mech.math.msu.su/~snark/index.cgi.

Автореферат разослан 22 октября 2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Д 501.001.84

на базе ФГБОУ ВПО МГУ имени М.В. Ломоносова

доктор физико-математических наук,

профессор

А. О. Иванов

Общая характеристика работы

Диссертация относится к алгебраическим аспектам теоретической физики. В ней рассмотрены следующие вопросы: дсзарговость проективной плоскости; необходимые условия коммутативности координатного тела; первые интегралы центрального движения по кривым второго порядка в терминах дифференциальных алгебр; понятия квадратичной и центральной динамики. Обозначим результаты, полученные в этом направлении.

Наблюдение первое. Для того, чтобы абстрактная проективная плоскость была дезарговой и ее координатное тело было коммутативным необходимо и достаточно, чтобы в хотя бы одной аффинной карте этой плоскости выполнялась следующая

Теорема1'2. Пусть точки Q\, Q2, <5з, S таковы, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Назовем 1\,1г, h прямые, проходящие через точку S и параллельные прямым Q1Q2, Q2Q3, Q1Q3, соотвественно. Возъмел1 произвольную прямую параллельную SQ2, но с ней не совпадающую, пусть она пересекает прямые l\,l2 в точках Р\ и Р2. Тогда точка пересечения прямых, проходящих через точки Р\ и Р2 и параллельных SQi и SQ3, соответственно, лежит на прямой I3.

Этот доказанный мной результат позволяет не только ввести геометрически наглядно привычное со времен Декарта понятие числа, доказав существование и коммутативность гомотетий с общим центром, но и указать естественный способ сравнения "ориентированных площадей "треугольников"" и строить теорию меры (в случае, когда координатное тело это поле действительных чисел) напрямую, не используя никакой евклидовой метрики.

Наблюдение второе.

Лемма о директрисе и фокусе3, 4. Для любых действительных а, ¡3, 8, к бесконечно дифференцируемые решения x(t), y(t) (x(t)-y'(t)—x'(t)-y(t) ф О,)

'О.В.Герасимова, Rolling simplexes and their commensurability. I (аксиима и критерий песлсилшс-чисти и лемлш о MoAienme), Фунд. и прикл, математика, 17:2 (2012), 87-95.

20.В.Герасимова, Ю.П.Размыслов, Rolling simplexes and their commensurability (законы механики как проблема выбора между метрикой и мерой), Фунд. и прпкл. математика, 16:3 (2010), 123-126.

3Ю.П.Ра.чмыслов, Ри^ояспение к "Rolling simplexes and their coinmeiisurubility" (yjHiunenu* пиля no Тихо БрагеJ , Фунд. и прикл. математика, 17:4 (2012), 193-215.

40.В.Герасимова, Rolling simplexes and their commensurability. II (лемлш о директрисе и фокусе) , Фунд. н прикл. математика, 19:1 (2014), 13 19.

уравнения

лемсат на кривых второго порядка, у которых фокус расположен в точке (0,0), а директриса определяется уравнением а-х + 0- y + S — О.

Теорема.3'4 Для любых действительных а, /3,у,6,к,а,Ь,с бесконечно дифференцируемые решения x(t), y{t), z(t) (не лежащие на прямой) уравнения

Ап2к

(х", у", г") = —-—---—— ■ (х — а,у — b, z — с) (а, 6, с € R)

(а • х + р • у + 72 + o)J

лежат на плоских кривых второго порядка, у которых фокус расположен в точке (a,b,c), а директриса является пересечением плоскости движения (содержащей (a, b,c)J и плоскости a-x + 0- y + ^- z + ô = O.

Эти два утверждения послужили соединительным звеном для известных и на первый взгляд разнородных моделей движения объектов по кривым второго порядка (в частности по прямым), при котором ускорение во все время движения направлено в одну и ту же точку (аффинного) пространства, поставив вопрос о существовании универсальной модели центрально-квадратичной динамики.

Наблюдение третье.

Теорема I5. Пусть |G| — порядок конечной группы G и

= ¿EElî-^ ^ = a-'h-'ah) -

1 1 geG heG

элемент групповой алгебры K[G\, где К = С — поле комплексных чисел. Тогда для любого представления р : G —> End^V в произвольном пространстве V линейное преобразование диагонализируемо и его спектр имеет вид 4f, где п пробегает dimxVi, где V{ —неприводимые компоненты в пространстве V относительно действия группы G.

Доказательство этого несложного факта было перенесено на произвольные компактные группы.

Теорема 26. Пусть мера Хаара ц на компактной группе G такова, что

50.В.Герасимова, Спектр коммутаторного гамильтониана водородоподобен , Вести. Моск. ун-та. Сер.

1. Математика, механика. 6 (2008), 71-74.

еО.В.Герасимова, Спектр коммутаторного галшлътониана сродни энергетическим уровням атома водорода , УМН, 64:4(388) (2009). 177-178.

= 1, а р : С? —» Еп(1кУ — непрерывное представление С в банаховом пространстве V над полем комплексных чисел К и линейный оператор ^ определяется формулой

с

Тогда для любого п-мерного подпространства IV, на котором р(С?) действует иеприводимо,

Я[С,С]Н = (У Р(3_1)( J р{н"1)р{9)р{^)йр11)йрд) ■ V) == а с

= (У (У p(g~1)p(h~1)p{g)d^lg)p(h)dp.h) ■ ги = • ии (и> пробегает IV). а в

На мой взгляд, наиболее фундаментальным здесь является случай регулярного представления компактной группы б = 5[/(2,С).

Важный пример. Пусть Би(2,К) — группа унитарных 2x2 матриц над комплексным полем К с детерминантом, равным единице, V — линейное

пространство всех функций / : й —> К, для которых ||/||2 J \f{g)\2dpg <

а

оо, и представление р : С7 —> ЕпЛ^У группы (7 реализуется правыми сдвигами р{К) х /(д) = /(Ид). Хорошо известно7, что

(a) в V с точностью до эквивалентности функций реализуется гильбертово пространство относительно полуторалинейной формы

(/(<?),%)) ^//ЫЩ^, в

(b) для любого натурального п единственное с точностью до изоморфизма п мерное представление группы С реализуется в V и имеет в V кратность, равную тг,

(c) сумма всех конечномерных неприводимых подпространств из V плотна в V.

Из теоремы 2 заключаем, что в гильбертовом пространстве V имеется полный ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов оператора |. В частности, для любого натурального п кратность собственного

.Понтрягпн, Непре]гывные группы, М.: Изд-во Наука, 1984.

з

значения £ равна п2. (См. для сравнения в книге Германа Вейля8 спектр оператора Шредингера для атома водорода.)

Вот, вкратце, мои основные результаты вокруг, которых были проведены исследования в данной диссертации: "Дифференциально-алгебраические и геометрические основы (начала) центральной динамики на квадратичных кривых".

Актуальность темы

Исследование движения по кривым второго порядка восходят к работам Евклида, Р. Декарта, И. Ньютона. В то же время ряд вопросов не был рассмотрен должным образом, так, например, дифференциальные алгебры квадратичной и центрально-квадратичной динамики, как и само понятие централыю-И квадратичной динамики, возникли в работах Ю.П. Размыслова9, 10, 11 (20102013гг). Отправной точкой для этих исследований явилась наша совместная с Ю.П. Размысловым работа об аксиоматизации декартовой проективной плоскости и доказанная мной лемма о директрисе и фокусе. В диссертации эти исследования доводятся до логического конца, указанием регулярного способа построения "полной" системы констант в этих алгебрах. Причем, эти методы не ограничиваются случаем квадратичных кривых и могут быть использованы для дальнейшего развития теории на случай центральной динамики на плоских аффинных алгебраических кривых степени N > 2.

Цель работы

Получить наглядное описание декартовой проективной плоскости, то есть дезарговой плоскости, координатное тело которой коммутативно. Ввести ко-ордннатизацию аффинной карты такой плоскости над коммутативным телом (полем) не прибегая к использованию понятий, аналогичных метрике. Описать в наибольшей общности (в терминах дифференциальных алгебр) дви-

8Г. Вейль, Теория групп и квантовая механика. , М.: Изд-во Наука, 1974.

9Ю.П.Размыслов, Роллинг и соизмеримость симплексов (аксиома и критерий несжимаемости, лемма о моменте) , Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика, механика., 5 (2011).

шО. В. Герасимова, Ю. П. Размыслов, Rolling simplexes and their commensurability (законы механики как проблема выбора между метрикой и мерой), Фундамент, и прнкл. матем., 16:3 (2010) 123—12U.

ИЮ. П. Размыслов, Разъяснение к "Rolling simpleres and their commcnsurability" (уравнения поля по Тихо BjKize), Фундамент, и прикл. матем., 17:4 (2012) 1УЗ 215.

жение по кривой второго порядка, квадратичную динамику. Предоставить описание центральности движения. Показать, что язык дифференциальных алгебр является более естественным методом описания физических законов движения. Указать единый способ построения полной системы констант в алгебре центральной динамики. Исследовать спектр интегрального оператора -коммутаторного гамильтониана компактной группы.

Методы исследования

В работе использован аксиоматический метод для построения декартовой (папповой) проективной плоскости; элементарные методы теории дифференциальных уравнений для явного отыскания полной системы первых интегралов; метод соотношений Капелли и теорема о ранге Капелли Ю.П. Размыс-лова; техника гомоморфизмов Тейлора и аналитический спектр; дифференциально-комбинаторный метод исследования свойств определителя Вронского. выражающего свойство квадратичной динамики; явное построение полной системы констант в дифференциальной алгебре центрально-квадратичной динамики.

Научная новизна

Все результаты диссертации являются новыми, получены автором самостоятельно. Перечислим основные:

1. Получена аксиоматика дезарговой проективной плоскости, координатное тело которой коммутативно, в терминах роллинга.

2. Доказана теорема о касательном расслоении к кривой второго порядка, а так же указан способ построения касательного расслоения с помощью угольника и линейки.

3. Доказана лемма о директрисе и фокусе, а так же приведено объяснеиио как центрально-квадратичная динамика может быть сведена к ней при помощи кубичного расширения. Приведены примеры применения данной леммы к классическим задачам: о гармоническом осцилляторе, полях Ку-лопова типа.

4. С помощью полученного комбинаторного результата доказывается теорема о проинтегралах дифференциальной алгебры центрально-квадратичной динамики.

5. Исследован вопрос о спектре коммутаторного гамильтониана. Получены следующие результаты:

описан спектр для случая конечной группы;

получено обобщение оператора на случай компактной группы и приведен его спектр;

приведен пример, при котором полученный оператор является интегральным аналогом оператора Шредингера для атома водорода.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на следующих научных конференциях и семинарах:

1. Научно-исследовательском семинаре по алгебре, механико-математический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова,

профессор В.Н.Латышев, профессор А.В.Михалев, неоднократно, 2010-2014 гг.

2. Научно-исследовательском семинаре Дополнительные главы алгебры, профессор В.А.Артамонов, 2010.

3. Международный алгебраический симпозиум , посвященный 80-летию кафедры и 70-летию профессора А. В. Михалева., Москва, 15 18 ноября 2010.

4. Международная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию со дня рождения А.Г.Куроша, Москва, 28 мая - 3 июня 2008.

Публикации

Результаты автора по теме диссертации опубликованы [1]-[10], 3 из которых — в ведущих научных журналах из списка, рекомендованного ВАК.

Теоретическая и практическая ценность работы

Диссертация имеет теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы в теории дифференциальных алгебр, теоретической физике и квантовой теории. Ввиду их простоты и наглядности методы этой работы можно использовать в работе со студентами и даже школьниками для знакомства их с некоторыми базовыми математическими понятиями, составляющими основу математической интуиции. Это понятия поля, меры, декартовой плоскости и введенное нами с Ю.П. Размысловым понятие роллинга.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы из 31 наименования. Общий объем диссертации составляет 85 страниц.

Краткое содержание работы

Во введении затронута актуальность темы диссертации, ее структура, перечислены результаты автора.

В главе 1 вводится понятие роллинга, то есть "передвижения" любой точки из тройки параллельно прямой, проходящей через две оставшиеся, причем порядок точек в тройке сохраняется, то есть тройка (А, В, С) может перейти в тройки (А', В, С), (А, В', С) либо (А, В, С"), где точки А', В', С' лежат па прямых, параллельных прямым ВС, АС, ЛВ и проходящих через точки А, В, С, соотвественно.

Вводится аксиоматика теории поля, основанная на понятии роллинга, и выясняется, что доказывается аксиома является достаточной и необходимой для построения теории.

(КО) (Аксиома несжимаемости). Если точки А, В, С аффинной плоскости не лежат на одной прямой н точка И находится па одной прямой с В и С, но не совпадает с С, то тройку (А, В, О) нельзя перекатить в тропку (А, В, С).

Теорема 2. Пусть точки £¿2, (^з, таковы, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Назовем 1з прямые, проходящие через точку 5 и параллельные прямым соотвественно. Возьмем

произвольную прямую параллельную Зг, но с пей не совпадающую, пусть она пересекает прямые в точках Р\ и Р^. Тогда точка пересечения прямых, проходящих через точки Р\ и и параллельных и БС^з, соответственно, лежит на прямой

Основным результатом первой главы является

Критерий несжимаемости. Для того, чтобы проективная плоскость была декартовой, то есть дезарговой, у которой координатное тело коммутативно, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы в одно аффинной карте М[ выполнялось любое из следующих условий

(a) в Л/; справедливо (1Ю);

(b) в М/ справедлива теорема 2.

Глава 2 посвящена формулировке и доказательству основного результата работы, который составляет основу центрально-квадратичной динамики.

Лемма о директрисе и фокусе. Для любых действительных а, /3, 6, к. бесконечно дифференцируемые решения х(Ь), у{{) (х{€) ■ у'{1) — х'(Ь) ■ у{Ь) ф 0) уравнения

Х"'У") = -7-■ (*>У)

(а ■ х + /3 ■ у + 5у

лежат на кривых второго порядка, у которых фокус расположен в точке (0,0), а директриса определяется уравнением а-х + Р- у + 5 = 0.

Эта лемма допускает следующее обобщение.

Теорема. Для любых действительных а, /3,7, <5, а,Ь, с бесконечно дифференцируемые решения х(£), т/(£), г(£) (не лежащие на прялюй) уравнения

4п2к

г") = -{а.х + р.у + 1г + 5у -(х-а,у-Ь,2-с) {а Асе И)

лежат на плоских кривых второго порядка, у которых фокус расположен в точке (а,Ь,с), а директриса является пересечением плоскости движения (содержащей (а,Ь,с)) и плоскости а-х + /3-у + 7- 2 + (5 = 0.

Далее рассматриваются примеры центральных полей динамика, которых квадратична, дается подробное описание движения и его первых интегралов.

Глава 3 является концептуальной. Развитые в пей алгебраические методы используются для обоснования основных результатов главы четыре и включают технику гомоморфизмов Тейлора и соотношений Капелли. Особо здесь следует отметить следующие понятия и результаты.

Аналитический спектр. Для любого M £ Spec/f/t обозначим фм К-гомоморфизм Л'-алгебры А па фактор-алгебру A/M, которая изоморфна любо К, либо С . Тогда с точностью до автоморфизма комплексного сопряжения можно считать, что фм - это /-^-гомоморфизмом Л'-алгебры А в ноле С. Обозначим, SpecA-/l такое подмножество в Spec^-Л, составленное из тех Л'-простых идеалов M Л'-алгебры, для которых при гомоморфизме Тейлора фм : А —>■ C[[f]] образ фм(А) состоит из рядов, сходящихся в некоторой окрестности нуля поля С. Оказывается, что /^-гомоморфизмов фм : А —> С (M G Spec/CA) достаточно много.

Теорема .Пусть дифференциальная К-алгебра А имеет конечное число дифференциальных образующих относительно К-дифференцирования D : А А. Тогда для любого ненильпотентного элемента а К-алгебры А существует M е SpecA-yl такой, что фм(а) ф 0 в поле С.

Лемма о нильпотентном элементе. Обозначим W{a\,..., а,) матрицу, у которой в г-ой строке j-ro столбца (г = 0,1,2,... ,j = 1,2,... ,п) стоит элемент D1 х aj.

Лемма .Если самый верхний минор |ai,...,a„| п-го порядка матрицы W{a\,... ,ап) является нильпотентным элементом в К-алгебре А, то все остальные миноры п-го порядка матрицы W(ai,... ,ап) нильпотсптиые элементы К-алгебры А.

Лемма о проинтегралах. Рассмотрим дифференциальную К-алгебру Fn, заданную дифференциальными образующими Х\, ■ ■ ■ ,хп и одним определяющим дифференциальным соотношением \х\, ■ ■ ■ ,хп\ = 0. Обозначим m'j алгебраическое дополнение для элемента х^ в квадратной матрице

т(0) _(о) (0) ... (0)

Ju ^ Оу 2 «Л/ кЬ 7J

г«1) -г«1' Г«1' . . . т(!)

ju ^ ju 2 «i^ 2 •*•> л

(n-1) (n-1) fn-1) ___ (и-1)

H

Xn ' " ' Xn

Положим Г;(х1, ■ • ■ ,хп) =Г гп'п_1(г = 1, • ■ • ,п). Тогда в алгебре имеют место следующие равенства

(a) 7-1(11, • • ■ ,хп) • XI +г2(хи ■■■ ,хп) ■ х2 Н-----1- гп(х1, • • ■ ,хп) ■ хп - 0,

(b) г,; • г^ — г[ ■ г^ = 0.

Элементы r\{x\, ■ ■ ■ , хп), ■ ■ ■ , гп(хх, ■■■ , хп) дифференциальной Л'-алгебры Fn мы называем проинтегралами, имея в виду, что в локализации элементы п/г,- являются константами. Действительно, из свойства (Ь) следствия вытекает, что = 0 в Fn.

Глава 4 начинается доказательством следующего комбинаторного результата.

Теорема 1. Пусть уЩ свободная дифференциальная алгебра отно-

сительно сигнатурного дифференцирования 1 с дифференциальными образующими х,у. Пусть Н =f \х2, ху, у2, х, у, 1| определитель Вронского для функций х2,ху,у2,х,у, 1. Обозначим через ?П; - минор матрицы II, получающийся вычеркиванием последней строки и г-го столбца.

ШсМ def 1 def def i

ложим <7п = mi, дi2 = g2i = -5т2,д22 = т3,д1;л =53,1 = -57714,

def 1

533 = -ГПЁ,дз,2 = 52,3 = 2m5-

Тогда

(a) ди ■ х2 + 2 • дп ■ х ■ у + д22 ■ if + 2 • дп ■ х + 2 • д32 ■ у + д}3 = 0;

(511 512 513 \

521 522 523 = -8 • 729 ■ а™ = -8 • 729(а-' • у" - х" ■ у')10;

5з1 532 5зз /

(«) / ' 5' - /'' 5 Делится на \х2, ху, у2, х, у, 1|;

(d) \х2, ху, у2, х, у, 1| = -(а12)2Ь2(х, у) = (х' ■ у" - х" ■ у') • (-9 • а'{[2 ■ а2а -27 • &2.3 ■ 0-1,2 + 45 • <2 • 0-1,2 ■ ^1,2 + 45 • <Т2,3 • ff'l,2 • - 40 • Ki2)3).

С помощью этой комбинаторной теоремы доказывается основной результат о редуцированной алгебре квадратичной динамики G2, которая задается двумя образующими х, у и дифференциальным соотношением b2(x,y) = 0.

Теорема 2. Рассмотрим в дифференциальной алгебре G2 следующую симметрическую матрицу

( gll gl2 gl3 ^

Hg2 = g2i g22 g23 > gde Sij получаются из gij, при помощи ecrne-

\ g31 g32 g33 /

ственного гомоморфизма из К[х^\уЩ в G2 как фактор-алгебру по элементу Ь2(х,у).

Тогда

м Н'а, = ЩрНС2;

(b) I • я' — /' • 5 = 0 произвольных элементов матрицы Нд2,'

(с) • х1 + 2 • gl2 • X ■ у + g22 • у2 + 2 • glз ' X + 2 ■ gз2 • у + gзз = о/

(й) detна2 = -8 • 729 • ац

Как было определено в статье Ю.П.Размыслова12 дифференциальная алгебра центрально-квадратичной динамики В2 порождается двумя образующими и х, у и дифференциальными соотношениями типа Капеллп

(a) (Тог = 0 - свойство центральности поля

(b) 62(2:, у) = 0 - условие квадратичной динамики.

Там же было доказано, что ее локализация по элементу стщ изоморфна локализации по элементу сг01 дифференцнальной алгебре Декарта-Уоттона £>2. заданной тремя дифференциальными образующими и,у, и> н следующими соотношениями

(a) и" = —и> • и, у" = —и> ■ V,

(b) 9 ■ V}'" ■ IV2 - 45 ■ ю" ■ ш' ■ и> + 40 • (и/)3 + 9 • и>' ■ ъи3 = 0.

Теорема 3. Рассмотрим алгебру (7, получающуюся присоединением к алгебре Декарта-Уоттпона £>2 еще одного элемента в, (а также единичного элемента), связанного следующим соотношением иисР = 1. Локализация С?^-1] по элементу (1 вкладывается в локализацию (7,5[с?-1], где дифференциальная алгебра С& задается образующими х,у,й,8 и определяющими соотношениями д.3 ■ х" = -х, д3 ■ у" = -у, сР ■ й" = -(д. - 8), где 8' = 0.

Из теоремы непосредственно следует, что в трехмерном аффинном пространстве с координатами х,у,<1 любое гладкое решение л;(£), у(£). ¿(£) системы дифференциальных уравнений

х" = = = - 6), где 8' = 0. (1)

должно лежать в плоскости, проходящей через точку (0, 0, 8),

глр л = тклт _ + х ппичрм (^ (»><*) v - о (^аелv _ п

ГДе а ат{х,у)Х от(х,у)У + °> Причем ^^ - и, у) j - V.

Положим а =£ Р == таким образом, решения уравнения (1)

сводятся к решению системы уравнений

(ах + ру + о)11

Смотри для сравнения лемму о директрисе и фокусе.

12Ю.П.Размыслов, Ро^зясмемие л: "ЯиШт1д г>{тр1ехеи сшЛ Ммг соттышгииЬИИу" (у]х1нн(-т я поля по Тихо Браге), Фундамент, и прикл. ыатем. 17:4 (2012), 193—215

В главе 5 исследуется спектр коммутаторного гамильтониана.

Теорема 1. Пусть | С | порядок конечной группы (3 и

Ща.с) =' Е ЕЬ. V (\9> ^ = З-^ф) -' 1 дав Нее

элемент групповой алгебры К [С], где К = С — поле комплексных чисел. Тогда для любого представления р : (3 —> ЕпйкУ в произвольном пространстве V линейное преобразование р{Н[сс\) диагонализируемо и его спектр имеет вид где п пробегает <ИткУ^, где У, —неприводимые компоненты в пространстве V относительно действия группы

Далее оператор #[<?,<?] обобщается на случай произвольной компактной группы.

Теорема 2. Пусть мера Хаара ¡1 на компактной группе С такова, что ц{С) = 1, а р : б Епд.кУ — непрерывное представление О в банаховом пространстве V над полем комплексных чисел К и линейный оператор ^ определяется формулой

Н\а,сI Л- Л

с

Тогда для любого п~м.ерного подпространства IV, на котором р(й) действует неприводимо, ЩссЛи]) = (/р(5_1)(/р{1г1)р(д)р{!1)(1^к)(1/1д) ■ ю =

с в

= (/(/ р(^1)р(^1)р{д)(1цд)р{1г)<111к) ■ и) = Дг ■ ю (ш пробегает V/). с с

Благодарности

Автор выражает глубокую благодарность своим научным руководителям доктору физико-математических наук профессору А.В. Михалёву и доктору физико-математических наук ведущему научному сотруднику Ю.П. Размыс-лову за постановку задач и внимание к работе.

Автор также выражает благодарность всем сотрудникам кафедры высшей алгебры за внимание к работе.

Работы автора по теме диссертации

[1] О. В. Герасимова. Спектр коммутаторного гамильтониана водородоподо-бен // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика, механика. 6 (2003), 71 74.

[2] О. В. Герасимова. Спектр коммутаторного гамильтониана сродни энергетическим уровням атома водорода // УМН, 64:4(388) (2009), 177-178.

[3] О. В. Герасимова, Ю. П. Розмыслов. Гамильтоновость полиномиальных ниль-распределений па афинной плоскости // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика, механика. 1 (2010), 67-70. (Ю.П.Размыслову принадлежит формулировка теоремы 1, О.В. Герасимовой формулировка теоремы 2, доказательств обеих теорем и следствий из нее.)

[4] О. В. Герасимова Плотные конечно порождённые подгруппы и кнтсгрнро-вание в компактных группах // Фундамент, и прикл. матем.. 13:4 (2013). 71-77.

[5] О. В. Герасимова, Ю. П. Размыслов. Rolling simplcxes and their commensurability (законы механики как проблема выбора между метрикой и мерой) // Фундамент, и прикл. матем., 16:3 (2010), 123-126. (Ю.П.Размыслову принадлежит формулировка теоремы 1, 0.13. Герасимовой формулировка и доказательство теоремы 2.)

[6] O.V.Gerasimova, Yu.P.Razmyslov. Rolling simplexes and their commensurability (Laws of mechanics as a problem of choic.' between metrics and measure) // Journal of Mathematical Sciences (New York), 177:6 (2011), 860-861. (Ю.П.Размыслову принадлежит формулировка теоремы 1, О.В. Герасимовой формулировка и доказательство теоремы 2.)

[7] О. В. Герасимова. Rolling simplexes and their commensurability. [ (аксиома и критерий несжимаемости и лемма о моменте) // Фундамент, и прикл. матем., 17:2 (2012), 87-95.

[8] О. В. Герасимова. Rolling simplexes and their commensurability. II (лемма о директрисе и фокусе) // Фундамент, и прикл. матем., 19:1, (2014), 13 19.

|0

[9] О. V.Gerasimova. Rolling simplexes and their commensurability. I. The axiom and criterion of incompressibility and the momentum lemma // Journal of Mathematical Sciences (New York), 186:4 (2012), 586-591.

[10] О. В. Герасимова. Спектр коммутаторного гамильтониана водородопо-добеп. Международная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию со дня рождения А.Г.Куроша. Тезисы докладов, с. 67438, 20 08.

тираж 100 экз заказ № 545 подписано в печать

31.10.14 объем 1,0 Отпечатано в типографии "Реглет" г. Москва, Проспект Мира, д. 38