Когомологии конечных групп Шевалле с коэффициентами в некоторых модулях над полями собственной характеристики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Г ■ . 1' АКАДЕМИЯ 11ЛУК БЕЛАРУСИ

г-: шгститут математики

П

На правах рукописи

1ШЗЦЕВ АЛЕКСАНДР СЕШГСБ1Г1

КОГШОЛОГШ КОНЕЧНЫХ ГРУПП ШЕВАЛЛЕ С 1С03-КС1Щ11ЕГ1ТЛ1ЛИ Б НЕКОТОРЫХ МОДУЛЯХ НАД ПОЛЯШ СОБСТВЕННОЙ ХАРАКТЕРИСТИК!.

(01. 01. 06 - математическая логшса, алгебра и теория чисел)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации .на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Минск - 1993

Работа выполнена в Институте математики ¿11 Беларуси

Научный руководитель

член-корреспондент АН Беларуси доктор физико-математических наук ; А. Е. Залесский

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук

А. В. Романовский - кандидат физико-математических наук 0. И.. Тавгень

Ведущее учреждение - Санкт-Петербургский государственный университет

Защита состоится "23 " 1993 г. в "Hb " часов

на заседашш специализированного совета Д 006.19.01 при Ннсти-. туте математики АНБ по адресу: 220072, г. Минск, ул. Сурганова, : 11-

С диссертацией мокно ознакомиться в библиотеке Института математики АНБ.

Автореферат разослан "40 п iUApufA. 1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета

кандидат физ. - мат. наук ¿Ж^Уа^Л Р. Т. Вольвачэв

. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИК РАБОТУ.

Актуальность теки. Характерной чертой современного этапа развития теории модулярных представлений груш Шевалле является активное привлечение гомологических методов. Одной из причин необходимости широкого использования гомологической алгебр?! является известная интерпретация низших групп когомологий как объектов, "отвечающих" за расширения модулей и групп. Традиционно важны!.! направлением теории модулярных представлений является изучение представлений групп Шевалле в собствен-ной характеристике.

Пусть G(q) (соотв., G) - универсальная гру.ла Шевалле, построенная с помощью поля lc=GP(q), q=pn (соотв., поля К=К)1 \-Основным объектом изучения упомянутой теории являются рациональные конечномерные K-представления группы G (рассмотрешгой как алгебраическая группа) и конечномерные K-представления конечной подгруппы G(q)<G. Заметим, что для алгебраической rpyinin G теория представлений более "регулярна", чем для конечной группы G(q), и для последней многие результаты получаются с помощью соответствующих результатов для объемлющей алгебраической групьы (см. напр.,1\ § 13). Подобная ситуация имеет место и для когомологий (для алгебраической группы здесь п далее имеются в виду рациональные когомолопш Хохшильда). Упомянем .например, известный

о)

результат ' о том , что отображение ограничения.

res: ExÜCL.M)—►Ext!!. . (L.M) (1)

u G (q)

шгьектпвно для всех "интересных" модулей L и И. Таким образом,

1 Стейнберг Р. Лекции о группах Шевалле. М., Мир, 1975

Cllne Е., Parshall В., Scott L., van der Kallen W. Rational and generic cohoraology, Invent. Hath., 39(1977), p. 143-163.

1-когомологии конечной группы G(q) устроены не проще, чем (рациональные) 1-когомологии G.

К настоящему времени когомологическая теория рациональных представлений алгебраических групп является весьма развитой (см.,■ напр., Значительный вклад в нее внесли Андерсен, -Донкин,

Клайн, Паршалл, Скотт, Хамфри, Янтцон и другие известные математики. Что касается аналогичной теории для конечных групп Шевалле, то здесь получено меньше результатов, имеющих, к тому же, значительно менее общий характер. Часть из них, подобно, упомянутому результату Клайна, Паршалла, Скотта и ван дер Каллена, связывает когомологии G(q) и G (см. также Другая состоит из конкретных фактов о группах II1(G(q),Ы) для наиболее просто устроенных и часто встречающихся модулей М, при этом 1 обычно равно 1 или 2. Если эти результаты получаются с использованием когомологий объемлющей алгебраической группы , то, как правило, возникают неприятные ограничения на характеристику, в которых фигурирует число Кокстера h (слабейшее из mix: p>h).

Один из подходов, позволяющих получать результаты без существенных ограничений на характеристику, связан с переходом к удобной параболической подгруппе ?<G(q) (с упшотентшм радикалом U и фактором Леви X) и рассмотрением спектральной последователь-

Parshall В. Cohomology of algebraic groups. Proc. Symp. In

Pure Hath., V. 47, Part 1, 1988, p. 233-248.

Andersen H. H.' Extensions of modules Tor algebraic groups,

American T. Math., 1984, V.. 106, p. 489-504.

Andersen H. H. Extensions of simple modules for finite

Chevalley groups, J. Algebra, 1987, V. 111, p. 388-403.

ности Хохшильда-Серра, соответствующей расширению 1 —. и Р —► X -* 1. На этом пути Са6 ^ и Белл7 ^ вычислили группы IIi(SLn(q),Ar(V)), 1=1,2 и ExtJb {q)(Ar(V),As(V)) (здесь V - естественный SLn(q)-модуль). Используя близкий метод (с Р=В - боре-левская подгруппа), Клайн, Паршалл, и Скотт3 нашли все группы II1 (G(q),L(X)'>1 гда L(x) - неприводимый KG(q)-MO^b, старший вес X которого является микровесом. Аврунин^ и Ландазури решили аналогичную задачу для второй группы когомологий. А Смит, Волклейн10'1 и Кабанес нашли группы (L(X),L([i.)), где х и ц

- микровеса. Отметим также важные (используекп часто в качестве базы индукции) результаты Карлсона11^ и Тезуки о когомологиях SL (q), Андерсена^ - о когомологиях SL3(p), а также. Сипа - о когомологиях групп SL3(2X1), Sp4(2n),- G2(2n), G2(3n). ..

В настоящей диссертации мы развиваем методы из ;и

Sail С..-Н. Cohomclogy of spilt group extensions 1,11, J. .Algeb-

ra, 29(1974), p. 255-302, 45(1977), p. 17-68. : .

Bell G. V?. On the cohomology of finite special, linear groups I, II, J. Algebra, V. 54 (1978), 216-238, 239-259. . Cllne E., Parshall Bw, Scott I. Cohomology of finite groups of Lie type I, Publ. Math.' I. II. E. S., V. 45 (1975), p. 169-191. Avrunin G. A. A vanishing theorem for second degree cohomolo-

gy, J. Algebra, V. 53 (1978), p. 382-388.

10^Volkleln H. On extensions between simple modules of a Cheval-ley group, Rend. Cirk. mat. Palermo, 5er. 2,' 39(1990), Suppl. 1123, p. 337-346.

11^Carlson J. F. The cohomology of Irreducible modules over SL?(pn), Proc. London Math. Soc. (3), V. 47(1983), p. 480-492.

получаем оценку на размерность груш Н^Ь^),!), 1=1,2, для неприводимого модуля Ь, использующую некоторые предположения о композиционных факторах ограшгаения Ь|Х. Это дает возможность применить 1шдукцию к некоторым модулям 1 с "хорошими" правилами ветвления 1|Х.

В качестве применения данной оценки найдены 1-когомологии конечных груш Шевалле с коэффициентами в неприводимых модулях с одномерными весовыми пространствами (относительно подгруппы Кар-тана К группы О. Такие' модули были классифицированы А. Е. Залес-ским и И. Д. Супруненко12^ и встречаются довольно часто. К их числу относятся, например, модули Ь(\), где х - микровес.в частности, БЬ^^)-модули Л*(У), а также модули срезанных полиномов над БЬп^). Поэтому полученные результаты могут быть рассмотрены как развитие упоминавшихся работ Са, Белла, Клайна, Паршалла и Скотта. Кроме того, найдены группы Н2(ЗЬ^Ср)(V)), 3=1,...,р-1, где Б^У) - 3-я симметрическая степень естественного БЬп(р)-модуля V. Эти результаты оказались полезными при классификации А. Е. Залесским.и Дж. Диксоном конечных линейных груш простой степени В качестве другого приложения данной оценки получен ряд результатов о 1- и 2- когомологиях конечных груш Шевалле с коэффициентами в модулях с лерадикальными старшими весами (причем, необязательно неприводимых). Отметим, что для объемлющей алгебраической группы С соответствующие группы когомологий Есегда тривиальны. Таким образам, наши результаты могут быть интерпретированы

Залесский А. Е., Супруненко И. Д. Представления размерности (рп+1)/2 симплектической групш степени 2п над полем характеристики р, Весц! АН БССР, сер. ф1з-мат. навук, 1987, N6, 9-15.

как результаты о сюръективности отображения (1). развивающие , . где приведены некоторые общие условия сюръективности (1), включа--вдке, кроме всего прочего, сильное ограничение на характеристику: р>3(1г-1).

Цель работы - получение оценки размерности первой и второй групп когомологий конечной группы Шевалле с коэффициентами в неприводимом модуле, вычисление с ее помощью 1-когомологий конечных групп Шевалле с-коэффициентами в неприводимых модулях с одно-' мерными весовыми . пространствами, 1- и 2-когомологий конечных групп Шевалле с коэффициентами в некоторых модулях с нерадикаль--шми старшими весами, вычисление 2-когомологий Ы<п(р) с коэффициентами в 3-х симметрических степенях естественного модуля над ЗЬП(Р), 3=1,р-1,■а также получение аналогичных результатов для некоторых факторов Леви конечных групп Шевалле, в частности для группы СЬп(р).

Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты и метода могут быть использованы для дальнейшего изучения модулярных представлений групп Шевалле, вычисления жх\ .ологий групп Шевалле, в теории линейных групп.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на научно-исследовательском семинаре по алгебре в Институте математики АН Беларуси, на IV школе "Алгебра и анализ" в г. Омске, на мевдуна-родной конференции по алгебре в г. Барнауле, на VI конференции математиков Беларуси в г. Гродно, на алгебраическом семинаре в ЛОЖ.

Публикации. Содержание диссертации опубликовано в шести ра-

Т

ботах, список которых приведен в конце автореферата.

. Объем работы. Диссертация состоит из зведения и трех глав и изложена на 12S страницах. Библиография содержит 57 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Пусть 2 - неприводимая приведенная система корней (с^,...,0^} - фиксированная система простых корней в 2; Ш,,...,^} - соответствующая система фундаментальных весоз; Q -

л»

решетка радикальных весов; <•,•> - скобки Картана; оС - максимальный корень; G(q) - ушшерсальная группа Шевалле типа 2, построенная над полем k=GF(q) (q=pn); G - универсальная груша Шевалле типа 2,'построенная над полем К=К; L(x) = КХ^ + .-.+ХдО)^ =

= L(X1.....х1) - неприводимый рациональный KG-модуль со старшим

весом х = х1ы1+..,+х^ или его ограничение на G(q)<G; Рг - максимальная параболическая подгруппа G(q), соответствующая "подмножеству (1,..,.г-1 ,г+1.....1)с{1,... ,1); и - унипотентный радикал

Рг; Хг - фактор Леви Рг; - модуль, полученный из G-модуля М скручиванием на J-ю степень морфизма Фр-бениуса или его ограничение на G(q);' - старший вес дуального модуля L(M*.

Параграфы 1 и 2 носят вводный характер и посвящены изложению необходимых результатов из теории групп Шевалле, их представлений, а также представлений их факторов Леви. Приведено описание строения унипотентныу радикалов некоторых максимальных параболических подгрупп как модулей над соответствующими факторами Леви. Сформулированы необходимые факты о когомологиях групп.

В §3 мы приводим некоторые известные результаты о когомоло-гиях групп Шевалле (предложения 3.1-3.3), а также доказываем теорему 3.4-, которая вместе с некоторыми ее уточнениями (3.5-3.9) является основной при получении результатов глав II и III, и,

по-видимому, может бить применена еще во многих ситуациях Пусть Ьп1/Ьп1_1, ш=0,...с1 - к.ф. модуля Ь(Х)|Хг. , Теорема 3.4. (1) Предположим," что:

(1) II1 (Хг,Ьт/Ът_1 )=0, т=0,.. .й;

(2) Хг-модуль Ьт/Ьт_1 не является композиционным' фактором

Хг-модуля ф. о((иг/иг')(.;')®кК) для любых т=0,...с1. Тогда

И1(С(я),Ь(Х)) = 0. ' ' ;

(11) Предположим, что Иг коммутативна и . •,

(1)П2(Хг,Ьт/1т_1) = О, т=0,...с1; ;' •: _ ■ , . • .

(2) Х^-модуль Ът/Ьт_1 не является композиционным •, фактором X -модуля

для любых т=0, . ..(1;

(3) П1(X ,Ъ ,) = 0 для любого композиционного фактора г /г„ .

2* 8 3~ I > * 3 б" I

ХГ-М0ДУЛЯ • '•■1 ' '

Тогда П2(С(я),Ъ(Х)) = О. .

В заключение §3 приводятся результаты с когомологиях групп СЬ2, БЬ3 и И|3, используемые в дальнейшем в качестве базы индукции.

В глаье II Найдены I-когомологии групп Шевалле с коэффициентами в модулях с 1-мерными весовыми пространствами. Такие модули были классифицированы в 12 §4- посвящен изложению этих и некоторых других результатов А. Е. Залесского.и И. Д. Супруненко, необходимых в дальнейшем. Здесь же сформулирована следующая основная

теорема главы II:

Теореыа 4.2. Пусть Ь=Ь(х) - неприводимый ' рациональный Кйтмодуль со старшим весом Л+ХдЫ^ 0^ х.]^-1,1=1,... ,1.

Предположим,-что все ' весовые пространства Ь одномерны. Тогда Й! (0(я),Ъ)=0, за Исключением следующих случаев:

; Группа - Старший вес \

Ax(pn),n-1 р^ш^ + ф-г^Нр^и.,, р^Цр-г^^Нр^1^ 3=0.....n-1; , +pn~1 (ul_1+(p-2 ), co^p*1-1 ((р-гм,-«^)

: а2(Зп) З^^+Ыд), 3=0.....n-1

: а3(зп) < 3d(2o2). 3=0,...,n-1 .

. А2(2) .. ' " (Л,, C02 ' •

1 А3(2) U2 ' -

i С2(5П) 5^(2w2), 3=0,n-1

: С2(3) '■...■ U2 I

■ с>(зП) З4)2, 3=0,".'.'.'tn-1

.: с4(зп) 3^, 3=0,...,П-1

с^г") 2-Ц,. 3=0,.l.,n-1. •

С2(2п) 2*Ц, 3=0.....n-1

F4(3n) . ■ 3Ju4, J=C.....n-1

; с2(зп) w1+3n 1oj2

i G2(2n) 2«Ц,- 3=0,...,n-1 • ;

В исключительных случаях: dim Н1(А2(4),LOU,)) = dim H1(A2(4),L(3oj2)) = 2,

(ji ,,(Цт II1,(G(q),L) ,= 1. в. остальных случаях.

Эта теорема доказывается в §§5-7 отдельно для какдой системы корней 2. §5 посвящен случаю S=A1> §6 - случаю 2=0^ §7 - остальным случаям. Параллельно получается род аналогичных результатов о когомологиях факторов Леш Х^.

В §8 доказана следующая теорема: *

Teopeua 8.1. Пусть p>2¿ 1>1, (Ка«р-1. Тогда-Л2(Ах(р),L(ош1)) ~ II2(Ах(p),L(ао^)) = 0, за исключением следующих случаев:

: (1) р>3, 1=2, а=р-4;

(11) р=3, 1=3, а=2. '

В исключительных-случаях, dim II^A^p),!) = 1. ,.

Если 1>2 при р>3 и 1>3 при р=3, то теорема 8.1 является частным случаем следующего результата. ■

• Teopeua 8.2. Пусть 1>2, если р>3, и 1>3, если р=З.Тогда ■ H2(Sl¿(p),J) 0 для любого подмодуля J в подстановочном kSLn(р)-модулэ:на.точках естественного SL (р)-модуля V.

В §9 мы формулируем основную теорему главы III, а также приводим контрпримеры, показывающие, что в некотором смысле условия этой теоремы'не могут быть'Ослаблены. -

Пусть V(g) - любой конечномерный рациональный KG-модуль со старшим весом а, то есть любой весгЬ модуля V(a) обладает свойством Ь<а (мы не требуем, чтобы весовое пространство Va было одномерным или чтобы модуль пороздался вектором старшего веса). Тем ке символом V(a) мы обозначаем ограничение V(a)|G(q).

Пусть а - доминантный вес с р-адическим разложением а=а(0>+ра(1>+...+рп-1а(п-1) (а(1>=(о1(1\...,а1(1>)=а/1Ц+...4а1а>си1).

Обозначим через Е(а) множество всех доминантных весов вида А(?)+рА(П+...+рп-1А(п-1> таких, что А(1)?ас1), 1=0,....п-1.-•

Пусть с£=п1с^1 + - - - +п1й1. Для веса х = х1ш1 + ... + х1со1; обозначим через Б(х) сумму Е^=1п1Х1. Если длины всех корней, в, системе корней 2 одинаковы, то, очевидно, Б(Х)=<Х,3>.

Теорема 9.1. Пусть 1>1, и*+Ь - нерадикальный / вес,то есть <х*+Ь«СЦ2), У(а)=®^7(ас1))(1>,У(Ь)=®^:оУ(Ъ(1))а).^огда

(I) если Б(а(:1)+Ьш)<р, 1=0,...п-1, то

ЕхС, ,(У(а)ЛЧЬ))=0, за исключением, быть монет, следующих случаев:

,1). 2=Аг, q=г;

г); ЦпАд, 4=2, :

3). 2=А1, п>1, а*+ЬеЕ(и1 +рп~1 1+Ср-2Ул^)) или Ь*+ЬеЕ(и1+рп~1 ((1)2+(р-2)ш1));

(II) если 3(ас1)+Ь(1))<р-1, 1=0,...п-1, то

Ех^, .(У(а),У(Ь))=0, за исключением, быть может, следующих случаев:

1)1 п=1, р>3, <а*+Ь,5>^р-4; •

2). 2=А1, 4=9, о*+Ь>4и2 или ;

3). 2=А1> п>1, а*+ЬеЕ((1)1+рп_1 (сох_2+ (р-3)(д»1')) или а*+ЬбЕ(а)1+рп-1(о3+ (р-3)и1)) (если 1=2, то со0 и иэ интерпретируются как О).

I

Доказательство этой теоремы приведено в §10-12 и проводится

.¡отдельно для каждого типа групп. Там же получены некоторые анало-. гичные результаты о когомологиях факторов Леви групп Шевелле, (см., например, следствие 12.11).

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю А.. Е. Залесскому за постоянное внимание к работе, много-числешше полезные обсуждения и советы. Автор также глубоко признателен А. А. Премету.и И. Д. Супруненко за многочисленные полезные обсуздещя. ,•

Работы автора по теие диссертации.

■1. Клещев А. С. Когомологии конечных групп Шевалле с коэффициентами в модулях с нерадикальными старшими весами. Мн., 1990, 32 стр. (Препринт / Ин-т математики АН БССР, 1117(417)).

2. Kleshchev A. S. Cohomology of Unite Chevalley groups with coefficients In modules with nonradical highest weights, II. Minsk, 1990, 42p. (Preprint / Institute of Mathematics, Academy of Sciences of BSSR, N47(447)). .

3. Ипещев A. C. 1-когомологии специальной линейной группы с коэффициентами в модуле срезанных пйлиномов. '- Матем. -заметки, Т. 49, NQ, 1991, с. 63-71.

4. Клещев .А. С,. О расширениях модулей срезашшх полиномов и внешних степеней над конечной специальной линейной группой. - Матем. заметки, Т. 51, N5, 1992, с. 43-53.

5. Kleshchev A. S. On extensions of the modules of truncated polynomials and external powers over finite special linear group. Тез. междунар. конф. по алгебре, посвящ. памяти А. И. Ширшова. Барнаул. 20-25 авг. 1991. - Новосибирск, 1991, с. 19.

6. Клещев А. С. 1-когомологии конечных групп Шевалле с коэффици-

еитами в модулях с одномерными весовыми про'странстваш. - Тез. сообщ. VI конф. математиков Беларуси, г. Гродно, 1992, с. 25 (сдано в Communications In Algebra).

Подписано в печать 22.02.93.

Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 0,93. Уч.-изд. л. 0,75. Тира» 100 экз. Заказ 15. Бесплатно. Ротапринт ВЦ АКБ

220072, Минск, ул. Сурганова, II.