Распространение света в слоистых анизотропных средах с крупномасштабной неоднородностью тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

на правах пукописи

4847902

КРЮКОВ Евгений Васильевич

РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА В СЛОИСТЫХ АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ С КРУПНОМАСШТАБНОЙ НЕОДНОРОДНОСТЬЮ

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 6 МАЙ 2011

Санкт-Петербург - 2011

4847902

Работа выполнена на кафедре статистической физики физического факультета Санкт-Петербургского государственного университета

Научный руководитель: д. ф.-м. н., проф. РОМАНОВ Вадим Петрович

Официальные оппоненты:

д. ф.-м. н., проф., СПбГУ ИТМО ПОПОВ Игорь Юрьевич

д. ф.-м. н., проф., ФТИ им. А. Ф. Иоффе РАН ЭЙДЕЛЬМАН Евгений Давидович

Ведущая организация:

Институт проблем машиноведения Российской Академии Наук

Защита состоится " ^ " _ 2011 г. в__(А._ часов

на заседании совета Д 212.232.24 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: Санкт-Петербург, Средний пр., д. 41/43, ауд. 205.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета.

Автореферат разослан " " - 2011 г.

диссертационного совета

Ученый секретарь

Щекин А.К.

Актуальность работы В последние годы большое внимание уделяется исследованию распространения волн в анизотропных средах со сложной плавиоменяющей-ся структурой. Особенно широкий круг задач возникает при анализе оптических свойств разнообразных жидкокристаллических соединений. Повышенный интерес к жидким кристаллам связан с их многочисленными применениями в оптических устройствах отображения информации, в медицинской диагностике, системах записи, хранешш и передачи информации. Такие широкие возможности жидких кристаллов обусловлены, прежде всего, их повышенной чувствительностью к слабым внешним воздействиям, в особенности к электрическим полям. Особенно широко применяются жидкие кристаллы с пространственно неоднородной оптической структурой:, такие как холестернческне жидкие кристаллы и сегнетоэлектрпческие смектпкп С*. Теоретически распространение света в жидких кристаллах с плавной слоистой структурой исследуется давно в основном с помощью методов, использующие подходы геометрической оптики. Однако при разработке более совершенных устройств на жидких кристаллах возникают задачи физической оптики, которые требуют выхода за рамки геометрооптического подхода. К таким проблемам относятся анализ распространения света в окрестности точек поворота и внутри запрещенных зон, описание эффекта просачивания волн и трансформации мод. С точки зрения общей теории волн эти эффекты исследовались достаточно подробно. Однако к слоистым жидким кристаллам развитая техника в полпом объеме не применялась. С другой стороны решение этих проблем представляет как самостоятельный интерес с точки зрения теории распространения волн в анизотропных средах, так: п является важным в прикладных задачах как теоретическая база при разработке разнообразных оптических систем на жидких кристаллах с заданными свойствами.

Цель работы

Целью диссертационной работы является изучение оптических свойств

слоистых анизотропных сред с плавноменяющейся структурой. Работа включает в себя последовательное описание эффектов связанных с точками поворота, наличие которых приводит к появлению запрещенных зон, трансформации мод, эффектам просачивания и надбарьерного отражения. В качестве конкретного приложения подробно исследуются такие эффекты в холестерических жидких кристаллах и в твист-ячейках, находящихся во внешнем электрическом поле.

Научная новизна работы В диссертации впервые получены следующие результаты:

1. Предложен новый подход к анализу особенностей распространения света в слоистой анизотропной среде с плавным изменением направления оптической осн.

2. Рассчитано поле световой волны в геликоидальном жидком кристалле с учетом особенностей распространения света в окрестности точек поворота п внутри запрещенных зон.

3. Предсказан эффект просачивания лучей через запрещенные зоны в геликоидальных жидких кристаллах и рассчитаны коэффициенты прохождения для случаев широкой, узкой и нулевой запрещенной зоны. Предложен эксперимент для определения коэффициента просачивания лучей в твист-ячейках жидкого кристалла, в котором получено подтверждение предсказанных теоретических зависимостей для коэффициента просачнваппя.

4. Исследовано влияние внешнего электрического поля на эффект просачивания в твист-ячейке жидкого кристалла. Рассчитана зависимость предельпого угла от величины поля, подтвержденная экспериментально.

5. Предложен метод послойного оптического сканирования для определения профилей ориентации директора в твнет-ячейке жидкого кристалла, находящейся во внешнем электрическом поле.

Теоретическая Ii практическая ценность Развитый теоретический метод анализа особенностей распространения света в слоистой анизотропной среде с плавным изменением оптической оси позволяет анализировать оптические свойства разнообразных систем без сложных аналитических расчетов. Такой метод может применяться не только в случае электромагнитных волн, но и для волн другой природы.

С прикладной точки зрения разработанный метод может найти применение для анализа особенностей, возникающих при прохождении света через твист-ячейки жидких кристаллов, ввиду активного использования таких ячеек в системах отображения информации. Метод может быть полезен для задач проектирования жидкокристаллических ячеек с заданными свойствами.

Метод послойного оптического сканирования твпст-ячеек жидких кристаллов, находящихся во внешнем поле, важен при исследовании распределения вектора директора в ячейке. Такой метод может быть полезен для анализа внутренней структуры жидкого кристалла, а также для исследования кинетики переориентации в киральных жидких кристаллах.

Достоверность результатов обоснована тем, что все расчеты проведены с использованием современных: методов математической и теоретической физики. Результаты, полученные теоретически, подтверждены прямым согласием с экспериментом.

Апробация работы и публикации Результаты работы докладывались на международных конференциях "Days On Diffraction" (Санкт-Петербург, 2006), "21st International Liquid Crystal Conference" (Keystone, Colorado, USA, 200(3), "9tli European Conference on Liquid Crystal", (Lisbon, Portugal, 2007). Основные материалы диссертации отражены в 10 публикациях, приведенных в конце автореферата.

Личный вклад автора Во всех совместных публикациях автор принимал участие в постановке

задач и обсуждении результатов. Им лично проведены все аналитические и численные расчеты.

Публикации

Основные результаты по теме диссертации изложены в 10 печатных изданиях, 7 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК, 1 -в трудах конференций и 2 - в тезисах докладов. Личный вклад соискателя в опубликованные работы составляет в среднем не менее 50%. В работах, выполненных совместно с экспериментаторами, автор внес вклад в теоретическую часть.

Объем и структура работы Диссертация состоит из введения, шести глав и заключения. Полный объем диссертации 129 страниц, в тексте расположен 21 рисунок. Список литературы содержит 46 наименований.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы исследования, дан краткий обзор состояния исследований по теме диссертации, сформулирована цель работы, описаны методы исследования и структура работы.

Первая глава посвящена обзору оптических свойств анизотропных сред, рассмотрены методы описания распространения света в плавных локально анизотропных средах, представлена континуальная модель описания ориентационной структуры жидких кристаллов.

Рассмотрены слоистые среды с плавными неоднородностями, то есть с характерными масштабами изменения оптических свойств С, значительно превышающими длин}" волны света А, С = (Фг^С2)!)-1 ^ А. Здесь гг(.г) - тензор диэлектрической проницаемости, зависящий от координаты г и постоянный в плоскости слоев ху.

Для таких сред система уравнений Максвелла, сводится к уравнению на поле электромагнитной волны вида

дс кх) тщ, кх)Ф(£, ко, (1)

где Ф — (Ех, Еу, П ~1 дсЕг, П ~1 Еу) - четырехкомпояентиый вектор, £2 = 2"С/А 1 большой безразмерный параметр, £ = г/С - безразмерная координата, кх — (А*х,0,0) - поперечная компонента волнового вектора, А - матрица 4x4, не зависящая от О.

Решение уравнения (1) строится с помощью векторного метода ВКБ п имеет вид

*<'>(«, к±) - 4"(4, к±) е<'>(*,кх) ехр (ш £ Х^', кх)<^ - (2)

Это выражение дает поле в виде квазиплоской волны с волновым вектором к = (А'хАМО), МО = 1 = 1-4- к° := Здесь -собственные значения матрицы

Область примешшости метода ВКБ определяется условпем, что собственные значения А;(£) не вырождены. Точки вырождения называют точками поворота. В их окрестностях может происходить взаимодействие между оптическими модами. Анализ поля в окрестности точек поворота может быть проведен на основе метода эталонных уравнений.

Вторая глава посвящена описанию распространения волн в слоистых анизотропных средах с произвольными орпектациями оптических осей, плавно меняющимися от слоя к слою.

Для произвольного тензора диэлектрической проницаемости получено характеристическое уравнение на собственные значения А; матрицы Решение этого уравнения позволяет построить траектории лучей и анализировать появление точек поворотов.

В работе рассматриваются локально одноосные среды с тензором диэлектрической проницаемости

£1к{г) -- £±5¡к + £аЫФ*(г)> = (3)

Здесь £„ = с у — ех, -х - диэлектрические проницаемости соответственно вдоль и поперек вектора оптической оси п

п(^) = (соз</|(г)ь!110(.г), сойй(г)). (4)

Рис. 1

Иллюстрация возможных особенностей распространения лучей в средах с различным законом распределения направления оптической оси для одного ir того же угла падения. Слева - анализируемая плоскость О — ф, справа - схематично показаны соответствующие траектории лучей в среде.

В этом случае собственные значения имеют вид >4,3 =

х2 л —---— -у/е±(1 - а)га sin в cos в cos ф±

е± + ía cos^ в L ________________________

(а + ™ cos2 в) + (1 - а) еа sin2 в sin2 ф ,

где а — 1 — Л-j /_l ) определяется углом падения волны на слоистую структуру. Собственные значения А^з соответствуют обыкновенным волнам (о), a Аа,4 - необыкновенным (е).

Подобное описание распространения света в анизотропной среде является неполным, так как при вырождении собственных значений A¡ возникают точкп поворота. Различаются два типа вырождений: совпадают собственные значения обыкновенной и необыкновенной волн (о—е тип) п собственные значения необыкновенных волн (е — е тип).

Для вырождения е—е типа на плоскости в—ф построены линия точек поворота - кривая, заданная условием Ад = А4, (рис. 1, кривая а) и кри-

вые, описывающие ориентационную структуру среды, (кривые Ь). По взаимному расположению лишш точек поворота и кривой, описывающей структуру, определяется характер прохождения вола. В отсутствии пересечений(1) - волна проходит свободно. В случае пересечения (3) -волна в точке поворота В\ претерпевает полное внутреннее отражение, а в интервале В1В2, который называется запрещенной зоной, происходит экспоненциальное затухание поля. В точке поворота Во появляется незатухающая волна, распространяющаяся далее вглубь образца. Проникновение через запрещенную зону представляет собой эффект просачивания, аналогичный туннельному эффекту в квантовой механике. Кривая (2) соответствует случаю запрещенной зоны нулевой ширины.

Для взаимодействия о — е типа проведен аналогичный анализ и получены общие условия на точки поворота.

В третьей главе рассмотрен случай холестерического жидкого кристалла. Для холестериков вектор директора п лежит в плоскости слоев и описывает спираль. С оптической точки зрения они одноосны, а оптическая ось совпадает с вектором директора. Используя выражения для собственных значений А¡, построены траектории лучей. Для половины периода спирали результаты изображены на рис, 2. В зависимости от угла падения луча на слой возможны различные режимы распространения света. Для больших углов падения (Ь), о < 0, обыкновенная волна

Рис. 2

Проекция траектории необыкновенного луча на плоскость хг и траектория обыкновенного луча в геликоидальной среде при разных углах падения: (а) — проходящие обыкновенные 1 и необыкновенные 2 луч н, (Ь) — случай запрещенной зоны (заштрихованная область) для необыкновенного луча.

не проходит, а необыкновенная разворачивается внутри среды, то есть имеют место точки поворота и эффект просачивания. При уменьшении угла падения (а), а > 0, обыкновенная (1) и необыкновенная (2) волны проходят свободно сквозь холестерик.

Получены выражения для электрического поля в холестерике вне точек поворота в виде

( Ех\

Еу \EZJ

(о)±

С(°)±

Aj/a(a + (l-a)fflna Í)1/2

/

sin £

— c.os£ k±.\i

\

siní

/

ко Q£x

xexpIüííA^f-ío)], (5)

ÍeA*

Е, \EZ }

(e)±

A*/2(í)(a + (l-a)siua01'2

x exp

/

V

acos£ sin £

\

_k±M

kos±

rS

eos £

±Ш í A3(f)dí'

Ha

(6)

Здесь С*'0^ и С^^ — константы, зависящие от выбора начальных условий, знаки «±» соответствуют волнам, распространяющимся в положительном и отрицательном направлениях относительно оси 2.

Исследована область применимости выражения для поля, и найдены области взаимодействия мод, обусловленные точками поворота:

III

1 -а Е„'

для е-е вырождения,

(7)

— < П sin2 = -а/(1 - а), для о-е вырождения.

Четвертая глава посвящена анализу точек поворота в холестериче-ских жидких кристаллах. В общем случае может происходить взаимодействие сразу четырех мод. Для поля в окрестности четырехкратного вырождения аналитическое решение найти не удается. В главе рассматриваются случаи, для которых удается получит!, аналитический результат.

Рассмотрена широкая запрещенная зона, возникающая при больших углах падения, —а > Í2"1. В этом случае моды взаимодействуют попарно, п области взаимодействия не перекрываются.

Для описания поля в окрестности точки поворота анализ проводился на основе метода эталонного урввпешт. Для окрестности точек поворота е-е тнпа было построено эталонное уравнение в виде уравнения Эйри. Связь констант задающих решение в окрестности точки поворота и вне ее получена из условия непрерывного перехода решения методом ВКБ в решение на основе эталонного уравнения. Поле в окрестности точки поворота имеет вид Е = е/3, где е - вектор поляризации, ¡3 определяется для т < 0 и т > 0 выражениями

/?>,<И = [^'МГ (^'-"Vl3'3) +

(8)

где = 1, j> = г, V = 2д/—(е„ + -В>,< ~~ константы,

(и) - функции Ханкеля, т — И2/3 (£ —

Проанализирован характер взапмодействпя оптических мод и построена матрица коэффициентов трансформации мод

С<]~ _ ( ехр(2.5- г'тт/2) ехр(-гтг/4) \ /

У ~ \ ехр()'7г/4) О I I с[

W- »• (9)

Здесь в левой части стоят амплитуды волн уходящих от точки поворота в положительном и отрицательном С<' направлениях. В правой части стоят амплитуды волн приходящих в точку поворота С< )+, с[':>~; й - характеризует фазу приходящих волн.

Подобный анализ проведен для взаимодействия о-е типа. Получено эталонное уравнение, построено выражения для поля в окрестности

такой точки поворота Е =

,<(Р) = \/Мехр х

где /„(«) и Ки(и) — модифицированные функции Бесселя, .А> < и В>2< — константы, /> = Й1/2^ — Обеспечен непрерывный переход решения в окрестности в решение вне точки поворота. Построена матрица коэффициентов трансформации мод, аналогичная (9).

Выли найдены коэффициенты прохождения волн через широкую запрещенную зону

|ИЧ2 (И)

где |И'|2 - коэффициент затухания интенсивности лучей или коэффициент просачивания.

Далее рассмотрен противоположный случай запрещенной зоны нулевой ширины, а = 0. В этом случае происходит одновременное взаимодействие двух необыкновенных мод и обыкновенной, то есть вырождение о-е-е типа. Для такого типа вырождения получено поле в окрестности точки поворота на основе эталонного уравнения вида

-1/2

' (12)

д1Еу+еЕу= 0,

где £ = еУ^1/2^ Поле выражается в виде комбинации функций Бесселя и функций Струве.

Аналогичным образом проведено сшивание решений в окрестности точки поворота и вне ее. Получены коэффициенты трансформации мод, которые показывают, что происходит деление падающей волны пополам на отраженную и прошедшую.

С экспериментальной точки зрения интересно прохождение волн через узкую запрещенную зону, |а| < П-1, так как коэффициент затуха-

ния определяется шириной зоны. В этом случае имеет место взаимодействие сразу четырех оптических мод (оо-е-е тип). Для узкой запрещенной зоны в работе построено приближение, при котором пренебре-гается взаимодействием волн о-е типа, которое вносит экспоненциально малый вклад. В узкой запрещенной зоне точки поворота сближаются, и их можно рассматривать как одпу эффективную точку. Эталонное уравнение для поля в окрестности такой точки поворота имеет вид

Э^О + [Т? - Ф2\£о = о, (13)

где т; = е^П1/2^, 1р ~ . Решение для поля выражается

через функции параболического цилиндра, Е = с ¿о,

£Ь = Лф^/^^е-™^) + (14)

Для узкой запрещенной зоны коэффициенты прохождения IV и отражения V имеют вид

(^^(Ц-е-^Г1, |ТГ|2 = (1 + е^2)-1. (15)

На рис. 3 представлены зависимости этих коэффициентов от угла падения. Видно, что для случая, когда запрещенная зона отсутствует, также имеет место отраженная волна, которая экспоненциально убывает

Рис. 3

Угловая зависимость коэффициентов отражения Ц/р (линии 1, 2, 3) и прохождения Ц-Г|2 (линии 1', 2', 3') необыкновенных волн в киральнон среде с £ц = 2.863, е± = 2.291 п различных значениях П: 1

— П = 20, 2 — Л = 50, 3

— П — 200, Х'2 — угол, обраг зованный лучом с осью 2 на плоскости £ = — тг/2.

по мере уменьшения угла падения. Появление отраженной, волны обусловлено эффектом надбарьерного отражения.

В пятой главе предложен эксперимент по обнаружению эффекта просачивания и для проверки вида теоретических зависимостей.

На рис. 4 представлены результаты такого эксперимента. Для описания коэффициентов просачивания использовалось приближение узких зон (15). Эксперимент подтверждает, что имеют место точки поворота, эффект проса-штания и эффект надбарьерного отражения. Теоретические зависимости ДЛЯ коэффициентов про- Измеренные коэффициенты прохождения необык-

новеиного луча (черные кружки). Сплошная линии

сачив ания находятся в со- „ /|с,

^ соответствует расчетам по уравнениям (15).

гласин с экспериментальными данными.

В шестой главе рассматриваются ориентационные эффекты для твист-ячеек во внешнем электрическом поле. На основе континуальной модели рассчитывается распределение директора в твист-ячейке. Рассмотрен случай, когда внешнее поле направлено перпендикулярно слоям ячейки. В этом случае получены профили для распределения директора 6(г) и ф(~), которые показывают, что при полях выше порога директор не лежит в плоскости слоев. Отклонение вектора директора от планарной ориентации приводит к изменению оптических свойств ячейки. В этом случае запрещенные зоны смещаются и могут исчезать.

Для подтверждения этих эффектов предложен эксперимент по измерению величины поля и угла падения света, при которых происходит

Рис. 4

Рис. 5

Зависимость приложенного напряжения V от предельного угла падения луча, соответствующего нулевой запрещенной зоне. Треугольниками шобра-жены экспериментальные точки, квадратами - точки, полученные в результате расчетов.

деление луча на падающий и отраженный, что соответствует пулевой запрещенной зоне. На рис. 5 приведены результаты измерений. Теоретическая кривая строилась с использованием разработанного метода анализа прохождения света через слоистую структуру. Профиль структуры, искаженный внешним полем, определялся численно.

Предложен метод послойного оптического сканирования ориентаци-онной структуры твист-ячейки. Он позволяет экспериментально определять профили ориентации вектора директора в твист-ячейке, структура которой искажена, например, за счет внешнего поля или ориентирующих поверхностей. Метод основывается на анализе точек поворота, возникающих при различных углах падения света.

Публикации автора по теме диссертации в изданиях, рекомендовав пых ВАК:

1. Е.В. Аксенова, Е.В. Крюков, В.Г1. Романов Распространение света в геликоидальной среде, с крупномасштабной периодичностью. Оптика и спектроскопия, 2006, Т. 101, № б, С. 1006-1017

2. Е.В. Аксенова, Е.В. Крюков, В.П. Романов Особенности распро-странемил света в киральпых средах. Журнал экспериментальной и теоретической физики, 2007, Т. 132, № 6, С. 1435-1453

3. E.V. Aksenova, A.A. Karetnikov, А.Р. Kovshik, E.V. Kryukov,

V.P. Romanov Light propagation in chiral media vrith large pitch. Journal of the Optical Society of America A, 2008, V. 25, No. 3, P. 600-608

4. E.B. Аксенова, A.A. Каретников, А.П. Ковшик, E.B. Крюков, В.П. Романов Прохождение света через запрещенную зону в киралъ-ных средах. Оптика и спектроскопия, 2008, Т. 104, № 6, С. 10011012

5. Aksenova E.V., Kryukov E.V., Romanov V.P. Propagation of light in chiral media with large pitch. Molecular Crystals and Liquid Crystals, 2008, V. 495, P. 30/[382]—50/[402]

6. E.B. Крюков В.П. Романов Распространение света в слоистых анизотропных средах. Оптика и спектроскопия, 2010, Т. 109, № 5, С. 841-848

7. А.А. Каретников, Н.А. Каретников, А.П. Ковшик, Е.И. Рюмцев, Е.В. Аксенова, Е.В. Крюков, В.П. Романов Влияние электрического поля на рефракцию света в слое кирального жидкого кристалла с большим шагом спирали. Оптика и спектроскопия, 2010, т. 108, № 6, С. 996-1002

Публикации автора в иных научных гаданиях:

8. E.V. Aksenova, E.V. Kryukov, V.P. Romanov Light Propagation in Helicoidal Media with Large Periodicity. Proceedings of the International Conference "Days On Diffraction St.Petersburg, Russia, 2006, P. 7-16

9. E. Aksenova, E. Kryukov, V. Romanov Light Propagation in Helical Media with Large Periodicity in the Turning Point Vicinity, book of abstracts, 21st International Liquid Crystal Conference, July 2-7, 2006, Keystone, Colorado, USA, P. 534

10. E. Aksenova, E. Kryukov, V. Romanov Light Propagation in Helical Liquid Crystals with the Large Pitch in the Turning Point Vicinity. book of abstracts, 9tli European Conference on Liquid Crystal, July 2-6, 2007, Lisbon, Portugal, PJ2, P.326

Подписано в печать «6» мая 2011 г. Формат 60x84/16 Бумага офсешая. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,0. Тира:« 100 эю. Заказ № 47

Типография «Восстания — 1» 191036, Сшпсг-Пстсрбург, Восстания, 1.

Введение

Глава 1.ктура и оптические свойства жидких кристаллов

1.1. Структура жидких кристаллов.

1.2. Оптика анизотропных кристаллов.

1.3. Методы описания оптических свойств плавнонеоднородных сред

Глава 2. Качественная картина распространения света в плав-номеняющейся слоистой анизотропной среде

2.1. Система уравнений в слоистой среде при произвольном ё{г)

2.2. Построение ВКБ решения для произвольного тензора ё(г)

2.3. Режимы распространения света в слоистой одноосной среде

Глава 3. Описание распространения света в холестериках с большим шагом спирали в приближении ВКБ

3.1. Твист-ячейка жидкого кристалла.

3.2. Траектории лучей и структура запрещенных зон.

3.3. Оптические моды вне точек поворота.

Глава 4. Окрестности точек поворота

4.1. Широкая запрещенная зона.

4.1.1 Взаимодействие мод е-е.

4.1.2 Взаимодействие мод о-е.

4.1.3 Коэффициенты прохождения волн.

4.1.4 Условия применимости подхода.

4.2. Предельно узкая зона.

4.2. 1 Поле предельного луча вдали от точки поворота.

4.2.2 Решение в окрестности точки поворота.

4.2.3 Анализ результатов

4.3. Узкая запрещенная зона.

4.3.1 Отрицательная анизотропия

4.3.2 Положительная анизотропия.

Глава 5. Сравнение теории с экспериментом

5.1. Эффект просачивания в твист-ячейке.

Глава 6. Твист-ячейки во внешнем поле

6.1. Искажение ориентации кирального жидкого кристалла во внешнем поле.

6.2. Случай жестких граничных условий.

6.3. Постановка эксперимента.

6.4. Сравнение эксперимента и теории.

6.5. Метод оптического сканирования ориентационной структуры

1. Гинзбург В.Л. Распространение электромагнитных молн в плазме. Москва, ФизМат литература, 1.60

2. Бреховских Л.М., Годин О.А. Акустика слоистых сред. Москва, Наука, 1989

3. Sato Н., Fehler М. Seismic Wave Propagation and Scattering in the Heterogeneous Earth, New York, Springer-Verlag, 1998

4. Фраерман А.А., Удалое О.Г. ЖЭТФ, 2007, Т. 131, с. 71

5. Iam-Choon Khoo Liquid Crystals. Wiley-Intersience, 2007.

6. Де Жен П. Физика жидких кристаллов. Москва, Мир, 1977.

7. Yablonovich Е. Phys. Rev. Lett., 1987, V. 58, p. 2059

8. Palamaru М., Lalanne Ph. Appl. Phys. Lett., 2001, V. 78, p. 1466

9. Settimi A., Severini S., Centini М., Sibilia C., Bertolotti М., Napoli A., Messina A. Phys. Rev. E, 2005, V. 71, p. 066606

10. Galisteo-Lopez J.F., Galli М., Patrini М., Balestreri A., Andreani L.C., Lopez C. Phys. Rev. B, 2006, V. 73, p. 125103

11. Sakoda K. Optical Properties of Photonic Crystals. Berlin, Springer-Verlag, 2005.

12. Belyakov V.A., Dmitrienko V.E. Optics of Chiral Liquid Crystals Soviet Scientific Reviews A Phys. V. 13, Harwood Academic Publishers, 1989

13. Беляков В.А. Дифракционная оптика периодических сред сложной структуры Москва, Наука, 1988

14. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика Том 3, Москва, Наука, 1974

15. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. Москва, изд-во АН СССР, 1957

16. Berreman D. W., Scheffer Т. J. Phys. Rev. А, 1971, V. 5, Р. 1397

17. Berreman D. W. JOSA, 1972, V. 62, Р. 502; 1973, V. 63, Р 1374

18. Палто С. П. ЖЭТФ, 2001, Т. 119, с. 638

19. Кац Е.И. ЖЭТФ, 1970, Т.59, с.1854

20. Ponti S., Oldano С., Becchi М. Phys. Rev. E, 2001, V. 64. p. 021704

21. Акопян P.С., Зельдович Б.Я., Табирян Н.В. ЖЭТФ, 1982, Т. 83, с. 1770

22. Galatola P. Phys. Rev. Е, 1997, V. 55, р. 4338

23. Liberman V.S., Zel’dovich B.Ya. Phys. Rev. E, 1994, V. 49, P. 2389

24. Федорюк M.B. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Москва, Наука, 1983

25. Savchenko A.Yu., Zel’dovich B.Ya. Phys. Rev. E, 1994, V. 50, p. 2287

26. Рытое С.М., Кравцов Ю.А., Татарский В.И. Введение в статистическую радиофизику. Ч. 2. Случайные поля. Москва, Наука, 1978

27. Кравцов Ю.А., Орлов Ю.И. Геометрическая оптика неоднородных сред Москва, Наука, 1980

28. Чандрасекхар С. Жидкие кристаллы. Москва, Мир, 1980

29. Aksenova E.V., Romanov V.P., Val’kov A. Yu. Phys. Rev. E, 1999, V. 59, p. 1184

30. Аксенова E.B., Вальков А.Ю., Романов В.П. ЖЭТФ, 2004, Т. 125, с. 72

31. Mendoza С.Ї., Olivares J.A, Reyes J.A. Phys. Rev. E, 2004, V. 70, p. 062701

32. Aksenova E.V., Karetnikov A.A., Kovshik A.P., Romanov V.P., Val’kov A. Yu. Europhysics Letters, 2005, V. 69, p. 68

33. Schlangen L., Pashai A., Comelissen H. J. Appl. Ph., 2000, V. 87, p. 3723

34. Yao I., Lai Y., Chen S., Wu J. Phys. Rev. E, 2004, V. 70, p. 051705

35. Chen S., Yang C. Appl. Phys. Lett., 2002, V. 80, p. 372136. de Gennes P., Prost J. The Physics of Liquid Crystals, Clarendon Press, Oxford, 1993

36. Ландау Л.Д., Лифшиц E.M. Статистическая физика. Часть 1., Том 5., Москва Наука, 1976

37. Rapini A., Popoular М. J. Phys (Paris) Colloq. 30 (Suppl. С4) 54, 1969

38. Пикин С.А. Структурные превращения в жидких коисталлах. Москва, Наука, 1981

39. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. Москва, Наука, 1982

40. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. Москва, Наука, 1973

41. Фреман Н., Фреман 77. У. ВКБ-приближение. Москва, Мир, 1967

42. Абрамовиц М., Стиган И.А. Справочник по специальным функциям. Москва, Наука, 1979

43. Блинов Л.М. Электро и магнитооптика жидких кристаллов. Москва, Наука, 1979

44. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. Москва, Наука, 1981