Свойства фуксовых групп сходящегося типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ.

ГЛАВА I

ОЦЕНКИ СКОРОСТИ РОСТА СЧИТАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ

ОРБИТ ФУКСОВЫХ ГРУПП В ЗАВИСИМОСТИ ОТ

ИХ СВОЙСТВ СХОДИМОСТИ.

§ I. Равномерные оценки сверху типа Цудзи для фуксовых групп с показателем сходимости меньше единицы.

§ 2. Поточечные оценки сверху для фуксовых групп с показателем сходимости меньше единицы и для -сходящихся фуксовых групп.

§ 3. Поточечные оценки снизу для фуксовых групп с показателем сходимости меньше единицы.

§ 4. Коэффициенты Тейлора форм, автоморфеых относительно фуксовых групп с показателем сходимости меньше единицы.

§ 5. Рост интегральных средних и граничное поведение форм, автоморфных относительно фуксовых групп с показателем сходимости меньше единицы.

Г I А В А

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ФУКСОВЫХ ГРУПП С МАССИВНОЙ ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ ОБЛАСТЬЮ.

§ 6. Эквивалентные формулировки определения массивности фундаментальной области.

Примеры фуксовых групп с массивными фундаментальными областями.

§ 7. Оценки скорости роста считающей функции фундаментальной области для случаев массивной и равномерно локально конечной фундаментальных областей.

§ 8. Свойство достижимости конечно порожденных фуксовых групп с некомпактной массивной нормальной фундаментальной областью.

§ 9. Особенности геометрического строения массивных фундаментальных областей.

§ 10. Теоремы вложения для пространств функций и форм, автоморфных относительно фуксовых групп с массивной фундаментальной областью.

ГЛАВА

МЕТРИЧЕСКИЕ И КАТЕГОРНЫЕ СВОЙСТВА ПОДМНОЖЕСТВ

ПЕЭДЕШ0Г0 МНОЖЕСТВА ФУКС0В0Й ГРУППЫ.

§ II. Характеристика множеств орициклических предельных точек и точек Гарнет.

§ 12. Характеристика множества точек аппроксимации для фуксовых групп с показателем сходимости меньше единицы.

1. Основная цель диссертационной работы состоит в изучении аналитических, геометрических и функциональных свойств фуксовых групп в зависимости от значения их показателя сходимости. Получаемые при этом результаты применяются для исследования аналитических свойств и граничного поведения форм, ав-томорфных относительно рассматриваемых фуксовых групп.

2. Начиная с основополагающих работ Пуанкаре [101,102] , который одним из первых обратился к систематическому изучению разрывных групп дробно-линейных преобразований комплексной плоскости, в исследованиях по фуксовым группам большое внимание уделяется свойствам сходимости таких групп. Первоначально интерес к изучению этих свойств был вызван тем обстоятельством, что примеры автоморфных относительно фуксовой группы функций и форм удалось построить в виде рядов специального вида, называемых 6 -рядами Пуанкаре, или в виде частного двух таких рядов. Вопрос о сходимости 0 -ряда Пуанкаре для действующей в единичном круге X) 'Л7Д<1 фуксовой группы Г оказался тесно связанным со свойствами суммируемости последовательности чисел ^ » или' как стало принято говорить, со свойствами сходимости группы ^ . В дальнейшем выяснилось, что в основу классификации действующих в круге Т) фуксовых групп в зависимости от их свойств сходимости удобно положить число ^

ЩоЬо-. iz ' называемое показателем сходимости фуксовой группы 1 . Таким образом, последовательность чисел {l- для фуксовой группы Y с показателем сходимости S" принадлежит всем пространствам ^L при ^ . Изучению поведения автоморфных функций в зависимости от свойств сходимости фуксовой группы, относительно которой эти функции автоморфны, посвящены работы В.В. Голубева; в своих исследованиях [8] он широко использовал значение целой части показателя сходимости фуксовой группы. В серии работ [31,32,33] Бирдон указал возможные значения показателя сходимости для различных классов фукеовых групп. Исследования Аказы [23-26] также были посвящены изучению свойств показателя сходимости некоторых классов разрывных групп. Немного позже, в работах Элстрода [47,48,493 , Паттерсона [91-96] и других авторов выяснилось, что значение показателя сходимости фуксовой группы Г играет существенную роль при описании спектральных свойств оператора Лапласа, действующего на римановой поверхности ^ • Развивая методы, связанные с изучением собственных функций и спектра такого оператора Лапласа, Паттерсону удалось получить ряд интересных результатов [94-96] , которые обнаружили тесную связь между показателем сходимости фуксовой группы и другими ее важными свойствами. В частности, Аказа [2б]и Пат-терсон [94] доказали, что для обширного класса разрывных групп дробно-линейных преобразований, включающего все конечно порожденные фуксовы группы второго рода без параболических элементов, показатель сходимости группы совпадает с хаусдорфовой размерностью ее предельного множества.

Перечисленные выше результаты указывают на то, что показатель сходимости является одной из важнейших характеристик фуксовой группы. В этой связи представляется интересным выяснить, какие известные свойства фукеовых групп зависят от значения их показателя сходимости и каким образом можно охарактеризовать такую зависимость.

3. Наиболее полно изученным к настоящему времени следует считать класс конечно порожденных фуксовых групп первого рода. Этому классу посвящена большая часть опубликованных на сегодняшний день исследований по фуксовым группам. Все конечно порожденные фуксовы группы первого рода имеют показатель сходимости равный единице и являются группами расходящегося типа.

Основное внимание в диссертации уделено менее изученному случаю фуксовых групп, показатель сходимости которых меньше единицы. Из результатов Бирдона [32,33] следует, что таковыми являются все конечно порожденные фуксовы группы второго рода, а примеры Даттереона [97] показывают, что некоторые бесконечно порожденные фуксовы группы первого рода также имеют показатель сходимости меньше единицы.

Таким образом, наиболее "типичными" представителями класса фуксовых групп, исключенного из рассмотрения в диссертации, являются обсуждавшиеся выше конечно порожденные фуксовы группы первого рода.

4. Диссертация состоит из трех глав, которые разбиты на 12 параграфов.

Первая глава диссертации посвящена рассмотрению того, каким образом аналитические свойства фуксовых групп зависят от значения их показателя сходимости. Она состоит из пяти параграфов (§1-§5). В качестве объекта, характеризующего аналитические свойства фуксовой группы, нами выбрана считающая функция орбит этой группы, то есть функция

Из определения этой функции видно, что она достаточно полно описывает распределение орбит точек единичного круга при действии группы Г . Функции ПСV, "Z.4) является одним из основных инструментов, применяемых при изучении аналитических свойств фуксовых групп, поэтому ее поведение исследовалось многими авторами (см. [60,70,81,85,87,96,1131 ). Статьи [60,70,9б] были посвящены оцениванию скорости роста шш выяснению асимптотического поведения этой функции при приближении параметра г к единице. Общим для всех полученных ранее оценок и асимптотических формул, касающихся поведения считающей функции орбит было то, что они либо относились к очень широкому классу фуксовых групп (например, к классу всех фуксовых групп (Цудзи [ИЗ] ); к классу всех сходящихся фуксовых групп (Ленер \уо] ); к классу фуксовых груш с бесконечной неевклидовой площадью фундаментальной области (Паттерсон [96] , Николе [87] )), а поэтому учитывали лишь самые общие свойства таких групп; либо были справедливы для довольно узкого класса групп с конечной гиперболической площадью фундаментальной области (Хьюбер [бо] , Паттерсон [эЬ] ).

В 1975 году Ленер [70] поставил задачу об отыскании таких оценок скорости роста функции ГЦг,^ , которые выполнялись бы для достаточно широкого класса фуксовых групп и в то же время были бы точнее уже имеющихся оценок за счет использования более глубоких и тонких свойств группы (в обзоре [70] поставлена задача оценивания скорости роста коэффициентов Тейлора автоморфных форм, но такое оценивание указанным в этом же обзоре стандартным методом сводится к оцениванию скорости роста функции ПС^",^) той группы Г , относительно которой автоморфны рассматриваемые формы).

В первом параграфе диссертации доказана

Теорема I. Если фуксова группа имеет показатель сходимости тал , o^b^l , то для любого числа справедлива равномерная по В С оценка o<v<i .

Если же группа ^ сходится при своем показателе сходимости

О (то есть сходится ряд 72 (1- )Ъ то справедлива оценка ^ в которой постоянная С (X) > О зависит только от группы V Таким образом, полученная в теореме I оценка считающей функции Yliv, ) орбит фуксовой группы Г существенно зависит от значения величины О (Г) , то есть эта теорема дает решение задачи Ленера в терминах показателя сходимости группы. Доказательство теоремы I опирается на следующую лемму, которая представляет самостоятельный интерес:

Леша I.I. Если для фуксовой группы V выполняется условие то справедлива равномерная по о. оценка

Для значения = 1 лемма 1.1 является известным результатом) доказанным Рао [.109] . В этом же параграфе приведен пример, показывающий, что для произвольной совокупности дробно-линейных преобразований круга Т) утверждение теоремы I может не вшолняться (как и утверждение леммы I.I), даже если показатель сходимости такой совокупности равен нулю.

Во втором параграфе диссертации получены некоторые другие оценки скорости роста функции ПРИ V—» 1 .В теореме 2 этого параграфа доказано, что если фуксова группа V сходится при своем показателе сходимости ^ , , то в каждой точке "2 £ выполняется соотношение £ i-o VUv^b oCl^ случай S = 1 был изучен Ленером [.70] ). Нам неизвестно, выполняется ли это соотношение равномерно относительно точек единичного круга, или нет.

В работах Поммеренке [1053 и Мецгера было предложено наряду с общепринятой шкалой пространств , О < ^ 1 , использовать для описания свойств сходимости фуксовых групп иную шкалу, которая для некоторых групп Г более точно характеризует свойства суммируемости последовательности В основу новой шкалы в цитированных работах положено свойство сходимости или расходимости при различных oL , О <с oL ^ d. , ряда ^

Результаты этих работ показывают, что такая логарифмическая шкала выбрана удачно, и в ее терминах удается выделять классы фуксовых групп с естественными и важными свойствами (см. также работы [54,114,115] ). В теореме 3 второго параграфа доказано, что если фузссова группа удовлетворяет условию то для каждой точки "Z справедлива оценка

Для групп с конечной гиперболической площадью фундаментальной области Цудзи в своей книге \lI3~] указал оценку снизу для скорости роста считающей функции их орбит. В теореме 4 третьего параграфа диссертации получен некоторый аналог такой оценки для случая фуксовой группы с показателем сходимости ,0<S<1 .

5. В последних двух параграфах первой главы (§§4-5) полученные ранее результаты применяются для исследования* аналитических свойств и граничного поведения автоморфных форм.

В теореме 5 четвертого параграфа получены оценки сверху скорости роста коэффициентов Тейлора автоморфных форм из пространств

Берса » i ^ , для случая, когда фуксова группа

С имеет показатель сходимости S , О ^ S < . Найденные оценки существенно зависят от значения показателя сходимости группы Г ; поэтому утверждение теоремы 5 можно также рассматривать в качестве решения обсуждавшейся выше задачи Ленера \j7CQ , полученного в терминах показателя сходимости фуксовой группы. В теоремах б и 7 этого параграфа изучаются свойства суммируемости и возможные лакуны для последовательностей коэффициентов Тейлора автоморфных форм из пространств (\ с^ С^О в зависимости от значения показателя сходимости о , О < , фуксовой группы Г .

Доказанные в пятом параграфе диссертации теорема 8 о вложении пространств в изучавшиеся Джрбашяном и Бергманом пространства аналитических в круге функций с конечным интегралом ружности \~z\ = V , и теорема 10 об оценке скорости роста автоединичного круга в углах Штольца продолжают изучение свойств ав-томорфных форм из пространств Берса в зависимости от значения показателя сходимости той фуксовой группы, относительно которой эти формы автоморфны.

Доказательства всех результатов четвертого и пятого параграфов первой главы диссертации используют полученные в §§1-3 оценки считающей функции орбит для фуксовых групп с показателем сходимости , о 4 < <L . Если в условиях этих теорем рассмотреть случай фуксовой группы сходящегося типа и положить 0=1 , то их утверждения примут вид известных ранее результатов работ V.70,76-79] . Таким образом, теоремы 5-10 можно рассматривать как уточнения результатов этих работ, учитывающие значение показателя сходимости фуксовой группы.

6. Вторая глава диссертации посвящена изучению геометрических свойств фуксовых груш с массивной фундаментальной областью. Ее содержание составляют пять параграфов диссертации (§§6-10).

Понятие массивности фундаментальной области впервые возникло в работах Ауласкари \j27-29], хотя соображения, на основе которых оно сформировалось, использовались и раньше другими авторами (см. .например, статьи Ленера \67-69]). Чтобы пояснить смысл этого понятия, обратимся к истории исследований задачи о вложении проморфных форм из пространств при приближении к границе странств

40,41] ввел в рассмотрение пространства автоморфных форд

Вскоре после того, как Берс в своих статьях возникло предположение, что для всех фуксовых групп справедливо вложение 1\ ^ СО С 1\ ^ ^V) , . Решению этой задачи были посвящены работы различных авторов, из которых мы отметим цикл \j)7,68,6$f\ статей Ленера, а также статьи Рао ^110], Мецгера и Рао [74,75] (более полную историю вопроса и библиографию можно найти в обзоре Ленера [70] ). Поммеренке [104] первым указал пример такой фуксовой группы Г , .для которой включение при с^ = 2 не имеет места, после чего в 1970 году в работе [801 было получено полное решение задачи о включении в терминах следов гиперболических элементов группы. Наряду с исследованиями аналитического характера, Ле-нер [67] и другие авторы пытались отыскать необходимые и достаточные условия для задачи о включении в терминах геометрии нормальных фундаментальных областей группы Г . Эта задача не потеряла своей актуальности и после появления статьи [80] . Решая ее, Ауласкари в серии работ [27,28,29] предложил простое условие геометрического характера, названное им массивностью фундаментальной области фуксовой группы, которое, как он показал , является достаточным условием для справедливости вложения А ^ IV) С Д ^ {V).

В шестом параграфе диссертации проведен анализ определения массивности и приведены примеры фуксовых групп с массивными фундаментальными областями, поскольку в работах Ауласкари такие примеры отсутствуют.

В своей статье [35], обзоре [37] и книге [39] Бирдон рассмотрел класс фуксовых групп с локально конечными фундаментальными областями и показал, что понятие локальной конечности фундаментальной области играет важную роль при изучении топологических свойств фуксовых групп: фактор-пространство , наделенное фактор-топологией, гомеоморфно пространству орбит если и только если фундаментальная область F локально конечна (здесь

V обозначает замыкание области V относительно единичного круга). Количественной характеристикой свойства локальной конечности служит предложенное в седьмом параграфе диссертации понятие считающей функции фундаментальной области фуксовой группы. В теореме II этого параграфа получена оценка сверху скорости роста считающей функции массивной фундаментальной области фуксовой группы. Рассмотрение этой оценки приводит к выделению в седьмом параграфе класса фуксовых групп с равномерно локально конечной фундаментальной областью. Свойство равномерной локальной конечности является при этом естественным усилением требования локальной конечности фундаментальной области. Теорема 12 седьмого параграфа устанавливает 1фитерий равномерной локальной конечности фундаментальной области в терминах скорости роста ее считающей функции. Из утверждения этой теоремы следует, что любая массивная фундаментальная область является равномерно локально конечной. Поммеренке в своих работах [105,106,1073 ввел и изучил важное свойство достижимости фуксовых групп. В восьмом параграфе диссертации установлено (теорема 13), что если конечно порожденная фуксова группа имеет'массивную некомпактную нормальную фундаментальную область, то она является группой достижимого типа (нормальной фундаментальной областью мы, как обычно, называем нормальный фундаментальный многоугольник Дирихле). Девятый параграф посвящен изучению особенностей геометрического строения массивных фундаментальных областей. Здесь, в частности, доказано, что массивная фундаментальная область конечно порожденной фуксовой группы не может иметь изолированных собственных бесконечных вершин (мы используем терминологию книги \J39] ). Десятый параграф диссертации продолжает начатое Ауласкарй [27,28,29] изучение свойств форм, автоморфных относительно фуксовой группы с массивной фундаментальной областью. В теореме 15 этого параграфа доказано, что если^ц>2 и фуксова группа V обладает массивной фундаментальной областью, то справедливо включение П к\ Важно отметить (замечание I5.I), что утверждение оо с " теоремы 15 остается справедливым и для фуксовых групп с равномерно локально конечной фундаментальной областью (в смысле определения, приведенного в седьмом параграфе диссертации). Теорема 16 десятого параграфа уточняет теорему о вложении для пространств мероморфных вращательно-автоморфных функций из работы [30] .

7. В третьей главе диссертации рассматриваются метрические и категорные свойства подмножеств предельного множества фуксовой группы. Эта глава включает одиннадцатый и двенадцатый параграфы. Задача описания эргодических свойств действия фуксовой группы Г на границе С единичного круга привела к выделению множества Ц(Г)= W орицикпических предельных точек этой группы и множества= G- ее точек Гарнет, которые являются подмножествами предельного множества рассматриваемой группы [38,86,111] При изучении аппроксимативных свойств фуксовых групп был выделен класс t\ тех точек предельного множества группы, которые наилучшим образом аппроксимируются центрами изометрических окружностей ее элементов [55] . Такие точки были названы точками аппроксимации. Позже выяснилось, что множество точек аппроксимации играет центральную роль при описании класса геометрически конечных фуксовых груш как в плоском 7 так и в пространственном [2,3] случаях. Поскольку множества Ч(Г),&(Г) и МП несут существенную информацию о свойствах порождающей их группы ^ , то представляется интересным охарактеризовать в каких-либо терминах "величину" этих множеств. Дополнительный интерес к такой задаче обусловлен результатами работ[23-26 , 94-961 , где, как мы уже говорили, доказано, что для многих групп хаусдорфова размерность предельного множества совпадает со значением их показателя сходимости.

В статье [38] Бирдона и Николса с помощью результатов Сул-ливанарп] и Поммеренке [.I05J доказано, что множество G- точек Гарнет всегда имеет меру нуль. Теорема 17 одиннадцатого параграфа диссертации уточняет этот результат: согласно ее утверждению, множество Gin произвольной фуксовой группы \ является ^ --пористым (в смысле Е.П. Долженко [п] ) множеством. В теореме 18 этого параграфа доказано, что множество Ц u Q- фуксовой группы V , которая действует в круге Т) свободно (то есть без неподвижных точек) имеет топологический тип G- £ .

Теорема 19 двенадцатого параграфа диссертации утверждает, что множество А 1Г) точек аппроксимации фуксовой группы С с показателем сходимости & , О ^ S < 1 , имеет оL -емкость нуль для любого числа ol > . Если же группа У сходится при своем показателе сходимости S > О , то множество AAV) такой группы имеет сх -емкость нуль для oUS .

При доказательстве теорем 17 и 19 в диссертации использован единый подход, который основан на изучении граничного поведения в точках множеств Gin МГ) некоторых характерно-автоморф-ных относительно рассматриваемой группы Г функций и последующем применении теорем о строении предельных множеств функций.

С другой стороны, в одиннадцатом параграфе диссертации доказано, что каждая орициклическая предельная точка фуксовой группы является точкой Лузина произвольной вращательно-автоморфной относительно такой группы функции. Этот результат, в сочетании с построенными Паттерсоном [97] примерами, позволяет получить (интересный в смысле граничного поведения) пример характерно-автоморф-ного произведения Бляшке, для которого почти каждая точка единичной окружности является его точкой Лузина (первый пример внутренней функции с этим свойством был построен Дженкинсом [61] ).

8. Все доказываемые в тексте диссертации теоремы пёренумеро-ваны в порядке их следования, независимо от номера параграфа или главы, в которых они приведены. Это же замечание относится к нумерации утверждений, доказываемых в диссертации и к нумерации определений введенных в ней понятий. Цитированные теоремы, которые принадлежат другим авторам и применяются в ходе доказательства, перенумерованы в порядке их следования буквами русского алфавита, это же замечание относится к нумерации цитированных определений, утверждений и лемм. Леммы, замечания и следствия, относящиеся к данной теореме или утверждению, имеют двойной номер, первая часть которого соответствует номеру этой теоремы (утверждения), а вторая часть является порядковым номером леммы, замечания или следствия среди лемм, замечаний или следствий, относящихся к данной теореме (утверждению). Например, лемма 1.2 является второй среди лемм, используемых при доказательстве теоремы I. Используемые в диссертации формулы также имеют двойной номер, первая часть которого является номером параграфа, в котором эта формула приведена, а вторая часть- порядковым номером формулы среди перенумерованных формул этого параграфа.

9. Основные результаты первой главы диссертации опубликованы в работе автора [122] ; основные результаты второй главы - в в работах автора [119,120] ; основные результаты третьей главы- в работе автора [121] ."

10. Результаты, вошедшие в диссертацию, докладывались на семинарах кафедр математического анализа, теории функций и функционального анализа МГУ: на семинаре по теории предельных множеств (рук. - д.ф.м.н. В.И. Гаврилов), на семинаре по теории аналитических функций (рук. - проф. Е.П. Долженко, проф. Б.В. Шабат), на семинаре по теории приближений (рук. - проф. Е.П. Долженко), на семинаре по теории банаховых алгебр и комплексному анализу (рук. - д.ф.м.н. Е.А. Горин, к.ф.м.н. В.Я. Лин), на семинаре по теории почти периодических функций и другим вопросам анализа (рук. - проф. Б.М. Левитан); на общегородском семинаре по теории краевых задач имени Ф.Д. Гахова в Белорусском государственном университете (рук. - проф. Э.И. Зверович), на 5-ой (1983 г.) и 6-ой (1984 г.) конференциях молодых ученых МГУ, а также на 9-ом Донецком коллоквиуме (школе) по теории квазиконформных отображений, ее обобщениям и приложениям (1984 г.).

11. В заключение автор выражаёт глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук Валериану Ивановичу Гаврилову за постоянное внимание и помощь в работе.

ПРВДВАРИТЕДШЫЕ СВЕДЕНИЯ

Основным изучаемым в диссертации объектом являются группы, составленные из конформных автоморфизмов сферы Римана (С . Поэтому к предварительным сведениям отнесены определения некоторых понятий, применяемых при исследовании таких автоморфизмов и простейшие свойства образуемых ими групп, поскольку эти сведения обычно не включаются в общие курсы теории функций комплексного переменного, но будут неоднократно использоваться в тексте диссертации. Все излагаемые в этом разделе определения и факты можно найти в первых главах книг [3,16,17,20,21,39f65,66l .

Группа JH ^ всех конформных автоморфизмов сферы Римана С состоит из дробно-линейных преобразований acU&C^O (0.1)

Каждое такое преобразование полностью определяется неособой

2x2 матрицей с элементами из поля (С комплексных чисел, а именно, матрицей , \\ которая соответствует преобразованию (0.1). Чтобы сделать это соответствие биективным, достаточно ограничиться элементами групnHpSLU.O= 'I=(o i) (0-2)

Таким образом, определено биективное соответствие

PSL(2,0->fH2 (о.з) которое можно задать следующим правилом: элементу /\) a группы P/SL(2, (С) , где jставится в осг л Ь л. соответствие элемент Cz+dl группы ) • Биекция

0.3) является также изоморфизмом групп. Определив норму матрицы

А выражением M = CbrUA*^ , мы превращаем группу в метрическое пространство. Можно проверить, что индуцируемая этой метрикой топология согласована с групповыми операциями в поэтому группы и

5L (Л £) являются топологическими группами. Чтобы сделать топологической группой группу JH^ » осталось наделить фактор--топологаей изоморфную ей группу . используя факторизацию (0.2). Подгруппа G- С JM ^ называется дискретной, если она является дискретным подмножеством J4 2 • Стабилизатором точки "Z. С в группе G С JM ^ называется подгруппа группы (^j- . Говорят, что группа

GcM разрывна в точке

С , если стабилизатор конечен и существует такая охфестность V этой точки, что ^OJ) - и для всех qjeSl^G} и <^C0)rT\J= 0 для всех ^e&^^U^&V

ОбластьЛ^(&^ G разрывна в точке называется областью разрывности группы о- . Если Ж&4) * Ф , то группу Qy называют (собственно) разрывной группой, а множество

- ее предельным множеством. Дробно-линейные преобразования t^-'Wk' (0.4) образуют группу всех конформных автоморфизмов единичного круга Т) : Izl^l . Используя иную параметризацию, преобразования группы J\(D) можно записать в виде

9^*5), laKl. (о.5)

Можно показать, что произвольная подгруппа Г С JM^CD) разрывна тогда и только тогда, когда она дигофетна. Дискретные группы автоморфизмов единичного круга называются фуксовыми группами. Если 1 - фуксова группа, то

LC^VC: . Фуксова группа Г называется группой первого рода, если 1ДГ)-С и группой второго рода в противном случае. Под изометрической окружностью дробно-линейного преобразования (0.1), для которого 1 и о) ф оо мы, как обычно, будем понимать окружность X^V. = » то есть окружность

1= с + ° 1 с центром в точке ССЦ)) - - ^ радиуса . Предельное множество L С Г ^ фуксовой группы Г является множеством точек накопления центров изометрических окружностей ее элементов. Орбитой точки при действии группы Г (или Г -орбитой точки £ ) называется множество

Символами d(~l. ^ ) и Zn) мы будем обозначать соответственно псевдогиперболическое и гиперболическое расстояния между точками zL^/Z^ ; названные расстояния могут быть вычислены по формулам Zi-Z,

0.7)

Обе эти метрики инвариантны относительно действия автоморфизмов единичного круга; таким образом, груша JM^CT)) является группой движений крута~Х) » наделенного любой из метрик (0.7) и (0.8). Дифференциальным элементом длины метрики (0.8) является выражение / ч \cbz\

-(о.9)

Гиперболическую площадь измеримого множества можно вычислить по формуле

Обозначим символами \<х\} и Л(,сц о соответственно евклидов круг радиуса V с центром в точке CL и круг в гиперболической метрике (0.8) гиперболического радиуса 'R. с центром в точке CL ; тогда ^(b^yrfs. (о.и)

Замыкание множестваС X) ^^относительно единичного круга Х^ мы будем обозначать символом Множество называется фундаментальной областью фуксовой группы Г , если оно удовлетворяет следующим трем условиям:

1) V - область в ,

2) область V содержит не более одной точки из орбиты произвольной точки ае"£> при действии группы V , а замыкание F этой области вТ> содержит не менее одной точки каждой такой орбиты,

3) плоская лебегова мера rpaHHD^bV области V равна нулю. Л. Форд [20] показал, что в качестве фундаментальной области фуксовой группы V можно взять внешность изометрических окружностей всех ее элементов, то есть множество

VJXH^*'^? ) (0.12)

Если символом <-cL мы везде ниже обозначаем общую единицуld.CZ)= "Z всех рассматриваемых групп), то фундаментальной областью группы V является область \ге£><hvz)<4a,(олз) называемая нормальной фундаментальной областью, или нормальным фундаментальным многоугольником Дирихле с центром в точке CL .

Показателем сходимости последовательности ^ C^cz)^ дробно-линейных преобразований кругаТ) называется число

Ц{о1>о: y^Xi-ly^)^} (0.14)

Yl-l

Говорят, что последовательность сходится при своем показателе сходимости S> О , если нижняя грань в (0.14) достигается. Показателем сходимости

SCO фуксовой группы 1 называется показатель сходимости последовательности ее элементов. Группа \7 сходится при своем показателе сходимости, если это справедливо для последовательности ее элементов. Если фуксова группа с показателем сходимости S , О ^ § ^ i. , сходится при своем показателе сходимости, то мы отнесем ее к классу CTcS4) , в противном случае - к класс ясно, что классСТсо) не содержит групп с бесконечным числом элементов. Символом ETcS) ,

О ^ о < 1 » ш <5уцем обозначать класс всех фуксовых групп с показателем сходимости о ; таким образом,

Если ' \f{Q>~)\) (0.15) t^ п то фуксова группа 1 называется группой сходящегося типа; в противном случае она называется группой расходящегося типа. Условимся обозначать класс групп сходящегося типа символом СТ ; таким образом СТ=(иСТс^и(УТЗТсЦ , а класс групп рас

S<i О <4. ходящегося типа - символом ът .

Гомоморфизм "Сг- t—'Л"2\=1 фуксовой группы V в мультипликативную группу С называется характером этой группы. Мероморф-ная в круге X) функция называется характерно-автоморфной относительно группы ^ функцией с характером "tf (или тУ -характерно-автоморфной) , если л^ - характер группы Г и справедливо равенство q q

И^Ь^Н^У, (0.16)

Если в , то функция ^CZ") называется автоморфной относительно группы функцией. Определенная в круге Х^ мероморфная функция называется автоморфной относительно фуксовой группы Г формой веса (размерности) 2 с^) , 1 - натуральное число, если для любого преобразования в каздой точке "2 4 X) она Удовлетворяет условию л

- (0.17)

Отметим, что выполнение одного лишь условия (0.17) еще не обеспечивает какой-либо регулярности в поведении функции ) при приближении точки "Н t лежащей в фундаментальной области V группы Г , к точкам границы единичного круга X) • Поэтому при определении понятия мероморфной автоморфной формы обычно дополнительно к условию (0.17) накладывают следующее требование: если Р -- произвольная параболическая вершина области V , то существует ^Im^Cz4)^1 ^р^С (0.18)

Можно считать, что это определение включает и случай мероморфной автоморфной функции (что соответствует значению О ). В пятом параграфе диссертации приведено обобщение понятия автоморф-ной формы для случая вещественного .

Условимся, если только не оговорено противное, считать, что все рассматриваемые в тексте диссертации фуксовы группы удовлетворяют условию

0.19)

Если же условие (0.19) не выполняется, то всегда можно найти такую точку (X. € Х^ > Для которой и перейти к рассмотрению фуксовой группы Г г ^ , где CD ) - автоморфизм круга , удовлетворяющий условию срСа)~ О . Группа гт' j

1 уже удовлетворяет условию (0.19), поэтому сделанное предположение не приводит к потере общности рассматриваемых ситуаций.

Г I А В A I

ОЦЕНКИ СКОРОСТИ РОСТА СЧИТАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ ОРБИТ ФУКСОВЫХ ГРУШ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ИХ СВОЙСТВ СХОДИМОСТИ.

1. Абду Аль-Рахман Хасан. О предельных множествах вдоль произвольных граничных путей.- Докл. АН СССР, 1981, т.260, Ш 4, с. 777-780. ~

2. Ананасов Б.Н. Геометрически конечные группы преобразований пространства.- Сиб. мат. журн., 1982, т.23, № 6, с. 16-27.

3. Ананасов Б.Н. Дискретные группы преобразований и структуры многообразий.- Новосибирск: Наука, 1983 242 с.

4. Гаврилов В.И. Граничное поведение мероморфных в единичном круге функций.- Докл. АН СССР, 1963, т.151, I, с. 19-22.

5. Гаврилов В.И. О распределении значений мероморфных в единичном круге функций, не являющихся нормальными.- Мат. сб., 1965, т.67, £ 3, с. 408-427.

6. Гаврилов В.И. Мероморфные в единичном круге функции с заданным ростом сферической производной.- Мат. сб., 1966, т.71,3, с. 386-404.

7. Гаврилов В.И. О некоторых классах мероморфных функций, характеризуемых сферической производной.- Изв. АН СССР. Сер. матем., 1968, т.32, № 4, с. 735-742.

8. Голубев В.В. Однозначные аналитические функции. Автоморф-ные функции.- М.: Физматгиз, 1961 455 с.

9. Гольдберг А.А., Островский И.В. Распределение значений мероморфных функций.- М.: Наука, 1970 591 с.

10. Гофман К. Банаховы пространства аналитических функций.- М.: Изд. иностр. лит., 1963 311 с.

11. Долкенко Е.П. Граничные свойства произвольных функций.-Изв. АН СССР. сер. матем., 1967, т. 31, te I, с. 3-14.

12. Евграфов М.А. Асимптотические оценки и целые функции.- 3-е изд., испр. и доп.- М.: Наука, 1979 320 с.

13. Канатников А.Н. Два критерия для Р^ последовательностей.- Вестн. Моск. ун-та. Сер. I. матем., мех., 1982, № 3, с. 33-35.

14. Карлесон Л. Избранные проблемы теории исключительных множеств.- М.: Мир, 1971 125 с.

15. Коллингвуд Э.Ф., Ловатер А. Теория предельных множеств.-М.: Мир, 1971 312 с.

16. Кра И. Автоморфные формы и клейновы группы.- М.: Мир, 1975 296 с.

17. Крушкаль С.Л., Апанасов Б.Н., Гусевский Н.А. Клейновы группы и униформизация в примерах и задачах.- Новосибирск: Наука, 1981 231 с.

18. Лузин Н.Н. О локализации принципа конечной площади.- Докл. АН СССР, 1947, т.56, № 5, с. 447-450.

19. Лузин Н.Н. Об одном свойстве функций с суммируемым квадратом.- Собр. соч., М.: Изд. АН СССР, 1953, т.1, с. 318-330.

20. Форд Л.Р. Автоморфные функции.- М.-Л.: ОНТИ, 1936 340 с.

21. Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.- М.: Мир, 1973 326 с.

22. Ahlfors L.Y., Sario L. Riemaxm surfaces. Princeton: Princeton University Press, I960 - 382 p.

23. Akaza T.Poincare theta series and singular sets of Schottky groups. Hagoya Math. J., 1964, v. 24, p. 43-65.

24. Akaza Т.Singular sets of some Kleinian groups. Nagoya Math. J., 1966, v. 26, p. 127-143.

25. Akaza T.Singular sets of some Kleinian groups (II). -Uagoya Math. J., 1967, v. 29, p. 145-162.

26. Akaza T.Local property of the singular sets of some Kleinian groups. Tohoku Math. J., Ser. 2., 1973, v. 25, № 1, p. 1-23.

27. Aulaskari R. On normal additive automorphic functions. -Ann. Acad. Sci.Penn. Ser. AI. Math. Diss., 1978, № 23, p. 1-53.

28. Aulaskari R. On Fo-normality and additive automorphic functions of the first kind. Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. AI. Math., 1980, v. 5, Ш 2, p. 327-339.

29. Aulaskari R. On integrable automorphic forms and P-sequences of additive automorphic functions. Ann. Acad. Sci. Penn. Ser. AI. Math., 1981, v. 6, m 2,p. 205-212.

30. Aulaskari R., Sorvali T. On rotation-automorphic functions. Math. Scand., 1981, v. 49, № 2, p. 222-228.

31. Beardon A.F. The Hausdorff dimension of singular sets of properly discontinuous groups. Amer. J.Math., 1966,v. 88, ш з, p. 722-736.

32. Beardon A.P. The exponent of convergence of Poineare series. Proc. London Math., Soc., 1968, v. 18, Ш 3, p. 461-483.

33. Beardon A.P. Inequalities for certain Puchsian groups.-Acta Math., 1971, v. 127, Ш 3-4, p. 221-258.

34. Beardon A.P., Maskit B. Limit points of Kleinian groups and finite" sided fundamental polyhedra. Acta Math., 1974, v. 132, № 1-2, p. 1-12.

35. Beardon A.P. Fundamental domains for Kleinian groups.-Ann. Math. Studies, 1974, № 79, p. 31-41.

36. Beardon A.P., Hicholls P.J. Pord and Dirichlet regions for Puchsian groups. Canad. J. Math., 1982, v. 34, Ш 4, p. 806-815.

37. Beardon A.P., The geometry of discrete groups. Berlin, London, Hew York: Springer-Yerlag, 1983 - 339 p.

38. Bers L.Completeness theorems for Poincard series in one variable. In: proc. Internat. Symp. on linear spaces. -London: Academic Press, 1961, p. 88-100.

39. Bers L. Automorphic forms and Poincar£ series for infinitely generated Puchsian groups.- Amer. J. Math., 1965,v. 87, Ш 1, p. 196-214.

40. Carleson L. On a class of meromorphic functions and its associated exceptional sets, Thesis.- Uppsala: Univ. ofUppsala, 1950 78 p.

41. Carleson L. On the connection bet ween Hausdorff measures and capacites. Ark. Mat., 1958, v. 3, H2 5, p. 403-406.44* Constantinescu C., Cornea A. Ideale RSnder Riemannscher PISchen. Berlin: Springer-Verlag, 1963 - 244 s.

42. Drasin D., Earle C.J. On the boundedness of automorphic forms.- Proc. Amer. Math. Soc., 1968, v. 19, № 5, p. Ю39-Ю42.

43. Duren P.L. Theory of HP spaces.- London, Hew York: Academic Press, 1970 260 p.

44. Elstrodt J. Die Resolvente zum Eigenwertproblem der automorphen Pormen in der hyperbolischen Ebene, Teil I.-Math. Ann., 1973, Bd. 203, Ш 4, s. 295-330.

45. Parkas H.M., Kra I. Riemaxm surfaces. Berlin, Hew York; Springer-Verlag, 1980 - 337 p.

46. Greenberg L. Fundamental polyhedra for Kleinian groups.-Ann. of Math., 1966, v, 84, H2 3, p. 433-442.

47. Greenberg L. Fundamental polygons for Fuchsian groups.-J. d*Analyse Math., 196?, v. 18, p. 99-105.

48. Greenberg L. Finiteness theorems for Fuchsian and Kleinian groups.- In: Discrete groups and automorphic functions.-London: Academic Press, 1977, p. 199-257.

49. Hasumi M. Hardy classes on infinitely connected Riemann surfaces.- Lect. Uotes Math., 1983, H2 1027.

50. Hedlund G.A. Fuchsian groups and transitive horocycles.-Duke Math.J., 1936, v. 2, Ш 3, p. 530-542.

51. Hejhal D.A.Monodromy groups and linearly polymorphic functions.- Acta Math., 1975, v. 135, 12, p. 1-55.

52. He^hal D.A. The variational theory of linearli-polymor-phic functions.- J. d*Analyse Math., 1976, v. 30,p. 215-264.

53. Hejhal D.A. Monodromy groups and Poincard series.- Bull. Amer. Math. Soc., 1978, v. 84, H2 3, p. 339-376.

54. Hopf E. Fuchsian groups and ergodic theory.- Trans. Amer. Math. Soc., 1936, v. 39, Ш 2, p. 299-314.

55. Huber H. Zur analytischen Theorie hyperbolischen Baumformen und Bewegungsgruppen.- Math. Ann., 1959, Bd.136 12 1, p. 1-26.

56. Jenkins J.A. On a problem of busin.- Michigan Math. J., 1955-1956, v. 3, H2 2, p. 187-189.

57. Kerr-Lawson A. A. filter description of the homomorphisms of H°°.- Canad. J.Math., 1965, v. 17, Ж2 5, p. 734-757.

58. Knopp M.I. Bounded and integrable automorphic forms.-Indiana Univ. Math. J., 1973, v. 22, N2 8, p. 769-778.

59. Knopp M.I., Lehner J. Gaps in the Fourier series of automorphic forms.- Lect. Hotes Math., 1980, v. 899, p. 360-381.

60. Lehner J. Discontinuous groups and automorphic functions.-Providence: Amer. Math. Soc., 1964 425 p.

61. Lehner J. A short course in automorphic functions.- Hew York: Holt, Rinehart, 1966 144 p.

62. Lehner J. On the Aq (г) С Bq (Г) conjecture.- Lect. Hotes Math., 1973, v. 320, p. 189-194.

63. Lehner J. On the Aq (G-) С Bq (G) conjecture for infinitely generated groups.- Ann, Math. Studies, 1974» 112 79.

64. Lehner J. On the boundedness of integrable automorphic forms.- Illinois J. Math., 1974, v. 18, № 4, p. 575-584.

65. Lehner J. Automorphic Forms.- In; Discrete groups and automorphic functions.- London, New York: Academic Press, 1977, p. 73-120.

66. Lohwater A.J., Piranian G. On a conjecture of Lusin.-Michigan Math. J., 1955, v. 3, M 1, p. 63-68.

67. Marden A. On finitely generated Fuchsian groups.- Comment. Math. Helv., 1967, v. 42, Ш 2, p. 81-85.

68. Marden A. The geometry of finitely generated Kleinian groups.- Ann. of Math., 1974, v. 99, Ш 3, p. 383-462.

69. Metzger T.A., Rao K.V.R. On integrable and bounded automorphic forms.- Proc. Amer. Math. Soc, 1971, v. 28, U2 2,p. 562-566.1

70. Metzger T.A., Rao K.V.R. On integrable and bounded automorphic forms II.- Proc. Amer. Math. Soc., 1972, v. 32, №1, p. 201-204.

71. Metzger T.A. On the growth of the Taylor coefficients of automorphic forms.- Proc. Amer. Math. Soc., 1973, v. 39, Ж2 2, p. 321-328.

72. Metzger T.A., lao K.V.R. Fuchsian groups of convergence •pype and nontangential growth of automorphic forms.- Proc.Amer. Math. Soc., 1975, v. 48, № 1, p. 135-139.I

73. Metzger T.A. On vanishing Eichler periods and Carleson Sets.- Michigan Math. J., 1977, v. 24, № 2, p. 197-202.79» Metzger Т. A. Gaps in the Fourier series of automorphic forms II. Lect. Notes lath., 1980, v. 899, p. 382-395.

74. Hiebur D., Sheingom M. Characterisation of Fuchsian groups whose integrable forms are bounded.- Ann. of Math., 1977, v. 106, № 2, p. 239-258.

75. Hicholls P.J. On the distribution of orbits in a Kleinian group.- Proc. London Math. Soc., 1974, v. 29, H2 2,p. 193-215.

76. Hicholls P.J. Special limit points for Fuchsian groups and automorphic functions near the limit set.- Indiana Univ. Math. J., 1974, v. 24, H2 2, p. 143-148.

77. Hicholls P.J. Transitive horocycles for Fuchsian groups. -Duke Math. J., 1975, v. 42, № 2, p. 307-312. Correction: Duke Math. J., 1980, v. 47, H2 2, p. 463.

78. Hicholls P.J. Transitivity properties of Fuchsian groups.- Canad. J. Math., 1976, v. 28, H2 4, p. 805-814.

79. Hicholls P.J. The orbital counting function of a Fuchsian group.- Illinois J. Math., 1977, v. 21, № 2, p. 374-384.

80. Hicholls P.J. Gamett points for Fuchsian groups.- Bull. London Math. Soc., 1980, v. 12, № 3, p. 216-218.

81. Hicholls P.J. The orbital counting function for discrete groups of infinite volume.- J. London Math. Soc., 1981, v. 23, № 3, p. 460-468.

82. Hicholls P.J., Sons L.Automorphic functions with gap power series.- Illinois J. Math., 1981, v. 25, p, 383-389.

83. Hoshiro K. Contributions, to the theory of meromorphic functions in the unit circle.- J.Fac. Sci. Hokkaido Univ. Ser. I., 1938, v. 7, p. 149-159.

84. Patterson S.J. A lattice-point problem in hyperbolic space.- Mathematika, 1975, v. 22, p. 81-88.

85. Patterson S.J. The Laplassian operator on a Riemann surface.- Сотр. Math., 1975, v. 31, Ш 1, p. 83-107.

86. Patterson S.J. The Laplassian operator on a Riemann surface II.- Сотр. Math., 1976, v. 32, H2 1, p. 71-112.

87. Patterson S.J. The Laplassian operator on a Riemann surface III.- Сошр. Math., 1976, v. 33, Ш 3, p. 227-259.

88. Patterson S.J. The limit set of a Fuchsian group.- Acta Math., 1976, v. 136, p. 241-273.

89. Patterson S.J. The exponent of convergence of a Fuchsian group.- Monatsh. Math., 1976, Bd. 82, ЗГ2 4, s. 297-315.

90. Patterson S.J. Spectral theory and Puchsian groups.-Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 1977, v. 81, 3J2 1, p. 59-75.

91. Patterson S.J. Some examples of Puchsian groups.- Proc. London Math. Soc. Ser 3., 1979, v. 39, № 2, p. 276-298.

92. Patterson S.J. Puther remarks on the exponent of convergence of Poincard series.- Tohoku Math. J. Ser. 2., 1983, v. 35, № 3, p. 357-373.

93. Piranian G., Rudin W. Lusin's theorem on areas of confor-mal maps.- Michigan Math* J., 1955-1956, v. 3, Ш 2,p. 191-199.

94. Piranian G., Shields A. The sets of Lusin points of analytic functions.- Michigan Math. J., 1957, v. 4, № 1, p. 15-22.

95. Poincar£ H. Th^orie des groupes Fuchsiens.- Acta Math., 1882, v. 1, p. 1-62.

96. Poincar£ H. M^moires sur les fonctions Fuchsiennes.-Acta Math., 1882, v. 1, p. 193-294.

97. Pommerenke Ch. On normal and automorphic functions.-Michigan Math.J., 1975, v. 21, Ш 3, p. 193-202.

98. Pommerenke Ch. On inclusion relations for spaces of automorphic forms.- Lect. Notes Math., 1975, Ш 505, p. 92-100.

99. Pommerenke Ch. On the Green's function of Puchsian groups.- Ann. Acad. Sci. Penn., Ser. A.I. Math., 1976,v. 2, № i, p. 409-427.

100. Pommerenke Ch. On the Green's fundamental domain.- Math. Z., 1977, Bd. 156, m 2, s. 157-164.

101. Pommerenke Ch. On Puchsian groups of accessible type.-Ann. Acad. Sci. lenn. Ser. AI. Math., 1982, v. 7,2, p. 249-258.

102. Pommerenke Ch. Polymorphic functions for groups of divergence type.- Math. Ann., 1982, Bd. 258, Ш 4,s. 353-366.

103. Rao K.V.R. Puchsian groups of convergence type and Poincar^ series of dimension -2.- J.Math, and Mech., 1969, v. 18, № 7, p. 629-664.

104. Rao K.V.R. On the boundedness of p-integrable automorphic forms.- Proc. Amer. Math. Soc., 1974, v. 44,Ш 2, p. 278-282.

105. Sullivan D. On the ergodic theory at infinity of an arbitrary discrete group of hyperbolic motions.- Ann. Math. Studies, 1981, m 97, p. 465-496.

106. Tse K.P. Some results on value distribution of meromor-phic functions in the unit disk.- Nagoya Math. J., 1969, v. 34, p. 105-119.

107. Tsuji M. Potential theory in modern function theory.-Tokyo: Maruzen, 1959 590 p.

108. Widom H. The maximum principle for multivalued functions.- Acta Math., 1971, v. 126, m 1-2, p. 63-81.

109. Widom H. Hp- sections of vector bundles over Riemann surfaces.- Ann. of Math. Ser. 2., 1971, v. 94, № 2, p. 304-324.

110. Yosida K. On a class of meromorphic functions.- Proc. Phys.- Math. Soc. Jap., 1934, v. 16, Ш 3, p. 227-235.

111. Zieschang H., Vogt E., Coldewey H.-D. Surfaces and planar discontinuous groups.- Lect. Notes Math., 1980, Ш 835.

112. Zinno T. On some properties of normal , meromorphic functions in the unit disc.- Ha^oya Math. J., 1968, v. 33, p. 153-164.Работы автора по теме диссертации

113. Кравцев С.В. О распределении значений функций с автоморфной производной.- Вестн. Моск. ун-та. Сер. I. матем., мех., 1984, £ 5, с. 72-74.

114. Кравцев С.В. Геометрические свойства массивных фундаментальных областей фуксовых групп.- М.: Моск. ун-т., 1984, 31 с. (рукопись депонирована в ВИНИТИ 16.10.84, № 6702-84 Деп.).

115. Кравцев С.В. Метрические и категорные свойства подмножеств предельного множества фуксовой группы.- Успехи матем. наук, 1984, т. 39, вып.6, с. 197-198.

116. Кравцев С.В. Об оценке Цудзи считающей функции орбит фуксовых групп.- Докл. АН СССР, 1985, т.280, № 2, с.281-285.