Некоторые вопросы геометрии кокасательного расслоения и касательного расслоения второго порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

< о

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Ил мршах .• / ¿очг:с/. УДК 514. 36

МАЗЕТИС ЭДМУНДАС ШЛЕСЛОГО

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ГЕОМЕТРИИ КОКА САТЕЛ Ы10 ГО РАССЛОЕНИИ И КАСАТЕЛЬНОГО РАССЛОЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

(01. 01.04 - геометрия и топология)

Автореферат диссертации на соискание ученой степснн кандидата физижо-штемагаческкх наук

МИНСК - 11>93

Работа выполнена на кафедре геометрии Вильнюсского педагогического университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор В. И. Близиикас.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор В. С. Малаховский, кандидат физико-математических наук, доцент С. Г. Кононов.

Ведущая организация: Казанский государственный университет

Автореферат разослан " " года

I

Защита состоится " " года

в часов на заседании специализированного совета по математике К 056.03.05 Белорусского университета по адресу 220060, Минск, Ленинский проспект 4, главный корпус, коми.206.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке БГУ.

Ученый секретарь специализированного совета доц. П. II. Князев

Б1, 605. ГоппаЬз 21 X 29/2. КаегокорЦа. Пгагаа 100. и&аЪутаа №. 328 Браиза&ю УРи 1е1<1ук1а. беугепкоз 31. 2009 У|1п1т

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Дифференциальная геометрия расслоенных пространств возникла в 30 - х годах XX столетия. Благодаря своей многоаспектное™ и широте постановки задач она остается и в настоящее время огной из наиболее актуальных областей исследований. Центральное место в этих исследованиях занимает теория связностей.

Первые понятия аффинной связности (символы Кристоффеля) в неявной форме появились в работах Р. Липшица и Э. Кристоффеля, где они использовались при исследовании строения дифференциальных инвариантов дифференциальных квадратических форм и проблемы эквивалентности последних.

Продолжения этих исследований привели к определению

•

ковариантного дифференцирования, строгое обоснование которого дано в работах К. Риччи и Т. Леви - Чивиты. И теперь принято считать, что история теории связностей начинается с работы Т. Леви - Чивиты о параллельном перенесении векторов в римановом пространстве. Следует заметить, что Г. Вейль ввел понятие пространств аффинной связности, считая символы Кристоффеля {]К} самостоятельным дифференциально геометрическим объектом. Однако существуют различные геометрические интерпретации объекта аффинной связности Г чАх) • Поэтому теория связностей является многораэветвленной областью современной дифференциальной геометрии, которая соприкасается с различными

дифференциально-геометрическими теориями, и находит приложения в современных разделах теоретической физики, теоретической механики, теории относительности и гравитации. Это фактически следует из того, что для расслоенных пространств, обобщая ту или иную геометрическую интерпретацию аффинных связностей, мы можем построить различные аналоги теории аффинных связностей.

Прогресс в дифференциальной геометрии в первой половине XX столетия был стимулирован созданием общей теории относительности (работы А. Пуанкаре, Г. Вейля, А. Эйнштейна и др.) и геометрическими открытиями Т. Леви - Чивиты. Идеи последнего были обобщены в работах И. А. Схоутена. Г. Вейля. Э. Картана, Е. Бомпиани, Д. Лж. Стройка и др. Например, как уже было сказано, Г. Вейлем были открыты пространства аффинной связности, Р. Кениг разработал начало теории линейных связностей в векторных расслоениях. В многочисленных работах Э. Картана, И. Томаса и Т. Томаса заложен фундамент теории пространств конформных и проективных связностей. Э. Картаном также была разработана общая концепция связностей в расслоенных пространствах со структурной группой Ли. На основе этих работ Э. Картана возникли новые направления в геометрии.

Следующий этап в истории теории связностей был обусловлен бурным развитием геометрии финслеровых пространств и различных их обобщений. И. Тейлор распостранил идеи Т. Леви - Чивиты на построения теории связностей финслеровых пространств. Л. Бервальд построил внутреннюю

аффинную связность финелерова пространства, а Э. Картан -метрическую связность финслеровых пространств,

удовлетворяющую лемме Риччи. Это открытие Э. Картана, работы его многочисленных учеников и последователей создали новые направления не только в дифференциальной геометрии финслеровых пространств, но и привели к новым обобщениям. Эти неиЛерпаемна обобщения вызвали необходимость построения понятий бивекторных (С. Хокари), аффинорных (X. Хомбу), тензорных (К. Вомпиани) и других связностей.. Фактически, внутренние аффинные связности, появляющиеся в геометрии интеграла, геометрии Картана, геометрии пространств Кавагути и геометрии систем дифференциальных уравнений, во многих случаях представляют собой алгебраические охваты внутренних тензорных связностей произвольных валентностей. Такие идеи детально проанализированны в докторской диссертации В. И. Близникаса и в работах его учеников ( Ю. И. Шинкунаса, А. П. УрОонаса, К. Навицкиса и др. ).

Новый поворот в развитии дифференциальной геометрии расслоенных пространств и теории связностей был связан с работами В. В. Вагнера, Г. Ф. Лаптева, Ш. Эресмана. Например, в трудах В. В. Вагнера были созданы основы теории линейной дифференциально-геометрической связности. Идеи В. В. Вагнера и Г. Ф. Лаптева были сильно обобщены в исследованиях В. И. Близникаса, а позднее применены к построению внутренних связностей, присоединенных к системам дифференциальных уравнений.

Для изучения этих вопросов оригинально новые идеи

предложенн в работах В. И. Близникаса, Б. Л. Лаптева, Ю. Г. Лумисте, В.В. Спесивых, Б. Н. Шапукова, А. П. Широкова и др. Одним из центральных вопросов, затрагиваемых указанными авторами, является геометрия оснащенных расслоенных пространств и таких их связностей, которые охватывают различные классические задачи дифференциальной геометрии. В последнее время ведутся интенсивные исследования в Калининграде под руководством В. С. Малаховского.

Существуют различные расслоенные пространства специального геометрического строения. Среди них ос-оОое место занимают касательные и кокасательные расслоения дифференцируемого многообразия а также касательные расслоения высших порядков. В диссертации изучаются некоторые вопросы геометрии оснащенных кокасательных расслоений и касательных расслоений второго порядка. Кокасательное расслоение (соответственно, касательное расслоение второго порядка) называется оснащенным, если на нем определено поле дифференциально-геометрического объекта, при помощи которого в касательных пространствах выделяются подпространства, дополняющие инвариантные подпространства до всего касательного пространства. Очевидно, что оснащение расслоенных пространств можно определить по разному. Любое инвариантное оснащение определяется заданием дифференциально-геометрического объекта. В качестве таких объектов берутся либо поля линейной связности, либо такие поля, дифференциальные продолжения которых охватывают объекты липейпых, тензорных и аффинных связностей. Заметим,

что пространство Кавагути является примером оснащенного касательного расслоения второго порядка.

В работе рассматриваются два разные расслоенные пространства гад и тгш , но при построении геометрии Картана и геометрии пространства Кавагути второго порядка имеется много общего. Еще сам Картан построил один класс различных внутренних связностей пространства Т'Ч У^.), оснащеиного метрической функцией Однако

аналог «чные задачи не решены для пространств Кавагути второго порядка. Для решения этой задачи пришлось с новой точки зрения исследовать различные связности пространства

ТЧУ.).

Цель работы. Цель работы заключается в следующем.

Инвариантным методом Г. Ф. Лаптева исследовать кокасательное расслоение

дифференцируемого

многообразия Уи, с фундаментальным дифференциально-геометрическим объектом линейной связности Ь м ( > ] > К,

б V

«м =• 4., 2,Ц, ). Оказалось, что существует вполне определенная аффинная связность Р^" , порожденная дифференциально-геометрическим объектом . Тогда

возникла необходимость построить теорию кривизны пространства

с аффинной связностью I ^' , найти необходимые и достаточные условия для того, чтобы упомянутое пространство было симметрическим (в смысле Э. Картана), построить алгебраический эквивалент этих пространств, а также изучить теорию дифференциальных инвариантов пространства

с линейной и индуцированной аффинной

с-вязностями, доказать аналоги теорем 0. Веблена о замене и приведении.

Другая цель работы - исследовать геометрию касательного

расслоения второго порядка V (Уи,) дифференцируемого

многообразия Уи„ с дифференциально-геометрическим

объектом линейной связности ( Г* , М" ), доказать, что

я 3

дифференциальные продолжения этого объекта индуцируют два объекта аффинных связностей Н(^, и

пространства ) ( Уи) ■ Тогда возникает необходимость изучить геометрию пространства I ^Уц) с построенными аффинными связностями.

Ставилась и третья задача - исследовать структуру тензорных алгебр

ТЧУц) ^(ТЧ У*,)) , ^СТ(Ук)) , Т*СТЧчп))}ТСТЧУ„.)), П0СТР0ИТ1; лифт

тензорных полей алгебры

в алгебру ПгЧуд) и применить полученные результаты для изучения некоторых вопросов геометрии пространства Кавагути, как это делалось раньше некоторыми авторами для случая финслеровых пространств.

Метод исследования. Работа выполнена методом внешних форм и инвариантным методом дифференциально-геометрических исследований, разработанным Г. Ф. Лаптевым и дополненным его учениками (Л. Е. Евтушик, В. И. Бдизникас, Н. М. Остиану и др.).

Научная новизна. В диссертации приведен новый метод построения аффинных связностей кокасательного расслоения

ТЧУк)

и касательного расслоения; второго порядка дифференцируемого многообразия Ук . Доказано, что

дифферентальние продолжения объекта линейной связности

, при помощи которого оснащается пространство

, индуцируют объект аффинной связности Г д ,

определены неголономные ковариантные производные

относительно этой связности, получены выражения тензоров

кривизны и кручения связностей Iи Г ¿^ и найдены

аналоги тождеств Риччи - Бианки.

Доказано, что задание фундаментального дифференциально-

геометрического объекта позволяет построить полное

с

оснащение касательного расслоения второго порядка '' "('Vи.)• Далее оказалось, что дифференциальные продолжения упомянутого объекта охватывают объекты аффинных связностей Г;,' и Г; - Построены объекты кривизны этих связностей

4 г

и неголономные ковариантные ^ производные ( относительно

аффинных связностей Г ¿.' и Г £ • ) и получены аналоги

тождеств Риччи и Бианки.

Найден новый конкретный пример симметрических

пространств - симметрические кокасательные расслоения

ТЧУи)

с линейной и индуцированной аффинной связностями. Доказано, что первый тензор кривизны индуцированной аффинной связности этого пространства равен нулю. Изучены группы изоморфии и изотропии рассматриваемого пространства и получен алгебраический эквивалент последнего.

Построена теория дифференциальных инвариантов кокасатвльного расслоения

Т*(У*) с

линейной и

индуцированной аффинной связностями ( введены нормальные координаты, при помощи которых определен аналог операции

расширения дифференциально-геомерических объектов

пространства ' О/ц.)} обобщено понятие нормального тензора и др. ). Получен новый вариант схемы 0. Веблена, при помощи которого удалось доказать аналоги теорем о замене и приведении для дифференциальных инвариантов пространства Т' Ш с линейной и индуцированной аффинной связностями.

Приведен новый вариант построения лифтов с помощью линейной связности пространства ) ^(Уц,) для тензоров алгебры в алгебру Т^С Т^СУц)), т. е., указан

инвариантный метод, который каждому набору девяти Си (п,Ю -тензорных полей пространства I ^ (однозначно сопоставляет С |_Д И . И„ И.,Я)~ тензорное поло, определенное на том же пространстве.

Методом внешних форм и методом Г. Ф. Лаптева изучены основные факты геометрии пространства Кавагути второго порядка Кц . Доказано, что при помощи пфаффовых производных метрической функции можно определить метрический

тензор пространства , дифференциальные продолжения

которого внутренним образом охватывают объекты линейной и двух аффинных связностей. Построена метрическая аффинная связность пространства Р> И- и вычислены все ее тензоры кривизны.

При помощи ранее построенного лифта изучены некоторые свойства внутренних связностей пространства Рассмотрен один частный случай лифта, который можно трактовать как лифт метрического тензора этого пространства. Доказало, что римапова связность лифта метрического тензора

В §4 построен оператор неголонодаого ковариантного дифференцирования относительно индуцированной аффинной связности и доказаны обобщенные тождества Риччи и Бианки для рассматриваемого пространства.

Во второй главе изучаются симметрические кокасательнне расслоения, т. е., кокасательные расслоения ТТ (У/^,) с ковариантно постоянными тензорами кривизны и кручения. Симметрические пространства без кручения были изучены Э. Картаном, а с кручением - П. К. Рашевским. Конкретные примеры симметрических пространств приведены в работах В. И. Близникаса, Ю. И. Шинкунаса, Т. Р. Дисинчарадзе, Г. Ш. Тодуа и др. В настоящей работе приведен новый пример таких пространств, характерен тем, что первый тензор кривизны равен нулю.

В §5 доказано, что первый тензор кривизны индуцированной аффинной связности симметрического кокасательного расслоения равен нулю, а также найдены группы изоморфии и изотропии рассматриваемого симметрического пространства.

В §6 доказана формула для явного выражения второго тензора кривизны индуцированной аффинной связности через структурные константы группы изоморфии, получены структурные уравнения Маурера и найден алгебраический эквивалент симметрического пространства Т^СУа)-

Третья глава посвящена теории дифференциальных инвариантов пространства ТЧУ ц) с линейной и индуцированной аффинной свяэностями. Начало теории дифференциальных инвариантов создано К. Гауссом, Б. Риманом, Т. Томасом и др.

0. Веблен доказал так называемые теоремы о замене и приведении для римановых пространств и пространств аффинной связности без кручения. Некоторые результаты 0. Веблена были обобщены 0. Варгой и П. Рапчаком для финслеровых пространств. Б. Л. Лаптев доказал теоремы о замене и приведении для дифференциальных инвариантов пространства тензорных опорных элементов с плоской линейной связностью. А. П. Урбонас обобщил результаты Б. Л. Лаптева для произвольных пространств опорных элементов с плоской линейной связностью. Ю. И. Шинкунас построил пример пространств с неплоской линейной связностью (пространство опорных линеаров), для которых справедливы теоремы о замене и приведении. Т. Р. Дясинчарадзе нашел новый класс пространств с неплоской линейной связностью (касательное расслоение с линейной и индуцированной аффинной связностями), для которых тоже справедливы эти теоремы. Однако вопрос о том, молено ли доказать теоремы о замене и приведении для произвольных пространств опорных элементов с неплоской линейной связностью, остается открытым. В диссертации доказано, что теоремы о замене и приведении справедливы для дифференциальных инвариантов кокасательного расслоения с линейной и индуцированной аффинной связностями. При доказательстве этих теорем найдено новое обобщение схемы 0. Веблена.

В §7 вводится нормальные координаты касательного расслоения тт с линейной и индуцированной аффинной связностями, обладающие такими же свойствами, как и

нормальные координаты пространств аффинной связности и пространств тензорных опорных элементов.

В §8 определяется операция расширения дифференциально-геометрического объекта пространства Т (Уи,) , доказываются некоторые вспомогательные теоремы и вводится понятие нормального тензора, как расширения симметрической части объекта индуцированной аффинной связности.

Чтобы доказать теоремы о замене и приведении, в §9 приведен новый вариант схемы 0. Веблена, позволяющий найти связь в случав неплоской линейной связности между тензорами кривизны и нормальными тензорами.

Наконец, в §10 доказаны теоремы о замене и приведении для пространств 'Т^СУц^с линейной и индуцированной аффинной связностями.

В четвертой главе инвариантным методом Г. Ф. Лаптева

исследуются некоторые вопросы геометрии касательного

'Т& (\Г \

расслоения второго порядка ' \.чл) дифференцируемого многообразия Уи/ • Как известно, с дифференцируемым многообразием естественно связываются касательные расслоения различных порядков. Основные результаты геометрии этих пространств освещены в монографии К. Яно и С. Ишихара. В диссертации строится теория линейных и аффинных связностей пространства ТЧ УД которая отличается от других теорий своей минимальностью (в смысле числа компонент связностей).

Развитая в работе К. Яно и С. Ишихара теория лифтов была обобщена в различных направлениях в творчестве Р. Мирона, М. Сальгадо, Т. Р. Джинчарадзе, Г. Ш. Тодуа и др.

Однако терия- лифтов алгебры GLM-V тензорных полей в алгебру ОЬЫ.И, ftiiO- тензорных полей, заданных naT'HVVi) , изучена сравнительно шло. Автору удалось построить лифт, который каждому упорядоченному набору девяти тензоров из алгебры СП'С 1 "" (Vt0) однозначно сопоставляет тензор алгебры

5*ст*с\а

В §11 определены инвариантные I-формы касательного расслоения второго порядка уь) и найдены их

структурные уравнения. Палее рассмотрены касательные и кокасательные пространства к расслоению

Доказано,

что задание дифференциально-геометрического объекта Г ■

г» L

позволяет построить объект линейной связности ( Г • ,

К/Ù ^

Ш; ), при помощи которого оснагается пространство i

'THVh,)- Доказано, что дифференциальные продолжения

объекта линейной связности ( Г; , М/ ) охватывают два

i о à %

объекта аффинных свяэностей Г j и Г ;' ' КОТ°РЫ0 называются индуцированными аффинными связностями.

В §12 построены инвариантные I-формы линейной и аффинных свяэностей пространства ГЧУЛ найдены их структурные уравнения и получены выражения объектов кривизны этих свяэностей.

В §13 построены операторы неголономного ковариантного дифференцирования пространства _относительно

индуцированных аффинных свяэностей (j : и а также

получены обобщенные тождества Риччи и Бианки.

§14 посвящен изучению некоторых внешних свяэностей касательного расслоения второго порядка

T4V») .

Рассмотрены аффинные связности /\до,(Х>у>%>), (А, В, С,...

-1 4.*,. -., VI* 1 ,..., П) пространства Т^С^н) .

При помощи адаптированного репера построен объект другой аффинной связности (эди^Лу»*') , характерный тем, что величины G¿j и С являются аффинными связностями

относительно группы а остальные объекты связности

образуют бЦмД)-тензорные поля. Найдена связь между компонентами объектов Адв и .

В §15 рассмотрены некоторые тензорные алгебры, связанные с касательным расслоением второго порядка. При помощи объекта линейной связности построен лифт тензорных полей, т. е., указан способ, который каждому упорядоченному набору девяти

СЫпЛ) -тензорных полей однозначно сопоставляет С ЬЫ> п, п , к) -тензорное поле, называемое лифтом упорядоченного набора тензоров.

Пятая глава диссертации посвящена изучению некоторых вопросов геометрии пространства Кавагути второго порядка. Как известно, квадрат длины кривой евклидова пространства выражается однородным полиномом второй степени от первых дифференциалов координат точки. Обобщение П. Финслера состоит в том, что он считал метрическую функцию произвольной однородной функцией относительно дифференциалов координат точки. А. Кавагути считал, что эта функция зависит и от дифференциалов высших порядков, т. е., длина дуги кривой выражается интегралом

В диссертации рассмотрен случай ■ Основы

геометрии пространств Кавагути, названных так по предложении» X. В. Крайга, заложены А. Кавагути. В работах самого А. Кавагути, а также в творчестве X. Кано, М. Кавагути, С. Кавагути, X. Хомбу и др. исследования геометрии этих пространств ведется в основном методом экстензорного исчисления, созданным X. В. Крайгом, А. Кавагути, Т. Окубо. В диссертации основные факты геометрии пространства Кавагути устанавливаются единым методом внешних форм, при этом не применяется экстензорный метод.

В §16 методом внешних форм исследуются некоторые факты геометрии пространства Кавагути второго порядка К^,. Из пфаффовых производных метрической функции Р образован метрический тензор и доказано, что дифференциальные

продолжения последнего определяют фундаментальный дифференциально-геометрический объект Г; , при помощи

а • -

которого строятся объекты линейной связности (Г; , М1? ) и

п к к

двух аффинных связностей Г ¿1 , Г I ' • Определена

метрическая связность ( ' П^' С^." , ¿б;'), которая

А} с Л

характеризуется тем, что ковариантный дифференциал метрического тензора относительно этой связности равен нулю. Найдены выражения компонент связности ( П , С , 35 ) через дифференциальные продолжения компонент метрического тензора, получены структурные уравнения пространства К-'ц, с этой связностью и вычислены выражения тензоров кривизны метрической связности.

В §1? рассмотрен частный случай лифта, построенного в

§15,который можно принять за лифт(э1_,(и,Ю -тензорного поля и обратного ему тензора С^ ^ . Так как

алгебраические зависимости между тензорами и и

С/""1 С &

........^____________и Ь сохраняются, то построенный лифт

можно трактовать как метрику пространства Кавагути. Учитывая это, вычислена риманова связность Г^ этой метрики и на оснований результатов предыдущей главы получены некоторые внутренние дифференциально-геометрические объекты

пространства Кавагути: три аффинные связности и.й*-"? тензора. Одна из полученных связнос.тей совпадает со связностью ( П , С , )» а остальные две лишь тензором отличаются от аффинных связностей Г ¿^ и Г ^ .

Автор выражает благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук профессору Вацловасу Близникасу за постоянное внимание, ценные советы и всестороннюю помощь при выполнении диссертационной работы. Автор также благодарен доценту Ю. Шинкунасу и всем членам Вильнюсского геометрического семинара за помощь и внимание.

Основные результаты диссертации опубликованы в следуклшх работах автора:

1. О симметрических кокасательннх расслоенных пространствах // XXIX конференция литовского математического общества. Тезисы докладов. Т. I. Вильнюс, 1988. 0. 180 - 181.

2. О симметрических кокасательннх расслоенных пространствах // List, matem. rink. Т. 29. 1989. ЖЗ. С. 517 - 524

3. 0 дифференциальных инвариантах кокасательного расслоения // Lietuvos mat. d-jos XXX konferencija. Pranesimu tezés. Vilnius. 1989. P. 77 -78.

4. Дифференциальные инварианты кокасательного расслоения // Liet. matera, rink. Т. 30. 1990. #3. P. 536 -547.

5. Некоторые вопросы геометрии второго касательного расслоения // Lietuvos matem. d-jos XXXI konferencija. Pranesimu tezés. Vilnius. 1990. P. 52 - 53.

6. Apie Kawaguchi erdvés vidinius s^rysius // Lietuvos matem. d-jos XXXII konferencija. Pranesirmj tezés. Vilnius. 1991. P. 48 - 49.