Методы построения квантовых твистов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

САМСОНОВ Максим Евгеньевич

МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ КВАНТОВЫХ ТВИСТОВ

Специальность: 01.04.02 - Теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2006

Работа выполнена в Научно Исследовательском Институте Физики Санкт-Петербургского государственного университета

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:

д. ф.-м. н., проф, Владимир Дмитриевич Ляховский.

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

д. ф. м. н., проф. Петр Петрович Кулиш,

к. ф. м. н., доц. Евгений Викторович Дамаскинский.

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ:

Объединенный институт ядерных исследований, г. Дубна.

0&

Защита состоится '"И " 2006 года в часов на заседании

Диссертационного совета Д 212.232.24 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико математических наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу:

...../V

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета

Автореферат разослан "_"_ 2006 года.

Ученый секретарь диссертационного совета

д. ф. -м. н., проф. Щекин

¿оо£А ТГ721

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы

Точно решаемые решеточные модели позволяют исследовать одномерные и двумерные физические системы на решетке, и их поведение в термодинамическом пределе. Среди этих моделей такие известные примеры, как двумерная модель Изинга, описывающая двумерный ферромагнетик, шести вершинная и восьмивершинная модели. Исследование термодинамического предела решеточных моделей позволяет получить в пределе бесконечного числа узлов решетки наличие особенностей в термодинамических функциях или в их производных, и исследовать фазовые переходы второго рода. Квантовые Я—матрицы дают возможность строить одномерные модели квантовых цепочек и двумерные вершинные модели, устанавливая соответствие вершинных моделей статистической физики квантовым моделям спиновых цепочек. С точки зрения статистической физики, элементы Я—матрицы задают веса узлов решетки - обобщенные больцмановские веса:

где каждой строке и каждому столбцу в двумерной М х N решетке, приписывается свой спектральный параметр, и нумеруют состояния с определенной проекцией спина в V - пространстве представления со спином е. Наличие спектрального параметра позволяет вычислять гамильтонианы соответствующих спиновых цепочек и строить их собственные состояния методом алгебраического анзатца Бете. Статистическую сумму вершинной модели 17 можно выразить через трансфер-матрицу Т:

где ЬтуТ задает вклад отдельной строки узлов решетки:

<1 «3 »ЛГ-2 '«-1

и

-Ml—<Nfcw|jl jVl задает оператор:

T : V9N ® V ->■ V9N ® V. Между трансфер-матрицами с разными спектральными параметрами выполняется коммутационное соотношение:

Я(щ - u2)(T(ui) ® id)(id ® Т{щ)) = (id ® Т(и2))(Т(щ) ® id)R(Ul - u2), (1) где

Т(и) = Rcn(U)RO,N-I(U) ■ ■ ■ Дох (и), которое приводит к семейству коммутирующих операторов

[МТ(иг)),ЫТ(и2))] = 0.

Соотношение (1) можно рассматривать и в квантовом случае, как свойство квантовой матрицы монодромии:

Т{и) = Lna{u)Ln^{U) • ■ • L1<e(tt),

где LnA(u) (соответствует Доп(ы)) матрицы размера (2s+1) х (2s+1) во вспомогательном пространстве V : dimV = 2s +1 элементами которых являются операторы в гильбертовом пространстве Ж = V9N. Характерная особенность, общая для классических и квантовых интегрируемых систем, состоит в том, что у них бесконечно много коммутирующих интегралов движения или законов сохранения:

[Ят,Я„] = о,

где

Я„ = const («,£) t(ui)|u,t"1(u2) r(u) = tracev(T(u)).

H\ оказывается гамильтонианом квантовой интегрируемой модели (цепочки). Так, например, возникает гамильтониан для анизотропной модели Гейзенбер-га из восьмивершинной модели:

Hxyz = + М1°*п+1 +

к

При построении новых квантовых интегрируемых моделей, согласно квантовому методу обратной задачи, необходимо исходить из решений уравнения Янга-Бакстера:

#12(«1 - «2)Д1з(«1 - «з)Й2з(«2 - «з) = #23("2 ~ Мз)#1з(«1 - U3)i2l2(ul - U2), - матричного уравнения на N2 х ЛГ2 матрицу {R(u))tk\ji, где

(Rl2(u))ilk{jmn = Ril\jm(u) • 6кп, (-Rl3(«))i/fc|jmn = #»fc|jn(«) " ¿fm (^23(u))t/Jfc|jmn = ' ¿«j-

Согласно универсальному подходу, естественно связывать матричные решения уравнения Янга-Бакстера с универсальным" элементом 7L, определенный как элемент в тензорном квадрате некоторой алгебры Хопфа (Я, -, т/, Д, е, S)-объекта призванного заменить группы классических симметрий в подходе некоммутативной геометрии. TZ решает аналог уравнения Янга-Бакстера в Я и позволяет получать матричные решения уравнения Янга-Бакстера при ограничении К на конечномерные представления Я <8> Я. В тригонометрическом случае Я - это квантование Дринфельда-Джимбо алгебры петель д[и, и-1], где g алгебра Ли. Используя так-называемые твисты Дринфельда Т € Я ® Я, можно переходить от одних алгебр Хопфа к другим - твисто-ванным:

Нг := (Я, fi, г], AAFо Д, с, Sr),

где Sjr(x) = vS(x)v"1, v = fi о (id <8> S)(T) и fi(a <8> 6) = а ■ b. Твисты решают уравнение Дринфельда в Я:

^12(Д ® id) {Т) = ^(id ® Д)(Я

и позволяют строить универсальные И,—матрицы в Hjr согласно правилу:

Среди твистов можно выделить два класса:

1. Квазиклассические, когда Я — U(q) или Я = У"(g).

2. Квантовые, когда Н = 1/ч(д) или Я = 1/ч(д[и, и ']).

Первый класс твистов может быть связан с изотропными моделями, такими как ХХХ-цепочки, и в качестве протвистованных алгебр Хопфа выступают деформированные янгианы. Второй класс твистов связан с анизотропными моделями, такими, как ХХ2-цепочки и их деформации при помощи твистов соответствующих квантованию троек Белавина-Дринфельда. Одной из мотиваций для изучения квантовых твистов было то, что многие вычислительные проблемы встречающиеся при построении твистов, такие, как необходимость каждый раз анализировать возникающие деформированные коумноже-ния и использовать формулу Кемпбелла-Хаусдорфа для непосредственной проверки уравнения Дринфельда, могут быть разрешены, когда мы работаем с квантовыми алгебрами вроде £/,(д)[[£]] вместо классических. Квантовые твисты также позволяют лучше понять квантование антисимметричных г—матриц и построить соответствующие твисты Дринфельда, которые получаются в пределе д —> 1 из квантовых, в явной форме. Таким способом нам удалось построить некоторые из обобщенных жордановых г—матриц типа Креммера-Жерве. Известно, что некоторые антисимметричные 1—матрицы могут быть связаны с вырождением модифицированных г—матриц, и эту связь между различными классами г—матриц можно проследить на уровне соответствующих квантовых твистов. А именно, квазиклассические твисты можно рассматривать как предельные случаи квантовых, когда <7 1. В то время, как методы построения квантовых твистов для неантисимметричных г—матриц соответствующих тройкам Белавина-Дринфельда, вполне позволяют ответить на вопрос, как построить твист, определяющий универсальную %—матрицу для соответствующей классической, при переходе к квазиклассическому пределу возникает существенная проблема: как определить соответствующую контракцию квантовой алгебры, чтобы получить коалгебраи-ческую структуру деформированной классической универсальной обертывающей алгебры при помощи предельного квазиклассического твиста. В случае расширенного жорданового твиста оказалось, что можно рассматривать ко-

граничный твист вида

Лех) = ® IV = ехр^^-^- ех),

и основное свойство <7(е\) - это несингулярность «7(ед) как целого, тогда как тпривиализация № сингулярна. Несингулярность *7(ед) непосредственно связана со свойствами коумножения в {7д(й), поэтому естественно смотреть на д—экспоненциальный анзатц, присоединенное действие которого определяет соответствующие замены базиса ведущие к контракциям квантовой структуры ия(д), как на основой ингредиент, задающий соответствующие тривиали-зации для расширенных жордановых твистов или их цепей, и исследовать в дальнейшем более общие твисты с д—экспоненциальной тривилизацией V:

{и®и)Ь{и~х), и = -Ж,,

что гипотетически должно привести к квантованию цепей расширенных жордановых твистов для простых алгебр Ли. Кроме того, как показывают вычисления для параболического твиста, 9—экспоненциальный анзатц хорошо приспособлен к рассмотрению твистов, соответствующих квантованию троек Белавина-Дринфельда.

Таким образом, методы потроения квантовых твистов и исследование различных их предельных случаев, соответствующих вырождению анизотропных моделей имеют большую актуальность для построения и изучения интегрируемых моделей и связанных с ними алгебр Хопфа, а также для обобщения и осмысления уже известных методов и результатов. Цель диссертационного исследования Целью диссертации является:

• Исследование и построение квантовых аналогов известных квазиклассических твистов, таких как расширенные жордановы твисты, параболические и известные янгианные твисты.

• Исследование квазиклассического вырождения квантовых твистов, таких как твисты Креммера-Жерве и установление их связи с параболическими и янгианными твистами.

• Развитие методов построения твистов для квантовых аффинных алгебр и исследование соответствующих рациональных пределов.

Для достижения цели диссертационного исследования были решены следующие задачи:

1. Построены квантовые аналоги расширенных жордановых твистов, такие как сингулярные кограничные твисты в квантовой алгебре Дринфельда-Джимбо, допускающие хорошо определенный предел при —► 1. Показано, что используя свойства квантового базиса Картана-Вейля, можно получить компактную формулу для расширенных жордановых твистов, впервые предложенную П.П. Кулишом, В. Д. Ляховским и А. И. Муд-ровым.

2. Исследован твист Креммера-Жерве для ?7д(зГз) и его квазиклассические пределы, продемонстрирована связь с параболическим твистом для ич(в13), а также с янгианным твистом, предложенным С. М. Хорошки-ным, А. А. Сталиным и В. Н. Толстым. Исследована также связь с твистом, возникшим в некоммутативной геометрии А. Конна и Г. Москови-чи и задающим умножение обобщающее *-умножение на пространстве модулярных форм.

3. Развит метод построения аффинных твистов при помощи элемента ш и продемонстрировно его применение в случае Н = ^(з^) и Н = ич(в[з).

Научная новизна

1. Впервые произведено в явном виде вычисление квазиклассических пределов квантовых твистов в случае алгебр Дринфельда-Джимбо.

2. Впервые показано, что для расширенных жордановых твистов можно универсальным образом построить кограничный твист, соответствующий контракции, ответственной за жорданово квантование.

3. Впервые продемонстрирована на уровне твистов связь между модифицированными и антисимметричными г—матрицами.

4. Предложены механизмы аффинизации квантовых твистов, как посредством вложения неаффинного твиста в квантовую аффинную алгебра, так и при помощи элемента ш.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Получены квантовые аналоги жордановых твистов для серий простых неисключительных алгебр Ли. Исследован переход к пределу в случае q 1 в алгебрах вида £/,(ß)[[i]]. Сконструирован q—аналог для твиста Конна-Московичи и соответствующая д—алгебра 7í'lq, продемонстрирована их связь с твистом Креммера-Жерве.

2. Разработан метод построения аффинных твистов при помощи "ш—аффинизации", метод применен к конструированию аффинных версий твистов Креммера-Жерве для t/9(s 1г) и Uq(sl$).

3. Исследовано рациональное вырождение полученных аффинных твистов и продемонстрирована их связь с обобщенными жордановыми г—матрицами типа Креммера-Жерве.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались на конференциях: "Infinite Dimensional Algebras and Quantum Integrable Systems" (Фаро, Португалия, 2003), "Non-commutative geometry and Representation theory"(Карлштадт, Швеция, 2004), "Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics"(Киев, Украина, 2005), "Quantum theory and 8ymmetries"(BapHa, Болгария, 2005). Публикации по материалам диссертации 3 печатных работы в реферируемых международных журналах. Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. Общий объем составляет 71 страницу, из них 5 - список литераг

туры из 46 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Введение содержит основные определения и физическую мотивацию исследования твистов в приложении к построению новых интегрируемых моделей. Сделан упор также на самостоятельное значение твиста для некоммутативной геометрии и для построения новых *-умножений в алгебрах функций на группах Ли-Пуассона.

Глава 1 начинается с рассмотрения конструкции квантового базиса Кар-тана-Вейля и его свойств. В дальнейшем свойства коумножения генератора соответствующего старшему корню используются для доказательства несингулярности кограничного квантового твиста в случая неисключительных алгебр Ли и демонстрируется, что в пределе д —> 1 мы приходим к формуле впервые полученной П. П. Кулишом, В. Д. Ляховским и А. И. Мудровым:

^А = ехр( £ Ь-Еъ® ■ ехр(ЯА/(А, А) ® ал(«)),

71-<71,71+14=*

где

ах{Ь) = 1п(1 4- ЬЕх) := V ? .

»м "

В Главе 1 демонстрируется, что в случае алгебры Ли вышеприведенная формула обобщается непосредственно на квантовый случай и дополнительные возможные квантовые слагаемые не возникают при выбранном нормальном порядке при построении квантового базиса Картана-Вейля:

ЛГ-1

1=1

где = а - с,+1 и

С1,лг+1 = ехр,,(-ее,_е„+1) • ее,_£л,+1),

Последующие разделы Главы 1 посвящены применению квантовых жорда-новых твистов к построению квантовых аналогов параболического твиста и

твиста эквивалентного твисту Конна-Московичи и показана эквивалентность их квантовых аналогов твисту Креммера-Жерве. Твист Конна-Московичи для алгебры имеет следующую явную форму:

Ъм = *)»-*® (2Г + »-*>*

п>0 к=О 1

где (а)* = а(а+1) • • • (а+А;-1) и 5(Х) = —Х+8{У. Приведенная форма оказывается эквивалентной следующему квазиклассическому твисту, который в свою очередь может рассматриваться как твист для У(з[2), в этой форме выражение было найдено впервые С. М. Хорошкиным, А. А. Сталиным и В. Н. Толстым:

Л = 1 ® 1 + ® - 1) • • • (Г - п + 1))(2Л- ® 1 + * ® У)",

П>1

Используя форму для твиста Креммера-Жерве, мы находим квантовый аналог

^ 1 / к-1-! Аг-у(п_1)-1\

^ • I ® 1 - г2 ■ я'1 к~1г ® >

заданный на следующей квантовой алгебре Т>ч:

кхк~г = д2 х, кгк= д2 г, д2жг — гх = — ¿г2,

А(к) — к®к, А(г) — г® к + 1 ® г,

(к — Ат1)

А(х) = I ® А;-1 + 1®аг + < г® -¡тА

1 — я1

В пределе д —> 1 мы находим гомоморфизм ь : И[ Т>\, где чертой сверху мы обозначаем взятие предела д 1:

^ = 1®1 +

П>1

Рассмотрев твисты для неаффинных ид(д), которые могут быть использованы для конструирования новых Я—матриц, описывающих модели д—осцилляторов и интегрируемых спиновых цепочек со спектральным параметром,

вводимым через процедуру бакстеризации, мы переходим в Главе 2 к твистам определенным для ич[в 1„), которые представляют непосредственный интерес для конструирования анизотропных моделей, таких как деформированные ХХ2 цепочки, а также их рациональные пределы описывающие деформированные XXX цепочки. Используя рациональные вырождения аффинных твистов, можно получить твисты для янгианов, более общие чем жорда-новы твисты. Кроме того, с точки зрения интегрируемых моделей естественно мыслить универсальную обертывающую алгебру, как подалгебру янгиана и Г/?(д), как подалгебру в связи с этим, возникает вопрос о продолже-

нии неаффинного твиста из ич(д) до некоторого аффинного твиста в £/,(§) нетривиальным образом, не сводящимся к простому вложению или переходу к эквивалентному. Конструкция твиста при помощи аффиннизации близка к методу построения расширенных ц—жордановых твистов, где выбор элемента был необходим. При построении аффинных твистов мы задаем элемент ш 6 и для неаффинного твиста Т строим выражение

7* = (тг ® И) (а; ®

где 7г гомоморфизм в ич(з1п), аннулирующий либо все положительные токи аффинной алгебры, либо все отрицательные токи. Тем самым морфизм ж определен на параболической части или Р^[/Я(е1п)- Мы исследу-

ем, какие ограничения на ш надо потребовать, чтобы оказался твистом. Пусть Рдв1п и Рд9\п обозначают параболические части е1„, получаемые отбрасыванием всех генераторов, в состав которых входит аффинный корень —с*о или а0- Мы можем доказать следующее утверждение:

Утверждение 1. Пусть п : Р^и^в 1„) —> С/,(а 1„) каноническая проекция, аннулирующая все аффинные генераторы. Пусть

ф е Р0±г/,(з"[п) ® ия(^)

и

Ф^Ф^г, (тг(8)1с1)(Ф1) = 1 ® 1, Ф2 = (тг® 1<1)(Ф);

Тогда если Фг твист, выполняются следующие два соотношения :

ф23ф12 = ф12ф23; (7Г в ¡¿)(д в Ы)(ф1) = ф23 (2)

и существует такой элемент и> е Р£ич{в\п), что

Фи = (ы ® ш)ФД(а;_1) € Щя 1„) ® и9{Оп), (3)

то Ф тоже твист.

Пусть Т постоянный твист ия($1п) ® ич(з1п), то есть такой, что:

^бВДв ич(я1п).

Назовем ш—аффиннизацией Т элемент:

= (тг ® ¡<!) о (и ® Утверждение 1 может быть теперь переформулировано:

Утверждение 2. Пусть Т^ ш~аффинниэация постоянного твиста Т и справедливы свойства

= Тп{Я)23, (тг ® 1с1) о (Д ® {Г) = (Г)23 (4)

где

3* := (и>-17г(и>) ® ® 1с1) о (5)

тогда твист.

В качестве иллюстрации метода построения аффинных твистов, рассматривается построение аффинных версий твистов типа Креммера-Жерве в случае С/д(зГг) и ич(в1з), которые мы обозначаем Соответствующие ш—элементы и неаффинные твисты Т были найдены и имеют следующую форму: для п = 2

и

Ш2 = ехр 3(--- е5_а)ехр,-2(---г Я~Н°е-<*) 6

1-}' I — дг

для п = 3

р = ?CG3 = Л - /С = exp^-tfa - g-1) ёа ® е_/») /С,

где

ea-=eaq№+0, ё-р = К. = qii^^a+iha<shff+ihgs>ha+lh0®hp ^

h^ = lha + lhp, hj = iha + lh0, = hp — h£,

и

W3 =

t x gi2 x i2

t t2

где

е-а = ¿¡-а-0 = = ёаё6-а-р - q2eS-a-pea.

Исследуя рациональный предел построенных аффинных твистов, мы находим связь полученных твистов с твистами, соответствующими квантованию обобщенных жордановых г—матрицами типа Креммера-Жерве:

п-1 j-i-1

Гр = Dp Л -EpjH-l -(- ^ ^ Ei j-m+l Л Ejj+m,

р=1 i<j m—1

где

Dp = Р(Ец + E22 H-----f- Epp) - —{Ep^i^. 1 + £jh-2>P+2 -----S»»)-

А именно, для случаев slj и 51з конструируется гомоморфизмы 12,3 из и У(з1з) соответственно, такие, что (12,3 ® ч,является твистом для где Ф3)4 расширенный жорданов твист для С/(з1з) или {/(4(4) • Окончательно, квантование матрицы г9 для п = 3,4 задается следующей универсальной И—матрицей:

Ир = {Гр)21?;\ Тр = (¿2,3 ® ¿2,з)(^) ■ Фз,4-14

Приведем явно полученную этим методом довольно сложную формулу для случая п = 4, указывающая? на то, что метод носит достаточно общий характер и позволяет получать новые деформационные формулы, для которых непосредственная проверка уравнения Дринфельда практичести неосуществима из-за сложности возникающих вычислений:

(1 <g> 1 - f 1 ® £23 + *2А$ ® Eiзе-"» . (1 ® 1 _ f 1 (g, Я-и^з®!).

exp(-i2 Ei3{D2 + D3) ® Еце-а») • exp(< E4Z ® {Eu - tEuE^e''»))-exp(i ЕАз <8> El3e-°") ■ (1 ® 1 -1 1 ® E^ +12 D2 <8>

exp(i £32 (g) E13e~a» +1 Ea ® Eue~a" ) • exp(Di ®

Заключение содержит обсуждение проблемы построения квантования обобщенных жордановых г—матриц для произвольной размерности. Рассматривается вопрос возможного индуктивного построения квантовых твистов используя опыт, полученный в случаях п = 3,4, а также возможность использовать квантовые алгебры, напрямую не связанные с квантованием Дринфельда-Джимбо, с целью получения квазиклассических твистов, подобно тому как расширенные жордановы твисты получались из кограничных твистов для алгебры Динфельда-Джимбо. Анализируется возможность конструировать индуктивно твисты Креммера-Жерве в высших размерностях при условии, что известны выражения для и>п, параллельно должны возникнуть также аффинные твисты

Метод построения аффинных твистов при помощи элемента ш и вычисление рационального предела, может применяться к построению твистов соответствующих квантованию рациональных г—матриц, а также к нахождению твистов для так-называемых квазитригонометрических решений уравнения Янга-Бакстера, то есть имеющих форму:

w ч v О / \

л [и, v) =-+ р(и, V),

и — V

где П - тензорный элемент Казимира и р(и, v) полиномиальная функция, принимающая значения в g ® g. В связи с этим, применимость метода не ис-

черпывается г—матрицами без спектрального параметра

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В

РАБОТАХ:

1. Lyakhovsky, V.D. and Samsonov, М.Е.: Elementary parabolic twist, Journal of Algebra and Its Applications, 1(4) (2002), 415-424.

2. Samsonov, M. E.: Semi-Classical Twists for 0(3 and sU Boundary r—matrices of Cremmer-Gervais Type, Lett. Math. Phys. 72(3) (2005), 197-210.

3. Samsonov, M.E.: Quantization of semi-classical twists and noncommutative geometry, Lett. Math. Phys. 75(1) (2006), 63-77.

1

1

f

Отпечатано копировально-множительным участком отдела обслуживания учебного процесса физического факультета СПбГУ. Приказ № 571/1 от 14.05.03. Подписано в печать 27.03.06 с оригинал-макета заказчика. Ф-т 30x42/4, Усл. печ. л. 1. Тираж 70 экз., Заказ № 290/с 198504, СПб, Ст. Петергоф, ул. Ульяновская, д. 3, тел. 428-43-00.

ZOOGA

7172-

»-7172

Введение

1 Построение квантовых аналогов для расширенных жордано-вых твистов

1.1 Квантование расширенных жордановых г—матриц.

1.2 Квантовая алгебра Дринфельда-Джимбо ид($)

1.3 Квантовый жорданов твист.

1.4 Твист Креммера-Жерве и его специализация при q

1.5 Квазиклассические твисты и некоммутативная геометрия

2 Квантовые аффинные твисты и их рациональный предел

2.1 Аффинизация q—твистов.

2.1.1 Аффинный твист для Uq(sl2).

2.1.2 Аффинный твист для Uq(s\з).

2.2 Рациональное вырождение

2.2.1 Рациональное вырождение Т^.

2.2.2 Рациональное вырождение

2.3 Квантование п < 4 обобщенных жордановых г—матриц.

Основные определения и необходимые сведенья

§1. Роль R—матрицы в построении интегрируемых решеточных моделей и моделей спиновых цепочек

Переход от классических интегрируемых систем к квантовым в рамках квантового метода обратной задачи [19, 35] можно рассматривать как переход от классических г—матриц (со спектральным параметром) г : С —> gln 0 gln: r12{ui - u2), Г1з(«1 - из)] + [пг(«1 ~ «г), ггз(«2 - «з)]+ ^

13(«1 - и3), Г23(и2 - «з)] = О, где r\2{u))ilk\jmn = ru\jm{u) • (Пз(«))й*|,'тп = • Slm f2z{u))ilk\jmn — ГЩтп{и) • Stf и (A <g> B)ikyi = -AijBw; к их квантовым аналогам - решениям квантового уравнения Янга-Бакстера: Ri2(ui-u2)Riz(ui-uz)R2z(u2-u3) = R2z(u2-uz)Riz{ui-uz)Ri2(ui-u2), (2) где Rij(u) обозначают матрицы построенные из R(u) тем же способом, которым гц{и) строились из г (к).

R—матрицы позволяют строить одномерные и двумерные решеточные модели, устанавливая соответствие решеточных моделей статистической механики моделям спиновых цепочек. С точки зрения статистической механики

2, 9,12], элементы R—матрицы задают веса узлов решетки - болъцмаиовские веса: где каждой строке и каждому столбцу в двумерной М х N решетке, вообще говоря, приписывается свой спектральный параметр. В случае однородной модели все спектральные параметры считаются одинаковыми. Однако, варьирование по спектральному параметру представляет самостоятельный интерес и позволяет вычислять гамильтонианы соответствующих спиновых цепочек [12].

Накладывая периодические граничные условия: можно выразить статистическую сумму модели Z через так-называемую трансфер-матрицу Т:

М + 1) = 1, (ЛГ + 1) = 1,

Z = trv®N(trvT)M, где ЬтуТ задает вклад отдельной строки узлов решетки: j 1 ]2 Зз 3N-2 jjv-l JN И

-1 задает оператор:

Т : V®N V®N ® V, след которого берется по вспомогательному пространству V: к мы опустили возможные спектральные параметры, подразумевая модель однородной.

Между трансфер-матрицами с разными спектральными параметрам выполняется следующее коммутационное соотношение [18]:

Я(щ - и2)(Т(щ) ® id)(id <g> Т(и2)) = (id <g> Т(и2)){Т(щ) ® id)i?(nj - и2), (3) где

Т(и) = RQN(u)BQjN-I(U) ■ • • Rqi(U); которое приводит к семейству коммутирующих операторов trF(T(Wl)),tr^(T(U2))] = 0.

С другой стороны, соотношение (3) можно рассматривать и в квантовом случае, как свойство квантовой матрицы монодромии:

Т(и) = LjV,a(u)LjV-l,aM ' ' ' L^a(u), где Ьща{и) (соответствует Ron(u)) матрицы размера (2s+l) х (2s+l) во вспомогательном пространстве V : dimF = 2s + 1 элементами которых являются операторы в гильбертовом пространстве % = V®N. Характерная особенность, общая для классических и квантовых интегрируемых систем, состоит в том, что у них бесконечно много коммутирующих "интегралов движения"или "законов сохранения": т, Нп] = О, где (J \ " Нп = const ( ^("l)|«2r1(w2); и т{и) = tracеу(Т(и)). Hi оказывается гамильтонианом квантовой интегрируемой модели (цепочки). Так возникает, например, гамильтониан для анизотропной модели Гейзенберга: hxyz = ^2(jx0nan+1 + -vw+i + j*«+i и его связь с восьмивершинной моделью, которую решил Р. Дж. Бакстер [3]. В восьмивершинной модели следующим узлам приписываются ненулевые веса выражающиеся через эллиптические функции: sn (A/i+/i) sn (fl) sn (A//) sn (M) fcsn (A/x) sn (Ац+ц) где sn(z) эллиптический синус Якоби: sn(*) dw J

Jo z] o y/(l-w2){l-k2w2) Эллиптическая квантовая R—матрица записывается в следующей форме

R(k, A, fi) = sn (Ац+ц) sn (р.) О о ksn (A/t) sn (A/x+/i)

Предельные случаи ц —> 0 и & 0 sn (Ад) sn (/i)

1 О 0 1 sn (Ад) sn(/u) О fcsn (A/i) sn О о sn (Аfi+ц) sa(fi)

О ведут к R—матрицам описывающим рациональные и тригонометрические шестивершинные модели. Таким образом, способы построения квантовых R—матриц приобретают особое значение в исследовании квантовой интегрируемсти.

§2. Классификация г—матриц со спектральным параметром

Знание классификации г—матриц со спектральным параметром [14, 44] значительно упрощает построение соответствующих квантовых R—матриц. Рассматривая классические г—матрицы, удобно ослабить зависимость от спектрального параметра и искать решения более общего уравнения: гп{иъи2), г13(щ, м3)] + [г12(щ, и2),г2ъ(и2, из)] + [r13{uh из), г2з(и2,и3)] = О, рассматривая г—матрицы с точностью до эквивалентности r(ui,u2) - (ст(щ) ® a(u2))(r(ui,u2)), где а(и) автоморфизм. В этом случае, когда д простая алгебра Ли и г(щ, и2) = £г-/(иь и2) щ, bi 6 fl, любая г—матрица со спектральным параметром принадлежит одному из следующих классов [9]:

• Эллиптические, когда 0 = sln+i: п+1 г(щ - щ) = — еЧ%кЫ - u2)X-*Z-k <g> j,k=1 где б = е^+т и <j)jk{u + ii) = e^jk(u), ф]к{и + ^2) = екф^к(и) единственные мероморфные функции с простыми полюсами в узлах решетки Z71+Z72 и вычетом 1 при и = 0.

10 0 0 б 0 б' о о

0 0 0 о о о х =

0 10 0 0 1

0 0 0 • • • о о

- - - - /

Тригонометрические, г(щ,и2) = ~щи2 ^ морфная функция и t тензорный оператор Казимира;

0 0 0 0 t r{ui,u2), г(щ,и2) голо

Рациональные, г(щ,и2) = r(ui,u2), г(щ,и2) полином ОТ U\ и ui — u2 и2 не выше первой степени по каждой из переменных;

Каждый из классов г—матриц может быть связан с соответствующими классическими и квантовыми моделями, для нас главный интерес представляют рациональные и тригонометрические г—матрицы, как объекты связанные с квантованием алгебры токов д[и] или алгебры петель $[и,и~1]. Тригонометрические г—матрицы могут быть получены из так-называемых универсальных матриц определенных для q—деформаций универсальных обертывающих алгебр - аффинных алгебр Каца-Муди.

§3. Универсальные И—матрицы

Квантовые R—матрицы для классических тригонометрических i—матриц естественно связывать с некоторым универсальным объектом (Н, 7V) - квазитреугольной алгеброй Хопфа, порождающей матричные решения (2) после ограничения элемента 71 6 Н <8> Н на конкретное представление (д[и,и~г], алгебры петель it-1] :

Алгебры Хопфа представляют и самостоятельный интерес, не связанный с существованием универсального элемента 7Z, играя роль аналогичную группам классических симметрий в некоммутативной геометрии. Например, Янгиан Y(s\n) - квантовая алгебра, коммутационные соотношения которой получаются из (3) при V

R(ui - и2) = 1 0 1 + h-, ui — u2 где V матрица задающая оператор перестановки в Сп <8>СП, не обладает универсальным элементом И.

По определению, алгебра Хопфа (не обязательно квазитреугольная):

Я, /1, т/, А, е, S)

- это линейное пространство обладающее:

1) Структурой алгебры (if,/х, 77), где /х : Н 0 Н Н обозначает оператор умножения и г]: С —> Н оператор вложения единицы. Операторы /х и 77 позволяют записать определение ассоциативной алгебры с единицей как операторные соотношения между // и 77: х о (fi<S> id) = /х о (id <g> /х), /х о (77 <g> id) = /х о (id <g> 77) = /x;

2) Структурой коалгебры (H, А, б), где А : Н —> Н <S> Н оператор коумно-жения и б : Н —У (С оператор коединицы, которые, по определению, удовлетворяют свойствам:

A <g> id) о Д = (id ®Д)оД, (е ® id) о Д = (id (2) е) о Д = id;

3) Следующее свойство согласования выполняется:

А о /х = (id <8) г (g) id) о (/2 ® /i) о Д, где т(а <g> 6) = 6 ® а.

4) Существует такой линейный оператор S : Н ^ Н, что: fi о (S <g> id) о А = ц о (id О 5) о Д = 77 о е.

Если не требовать выполнение свойства (4), то Н называется биалгеброй.

Замечательное свойство алгебр Хопфа заключается в том, что двойственное пространство также является алгеброй Хопфа [9], где двойственные операторы определяются следующими равенствами на функционалах из Н*: A*(f®g) = (f®g) о А, е*(1) = б,

А/) = /°Ai, ?*(/) = /017,

S*f = foS.

Квазитреугольность связана с существованием специального элемента

КеН®Н подчинящегося ряду условий, гарантирующих выполнение уравнения Янга-Бакстера (универсального) записываемого как равенство в Н <g> Н <g> Н: nl2nlzn2z = П23П13П12, (4) где К = Zi ® Hf] и

12 = Е< ® к\2) <g> 1, тг13 = Ег ® 1 ® тг23 = Ei 1 ® ® я{2).

По определению, квазитреуголъпая алгебра Хопфа - это почти кокоммута-тивная алгебра г о А(х) = ПА(х)П~1, (5) такая что

А ® id) (Я) = (id ® А)(7г) = П13К12; (6)

Из (5) и (6) автоматически следует (4).

Элементарным примером квазитреугольной алгебры Хопфа является универсальная обертывающая (U(q), % = 1 <8> 1), где

А(х) = ж<8>1 + 1®я, S(x) = -х, е(х) = О если х G 0. Отображения А, б, S могут быть продолжены на все элементы U(q) из требования чтобы Д,е были гомоморфизмами в соответствующие алгебры и S антигомоморфизмом:

S(xy) = S(y)S(x), 5(1) = 1.

Теперь можно ввести понятие твиста как элемента удовлетворяющего условиям:

F12(A®id)(F) = JF23(id<8) (7) e ® id) (J7) = (id®e)(f) = l. (8)

Твисты позволяют строить новые квазитреугольные алгебры Хопфа:

Н, ц, г], Ad.77 о Д, е, Sj?), где Sj?{x) = vS(x)v~\ v = /i о (id <g> S)(F).

§4. г—матрицы, треугольные твисты и *—умножение

Классические г—матрицы без спектрального параметра г = ^ <8) г-2-1 i являются решениями классического уравнения Янга-Бакстера: г, г]] = [Г12, Пз] + [Г12, г23] + [пз, Г2з] = О, где

Г12, Пз] = X>f}, ® ^ ® ^ [П2, г23] = £ rf) (8) [r<2), rf] (2) rf, i,j hi

Г13, r23] = x; rf} о rj15 <g) [rf}, rf >].

Задание структуры Пуассона-Ли на группе G приводит к появлению дополнительной операции - коскобки на алгебре Ли 0 = Lie (С?) :

5 : 0 -»> qAQ, билинейного функционала на двойственном пространстве 0*, определяемого равенством: 6(Х), & ® £2 >=< X, (d{fU /2})е >,

11

ГДе (dfi)e =

Из свойств скобки Пуассона {•, •} следует, что двойственное пространство д* является алгеброй Ли относительно скобки Ki,6]fl. = (d{f1,f2})e.

В частном случае, когда 0 полупростая алгебра Ли, 6 является кограничным оператором:

6(Х) = [Х<8>1 + 1 ® X, г] = rf}] ® rf} + rf] <g> [X, rf}]). i

Справедливость тождества Якоби для <5* записывается как условие на S : 0, (9) с.р где с.р обозначает циклическую перестановку. Непосредственным вычислением для = [X <8) 1 + 1 <g> X, г] убеждаемся что (9) эквивалентно свойству:

8 ® id) о <5(Х) + [X<g>l®l + l<g>X<8>l + l<8>l<8>X, [[г,г]]] = 0. с.р

Из антисимметрии коскобки, которая отражает соответствующее свойство скобки Пуассона, следует инвариантность симметричной части г :

X® l + l®X,r + r2i] = 0.

Поэтому, только антисимметричная часть г оказывает влияние на кострукту-РУ Естественно считать г—матрицы антисимметричными и выделить следующие два случая:

1) Так-называемые модифицированные г—матрицы удовлетворяющие свойству:

М] е (л30)" \ ОТ, (ю) где (Л3д)0 обозначает пространство инвариантных полностью антисимметричных тензоров:

X<g>l<g>l + l®X(g)l-t-l<g>l<g>X, Л30] = 0

2) Антисимметричные j—матрицы:

Ml = o. и)

Пусть д - простая алгебра Ли, тогда первое семейство кограничных коскобок можно связать с неантисимметричными решениями классического уравнения Янга-Бакстера, если мы заметим, что в случае простой алгебры Ли и тензорного оператора Казимира t: *]] е (Д30)0, dim(A30)0 = 1 можно сделать соответствующий сдвиг г = A t + г так что [[г, г']] = 0. Таким образом, с точностью до умножения на константу г—матрицы соответствуют двум классам:

1) Неантисимметричные г—матрицы:

П2 + г21 = t, [[г, г]] = 0.

2) Антисимметричные г—матрицы:

Г21 = -П2, [[г, г]] = 0.

В первом случае может быть получена полная классификация г—матриц согласно [4, 5]. Классификация основана на понятии тройки Белавина-Дрин-фельда: (Г1,Г2,т), где Г^Гг подмножества диаграммы Дынкина алгебры Ли q между которыми существует т изометрия, которая подчиняется условию нильпотентности: тк{а) Гх для любого корня a G Ti и некоторого к. Пусть будет картановская часть тензорного оператора Казимира t, тогда справедливо следующее:

Теорема 0.1 (Белавин-Дринфельд). Пусть to € 1)<8> \) решает систему: tf + t$ = tQ, (т(а)<8>1 + 1®а)(*0) = 0, аеТь (12) тогда тензор а>0 а,/?>0,а>-/? является неантисимметричной i—матрицей. Более того, всякая неантисимметричная г—матрица имеет вышеприведенную форму, для подходящего треугольного разложения g и подходящей замены базиса {Ха}.

Антисимметричные г—матрицы не могут быть так эффективно классифицированы, их классификация сводится к классификации так-называемых квазифробениусовых подалгебр Ли в 0 :

Определение 0.1. Квазифробениусова подалгебра Ли f С 0 - это подалгебра Ли f с невырожденной антисимметричной 2—формой В, такой что:

В{[х, y],z) + В ([у, z],x) + B([z, х], у) = 0;

Подалгебра f называется фробениусовой подалгеброй Ли, если существует линейный функционал / : В(х, у) = f([x, г/]).

Рассматривая В как линейный оператор:

В\х))(у) = В{х,у), можно показать что г = Yhifi ® С^*)1(/г*) является решением (11). Согласно результату Дринфельду [15], всякая антисимметричная г—матрица может быть непосредственно связана с некоторым бидифференциальным оператором позволяющему деформировать умножение в С°°(Л4), алгебре функций на пуассоновом многообразии на котором определено действие [/(f). Новое *—умножение согласовано с пуассоновой структурой в следующем смысле: у h *пh ~ /2 /1 г, гЛ

Ьт-г-= {/i,/2}, п где /1*А/2 = E,(№(V > fMi^r1 > /2) и Т = Ei В случае когда М = G, согласно [15], можно построить такие твисты в U(g)[[h]], что: где г—матрица соответствует S : 5(х) = [х ® 1 + 1 <g> х, г].

Простейшая иллюстрация связи *—умножения и деформации при помощи твистов, может быть дана на примере умножения Мояла, когда соответствующий твист может быть найден явно. Явная формы твиста позволяет вычислить *—умножение и применить его для построения некоммутативных теорий поля, это одна из мотиваций для поиска более сложных решений уравнения Дринфельда (7). Для этого мы рассмотрим квантование Вейля и простейший случай когда Л4 = Ж2 и скобка Пуассона дается своим обычным выражением

Переход к квантовой механике осуществляется путем представления наблюдаемых алгеброй эрмитовых операторов в гильбертовом пространстве так чтобы канонические коммутационные соотношения в пуассоновой алгебре были согласованы с коммутацией операторов:

Задавшись (13) мы можем построить представление трехмерной алгебры Гейзен-берга-Ли:

ХЪ Х2, а), (уЪ у2, 6)] = (О, О, Х\У2 - х2у\) при помощи отображения ф(х\, х2, а) = х\ • Р -f Х2 • Q — гНа •

От алгебры Гейзенберга-Ли можно перейти к соответствующей группе Ли, где закон умножения определяется как

JF=l<g)l -\hr-\---i,/a} = dhdf2dhdh dp dq dp dq

P, Q] = -ih idw.

13) p((x 1, x2, a), (г/i, y2, b)) = (xi + yh x2 + y2, a + b + xiy2), и от представления ф к представлению Ф группы Гейзенберга в гильбертовом пространстве %. Квантование Вейля сопоставляет каждой функции f(p,q) оператор построенный следующим образом:

Ф(/) = ff /К, ^)Ф(ехр(г Z'P + irj-Q)) d^dr), где 2

К> v) = (jf^J J J Я?» я) ехр(-г Z-p-irj-q) dpdq и

Ф(ехр(г £-P + irj-Q)) = ехр irj, 0)).

Дж. Моял [39] интерпретировал процедуру квантования Вейля как деформацию умножения в С°°(М2) удовлетворяющую свойству:

Ф(/1*/2) = Ф(Л)-Ф(/2), (И) где правая часть задается выражением х ехр(г & • Р + i Щ- Q) d^idrjid&d^. Используя формулу Бейкера-Кемпбелла-Хаусдорфа: exp(Xi) ехр(Х2) = ехр№ + Х2 + 1[ХЬ Х2]), приходим к

IIIУ^ ^OAfe,*72) exp(z^ (а»72 — €2T7I)/2)Х

X ехр(г £ • Р + г 77 • Q) dZxd'qxd&d^, где £ = + £2, 7? = Т/i + »?2.

Ч /Ч

1(6, шШб, т) ехр(г'Й (6^/2 - 6ш)/2) = (fУ" - €ьч - ч.), где

Сравнивая подынтегральные выражения в обеих частях (14), получаем явное выражение для *—умножения: где бидифференциальный оператор Т соответствует абелевому твисту [41]. §5. Содержание диссертации

В данной диссертации рассматривается проблема построения (квантовых) твистов и их квазиклассических аналогов в пределе q —» 1, когда в качестве квантовой алгебры Хопфа Н берется квантование алгебры петель sl„[u]. Среди возможных квантований такие известные квантовые алгебры как Ян-гиан Y(sln) и Uq{sln), имеющие непосредственное отношение к квантовым интегрируемым моделям. Кроме того, всякий твист Т в U(q) определен и для Y{#) D U(q) и ведет к деформированным Янгианам У-р(б) [28, 36].

Квантовые твисты также позволяют лучше понять квантование антисимметричных г—матриц и построить соответствующие твисты Дринфельда, которые получаются в пределе g —> 1 из квантовых, в явной форме. Таким способом нам удалось построить некоторые из обобщенных жордановых х

Если ввести бидифференциальный оператор то *—умножение может быть записано как fi *h /з)(р, я) = I* (F > (/i ® h)) (р, я), г—матриц типа Креммера-Жерве, которые явно задаются в базисе Картана-Вейля формулой п-1 j-i-l

Гр = Dp А Ерф+1 + X/ Eij-m+\ a Ejj+m, (15) р= 1 i<j 771=1 где

-Dp = --{Ец + #22 Ч-----h -Ерр) ~~ ~(#р+1,р+1 + #р+2,р+2 Ч-----Епп). ть ть

Известно, что некоторые антисимметричные г—матрицы могут быть связаны с вырождением модифицированных г—матриц, решений так называемого модифицированного уравнения Янга-Бакстера:

П2, Пз] + [Г12, Г2з] + [ПЗ, г2з] = с ш, (16) где ш есть д—инвариантный элемент bqAqAquc^O. Для этого, следуя [21], необходимо подействовать на обе части (16) оператором Ad(exp(£r) <g> ехр(£ж) <g) ехр(£ж)) (выбирая х ad—нильпотентным), и заметить, что в силу произвольности rm возникающее из

Adexp(fa?)(r) = г + £ п + • • • £тгш, будет решением обыкновенного уравнения Янга-Бакстера.

Эту связь между различными классами г—матриц можно проследить на уровне соответствующих квантовых твистов. А именно, квазиклассические твисты можно рассматривать как предельные случаи квантовых когда q —> 1. В Главе 1 мы рассматриваем случай жордановых твистов и их q—аналогов, мы показываем, что q—аналоги могут быть естественно определены для жордановых твистов сконструированных в [22, 32] и являются кограничными твистами, то есть представимыми в форме:

W ®W)A{W~1). 18

Также мы обсуждаем вычисление предела q —> 1 и его корректное определение.

Одной из мотиваций для изучения квантовых твистов было то, что многие вычислительные проблемы встречающиеся при построении твистов [32], такие как необходимость каждый раз анализировать возникающие деформированные коумножения и использовать формулу Кемпбелла-Хаусдорфа для непосредственной проверки (7), могут быть разрешены, когда мы работаем с квантовыми алгебрами вроде вместо классических. Таким образом, квантовые твисты - это источник универсальных деформационных формул в терминологии [22].

R—матрицы и твисты могут рассматриваться с точки зрения некоммутативной геометрии. Так с матричными решениями уравнения Янга-Бакстера можно связать соответствующие пространства ковариантные относительно кодействия квантовой группы [23]. В связи с тем, что некоммутативная геометрия является также самостоятельным источником твистов в Главе 1 мы также рассматриваем вопрос о приложении q—твистов к построению q—аналога твиста встречающегося в некоммутативной геометрии А. Конна [7], который тесно связан со скобками Ранкина-Коэна для модулярных форм веса к и I. Напомним что модулярная форма веса к преобразуется под действием модулярной группы дискретной группы дробно-линейных преобразований, следующим образом: о g)(z) = } (Щ*) = (cz + dff(z), где g = 6 PSX2(Z).

Скобки Ранкина-Коэна могут быть получены из PSLzib)—инвариантных псевдодифференциальных операторов. Так, согласно [10], каждой модулярной форме / веса 2к G Z+, можно поставить в соответствие инвариантный псевдодифференциальный оператор: оо (-к-1) £ Лк{ Jfin)dk~n, ( = (-1 )Щк + 1 ).(* + !- 1)//!; п=0 Vя/ то есть такой что выполняется свойство

ZLft(/) = £>*(/) о д.

Умножение псевдодифференциальных операторов определяет семейство билинейных операций на множестве модулярных форм веса 2к и 21: ь/2)-*Лп согласно равенству

00

Z>fc(/l)Z>,(/2) = п=0 и hn модулярная форма веса 2& + 2/ + 2п. Модулярные формы hn пропорциональны скобкам Ранкина-Коэна:

Л0.(/, Я) S [Л,Г>:= £ (-ir(" + 2sfc" ("^'^W'r+s—n ^ ' ^ '

Можно связать скобки Ранкина-Коэна с универсальной деформационной формулой [22] для жорданова твиста Tqz'n>0 ' к=о (iа)к := а(а 4-1) • • • (а + & — 1); заданного на классической подалгебре Бореля:

У, X] = X, А(Х) = X ® 1 + 1 <g> X, Д(У) = У®1 + 1<8>У.

Известно,[7], что подалгебра Бореля действует на пространстве модулярных форм при помощи следующих операторов: где / имеет вес к и A(z) = (2тг)12т?24й = (2тг)12д EKLiC1 ~ Л24, Я. = е2™. Тогда относительно этого действия мы имеем: п

RCn(f1, /2) := ЕМ)* (fc) + + n - k)k(f2). к=О

Следующее умножение ассоциативно на множестве модулярных форм: М = YIi>qMi, где М.1 пространство модулярных форм веса I: a*tb = ^2tnRCn(a,b). п

В качестве бесконечномерного обобщения алгебры Бореля Ь2 в некоммутативной геометрии возникает следующая алгебра Хопфа обозначаемая %\ :

Y,Xl=X, [Y,6n] = n6n, [Х,5п] = 5п+Ъ = k,l> 1.

Д(У) = У®1 + 1®У, Д(й) = Si <8> 1 + 1 ®

18)

Д(Х) = Я" ® 1 +1 <8> X + й <g> Г; Если на алгебре Л определено действие Hi такое, что элемент 6'2 = 62 — действует внутренним образом:

6'2(а) = [П,а] и

4, П] = 0; тогда, согласно [7], следующее выражение задает универсальную деформационную формулу вводящую новое умножение на Л: лп п

RC = -ID-1 )k(l)Ak(2Y + k)n-k®Bn-k(2Y + n-k)k, п>0 П' к=0

Лт+1 = S(X)Am - mQR(Y -Вт+1 = ХВт — m£l(Y — т~)Вт-1, где Од оператор правого умножения на Q.

21

В частном случае когда Q централен в А, например когда = ^52, мы получаем элемент Тем-, который как было показано в [7] является твистом :

Тем = £'"£ + в + п~к)к (1Э) п> О к=0 ' ^ >' где S{X) = -Х + SiY.

Как приложение квантового жорданового твиста, мы показываем, что существует гомоморфизм: i-.Ux-* ^(sWIM], где Т является жордановым твистом, t позволяет связать Тем с квазиклассическом твистом Ф в U^(sis)[[t]\. Квантование позволяет ввести квантовый аналог iq, который приводит к квантовой алгебре являющейся q—аналогом для когда 8'2 = 0. Соответствующие q—соотношения имеют форму: кхк~х = q2 х, kzk~l = q2 z, q2xz — zx = —tz2; ^0)

A(k) = k0k, A(z) = z® k + 1 <g>£; (21) fc-i1)

Д(ж) = x®k~l + l®x + t z® --(22)

1 — ql

В Главе 2 рассматривается построение аффинных твистов, и приложение к построению аффинных версий твистов типа Креммера-Жерве в случае

А А «

Uq{s\2) и Uq(si3), которые мы обозначаем как затем исследуется рациональное вырождение, так-называемый янгианный предел в смысле [27, 45] и строится квантование (15) для si3 и SI4. Для этого мы конструируем гомоморфизмы t2,3 такие, что (t2,3 ® твист для С/Фз-4 (в[3,4), где Ф3)4 расширенный жорданов твист для U{s\3) или U(sU). Окончательно, квантование гр определяется следующей формулой:

Заключение

Квантование квазиклассических твистов, определяющих универсальные 71— матрицы для расширенных жордановых и параболических г—матриц, может рассматриваться как продолжение на случай твистов связи, наблюдаемой между антисимметричными и модифицированными г—матрицами посредством контракции. Так во Введении §5 отмечалось, что обобщенные жор-дановы г—матрицы получаются при помощи контракции из модифицированных г—матриц типа Крем-мера-Жерве: f XJ Л ез* ) + ( ~ + ~ л езз ) +2 ( Y1 Л еы+т i<j / \ i<j / \i<j т=1

С другой стороны, исследуя квантование г—матриц Креммера-Жерве можно сконструировать непосредственно твист jfcg3 определяющий универсальную 7Z—мат-рицу, соответствующую следующему матричному решению уравнения Янга-Бакстера [24, 34]:

Rcg = Rdj + (Р - 1) (Ец ® Е22 + Е22 <g> £33)+

Цр-1 - 1) (Е22 <g> Еи + Е33 ® Е22) + (p2/q - 1) Ец ® #33+ + (q/p2 - 1) Е33 ® Ец + qv (Е32 ® Еи - p2/q2 Еи ® Е32), где rdj = Eii ® Eii + £Eii ® En + (9 - £^ii ® Eji. г i^j i<j

Тогда на уровне твистов для Uq(sl$) существует связь: enJORD == № ® И^ОД Д^"1), ГДе ^GenJORD такой чт0:

GenJORD) = и J-"p задает параболический твист из [38]. Заметим, что при таком подходе аффинизация при помощи элемента не была использована, и элемент W3 конструируется ad hoc. Для построения Т^ нам с самого начала необходимо знать выражение для TcGzi что в высших размерностях представляет большую трудность. Использование элемента и неаффинного Tcg% — в Утверждении 10, позволило избежать непосредственного построения твиста fcga и привело естественным образом к его аффиннизированому варианту Ф, благодаря возможности вложить твист Креммера-Жерве из Uq(si4) в Uq(si3). Можно предположить, что в дальнейшем, найдя о>4 € можно продолжить этот индуктивный процесс и от возникшего аффинноч го твиста Креммера-Жерве в Uq{sl$) перейти к неаффинному в Uq(sU) и, вложив его тождественно в Uq{sU), построить аффинный твист Креммера-Жерве используя CJ4, который предположительно должен оказаться вложением неаффинного твиста Креммера-Жерве из Uq($l5) и так далее. Таким способом мы сможем сконструировать индуктивно все твисты Креммера-Жерве в высших размерностях при условии, если мы располагаем выражениями для шп, параллельно мы должны также получать Хотя мы проследили эти закономерности вплоть до зЦ, мы надеемся получить явные формулы для всех ип в дальнеших публикациях. При построении квантовых твистов мы исходили из квантования Дринфельда-Джимбо Uq(g), даже пример квантования алгебры Конна-Московичи %'lq приводит к подалгебре Хопфа в Uq(o). %'iq можно рассмотривать и как подалгебру в q—квантовании Янгиана [45], поэтому естественно задаться вопросом какие типы алгебр Хопфа можно использовать для получения новых твистов для классических универсальных обертывающих алгебр предельным переходом их сооветствующих квантовых алгебр и твистов для них.

Чтобы дать наглядную иллюстрацию, рассмотрим абелеву алгебру Хопфа U(M2) :

В, Е] = О, А(В) = В®1 + 1®В, А(Е) = Е®1 + 1®Е.

Элемент Т = ехр(А А®Е) задает абелев твист, который некограничный. Однако, мы можем подобрать такое расширение C/(R2), что Т может быть получен предельным переходом из некоторого кограничного твиста Т в U(М2). Положим 1Ц5?) := U(R2) ф {А}, где

А, В] = [А,Е] = О, А(А) = A®l + l®A+(q-l)B®E.

Тогда

F={W® W)A(W~1) = ехр(А А ® Е), W — ехр(--А). Q

Кроме того, интересно рассматривать и другие алгебры (не обязательно алгебры Хопфа) с целью реконструкции твистов из их алгебраической структуры

13].

Подводя итог, основные результаты полученные в работе могут быть сформулированы следующим образом:

1. Получены квантовые аналоги жордановых твистов для серий простых неисключительных алгебр Ли. Исследован переход к пределу в случае q

1 в алгебрах вида С/д (б) [[£]]. Сконструирован q—аналог для твиста Конна-Московичи и соответствующая q—алгебра

2. Разработан метод построения аффинных твистов при помощи "о;—аффини-зации", метод применен к конструированию аффинных версий твистов Крем-мера-Жерве для Uq(si2,3).

3. Исследовано рациональное вырождение полученных аффинных твистов и продемонстрирована их связь с обобщенными жордановыми г—матрицами типа Креммера-Жерве.

1. Ананикян Д.Н., Кулиш, П.П. и Ляховский, В.Д.: Цепи твистов для симплектических алгебр Ли, Алгебра и Анализ, 14 (2002), 27-54, math. QA/0010312.

2. Белавин, А.А., Кулаков, А. Г. и Усманов, Р.А., Лекции по теоретической физике, МЦНМО, Москва, 2001.

3. Baxter, R.J., Exactly Solved Models in Statistical Mechanics, Academic Press, New York, 1982.

4. Belavin, A.A. and Drinfeld, V.G., Solutions of the Classical Yang-Baxter Equation, Funct. Analysis and its Appl. 16 (1982), 159-180.

5. Belavin, A.A. and Drinfeld, V.G., Triangle Equation and Simple Lie Algebras, Soviet Scientific Reviews, C4 (1984), 93-165.

6. Bonneau, P., Gerstenhaber, M., Giaquinto, A. and Sternheimer, D.: Quantum groups and deformation quantization: Explicit approaches and implicit aspects, J. Math. Phys. 45 (2004), 3703.

7. Connes, A. and Moscovici, H.: Rankin-Cohen Brackets and the Hopf Algebra of Transverse Geometry, Московский Математический Журнал: 4(1) (2004), math.QA/0304316.

8. Chaichian, M., Kulish, P.P. and Damaskinsky, E.V.: Dynamical systems related to the Cremmer-Gervais R—matrix, Tcor. Mat. Fiz, 116(3) (1998), 101-112, q-alg/9712016.

9. Chari, V. and Pressley, A.: A Guide to Quantum Groups, Cambridge University Press, 1994.

10. Cohen, P., Manin, Y. and Zagier, D.: Automorphic pseudodifferential operators. In Algebraic aspects of integrable systems, 17-47, Progr. Nonlinear Differential Equations Appl. 26, Birkhauser Boston, Boston, MA, 1997.

11. Cremmer, E. and Gervais, J. -L.: The quantum group structure associated with non-linearly extended Virasoro algebras, Comm. Math. Phys. 134 (1990), 619-632.

12. Джимбо, M. и Мива: Алгебраический анализ точно решаемых решеточных моделей, Регулярная и хаотическая динамика, 2000.

13. Damaskinsky, E.V., Kulish, P.P. and Stolin, A.A.: On construction of universal twist element from Я-matrix, ZNS POMI 291, 228-244 (2002), math. QA/0307306.

14. Drinfeld, V.G.: Quantum groups, Proceedings ICM (Berkeley 1986) 1 (1987), AMS 798-820.

15. Drinfeld, V.G., On constant quasiclassical solutions of the Yang-Baxter quantum equation, Soviet Math. Dokl. 28 (1983), 667-671.

16. Jimbo, M.: A q—difference analogue of U($)and the Yang-Baxter equation, Lett. Math. Phys. 10, 63-69, (1985).

17. Endelman, R. and Hodges, Т.: Generalized Jordanian R—matrices of Cremmer-Gervais type, Lett. Math. Phys. 52(3) (2000), 225-237, math. QA/0003066.

18. Фаддеев, Л.Д., Решетихин, H. Ю. и Тахтаджян, Л. А.: Квантование групп Ли и алгебр Ли, Алгебра и анализ, 1 (1989), 178-206.

19. Faddeev, L.D.: Algebraic aspects of the Bethe Ansatz, Int. J. Mod. Phys. A10 (13) (1995), 1845-1978, hep-th/9404013.

20. Faddeev, L.D. and Kashaev, R.M.: Quantum dilogarithm, Modern Phys. Lett. A 9 (1994), 427-434, hep-th/9310070.

21. Gerstenhaber, M. and Giaquinto, A.: Boundary solutions of the classical Yang-Baxter equation, Lett. Math. Phys. 40(4) (1997) 337-353, math.QA/9609014.

22. Giaquinto, A. and Zhang, J.: Bialgebra actions, twists, and universal deformation formulas, Journal of Pure and Applied Algebra 128(4) (1998), 133-151, hep-th/9411140.

23. Isaev, A.P.: The R—matrix approach to differential calculus on quantum groups, Физика элементарных частиц и атомного ядра, 28(3) (1997), 685752.

24. Isaev, А.Р. and Ogievetsky, O.V.: On Quantization of r—Matrices for Belavin-Drinfeld Triples, Physics of Atomic Nuclei 64(12) (2001), 2126-2130, math. QA/0010190.

25. Кас, V. and Cheung, P.: Quantum calculus, Springer, Berlin, 2002.

26. Кассель, К., Квантовые группы, ФАЗИС, Москва, 1999.

27. Khoroshkin, S.M., Stolin, A.A. and Tolstoy, V.N.: g-Power function over g-commuting variables and deformed XXX XXZ chains, Physics of Atomic Nuclei 64(12) (2001), math.QA/0012207.

28. Khoroshkin, S.M., Stolin, A.A. and Tolstoy, V.N.: Deformation of the Yangian Y(sl2), Commun. Alg. 26(3) (1998), 1041-1055, q-alg/9511005.

29. Khoroshkin, S.M. and Tolstoy, V.N.: Universal R—matrix for quantized (super)algebras, Commun. Math. Phys. 141(3) (1991), 599-617.

30. Khoroshkin, S.M. and Tolstoy, V.N.: The Uniqueness Theorem for the universal Я-matrix, Lett. Math. Phys., 24 (1992), 231-244.

31. Korogodski, L. and Soibelman, Y.: Algebras of functions on quantum groups, Providence, R.I.: AMS, 1998.

32. Kulish, P.P., Lyakhovsky, V.D. and Mudrov, A.I.: Extended jordanian twist for Lie algebras, Journ. Math. Phys. 40 (1999), 4569-4586, math.QA/9806014.

33. Kulish, P.P., Lyakhovsky, V.D. and Stolin, A.A.: Chains of Frobenius subalgebras of so(M) and the corresponding twists, J. Math. Phys. 42, 5006 (2001), math.QA/0010147.

34. Kulish, P.P. and Mudrov, A.I.: Universal R—matrix for esoteric quantum group, Lett. Math. Phys. 47(2)(1999), 139-148, math.QA/9804006.

35. Kulish, P.P. and Sklyanin, E.K., Lect. Notes. Phys., 151(61) (1982).

36. Kulish, P.P. and Stolin, A.A.: Deformed Yangians and Integrable Models, PDMI-9/97, May, 1997, St.Petersburg, q-alg/9708024.

37. Lyakhovsky, V., Mirolubov, A. and del Olmo, M.: Quantum Jordanian twist, Journ. Phys., A: Math. Gen., 34 (2001), 1467-1475, math.QA/0010198.

38. Lyakhovsky, V.D. and Samsonov, M.E.: Elementary parabolic twist, Journal of Algebra and Its Applications, 1(4) (2002), 413-424, math.QA/0107034.

39. Moyal, J. E., Quantum mechanics as a statistical theory, Proc. Camb. Phil. Soc. 45 (1949), 99-124.

40. Ogievetsky, O.V.: Hopf structures on the Borel subalgebra of sl(2), Rendiconti Cir. Math. Palermo Suppl. 37(2) (1994) 185-199.

41. Reshetikhin, N.Yu.: Multiparameter quantum groups and twisted quasitriangular Hopf algebras, Lett. Math. Phys. 20 (1990) 331-335.

42. Samsonov, M. E.: Semi-Classical Twists for and si4 Boundary r—matrices of Cremmer-Gervais Type, Lett. Math. Phys. 72(3) (2005), 197-210, math. QA/0501369.

43. Samsonov, M.E.: Quantization of semi-classical twists and noncommutative geometry, Lett Math. Phys. 75(1) (2006), 63-77, math.QA/0309311.

44. Stolin, A.A.: On rational solutions of Yang-Baxter equation for sl(n), Math. Scand. 69(1) (1991), 57-80.

45. Tolstoy, V.N.: From quantum affine Kac-Moody algebra to Drinfeldians and Yangians. Kac-Moody Lie algebras and related topics, 349-370, Contemp. Math., 343 (2004), AMS, Providence, RI, math.QA/0212370.

46. Tolstoy, V.N.: Extremal projectors for contragredient Lie algebras and superalgebras of finite growth, Usp. Math. Nauk, 44, 211-212 (1989).