Применение аналогов задачи факторизации к решению систем обыкновенных дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Атнагулова Рушания Ахъяровна

ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛОГОВ ЗАДАЧИ ФАКТОРИЗАЦИИ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

13 МАЙ 2015

Екатеринбург — 2015

005568591

Работа выполнена на кафедре математики и статистики Башкирского государственного педагогического университета им. М. Ак-муллы.

Научный руководитель: д. ф.-м. н., профессор

Голубчик Игорь Захарович

Официальные оппоненты: д. ф.-м. н., профессор

Жибер Анатолий Васильевич,

д. ф.-м. н., профессор, Титов Сергей Сергеевич

Ведущая организация: Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова, Механико-математический факультет

Защита состоится 02 июня 2015 г. в 15.30 ч. на заседании диссертационного совета Д 004.006.03 в Институте математики и механики УрО РАН по адресу: 620990, Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН.

Автореферат разослан 21 апреля 2015 г.

Ученый секретарь ¿у^ Белоусов Иван Николаевич

диссертационного совета

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Работа посвящена применению групп и алгебр Ли для развития теории задачи факторизации, задачи Римана и уравнения Янга-Бакстера.

Впервые понятие г-матрицы — задачи факторизации появилось в квантовом варианте метода обратной задачи в работах Е.К. Скля-нина, JLA. Тахтаджяна, Л.Д. Фаддеева 1 2 3 4, метод классической r-матрицы возник в работах Е.К. Склянина 5 6.

Метод задачи Римана для построения решений общего уравнения нулевой кривизны и термин "процедура одевания"принадлежат В.Е.Захарову и А.Б. Шабату 7. Обсуждение редукций в задаче Римана содержится в работе A.B. Михайлова 8.

Работа Семенова-тян-Шанского М. А. "Что такое классическая г-матрнца"9 является одной из первых работ, где методом задачи

1Склянин E.K., ТНхтаджян Л.А., Фаддеев Л.Д. Квантовый метод обратной задачи.I. // Теоретическая и математическая физика, 1979, т.40, .V2, с.194-220.

"Склянии Е.К. Метод обратной задачи рассеяния и квантовое, нелинейное уравнения Шредингера // ДАН СССР, 1979, т. 244, .V- 6, с.1337-1341.

3Тахтиджян Л.А., Фаддеев Л.Д. Квантовый метод обратной задачи и XYZ-модель Гей-зенбсрга // УМН, 1979, т. 34, № 5, с. 13-G3.

4Faddeev L.D. Quantum completely integrable models in field theory // In: Mathematical Physics Review. Sect. C.: Math. Phys. Rev. 1. Harwood Academic, 1980, v. 1, p. 107-155.

5Склянин Е.К. Квантовый вариант метода обратной задачи рассеяния // В кн.: Дифференциальная геометрия, группы Ли и механика. III. Зап. наун. сем. ЛОМИ, 1980, т. 95, с.55-128.

6Sklyanm Е.К., On complete integrability of the Landau-Lifshitz equation // Preprint LOMI, E-3-79, Leningrad 1979.

'Захаров B.E., Шабат А.Б. Интегрирование нелинейных уравнений математической финики метидим обратной задачи рассеяния. П. // Функц. анализ и ею ирил., 1979, т.13, .\'"3, с. 13-22.

"Mikhailov A.V. The reduction problem and the inverse scattering method // Physica D, 1981, v. 3D, No. 1+2, 73-117 .

9Сеыенов-тян-Шанский M.A. Что такое классическая г - матрица / / Функц. анализ и его прил., 1983, т. 17, вып.4, с. 17-33.

факторизации решаются обыкновенные дифференциальные уравнения, а не уравнения в частных производных, была установлена связь метода r-матрицы с методом задачи Римана, что привело к новой точке зрения на уравнение Янга-Бакстера. Классическая г-матрица — модифицированное уравнение Янга-Бакстера, независящее от спектрального параметра.

Связанное с классическими r-матрицами классическое уравнение Янга-Бакстера было подробно изучено в работах 10 11 12.

В теории левосимметрических алгебр, используемых для построения интегрируемых уравнений большую роль играют фробениусо-вы алгебры Ли и фробениусовы коммутативные алгебры Ли. А.Г. Элашвили в работе 13 описал фробениусовы алгебры Ли.

Метод факторизации возник для уравнения в частных производных. В работах ряда авторов, в том числе М.А. Семенова-тян-Шанского 9, И.З. Голубчика, В.В. Соколова 14 15 16 был перенесен на случай обыкновенных дифференциальных уравнений.

В диссертации продолжаются исследования, начатые в работах И.З. Голубчика и В.В. Соколова 141516 17 18.

10Белавин A.A., Дринфельд В.Г. О решениях классического уравнения Янга-Бакстера для простых алгебр Ли // Фуикц. анализ и его ирил., 1982, т.1С, вып. 3, с.1-29.

11 Белавин A.A., Дринфельд В.Г. Уравнения треугольников и простые алгебры Ли // Препринт ИТФ., 1982-18, Черноголовка: ИТФ.

12Дринфельд В.Г. Гамильтоновы структуры на группах Ли, биалгебры Ли и геометрический смысл уравнений Янга-Бакстера// ДАН СССР, 1983, т.268, ,\'s2, с. 285-287.

13Элашвили А.Г. Фробс71иусовы алгебры Ли // Функц. анализ и его прил., 19S2, т. 1G, вып. 4, с. 94-95 .

14Галубчик И.З., Соколов В.В. Ещё одна разновидность классического уравнения Янга-Бакстера // Функц. анализ и его прил., 2000, т. 34, выл. 6, с. 75-78.

ьГолубчик И.З., Соколов В.В. Об интегрируемых системах, порожденных постоянным решением уравнения Янга-Бакстера // Функц. анализ и его прил., 1996, т. 30, вып. 4, с. 68-71.

16Голуб чик И.З., Соколов В.В. О некоторых обобщениях метода факторизации // ТМФ, 1997, т. 110, №3, стр. 339-350.

"Голуб чик И.З., Со колой В.В., Согласованные скобки Ли и интегрируемые уравнения шипа модели главного киралыюго поля //Фуикц. анализ и его прил., 3G:3 (2002), 9 19.

,8Голубчик И.З., Соколов В.В., Факторизация алгебры петель и интегрируемые уравнения типа волчков // ТМФ, 141:1 (2004),3-23.

Цель работы. Привести новые примеры и методы, основанные на группах и алгебрах Ли в задаче факторизации с пересечением, задаче Римана с малым параметром и уравнении Янга-Бакстера с квадратом.

Методы исследования. Метод разложения конечномерных и бесконечномерных алгебр Ли в сумму дополнительных подалгебр. Метод задачи факторизации и метод малого параметра.

Научная новизна.

В диссертации представлены следующие основные новые результаты.

1) в третьем параграфе главы 1 построены новые серии решений уравнений Янга-Бакстера с квадратом, основанные на теореме о связи уравнения Янга-Бакстера с квадратом с дополнительными подалгебрами в прямой сумме алгебр матриц, а также с новыми примерами подалгебр, являющихся фробениусовыми подпространствами;

2)в главе 2 проведено обобщение результатов Голубчика И.З., Соколова В.В. о задаче факторизации с пересечением на случай трех подпространств, построены интегрируемые волчки, связанные с алгебрами Ли з1(2) и 5о(3,1).

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Методы и результаты работы могут иметь применение к теории алгебр Ли и уравнений математической физики. Обыкновенные дифференциальные уравнения с квадратичной правой частью представляют интерес для изучения потому, что такой вид имеют некоторые уравнения движения в классических задачах механики.

Апробация диссертации. Результаты диссертации были представлены на международных конференциях:

1. "Алгебра, логика и прнложения"в г.Красноярске (2010);

2. XVIII международная конференция "Математика. Компьютер. Образование'^ г.Пущино (2011);

3. "Алгебра и математическая логика"в г.Казань (2011);

4. VI Уфимская международная конференция "Комплексный анализ и дифференциальные уравнения"в г.Уфа (2011);

5. "Алгебра и логика: теория и приложения", посвященная памяти В.П. Шункова в г.Красноярск (2013).

Публикации По теме диссертации имеется 10 публикаций, из них статьи [1, 2] в журналах из списка ВАК.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы. Объем диссертации составляет 104 страниц. Список литературы состоит из 67 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении проведен обзор литературы по теме диссертации, описаны постановка задачи, методы исследования и приведено краткое содержание работы.

В главе 1 рассмотрены новые решения уравнения Янга-Бакстера с квадратом.

Глава посвящена уравнению Янга-Бакстера с квадратом, то есть уравнению

Я([Я(а), Щ - [R(b), а]) = R2([a, Ь]) + [Д(а), Д(Ь)], (1.2)

где а,Ь 6 g, д — алгебра Ли и R — линейный оператор на векторном пространстве д. Строятся две новых серии операторов R, удовлетворяющих этому уравнению. Для их построения используются подалгебры Ли в алгебре матриц, дополнительные к подпространству матриц с нулевой последней строкой.

Уравнение (1.2) играет важную роль в теории интегрируемых систем 141718. Главная цель настоящей главы — построить новые серии решений уравнения Янга-Бакстера с квадратом (1.2).

В первом параграфе главы 1 исследованы однородные дополнительные подалгебры в алгебре многочленов над матрицами.

Уравнение (1.2) исследуется в предположении, что д - алгебра Ли матриц вида д = Cmxm®.. .©Cmxm, являющаяся прямой суммой нескольких экземпляров алгебры Ли Cmxm. Алгебра Ли матриц д является прямой суммой алгебр Ли матриц т х то над полем С.

1) Подалгебру д+ алгебры д назовем диагональной, если она состоит из всех элементов вида {(а, а,..., а)|а S Сшхт}.

2) Подалгебру д- алгебры д назовем дополнительной к д+, если прямая сумма подпространств и д+ совпадает с алгеброй Ли д или, другими словами, выполнены следующие 2 условия:

9+®9-=9, 0+Пд_ = {О}.

3) Подалгебру h в алгебре многочленов Cmxm[x] назовем однородной, если подалгебра удовлетворяет условию xh С h.

Определим оператор R : Стх т —^ Cmxm формулой

(Q1 р, а2р,атр)+ = ~(R(p),..., R(p)). (1.3)

Здесь

q = (р,р,...,р) eg+, A = (qi, ..., am), где аг - различны, а через (Ад)+ обозначена проекция элемента Aq на д+ параллельно

Основным результатом данного параграфа является теорема:

Теорема 1.1. Пусть д+ — диагональная подалгебра алгебры д, д_ однородная подалгебра, дополнительная к д+. Тогда оператор R, задаваемый формулой (1.3) удовлетворяет уравнению (1.2) па 9+-

В втором параграфе главы 1 исследуются фробениусовы подпространства, построены два примера подалгебр Ли в алгебре матриц, дополнительных к подпространству матриц с нулевой последней строкой.

Определение 1.1. Подпространство в пространстве матриц Стхт назовем фробениусовым подпространством, если всё пространство матриц является прямой суммой этого подпространства и пространства матриц с нулевой последней строкой.

Для построения серии примеров операторов В., удовлетворяющих уравнению Янга-Бакстера с квадратом, в работе рассмотрены фро-бениусовы подпространства, являющиеся подалгебрами Ли.

Пример 1.1. Рассмотрим множество Н, состоящее из блочных матриц следующего вида

((\\ 0 ... О \ \

о А2 ... о

к =

О О

А

™1 ]

\

О

) • ■ • > Мт2

О

Рт)

(1.4)

Хи,Ии € С. Эти матрицы состоят из блоков размера гщ х ту, где г = {1,2,3},] = {1,2,3}, индекс в 6 {1,..., шх}, тъ=1, т = гщ 4- т2 + ш3). Матрицы Ц, в формуле (1.4) — фиксированные диагональные матрицы размера т2 х т2, — произвольные параметры. При этом параметры А3 в блоке (2,2) те же, что в блоке (1, 1).

Множество Н образует алгебру Ли.

Рассмотрим матрицу

( 0 0

т = 0 0

0 1

где Ет — единичная матрица размера т; х 77^.

Поскольку Н является подалгеброй Ли, подпространство ТНТ~1 — также подалгебра Ли.

Предложение 1.1. Подпространство ТНТ~У является фробе-ниусовьш (см. определение 1.1).

Пример 1.2. Рассмотрим множество Н, состоящее из блочных матриц следующего вида

((\\ о ... о Л \

и =

О А,

О

О О

о

о

о

Лга, /

о £А3л8 О

О 0 0

(1.5)

А,-,Д> е С. Эти матрицы состоят из блоков размера тгц х т^ где г = {1,2,3,4},з = {1,2,3,4}, индекс 5 6 {1,...,гщ}, т4=1, т = ТП1+ тп2 + тп3 + т4). Матрицы А{ в формуле (1.5) — постоянные матрицы, которые необязательно диагональны, А.,,//( — произвольные параметры. При этом параметры А8 в блоке (2,3) те же, что в блоке (1, 1).

Последняя матрица есть матрица вида (1.5) с А,- = 0, т.е. множество Я матриц вида (1.5) образует алгебру Ли.

Далее рассмотрим матрицу

( Е,

Т =

тп 1

о о

1...1

о

Ет-1 О О

о о

Ет,

о\

о

о

о V

Подалгебра Ли ТНТ'1 является фробениусовым подпространством.

В третьем параграфе главы 1 с использованием подалгебр из §1.2 главы 1 построены две серии решений уравнений Янга-Бакстера с квадратом.

Серия 2 опирается на метод, основанный на предложении 2 из работы 14. Эта серия решений уравнения (1.2) связана с 3-градуированными алгебрами Ли. Серия 1 является принципиально новой. Соответствующая конструкция опирается на теорему 1.1. из §1.1.

Серия 1. Рассмотрено кольцо т х т матриц Стхт над полем комплексных чисел. Элементы этого кольца будем записывать в виде блочных матриц с блоками, образуемыми матрицами размера ТП{ х т.] (г = {1,2,3},^ = {1,2,3}), где сумма т\ + тп2 + пг3 = т.

Пусть Их, //2, Ня подалгебры Ли в алгебрах матриц Ст,хш,, Сш2хт2> Сш3хга, соответственно и Я,- — фробениусовы подпространства в этих алгебрах матриц (см. определение 1.1).

Обозначим через

ГН\ **\ /* 0 *\ /**о

U =

Lo =

L3

* * 0 * * Щ)

о * * 0 *

множества матриц, звездочками обозначены произвольные блочные матрицы соответствующих размеров. Ясно, что L; — подалгебры Ли в матрицах Сшхш и L = Lx + Ь2 + L3 = СтХш. Заметим, что

/нх о о п ь2 п ь3 = о н2 о V 0 о Ег)

Обозначим Ь\ — пространство матриц в д с нулевой последней строкой,

( Я,

l4 = Т~1Ь\Т, Т =

ТП\

о

о

^1(12

о N о

Етз

Тогда ¿4 — подалгебра Ли.

Предложение 1.2. Пересечение пространств Ь; нулевое:

¿1 П Ь2 П Ь3 П ¿4 = {0}. (1.6)

Предложение 1.3. Пусть

9 = Стхт ©• • •© Отхт;д+ = {(а,а,.. .,а)|а <Е СтХт};9- = {Ьи Ь2, Ь3, Ь^.

Тогда оператор, задаваемый формулой (1.3) удовлетворяет уравнению Янга-Бакстера с квадратом (1.2) на д+. Серия 2.

В работе 14 содержатся следующие предложения.

Предложение 1. Пусть д — произвольная 3-градуированная алгебра Ли, р\ — подалгебра Ли в и е —элемент из д\, такие что (Итр\ = сИтдх и [р1,е] = д\. Тогда р2 = ехр{а<1е){р1®д-1) является дополнительной подалгеброй к до-

Предложение 2. Пусть К : д —> д диагонализуем, Аь ..., А к его собственные значения и б; — соответствующие собственные подпространства. Тогда Я удовлетворяет уравнению Янга-Бакстера с квадратом (1.2), если и только если подпространства С?, и + являются подалгебрами Ли в д для всех различных г и ] от 1 до к.

Нам также понадобится следующее замечание, сделанное в работе 14.

Замечание 3. Предложение 2 позволяет построить А;— параметрическое семейство решений Я = А; П; (ГДе П> ~~ Л11~ нейный оператор проекции на С?;) уравнения (1.2), если известно разложение алгебры Ли д в прямую сумму подпространств Gi, таких, что бч и + С] являются подалгебрами Ли в д. Параметрами служат числа А;, которые могут быть выбраны произвольно.

Для конкретных 3-градуированных алгебр Ли построена серия решений уравнения Янга-Бакстера с квадратом. Пусть д — алгебра матриц размера (2т + п) х (2т + п) над полем комплексных чисел. Элементы из д будем записывать в виде блочных матриц. Блоки образуются матрицами размера т, х т^ (г = {1,2,3},.? = {1,2,3},

7711 = П, ТПг = 771з = ТП.

Обозначим через Со, С?!, следующие подпространства, задающие градуировку:

до € 51 € Сь<М € С?_1. Легко проверить, что д = С0 Ф ф (3_1 — 3-градуированная алгебра Ли.

Обозначим через Р\ подалгебру в О0, образуемой матрицами

где #ь #2 - подалгебры Ли в алгебрах матриц С„х и СШХТГ1, являющиеся фробениусовыми подпространствами (примеры в §1.2). /2 состоят из блочных матриц, у которых последняя строка нулевая. Ясно, что Р\ — подалгебра Ли. Заметим, что <Шпр\ = <Итпд\. Зададим элемент е из С1 формулой

Со = { }, С1 = { },

/#1 О о Л= /1 /2 о \о о я2

/о О 0 0 0

/

Условие [Рь е] = С\ из предложения 1 справедливо. Положим

Р2 = ехр(айе){Р1 © й-г)

и

(З^Со, б2 = Р2 П (С0 © Ох), С?3 = Рг Л (Со © С7_1).

Легко видеть, что Р* — подалгебры Ли в С и

С1 + С2 = С0 + С1, С1+С3 = С0 + С_1, С2 + С3 = Р2

— также подалгебры Ли. Согласно замечанию к предложению 2 из работы 14 получили операторы, удовлетворяющие Янгу-Бакстеру с квадратом.

В главе 2 рассмотрена задача факторизации с пересечением на случай трех подпространств. С помощью этого обобщения построены конкретные системы типа волчков, связанные с алгебрами Ли 5/(2) и йо(3,1). Согласно общей конструкции, введенной Голубчиком И.З. и Соколовым В.В. в работе 19, такие системы сводятся к решению системы линейных уравнений с переменными коэффициентами. Для них найден полный набор первых полиномиальных интегралов и инфинитезимальных симметрий.

В первом параграфе главы 2 рассмотрена основная конструкция, построено обобщение метода факторизации с пересечением на случай, когда 0 — конечномерная алгебра Ли, б = МфДГ (прямая сумма векторных подпространств), где 00 - подалгебра в Я, а М, N - <7о-модули, д0 + М, бо + N - подалгебры в В эту конструкцию включается важный частный случай, когда Я является градуированной алгеброй Ли.

"Голубчик И.З., Соколов В.В., О некоторых обобщениях метода факторизации. // ТМФ, 1997, т. 110, №3, стр. 339-350.

Рассмотрено разложение

б = бо Ф М © N

конечномерной алгебры Ли б над М в прямую сумму (как векторных подпространств) подалгебры Ли бо и двух векторных подпространств М и Ы, таких, что

• М, N С7о-модул и;

• бо + М, бо + N - подалгебры в б-

Основным результатом данного параграфа является теорема: Теорема 2.1. Пусть линейный оператор Я задается формулой

Я(<7) = а_ кГ1 + а0д" + ац1, (2.3)

где д = д~1 + + д1, д"1 £ N, е д1 е М, а_ьа0,а 1 € К. Тогда уравнение

Чг = [Я(ч),ч], <?|(=о = <7о, (2.4)

сводится с помощью конструкции Голубчика-Соколова к системе линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

к

Следствие 2.1. Пусть б = 0 й - Ъ-градуированная алгебра

Ы-к

-1 к

Лии N = ф , Л/ = ® • Тогда выполнены все условия теоремы {=-к ¿=1 и уравнение

Ъ =

(2.5)

1=-к 1=1 сводится к решению системы линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

Во втором параграфе главы 2 построены некоторые динамические системы типа волчков, связанные с алгебрами Ли 2)

и йо(3, 1). Согласно общей схеме, эти системы могут быть сведены к линейным системам ОДУ с переменными коэффициентами. Для всех этих систем найдены полиномиальные первые интегралы и ин-финитезимальные симметрии. Показано, что системы могут быть проинтегрированы в квадратурах с помощью алгоритма Ли. Приведены два важных примера, вытекающих из следствия 1.

Далее рассмотрен пример отличается от предыдущих тем, что алгебра б не является й-градуированной.

В главе 3 рассмотрен случай, когда в задаче факторизации одна из подалгебр состоит из косометрических матриц. В данной главе волчок (3.4) сводится к системе линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами и этот результат является новым интегрируемым уравнением.

Основным результатом данной главы является теорема:

Теорема 3.1. Пусть А — ассоциативная алгебра над Я, * — инволюция алгебры Л и А - прямая сумма подпространств Л+ и Л_, причем выполнены следующие условия:

1. А+ — подалгебра Ли в

2. кососимметричность о* = —о, для всех а € А+,

3. [[Л_,Л_]+,Л_]СЛ_.

Тогда волчок

{Я-)*Я + ЯЯ- = Яи ?|г=о = Яо (3-4)

сводится к решению линейной системы дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

Примеры.

д+ — кососимметрическая матрица, * — транспонирование, д- — блочно-диагональная матрица, при г > ] блок с номером (г,^) состоит только из нулевой матрицы, г < j содержит произвольные матрицы, при i = j треугольная Т„п либо 5Пг д = Дзхз-

Приведены примеры на трехмерных матрицах.

В четвертой главе показано, что широкий класс обыкновенных дифференциальных уравнений сводится к волчкам путем добавления вспомогательных переменных. При помощи волчка Ма-накова с малым параметром получен многопараметрический волчок, получаемый предельным переходом малого параметра е к нулю. Предельный переход получается при помощи интегральной формулы Коши от решения исходного уравнения, которое решается при помощи задачи Римана. Приведен класс квадратичных систем уравнений типа волчка Манакова, которые решаются при помощи системы Римана, данный класс является новым.

Важным примером волчка является уравнение движения п-мерного твердого тела — волчок Манакова20.

В первом параграфе главы 4 рассматривается сведение систем ОДУ к волчкам.

Глава посвящена квадратичным системам дифференциальных уравнений вида

i,k

ik

где qi,...,qn — переменные, зависящие от t, щ — постоянные комплексные числа, эти системы будем называть волчками.

Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений

(<7i)t = Fi(qu ...,«, i), 1 < i < l, Qi\t=o = »(0), (4.5)

где Fi — дифференцируемые функции нескольких переменных.

В работе 21 была доказана следующая теорема:

20Мэнаков C.B., Замечание об интегрировании уровней Эйлера динамики n-мерного твердого тела // Функциональный анализ и его приложения. - 1976. - Т. 10. - № 4. - С. 93-94.

21Гол.убчик И.З., Системы ОДУ н волчки. // Ученые записки: сб.пауч.статсй. Вин.10. Уфа: Изд-во БГПУ, 2009. - С.12-15.

Теорема 4.1. Пусть в записи функций ^ входят в виде суперпозиции лишь полиномы от переменных и функции ехр(х); 1п(:с); 1/х; п>1; 5т(а;);со8(а;). Тогда путем добавления большого числа вспомогательных переменных решение системы (4-5) сводится к квадратичной системе ОДУ

<й = гШ 9|,=о = 9(0), (4.6)

где д — столбец переменных ..., п > 1 и г(д) — матрица размера пх п, г(д)р= г{р)ц для всех столбцов д и р.

В втором параграфе главы 4 описаны волчки Манакова с малым параметром.

Пусть Мп(С) — кольцо п х п матриц над полем комплексных чисел С, /г — подалгебра Ли в комплексных матрицах, А — спектральный параметр, д- = д[А-1] - алгебра полиномов от А-1 с нулевым свободным членом, д+ = <?[А] — алгебра полиномов от А, д = Л[А, А-1] = <7- © д+ — алгебра полиномов Лорана.

В данном параграфе рассматривается случай волчка Манакова, когда общий вид элемента задается формулой Ь = АО + д, И е Мп(С), где <7 — переменная матрица, зависящая от £, — постоянная матрица.

В данной главе волчок Манакова имеет вид. Пусть /(¿, А-1) - полином от Ь и А-1, задаваемый формулой к

/ = ^ Е4ат\-тПЬт + а1\-1еЬ2, (4.7)

т— 1

а; е С, а; не зависят от е. Следовательно, уравнение

[/(Ь,А"1)+,Ь] = Ь( (4.8)

есть представление волчка Манакова, корректно определенного на МП(С). Здесь /{Ь,Х~г)+ — проекция на д+, ¡{Ь, А-1)+ = Д£>1+Д(д), где £>1 - постоянная матрица, Я - некоторый линейный оператор.

Пусть

D = e~lB + A

(4.9)

постоянная матрица (от Л не зависит), где е — малый параметр, и А, В — матрицы размерности п х п.

(4.10)

/0 Ек M (F 0

в = 0 0 Ек , А = 0 G

V> 0 0/ U 0

(Р, б, Я — постоянные матрицы размера к х к, п = Зк). Получаемый волчок имеет вид

к т—1

<7г

,m=l ¡=0

- т4.

(4.11)

e4Qj. Это уравнение интегрируется

где /3i = aie и при г > \ Pi при помощи задачи Римана.

Решение волчка (4.11) будем искать в виде блочной матрицы

912 913^ 9 = 921 922 923 \9з1 932 9ззу

где qij — матрицы размера к х к. Используя малость параметра г и нильпотентность матрицы В, ниже из данного волчка Манакова были выведены новые примеры интегрируемых волчков.

/0 0 Я™ (931Г

^AllBAl2BAhqAllBAkBAl6 = 0 0 0

' \0 0 0

сумма степеней всех наборов неотрицательных равна m — 5.

h + h + h + U + к + h = m — 5.

В третьем параграфе главы 4 с использованием метода спектрального параметра доказано, что волчок Манакова равносилен некоторой системе ОДУ в кольце матриц МП(С), т.е. что спектральный параметр пропадает в уравнении (4.8) и оно принимает вид (4.11). Смысл введения спектрального параметра в том, что волчок Манакова (4.11) явно решается при помощи задачи Римана.

В окончательном уравнении (4.13) малый параметр пропадает. Из нильпотентности матрицы В следует, что этот главный по параметру е член уравнения (4.12) зависит от двух постоянных некомму-тирующих матриц в отличие от стандартного волчка Манакова.

Сформулируем основной результат четвертой главы.

Теорема 4.4. Система Лакса (4.8) равносильна системе

Чг = М<7) + £Ыя) + + е3Лз(?) + £4/г4(д), ?1(=о = ?(0),

где д(0) не зависит от £, координаты векторов — полиномы от

координат вектора д.

При £ —^ 0 система (4.12) равносильна волчку

Волчок (4.8), а значит и (4.13) интегрируется при помощи задачи Римана.

В четвертом параграфе главы 4 рассмотрен другой вид волчка Манакова с малым параметром.

В главе 5 рассмотрены коммутативные фробеннусовы алгебры. В первом параграфе главы 5 рассматриваются фробеннусовы алгебры и подпрямые произведения алгебр.

(4.12)

О о ЕтСггЛп{я?л) 0 0 0 0 0 о

(4.13)

ДтЫ = ХУ'^нЧ-п^^я'6.

Коммутативная, ассоциативная, конечномерная алгебра Л над полем нулевой характеристики Р называется фробениусовой, если существует линейный функционал / : А —> Р, ядро которого не содержит ненулевых идеалов алгебры А.

Алгебра А является подпрямым произведением алгебр Л;, 1 < г < к, если существуют идеалы /,• в А, 1 < г < к, такие что П?=1 U = {0} и А/Ii ~ At.

Основным результатом данного параграфа является теорема:

Теорема 5.1. Произвольная, коммутативная, ассоциативная, конечномерная алгебра с единицей, над полем нулевой характеристики является подпрямым произведением фробениусовых алгебр.

Предложение 5.1. А фробениусова (т.е. существует / € Л* : Kerf не содержит ненулевых идеалов Л) А*Л ~ Лд.

Алгебра Л фробениусова <==$■ сопряженный модуль изоморфен модулю А а.

Лемма 5.1. А фробениусова над Р и а 6 Л. Тогда факторалгебра А/апп{аА) = Л фробениусова.

Пусть J — ненулевой идеал.

Лемма 5.2. Пусть Л фробениусова, / — ненулевой линейный функционал Л —>■ Р, тогда JL = annJ.

Лемма 5.3. dimpJ + dimpJ1 = dimpA.

Лемма 5.4. (J1)1 = J.

Лемма 5.5. Если J = Хл=1 ~ иДеал Л, то (^¡=i =

nL^-

Благодарности. Автор благодарен своему научному руководителю И.З. Голубчику за помощь при постановке задач и в подготовке работ, а также В.В. Соколову за полезные обсуждения.

Список литературы

[1] Атнагулова Р. А., Голубчик И. 3. Новые решения уравнения Янга-Бакстера с квадратом.

// Уфимск. матем.журн., 4:3 (2012), с. 6-16. Атнагуловой P.A. получены новые серии решений уравнений Янга-Бакстера с квадратом и предложение о фробениусовых пространствах.

[2] Атнагулова Р. А., Соколова О. В. Задача факторизации с пересечением.

// Уфимск. матем.журн., 6:1 (2014), с. 3-11. Атнагуловой P.A. принадлежит основная конструкция и пример 1, 2.

[3] Атнагулова P.A., Голубчик И.3. Интегрирование систем обыкновенных дифференциальных уравнений при помощи задачи Римана с малым параметром.

// Ученые записки: сборник научных статей. Выпуск 11.— Уфа: Издательство БГПУ, 2010, с.7-10.

Атнагуловой P.A. принадлежит, основной пример Волчка Ма-накова.

[4] Атнагулова P.A., Голубчик И.З. Коммутативные фробеннусо-вы алгебры.

// Ученые записки: сборник научных статей. Выпуск 14. — Уфа: Издательство БГПУ, 2013, с.4-6. Атнагуловой P.A. получена основная теорема.

[5] Атнагулова P.A. Волчки Манакова с малым параметром.

// Алгебра, логика Ii приложения. Тезисы. — Красноярск, 2010, с.110.

[6] Атнагулова P.A. Волчки Манакова с малым параметром.

// Математика.Компьютер.Образование-2011. Сборник научных тезисов. Выпуск 18, Москва, Ижевск, 2011, с.127.

[7] Атнагулова P.A., Голубчик И.З. Коммутативные фробениусо-вы алгебры.

// Алгебра и математическая логика: материалы международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения профессора В.В. Морозова, и молодежной школы-конференции "Современные проблемы алгебры и математической логики"; Казань, 25-30 сентября 2011. - Казань: КФУ, 2011, с.40-41.

[8] Атнагулова P.A. Разновидность классического уравнения Янга-Вакстера. //VI Уфимская международная конференция "Комплексный анализ и дифференциальные уравнения". Сборник тезисов. Институт математики с ВЦ УНЦ РАН. Уфа, 2011, с.25.

[9] Атнагулова P.A. Интегрируемый волчок, задаваемый модифицированным уравнением Янга-Бакстера.

// Международная конференция «Алгебра и линейная оптимизация», посвященная 100-летию С.Н.Черникова. Институт математики и механики УРО РАН, Екатеринбург, 2012, с.10.

[10] Атнагулова Р. А. Задача факторизации, когда одна из подалгебр состоит из кососимметрических матриц.

// Красноярск: Международная конференция "Алгебра, логика и приложения". Тезисы сообщения, 2013, с.18-19.

Атнагулова Рушания Ахъяровна

ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛОГОВ ЗАДАЧИ ФАКТОРИЗАЦИИ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 20.04.15 г. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать ризографическая. Тираж 100 экз. Заказ

062.

Гарнитура "Тшеэ^шКотап". Отпечатано в типографии "ПЕЧАТНЫЙ ДОМЪ"ИП ВЕРКО. Объем 1 п.л. Россия, Республика Башкортостан, г. Уфа, ул. Карла Маркса, 12, корп. 5, т/ф: 27-27-600, 27-29-123