Нильпотентные р-группы, близкие к группам простого периода тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК СССР СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕШЖИ

Ц . А/о 5/3 о Г}' I

Специализированный совет Д 002.E3.0I

На правах рукописи

ХУХРО Евгений Иванович

УДК 512.54

НИЛЫЮТЕНТНЫЕ ^-ГРУППЫ, БЛИЗКИЕ К ГРУППАМ ПРОСТОГО ПЕРИОДА

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических нарт

Новосибирск - 198?

Работа выполнена в Институте математики СО АН СССР Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук

профессор Н.Д.Подуфалов член-корреспондент АН БССР доктор физико-математических наук профессор Л.А.Шеметков доктор физико-математических наук ■профессор И.П.Шестаков

Ведущее предприятие - Московский государственный университет им. М.В;Ломоносова.

Защита состоится "_"__г- в_

часов на заседании Специализированного совета Д 002.23.01 при Институте иатематики.Сибирского отделения АН СССР ш адресу: г.Новосибирск, £0,'Университетский проспект, 4.

С диссертацией 'мокко ознакомиться в библиотеке ВйСйгсута математики СО АН СССР.

Автореферат разослан "__ 158 г.

Ученый секретарь Специализированного совета

дозяор физ.-шт. наук В.АЛакотин

ОБЕДАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТУ

Нильпотентные периодические группы составляют один из важнейших разделов теории групп. В силу теорем Судова каждая конечная группа содержит максимальные нкльтотентныа ^-подгруппы, строение которых в большой степени определяет строение всей группы. Подобным ке образом нильпотентные р -подгруппы влияют на строение многих бесконечных групп. Для бесконечных групп есть таккз другие способы использования результатов о нильпотентных -группах, связанные с локальной теоремой А.И.Мальцева, методами финитной аппроксимации и др.

Уже в начале развития современной алгебры в работах О.Ю.Шмидта, А.И.Мальцева, Берясай&а, Ф.Холла, Цассенхауза теория нильпотентных групп оформилась и как самостоятельная гетвь теории групп со своими интересными проблемами и приложениями к другим областям математики. Дальнейшее развитие этой теории и ее приложений связана с работами превде всего советских математиков М.И.Каргапояова, А.И.Костркккна, Ю.П.Разжслова, й.Н.Санова, С.Н.Чэркикова, а также с работами Бэра, Блзкбзрка,. Грина, Лидасэм-Грина, Магнуса, Томпсона, Г.Уолла, Хайкекека. Г.Хигмэна и др.

В отличие от теории конечных простых групп в теории нильпотентных р -групп, ввиду их обилия, нет програ^жг классификации. Тем важнее иметь надежные ориентиры - такие,.как лоло-

кительное реиенке Л.И.Кострикиным в 1959 г. ослабленной проблемы Барнсайда для групп простого период .. Свободные /Л-¿порожденные! группы кострихинского многообразия простого 'периода р обозначаются через 3(п. р). Они являются'классическими объектами, о которых желательно получись максимально полную информацию. Кром& 'того, свойства фрупп > /э) ц их .-колец Ли оказались -связаны со ШоШШ задачеши, стоявшими ;в ¡цещре внММанйя специалистов по конечным гр-группам. К таким задачам относятся дазвасанея ¡проблема Хьюза '.(1957 г.") и ее обобщения, проблема изучения расщепляемых конечных /^7-грулп, зада- : ча о степенном строении конечных р -групп, близких к группам периода ур . и др.

Конечные расщепляемые -группы являются важным обобщением групп простого периода. Известно, что для конечной -группы Р эквивалентны следующие условия:

X1) группа Р расщепляем а, т,е,Р- ^Рс \« шда

Р; < Р : и Р: ПР^Ч при ; ;

2) группа Р отлична от своей под г р у п п ¡ы >Хш-«о-за осР*1> ;

. ЗУ группа Р представима в ввде полупрямого произведения £ъ ' Р > • » где - р а с щ е пл. я ю щ:й :й

томорфизм порядка р группы Р( ут.е. X ■ = 1 для всех х. е .

Строение конечных расщепляемых групп, по модулю >ш$ь;тй>;-тентных исчерпывающе описывают теоремы Сузуки и Томпсона-Хиг-ыэна-Крекнина-Кострикина. Что же касается конечных расщепляв- ' мых р—групп, то ранее из результатов о них наибольший -йн-терос вызывали контрпримеры Уолла (1965} к известной проблеме

Хьюза (1957): верно ли, что если Pj£ Нp(Pj £ 1 . то

■IP -

Большое внимание специалистов привлекает и задача обобщения теоремы Хигмэна-Крекнина-Кострикина о регулярном (т.е. без нетривиальных неподвижных точек) автоморфизме нияь-потентной группы на случай» когда число неподвижных точек конечно. Такие автоморфизмы важны как при изучении локально конечных групп с конечным централизатором, так и при изучении конечных расщепляемых р-групп.

Изучение групп, допускающих автоморфизмы с теми или иными свойствами, является одним из ведущих методов в теории групп. Среди специфических методов исследования нильпотентных р -групп важнейшими являются методы линеаризации, получившие развитие в диссертации. Ввиду чрезвычайного разнообразия нильпотентных р-групп важным методологическим принципом является выделение определенных экстремальных классов ^-групп, играющих- ключевую роль. Большое значение имеют также свободные группы локально нильпотентных многообразий, например, группы

&(п% р] • В работе развит метод построения универсальных групп без свойства Хьюэа, аналогичных СЕободнъм группам многообразий.

Целы) работы является положительное решение ослабленной проблемы Вернсайда для групп с расвдплятаим автоморфизмом простого порядка; положительное решение проблемы Хьюза для почт: всех конечных р -групп; изучение строения конечных расщепляемых р -групп; изучение групп £>{п, р j и их ко.тлч Ли вместе с применениями их свойств к вопросам о группах, близких к группам простого периода; обобщение теоремы Хигмэна-

Крекнина-Иострикина на нильпогентные периодические группы с почти регулярном автоморфизмом простого порядка.

Диссертация состоит 'из введения, трех глав и заключения, ока изложена па ISO страница?:, библиография содержит 65 наименований.

В первой главе исследуются новые тождества в кольцах Ли

групп В> (и, р) .С одной стороны получены результата с вы-

i

полнимости во же гоздеств и их несводкыости к Ср -1) -энгело-бости (последнее - с помощью ЭВМ .при ft -¿L для t~ ), С другой стороны, устанавливается связь мезду такими тождествами и строением р -групп, близких к группам периода р . Эго позволяет опровергнуть гип. гезу Блэкберна и Эспуэласа о конечных- р -группах i? с | С^),, CP)!"/5 , а а качестве следствия - опровергнуть гипотезу об индексе обобщенной подгруппы Хьюза Hps- (Q) в непркмарной группе Q- .

Результаты первой главы используются во второй гласе для построения контрпримеров и гипотезе Хызза. В частности, в «ей строится 2-порогдешшй контрпример, дающий ответ и на ряд других вопросов о конечных р -группах, поставленных Альпери-ным. Каппе, Уоллом и Хобби.

Главный результат второй главы - положительное решение ослабленной йроблемы ВернсаРда для групп с расщепляющим автоморфизмом простого порядка. Ка его основе развита структурная теория конечных расщепляемых р-групп. В качестве следствия получается положительное решение проблемы Хьюза для почти всех (в некотором точном смысле) конечных р -групп (несмотря на наличие контрпримеров к гипотезе Хьюза).

Третья глава посвяаека обобщениям теоремы Хигмэна-Крек-

шгла-Кострккина о нпдьпотентных ^-группах о автоморфизме!,» простого порядка р в весьма общей ситуации, когда число неподвижных точек конечно. При этом рассмотрены оба случая:

р -ф /р к р — (р . Результаты третьей главы применяется к нексторта беснсжечнш группам, а также используются во второй главе, .

Ввделим оснозные результаты диссертации:

1. Положительно решена ослабленная проблема Вернеайда для групп,с расщепляющим автоморфизмом простого порядке.

2. Положительно решена проблема Хьвза для почти всех конечных • р-групп.

3» Доказано наличие подгрупп ограниченного индекса и ограниченной ступени вяль по тентко сти в конечных расщепляемых р -группах.

4. Построен 2-поро®денный контрпример г: гипотезе Хызза, давдий также ответ на вопросы о конечных ^-группах, поставленные АльперинюлКаппе, Макдональдсы, Уоллом и Хобби.

5. Доказано, что присоединенное кольцо Ли группы 3&,р) не является свободной (р—Т)~энгелевой алгеброй Ли над

СсР('р) {для р* ? У.

6. Опровергнута гипотеза о том, что если и ксиечной группе Р подгруппа (Р)~ { ^С^ -Р имеет горянок р , то индекс подгруппы (Р)

1е превосходит р? . 1

7. Опровергнута гипотеза о том, что если конечная группа О- не является у?-группой, то индекс подгруппы Нр* ^С-)-

.—<Сх€- [ ос/ ^ не превосходит рР .

8. Развит метод шетроеийя универсальных контрпр/мерзв к 'ипотезе Хьюза.

. ' 1 7 '

9. Доказано, что если нильпотентная ^--группа допускает автоморфизм простого порядка р с ровно /-1 неподвижными точками, то.она содержит подгруппу, индекс и ступень нильпотентности которой ' -граничены в терминах р, и /I (как при , так и при у?—

Все основные результаты диссертации являются новыми. Работа имеет теоретический характер. ' .

В "Заключении" обсуздаются перспективы развития и применения результатов и методов диссертации в теории периодических проконечньк групп, обобщенных фробениусовых групп, локально конечных групп с конечным централизатором и др.

Результаты диссертации докладывались на семинарах Института математики СО АН СССР и Н1У "Алгебра-и.логика" и "Теория групп", на семинаре по высшей алгебре МП', на 16-й,'17-й и 19-й Всесоюзных алгебраически конференциях, на 8-м, 9-м и 10-м Всесоюзных.симпозиумах по теории групп, на 3-й и 4-й Всесоюзных школах по конечным.группам, на 2-й Всесоюзной школе по алгебрам Ли, а также на международной конференции "Теория групп-1985" в Обервольфахе (ФРГ)..

Основные результаты диссертации опуйликовали в работах автора [43-5бЗ .

: СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕИАЩИ;

Перейдем к более подробному изложению содержания работы.

Первая глава посвящена новым тождествам в кольцах Ли групп ¡1, р) и их применениям к группам, близким к груп-гам простого периода. , "

Присоединенное кольцо Ли группы простого периода р> удовлетворяет (р—1) -энгедеву тождеству [¿г , у, г-^ _ . > zFJ ~ О

Этот фатст, доказанный Магнусом (j34~J и И.Н.Саковым , и дает возможность применить тзореку А.И.Кострикина об энгелевых алгебрах Ли [3] к группам пер..ода р . Долгое время оставался открытым вопрос о том, не является ли кольцо Ли группы

р) свободной ^Р'/Л-энгелевой алгеброй над полем из р элементов. Новое тождество в кольце Ли группы /?)

бьшо открыто Уоллом [а6] в 1974 г. Эта тождество степени Zip — 1 было указано для всех р и для всех /f Э 3 , однако тот фткт, что оно не вытекает из тоадества -f)-эк-гелевости, установлен лишь с' помощью ЭШ для р ~ //

(хорошо известно, что при р-Л^ 3 новых тождеств нет).

Оставался открытым вопрос о существовании новых тождестз в кольце Ли 2-порожденной свободной группы Bf-2^ р) - Этот вопрос был тем интереснее, что, как показали с помощью ЭШ Хавас, Уолл и Уомсли £l9j , при р— новых тоядаеств в кольце Ли группы Е) (Я, ff) нет (как и в тривиальных случаях р^ 2-, 3 ). Этот вопрос .решается в § I.I. Доказана

ТЕОРЕМ I. Присоединенное кольцо Ли свободной 2-порозданной группы простого периода р удовлетворяет тождеству степени Лр

которое единственно по модулю (¡¿p-fl)-го член» нижнего вентрального пяда и соотношений ^-^-знгелеЕОСТи. При = 7 с помощью ЭШ установлено, что это тождество не сводятся по модулю р к'тождеству (р -^-энгелевости.

Здесь через гьр, р у) обозначается биоднородная степени р по каждой из переменных компонента из формулы Бейке-ра-Кэмпбелла-Хаусдорфа х^ у) . где ¿^е^

для некоммутируших переменных х у . После умножения много-

Р а. а

члена Пд^р на р и деления скобки на р все коэффициенты

становятся р -целыми и их нужно рассматривать как элементы из С), •

Утверждение теоремы при р~ 7* опирается на машинные вычисления. Заметим, что Ньюмен и Хавас в Австралийском университете также вычисляли фактор-группы 7) Уу< , где обозначает / -й член нижнего. центрального ряда. В их распоряжении была ЭШ с память и быстродействием в 10 раз больше, чем у £0.-1050 ( иЛ/1 \/АС 11 Оо/%г; 4 процессора, 4 млн опер/сек, 16 мегабайт оперативной памяти). Однако они закончили вычисление группы Ь(3> (в которой про-

является эффект нового тождества) лишь на 2 года позже. Опережение было достигнуто, автором за счет большей предварительной теоретнческой работы и более прицельного счета.

В параграфе 1,2 указывается полилинейное тождество степени. Ър-2. и доказывается, что оно также выполняется в присоединенном кольце Ли группы р) (теорема 2).

В работах Воон-Ли [зв'] и Уолла ^2 ] найдены полилинейные тождества степени 1 -г для каждого 1с. , которые

также выполняются в присоединенном кольце Ли свободной группы простого периода р . Однако пока только для ¡с—Л и при р - 1 известно, что соответствующее тождество явля-

ется деГстеительно новым, т.е. не вытекает из тождеств этого кольца меньшей степени - см. . Эти новые тождества, ин-

тересные и сами по себе, оказались тесно связаны и с другим« вопросами о конечных -группах. Так, в работе Блэкберн и Эспуэлас поставили вопрос о степенном строении конечных >-групп, близких к группам простого периода: верно ли, что если под.руппа (З^СР) /л:¿/^конечной п -группы Р иуе-

ет порядок р , то индекс подгруппы (¡Р) — не превосходит р^ ? (Условие означает, что фактор-группа группы Р по подгруппа порядка р> имеет период р ). Авторы работы [13] дали положительный ответ в том случае, когда группа Р метабелева. Однако в общем случае ответ отрицателен, он получен в § 1.3.

ТЕОРЕМА"3. Если для каждого £ »3., .£ полилинейные тождества степени + '¡£.(¡>-1) кольца Ли группы В> [я, р) простого периода р не вытекают из тождеств этого кольца меньшей степени, то существует нильпотентная р -группа ]Р , в которой |5/Р) I * Р , однако \Р: Ър1^")

причем

В силу результата из С40Д справедливо

СЛЕДСТВИЕ. Для р = 7- или 11 существует нильпотентная р -группа Р , в которой Р « однако

. причем Я (Р)=Щ(Р):

Дополнительное свойства JS2., (Р) =г ) ? отмеченное в формулировках теоремы 3 и следствия, означает, что группа Р . является так называемой скрчтной конечной ^-группой. Б работе [29_) был поставлен вопрос о сутел'*воваьии скрытных конечных р -групп большого ранга, Уолл в работе Г- J построил с рнтные р -группы большого ранга, однако в его конструкции ранг группы был связан с ее периодом. Например,

скрытные группы периода из работы Уолла имели ранг не более р . Группы из заключения теоремы 3 следствия имеют период р* и ранг больше, чем р .

Следующий параграф, § 1.4, посвящен опровержению гипотезы об индексе обобщенной подгруппы Хьюза в непримар-

ной группе . . Его основной результат использует результаты предццущэго параграфа.

ТЕОРЕМА 4. Если для каждого г= /, Ъ полилинейные

тождества степени 1 + *к(р -1) кольца Ли группы

р)

простого периода р не вытекает из тождеств этого кольца меььшей степени, то существует конечная разрешимая группа , не являющаяся р -группой, в которой С2. ) р^Чр-')

СЛЕДСТВИЕ. При р~ 5, f / существует конечная разрешимая группа 0- , не являющаяся р -группой, в которой

Здесь Ирг() ~ | ЭС^У обобщенная подгруппа

Хьпза. Следствие опровергает гипотезу о- том, что для конечной непримарной группы Ср всегда выполняется неравенство

1С.

НДС)! < рР • Таким образом, для периода р*- си-туыцйя оказалась совсраекно иной, чем для периода р : как известно, Томпсон и Хьюз £26^ доказали, что для непримарной конечной группы всегда справедливо неравенство

подгруппа Хьюза.

Отмстим еще, что гипотеза об индексе подгруппы была доказана для Лэффи

ад

..Он же (ЗО^ установил, что для р-Х индекс подгруппы (От ) не превосходит я этих малых простых чисел р 3 также справедлива

1-е

и гипотеза Блэкберна и Эспуэласа - см. (,1зЗ .

Вторая глава диссертации посвящена конечным расцепляемым р -группам. В ее первом параграфе обсуждается три подхода к конечным расщепляемым ^-группам. А именно, следующие три условия для конечной у!?-группы Р эквивалентны:

I) Р расщепляема, т.е. 2= 1У , где < Р ,

апр.^ 1 при .

. да.

подгруппа Хьюза группы Р ;

3) _/?= • <|0 , где ^ -. расщеплявший автоморфизм порядка р группы Р^ , т.е. X. -хУжУ*.«=■ 1 для всех

Хьюз 0? 4] в 1957 году поставил проблему: верно ли, что если подгруппа Ир С(т ) собственная, то ее индекс равен р ? (Для конечных р -групп эквивалентно: верно ли, что расщепление единственно?) Томпсон и Хьюз (2б] положительно решили проблему Хьюза для конечных групп О- , не являвшихся р-группами. В случае, когда - конечная ^-группа, проблема решается положительно для р~Л (Хьюз [253) и для р~ 3 (Страус и Секереш'^ЗёГ} ). Кроме того, доказано, что гипотеза Хьюза справедлива для метябелевых групп (Хоган и Каппе (^23 Д) и для р -групп, ступень нильпотентности которых не превосходит Хр—Л (Макдональд (ЗЗ^ ).

Однако наибольший интерес ранее вызывали контрпримеры к гипотезе Хьюза, которые впервые построил Уогл ^39] в 1965 г. Он построил конечные ^7-группы ^ , в которых

для р!=-5~ вручную и для р ?, /Кем. (403 ^ С ГОМСЛаТ}

13

вычислений на ЭШ, проведенных Кэнноном.

Группы, построенные Уоллом,'были 3-породаенными, и Макдо-нальд в специальной работе привлек внимание к открытому вопросу о существовании 2-поровденных контрпримеров к гипотезе Хьюэа. Он показал, что именно существование 2-порожденного контрпримера давало бы также.ответ на ряд других вопросев о конечных ^-группах, поставленных Альперинш, Каппе/ Уоллом и Хобби.

Этот вопрос решается в § 2.2 на основе вычислений, проведенных в § 1.1, где решался вопрос о новых тождествах в кольце Ли группы • В этих вычислениях используются некоторые идеи и результаты из работы А.И.КЬстрикина(,2^ , связанные с формулой Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа.

ТЕОРЕМА. 5. Если присоединенное кольца Ли группы простого периода р удовлетворяет не (р-1) -энгелевому тождеству степени Хр , то существует 2-порокденная -сту-ленно нильпотентная р -группа Р , в которой

)Р|У )Р-. иг(р)\

Из теорем I и 5 .вытекает

СЛЕДСТВИЕ. При р-7 существует Лр-ступенно! тентная р -группа Р , в которой .

1Р1*\Р:Нг(р)\=р*,

Доказательство теоремы 5 опирается на развитый автором иетод построения универсальных групп - контрпримеров к гипотезе Хьгэа. Этот метод более полно изложен в § 2.7, он дает неу.г.\-ч2ае>.*ые значения для ступени нильпотентности контрприме-

ров - Л.р для 2-поровденньк и <2р-1 - длягЗ-порожденних.

В следушем параграфе 2.3 приводятся следствия из существования 2-порожденного контрпримера к гипотезе Хьгаза - ответы на вопросы о конечных р -группах, поставленные Альпериным, Капп - [27] , Макдональдом [з^ , Уоллом и Хобби [22] .

В § 2.4 получен результат о связи между существованием нового тождества степени Зр~Л- в кольце Ли группы £ р) из § 1.2 и существованием примеров у?-групп, в которых индекс нетривиальной подгруппы Хьюза больше, чем р*~ (теорема 6). Аналогичный результат для всех степеней вида независимо получен также Уоллом (42 ] .

Параграф 2.5 содержит главный результат второй главы -положительное решение аналогов ослабленной проблемы Бернсайда для конечных расщепляемых -групп и, более того, для многообразия групп с операторами, состоящем из всех групп с расщепляющим автоморфизмом простого порядка р . Это многообразие примечательно тем, что содержит два интересных и довольно далеких класса групп - группы простого периода р (если, скажем,, у - 1 ) и конечные ^"""-группы, допускашие регулярный автоморфизм порядка р (т.е. такие, что

По теореме Томпсона £з?7 конечная группа, допускашая ■ регулярный автоморфизм простого порядка р * нильпотентна. Согласно теореме Хигмэна {"21^ ступень нильпотентности такой группы ограничена некоторой функцией ) , зависящей только от р , а в работах В.А.Крекнина £5^) и В.А.Крекнина ' А.И.Костгикина [4] найдена явная оценка для этой функция Хигмэна. Кроме того, Кегель (зД на основе теоремы Томпсона [з?]

доказал, что конечные группы из многообразия нильпотент-

ны. Поэтому исследование многих лодклассо" групп из (ло-

кально конечных, финитно аппроксимируемых, разрешимых и др.) £ большой степени сводится к изучению конечных р -групп из

те.

Расщепляемые конечные р-группы являются важным обобщением групп простого периода. В свете рех различных определений становится ясной их близость к группам периода р . Во-первых, в любой группе простого периода р все подгруппы порядка р составляют расщепление. Во-вторых, если ^7-группа £ отлична от своей подгруппы Хьюэа Ир (Р) , то все элементы вне этой подгруппы - а их число составляет в этом случае

более от'порядка всей группы - имеют пордцок р .

Р '

В-третьих, любую группу простого периода .р можно считать

лежащей в многообразии щ с автоморфизмом у — 1 .

Возникает естественное желание перенести те сильные результаты, которые накоплены при изучении групп простого периода рг на большее многообразие №р , Подход, связанный с расщеплкщим автоморфизмом простого, порядка, оказался более плодотворным, так как он является "более категорным", позволяет говорить о многообразии ^У1р . В качестве иллюстрации приведем еледугойр результат из работы автора {б} : если группа из многообразия Ш1р 3 -ступенно разрешима, то она нкльпотентна ступени $ ^/р, ♦ где у- - некоторая функция, зависящая только от р и -5 . Для р -группы можно положить

-$(р' 5) - ' а длл р'-группы ^(р, у) =

Эта теорема обобщает известны? результат Хиггинса [20] о к;:лыгтс!-:тности разрешимых групп гростргр периода.

Поучительно сравнить ее с основным результатом работы Коди [15} , который гласит, что если конечная ^-группа Р метабелева и отлична от своей подгруппы Хь»за ¡~}р (р) . то подгруппа Нр(Р) нильпотентна ступени ^ р . Для конечных р -групп условие теоремы из [в] при -5 =.2. означает фактически, что в конечной ^-группе Р , не совпадающей с Нр (Р ) , подгруппа Чр (Р) метабелева,. а заключение -что подгруппа Н^ (Р ) нильпотентна ступени £ Р'1' , Более слабое условие влечет, естественно, и более слабое заключение, Однако "более категорией" подход, связанный с многообразием №\р » позволяет легко вести индукции по -3 в доказательстве теоремы из СзЗ.

Вернемся н основным результатам диссертации. Итак, наиболее важным из них представляется распространение теоремы А.И.Нострикина [з} с групп периода р на группы, допускающие расщепляющий автоморфизм простого парадка р .

ТЕОРЕМА 7 (положительное решение аналога ослабленной проблемы Бернсайда для ТР1£> Если -поровденная нильпо-тентная группа допускает расщепляющий автоморфизм простого порядка р , то ее ступень нильпотентности не превосходит рУ » где р - некоторая функция, зависящая только от и р .

СЛЕДСТВИЕ. Любая ¿/-порогеденная конечная расщепляемая р -группа содержит подгруппу индекса р »...ступень нильпо-тентност" которой ограничена некоторой функцией, зависящей только- от и р ,

В доказательстве теоремы 7 используется теорема А.И.Ко-стрикина об энгелевых алгебрах Ли [з]. Основные тру/ност^

преодолеваются ¡при .довольно ¡сложном .перехода >от конечных р-групп из Щу 'К асояьцам Ли и обратно, (Зазтетим, например, что присоединенное тотцо Ли конечной р -группы кз не обя-

зано быть ф —S)-енгелевь&и Соответствующие примеры были построены автором в .{'.9 J «а основе существования «е Ср-1)-энге-згевых соотношений ® ¡группах В>(3, р У-)

;В условии теоремы 7 'нильпотентность 'группы можно заменить •на -разрешимость или локальную конечность., или финитную аппроксимируемость - заключение будет оставаться справедливым»

На основе результата .из третьей главы диссертации,, где в § 3.1 усилено обобщение Акьперрша [lO J теоремы Хигмана (теорема II)-, модао дать «другое заключение о конечной группе, удовлетворяющей .згакхвияи теоремы 7. 'А -именно, справедлива

ТЕОРЕМ -Если J -порожденная 'конечная группа допускает расщепляющий автоморфизм простого шорядка р , то она содержит подгруппу., -индекс которой ограничен некоторой функцией, зависящей только от d и р , а ступень нильпотентности не превосходит h/p) +1 , где h(p) - функция Хигмэна. СЛЕДСТВИЕ. Любая cl-побежденная конечная расщепляемая р -группа содержит подгруппу, индекс которой ограничен некоторой функцией, зависящей только от d и р , а ступень нильпотентности не превосходит Ь{р) +1 , где А. •' функция Хигмэна.

Несмотря на существование контрпримеров, на основе теоремы 7 удалось положительно решить проблему Хьюза для почти всех конечных ' р -групп. Этому посвящен § 2.6. Говорят, что при заданном простом числе р для группы Q- справедлива гипотеза Хьюза, если индекс подгруппы Hp(Q-) равен либо 1 ,

либ& Ц Сг» | » либо р; „

ТЕОРЕМА 9-. Длгэ даяг®]Гй> простого числа р' гипотеза Хьюза справедлива для вст» га исключением конечного числа, конечных р -групп с даншда чиггю» поровдающих, а также для всех конечных уС -группч содержащих элементы достаточно, большого порадса рМ^ „ где ^{р) зависит только от р ,

Если» яри данном р существует какой-то контрпример к гипотезе? $ьааа> то- существуют и -поровденные контрпримеры длж Есея ¿/ 3 этом смысле теорему 9 улучшить нельзя, й фкасирзвание числа порождающих группы в ее первой части яв-лттоз естественным»

В параграфе 2.7 излагается метод построения универсальная» конечных р-групп - контрпримеров к гипотезе Хьюза, аналогичных свободным группам многообразий. Этот метод вместе с теоремой 9 приводит к такому результату.

ТЕОРЕМА 10» Если для данного простого числа р> существует конечная р -группа, являющаяся контрпримером к гипотезе Хьюза, то для каждого натурального ¿/ й 3 существует наибольшая р—группа Рц( , являющаяся контрпримером к гипотезе Хьюза, причем любая сА-поро¡еденная у£7-группа - контрпример к гипотезе Хьюза является гомоморфным образом группы

. Если для данного р существует и 2-порозвденный контрпример, то существует и универсальный 2-поровденный контрпример с аналогичным свойством. "

В третьей главе диссертации получены обобщения теоремы Хигмэна-Крекнина-Кострикина о регулярном автоморфизм« простое порядка. Напомним, что Хигмэн в 1956 г. доказал в ¿21} что если нильпотентная периодическая группа допускает регул яр-

ный автоморфизм у простого порядка р (т.е. такой, что

), то ее ступень нильпотентности не превосходит А. (р] , где А - некоторая функция, зависящая только от р . В работах В.А.Крекнина и В.АЛСрекнина и А.И.Костри-кина (4] получены явняе оценки для функщи Хигмэна Альперин ([юЗ обобщил теорему Хигмэна на случай нильпотентной р -группы, допускающей автоморфизм порядка р , имевдий

УН

ровно р неподвижных точек (разумеется, здесь автоморфизм не может быть регулярен: Ш ^ / ). Он доказал, что ступень разрешимости такой группы ограничена функцией, зависящей только от р и т .

Более сильное "модулярное" обобщение теоремы Хигмэна содержит §3.1. А именно, справедлива

ТЕОРЕМА II. Если нильпотектная /7-группа допускает авто-

руг

ыорфиэм простого порядка р , имеющий ровно р неподвижных точек, то она обладает подгруппой, индекс которой ограничен некоторой функцией, зависящей только от р и Ж , а ступень нильпотентности не превосходит (р} + 1 , где /4. - функция Хигмэна.

Теорема II применяется во второй главе для доказательства теоремы 8.

Отметим, что ранее аналогичный теореме II результат был получен Майксиером и Хартли ¿Г?} для .

В следующем параграфе 3,2 содержится "немодуяярное" обобщение теоремы Хигмэна.

ТЕОРЕМА 12. Если нилыютентная ^.-группа допускает автоморфизм простого порядка р , имеющий ровно И неподвижных, точек, то она обладает подгруппой, индекс и ступень ниль-

ПОТеНТНОЬТИ которой OrpSHHWQÎÏH ïieîiotopîjmh функциями от р и по

Pause в оод» Майкскэром и Хартли [iQj было

доказана» что мотабааега группа с автоморфизмом простого порядка р , смешим ровно Д- неподвижных точек, содержит подгруппу, ступень нильпотентности которой не вше 2p-t1 , а кодекс ограничен функцией от р и П. . Кроме того, имеется теорема Ma®спора и Хартли о том, что индекс подгрузит Фкт-тинга в разрешимой конечной группе с автоморфигиом простого , порядка р , кмзшим ровно Ц неподвижных точек, ограничен некоторой функцией от р и И . Поэтому теоремы И и 12 применима и к разрешимым группам с автоморфизмом простого порядка.

Последний параграф 3.3 третьей главы содержит следствия кз теорэм II и 12 для локально разрешимых периодических групп.

СЛЕДСТВИЕ I, Локально конечная ^-группа, содержащая элемент простого порядка р с конечны« централизатором пордц-

у*

ка р , обладает подгруппой, индекс которой ограничен некоторой функцией, зависящей только от р и УН. , а ступень нильпотентности не превосходит А(р ~)-<-1 » где /С - функция Хигмэна. •

Из работы Елэкберна [l2j известно, что группа, удовлетворяющая условию этого следствия, даже почти абелева. Однако в этой ситуации в принципе невозможно получить оценку для индекса абелевой подгруппы (и даже оценку индекса С-ступенно нильпо1; ¡нтной подгруппы, где С не зависит от р*4 ) Это показывают построенные автором примеры, которые приводятся в § 3.3.

СЛЕДСТВИЕ 2. Периодическая локально разрешимая группа,

содержащая простого порядка р с конечным централиза-

тором порядка И- х сочти нильпотентна и удовлетворяет заключению теорещ 12«

Ранее Майксиер и Хартли (18^ показали, что группа, удовлетворяющая условиям следствия 2, почти локально нильпотентна.

Автор выражает глубокую благодарность д.ф.-м.н. В.Д.Мазурову, всему коллективу отделов алгебры и математической логики Института математики СО АН СССР во главе с членом-корреспондентом АН СССР Ю.Л.Ершовым за внимание и поддержку.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бусаркин В.М.» Горчаков Ю.М. Конечные расщепляемые группы. -М.: Наука, 1968. - III с.

2. Кострикин А.И. О связи мевду периодическими группами и кольцами Ли. - Изз. АН СССР, сер. матем., 195?,. т.21, $ 3, с.289-310. '

3. Кострикин А.И. О проблеме Бернсайда. - Изв. АН СССР, сер. матем., 1959, т.23, № I, с.3-34.

4. Крекдан В.А., Кострикин А.И. Об алгебрах Ли с регулярным автоморфизмом. - ДАН СССР, 1963, т.149, » 2, с.249-251. '

5. Крекнин В.А. О разрешимости алгебр Ли с регулярны».! автоморфизмом конечного периода. - ДАН СССР, 1963, тЛБО, » 3, с.467-469,

6. Размыслов Ю.И. Об энгелевьпс алгебрах Ли. - Алгебра и логика, 1971, тЛО, » I, с.33-44.

7. Санов Й.Н. Установление связи мевду периодическими группами с периодом простым числом и кольцами Ли. - Изв. АН СССР, сер. матем., 1952, т.16,HP I, с.23-58*

8. Хухро Е.И. Нильпотентность разрешимых групп, допускающих расщепляющий автоморфизм простого порядка. - Алгебра и логика, 1980, т.19, № I, с.118-129.

9. Хухро Е.И. О связи между гипотезой Хьюза й соотношениями в свободных группах простого периода. - Матем. сб., 1981, 116, Jf 2, с.253-264.

/Ю. Alperin J. Automorphisms of solvable groups.- Troc. Amer. Math. Soc., 1962, v. 13, p. 175-180.

11. Baey B, t&sM^tmüU ^iidliftiasi Math. z., 1960/61» v. 75% P.

V

12. Blackburn ii„ r^saaffcc oa p-groupa.- 111. J. Math.« 1962.» vfc -6V is«,

13. Blackbsmi lit 4 iBe'putsköö A» The power structure of ©e-kabelian p-hgäfööt®»». Ipa-oo» Affiefc» Eath. Soc., 1984, v. 92, p. 478-4841,

14. Carnica ■ju^T-. -feoae 'coci'blisatoiri.al and symbol manipulation programs iii .group 'th'sory»-*- Swi Coinbitiatorial probieuo in abstract nice-tea,, 'CÄted, "fgö?.,Wew York: Pergamon, 1970,

p. -199-203-.

15. Cody A Se-iei—'V/uriderli theorem for Hp-cubgroupG.-Arch» Hath., 1985» Vv -44, p. 495-502»

p

16» Eapuelas -A* <0ji the Hughec problem for exponent p .Arch. Kath.* 19S4* v„ 43, p. 388-390«

17. Hartley B.-, Meixner T. Periodic groups iß vihieh the centralizer of an involution has bounded ordert- J. Algebra, 1980, v. 64, p. 285-291

18. Hartley B., Meixner T. Finite ooluble groups containing an element of prime order whoeo centraliser is email.-Arcb. Math,, 1961, v. p. 211-213.

19. Havao G., Wall G.E., V/snisley J.W. £ho two generator restricted Bumaide group of exponent five.- Bull. Auatral. Math. Soc., 1974, v. 10, p. 459-47O.

20. Higginc P.J. Lie ringe eatiofyiiis ths Engel condition.-Proc. Cambridge Philos. Soc., 1954, v. 5f>, p. 8-15.

21. Higman G, Groups and rings which have automorphisms

whithout nontrivial fixed elements.- J. London Math. Soc.,

1957, v. 32, p. 321-334.

' ' 24

22. Hobby С.Л. Nearly regular p-groupe.- Conad. J. Math», 196?, v. 19, p. 520-530.

23. Hogan C.T., Kappe W.P. On the Hp-problem for finite '. p-grcups.- Proc. Amer, Math. Soo., 1969, v. 20, p. 450-454,

24. Hughes D.R. A research problem in group theory.- Bull. Amer. Math. Soo., 1957, v. 63, p. 209.

25. Hugheo D.R. Partial difference Bets.- Amer» J. Hath,, ,-1956; v. 73, p. 65О-674. ,

26. Hughes D.R., ïhompeon J.G. The Hp-probiea and the, structure of Hp-sroups.- Pacific J. Math., 1959» v. 9, p."'.097-.1101..

27. Kappe W.P, Properties of groupa related to the second centre,- Math.Z.,1967, v. 101, p. 356-358.

26. Kegel O. Die Hilpotenz der Hp-Grüppen.- Math. Z., 1960/61, v. 75, P. 373-376.

29. Kovacs i.G,, lieubüser J, , Neumann B.H. On finite groupe groupe with "hidden" primas.-J. Austral, .tëath» Soc., 1971,

v. 12, p. 287-300.

A

30. baffey T. The number of solutions of x s 1 in finite groups.— Proc. Royal Irish Acsd., Ser. A, 1979, v. 79, p. 29-

"36... ' . .

31. laffey T, The Hughes problem for exponent nine.- Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 1980, v. 8?, p. 393-399.

32. mcdonald I.D. Solution of the Htîghôe problem for . finite p-groups of class 2p-2.- Proc, Amer. Math. Soc., 1971, v. 27, P. 39-42.

33. Macdonald I.D. The Hughes problem and others.- J. Austral. Hath. Soc., 1969, v. 10, p. 475-W.

34.. Magnus V/, A connection between the дпкег-Hausdorff

forcjuls, 6sv4 a pviMcii of Burnoide.- Ann, Kath,, 1950, v. 52, P, -m-iae,

55, Ksixner T. 'Obex- endliohe Gruppea jait AuiomorpbiEza&n deraa Pixpunktgruppan beschranlct sind. Diueertation, Friodrich-Ale»n.der-Unlveroitat, Erlangen-ilurnberg, 1978.

3&. Straus E.G., Szokereo G. On a problem of D.R.Hughes»-Proe. anor, Math. Soo., '¡958, v. 9, p.> 157-153.

57» fhospson J.G. Finite croup a -with fixsd-point-freo eutoxarpblcuB of prime order.- Proc. Kat, Acad. Sci. USA,1959« v. 45, P. 578-531. . .

38. Vaughan~Lee M.fi. She restricted Burneido problem.-Eull. London Itath. Soc., 1985, v. 17, P. 115-155.

59, Wall G.E. Ob Hughes H -problem.« In; Woo. Int. Coa£. Theory of Groups, Canberra, 1965. New York: Gordon and Breach, 1967, P. 357-362.

40. Wall G.E. Oa tha Lie ring of a group of prime exponent. - Ins Proc. Second Int. Conf. Theory of Groups, Canberra, 1973, Lecture lioteo in Hath., № 372. Berlins Springer, 1974, p. 667690.' ■ 1 .

41» Wall G.E. Secretive prime-power groups of largo rank»-Bull, Austral. Math. Soo., 1975, v. 12, p. 363-370»

42. Wall G«E, On the multilinear identities which hold in •the Lie ring of a group of prime-power exponent.- J. Algebra, 1986, v. 1£y+, p. 1-22. '

РАБОТЫ АВТОРА ПО ШЕ ДИССМЩШ,

43. Хухро Е.й» 0 соотношенм« в йрйеоеданейт« кольцэ Зи ■ свободной 2-пороздешой группы простого периода и о гкпоте&е 1 Хьюза для 2-пороязденных р »груда* - Тезиса 8-го В-зосошн. сиют. по теории групп» Су?.«, 1982, с» 134.

44. Хухро Е.й. О присоединенном кольце Ли свободой? 2-пороздеяной группы простого периода и о гипотеза лля 2-пороп«енннх р~гъутт* - Иатем. сб., 1582. г.Иб, % 4, 0*0 •

¿5. Хухро Е.И. 0 пвркоде хомчуганта и фахггор-^яггы ш центру конечной -группа. Тезксм 17-55 Всесоюзна алгебр» г.онф,, Минск, 1583, с. 211.

46. Хухро Е.Й» Когютпа ^»-группы, допусгсахаие аа?од>р~ £изм порядка р с калым чистая нэпздвшвых точек. Тезиса 9-го Всвсоэзн. «зга. от -георха» групп* Носхва» 1984 с. 129-130«

47. Хухрэ В.В; Кооэв гоздество в кольца Ли свободной . группы простата периода» - Тззиеы 18-й Всесотан. алгебраич. конф. > таста. 2» Кки-шев« 1985» е*257.'

• 43, Хухро Е.й. Конечные р -г&зят, допускающие автокор-физм по редка р с мала» числом- непедтвкдая тачек. - йа^с?» заметки,, 1965» 7.23,. 1 с.652-657»

491 Хухр» ЕЛ. О лояалыа* жшпо1?еатк грушах,. деиуе> какких расщепляющий автоморфизм-- простого' яо'рлдага- - ЬТате»« ;б., 1906, т.130, » I, о.120-127>

ГО. Хухро ЕЛ'.. Новое тоядествст в- кольце- Л» свободаой5 группы простого периода и; группы без свойств Хввпа.. - ¡&в-* 1Н СССР, сер. матем.» 1986,, т.50, № б, с..1308-1385..

51. Хухро Е.И. Конечные р -группы, близкие к группам простого периода. - Алгебра и логика, 1986, т.25, № 2, с.227- 1 240.'

52. Хухро Е.И. Конечные р -группы с'расщепляющим автоморфизмом простого порядка. - Тезисы Ю-го Всесоюзн. симп. по теории групп, Гомель, 1996, с. 249.

53. Хухро Е.И. Положительное решение проблемы Хьюза. -Тезисы 19-й Всесоюзн. алгебр, конф., Львов, 1987, с. 302.

54. Хухро Е.И. О проблеме Хьюза для конечных р -групп. - Алгебра и логика, 1987, 'т.26, F 55 , с. 642-646.

55. Хухро Е.И. Нильпотентные периодические группы с почти регулярным автоморфизмом простого порядка. - Алгебра и логика, 1987, т.26, » 4 , с. 502-517.

56. Kbufchro Е.Т. Finite p-groupg close to groups of exponent p.- Tagungsbericht Math, Forschungainst. Oberwolfnch , 1Э&5, 15й 41, p. 5-6.