Вполне геодезические подмногообразия в плюккеровой модели вещественных грассманианов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

' НИКАНОРОВА Мария Юрьевна

Вполне геодезические подмногообразия в плюккеровой модели вещественных грассманианов

01 01.04 - геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2005

Работа выполнена на кафедре высшс-й геометрии математико-механичеемн о факультета Санкт-Петербургского государственного университета

Научный руководитель доктор физико-математических наук

КОЗЛОВ Сергей Емельянович

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук

ВЕРНЕР Алекс ей Леонидович

кандидат физико-математических наук МНЕВ Николай Еьтг-ньевич

Ведущая организация Ростовский государственной универепкч

Зашита диссертации состоится «1 » укллорл ¿\пуо г в ' "_часов на

тгея ,12.» 01СТ*£рЯ 2005 г в _!£ заседании диссертационного совета Д 212 232.20 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу:_СсМ^-^Я ~ __

Фсьт&.нк-сл- Qj.11 ПО И^ о-^. 4/1_

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им А М Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу Санкт-Петербург Униьерс ихен-кая набережная, д 7 9

Автореферат разослан ¡4 ,, С2005 г

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212 232.20, доктор физико-математических наук, профессор

В М Не

'жинсктш

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Настоящая работа посвящена изучению вещественных граесмановых многообразий что является актуальным направленном во многих областях современной геометрии

Вещественные многообразия Грасемана играют центральную роль в построении теории характеристических классов, а такие иг пользуются во внешней геометрии при построении гауссовых (гфоричоскюфтображений поверхностей в к а чествоаналога сферы для поверхностей с большей чем единица к оразмерностью.

Особый интерес к вполне геодезическим подмногообразиям грассма-нианов Гт'р ,,. образованных о]>иенти!>ованными р-мерными плоскостями п-мерного евктидова пространства К", объясняется тем что все компактные симметрические пространства могут быть вполне геодезически вложены в многообразия <7+п для достаточно больших р и п.

Ряд фундаментальных результатов в области внутренней геометрии грассманнанов содержится в классических работах Лейхтвейса. Вонга и Во*гьфа [12 1, 2,3 С]. В частности в [12] доказана единственность с точностью до множителя 5(9(тг)-инвариантных метрик на многообразиях (кроме (р. а) = (2,4)) В [1 2 3] получены дифференциальные уравнения геодезических в некоторой системе координат и оценки кривизн вещественных, к омплотсных и кватернионных грассмановых многообразий В цикле работ [7. 13] проведено исследование геометрии грассманианов (7+п мета-дом их пякжкерова вложения во внешнюю алгебру Л(М"), точнее, в пространство р-векторов Лр(Кп) Для специального вида поливекторов данного пространства определено их канонпчесюе разложение в сумму простых р-векторов [7] На основании ^того разложения пех троена теория стационарных углов между ориентированными р-плоскостямп в евклидовом пространство К™ и исследованы глобальные свойства внутренней метрики грае с-манианов п. в частности получены явные формулы для гсодези-ческих и кривизн Римана [7] Некоюрые результаты, связанные с внош-

ним строением граесманианоп, могут быть относ-сны к теории к алибровок [15. 10. 9].

Вполне геодезические подмногообразия нулевой кривизны в произвольных грассманианах классифицированы при помощи плнжкеро-ва вложения в [7] Каждое вполне геодезическое подмногообразие нулевой крпвн зны является плоским тором и может быть представлено к ак замыкание полной геодезической многообразия Грассмана

Полная классификация двумерных а такж4 полных и максимальных по включению вполне геодезических подмногообразий граесманнанов ранее была проведена только для грассмановых многообразий [11.4 5] При этом п])именялся метод Картана для исследования однородных снм-метрпчес ких пространств.

Для к аждого к ас-ательного вектора к многообра зию С Лр(Кп) существует специальный ортонормирований базис- простраства К." позволяющий представить вектор X в упомянутом выше к аноничесюм виде Как показано в [13], для вполне геодезических двумерных поверхностей в грагеманианах существует ортонормированная пара касательных к этой поверхности векторов, в к аноничесюм представлении которых определенные части данных базисов совпадают При этом в многообразиях п существует конечное число изометрически попарно несовместимых двумерных полных вполне геодезических подмногообразий

Цель работы.

Целью работы является дальнейшее развитие и применение метода плкжкорова вложения в с- лсдуютцих направлениях

1) Изучение кривизн и множества раздела многомерных комплексных проективных пространств СР*-1 при помощи их вполне геодезического вложения в грасч-манианы бивекторов Описание соответствующих связей между к омнлек-ной структурой на многообразиях СР^1 их внуфенней и внешней геометрией

2) Классификация двумерных вполне геодезических подмногообра зип положительной кривизны в модельном, "наиболее простом" после многообразий С?2"га. граесманиане тривекторов

4 * '•< *

V» - * '

т« ЧД "V!

Методы исследования.

Применяются методы полилинейной алгебры. теории погруженных многообразий и симметрических пространств

Научная новизна работы состоит в следующем

1) В пространстве бивекторов Л'2(К4) построена модель алгебры Ли ортогональной группы 50(4), естественным образом согласованная го спецификой строения данного шестнмерного пространства

2) Получена формула для секционной кривизны в произвольном двумерном направлении многообразия СРк~1 в его плюккеровой модели и даны ее инвариантные геометрические интерпретацшш с использованием с войс тв комплексной структуры на данном многообразии

3) Дока зана унитарная совместимость любых двух касательных к многообразию Срк~1 двумерных площадок с равными секционными кривизнами

4) Доказано что множество раздела для произвольной точки многообразия СРк~г является гранью некоторой калибровки грассманиана

5) Получен конструктивный способ нахождения канонического разложения произвольного касательного вектора к грассманиану ОрП в его плюккеровой модели.

0) Полностью клаенфицированы двумерные вполне геодезические под-многообра шя положительной кривизны грассманова многообразия и порождающие их двумерные касательные направления В отпичие от грас-сманианов получено континуальное число попарно изометрически несовместимых потных вполне геодезических поверхностей

Научная и практическая ценность работы.

Работа носит теоретический характер Результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения геометрии вещественных гриссмановых многообразий и комплекс ных проективных пространств, а также представляет интерес для махематиков, использующих аппарат внешней алгебры В работе существенно расширен класс известных двумерных вполне геодезических подмногообразий 1рассманнанов Данный результат и предложенный подхот к построению канонического разложения касательных к грае-

емановым многообразиям векторов позволяют надеяться получить классификацию двумерных вполне геодезических поверхностей в грасеманианач тривекторов (?з~п

Апробация работы.

Результаты, вошедшие в диссертацию, докладывались на Санкт-Петербургском городском топологичес ком с еминаре им В А Рохлина и на XII международной научной к он<1>еренции с тудентов аспн1)антов и полотых ученых "Ломоносов-2005" Москва 12-15 апреля 2005 г

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в трех печатных работах перечисленных в к онцеавтореферата

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения четырех глав спискг работ автора по теме диссертации и списка лшературы Общий обьем работы — СЗ страницы, библиография включает 38 наименований

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении кратко излагается история вопроса, главные идеи наиболее важные1 работы и достигнутые результаты Дается описание основных результатов диссертации а также кратко изложена етрукхура работы

В первой г лаве вводите я операция умножения Ли "х" в пространстве бивекторов А2(М4). естественным образом < вя занная с его стр\ ктурой Доказывается теорема о совпадении данной операции со скобкой Лтг [•, -]д, индуцированной в пространство Л2(Н4) при помощи каноничесюго нзо-морфи !ма Iр между данным пространством н алгеброй Ли ортогональной группы ЯО(4)

Пространство Аг (К4) раскладывается в сумму Минковского двух своих ортогональных трехмерных подпространств являющихс я собе твенными подпространствами оператора Ходжа *. отвечающими собственным числам ±1 (см. [7]) Соответственно, любой бивектор ш £ А-2 (К4) нредпавпяеня

в виде ( умны

и+ *а;+=а;+, = <си+,и>~ >= 0. (1)

Рассмотрим положительно ориентированный ортоиормированный базис е = (ех, е2, ез, е4) пространства К4. Ощх^делим о])иентирующие базисы-строки /(е) и д(е) пространств Л+ и Л~

/(е) := Л е2 + е3 Л е4,е! Л - е2 Л е4,в1 А е4 + е2 Л е^), д(е) := -^(-в] Л е2 + ез А е4, ех Л е3 + е2 Л е4, ег Л е4 - е2 Л е3).

Построенная ориентация в фехмерных пространствах Л±, не зависящая от выбора положительно ориентщюванного базиса е, дает возможность определить в пространстве Л2 (К4) операцию "векторного умножения".

шхт:=и+хт++ш"хт", ш,тёЛ2 (Е4). (3)

Оботачиы через 71 алгебру Ли трехмерного евклидова пространства относительно операции векторного произведения

Предложение 1 .4 тггбры 7и 71 х И и (А2 (К4), х) (иолюрфиы. Б ъичс-{.тве и юморфтма можно снять некоторую июметрто спкаидовыь веь-торпы.ь пространств Ж3 х К3 и Л2 (М4)

Канонический изометрический изоморфизм между пространством бивекторов Л2(К") и алгеброй Ли А~ (Кга) ортогональной группы ЯО(п) ([7]) индуцирует в пространстве Л2(К,П) следующую структуру алгебры Ли:

[и>1,Ш2]А:=<Р~1[^(Ш1),<р(Ш2)}, ШьШ2еЛ2(Г). (4)

Теорема 2 Дтя тбы> ш, т € Л2 (К4) ацшведъиво равспкгпао

[и), т]А = шх т. (5)

Вторая глава посвящена и зу чению геометрии многообрл зии СРк_1 = Р (К^) с и< полт, ¡ованием их вполне геодезического вложения в грае с мано-вы многообразия

Комплексные i рас с мяновы многообразия CGP (V¿) (< коми леке ной ориентацией) естественным обра ¡ом вкладываются в вещее гвенные гра< < манн-аны Gjp (V»)

Применяя плюккерово вложение многообразия G¿ (V^|fc) во внешнюю алгебру Л (у£к) [7 11]. получаем плюккерову модель комилекного проективного пространства-

Cpk-1 = р с G+2fe = g+ (^fc) с л2 (у*.) (б)

В точке ш = е А ¡е ё СРк~1 рассмслрим произвольное двумерное направление

а = X V У, X, Y е ТшСРк-\ \Х\ = |У| = 1, < X,Y >= 0.

Символ "V''o шячаех онерапию внешнего умножения в алгебре Л {^Гш<СРк~1) Если ¡аданная на евклидовом прос гране тве V2k к омплек-ная структура ,7 ортогональна. то векторы X п У можно подставить в виде [О]-

X —-~(п Ate-i-e Am), Y = ~=(т A te + е Агт), <п,т>= 0, (7)

гдепа]>ы (е.п) и (е,т) чрмптово-ортонормировашгы в V¿

Теорема 3 Пципь ()<и/ ки ртх иапроалсиш а порождено парой мь торов (X,Y). (шеющих paj'WJKcnuc (7¡. Тогда дая счкцаоииои крныииы К{а) ииогообра шя CPk~l t щюмдтеш форцц'т

A» = i + |<rj,ím>2. (8)

Комплексная структура J^ в к нательном пространстве точки ш i Д e¿ грассманиана G¿ ,k индуцирована пово]ютом ы > —ej

Для к асательного вектора X £ T^G^i¿ справедливо равенство (ем

PD-

JUX - A е2 + A2e: A ri'¿) = —Ai«i A «i 4- A2e2 A n2. (9)

Для произвольной двумерной площадки ст С T^,CPk~l через ai и а2 обозначим стационарные углы между (неориентированными) плоскостями а и а — ,]Ш(Т

Теорема 4 Пю<ьоети а и д токипты т р (i¡ = a¿ = а. Ее ни п посметь а натянуто па веьторы X,Y и) форму аы (7). то

cosa = | < n,im > |. (10)

Таким образом, формулу (8) можно перетекать в инвариантном виде1

к° = \ + \cos2¿*- (Ц)

При этом величину 2 — Ка можно рассматривать как "меру неголоморфности" площадки ст.

Для косинуса угла ф между бивекторами о — X\Y \\д = Jua = J^XM JWY получено соотношение cos ф = cos2 а. Отсюда следует, что ф € [0, п/2]. и формула (11) приобретает новую геометрическую интерпретацию:

= ± + 0 (12)

Теорема 5 Пусть в каеатаъны i пространетва.г точеъ шиш многообразия СPk~l = Р (V¿) выбраиы две двумерные п ющадки о и а с Ка = K¡ Тогда < у tuet metjem унитарное нреобра зоаапие А 6 U(n) =U (Ц;)- совме-щающк лпи n'Win,адки т.е

Аш = ш, Аа = ст.

Теорема 6 Множество рсидена Сш многообразия CFfc_1 = Р (V¿) в точке ш = е А ге предетавилю в виде

Сш = |гг А гтг | а € е^, \а\ = l|. (13)

Расс ыотрим какой-нибудь унитарный базис щ,..., rik-i пространства е(С) Сопоставим с чтим базисом калибровку (см [10])

• <р = nj А т\ + ... +П4-1 А гпк-i- (14)

Теорема 7 Миожес meo раздела Сш многообразия CP*-1 = Р (V^) в точ-ьс ш = еЛге сеть грань килиброики ip. опреде<иниоИ равенством (Ц)

В третьей главе дано конструктивное построение канонического ра ¡-ложетшя проп звольного к асательного вектора к грассманиану Gpn в сто птюккеровон модели ( )сновным ре (ультатом являете я георома 9 для кас а-гельных векторов некоторого специальною вида Предложение 10 и теорема 11 решают задачу о построении канонического разложения касательных векторов в общем с пучае

Рассмотрим элемент (и, X) € TGpn к асательного расслоения грассма-нова многообразия Ср<п С Ap(Vn) в его плюккеровой модели

В общем случае для потивектора ш € Ap(Vn) ранговое пространство Vu — это минимальное из подпространств W С V", таких.что и) € AP(W)

[7]

Ортонормированным базисам {e,}f=1 и {щ}9у=1. (q — п—р). прос храиств V, и Vj- сопое тавтяете я ортонормнрованный базис {//у} к ае атетыюгопро-странства TuG^n ( см [7]):

rjtj = е 1 А ... А ег_1 A rij A е1+\ А ... А ер = щ А (o;i_e,). (15)

При этом для к аждогок асательного вектора X € 7^,(7+п существуют ортонормированные базисы {ê,}j, {hj}\ пространств Vu и VJ-. такие, что вектор X имеет каноничеекпйвнд

г

X — Х,пг А (ил_ё,), г < min{p, </}, 0 < Аг < Х3, г < j. (1С) i=i

При чтом возникает вопрос о нахо ждении неюторого специального ортогонального преобразования пространства К,, переводящего о н б в новый базне позволяющий представить вектор X в каноническом

виде (10)

В [7] для любою фиксированного р-мерного подпространства W С V опре 10лсн0 линейное пространство

KAW) = Lin{Ar(W) А ЛДЖХ)} С Ar+s(V).

Пусть и) — единичный р-вектор ориентации nj)oe транства W Toi да существует единс!венный линейный оператезр *ы : Л(У) —► Л(У), удовле-

гворяющий равенствам

*ш{хЛу) = *{]¥)хАу, xeA{W), yeA(WL).

Этот оператор является нзометрией алгебры Л(У) Его сужение на Ar¡s(W) — и ¡«метрический изоморфизм прсхтранств ATtS{W) и AP~r¡s(W) ([7])

Для базисных векторов щ справедливо соотношение *wr/y = ег А п}, позволяющее в дальнейшем заменять векторы r¡tJ их взаимнооднозначными образами ег А п3

С учетом некоторой перенумерации индексов тт исключения нулевых слагаемых вектор X может быть представлен в виде

X = elA(Ai(nt)[=1)+e2A(A2(ni)ll=1)+...+ekA(Ak(nt)l1=1), I < q. (17)

Здесь Aj = (dji,..., a,ji) — строки, образующие некоторую вещественную fc х I матрицу Л. (nt)[=l — столбец векторов При зтом считаем N3 = Aj(nt)ll=1 = Ujirii + aj2n2 H-----h ajim, j = 1,..., к.

Предложение 8 Пцсть (ел)*=1 = В(ёг)^1 (здесь ёг е К,. а В — некоторая к хт матраца! Тогда вектор X (17) имеет вид

X = ёл A Ñi + ё2 Л Ñ2 + ... + ёт A Ñm,

где (А0)Г=1 = ВТА(Пг)[=1 = ВТ(М$=1

Следствие. Пусть в условиях предложения 8 (e,)j = P(e,)j, F— ортогональная мат!>ица, те {ё,}* — о.н.б. Lin{et}j. Тогда

X = éi A Ñi + ё2 A Ñ2 + ... + ёк A Ñk,

ьде (&)* = P(JV,)Í = РА(пг)[

Если для некоторой кхI матрицы А набор векторов = (A,(rct)'=1)j=

орюшнален. то расложение (17j само является каноническим Данное обе тоятелье тво позволяет предположить, что и в случае1 прои ¡вольной матрицы А каноническое ра зложение вектора X тоже будет с одержать fcx = rkA слагаемых.

Рассмотрим случай, келда I = к и квад])атная матрица А невырожден-

на

Теорема 9 Пусть мипте иупый ыt.mop X £'TwGpn преде шатен в виде X ■= еА A + ... + ек А Л*(пг)5\ deM ф 0.

Тогда существует ортогональное преобра ювииис V* пространства V = Linjei,..., ек} переводящее орт опори up о ванны ti бали {е,}* в ортонор-мироваинып балш {ё,}| {(ё,)* = PT{et)\. РТ - матрица преобразования V* в бате с {сг}\! такое что разно ж спае вектора X имеющее вид

X = е, Л ЛГ, + «2 Л Ñ2 + ... ёк A N\k, (JV,)Í = РТА(пг)к1,

явчяется каноническим (in е (TV,, iV,) = 0, i ф j; Art ф 0 Vz Л

При тюм набор ьвадратов колрфициептои = {|-/V,|2}j ьиноии-

чееього p a,¡ w пания веыпора X совпадает с набором собственны! часе) симме три411 кои матрицы АТА

Следствие. D у г новая/ теоремы 9 когнчество с шгаемыс в канона чсском р ajпо псепии вектора X ¡ювно к

Теперь рассмотрим с лучай произвольных размерностей 1,к и произвольной к х I матрицы А, к\ = гкЛ

Предложение J0 Пусть касипн ¡.ьиый всьтор Y 6 TwGpn преде тав wh в виде суммы к иенуаевыг < нагаемыг

X = ei Л A^nrfy +-...+ е* Л Ак(щ)[.

Тогда е ущсствует пестро ж денное преобразование Т> прострете mea V = Liii{e,}j задами мое в бати {et}i некоторой кх к матрицей D ({уг)\ = D{el)\j такое что. с учетом иеъотороП перенумерации индексов.

X = .91 Л Ñx + д2 A Ñ2 + ... + 9k A Ñk,

¿de

Ñkí+i = Ñkx+2 = ... = Ñk = ~$-, (A\,Ñj)=Stj, i,j < h. (18)

(Здес ь a cu íii предюжсиия 8 (ЛГ,){ = {П~1)Т= (П~1)тА(п,)[)

Теорема 11 В yt юьияi пред ю»сепия 10 кочичеппво пенуаевыг с ьагае-иыг канонического р ai поженил вектора X равно рангу матрицы А

В четвертой главе с использованием некоторых результатов из [13, 11, 7] клас < ифицируются двумерные вполне геодезические поверхности положительной криви зны в грае еманиане 6 В пронес с е данного исследования неоднократно возникает вопрос о свойствах канонического представления некоторых касательных к многообразию G¿ü векторов, который реша ется на основании результатов, полученных в третьей главе данной работы

Теорема 12 ([13]) Пе/етьМ — римапово е им метрическое многообщтс. а - дьчмерная п ющадка в ъаеатепьнои прострапетвс ТрМ. {X. Y} — Kcaoii-nu6ijdt> ортоиормаровапиый базис rntoñ пюш,адка. Фа = ехрра По-вергноапъ Ф„ является сто те геодезической тогда и тояььо тогда, ьо-гда сцщетвцет такое А £ R что Lx(Y) — XY. Ly(X) — XX (Здесь Lx ■ ТРМ -+ ТРМ — ишеПиый самоеетря четныl¡ оператор- Z н-» R(Z,X)X где R - преобреиоваппе криваjnu. При том кривизна повершоети Фа равна А )

Теорема 13 Дтя июбой точки и> € Gfb оргпоиорлепрованпая najxi вектора« X,Y 6 T^G^s порождает вполне геоде janee кую в повер.тое ть по юне ame ibiioil кривизны = expua(X,Y) тогда, и только тогда когда е уш,ее meje/nm ортстормпроешипые! боли- {e¡ Л aJ}1 г, j = 1,..., 3 про-е трете mea в ъотором векторы X и Y имеют с ¡гедероащй вид

1. a) Х = е\Ащ\ Y = e,\An2. б) X = е\ А п\, Y = e2Ani.

в обоих е 'И/чаях Фа — refiepa с радиусом К= 1.

2. а) X = ^е1Агц + -^е2Ап2,

У = (Miei + /¿2е2) А Пз + е3 А {ц2Щ - щщ), \/Й + =

Ф„ - проективное пространство ШР2 с кривизной К =

61 X = -j-ei Л ni + ^е2 Л п2. Y = —fyei Ап2 + e2 А щ:

Фа — eefiejia с радиусом в) ^ = Л ru + Л У = Л + Л щ:

г! X = Л т + ^е2 Л п2. Y = ^ А + j.е2 А щ

в е <и/чая.1 в) и г) Фа — eefiepi с радш/сом R = \/ъ

При том п[нры la) 16) ¿6) ,1г) конгрултты tynoone гюдетчесьим сферам ииогообра íum G~2n- описанным в /i-//. (Здесь подразумевается коигру-пипноеть jwuv мпо met те а общем объем поще.и евьпндовом пространстве A{Vn))

Список литературы

[1] Y -С Woiift Differential geometry of Gia.sniann manifolds Pior Nat. A< ad USA 57, No 3 (10G7). pp 589 594

[2] Y С Won» Sattomi! luiratuus of Giasinann manifolds Pioc Nat Acad USA 60, No 1 (1%8). pp 75-79

[3] Y -С Won», Conjugate loa m Guismann manifolds Bull AMS 74. No 2 (1908), pp. 240-245

[1] Вапц-voii Chen and T Nai>ano Totally geodesic submcinyfoltls of symmetric spaces I Duke Math J . 44. No 4. (1977). pp.715-755.

[5| Ванд-ven Chen and T Nagano Totally yeodcsic submanyfolds of syiunutnt spaas II Duke Math J . 45, No 2, (197«), pp.405-125.

[0] Дж Вочьф Про/трат mea постоянной ъривиты Мо<ква, Наука, 1982.

[7] Козлов СЕ Г сочешрия веш,а тслииы) греисмановьи многообразии Чаани I-VI Записки научных семинаров ПОМИ. х.210. 1997, стр 84 129. т 252,1998. отр 78-133

[8] D Hoffman. R OsM-rman The geometi у of the generalised Gauss map Morn Am Math. Soc , 28, No 230(1), 1980. pp 1-105

[9] A H Глушаков. С E Козлов Г eodejtrtee киеиа гранях ъа гибровок второй с темени Зап научных семинаров ПОМИ, 261(1990), стр 55-G5

[10] А Н Глушаков, С Е Козлов Г < ометрия t с/нры ьа шбровпь с пит на два Записки нгучных семинаров ПОМИ. t2G1, 1999. стр. 43-54

r>

[11] А А Борис енко. К) H Николаевский. МиогооСцкмая Граеемана и гршеманов обра', ииогообрашП Успехи ма тема шчес mix наук, 46. No 2(1991) рр 41-81

[12] К Loichtweibs Zur Riemonmchev Geomctuc ni Giassmmmsehcv Aíanniqfaltigf>citen Math. Z 76 No.4 (19(31) pp 334-300

[13] Козлов С E. Cmauuonapnor ть кривит doi/vepnuti еноте геоде.тч*-(Hir подмногообразий ti григ еманиане finer ъпюрон Записки научных семинаров ПОМИ т 28» 2001, сгр 175-185.

[11] Козлов СЕ Изоис щрепсскпя совмести чог ть нсьоторьп напрасп с-VU¡i в римаповыт г им метри чески! vptje транствеи Записки научных семинаров ПОМИ в печати

[15] R Harvey GHLawhon Cahbiated geomctne Ac ta math 1982 v 148, pp 47-157

Список работ автора по теме диссертации

1 Козлов СЕ. Нпканорова М К) Геометрий атгебры Ли артогонель-Hoi'i группы 0>(R4) Записки научных семинаров ПОМИ том 201, 1999, стр 119-124

2 Коток С.Е . Никанорова М.К) Секционные ьривтиы и лпюжсе тво pu.ide i а ъомп гекпюго проективного прем трапе теза es его п иокке poeoti моде in Записки научных семинаров ПОМИ. том 280, 2001 стр 180193.

3 Нпканорова М К) Спеииачьные дси/мерныс наприв иная в ееш/е твен ныг грае с манианаг Сборник тезисов XII Междунарспной научной конференции ступентов аспирантов и мочо цлх ученых "ЛОМОНОСОВ-2005" Москва 12-15 апретя 2005 г том 1 стр 307

?

Подписано в печать 06.09.05. Формат бумаги 60x84 1/16.

Бумага офсетная. Печать_ая. Уел печ л 1,0

Тираж 100 экз. Заказ Отпечатано в отделе оперативной полиграфии НИИХ СПбГУ 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр.26

»

I» 16 3 52

РНБ Русский фонд

2006-4

}

12522

i \

и

t

Введение

1 Представление алгебры Ли ортогональной группы SO (R4) во внешней алгебре А (М4).

2 Некоторые геометрические вопросы модели многомерного комплексного проективного пространства

3 Конструктивное построение канонического разложения касательного вектора к многообразию Грассмана.

4 Классификация двумерных вполне геодезических поверхностей в многообразии

Настоящая работа посвящена изучению геометрии вещественных грас-% смановых многообразий п, образованных ориентированными р-мерными плоскостями n-мерного евклидова пространства Rn. Ряд фундаментальных результатов в области внутренней геометрии грассманианов содержится в классических работах [29, 1, 2, 3, 8]. В частности, доказана единственность с точностью до множителя 5'0(гг)-инвариантных метрик на многообразиях СрП (кроме (р,п,) = (2,4)) [29], получены дифференциальные уравнения геодезических в некоторой специальной системе координат и оценки кривизн вещественных, комплексных и кватернионных грассмановых многообразий [1, 2, 3]. В цикле работ [9, 33, 23, 24, 30, 35, 3G] проведено исследование £ геометрии грассманианов Gpn методом их плюккерова вложении во внешнюю алгебру A(R"), точнее, в пространство р-векторов Ap(R"). Для специального вида поливекторов данного пространства определено их каноническое разложение в сумму простых р-векторов [23]. На основании этого разложения построена теория стационарных углов между ориентированными р-плоскостям и в евклидовом пространстве и исследованы глобальные свойства внутренней метрики грассманианов G+n, в частности, получены явные формулы для геодезических и кривизн Римана [23, 35]. Некоторые результаты, связанные с внешним строением грассманианов, могут быть отнесены к теории калибровок [2G, 22, 13].

Известно, что все полные компактные римановы симметрические пространства могут быть вполне геодезически вложены в многообразия G*n для достаточно больших р и п ([27]). Ранее полная классификация двумерных^ также полных и максимальных по включению вполне геодезических подмногообразий грассманианов была проведена для грассмановых многообразий С2П |27, 4, 5]. При этом применялся стандартный метод Картана для исследования однородных симметрических пространств. Вполне геодезические подмногообразия нулевой кривизны в произвольных грассма-нианах G*n классифицированы при помощи плюккерова вложения в [35]. Каждая вполне геодезическая двумерная поверхность нулевой кривизны является плоским тором и может быть представлена как замыкание полной геодезической многообразия Грассмана.

Целью данной диссертационной работы является дальнейшее развитие и применение метода плюккерова вложения для исследования как самих вещественных грассманианов, так и многомерных комплексных проективных пространств, естественно вкладывающихся в грассманианы бивекторов £+„ [10, 131В первой части работы в процессе изучения необходимого технического аппарата, построена модель алгебры Ли группы 50(4) в пространстве бивекторов А2(М4) (теорема 1.3).

Во второй главе изучаются связи между комплексной структурой многообразий CP*"1 и их римановой геометрией при помощи вполне геодезического вложения данных многообразий в грассманианы G^2k [13]. Для произвольной двумерной площадки сг в касательном пространстве к многообразию СРк~1 получена инвариантная геометрическая интерпретация угла ф £ [0; |] и формуле для стационарной кривизны К„ = \ + |cosф (формула 2.10), а также доказана унитарная совместимость любых двух площадок а и а с равными секционными кривизнами Ка — К„ (теорема 2.3). Кроме того, получен результат, относящийся к внешней геометрии плкжкерова вложения. Доказано, что множество раздела для произвольной точки многообразия СPk~l является гранью некоторой калибровки грас-сманиана G^k (теорема 2.5).

В третьей и четвертой главах исследуется вопрос о применении метода плкжкерова вложения для дальнейшей классификации двумерных вполне геодезических подмногообразий в грассманианах. Для каждого касательного к многообразию G*n £ Ap(Rn) вектора X существует специальный орто-нормированный базис пространства Rn, позволяющий представить вектор X в упомянутом выше каноническом (наиболее простом) виде. Для вполне геодезических двумерных поверхностей в грассманианах G^n ([33]) в каждой точке существует ортонормированная пара касательных к этой поверхности векторов, в канонических представлениях которых определенные части данных базисов совпадают. Но, как показано в настоящей диссертации (теорема 4.4), уже в наиболее простом случае после G^n, то есть в случае (7зб, это не так. Для преодоления данного препятствия был предложен новый подход (см. главу 3, теоремы 3.3 и 3.5) к построению канонического разложения касательного к грассманову многообразию G*n вектора, что дало возможность решить задачу для модельного случая G^g. Набор двумерных вполне геодезических подмногообразий положительной кривизны в данном грассмапиане исчерпывается сферами радиусов R = 1, \/5 и проективными пространствами RР2 с кривизной К = | (теорема 4.4) (в метрике, индуцированной на многообразиях Gpn плюккеровым вложением, секционные кривизны меняются в пределах 0 < К < 2). Заметим, что в отличие от грассманианов возникает континуальное семейство попарно изометрически не совместимых вполне геодезических поверхностей. В грассманианах Gjп таких типов конечное число.

Предложенный подход и полученные результаты позволяют надеяться получить классификацию в грассманианах тривекторов

1. Acad. USA 57, No. 3 (19G7), pp. 589-594.\2\ Y.-C.Wong. Sectional curvatures of Grasmann manifolds. Proc. Nat..

2. Части 1,11. Записки паучиЕ>1х семинаров ПОМИ, T.24G, 1997, стр. 84107. |1{)| В.А.Рохлин, Д.Б. Фукс. Начальный курс топологии. Геометрические главы. М., Наука, 1977. 1С

3. XI>KXJ-MK)JIJI(4) Д . Расслоенные пространства. Пер. с англ., М., 1970.

4. А.11.К()ст|)икип, К).И.Мании. Линейная алгебра и геометрия. Изд.-во1. МГУ, 1980.

5. А.Н.Глу1иак()и, Е.Козлов. Геодезические на гранях калибровок второй степени. Зап. иаучт>1х семинаров ПОМИ, 261(1999), стр. 55-65.

6. S.Boclinor Curvature in Hermitian metric. Bull. Am. Math. Soc,52(1947), pp. 179 195.

7. Козлов C.E. Сгпацио71ариые значения секционной кривизны в грассмаиианах бивешпоров. Записки научных семинаров ПОМИ, т.261, 1999, стр. 102 118.

8. Г.Ф(у1,(»рер. Геомс7прическая теория меры. М., Наука, 1987.

9. М.Кобаяси, К.Номидзу. Основы диф(ререт1,иальной геометрии. Том 2.1. М., Наука, 1981.

10. D.Hoffman, R.Osserman. The geometry of the generalised Gauss map.

11. Mem. Am. Math. Soc, 28, No. 23G(1), 1980, pp. 1-105.

12. S.S.Chern. Minimal surfaces in a Euclidean space of N dimensions. Diff.

13. Comb. Topology, Morse Jubilee Volume. Princeton, 19C5, pp. 187-198.

14. Часть III. Записки научных семинаров ПОМП, т.246, 1997, стр. 108129. |24| Козлов С Е . Геометрия вегцествеиых грассмаповых многообразий.

15. Часть VI. Записки научных семинаров ПОМИ, т.252, 1998, стр. 121133.

16. Mannigfaltigkeiten. Math. Z. 76, No.4 (1961), pp.334-366.|3()| СЕ.К();ыов. Ортогонально инвариантные римановы метрики на вет,сственных грассмаповых многообразиях. Мат.физ. Анализ. Геометрия. 4, N1-2(1997).

17. Мат.фи:?. Ан^шиз. Геометрия. 4, N 2(1997), стр. 309 333.|35| Козлов С Е . Геометрия вещсственых грассмановых многообразий.

18. Часть V. Записки научных семинаров ПОМИ, т.252, 1998, стр. 104120. |ЗС. Козлов С Е . Геометрия вегцесгпвеных грассмановых многообразий.

19. Часть IV. Записки научных семинаров ПОМИ, т.252, 1998, стр. 78103. |37| Козлов С Е . Изометрическая совместимость некоторых направлений в римановых симметрических пространствах. Записки научных семинаров ПОМИ, в печати.