О классификации конечных локальных колец характеристики ρ, радикал Джекобсона которых имеет индекс нильпотентности четыре

Журавлев, Евгений Владимирович

О классификации конечных локальных колец характеристики ρ, радикал Джекобсона которых имеет индекс нильпотентности четыре тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Журавлев, Евгений Владимирович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Барнаул МЕСТО ЗАЩИТЫ

2006 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.06 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «О классификации конечных локальных колец характеристики ρ, радикал Джекобсона которых имеет индекс нильпотентности четыре»

Автореферат диссертации на тему "О классификации конечных локальных колец характеристики ρ, радикал Джекобсона которых имеет индекс нильпотентности четыре"

На правах рукописи

Журавлев Евгений Владимирович

О КЛАССИФИКАЦИИ КОНЕЧНЫХ ЛОКАЛЬНЫХ КОЛЕЦ ХАРАКТЕРИСТИКИ р, РАДИКАЛ ДЖЕКОБСОНА КОТОРЫХ ИМЕЕТ ИНДЕКС НИЛЬПОТЕНТНОСТИ ЧЕТЫРЕ

01.01.06. — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск — 2006

Работа выполнена на кафедре алгебры и теории чисел Алтайского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических

наук, профессор Ю.Н. Мальцев

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор В.М. Копытов,

кандидат физико-математических наук П.С. Колесников

Ведущая организация: Омский государственный университет

Защита диссертации состоится "_ 1 » июня _ 2006 года в 14 ч. 15 мин, на заседании диссертационного совета К 212.174.01 Новосибирского государственного университета по адресу: 630090, г. Новосибирск, ул. Пирогова 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НГУ.

Автореферат разослав " 2006 г.

Ученый секретарь

диссертационного Совета К 212.174.01

кандидат физико-математических наук ^ А.Д. Больбот

ètooGfv

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Одной из актуальных проблем современной алгебры является задача описания и классификации конечных колец малых порядков. Каждое конечное кольцо с единицей единственным образом представимо в виде прямой суммы колец, порядки

которых есть степени некоторых простых чисел, то есть R = ф Rp,

где Rp — {х £ R \ рпх = 0 для некоторо1'о п > 1}. Поэтому при классификации конечных колец достаточно рассматривать только кольца порядка р™. За последние десятилетия удалось полностью описать некоторые из таких типов колец. Так, В.Г. Антипкин и В.П. Елизаров полностью описали кольца порядка рп для п < 3 (см. [1, 2]). В частности, В.П. Елизаров классифицировал все ненильпотентные кольца порядка р4 (см. [2]). При этом число неизоморфных колец, полученных ими, различно для р = 2 и р / 2. В работе [3] В.А. Ратиновым частично описаны кольца порядка р4, при этом различались случаи р= 2, р ^ 2 и р = 1 (mod 3), р ^ 1 (mod 3). Д. Дерр, Г. Орр, П. Пек в 1994 году впервые указали исчерпывающий список некоммутативных колет; порядка р4 (см. [6]). Авторы ограничили себя некоммутааив-ньш случаем в связи с тем, что конечное коммутативное кольцо является прямой суммой локальных колец, а конечные локальные кольца порядка р4 были к тому времени наиболее изучены (см. также [27]).

Б. Горбас и Г. Вилльямс в 2000 году в работе "Rings of order р5" (см. [16, J 7]) классифицировали с точностью до изоморфизма все конечные кольца порядка р5. Более того, ими были полностью опжаны все конечные кольца порядков р, р2, р3 и р4, при этом их результаты совпали с полученными ранее. Метод, использующий теорию полусовершенных колец и теорию графов, позволил им по сути свести проблему к классификации конечных локальных колец, то есть колец с условием R/J(R) = F, где F - поле. Авторы указали также ira то, что их метод открывает перспективы для изучения строения колец более высоких порядков Здесь важно отмстить, что согласно их замыслу, необходимо сначала полностью классифицировать все конечные локальные кольца рассматриваемого порядка, а затем уже, рассматривая соответствующие разложения в прямые суммы полусовершенных колец, получить окончательный результат.

РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА

С.-ГГетербург

03 203 ¿кт Y0&

Данная работа посвящена описанию локальных колец. Чтобы понять ее значимость для теории конечных колец, кратко опишем технику классификации конечных локальных колец.

Пусть R — локальное кольцо порядка рп, J{R) — радикал Джекоб-сона кольца R и R/J(R) = GF(pr) = F. Заметим, что J(R) является множеством всех нильпотентных элементов кольца R или, что равносильно, множеством всех делителей нуля. Рассмотрим последовательность R = J(R)° э J(R) Э J(R)2 D .... Если = dimF 7(й)г/J(7?)t+1,

то г ]П st = n и, в частности, r\n. Если n является простым числом, i=0

то либо J{R) = 0 и R = GF(pr), либо г = 1. Если же, к примеру, п = 6, то возможны также случаи г = 2 и г = 3.

Далее, так как R является конечным кольцом, то его радикал ./(/?) нильпотентен. Следовательно, syv = О тогда и только тогда, когда J(R)n = 0, причем s, = 0 для всех i > N. Если N — наименьшее из всех таких чисел, то есть J(R)n_1 ф 0, то N называется индексом нильпотентности радикала J(R). Так как бг > 1 (0 < г < N — 1), то п > rN. Заметим, что 1 -р € J(R), а значит, pN — 0 и характеристика кольца R равна рк для некоторого к < N. Следовательно, п > тк Случай п = гк был исследован в работах [21, 22, 24]. А именно, с точностью до изоморфизма существует только одно конечное локальное кольцо R порядка ргк и характеристики рк. Это кольцо называется кольцом Галуа GR{prk,pk) и нредставимо в виде Zpk[x]/(f), где / является многочленом степени г, неразложимым по модулю р. Тривиальные случаи — GR{pn,pn) = Zp» и GR(p",p) = GF(pn). Кроме того, полностью классифицированы конечные локальные кольца следующих типов (далее s = ]Г st):

t=0

1. |Д| = рп, charR = рк, J(R)2 = 0 для любого к (см. [12, 11]);

2. |Я| = раг, charR = р, J(R)3-1 ф 0, то есть 1 = s, > s2 > ... > О (см. [24]);

3. |Л| = рьт, charR = ps_1, J{R)s l ф 0, то есть так называемые (см. [24]) почти кольца Галуа (near Galois rings);

4. r = 1, charR = pk, J(Rу*1 ф 0 для любого к (см. [16]);

5. |Д| = рк+1 = р - charR (см. [16, 17]).

Итак, в силу сказанного выше, каждому конечному локальному кольцу соответствует некоторая последовательность (к, г, в 1,52 ,...)■ Более подробно рассмотрим ситуацию, когда п = б и к = 1. Типы колец, соответствующих этим значениям пик, приведены в следующей таблице:

№ к г «г «2 «3 я4 в а

1 1 1 1 1 1 1 1

2 1 1 2 1 1 1 0

3 1 1 2 2 1 0 0

4 1 1 2 1 2 0 0

5 1 1 3 1 1 0 0

6 1 1 2 3 0 0 0

7 1 1 3 2 0 0 0

8 1 1 4 1 0 0 0

9 1 1 5 0 0 0 0

10 1 2 1 1 0 0 0

11 1 2 2 0 0 0 0

12 1 3 1 0 0 0 0

13 1 6 0 0 0 0 0

Кольца типа (1,6,0,0,0,0,0) (строка 13) изоморфны конечному полю G'F(^)6), а кольца типа (1,1,1,1,1,1,1) (строка 1) изоморфны кольцу 2/,[Х]/(х5) (см. [16]). Типы (1,1,5,0,0,0,0), (1,2,2,0,0.0,0), (1,3,1,0,0,0,0) (строки 9, 11, 12) соответствуют кольцам с </(Я)2 = 0 и классифицировании в работах [12,11]. В работе [8] полностью классифицированы кольца типа (1,2,1,1,0,0,0) (строка 10). Кроме того, в ней указано количество неизоморфных колец типов (1,1,2,3,0,0,0), (1,1,3,2,0,0,0) (строки 6, 7) в частных случаях: Р1 = ¿Г2, Г = ^з, ^ = . Одним из результатов настоящей работы является полная классификация, с точностью до изоморфизма, колец типов (1,1,2,2,1,0,0), (1,1,2,1,2,0.0), (1,1,3,1,1,0,0).

Кольца типов (1,1,2,1,1,1,0), (1,1,4,1,0,0,0) (строки 2. 8) остаются пока неисследованными. Заметим лишь, чю задача классификации колец тина (1,1,4,1,0,0,0) равносильна задаче о нахождении представителей классов эквивалентности, определенной на матрицах

А, В £ M4(F) по правилу:

А ~ В О ЗР G GL(4, F), 3i G F* : A = t PT B P.

Аналогичные задачи для матриц А, В е Мг(^) и Л, 5 € M$(F) были решены в работах [5, 13, 18, 19, 28, 29].

Каждому типу колец соответствует определенный индекс нильпотентности радикала. Поэтому естественным образом возникает необходимость в информации о строении конечных локальных колец, радикал Джекобсона которых имеет индекс нильпотентности 2, 3 и 4, и о необходимых и достаточных условиях существования изоморфизма между такими кольцами.

В работах [11,12] Б. Горбас указал конструкцию конечного локального кольца с радикалом Джекобсона индекса нильпотентности 2.

Конструкция А1 ([12]): Кольцо R называется "кольцом с несколькими делителями нуля" ("ring with few zero divisors"), если оно содержит в точности п 4 1 делитель нуля и имеет порядок (п + I)2 Пусть Ro является либо конечным полем, либо кольцом с несколькими делителями нуля и пусть М — единственный максимальный идеал R, V — конечномерное векторное пространство над Rq/M и ip : Rq/M -4 EndftQ//M (V) — гомоморфизм колец На аддитивной группе Д0 © V определим умножение по правилу

(г, и) ■ (s,v) = (rs, (г + M)v + ip(s 4- М)(и)).

Относительно введенного умножения группа Rq^V превращается в кольцо.

Теорема ([12]): В конечном кольце R с единицей произведение любых двух делителей нуля равно нулю тогда и только тогда, когда R изоморфно одному из колец конструкции А1.

В 1999 году Ч. Чикунджи описал строение конечных локальных колец характеристики р, радикал Джекобсона которых имеег индекс нильпотентности 3 (см. [7]). Им были получены следующие результаты.

Конструкция А2 ([7]): Пусть F — GF{jpr) — поле Галуа. Пусть s,t, X(l<t<s2,X>0) — натуральные числа и пусть U, V, W будут соответственно s, t, Х-мерные векторные пространства над

полем Р с базисами {ыг}, {г>м}, {и>к}. Пусть также А\ = (а^), А^ = (а^), ... ,А1 = (а^) — квадратные матрицы порядка в над полем Р, удовлетворяющие условиям■

1. (Оу), (а^), • ■ ■, (о^) — линейно независимы;

2. для каждого г € {1,. ., в} существуют числа к £ {1,...,£} и ] € {1,..., я}, такие, что а* ф 0 или а*г ф 0.

Пусть {о\,..., o^s}^ {тг,..., тл}, {$1,..., — множества автоморфизмов поля Р (не обязательно различных) с условием: если а* Ф 0 для некоторого к € {1,.. , £}, то = сг1о1.

Рассмотрим прямую сумму 11 = Р(Ви(ВУ(В~[¥ и определим на Я умножение по правилу

= а0а0

■'о, £1а0а'г + аг(а'0Г-]иг, £ [а0% + 0М)Г"

ао^ + ^КЛ+Ё^а. К)"

Относительно введенной операции аддитивная группа Я превращается в ассоциативное кольцо.

Теорема ([7]): Кольцо II ионструициа А2 является конечным локальным кольцом характеристики р, радикал Джекобсона которого имеет индекс нильпотентности три. Обратно, каждое такое кольцо изоморфно одному из колец конструкции А.

Ч. Чикунджи в работах [7, 8] были также получены необходимые и достаточные условия существования изоморфизма между двумя кольцами конструкции А2 в случае, когда автоморфизмы ,..., {п,..., тА}, {9\,..., #г}, обусловливающие их строение, являются тождественными или, что равносильно, когда Р = СР(рг) С Z(R), где — центр кольца П.

Теорема ([7, 8]): Пусть ЩАх,..., и Я'{А\,..., А[) — кольца конструкции А2, центры которых содержат максимальные подполя Галуа Р.

тогда и только тогда, когда существуют В = {8кР) С (?£(£, .Р),

С € СЬ(э, Р) и о € Лгíí(F), такие, что

{

Р>р = ^2^РсТА1С. к=1

Эти результаты сыграли важную роль в классификации колец порядка р5 (см. [14, 15]). Заметим, что с увеличением значения п (|Л| = рп) увеличивается и индекс нильпотентности радикала Дже-кобсона рассматриваемого кольца Так, для классификации локальных колец порядка р", п < 5 и характеристики р достаточно перечисленных выше результатов, но для колец Я порядка р6 необходимо иметь сведения о строении конечных локальных колец с радикалом Джекобсона индекса нильпотентности четыре (для колец порядка р7 соответственно индекса нильпотентности пять и т.д.).

Цель работы. Основной целью работы является описание с точностью до изоморфизма всех конечных локальных колец порядка р6 и характеристики р, радикал Джекобсона которых имеет индекс нильпотентности четыре.

Методы исследования. В диссертации используются методы теории колец и компьютерной алгебры. В частности авюр использовал систему компьютерной математики МаЫаЬ 7.0 (см. [30]).

Научная новизна. Все результаты работы являются новыми и состоят в следующем:

1. Указано строение конечных локальных колец характеристики р, радикал Джекобсона которых имеет индекс нильпотентности четыре.

2. Найдены необходимые и достаточные условия существования изоморфизма между двумя произвольными конечными локальными кольцами характеристики р, радикал Джекобсона которых имеет индекс нильпотентности четыре.

3. Классифицированы с точностью до изоморфизма все конечные локальные кольца порядка р6 и характеристики р, радикал Джекобсона которых имеет индекс нильпотентности четыре.

Практическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер Ее результаты и методы могут быгь использованы для дальнейшего развития теории конечных колец, в частности, для классификации конечных колец порядка большего и равною рь.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на заседаниях семинара "Теория колец" кафедры алгебры и теории чисел Алтайского государственного университета, на заседании алгебраического семинара кафедры алгебры Омскою государственного университета (2006), на международных конференциях по алгебре "Мальцевские чтения" (Новосибирск, 2004, 2005), на восьмой краевой конференции по математике МАК 2005 (Барнаул, 2005), на девятой краевой конференции по математике МАК 2006.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 работ, четыре из них — тезисы трудов конференций (см. [31] — [36]).

Структура работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего 36 наименований. Общий объем диссертации составляет 89 страниц.

Содержание диссертации. Первая глава диссертации посвящена изучению строения конечных локальных колец характеристики р, радикал Джекобсона которых имеет индекс нильпотентности четыре, и нахождению необходимых и достаточных условий существования изоморфизма между двумя такими кольцами.

По аналогии с работами [12, 7, 8] рассмотрим следующую конструкцию.

Конструкция А. Пусть Р = С Г (рг) — конечное поле. Для некоторых целых чисел -ч 1, 32, таких, что 1 < 32 < 1 < < л^дг, пусть и, V, ]У —соответственной!, яз-мерные векторные пространства над Р. Кроме того, пусть {<7Ь ..., сгв1}, {0ь...,0«Л> {п,...,г^} — автоморфизмы поля Р, а = (а^Ь,*^, Вк.2 = (Ь*2)в1Хв1, СЛ2 = (сц)«1х«2> ^ = (¿1 = к2 = Мз) - матрицы над

полем Р, удовлетворяющие следующим условиям:

1. множества А = {(а^1)} , С = {(с*2)} , Б = являются множествами линейно независимых матриц;

2. для любых чисел а, /0,7 6 {1,..., вх}, ш £ {1,..., вз} справедливо

равенство £ а*^ = £ (ак0 ) " (™к\ к=1 к~\ 4 у

3. если а* ^ 0 для некоторого 1 < к < »2, то 9к = <тг(ту;

4. если ф 0 для некоторого 1 < к < я3) то т^ = сг,^;

5. если с* Ф 0 для некоторого 1 < к < «з, то тк = ;

6. если <1к} ф 0 для некоторого 1 < к < вз, то тк = агв3.

Рассмотрим прямую сумму В = Рф[/фУф1¥и множества {и,}, {ггг}, {?/;,}. являющиеся базисами соответственно ¡7, и №. Определим умножение на Л по правилу

»1 82 \ / в!

1 ( »о,^7А

^ ¿=1 ) \ к= 1 А=1 /

/ 81 4-2

[аоа'о, а'к + ак{а'0Ук}ик, ^ + ^к{а'о)8к +

к=Х к=1

«1

+ а^ЩУ^Ук, + £ +

1=1 ;=1

где а0, а^, /?*, 7*, 7^. €

Теорема 1.1. Векторное пространство П. конструкции А являет-ся конечным локальным кольцом с радикалом Джекобсона индекса нильпотентности 4 и характеристики р. Обратно, каждое такое кольцо изоморфно одному из колец конструкции А.

Если А = (аг]) — матрица над полем Р, а а автоморфизм поля Р, то в дальнейшем символом А" будем обозначать матрицу (а(аг})). Пусть А и В — матрицы над полем Р размерностей гп х п и п х к соответственно, и оц,.. ,ат е АиЬ{Р), п,т,к € N. Обозначим через [Л,£](а] >агп) матрицу С = (сч)тхк, где сч = + а12Ъ% + ... + ашЬ"*, г = 1 ,гп,э = 1,к. Если ог - ... = а3 = а, то [А,В]{а1< гат) = АВа. Обозначим через Я(А, В,С,Б,стг,9:, тк) и ЩА', В', С', Б'. т'к) два кольца конструкции А (с одинаковыми инвариантами). Справедлива следующая теорема.

Теорема 1.2.

R{A,B,C,Б,(тl,вJ,тk) £ яи',

тогда и только тогда, когда существуют невырожденные матрицы р = (Рч)в 1Х«1. -К = {Ггз)з2хв2, Т = (^)«ЗХ63; некоторые матрицы Я = (9»з)«2хв1, >5 = ('5г;)«3х«2 и автоморфизм р поля Р, такие, что

Рг ■[А'к,Г}(<, .„^¿г*,^, к = Мг, (1)

г_1

= £ в*, л? + £ к = М1, (2)

1=1 г=1

р7 ^) = ^к1срг, * = (з)

г=1

•[£>'*,,0'2) = &1»№ТУ, к = 1757 (4)

1=1

и <тг = <7^, ес./ш ф 0, = , если г]г ф 0, тг = т^', если ф О, <тг = 9', если q:¡l ф 0, 9г = т^', еслы ^ О

Таким образом, проблема классификации конечных локальных колец Н характеристики р, радикал Джекобсона которых имеет индекс нильпотентности 4, сводится к задаче нахождения представителей классов эквивалентности, определенной на последовательностях матриц [А].,..., Авз, В1,..., В>3,С1,... ,С33, Иг,..., Изз] в смысле равенств 1-4 вышеприведенной теоремы.

Вторая глава диссертации посвящена классификации (с точностью до изоморфизма) всех конечных локальных колец порядка р6 и характеристики р, радикал Джекобсона которых имеет индекс нильпотентности четыре.

Пусть |Я| = рб, R/J(R) = GF(pT) и J(R)3 f О, ,/(Я)4 = 0. Заметим, что r(l + dim/г J(R)/J(R)2 + dimF J(R)2/J (R)3 + dim F J(R)■') = 6.

dimF J{R)/J(R)2 = 3, dimr J(R)2/J{R)3 = 1, dimF J(R)3 = 1

diinF J(R)/J(R)2 = 2, dintp J{R)2/J{R)3 = 2, dimF J{R):i = 1.

Теорема 2.2. Четверки матриц, перечисленные в следующем списке, определяют все попарно неизоморфные конечные локальные кольца порядка р6 с условиями: charR = р, J(R)4 = 0, R/J{R) = F,

dimFJ{R)/J{R)2 = 3, dimFJ{R)2/J{R)3 = l,dimr J{R)3 = 1. а) Если F = GF(pT),p ф 2, mo:

Следовательно, r = 1 и

или

где b £ F;

где Ь пробегает множество всех представителей смежных классов F*/F*2;

/1 О ОХ /0 0 О'

4- А = I О О О | , В = I О О О \0 0 0/ VI О о

/1 О ох

5. Л = 0 0 0,5 =

\0 О О/

/1 О ОХ

6. А= [О О О

\0 0 Оу

/1 0 ох

7. А =■ 0 0 0

\0 О О/

/1 О ОХ /0 0 О'

Л = О 0 0 | , В = I 0 1 о \0 0 0/ \0 0 Ь)

где Ъ пробегает множество всех представителей смежных классов Р*/Р*2;

/1 о 0^

9. Л = О О О , С =

\0 О 0.

(I О ОХ /0 0 ОХ /IX /1>

10. А = О О О 1 , В = I О О 0 ,С= 0 ,£>= 0

\0 0 0/ \о о о/ \о/ \оу

Ь) Если Р = СР{рг),р = 2, то к вышеуказанному списку необходимо добавить четверку матриц

/1 О ОХ А= О О О \о о Оу

(О о ох , £= | О 0 1 I ,с Л 1 ъ

Пусть М = {z G F* | Vz G F z(l + 35x2) - xS(3 + Sx2) ф 0}, где 8 - некоторый фиксированный элемент F* \ F*2, 6 ф 1. Рассмотрим множество функций

у i ± „ ± , ч ±aZ(a2 + - + 5с2)

K = = а(а2 + 3(5с2) ^ сг(3а2 + ¿с2) '

где а = 0, с = 1 или а = 1, с G F Относительно бинарной операции (¿>1 о ф2)(г) = (02) (0ii02 С данное множество образует группу, которая действует на множестве М. Обозначим через К,\М множество представителей орбит

Теорема 2.4. Пятерки матриц, перечисленные в следующем списке, определяют все^попарно неизоморфные конечные локальные кольца порядка р6 с условиями. charR = р, J{R)4 = О, R/J(R) = F,

dirrif J{R)/J(R)2 = 2, dimr J(R)2/J{Rf = 2, dimF J(Rf = 1.

а) Если ^ = (7-Р(>г), рф 2, то: ' 1 0\ /О 1\ /1 О

0 оу ' VI о)' о

для всех 51, 52 С {0,1};

1 (Л /О 1\ /О 1

0 0/ ' VI 0/ ' VI О для всех з С {0,1};

1 0\ /О 1\ /10

0 о; ' V—1 оу' \о о

для всех я С {0,1};

1 0\ /0 1\ /0 1 0 0 ' 1-1 07 ' VI 0

1 О О О

0 1

1 О

О О

0 -1

1 О

О О 8 О

О «2

О о

0 8

о о о о

1 0\ /О г

0 б) ' \1 Оу

для всех s G {0,1};

1 0\ /О 1N О 1)' \l 0 у

для всех s G {0,1};

1 О' О 1

1 О

0 5

1 О О 1

О О s О

1 0\ (О 1

0 lj ' \l о.

для всех ь £ {0,1};

1 0\ / 0 1 О е) ' V-1 О

для всех е € {1, <$};

1 1

0 1

1 О

1 1

О О

s О

О О

о о

10.

11.

1 1W0 1W1 1

-1 О) О J ' \—2 -2

для всех s € {0,1 };

1 0\ / 0 1+0 О о)' \1-р О для всех 0 G F*, s € {0,1};

1 О О О

1 -1 2 -2

1 О

О О

1 О

О О

О 1 + 0

1-/3 О

1-0\ (О о

,(1 + /3)2 о для всех 0 е F*;

О О

12.

1 0\ f О 1 + 0 О о) ' \1 -0 О

О 1-0\ (0 1 (.1 + 0)2 О )' [l 1 для всех 0 <Е F% 04 - 1 = О;

(1-0У

13.

1 1\ (О 2

-1 1)' Vo О.

для всех s € {0,1}.

1 -1

1 -1 -1 1

О О s О

О о

О s

1 + А О )

1+0\ О J

О О' а О

Кроме того, если charF = 3, то дополним список матрицами

1 (Л /О 1\ (1 1 О О J 'V оу ' VI о для всех s е {0,1}.

1 О

О О s О

Если множество М не пусто, то дополним список матрицами

1 (А /О 1\ /1 Л /1 ;г\ /0 0^ О в) ' VI оу' ¿У ' и 5/ ' V* °>

для всех в 6 {0,1}, г<?е г £ К\М.

Если найдется элемент г £ Р*, такой, что г ф ±1, дополним список матрицами

' '1 0\ /О 1\ /1 г\ /1 г\ /О О

,0 'и о/' V У' V« у' V« о

для всех в £ {0,1). Если —1 £ Р*2, тпо дополним список матрицами

~ '1 0\ / 0 1

,0 \) ' о,

для всех в £ {0,1}.

Если — 1 ^ Р*2, то дополним список матрицами

'1 0\/0 1\ / 1 ^ ( 1 б) ' о) ' -<5 ) ' ^^ <5

для всех в £ {0,1}. Если —3 £ Р*2, то дополним список матрицами

А (Л / о 1 + 1 1 + /Л

[о о]' о )> {(1-0)2 о ) '

1 /0 0'

Ч(1 + р)2 о )' \<д о

где Р = €

Ь) Если F = то:

1 0\ /О П /в' ¿Л /V вА /0 51

0 о;' VI о;' V« оу' V* о/' \о «г

1 0\ /О 1\ /в' в\ /V /0 51 О О ' 1 1 ' и 8) ' и я у ' 1о О

0 1\ /1 0\ /51 в'Л /Я1 я'Л /0 52

1 1/' 1о и .ь ' и 81)' 1о о

1 О

0 О

1 О

0 О

1 О О О

0 о'

1 О

О 1

о о

О 1

5- О

Й о

в' я

0 о

1 о о о

3' 8

0 о

в1 о

в о

1 о о о

О 381 О 9'в!

о о

О в

о о

0 1\ /1 1

1 О)' \0 3 в! + Зв^

«1 + +

1 8'8[ О «1 + вв^

в'3^32 з'з[я2

0 1

1 1

О 1 О О

1 1\ /О 1\ /О О О О/ ' \0 1/ ' V? О

1 — з, = 1 — Всего 32 пятерки

для всех в, «ь в2 С {0,1}, в' матриц.

Таким образом, с точностью до изоморфизма классифицированы все конечные локальные кольца порядка |Л| = р6 и характеристики р, радикал Джекобсона которых имеет индекс нильпотентности 4. Полученный результат является продолжением исследований по классификации конечных локальных колец порядка рп, а £ N (см. [8, 9, 10, 12, 16, 17]).

Автор выражает благодарность своему научному руководителю профессору Юрию Николаевичу Мальцеву за постановку задачи, постоянную поддержку и внимание к работе, пенные замечания и плодотворные обсуждения.

Список литературы

[1] Антипкин В.Г., Елизаров В.П. Кольца порядка р3 // Сибирский математический журнал. - 1982. № 23(4). - С. 9-18.

[2] Елизаров В.П. Нильпотентные конечные кольца // Рукопись деп. в СО АН СССР (редколлегия Сибирского математического журнала) 21.09.85., JV0 1472-85. - 37 стр.

[3] Ратинов В.А. Полусовершенньте кольца со специальными типами присоединенных групп: Дис. .. канд физ.-мат. наук Москва. 1980. - 107 стр.

[4] Мальцев Ю.Н. Критические кольца и многообразия ассоциативных колец: Дис. ... доктора физ -мат. наук. Барнаул. 1985. -243 стр.

[5] Bremser P.S. Congruence classes of matrices in GL2{Fq) // Discrete Mathematics. - 1993. - Vol. 118. - P. 243-249

[6] Derr J.В., Orr G.F., Peck P.S. Noiicommutative rings of ordei рл // Journal of Puie and Applied Algebra. 1994. Vol.97. P. 109-116.

[7] Chikunji C. J. On a Class of Finite Rings // Communication in Algebra. - 1999. - Vol. 27(10). - P. 5049-5081.

[8] Chikunji C. J Enumeration of Finite Rings with Jacobson Radical of C\ibe Zero [Electronic resource] - Cornell University Library, 1999 - Mode of access' http://arxiv.org/abs/math.RA/9905030.

[9] Chikunji C. J. Using Matlab to solve a classification problem in finite rings [Electronic resource] - 2nd international conference on the teaching of mathematics, Greece, 2003 - Mode of access: http://www math.uoc.gr/ ictm2/Proceedings/pap252.pdf

[10] Chikunji C. J. On a class of rings of order p5 // Math. J. Okayama Univ. - 2003. - Vol. 45. - P. 59-71.

[11] Corbas B. Rings with few zero divisors // Math. Ann. - 1969. - Vol 181. - P. 1-7.

[13]

[14]

[15]

[36]

[17]

[18]

[19]

[20] [21] [22]

[23]

Corbas B. Finite rings in which the product of any two zero divisors is zero // Archiv der Math. -1970. - Vol. 21. - P. 466-469.

Gorbas B., Williams G.D. Matrix representatives for three-dimensional bilinear forms over finite fields // Discrete Mathematics.

- 1998. - Vol. 185. - P. 51-61.

Corbas B., Williams G.D. Gongruence of two-dimensional subspaces in M2{K) (chaiacteristic 2) // Pacific Journal of Mathematics. -1999. - Vol. 188(2). - P. 225-235.

Corbas B., Williams G.D Gongruence of two-dimensional subspaces in M2(K) (characteristic 2) // Pacific Journal of Mathematics - 1999.

- Vol. 188(2). - P. 237-249.

Corbas B., Williams G.D. Rings of order p5 Part 1. Nonlocal rings // Journal of Algebra. - 2000. - Vol. 231 - P. 677-690

Corbas B., Williams G.D. Rings of order p5. Part 2. Local rings // Journal of Algebra. -2000. - Vol. 231. - P. 691-704.

Gorbas B., Williams G.D. Congruence classes in M3(Fq) (q odd) // Discrete Mathematics. - 2000. - Vol. 219. - P. 37-47.

Gorbas B., Williams G.D. Congruence classes in M?,(Fq) (q even) // Discrete Mathematics. - 2002. - Vol. 257. - P. 15-27.

Fine B. Classification of rings of order p2 // Mathematics Macazine.

- 1993. - Vol. 66(4). - P. 248-252.

Jarmsz G.J. Separable algebras over commutative rings // Trans. Airier. Math. Soc. - 1966. - Vol. 122. - P. 461-479.

Krull W. Algebraische theorie der ringe II // Math. Ann. - 1924 -Vol. 91. - P. 1-46.

McDonald B.R. Finite rings with identity. - N.Y., 1974. - 430 p.

Raghavendran R. Finite associative rings // Compositio Math. -1969. - Vol. 21. - P. 195-229.

[25] Wilson R.S. On the structure of finite rings // Cornpositio Mathe-rnatica. - 1973,- Vol. 26. - R79-93.

[26] Wilson R.S. On the structure of finite rings 2 // Pacific Journal of Mathematics. - 1974.- Vol 51(1). - P. 317-325.

[27] Wilson R.S. Representations of finite rings // Pacific Journal of Mathematics. - 1974,- Vol. 53. - P. 643-649.

[28] Williams G.D. Congruence of (2 x 2) matrices // Discrete Mathematics. - 2000. - Vol. 224. - P. 293-297.

[29] Waterhouse W.C The number of congruence classes in Mn(Fq) // Finite Fields and their Applications. - 1995 - Vol. 1. - P. 57-63.

Работы автора по теме диссертации

[31] Журавлев Е.В. Конечные кольца, радикал Джекобсона которых в четвертой степени равен нулю // Материалы восьмой краевой конференции по математике. Барнаул: Изд-во АлтГУ. 2005. -102 стр.

[32] Журавлев Е.В. О классификации коночных локальных колец порядка р6 // Материалы восьмой краевой конференции по математике. Барнаул: Изд-во АлтГУ. 2005. - 102 стр.

[33] Журавлев Е.В. Классификация конечных локальных колец порядка р6 и характеристики р, радикал Джекобсона которых имеет индекс нильпотентности четыре // Материалы девятой краевой конференции по математике. Барнаул: Изд-во АлтГУ. 2006. -100 стр.

[34] Журавлев Е.В. О классификации конечных локальных колец порядка р6, радикал Джекобсона которых имеет индекс нильпотентности четыре. // Тезисы международной конференции по математике "Мальцевские чтения 2006" [Электронный ресурс]. - Новосибирск. 2006. - Режим доступа: ЬМр://www.math.nsc.ru/cdnference/malmeet/05/Uch.htm.

[35] Журавлев Е.В. Локальные кольца порядкарв с 4-нильпотситным радикалом Джекобсона // Сибирские электронные математические известия [Электронный ресурс]. - 2006. Том 3. - С 15-59 -Режим доступа: http://semr.math.nsc.ru.

[36] Журавлев Е.В. Конечные локальные кольца порядка р6 и характеристики р, радикал Джекобсона которых имеет индекс нильпотентности четыре // Известия Алтайского государственного университета. - 2006. № 1 (49). - С. 17-32.

Подписано в печать 12.04 06. Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Печать офсетная Объем 1 печ. л. Тираж 100 экз. Заказ-ГЗ 6. От печатано в типографии Алтайского государственного университета 656049, Барнаул, ул Димитрова, 66.

¿.006 А

>fCM44

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Журавлев, Евгений Владимирович

Введение

1 Строение конечных локальных колец характеристики р, радикал Дже-кобсона которых имеет индекс нильпотентности четыре

1.1 Предварительные сведения. 1G

1.2 Строение конечных локальных колец характеристики р.

1.3 Теорема о классификации конечных локальных колец характеристики р

2 Классификация конечных локальных колец порядка р6 и характеристики р, радикал Джекобсона которых имеет индекс нильпотентности четыре

2.1 Предварительные замечания.

2.2 Конечные локальные кольца с условием: dimF J{R)/J{R)2 = 3, dimF J{R)2/J{Rf = 1, dimF J{Rf = 1.

2.3 Конечные локальные кольца с условием: dimF J(R)/J(R)2 = 2, dimF J{R)2/J{Rf = 2, dimF J{R)3 = 1.

2.3.1 Основные определения.

2.3.2 Кольца характеристики рф2.

2.3.3 Кольца характеристики р = 2.

2.3.4 Формулировка основного результата.

Введение диссертация по математике, на тему "О классификации конечных локальных колец характеристики ρ, радикал Джекобсона которых имеет индекс нильпотентности четыре"

Rp = {х е R \ рпх = 0 для некоторого п > 1}. Поэтому при классификации конечных колец достаточно рассматривать только кольца порядка рп. За последние десятилетия удалось полностью описать некоторые из таких типов колец. Так, В.Г. Антипкин и В.П. Елизаров полностью описали кольца порядка рп для тг < 3 (см. [1, 2]). В частности, В.П. Елизаров классифицировал все ненильпотентные кольца порядка р4 (см. [2]). При этом число неизоморфных колец, полученных ими, различно для р = 2 и р / 2. В работе [3] В.А. Ратиновым частично описаны кольца порядка р4, при этом различались случаи р = 2, р ф2 \\р = 1 (mod 3), р ф 1 (mod 3). Д. Дерр, Г. Орр, П. Пек в 1994 году впервые указали исчерпывающий список некоммутативных колец порядка р4 (см. [6]). Авторы ограничили себя некоммутативным случаем в связи с тем, что конечное коммутативное кольцо является прямой суммой локальных колец, а конечные локальные кольца порядка р4 были к тому времени наиболее изучены (см. также [27]).

Б. Горбас и Г. Вилльямс в 2000 году в работе "Rings of order р5" (см. [16, 17]) классифицировали с точностью до изоморфизма все конечные кольца порядка р5. Более того, ими были полностью описаны все конечные кольца порядков р, р2, р3 и р4, при этом их результаты совпали с полученными ранее. Метод, использующий теорию полусовершенных колец и теорию графов, позволил им по сути свести проблему к классификации конечных локальных колец, то есть колец с условием R/J(R) = F, где F — поле. Авторы указали также на то, что их метод открывает перспективы для изучения строения колец более высоких порядков. Здесь важно отметить, что согласно их замыслу, необходимо сначала полностью классифицировать все конечные локальные кольца рассматриваемого порядка, а затем уже, рассматривая соответствующие разложения в прямые суммы полусовершенных колец, получить окончательный результат.

Пусть R — локальное кольцо порядка рп, J(R) — радикал Джекобсона кольца R и R/J(R) = GF(pr) = F. Заметим, что J(R) является множеством всех пильно-тентных элементов кольца R или, что равносильно, множеством всех делителей нуля. Рассмотрим последовательность R = J{R)° D J(R) Э J(R)2 Э Если S; =

00 dirrijp то г s; = п и, в частности, г\п. Если п является простым чиi=0 слом, то либо J(R) = 0 и R = </(/2), либо г = 1. Если же, к примеру, п = 6, то возможны также случаи г = 2 и г = 3.

Далее, так как Л является конечным кольцом, то его радикал J(R) нильпотентен. Следовательно, s^ = 0 тогда и только тогда, когда J(R)N — 0, причем Sj = 0 для всех г > N. Если N — наименьшее из всех таких чисел, то есть J(R)N~1 ф 0, то N называется индексом нильпотентности радикала J(R). Так как S; > 1 (0 < г < N — 1), то п > rN. Заметим, что 1-р 6 J(R) (т.к. р = charGF(pT), GF(pr) = R/J(R)), а значит, pN = 0 и характеристика кольца R равна рк для некоторого к < N. Следовательно, п > гк. Случай п = гк был исследован в работах [21, 22, 24]. А именно, с точностью до изоморфизма существует только одно конечное локальное кольцо R порядка ртк и характеристики рк. Это кольцо называется кольцом Галуа GR(prh,pk) и представимо в виде Zpk[x]/(f), где / является многочленом степени г, неразложимым но модулю р. Тривиальные случаи — GR(pn,pn) = Zpn и GR(pn,p) = GF(pn). Кроме того, полностью классифицированы конечные локальные кольца следующих типов (далее s = Sj): i=О

1. \R\ =рп, charR = рк, J{Rf = 0 для любого к (см. [12, 11]);

2. |Я| = pST, charR = р, J{R)s~l ф 0, то есть 1 = sx > s2 > s3 > . > 0 (см. [24]);

3. |Л| = psr, charR = ps1, J(R)s~l ф 0, то есть так называемые (см. [24]) почти кольца Галуа (near Galois rings);

4. |Я| =ps, г = 1, charR = рк, J(7?)s"1 ф 0 для любого к (см. [16, 17]);

5. |Я| = pk+1 = р ■ charR (см. [16, 17]).

Итак, в силу сказанного выше, каждому конечному локальному кольну соответствует некоторая последовательность (к, г, s\, 5г,.). Б. Горбас и Г. Вилльямс [16, 17]) при классификации колец порядка ръ перебрали все возможные комбинации значений (к, г, s\, s2,. ■.) для рассматриваемого числа п. Так, при п = 4 и к = 1 им пришлось последовательно описать кольца следующих типов:

1,1,1,1,1,0,.), (1,1,2,1,0,.), (1,1,3,0,.), (1,2,1,0,.), (1,4,0,.).

Более подробно рассмотрим ситуацию, когда п — G и к = 1. Типы колец, соответствующих этим значениям п и к, приведены в таблице 1.

Таблица 1. к г Sl S2 S3 54 S5

1 1 1 1 1 1 1 1

2 1 1 2 1 1 1 0

3 1 1 2 2 1 0 0

4 1 1 2 1 2 0 0

5 1 1 3 1 1 0 0

6 1 1 2 3 0 0 0

7 1 1 3 2 0 0 0

8 1 1 4 1 0 0 0

9 1 1 5 0 0 0 0

10 1 2 1 1 0 0 0 и 1 2 2 0 0 0 0

12 1 3 1 0 0 0 0

13 1 б 0 0 0 0 0

Кольца типа (1,6,0,0,0,0,0) (строка 13) изоморфны конечному полю GF(p6), а кольца типа (1,1,1,1,1,1,1) (строка 1) изоморфны кольцу R = Zv[X}/(xb) (см. [16]). Типы (1,1,5,0,0,0,0), (1,2,2,0,0,0,0), (1,3,1,0,0,0,0) (строки 9, 11, 12) соответствуют кольцам с J(R)2 = 0 и классифицировании в работах [12, И]. В работе [8] полностью классифицированы кольца типа (1,2,1,1,0,0,0) (строка 10). Кроме того, в пей указано количество нсизоморфиых колец типов (1,1,2,3,0,0,0), (1,1,3,2,0,0,0) (строки б, 7) в случаях |FJ = (GF(p)j < 5. Одним из результатов настоящей работы является полная классификация, с точностью до изоморфизма, колец типов (1,1,2,2,1,0,0), (1,1,2,1,2,0,0), (1,1,3,1,1,0,0).

Кольца типов (1,1,2,1,1,1,0), (1,1,4,1,0,0,0) (строки 2, 8) остаются пока неисследованными. Заметим лишь, что задача классификации колец типа (1,1,4,1,0,0,0) равносильна задаче о нахождении представителей классов эквивалентности, определенной на матрицах А, В € M^{F) но правилу:

А~В&ЗР<= GL(4,F), 3 teF* : A=^t-PT ■ В ■ P.

Аналогичные задачи для матриц А, В G M2(F) и А, В (= M3(F) были решены в работах [5, 13, 18, 19, 28, 29].

В работах [12, 11] Б. Горбас указал конструкцию конечного локального кольца с радикалом Джекобсона индекса нильпотентности 2.

Конструкция А1 ([12]): Кольцо R называется "кольцом с несколькими делителями пуля" ("ring with few zero divisors"), если оно содержит в точности п+1 делитель пуля и |Л| = (п+1)2. Пусть R0 является либо конечным полем, либо кольцом с несколькими делителями пуля, М — единственный максимальный идеал R, V — конечномерное векторное пространство над Rq/M и кр : Rq/M —> End^/Miy) — гомоморфизм колец. На аддитивной группе Ro © V определим умпоо/сепие по правилу г, и) ■ (s, г;) = (rs, (г + M)v + <p(s + М)(и)).

Относительно введенного умпоэ/сепия группа Ro ® V превращается в кольцо. Теорема ([12]): В конечном кольце R с единицей произведение любых двух делителей нуля равно пулю тогда и только тогда, когда R изоморфно одному из колец конструкции А1.

В 1999 году Ч. Чикунджи описал строение колец с условием J(R)3 ~ - 0 (см. [7]). Им были получены следующие результаты.

Конструкция А2 ([7]): Пусть F = GF(pr) — поле Галуа. Для натуральных чисел s, t, Л (I < t < s2, X > 0), пусть U, V, W будут соответственно s, t, Х-мерпые векторные пространства над полем F с базисами {uj}, {vfl}, {wПусть также А\ — (ajj), A<l = (afj),., At = (a\j) — квадратные матрицы порядка s над полем F, удовлетворяющие условиям:

1. (a-j), (afj),., (a\j) — линейно независимы;

2. для као/сдого г £ {l,.,s} существуют числа к € {1,.,£} и j G {l,.,s}, такие, что аф 0 или а^ф 0.

Пусть {<7i,.,<rs}, {rj,.,гд}, {0\,. ,Ot} — мпоэ/сества автоморфизмов поля F (не обязательно различных) с условием: если afj ф 0 для некоторого к £ {1,.,£}, то О к = oiOj.

Рассмотрим прямую сумму R=F@U®V®W и определим па R умноэ/сение по правилу а0, Е^ь • («о, ^a'iUu = о^о, + а*(аоГ'] Ui> + РМУ*] UA»> t* s

Относительно введенной операции аддитивная группа R превращается в ассоциативное кольцо.

Теорема ([7]): Кольцо R конструкции А2 является конечным локальным кольцом характеристики р, радикал До/секобсона которого имеет индекс нильпотентности три. Обратно, каждое такое кольцо изоморфно одному из колец конструкции А.

Ч. Чикунджи в работах [7, 8] были также получены необходимые и достаточные условия существования изоморфизма между двумя кольцами конструкции А2 в случае, когда автоморфизмы {о\,., crs}, {ti, ., тЛ}, . ,0t}, обусловливающие их строение, являются тождественными или, что равносильно, когда F = GF{pT) С Z(R), где Z(R) — центр кольца R.

Теорема ([7, 8]): Пусть R{A\,., At) и R'(А[,., A't) — кольца конструкции А2, центры которых codepoicam максимальные подполя Галуа F. тогда и только тогда, когда существуют В = {Pkp) £ GL(t,F), С £ GL(s,F) и a G Aut(F), такие, что t

Dp = k=1

Эти результаты сыграли важную роль в классификации колец порядка ръ (см. [14, 15]). Заметим, что с увеличением значения п (|Л| = рп) увеличивается и индекс нильпотентности радикала Джекобсона рассматриваемого кольца. Так, для классификации локальных колец порядка рп, п < 5 и характеристики р достаточно перечисленных выше результатов, но для колец R порядка р6 необходимо иметь сведения о строении конечных локальных колец с радикалом Джекобсона индекса нильпотентности четыре (для колец порядка р7 соответственно индекса нильпотентности пять и т.д.).

Методы исследования. В диссертации используются методы теории колец и компьютерной алгебры. В частности автор использовал систему компьютерной математики Matlab 7.0 (см. [30]).

Научная новизна. Все результаты работы являются новыми и состоят в следующем:

Практическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы для дальнейшего развития теории конечных колец, в частности, для классификации конечных колец порядка большего и равного рб.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на заседаниях семинара "Теория колец" кафедры алгебры и теории чисел Алтайского государственного университета, на международных конференциях по алгебре "Мальцевские чтения" (Новосибирск, 2004, 2005), на восьмой краевой конференции по математике

МАК 2005 (Барнаул, 2005), на донятой краевой конференции по математике МАК 200G (Барнаул, 2006).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 работ, четыре из них — тезисы трудов конференций (см. [31] — [36]).

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Журавлев, Евгений Владимирович, Барнаул

1. Антипкин В.Г., Елизаров В.П. Кольца порядка р3 // Сибирский математический журнал. - 1982. № 23(4). - С. 9-18.

2. Елизаров В.П. Нильпотентные конечные кольца // Рукопись деп. в СО АН СССР (редколлегия Сибирского математического журнала) 21.09.85., № 1472-85. 37 с.

3. Ратинов В.А. Полусовершенные кольца со специальными типами присоединенных групп: Дис. . канд. физ.-мат. наук. Москва. 1980. 107 стр.

4. Мальцев Ю.Н. Критические кольца и многообразия ассоциативных колец: Дис. . доктора физ.-мат. наук. Барнаул. 1985. 243 стр.

5. Bremser P.S. Congruence classes of matrices in GL2{Fq) // Discrete Mathematics. -1993. Vol. 118. - P. 243-249.

6. Derr J.B., Orr G.F., Peck P.S. Noncommutative rings of order pA // Journal of Pure and Applied Algebra. 1994. - Vol. 97. - P. 109-116.

7. Chikunji C. J. On a Class of Finite Rings // Communication in Algebra. 1999. - Vol. 27(10). - P. 5049-5081.

8. Chikunji C. J. Enumeration of Finite Rings with Jacobson Radical of Cube Zero Electronic resource] Cornell University Library, 1999 - Mode of access: http://arxiv.org/abs/math.RA/9905030.

9. Chikunji C. J. Using Matlab to solve a classification problem in finite rings Electronic resource] 2nd international conference on the teaching of mathematics, Greece, 2003 -Mode of access: http://www.math.uoc.gr/ ictrn2/Proceedings/pap252.pdf.

10. Chikunji C. J. On a class of rings of order p5 // Math. J. Okayama Univ. 2003. - Vol. 45. - P. 59-71.

11. Corbas B. Rings with few zero divisors // Math. Ann. 1969. - Vol. 181. - P. 1-7.

12. Corbas B. Finite rings in which the product of any two zero divisors is zero // Archiv der Math. -1970. Vol. 21. - P. 466-469.

13. Gorbas В., Williams G.D. Matrix representatives for three-dimensional bilinear forms over finite fields // Discrete Mathematics. 1998. - Vol. 185. - P. 51-61.

14. Corbas В., Williams G.D. Gongruence of two-dimensional subspaces in M2(K) (characteristic ф 2) // Pacific Journal of Mathematics. 1999. - Vol. 188(2). - P. 225-235.

15. Corbas В., Williams G.D. Gongruence of two-dimensional subspaces in M2(K) (characteristic 2) // Pacific Journal of Mathematics. 1999. - Vol. 188(2). - P. 237-249.

16. Corbas В., Williams G.D. Rings of order p5. Part 1. Nonlocal rings // Journal of Algebra. 2000. - Vol. 231 - P. 677-690.

17. Corbas В., Williams G.D. Rings of order p5. Part 2. Local rings // Journal of Algebra. -2000. Vol. 231. - P. 691-704.

18. Gorbas В., Williams G.D. Congruence classes in M$(Fq) (q odd) // Discrete Mathematics. 2000. - Vol. 219. - P. 37-47.

19. Gorbas В., Williams G.D. Congruence classes in Mz(Fq) (q even) // Discrete Mathematics. 2002. - Vol. 257. - P. 15-27.

20. Fine B. Classification of rings of order p2 // Mathematics Macazine. 1993. - Vol. 66(4). - P. 248-252.

21. Janusz G.J. Separable algebras over commutative rings // Trans. Ainer. Math. Soc. -1966. Vol. 122. - P. 461-479.

22. Krull W. Algebraische theorie der ringe II // Math. Ann. 1924. - Vol. 91. - P. 1-46.

23. McDonald B.R. Finite rings with identity. N.Y., 1974. - 430 p.

24. Raghavendran R. Finite associative rings // Compositio Math. 1969. - Vol. 21. -P. 195-229.

25. Wilson R.S. On the structure of finite rings // Compositio Mathematica. 1973.- Vol. 26. - P.79-93.

26. Wilson R.S. On the structure of finite rings 2 // Pacific Journal of Mathematics. 1974.-Vol. 51(1). - P. 317-325.

27. Wilson R.S. Representations of finite rings // Pacific Journal of Mathematics. 1974.-Vol. 53. - P. 643-649.

28. Williams G.D. Congruence of (2 x 2) matrices // Discrete Mathematics. 2000. - Vol. 224. - P. 293-297.

29. Waterhouse W.C. The number of congruence classes in Mn(Fq) If Finite Fields and their Applications. 1995. - Vol. 1. - P. 57-63.

30. Matlab. The language of tecnical computing. Version 7.0.0.19920 (R14) Electronic resource]. Copyright 1984-2004, The MathWorks, Inc. - Mode of access: http://www.rnathworks.com.Работы автора по теме диссертации

31. Журавлев Е.В. Конечные кольца, радикал Джекобсона которых в четвертой степени равен нулю // Материалы восьмой краевой конференции по математике. Барнаул: Изд-во АлтГУ. 2005. 102 с.

32. Журавлев Е.В. О классификации конечных локальных колец порядка р6 // Материалы восьмой краевой конференции по математике. Барнаул: Изд-во АлтГУ.2005. 102 с.

33. Журавлев Е.В. Классификация конечных локальных колец порядка р6 и характеристики р, радикал Джекобсона которых имеет индекс нильпотентности четыре // Материалы девятой краевой конференции по математике. Барнаул: Изд-во АлтГУ.2006. 100 с.

34. Журавлев Е.В. Локальные кольца порядка р6 с 4-нильпотентным радикалом Джекобсона // Сибирские электронные математические известия Электронный ресурс]. 2006. Том 3. - С. 15-59. - Режим доступа: http://semr.math.nsc.ru.

35. Журавлев Е.В. Конечные локальные кольца порядка р° и характеристики р, радикал Джекобсона которых имеет индекс нильпотентности четыре // Известия Алтайского государственного университета. 2006. № 1 (49). - С. 17-32.