Связности в расслоениях, ассоциированных с многообразием Грассмана и пространством центрированных плоскостей

Белова, Ольга Олеговна

Связности в расслоениях, ассоциированных с многообразием Грассмана и пространством центрированных плоскостей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Белова, Ольга Олеговна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Калининград МЕСТО ЗАЩИТЫ

2004 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Связности в расслоениях, ассоциированных с многообразием Грассмана и пространством центрированных плоскостей»

Автореферат диссертации на тему "Связности в расслоениях, ассоциированных с многообразием Грассмана и пространством центрированных плоскостей"

На правахрукописи

БЕЛОВА ОЛЬГА ОЛЕГОВНА

СВЯЗНОСТИ В РАССЛОЕНИЯХ, АССОЦИИРОВАННЫХ С МНОГООБРАЗИЕМ ГРАССМАНА И ПРОСТРАНСТВОМ ЦЕНТРИРОВАННЫХ ПЛОСКОСТЕЙ

01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 2004

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры и геометрии математического факультета Калининградского государственного университета

Научный руководитель — кандидат физико-математических наук, доцент

Шевченко Юрий Иванович.

Официальные оппоненты—доктор физико-математических наук,

профессор Евтушик Леонид Евгеньевич; кандидат физико-математических наук, доцент Банару Михаил Борисович.

Ведущая организация — Владимирский государственный

педагогический университет.

Защита состоится "-^У" г. в ¡^час.^^мин. на заседании

диссертационного совета К 212.154.03 при Московском педагогическом государственном университете по адресу: 107140, Москва, Краснопрудная ул., д. 14, ауд. математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского педагогического государственного университета по адресу: 119992, Москва, ул. Малая Пироговская, д. 1.

Автореферат разослан ' V О 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

КАРАСЕВ Г.А

Предметом исследования настоящей работы являются связности в расслоениях, ассоциированных с многообразием Грассмана и пространством центрированных плоскостей.

В диссертации разработаны основы нового метода исследования многообразий Грассмана и его обобщений — теория индуцированных связностей пространств плоскостей и центрированных плоскостей в проективном пространстве. Многообразия плоскостей уже изучались в этом направлении. Для семейств плоскостей успешно применялся метод ассоциированных главных расслоений. В настоящей работе завершается создание аналогичного метода для пространств плоскостей и пространств центрированных плоскостей. В этом направлении имеется лишь результат Нордена о нормализации проективного пространства, которое является многообразием Грассмана 0-мерных плоскостей. Хотя обширная теория оснащенных грассмановых подмногообразий была развита школой прибалтийских геометров, в основном, работами Ю.Г. Лумисте, В.И. Близникаса, И.В. Близ-никене, К. И. Гринцевичюса и др., здесь получены принципиально новые результаты, а подходы к исследованиям отличаются от ранее применяемых.

Актуальность темы обусловлена тем, что в настоящее время активно изучаются связности, индуцированные на многообразиях, исследуются их применение в теории дифференциальных уравнений.

Основной идеей теории расслоенных пространств в ее дифференциально-геометрическом аспекте является идея связности. Развитие теории связностей началось в 1917 году с работы Т. Леви-Чивита о параллельном перенесении векторов в римановой геометрии. Большой вклад в теорию связностей внесли Г. Вейль, Э. Картан, Ц.Аь Схоутен,',В.ВгВагнер, А.П.

Норден, П.К. Рашевский, Г.Ф. Лаптев. К концу 30-х годов XX века в математике сформировалось понятие дифференцируемого многообразия, а в первые годы после войны — понятие расслоенного пространства. Все это позволило строить теорию связностей на более общей основе. Первыми в этом направлении были работы Ш. Эресмана и А. Картана, опубликованные в 1950 году. В связи с исследованием связностей расслоенных многообразий теория геометрических объектов продолжала интенсивно развиваться, обогащаясь новыми фактами, включая в свою сферу новые области, смыкаясь со многими традиционными направлениями. Благодаря работам Ю.Г Лумисте, Н.М. Остиану, А.К. Рыбникова, А.В. Чакмазяна, Л.Е. Евтушика и др. теория связностей представляет собой обширную область исследования расслоенных пространств и занимает существенное место в дифференциальной геометрии.

Задачи, возникающие при изучении оснащенных многообразий, в зависимости от типа оснащения, характера объемлющего пространства и исходного погруженного многообразия, оказываются весьма разнообразными, что, по-видимому, делает проблему построения • дифференциальной геометрии оснащенных многообразий неисчерпаемой.

Достаточно глубоко разработана линейчатая геометрия в трехмерном пространстве. Имеется много работ по теории семейств и пар семейств плоскостей в многомерных пространствах и, особенно, по теории линейчатых многообразий в 4-х и 5-ти мерных пространствах.

Геометрия распределения т-мерных плоскостей в п-мерном пространстве проективной связности с кривизной и кручением развита в работе Г.Ф. Лаптева и Н.М. Остиану. В.И. Близникас рассматривал распределение (п-1)-мерных плоскостей в п-мерном римановом пространстве. Ю.И. Шинкунас рассмотрел некоторые вопросы геометрии распределения т-мерных плоскостей в п-мерном римановом пространстве.

В случае многообразия Грассмана некоторые главные расслоения рассматривались И.В. Близникене.

Э.Г. Нейфельд задавал аффинные связности в нормализованном пространстве m-плоскостей.

В многомерном проективном пространстве Ю.И. Шевченко рассмотрел многообразия плоскостей и центрированных плоскостей. Доказал, что оснащение Бортолотти и аналог сильной нормализации Нордена позволяют задать связности в соответствующих ассоциированных расслоениях.

Результаты, полученные в данной работе отличаются от рассмотренных ранее. Они дают полное исследование индуцированных связностей в расслоениях пространств плоскостей и центрированных плоскостей.

Целью работы является исследование индуцированных связностей пространств плоскостей и центрированных плоскостей в проективном пространстве при помощи метода Картана-Лаптева. Данное исследование включает в себя:

1) построение индуцированных фундаментально-групповых связно-стей трех типов в главных расслоениях, ассоциированных с многообразием Грассмана и пространством центрированных плоскостей;

2) нахождение условий совпадения компонент объектов связностей различных типов;

3) нахождение формул, связывающих компоненты объектов связно-стей трех типов;

4) выяснение геометрической характеристики индуцированных связ-ностей и их подсвязностей при помощи центральных проектирований и параллельных перенесений;

5) построение геометрических связностей в пространстве центрированных плоскостей, представленном как два однородных расслоения.

Методика исследования основана на методе продолжений и охватов Г. Ф. Лаптева и применении разработанного им способа задания связности в главном расслоении.

Научная новизна полученных результатов. Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

при дифференциально-геометрических исследованиях многообразия Грассмана в проективном пространстве обычно использовались деривационные формулы подвижного репера, содержащие формы, удовлетворяющие структурным уравнениям линейной группы и условиям (экви) проективности. В данной работе применен неклассический аналитический аппарат, который обладает преимуществом при выделении подгрупп и факторгрупп проективной группы.

Теоретическая и практическая-значимость. Работа имеет теоретическое значение. Полученные в ней результаты могут быть использованы при теоретическом изучении индуцированных связностей, ассоциированных с пространствами других линейных фигур в проективном пространстве. Выполненная работа может использоваться в научных исследованиях и при чтении спецкурсов по дифференциальной геометрии, написании курсовых, дипломных и диссертационных работ в Калининградском государственном университете.

Апробация. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах по современным проблемам геометрии: математический семинар Калининградского государственного университета (1999-2003); международная молодежная научная школа-конференция "Лобачевские чтения" (Казань, 2001, 2002, 2003); международный математический семинар: к 140-летию со дня рож-

дения Давида Гильберта из Кенигсберга и 25-летию математического факультета (Калининград, 2002); международная конференция. "Новая геометрия природы" (Казань, 2003).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 13 печатных работ, в том числе, 10 статей и тезисы 3-х докладов, сделанных на конференциях.

Вклад автора в разработку проблем. Диссертация является самостоятельным исследованием автора. Все опубликованные работы выполнены без соавторов.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения (исторический обзор, общая характеристика работы, цель, новизна и область применения результатов), трех глав и списка использованной литературы, включающего 62 наименования. Объем работы составляет 105 страниц.

II. Краткое содержание диссертации

Во введении даны исторический обзор и характеристика работы.

В главе 1 в проективном пространстве Р„ размерности п изучается многообразие Грассмана У=Ог(ш,п) т-мерных плоскостей . Осуществляется специализация подвижного репера и строится главное расслоение О(У), типовым слоем которого является подгруппа стационарности плоскости Ьт, а базой — многообразие Грассмана У. Пространством расслоения О(У) является проективная группа ОР(п), а проекция я: ОР(п) -> V относит произвольному элементу группы.ОР(п) ту плоскость многообразия У, которая инвариантна под действием этого элемента. Способом

Г.Ф. Лаптева задается фундаментально-групповая связность Г в главном расслоении; С помощью теоремы Картана-Лаптева находятся дифференциальные уравнения компонент объекта, задающего групповую связность в ассоциированном расслоении G(V). Производится оснащение Бортолотти многообразия Грассмана, которое состоит в присоединении к каждой плоскости Z„ (п-га-1)-плоскости Р„.т.1г не имеющей общих точек с плоскостью Lm . Находятся дифференциальные уравнения квазитензора, задающего оснащающую плоскость.

Доказано, что оснащение Бортолотти, задаваемое полем квазитензора Л = {Л°,Яа) на многообразии V, индуцирует связность (1-го типа).

01 0„ 0oi 0 0„ 0„ 0„j 0„ 0ао 01„ 01^ Ol 01„

г = {£«>г<. ^te.r.a.^.r^.r^.n^.i^.G,,,} в расслоении G(V).

Формы групповой связности вносятся в дифференциальные уравнения оснащающего квазитензора. Это дает возможность получить ковари-антный дифференциал и ковариантные производные оснащающего квазитензора относительно групповой связности.

Показано, что ковариантные производные оснащающего квазитензора А в групповой связности Г образуют тензор.

С помощью ковариантных производных удается охватить компоненты объекта групповой связности компонентами оснащающего квазитензора вторым способом, т.е.

оснащение Бортолотти многообразия Грассмана V индуцирует пучок связностей 2-го типа в ассоциированномрасслоении G(V), из которого выделяется единственная связность 2-го типа

02 0 „ 0о4 0 0 а 0, 0^ 0„ О ы 02в 02^ 02 02„

Еще один охват получается с учетом пфаффовых производных компонент оснащающего квазитензора и доказывается, что

оснащение Бортолотти индуцирует связность 3-го типа

03 0 „ 0 иД 0 О, О а 0 дД 0„ 0 дд ОЗд 03^ 03 03 в

Связности всех трех типов совпадают тогда и только тогда, когда выполнены условия:

Все построенные охваты связаны между собой,так как

связность 1-го типа является средней по отношению к связностям

01 1 02 03

2-го и 3-го типов, т.е. Г=—(Г+Г).

Совпадение групповых связностей трех типов эквивалентно неподвижности оснащающей плоскостиБортолоттиР^^.

Геометрическая интерпретация полученных связностей дается при помощи центральных проектирований:

простейший подобъект Г, характеризуется

центральным проектированием плоскости Ьт+с0.м, смежной с образующей плоскостью Ья, на исходную плоскость, из центра — плоскости Бор-толотти Р„.„_.,

Рассмотрен объект Г, (объект псевдосвязности), который дополняет

простейший подобъект Г, до простого подобъекта

Г2 = и не является геометрическим объектом.

Объект псевдосвязности Г5={Л^,,ГД.} характеризуется центральным проектированием плоскости Р,,,^1 + ^Р„.„.|, смежной с оснащающей плоскостью , на исходную плоскость, из центра — образующей плоскости Ья

Простой подобъект Г^^.Г,} характеризуется парой этих отображений.

Выделяется пучок связностей 1-го типа.

Оснащение Бортолотти многообразия Грассмана V индуцирует пучок групповых связностей 1-го типа врасслоении G(V).

Параллельное перенесение вектора удобно описывать с помощью его ковариантного дифференциала. Аналитически параллельное перенесение вдоль линии определяется путем обращения в нуль ковариантного дифференциала. Для многообразия Грассмана параллельные перенесения оснащающей плоскости вырождены:.

1. При обращении в нуль ковариантных производных оснащающего квазитензора специальных смещений оснащающей плоскости Бортолотти Р^щ.1, вообще говоря, не выделяется. Иначе говоря, параллельное перенесение плоскости .Р„_„_, в произвольной связности Г является свободно вырожденным.

2. В групповой связности 1-го типа параллельное перенесение оснащающей плоскости будет связанно вырожденным, т.е. плоскость Бортолотти неподвижна при параллельном перенесении в этой связности.

3. В групповой связности 2-го и 3-го типов параллельное перенесение оснащающей плоскости -Р,,.,,., будет свободно вырожденным.

В § 12 построен тензор подвижности параллелизма 1, компоненты которого служат коэффициентами при базисных формах в выражении дифференциалов базисных точек оснащающей плоскости при введении в них ковариантных дифференциалов, и обращение которого в нуль характеризует связанно вырожденные параллельные перенесения оснащающей плоскости.

Тензор ст, при обращении которого в нуль связности совпадают, будем называть тензором деформации. Найдены деформации связности одного типа по отношению к связности другого типа.

Введенный тензор подвижности параллелизма в связности 1-го типа обращается в нуль; в связности 2-го типа совпадает с тензором деформации; а в связности 3-го типа противоположен тензору деформации.

В конце главы 1 рассмотрено многообразие Грассмана точек вг(0,п). Все полученные результаты для многообразия Грассмана, т.е. для общего • случая, подтвердились и для этого частного случая, который рассматривал Норден.

Глава 2 посвящена исследованиям в проективном пространстве Рщ пространства П центрированных плоскостей £щ (плоскостей размерности т с фиксированным центром). При дифференциально-геометрических исследованиях используются деривационные формулы подвижного репера и структурные уравнения проективной группы, действующей в проективном пространстве. Специализация подвижного репера для данного пространства центрированных плоскостей приводит к построению главного расслоения в(П), типовым слоем которого является подгруппа стационарности в центрированной плоскости £т, а базой — пространство П. Пространством расслоения в(П) является проективная группа вР(п), а проекция л: СР(п)-»П относит произвольному элементу группы вР(п) ту плоскость £я пространства П, которая инвариантна под действием этого элемента. В данном расслоении задана фундаментально-групповая связность. Осуществлено сильное аффинное оснащение Ю. Г. Лумисте (аналог сильной нормализации Нордена) пространства центрированных плоскостей полями аналогов плоскости Картана и нормали 2-го рода: (п-т-1)-плоскости, не имеющей общих точек с центрированной плоскостью, и (т-1)-плоскости,

принадлежащей центрированной плоскости и не проходящей через ее центр. Доказано, что

оснащение пространства П центрированных плоскостей Ся полями плоскостей Р,.,,^ и Р„_, позволяет задать связность (1-го типа) в ассо-циированномрасслоении с объектом

Оказывается, лишь часть ковариантных производных оснащающего квазитензора пространства центрированных плоскостей образует тензор:

совокупность ковариантных производных

компонент максимального подквазитензора А1)={Л°,Л11} образует тензор, содержащий 4 простейшихподтензора {^Л'МУ^А^Д^Л'МУД,} и 2 простых подтензо-

ра ВД.УХ^Л'Ь {УЛ. КК^ьЮ-

При помощи этих ковариантных производных найден второй охват: аналог сильной нормализации Нордена пространства П центрированных плоскостей индуцирует пучок подсвязностей (2-го типа) в максимальном подрасслоении, из которого выделяется максимальная подсвяз-

ность 2-готипа {Х^, Г^.Г,,,, П^,

Аналог сильной нормализации Нордена пространства П индуцирует связность 2-го типа

02 °оЬ "а °о<1 02 02 Ю» М« 02Л 02^ 02 02 02„

Г-{¿4а' ^Ьс^т'^^'^Аа'^Аг' ^¡ф'^аЬ' ^^ > Га0, П^ } •

Третий охват построен при помощи пфаффовых производных оснащающего квазитензора:

аналог сильной нормализации Нордена индуцирует связность 3-го

Связь построенных охватов для пространства центрированных плоскостей немного отличается от их зависимости для многообразия Грассма-на.

Связности 1-го, 2-го и 3-го типов совпадают тогда и только тогда,

когда выполняются условия:

- Лл= ЛА' =^'ь ~ >• = ^Ма' Лм = Ла-

Связности 1-го, 2-го и 3-го типов находятся в зависимости: 02 01 01 0}

Г = Г+Г,-Г/, гдеРозначает транспозицию индексов.

Как и в главе 1 дана характеристика подобъектов объектов связно-стей при помощи центральных проектирований:

1. Простой подобъект Г, объектов связности Г, Г и Г характеризуется центральным проектированием плоскости Рт_1+<#'„_!, смежной с плоскостью РтА, на исходную плоскостьР^, из центра — плоскости

о 0а 0„ О „О 01 02

2. Простой подобъект объектов связности и

характеризуется центральным проектированием плоскости ■Р.-»-^«^,-,,-]. смежной с оснащающей плоскостью Р^,,^, на исходную плоскость ./^„.р из центра — образующей плоскости £я

Отметим невырожденные параллельные перенесения в пространстве П центрированных плоскостей:

1. Аналог нормали 2—города Р^ переносится параллельно в связности 1-го типа тогда и только тогда, когда он смещается в гиперплоскости Р^^Р^ЪР,.^.

2. Плоскость переносится параллельно в связности, определяемой подобъектом ^^{Ь'^Ь'^Т^Ь'^.Т™, Г^,!^,!^} объекта

связности Г, тогда и только тогда, когда она смещается в плоскости

3. Плоскость переносится параллельно в линейной комбинации связности 1-го типа тогда и только тогда, когда она смещается в гиперплоскости РЛ_Х.

По аналогии с главой 1 введен тензор подвижности параллелизма ! и тензор деформации Ъ. Связаны все эти объекты следующим образом:

компоненты тензора подвижности параллелизма ! в связности 1-го типа обращаются в нуль (/=0); в связности 2-го типа совпадают с соответствующими компонентами подтензора ст тензора деформации 2, либо равны нулю, когда таких компонент не существует; а в связности 3-го типа противоположны соответствующим компонентам простейших подтензоров тензора деформации , либо компонентам объекта с переставленными индексами (объект является комбинацией тензора деформации и оснащающего квазитензора ).

В главе 3 пространство П центрированных плоскостей £я рассмотрено в виде двух однородных расслоений:

1) Б^), базой которого служит область пространства Рщ, а типовым слоем — связка S плоскостей ;

2) T(V), базой которого является многообразие Грассмана V плоскостей 1т, а типовым слоем — совокупность Т центрированных плоскостей Ия , принадлежащих одной нецентрированной плоскости £„

В каждом расслоении задана дифференциально-геометрическая связность по В. И. Близникасу. Доказаны теоремы:

Аналог нормализации 2-го рода пространства П центрированных плоскостей, рассматриваемого как однородное расслоение 5(Р„), индуцирует геометрическую связность Gв этом расслоении.

Оснащающая плоскость Р^ остается на месте при обращении в нуль компонент подтензора

г<ю=Д>и форм геометрической связности G вдоль любого одномерного семейства плоскостей

Оснащающая гиперплоскость остается на месте при обращении в нуль тензора и форм геометрической связности G вдоль любого одномерного семейства плоскостей £т.

Найдены выражения компонент объекта кривизны К в геометрической связности:

в геометрической связности кривизна Лд выражается черезкомпо-ненты простого подтензора

Аналог нормализации 1-го рода пространства центрированных плоскостей, представленного как однородное расслоение Т(У), индуцирует геометрическую связность ¥.

Оснащающая плоскость не смещается при обращении в нуль форм геометрической связности ¥ и тензора тг (т+

вдоль произвольного одномерного семейства плоскостей£я. Найдены выражения компонент объекта кривизны геометрической связности Б, доказано

компоненты объекта кривизны ^ индуцированной геометрической связности ¥ выражаются через компоненты тензора г2.

III: Основные результаты диссертации, выносимые на защиту

1) Построены три типа охватов объектов индуцированных связно-стей, обобщающих центропроективную и проективную связности.

2) Найдены связи между построенными объектами связностей трех типов.

3) Геометрически интерпретированы все индуцированные связности при помощи центральных проектирований и параллельных перенесений плоскостей.

4) Пространство центрированных плоскостей представлено в виде двух однородных расслоений, в которых индуцированы геометрические связности.

IV. Работы автора, опубликованные по теме диссертации

[1] Белова О. О. Связность в расслоении, ассоциированном с многообразием Грассмана // Диф. геом. многообр. фигур. — Калининград. — 2000. — Вып. 31. — С. 8-11. [0,25 печ. л.].

[2] Белова О. О. Объект кривизны связности в расслоении, ассоциированном с многообразием Грассмана // Проблемы мат. и физ. наук. — Калининград. — 2000. — С. 19-22. [0,25 печ. л.].

[3] Белова О. О. Ковариантный дифференциал оснащающего квазитензора на грассмановом многообразии // Диф. геом. многообр. фигур. — Калининград. — 2001. — Вып. 32. — С. 13-17. [0,3 печ. л.].

[4] Белова О. О. Связности трех типов в расслоении, ассоциированном с многообразием Грассмана // Проблемы мат. и физ. наук. — Калининград. — 2001. — С. 3-5. [0,2 печ. л.].

[5] Белова О. О. Связности трех типов в расслоении над пространством центрированных плоскостей // Тр. мат. центра им. Н. И. Лобачевского. — Казань. — 2001. — Т. 12. — С. 23-24. [0,1 печ. л.].

[6] Белова О. О. Интерпретация связности 1-го типа.в расслоении над грассмановым многообразием // Диф. геом. многообр. фигур. — Калининград. — 2002. — Вып. 33. — С. 14-17. [0,25 печ. л.].

[7] Белова О. О. Геометрическая интерпретация связности в расслоении над пространством центрированных плоскостей // Проблемы мат. и физ. наук. — Калининград. — 2002. — С. 27-28. [0,1 печ. л.].

[8] Belova О. О. The geometric connections in the space of center plans // Докл. межд. мат. семин.: к 140-летию со дня рождения Давида Гильберта из Кенигсберга и 25-летию математического факультета. — Калининград. — 2002. — С. 100-105. [0,37 печ. л.].

[9] Белова О. О. Связности в главном расслоении над областью проективного пространства // Тр. мат. центра им. Н. И. Лобачевского. — Казань. — 2002. —Т. 18. —С. 9-10. [0,1 печ. л.].

[10] Belova О. О. Bunch of connections of the 1-st type, indused by analog of Norden's normalization of centred planes space // New Geometry of Nature. — Kazan. — 2003. — Vol. 1. — P. 51-54. [0,25 печ. л.].

[11] Белова О. О. Связности трех типов в главном расслоении над областью проективного пространства // Диф. геом. многообр. фигур. — Калининград. — 2003. — Вып. 34. — С. 21-26. [0,4 печ. л.].

[12] Белова О. О. Геометрические связности в пространстве центрированных плоскостей // Тр. мат. центра им. Н. И. Лобачевского. — Казань. — 2003. — Т. 21. — С. 81. [0,06 печ. л.].

[13] Белова О. О. Параллельные перенесения в связности 1-го типа пространства центрированных плоскостей // Межд. конф. по геом. и анализу. — Пенза. — 2003. — С. 3-5. [0,2 печ. л.].

Подп. к печ. 02.06.2004 Объем 1.0 п л Заказ № 204 ТИР. 100 Типография МПГУ

i« 168 35

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Белова, Ольга Олеговна

Введение.

Исторический обзор.

Описание работы.

Цель работы.

Научная новизна.

Применение результатов.

Глава 1. Связность в расслоении, ассоциированном с многообразием

Грассмана.

§ 1. Многообразие Грассмана в проективном пространстве.

§ 2. Главное расслоение, ассоциированное с многообразием

Грассмана.

§ 3. Фундаментально-групповая связность в ассоциированном расслоении.

§ 4. Объект кривизны.

§ 5. Оснащение Бортолотти, связность первого типа.

§ 6. Ковариантный дифференциал оснащающего квазитензора

Бортолотти.

§ 7. Связность второго типа в расслоении, ассоциированном с многообразием Грассмана.

§ 8. Связность третьего типа в расслоении над многообразием

Грассмана.

§ 9. Условия совпадения и связь объектов групповых связностей трех типов.

§ 10. Геометрическая характеристика индуцированных связностей с помощью отображений.

§11. Пучок связностей 1-го типа.

§ 12. Вырожденные параллельные перенесения в индуцированных связностях многообразия Грассмана.

§ 13. Связность над областью проективного пространства.

Глава 2. Связность в расслоении, ассоциированном с пространством центрированных плоскостей.

§ 1. Пространство центрированных плоскостей в проективном пространстве.

§ 2. Главное расслоение, ассоциированное с пространством центрированных плоскостей.

§ 3. Фундаментально-групповая связность.

§4. Объект кривизны.

§ 5. Аналог сильной нормализации Нордена, связность первого типа.

§ 6. Ковариантный дифференциал и ковариантные производные оснащающего квазитензора.

§ 7. Связность второго типа в расслоении над пространством центрированных плоскостей.

§ 8. Связность третьего типа в расслоении над пространством центрированных плоскостей.

§ 9. Условия совпадения и связь объектов групповых связностей трех типов.

§ 10. Тензор неабсолютных перенесений.

§11. Геометрическая характеристика индуцированных связностей с помощью отображений.

§ 12. Параллельные перенесения в связности 1-го типа.

§ 13. Пучок связностей 1-го типа, индуцированный аналогом нормализации Нордена пространства центрированных плоскостей. я

§ 14. Вырожденные параллельные перенесения в индуцированных связностях пространства центрированных плоскостей.

Глава 3. Геометрические связности в пространстве центрированных плоскостей.

§ 1. Геометрическая связность в расслоении S(P„).

§ 2. Геометрическая связность в расслоении T(V).

Введение диссертация по математике, на тему "Связности в расслоениях, ассоциированных с многообразием Грассмана и пространством центрированных плоскостей"

Основной идеей теории расслоенных пространств в ее дифференциально-геометрическом аспекте является идея связности. Теории связностей имеет уже давнюю историю [60]. Этой теории положила начало в 1917 году работа Т. Леви-Чивита о параллельном перенесении вектора в римано-вом пространстве. Эта идея немедленно нашла важные приложения в общей теории относительности и была обобщена в разных направлениях. В 1918 году Г. Вейль для построения единой теории поля ввел понятие пространства аффинной связности [31].

Новый этап в развитии теории связностей открывается работами Э. Картана в 20-х годах. Э. Картан заменяет касательные векторные пространства аффинными, проективными или конформными пространствами. В 1924 году он применил понятие связности к геометрии подмногообразий в проективном пространстве.

Следующий этап [44] в развитии теории связностей начался в 40-х годах работами В. В. Вагнера.

Общая теория связностей [41] в расслоениях, получившая свое начало в работах Вагнера и Эресмана, позже интенсивно развивалась в самых различных направлениях. Г. Ф. Лаптевым [27] был предложен известный теоретико-групповой метод на основе исчисления Э. Картана. Следуя идеям Э. Картана, Г. Ф. Лаптев дал строгое определение пространства аффинной связности и выделил естественным образом комплекс внутренних геометрий на многомерной поверхности пространства аффинной связности. Затем параллельно с развитием общей теории погруженных многообразий Г. Ф. Лаптев ввел пространство с фундаментально-групповой связностью.

В дальнейшем связности в расслоенных пространствах строились £ Г.Ф. Лаптевым не только при помощи определяющего связность отображения. Они задавались как погруженное многообразие специального типа и как поле некоторого объекта, называемого объектом связности [39]. Характерной особенностью этих построений Лаптева является исследование последовательности полей геометрических объектов, возникающих из поля исходного фундаментального объекта при помощи операции продолжения полей и теоретико-групповой операции охвата имеющимися полями новых полей.

В связи с исследованием связностей расслоенных многообразий теория геометрических объектов продолжала интенсивно развиваться, обогащаясь новыми фактами, включая в свою сферу новые области, смыкаясь со многими традиционными направлениями [55].

Благодаря работам Э. Картана, Ш. Эресмана, В. В. Вагнера, А. П. Нордена, П. К. Рашевского, Г. Ф. Лаптева, Б. Л. Лаптева, А. М. Васильева, Ю. Г. Лумисте, В. И. Близникаса, Н. М. Остиану, А. П. Широкова, Л. Е. Евтушика, В. Ф. Кагана и др. теория связностей [50], [51] представляет собой обширную область исследования расслоенных пространств и занимает существенное место в дифференциальной геометрии.

Специальное место в общей теории занимает теория связностей в однородных расслоениях [30], [31]. Связность в однородном расслоении вводится как дифференцируемое распределение, удовлетворяющее некоторым дополнительным условиям. Другие возможности указываются в более ранних работах В. В. Вагнера и Г. Ф. Лаптева. В. В. Вагнер рассматривает не только однородные расслоения, но также расслоения, типовыми слоями которых являлись гладкие многообразия, и вводит в них связности с помощью систем дифференциальных уравнений определенного вида в локальных координатах. Г. Ф. Лаптев ограничивается линейными связно* стями, определяя их как множества отображений бесконечно близких елоев расслоения, удовлетворяющие определенным условиям. Нелинейные связности аппаратом, разработанным Г. Ф. Лаптевым, рассматривал JI. Б. Евтушик [30].

Задачи, возникающие при изучении оснащенных многообразий, в зависимости от типа оснащения, характера объемлющего пространства и исходного погруженного многообразия, оказываются весьма разнообразными, что, по-видимому, делает проблему построения дифференциальной геометрии оснащенных многообразий неисчерпаемой [43], [58].

Задача внутреннего оснащения (в смысле А. П. Нордена, Э. Картана, Э. Бортолотти) подмногообразий стояла как одна из проблем дифференциальной геометрии. Усилиями ряда геометров удалось решить ряд трудных проблем в этом направлении.

Поверхность Vm проективного пространства Рп называется оснащенной в смысле Э. Картана, если к каждой точке Ае Vm сопоставлена (n-m-Замерная плоскость Кптх{А), не пересекающая касательную плоскость Тт(А) рассматриваемой поверхности.

А. П. Норден предложил назвать поверхность Vm нормализованной, если к каждой точке А этой поверхности Vm сопоставлены две плоскости:

1) (п-ш)-мерная плоскость Nnm{А), проходящая через точку А и не имеющая с касательной плоскостью Тт (А) других точек пересечения (нормаль 1-го рода);

2) (т-1)-мерная плоскость Nllll (А), лежащая в касательной плоскости Тт(А) и не проходящая через точку А (нормаль 2-го рода).

Впервые задачи оснащения для семейств многомерных плоскостей, т.е. многообразий Gr(m,n,r) в обозначении Близникаса [18], рассматривались в работах Бортолотти [56].

В исследованиях Бортолотти под оснащением многообразия Gr(m,n,r) понимается процесс, согласно которому каждой m-мерной плоскости тт еGr(m,n,r) сопоставляется (п-т-1)-мерная плоскость Вптх(г), не имеющая общих точек с плоскостью тт. В несколько другом смысле аналогичные задачи рассматривал Галвани [57].

Независимо от исследований Бортолотти и Галвани, задачами оснащения гиперкомплексов Gr(l,n,2n-3) занимался К. И. Гринцевичюс.

Ю. Г. Лумисте [29] удалось построить глубокую и развернутую теорию различных оснащений произвольных подмногообразий Gr(m,n,r), включавшую в себя как частные случаи оснащения Бортолотти и Галвани. Для некоторых классов подмногообразий Gr(m,n,r) Ю. Г. Лумисте указал внутренние оснащения.

Статья [18] В. И. Близникаса посвящена построению внутренних оснащений для гиперкомплекса прямых Gr(l,n,2n-3) и тесно примыкает к исследованиям К. И. Гринцевичюса (1956-1960 гг.).

Научные работы К. И. Гринцевичюса в основном посвящены геометрии подмногообразий многообразия Грассмана Gr(m,n), причем главное внимание уделяется случаю т=1. Для всех исследований К. И. Гринцевичюса характерно то обстоятельство, что они выполнены теоретико-групповым методом дифференциально-геометрических исследований (методом Г. Ф. Лаптева). Кроме того, он первый применял этот метод для систематических исследований линейчатых многообразий как трехмерного, так и многомерного проективного пространства. Он решал ту или иную задачу в наиболее общем репере (как правило, почти всегда исследования ведутся в реперах первого порядка) [19].

Проблема инвариантного построения геометрии многообразия, образующим элементом которого является фигура [33], отличная от точки исходного пространства, давно интересовала геометров [2], [32], [62]. Достаточно глубоко разработана линейчатая геометрия в трехмерном пространстве [17]. Имеется много работ по теории семейств и пар семейств плоскостей в многомерных пространствах [45, с. 51] и, особенно, по теории линейчатых многообразий в 4-х и 5-ти мерных пространствах [20], [21], [23], [25]. В [23] рассмотрено множество всех прямых пространства Ръ — многообразие Грассмана Gr(l,3), m-мерные подмногообразия многообразия Грассмана Gr(l,3,m) при т=1,2. В [21] рассматриваются комплексы Gr(l,3,3) — трехмерное подмногообразие многообразия Грассмана Gr(l,3). В работе [37] методом Г. Ф. Лаптева построено внутреннее оснащение произвольного семейства плоскостей в n-мерном проективном пространстве Р„.

Геометрия распределения m-мерных плоскостей в n-мерном пространстве проективной связности с кривизной и кручением развита в работе Г. Ф. Лаптева и Н. М. Остиану [28]. В. И. Близникас рассматривал распределение (п-1)-мерных плоскостей в n-мерном римановом пространстве. В [54] Ю. И. Шинкунас рассмотрел некоторые вопросы геометрии распределения m-мерных плоскостей в n-мерном римановом пространстве.

Работы [1], [38] посвящены изучению дифференциальной геометрии распределений гиперплоскостей в аффинном и проективном пространствах.

В [46, с. 62] рассмотрено многообразие Грассмана k-мерных плоскостей, проходящих через начало координат в n-мерном евклидовом пространстве.

Многообразия Грассмана изучались в той или иной степени в работах [59], [61].

В случае многообразия Грассмана некоторые главные расслоения рассматривались И. В. Близникене [22].

В [34], [35] Э. Г. Нейфельдом задавались аффинные связности в нормализованном пространстве ш-плоскостей.

В многомерном проективном пространстве Ю. И. Шевченко [47] рассмотрел многообразия плоскостей и центрированных плоскостей. Доказал, что оснащение Бортолотти и аналог сильной нормализации Нордена позволяют задать связности в соответствующих ассоциированных расслоениях.

ОПИСАНИЕ РАБОТЫ

Предметом исследования настоящей работы являются связности в расслоениях, ассоциированных с многообразием Грассмана и пространством центрированных плоскостей. Работа относится к исследованиям в области дифференциальной геометрии, осуществляется методом продолжений и охватов Г. Ф. Лаптева, который обобщает метод подвижного репера и внешних форм Э. Картана и опирается на исчисление внешних дифференциальных форм.

В диссертации разработаны основы нового метода исследования многообразий Грассмана и его обобщений — теория индуцированных связностей пространств плоскостей и центрированных плоскостей в проективном пространстве. Многообразия плоскостей уже изучались в этом направлении [22], [28], [54]. Для семейств плоскостей успешно применялся метод ассоциированных главных расслоений [47]. В настоящей работе завершается создание аналогичного метода для пространств плоскостей и пространств центрированных плоскостей. В этом направлении имеется лишь результат Нордена [36] о нормализации проективного пространства, которое является многообразием Грассмана 0-мерных плоскостей. Хотя обширная теория оснащенных грассмановых подмногообразий была развита школой прибалтийских геометров, в основном, работами Ю. Г. Луми-сте [29], В. И. Близникаса [18], И. В. Близникене [22], К. И. Гринцевичюса и др., здесь получены принципиально новые результаты, а подходы к исследованиям отличаются от ранее применяемых.

Работа состоит из введения, в котором описывается история развития данного направления и дается анализ исследования, и трех глав.

В главе 1 в проективном пространстве Рп размерности п изучается многообразие Грассмана V=Gr(m,n) m-мерных плоскостей Lm. Осуществляется специализация подвижного репера и строится главное расслоение G(V), типовым слоем которого является подгруппа стационарности плоскости Lm, а базой — многообразие Грассмана V. Пространством расслоения G(V) является проективная группа GP(n), а проекция к: GP(n) V относит произвольному элементу группы GP(n) ту плоскость Lm многообразия V, которая инвариантна под действием этого элемента. Способом Г.Ф. Лаптева задается фундаментально-групповая связность Г в главном расслоении. С помощью теоремы Картана-Лаптева находятся дифференциальные уравнения компонент объекта, задающего групповую связность в ассоциированном расслоении G(V). Производится оснащение Бортолотти многообразия Грассмана, которое состоит в присоединении к каждой плоскости Lm (п-т-1)-плоскости Рптг, не имеющей общих точек с плоскостью Lm. Находятся дифференциальные уравнения квазитензора, задающего оснащающую плоскость.

Доказано, что оснащение Бортолотти, задаваемое полем квазитензора Л = {Л°,Ла)

01 0Д йаЬ О О а на многообразии V, индуцирует связность (1 -20 типа) Г = {La, Га , Таа, Пйа, a °ab 0 от Ка «а °1<гА 01 01а

LbaJca'LffyFffyFap^Lcp&ap) врОССЛОеНШ G(V).

Показано, что ковариантные производные оснащающего квазитензора Л в групповой связности Г образуют тензор.

С помощью ковариантных производных удается охватить компоненты объекта групповой связности компонентами оснащающего квазитензора вторым способом, т.е. оснащение Бортолотти многообразия Грассмана V индуцирует пучок связностей 2-го типа в ассоциированном расслоении G(V), из которого выделяется единственная связность 2-го типа

Еще один охват получается с учетом пфаффовых производных компонент оснащающего квазитензора и доказывается, что оснащение Бортолотти индуцирует связность 3-го типа r-STa rab г гг° та таЬ та Гаа г7 поА °т га

Связности всех трех типов совпадают тогда и только тогда, когда выполнены условия:

ДаЬ па nb п о п па h К.а 1а О ар ~ Л/?Л*> \р ~ а р> Лар ~ AaAp> Аар ~ АаЛр

Все построенные охваты связаны между собой, так как связность 1-го типа является средней [36, с. 129] по отношению к

01 1 02 03 связностям 2-го и 3-го типов, т.е. Г = — (Г+Г).

Совпадение групповых связностей трех типов эквивалентно неподвижности оснащающей плоскости Бортолотти Рптх.

Геометрическая интерпретация полученных связностей дается при помощи центральных проектирований: ч 0 "яА °я °cb 0 а 0 простеишии подооъект T1={La,Ta ,Lba,Tca,'nba,Taa} характеризуется центральным проектированием плоскости Lm + dLm, смежной с образующей плоскостью Lm, на исходную плоскость, из центра — плоскости Бортолотти РимЧ fi: Lm+dLm > Lm.

Рассмотрен объект Г3 (объект псевдосвязности), который дополняет простейший подобъект Г^={1аа,rf,Цш,ГЦ,Гаа,Пьаа} до простого подобъекта Г2 = {Г1,ЩГ,Т%} и не является геометрическим объектом.

0 0 а

Объект псевдосвязности Г3 = {Ьру,Г fir) характеризуется центральным проектированием плоскости Р„тх +dPnmx, смежной с оснащающей плоскостью Рптх, на исходную плоскость, из центра — образующей плоскости Lm о

Г • Р +dP L"' > Р

L 3 ' n-m-l тU1 n-m-l T 1 n-m-l'

О 0 0

Простой подобъект Г2={Г15Г3> характеризуется парой этих отображений.

Выделяется пучок связностей 1-го типа [42].

Параллельное перенесение вектора удобно описывать с помощью его ковариантного дифференциала [48]. Аналитически параллельное перенесение вдоль линии определяется путем обращения в нуль ковариантного дифференциала. Для многообразия Грассмана параллельные перенесения оснащающей плоскости вырождены:

1. При обращении в нуль ковариантных производных оснащающего квазитензора специальных смещений оснащающей плоскости Бортолотти , вообще говоря, не выделяется. Иначе говоря, параллельное перенесение плоскости P„fflj в произвольной связности Г является свободно вырожденным [52].

2. В групповой связности 1-го типа параллельное перенесение оснащающей плоскости P„mY будет связанно вырожденным, т.е. плоскость

Бортолотти Рптх неподвижна при параллельном перенесении в этой связности.

3. В групповой связности 2—го и 3—го типов параллельное перенесение оснащающей плоскости Рпш1 будет свободно вырожденным.

Тензор I, компоненты которого служат коэффициентами при базисных формах в выражении дифференциалов базисных точек оснащающей плоскости при введении в них ковариантных дифференциалов, и обращение которого в нуль характеризует связанно вырожденные параллельные перенесения оснащающей плоскости, назовем тензором подвижности параллелизма.

Тензор а, при обращении которого в нуль связности совпадают, будем называть тензором деформации [36, с. 128], [40]. Найдены деформации связности одного типа по отношению к связности другого типа.

В конце главы 1 рассматривается многообразие Грассмана точек Gr(0,n). Все полученные результаты для многообразия Грассмана, т.е. для общего случая, подтвердились и для этого частного случая, который рассматривал Норден. Основные результаты главы 1 опубликованы в работах [3], [4], [5], [6], [8], [11], [13].

Глава 2 посвящена исследованиям в проективном пространстве Рп пространства П центрированных плоскостей £т (плоскостей размерности m с фиксированным центром). При дифференциально-геометрических исследованиях используются деривационные формулы подвижного репера и структурные уравнения проективной группы, действующей в проективном пространстве. Специализация подвижного репера для данного пространства центрированных плоскостей приводит к построению главного расслоения G(II), типовым слоем которого является подгруппа стационарности G центрированной плоскости L]n. В данном расслоении задается фундаментально-групповая связность. Осуществляется сильное аффинное оснащение Ю. Г. Лумисте (аналог сильной нормализации Нордена [36, с. 197, 206]) пространства центрированных плоскостей полями аналогов плоскости Картана и нормали 2-го рода: (п-ш-1)-плоскости, не имеющей общих точек с центрированной плоскостью, и (ш-1)-плоскости, принадлежащей центрированной плоскости и не проходящей через ее центр. Доказывается, что оснащение пространства П центрированных плоскостей £т полями плоскостей Р„тъ и Рт} позволяет задать связность (1-го типа) в ассоциированном расслоении с объектом

01 0„ 0о 0, 0„ 0„ 0„„ 01 01 01, 01 01 0U 01 01 01 r=fTa Т г та Г г г Г и Т Г Г г г п \

1 Ьа' ^Ьсса^ру^ра'3- Ру> А aa'L ab> ^аР'^аЬ' ct/3> aP'L aa'L1ap) •

Оказывается, лишь часть ковариантных производных оснащающего квазитензора пространства центрированных плоскостей образует тензор: совокупность ковариантных производных

V/o ={^рКУрКУьКУаКУЛУь\} (р = 1,п + т(п-т)) компонент максимального подквазитензора Л0={1°,Ла) образует тензор, содержащий 4 простейших подтензора №ъК)№ьК) и 2 простых подтензора ФрКУрК^Л}, {VA=

Аналог сильной нормализации Нордена пространства П индуцирует связность 2-го типа

02 0 О. 0 , 0а 0„ 0„„ 02 02 02. 02 „ 02„ 02„, 02 02 02

T = tL L Г L L Г Г Г П L I Г Г Г П I х ba' be'от5 РУ' /?о' >0/' хов»Аа4> А-\»а> cfjS' ар" Х ар"> аа'х1ар > "

Третий охват строится при помощи пфаффовых производных оснащающего квазитензора: аналог сильной нормализации Нордена индуцирует связность 3-го

Т" рь °0, °а ® Ю 03й 03я Ю^ 03 03 03 типа Г {Lba, Lbc,T^L^Lp^YTaa,Tab, Haa, 1а/3,ЬаЬ,Га/3,Га/},Гаа,Т1ар}.

Связности 1-го, 2-го и 3-го типов совпадают тогда и только тогда, когда выполняются условия:

Кр - К.Ц > Kb - АА> Кф Kb - ~5ьК' Ка - > Ка = К^а'

Связности 1-го, 2-го и 3-го типов находятся в зависимости:

02 01 01 03

Г = Г+Гр-Гр, где Р означает транспозицию индексов.

Как и в главе 1 дается характеристика подобъектов объектов связно-стей при помощи центральных проектирований:

0 0 а 0 а 0 ас 01 02 03

1. Простой подобъект Г, = {Lba,Lbc,Tba) объектов связности Г, Г и Г характеризуется центральным проектированием плоскости Ртх + dPmx, смежной с плоскостью Ртх, на исходную плоскость Рш,, из центра — плоскости Рпш = [Рптх,А] 0

Г • Р +dP -> Р

1 1 • ш—1 1 Т 1 т-\ •

0 0 а 0 а 0 аа 01 02

2. Простой подобъект Г2={Хобъектов связности Г, Г и

Г характеризуется центральным проектированием плоскости Р„-.т-\ + dPnmx, смежной с оснащающей плоскостью Рптх, на исходную плоскость Р„„,х, из центра — образующей плоскости L*m 0

Г • Р +dP —Lm > Р

1 2 ■ n-m-l тп-т-1 7 1 п-т-1'

Различные параллельные перенесения иллюстрируют следующие теоремы:

1. Оснащающую плоскость Р„тх в групповой связности 1-го типа Г переносить параллельно нельзя.

2. Аналог нормали 2—го рода Ртх переносится параллельно в связности 1-го типа тогда и только тогда, когда он смещается в гиперплоскости Рпх=Ртх®

3. Плоскость Р„тх переносится параллельно в связности, опреде

01 0а 0 а 0аЬ оа оаа 0а 01 аЬ 01й 01, ляемой подобъектом Г, = {Lba, L^T^L^T pr, Lpr,Yap,Laj},Lab} объекта

01 связности Г, тогда и только тогда, когда она смещается в плоскости

Fп-т = [-^п-иг-1 > •

4. Плоскость Р„тх переносится параллельно в линейной комбинации [49], [53] связности 1-го типа тогда и только тогда, когда она смещается в гиперплоскости Рпх.

5. При обращении в нуль ковариантных производных оснащающего квазитензора X специальных смещений оснащающих плоскостей

Ртх, вообще говоря, не выделяется. Иначе говоря, параллельные перенесения плоскостей Рптх, Ртх в произвольной связности Г являются свободно вырожденными [52].

6. В групповой связности 1-го типа параллельное перенесение оснащающей плоскости Рптх будет связанно вырожденным, т.е. плоскость Р„-т-\ неподвижна при параллельном перенесении в этой связности.

7. В групповой связности 1-го типа параллельное перенесение гиперплоскости Рпх = Рптх © Ртх будет связанно вырожденным, т.е. гиперплоскость Рпх неподвижна при параллельном перенесении в этой связности.

8. В групповой связности 3—го типа параллельное перенесение оснащающей плоскости Рптх будет свободно вырожденным.

9. В групповых связностях 2-го и 3-го типов параллельное перенесение гиперплоскости РпЛ будет свободно вырожденным.

10. В групповых связностях 2-го и 3-го типов параллельное перенесение оснащающей плоскости Ртх будет свободно вырожденным.

По аналогии с главой 1 введен тензор подвижности параллелизма I и тензор деформации X. Связаны все эти объекты следующим образом: компоненты тензора подвижности параллелизма / в связности 1-го типа обращаются в нуль (/=0); в связности 2-го типа совпадают с соответствующими компонентами подтензора а тензора деформации, либо равны нулю, когда таких компонент не существует; а в связности 3-го типа противоположны соответствующим компонентам простейших подтензоров тензора деформации 2, либо компонентам объекта % с переставленными индексами (объект % является комбинацией тензора деформации 2 и оснащающего квазитензора Л ).

Содержание главы 2 опубликовано в работах [7], [9], [12], [15].

В главе 3 пространство П центрированных плоскостей I*, рассматривается в виде двух однородных расслоений:

1) S(jP ), базой которого служит область пространства Рп, а типовым слоем — связка S плоскостей L*m;

2) T(V), базой которого является многообразие Грассмана V плоскостей Lm, а типовым слоем — совокупность Т центрированных плоскостей £т, принадлежащих одной нецентрированной плоскости Lm.

В каждом расслоении задается дифференциально-геометрическая связность по В. И. Близникасу [16]. Доказаны теоремы:

Аналог нормализации 2—го рода пространства П центрированных плоскостей, рассматриваемого как однородное расслоение S(Pj, индуцирует геометрическую связность G в этом расслоении.

Оснащающая плоскость Ртх остается на месте при обращении в нуль компонент подтензора {тх,тьаа} (тг = {таЬ,таа}, хаЬ =ЛаЬ ~ЯаЯь, таа =Яаа -&ьааЯь, тьаа = Льаа - Sbala) и форм геометрической связности G вдоль любого одномерного семейства плоскостей £т.

Оснащающая гиперплоскость остается на месте при обращении в нуль тензора т = {т1,тьаа,таа,тар} (таа = Ла0 -ЛаЛа; тар = Лар -ЛаЛр - ХаарХа) и форм геометрической связности G вдоль любого одномерного семейства плоскостей £т.

Найдены выражения компонент объекта кривизны Rc в геометрической связности G: в геометрической связности кривизна RG выражается через компоненты простого подтензора г,.

Аналог нормализации 1-го рода пространства центрированных плоскостей, представленного как однородное расслоение T(V), индуцирует геометрическую связность F.

Оснащающая плоскость Рпт не смещается при обращении в нуль форм геометрической связности F и тензора т2 (таар = Лаар + ЛааЬЛьр, т% - Яааьр -ЛарЛьа ) вдоль произвольного одномерного семейства плоскостей £т.

Найдены выражения компонент объекта кривизны RP геометрической связности F, доказано компоненты объекта кривизны RF индуцированной геометрической связности F выражаются через компоненты тензора г2.

По результатам третьей главы опубликованы работы [10], [14].

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Целью настоящей работы является исследование индуцированных связностей пространств плоскостей и центрированных плоскостей в проективном пространстве при помощи метода Картана-Лаптева. Данное исследование включает в себя:

1) построение индуцированных фундаментально-групповых связностей трех типов в главных расслоениях, ассоциированных с многообразием Грассмана и пространством центрированных плоскостей;

2) нахождение условий совпадения компонент объектов связностей различных типов;

3) нахождение формул, связывающих компоненты объектов связностей трех типов;

4) выяснение геометрической характеристики индуцированных связностей и их подсвязностей при помощи центральных проектирований и параллельных перенесений;

НАУЧНАЯ НОВИЗНА

1. При дифференциально-геометрических исследованиях многообразия Грассмана в проективном пространстве обычно использовались деривационные формулы подвижного репера, содержащие формы, удовлетворяющие структурным уравнениям линейной группы и условиям (экви) проективности. В данной работе применен неклассический аналитический аппарат, который обладает преимуществом при выделении подгрупп и факторгрупп проективной группы.

2. Построены три типа охватов объектов индуцированных связностей, обобщающих центропроективную и проективную связности, для пространств центрированных плоскостей и многообразия Грассмана.

3. Найдены условия совпадения охватов и формулы, которыми они связаны друг с другом.

4. Построенные связности геометрически интерпретированы при помощи новых параллельных перенесений и центральных проектирований.

5. Пространство центрированных плоскостей представлено в виде двух однородных расслоений, в которых индуцированы геометрические связности.

ПРИМЕНЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

Результаты будут использованы при теоретическом изучении индуцированных связностей, ассоциированных с пространством других линейных фигур в проективном пространстве. Планируется практическое использование результатов при чтении спецкурсов по дифференциальной геометрии, написании курсовых, дипломных и диссертационных работ в Калининградском государственном университете.

•Г

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Белова, Ольга Олеговна, Калининград

1. Алшибая Э. Д. К геометрии распределений гиперплоскостных элементов в аффинном пространстве // Тр. геом. семин. / ВИНИТИ. — М. — 1974.Т. 5. —С. 169-193.

2. Базылев В. Т. К 90-летию со дня рождения С. П. Финикова // Тр. геом. семин. / ВИНИТИ. — М. — 1974. — Т. 6. — С. 17-24.

3. Белова О. О. Связность в расслоении, ассоциированном с многообразием Грассмана // Диф. геом. многообр. фигур. — Калининград. — 2000. — Вып. 31. — С. 8-11.

4. Белова О. О. Объект кривизны связности в расслоении, ассоциированном с многообразием Грассмана // Проблемы мат. и физ. наук. — Калининград. — 2000. — С. 19-22.

5. Белова О. О. Ковариантный дифференциал оснащающего квазитензора на грассмановом многообразии // Диф. геом. многообр. фигур. — Калининград.—2001.—Вып. 32. —С. 13-17.

6. Белова О. О. Связности трех типов в расслоении, ассоциированном с многообразием Грассмана // Проблемы мат. и физ. наук. — Калининград.2001. —С. 3-5.

7. Белова О. О. Связности трех типов в расслоении над пространством центрированных плоскостей // Тр. мат. центра им. Н. И. Лобачевского. — Казань. — 2001. — Т. 12. — С. 23-24.

8. Белова О. О. Интерпретация связности 1-го типа в расслоении над грассмановым многообразием // Диф. геом. многообр. фигур. — Калининград. — 2002. — Вып. 33. — С. 14-17.

9. Белова О. О. Геометрическая интерпретация связности в расслоении над пространством центрированных плоскостей // Проблемы мат. и физ. наук. — Калининград. — 2002. — С. 27-28.

10. Belova О. О. The geometric connections in the space of center plans // Докл. межд. мат. семин.: к 140-летию со дня рождения Давида Гильберта из Кенигсберга и 25-летию математического факультета. — Калининград.2002, —С. 100-105.

11. Белова О. О. Связности в главном расслоении над областью проективного пространства // Тр. мат. центра им. Н. И. Лобачевского. — Казань.;—2002. —Т. 18. —С. 9-10.

12. Belova О. О. Bunch of connections of the 1-st type, indused by analog of Norden's normalization of centred planes space // New Geometry of Nature. — Kazan. —2003. —Vol. 1. —P. 51-54.

13. Белова О. О. Связности трех типов в главном расслоении над областью проективного пространства // Диф. геом. многообр. фигур. — Калининград. — 2003. — Вып. 34. — С. 21-26.

14. Белова О. О. Геометрические связности в пространстве центрированных плоскостей // Тр. мат. центра им. Н. И. Лобачевского. — Казань. —2003. —Т. 21. —С. 81.

15. Белова О. О. Параллельные перенесения в связности 1-го типа пространства центрированных плоскостей // Межд. конф. по геом. и анализу.Пенза. — 2003. — С. 3-5.

16. Близникас В. И. Неголономное дифференцирование Ли и линейные связности в пространстве опорных элементов // Литов. мат. сб. — Вильнюс. — 1966. — Т.6. — № 2. — С. 141-209.

17. Близникас В. И. Некоторые вопросы теории неголономных комплексов // Тр. геом. семин. / ВИНИТИ. — М. — 1974. — Т. 5. — С. 69-96.

18. Близникас В. И. Некоторые вопросы геометрии гиперкомплексов прямых // Тр. геом. семин. / ВИНИТИ. — М. — 1974. — Т. 6. — С. 43-111.

19. Близникас В. ИВашкас П. И., Лупейкис 3. Ю., Шинкунас Ю. И. Обзор научных работ К. И. Гринцевичюса // Тр. геом. семин. / ВИНИТИ. — М. — 1947. — Т.5. — С. 7-53.

20. Близникас В. И., Григелионис С. И. О внутренних оснащениях неголо-номного гиперкомплекса NGr( 1,4,5) // Тр. геом. семин. / ВИНИТИ. — М.1973. — Т. 4. — С. 121-154.

21. Близникас В. И., Лупейкис 3. Ю. О внутренних оснащениях линейчатого комплекса // Тр. геом. семин. / ВИНИТИ. — М. — 1973. — Т. 4. — С. 155-165.

22. Близникене И. В. О геометрии полунеголономной конгруэнции первого рода // Тр. геом. семин. / ВИНИТИ. — М. — 1971. — Т. 3. — С. 125-148.

23. Бразевич М. В. О подмногообразиях нормализованного многообразия Грассмана / ВИНИТИ. — М. — 1976. — 25с. Деп. в ВИНИТИ № 354-76.

24. Вагнер В. В. Теория составного многообразия // Тр. семин. по вект. и тенз. анализу с их приложениями к геометрии, механике и физике. — М.Л. — 1950. — Вып. 8. — С. 11-72.

25. Григелионис С. И. Некоторые вопросы геометрии неголономных гиперкомплексов NGr( 1,4,5) // Тр. геом. семин. / ВИНИТИ. — М. — 1974. — Т. 5. —С. 55-68.

26. Еетушик Л. Е., Лумисте Ю. Г. , Остиану Н. М., Широков А. П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Пробл. геом. / ВИНИТИ. — М. — 1979. — Т. 9. — 248 с.

27. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Тр. Моск. мат. о-ва. / ГИТТЛ. — М. — 1953. — Т. 2. — С. 275-383.

28. Лаптев Г. Ф., Остиану Н. М. Распределения ш-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. I // Тр. геом. семин. / ВИНИТИ. — М. — 1971. — Т. 3. — С. 49-94.

29. Лумисте Ю. Г. Индуцированные связности в погруженных проективных и аффинных расслоениях // Уч. зап. Тартуского ун-та. — Тарту. — 1965. — Вып.-177. — С. 6-42.

30. Лумисте Ю. Г. Однородные расслония со связностью и их погружения // Тр. геом. семин. / ВИНИТИ. — М. — 1966. — Т. 1. — С. 191-237.

31. Лумисте Ю. Г. Связности в расслоенных пространствах с однородными слоями. — Тарту. — 1977. — 64 с.

32. Малаховский В. С. Дифференциальная геометрия многообразий фигур и пар фигур в однородном пространстве // Тр. геом. семин. / ВИНИТИ. — М. — 1969. — Т. 2. — С. 179-206.

33. Малаховский В. С. Дифференциальная геометрия многообразий фигур // Пробл. геом. / ВИНИТИ. — М. — 1981. — Т. 12. — С. 31-60.

34. Нейфелъд Э. Г. Нормализованное пространство m-плоскостей п-мерного проективного прострпнства // Тезисы докл. Второй Всесоюзной геом. конф. — Харьков. — 1964. — С. 190-191.

35. Нейфелъд Э. Г. Аффинные связности на нормализованном многообразии плоскостей проективного пространства // Изв. вузов. Мат. — 1976. — № 11. —С. 48-55.

36. Норден А. П. Пространства аффинной связности. — М. — 1976. — 432 с.

37. Остиану Н. М. Об инвариантном оснащении семейства многомерных плоскостей в проективном пространстве // Тр. геом. семин. / ВИНИТИ. — М. — 1969. — Т. 2. — С. 247-262.

38. Остиану Н. М. Распределения гиперплоскостных элементов в проективном пространстве // Тр. геом. семин. / ВИНИТИ. — М. — 1973. — Т. 4.С. 71-120.

39. Остиану Н. М., Рыжков В. В., Швейкин П. И. Очерк научных исследований Германа Федоровича Лаптева // Тр. геом. семин. / ВИНИТИ. — М.1973. —Т. 4. —С. 7-70.

40. Полякова К. В. Интерпретация подтензоров тензора деформации на поверхности // Проблемы мат. и физ. наук. — Калининград. — 2001. — С. 20-22.

41. Рахула М. О. Инфинитезимальная связность в расслоении // Пробл. геом. / ВИНИТИ. —М. — 1977. — Т. 8. — С. 163-182.

42. Скрягина А. В. Пучок связностей 1-го типа, индуцированный оснащением Бортолотти плоскостной поверхности // Проблемы мат. и физ. наук.Калининград. — 2000. — С. 35-38.

43. Столяров А. В. Двойственная теория оснащенных многообразий. — Чебоксары. — 1994. — 290 с.

44. Чакмазян А. В. Связность в нормальных расслоениях нормализованного подмногообразия Vm в Рп II Пробл. геом. / ВИНИТИ. — М. — 1978. — Т. 10. —С. 55-74.

45. Чакмазян А. В. Нормальная связность в геометрии подмногообразий.Ереван. — 1990. — 116 с.

46. Шварц Дж. Дифференциальная геометрия и топология. — М. — 1970.224 с.

47. Шевченко Ю. И. Об оснащениях многообразий плоскостей в проективном пространстве // Диф. геом. многообр. фигур. — Калининград. — 1978.—Вып. 9. —С. 124-133.

48. Шевченко Ю. И. Геометрическая характеристика некоторых индуцированных связностей поверхности // Там же. — 1981. — Вып. 12. — С. 126-130.

49. Шевченко Ю. И. Параллельный перенос фигуры в линейной комбинации связности // Там же. — 1987. — Вып. 18. — С. 115-120.

50. Шевченко Ю. И. Общая фундаментально-групповая связность с точки зрения расслоений // Там же. — 1990. — Вып. 21. — С. 100-105.

51. Шевченко Ю. И. Связность в составном многообразии и ее продолжение // Там же. — 1992. — Вып. 23. — С. 110-118.

52. Шевченко Ю. И. Оснащения голономных и неголономных гладких многообразий. — Калининград. — 1998. — 83 с.

53. Шевченко Ю. И. Оснащения центропроективных многообразий. — Калининград. — 2000. — 113 с.

54. Шинкунас Ю. И. О распределении m-мерных плоскостей в п-мерном щ римановом пространстве // Тр. геом. семин. / ВИНИТИ. — М. — 1974. —Т. 5. —С. 123-133.

55. Широков А. П. Геометрия касательных расслоений и пространства над алгебрами // Пробл. геом. / ВИНИТИ. — М. — 1981. — Т. 12. — С. 61-95.

56. Bortolotti Е. Connessioni nelle varieta luogo di spazi // Rend. Semin. Fac. Sci. Univ. Cagliari. — 1933. — № 3. — P. 81-89.

57. Galvani O. La realization des connexions ponctuelles affine's et la ge-ometrie des groupes de Lie // J. math, pures et appl. — 1946. — № 25. — P. 209-239.

58. SharpeR. W. Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Er-langen Program // Graduate Texts in Mathematics. — Canada. — 1996. — 424fc

59. Spivak M. Differential geometry. // Brandeis University. — 1970. — Vol. 1,2.

60. SzybiakA. Grassmanian connections // Ann. UMCS. — 1974. — A 28. — P. 105-114.

61. Tachibana Syun-ichi. On the imbedding of a projectively connected space in a projective space // Natur. Sci. Rept. Ochanomizu Univ. — Tokyo. — 1954.V. 5.—№1.—P. 5-9.