Решетки правых делителей линейных обыкновенных дифференциальных операторов

Пургин, Александр Викторович

Решетки правых делителей линейных обыкновенных дифференциальных операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Пургин, Александр Викторович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Красноярск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2009 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.06 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Решетки правых делителей линейных обыкновенных дифференциальных операторов»

Автореферат диссертации на тему "Решетки правых делителей линейных обыкновенных дифференциальных операторов"

003487695

На правах рукописи

ПУРГИН АЛЕКСАНДР ВИКТОРОВИЧ

РЕШЕТКИ ПРАВЫХ ДЕЛИТЕЛЕЙ ЛИНЕЙНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 о ДЕН 200В

Красноярск - 2009

003487695

Работа выполнена в Красноярском государственном педагогическом университете имени В. П. Астафьева

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Царев Сергей Петрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Егорычев Георгий Петрович,

кандидат физико-математических наук, профессор Ларин Сергей Васильевич

Ведущая организация: Институт вычислительного

моделирования СО РАН

Защита состоится " 22 " декабря 2009 г. в Ы_ часов на заседании диссертационного совета Д 212.099.02 в Сибирском федеральном университете по адресу: 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Сибирского федерального университета.

Автореферат разослан "¡5О "

Ученый секретарь диссертационного совета

ноября 2009 г.

Н.А. Бушуева

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Теория решеток развилась в 30-е годы 20 века из приложений частично упорядоченных множеств к геометрическим и алгебраическим свойствам подпространств, подмодулей, подгрупп. Один из создателей теории решеток О. Ope применял решетки в вопросах, связанных с делителями в некоммутативном кольце линейных обыкновенных дифференциальных операторов [10] - [12]. Диссертация посвящена приложениям общих результатов теории решеток к решеткам правых делителей линейных обыкновенных дифференциальных операторов.

В последнее время алгоритмические вопросы теории линейных обыкновенных дифференциальных уравнений получили значительное развитие. Некоторые из ранее полученных алгоритмов нахождения элементарных решений и решений, выражающихся в квадратурах, были реализованы в имеющихся системах компьютерной алгебры Maple и Mathematica в виде больших прикладных пакетов. Продолжается как теоретическое исследование алгоритмов решения отдельных линейных обыкновенных дифференциальных уравнений и систем, так и их реализация (см. [1], [6]—[14]). Для решения конкретных уравнений часто полезно знать, как устроено множество правых делителей данного линейного обыкновенного дифференциального оператора (ЛОДО).

В вопросах, связанных с поиском точных решений линейных дифференциальных уравнений в различных классах функций, разложение соответствующего оператора на множители играет важную роль. В частности, сведение поиска решения линейного обыкновенного дифференциального уравнения к поиску решений уравнений меньших порядков путем разложения соответствующего оператора широко используется в компьютерной алгебре. Напомним, что необратимый (т.е. такой, для которого не существует обратного) элемент кольца называется неприво-

димым, если в любом его разложении в произведение двух множителей из данного кольца один из этих множителей оказывается обратимым, в противном случае элемент называется приводимым.

Другими словами, линейный обыкновенный дифференциальный оператор Р будем называть неприводимым, если он не факторизуется на операторы более низкого порядка (подробнее см. [1], [6]-[12], [13]—[14]).

Для элементов кольца К[Д] линейных обыкновенных дифференциальных операторов с коэффициентами из дифференциального поля К, вообще говоря, не гарантируется единственность разложения на неприводимые множители. Пусть, например, К = С(а:) (поле рациональных функций), В - тогда

= ) о )

х — с х — с

для любого с £ С; можно допустить равенство с — оо, считая, что оба

множителя в правой части в этом случае равны Л.

Рассматривая какое-то одно разложение фиксированного оператора на неприводимые множители, приходится учитывать возможность такого рода неоднозначности. Для решения некоторых задач важна степень неоднозначности разложения, и желательно иметь представление о том, чем могут отличаться другие возможные разложения от данного.

В настоящее время в литературе, и, в частности, в литературе по компьютерной алгебре, вместо термина «разложение на множители» часто прибегают к термину факторизация. Разложение на неприводимые множители называют полной факторизацией. В диссертации мы будем для краткости говорить просто о факторизации, подразумевая при этом полную факторизацию.

Множество работ 20 века, например, [1], [6]—[12], [13]—[14], посвящено алгоритмам факторизации линейных дифференциальных операторов. Известно ([13]), что произвольный линейный обыкновенный дифференциальный оператор разлагается на неприводимые множители (факторизуется) с конечным числом параметров.

Два (для простоты неприводимых) оператора Р кС} будем называть перестановочными в произведении Ресли РоС? = Яг^Рг, ф Р, РхфО, [13].

Ставится задача исследования алгебраических свойств множества правых делителей заданного линейного обыкновенного дифференциального оператора в случае отсутствия параметров в факторизациях и в случае, когда все факторы перестановочны.

Относительно недавно был получен алгоритм ([13]), который перечисляет все возможные факторизации заданного линейного обыкновенного дифференциального оператора с рациональными коэффициентами. Но общая структура всех факторизации операторов неизвестна. Тем самым поставленная задача описания алгебраической структуры множества правых делителей является важной актуальной задачей.

Цель диссертации

Целью настоящей диссертационной работы является изучение алгебраических свойств множества правых делителей заданного линейного обыкновенного дифференциального оператора.

Методика исследования

В работе используются результаты алгебраической теории факторизации линейных дифференциальных операторов, с помощью которых доказывается теорема второй главы диссертации. Для получения остальных результатов используются результаты и методы теории частично упорядоченных множеств и модулярных решеток.

Научная новизна

Все основные результаты диссертации являются новыми.

Практическая и теоретическая ценность

Результаты представляют теоретический интерес и могут быть применены в теории решеток и в теории факторизации ЛОДО.

Апробация работы

По материалам диссертации делались доклады на

— международной конференции «Мальцевские чтения» (г. Новосибирск, август 2009),

— Красноярском алгебраическом семинаре при СФУ (март 2009),

— семинаре «Интегрируемые уравнения и стохастические системы» (г. Красноярск, КГПУ, рук. проф. В.М. Логинов, октябрь 2008),

— семинаре «Математические модели и методы интегрирования» (г. Красноярск, ИВМ СО РАН, рук. проф. О.В. Капцов, март 2009).

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [15]—[19]. Работа [17] входит в перечень ведущих научных изданий, определенный Высшей аттестационной комиссией.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения и трех глав основного содержания. Список литературы содержит 29 наименований. Работа изложена на 79 страницах. Нумерация утверждений включает последовательно номера главы, параграфа и порядковый номер утверждения в главе.

Содержание работы

Во введении дается обзор известных результатов, даются необходимые определения, кратко излагается содержание диссертации и ее основные результаты.

Одним из самых старых результатов, касающихся факторизации Л0-ДО, является следующая теорема Э. Ландау [7].

Предложение 1. Если Ь = Р\ о... о Р). = Рх о... о Р^ — две различные полные факторизации одного и того же оператора Ь, то к = к, и между множителями, входящими в первую и вторую факторизации можно установить взаимно однозначное соответствие Р.\ Р^, такое, что огй(Д) = г = 1,..., к.

В некоторой конкретной факторизации могут встретиться совпадающие множители. Мы, однако, различаем операторы, имеющие разные порядковые номера.

В некоммутативном кольце ЛОДО есть правый (и левый) алгоритмы Евклида деления с остатком, а также для любых двух ЛОДО Ь и Р имеется их правое (левое) наименьшее кратное, то есть существуют операторы М и И, такие, что МоЬ = ИоР — гЬСМ(Ь,Р) и порядки М и N минимально возможные. При этом все прочие общие кратные Ь и Р будут делиться справа на гЬСМ(Ь, Р).

Через гССБ(Р1, Рг) будем обозначать оператор, являющийся правым наибольшим общим делителем ненулевых операторов Р\.

Как известно (см. [1], [7]-[14]), для любых двух ЛОДО Рг и Рг существуют и единственны гССТ>(Р\, Ръ) и гЬСМ^ьРг).

Определение 1. [13] Будем говорить, что оператор Р (справа) преобразуется в оператор Р\ оператором В и писать Р —»■ Рх если гССЮ(Р, В) = 1 и К = гЬСМ(Р, В) = Р1оВ = В1оР. В этом случае операторы Р и Рх будем называть сходными.

Отношение сходности является отношением эквивалентности (см. [13]).

Также классическим результатом является следующая теорема Леви [8, 9].

Предложение 2. Если оператор Р = Р\ о Р2, т. е. факторизуется на два неприводимых оператора, то существуют три случая:

1) Эта факторизация единственная, а операторы Р\ и являются неперестановочными. Они могут быть как несходными, так и сходными.

2) Существует еще одна, и только одна факторизация Р\ о Р2 = Р20Р1. В этом случае операторы Р\ и Р2 являются перестановочными, но не сходными.

3) Существует бесконечно много факторизаций Р = Р\ о Р% с операторами Р{, зависящими от одного параметра. В этом случае операторы Р1 и Рг являются перестановочными и сходными.

В диссертации для исследования этой структуры используются методы одного из важных разделов алгебры — теории частично упорядоченных множеств. Адекватным представлением структуры данных, выдаваемых упомянутым выше алгоритмом нахождения всех факторизаций данного оператора, является решетка — частично упорядоченное множество, в котором для любых двух элементов существует их точная верхняя и точная нижняя грань.

Введем отношение частичного порядка на множестве всех правых делителей произвольного ЛОДО Р следующим образом: пусть Р\ и Р2 -некоторые правые делители оператора Р, будем говорить, что Р\ < Р2, если оператор Р\ является правым делителем оператора Р%.

Таким образом заданное частично упорядоченное множество правых делителей произвольного ЛОДО Р является решеткой с операциями взятия точной нижней грани т^Рх, Р2} = гССБ(Р1, Р2) и точной верхней грани зир{Рь Р2} = гЬСМ(Рь Р2).

Определение 2. Будем говорить, что элемент х покрывается элементом у (или у покрывает х) и писать х -< у, если х < у, и для любого г такого, что х «С г ^ у, либо г = х, либо г = у. В этом случае элемент х будем называть нижним покрытием элемента у, а элемент у — верхним покрытием х.

Через п будем обозначать п-элементную цепь, т. е. решетку, в которой любые 2 элемента сравнимы. Например, решетка 2 изображена на рис. 1 в виде диаграммы Хассе (т. е. элементы решетки обозначены кружками и если х -< у, то элементы х и у соединены отрезком, и элемент х находится ниже элемента у).

Рис. 1 Решетка 2.

Определение 3. Длиной конечной цепи будем называть число, па единицу меньшее количества ее элементов.

Теоретико-решеточные операции будем обозначать следующим образом: зир{ж, у} = х V у = х + у, у} = х А у = ху.

Определение 4. Операцию взятия точной верхней грани множества элементов будем также называть объединением этого множества элементов, а операцию взятия точной нижней грани — соответственно пересечением множества элементов.

Будем обозначать наибольший элемент решетки Ь символом а наименьший — символом 0^. Решетку правых делителей оператора Р будем обозначать Ьр.

Определение 5. Решетка Ь называется дистрибутивной, если для любых х,у,г £ Ь выполняется тождество х(у + г) = ху + хг.

Определение 6. Решетка Ь называется модулярной, если для любых х,у,г £ Ь выполняется тождество х{у 4- хг) — ху + хг.

Целью первой главы диссертации является доказательство следующей теоремы.

Теорема 1.3.1. Для ЛОДО Р следующие условия эквивалентны:

1. Дистрибутивное тождество х\{х2 4- хз) = х\х% + ххх^ выполняется на решетке правых делителей ЛОДО Р;

2. Все факторы оператора Р непараметризованы (что эквивалентно конечности решетки правых делителей оператора Р).

Определение 7. Интервалом I = [г, у\ называется множество всех таких г 6 Ь, что х ^ г ^ у.

Определение 8. Под высотой элемента х решетки Ь будем понимать длину максимальной цепи в интервале [0^, х]

Высоту элемента х будем обозначать И{х).

Определение 9. Высотой ограниченной модулярной решетки Ь будем называть высоту элемента

Предложение 3. [4, стр. 225] (Жордан-Гельдер) В модулярной решетке конечной высоты любые две максимальные цепи имеют одинаковую длину.

Как очевидно, это предложение есть переформулировка на языке решеток результата Э. Ландау (предложение ??) о равенстве количества неприводимых множителей в различных факторизациях одного и того же оператора.

Высоту решетки Ь будем обозначать Н{Ь).

Доказана следующая лемма, представляющая самостоятельный интерес в теории решеток.

Лемма 1.2.1. Пусть Ь — модулярная решетка конечной высоты. Тогда, если решетка Мз вложима в решетку Ь, то Мз вложима в некоторый интервал высоты 2 и решетка Ь не является дистрибутивной.

Во второй главе диссертации рассматриваются комбинаторные вопросы и приводится алгоритм построения по заданному конечному ч. у. множеству М дистрибутивной решетки его порядковых идеалов в необходимой нам интерпретации.

Определение 10. Оператор Р называется Д'Аламберовым, если все его неприводимые множители являются операторами первого порядка: Р{ = Б + щ(х), а* 6 С(х).

Следующая теорема устанавливает, что любая дистрибутивная решетка является решеткой правых делителей некоторого ЛОДО.

Теорема 2.4.1. Пусть Ь ~ произвольная конечная дистрибутивная решетка высоты п. Тогда существует Д'Аламберов линейный обыкновенный дифференциальный оператор Р порядка п (не обязательно единственный) с коэффициентами из дифференциального поля рациональных функций такой, что решетка Ьр его правых делителей изоморфна Ь.

В третьей главе диссертации исследуются строение и алгебраические свойства решетки правых делителей Ьр линейного обыкновенного дифференциального оператора Р, когда все факторы в любой факторизации (т. е. в разложении на неприводимые множители) перестановочны.

Частично упорядоченное множество называется полной решеткой, если всякое его непустое подмножество имеет как точную верхнюю, так и точную нижнюю грань [5, стр. 42]. Пусть Ь - полная решетка. Элемент а 6 Ь называется компактным, если для любого подмножества А С Ь из а ^ V ^ следует а ^ \/ К для некоторого конечного подмножества К С А [3, стр. 27].

Определение 11. Элемент решетки Ь, покрывающий элемент 0 называется атомом, а элемент, покрываемый элементом 1ь, называется коатомом.

Решетка Ь называется алгебраической, если Ь - полная решетка и любой элемент из Ь есть точная верхняя грань некоторого множества

компактных элементов [3, стр. 27]. Решетка Ь называется полумодулярной, если она удовлетворяет условию покрываемости сверху, т. е. о ч Ь а + с Ч !) + с или а + с = Ь + с [4, стр. 224]. Решетка Ь называется геометрической, если она алгебраическая, полумодулярная, и компактными элементами которой являются конечные объединения атомов и только они ¡4, стр. 233].

Следующий результат дает алгебраическую характеризацию решетки правых делителей ЛОДО Р в случае, когда в любой факторизации оператора Р все факторы перестановочны.

Теорема 3.2.1. Решетка Ьр является геометрической тогда и только тогда, когда у оператора Р порядка п все факторы перестановочны.

В следующей теореме рассматривается независимое (в терминах теории решеток) подмножество атомов решетки правых делителей ЛОДО Р.

Элементы а\,...,ап модулярной решетки Ь с назовем независимыми, если

(ах + ... а;_х + о,-+1 + ... + ап)щ = 0ь

для всех г = 1,..., п [5, стр. 108].

Метод пузырьковой сортировки описан в Приложении к тексту диссертации.

Теорема 3.2.11. Пусть Р = Р] о ... о Рп и все факторы перестановочны. Переместим Р( вправо до Н((Р{)) = 1 методом пузырьковой сортировки (¡ = 1,...,п — 1). Тогда (А), •. •, (-Рп-1), (Рп) ~ независимое множество атомов решетки Ьр и подрешегпка, порожденная этим множеством конечна, дистрибутивна и булева.

Третий параграф посвящен доказательству теоремы о прямом разложении решетки Ьр в случае, когда все факторы перестановочны. В следующей теореме описывается строение решетки Ьр в этом случае.

Теорема 3.3.3. Пусть у оператора Р все факторы перестановочны. Тогда существует факторизация

Р= Р1оР2о...оР10ркпо...оРкщоРкпо...оРк2120...оРкг1о...оРкг1г

(в которой мы имеем I ( где I ^ 0) попарно несходных факторов и г (где г ^ 0) множеств факторов, в каждом из которых все факторы одного цвета, т. е. сходные) и решетка Ьр изоморфна прямому произведению I экземпляров 2 иг экземпляров решеток М^ подпространств кг-мерных векторных пространств, г — 1,..., г.

В силу принципа двойственности из теории частично упорядоченных множеств [4, стр. 17] все результаты настоящей работы справедливы для решеток левых делителей ЛОДО, для чего удобно рассматривать сопряженные операторы, см. [2].

Основные результаты

1. Охарактеризованы в терминах теории решеток линейные обыкновенные дифференциальные операторы, в факторизациях которых отсутствуют параметры.

2. Доказано, что любая конечная дистрибутивная решетка является решеткой правых делителей некоторого линейного обыкновенного дифференциального оператора.

3. Описано строение решеток правых делителей линейных обыкновенных дифференциальных операторов в случае, когда в любой факторизации оператора все факторы перестановочны.

Список литературы

[1] Абрамов С. А., Царев С. П. О периферийной факторизации линейных дифференциальных операторов // Программирование. -1997. -- N 1. - С. 59-67.

[2] ганжа Е. И., царев С. П. Классические методы интегрирования гиперболических систем и уравнений второго порядка: Учебное пособие. - Красноярск, 2007. - 118 с.

[3] горбунов в. А. Алгебраическиая теория квазимногообразий. -Новосибирск.: Научная книга, 1999. - 368 с.

[4] ГРЕТЦЕР Г. Общая теория решеток. - М.: Мир, 1982. - 456 с.

[5] скорняков Л. А. Элементы теории структур. - М.: Наука. 1982.

- 160 с.

[6] van HOEIJ M. Factorization of differential operators with rational functions coefficients // J. Symbolic Comput. - 1997. - V. 24. - P. 537-561.

[7] landau e. Über irreduzible Differentialgleichungen // J. für die reine und angewandte Mathematik. - 1902. - V. 124. - P. 115-120.

[8] Lobwy A. Über reduzible lineare homogene Differentialgleichungen// Math. Annalen. - 1903. V. 56. - P. 549-584.

[9] loewy A. Über vollständig reduzible lineare homogene Differentialgleichungen // Math. Annalen. - 1906. - V. 62. - P. 89-117.

[10] Ore О. Formale Theorie der linearen Differentialgleichungen (Erster Teil) // J. für die reine und angewandte Mathematik. - 1932. - V. 167.

- P. 221-234.

[11] Ore 0. Formale Theorie der linearen Differentialgleichungen (Zweiter Teil) / / J. für die reine und angewandte Mathematik. - 1932. - V. 168. - P. 233-252.

[12] ORE 0. Theory of non-commutative polynomials // Annals of Mathematics. - 1933. - V. 34. - P. 480-508.

[13] tsarev S. P. An algorithm for complete enumeration of all factorizations of a linear ordinary differential operator // Proceedings of ISS AC'96 - 1996. - ACM Press. - P. 226-231.

¡14] tsarev S. P. Factorization of linear partial differential operators and Darboux integrability of nonlinear PDEs // SIGSAM Bulletin 32. -N 4 - 1998. - P. 21-28; also "Computer Science"e-print cs/9811002; INTERNET URL: http://xxx.lanl.gov/abs/cs.SC/9811002.

Работы автора по теме диссертации

[15] ПУРГИН А. В. О решетках правых делителей линейных обыкновенных дифференциальных операторов // Программирование. - 2006. - N 2. - С. 40-47.

[16] ПУРГИН А. В. О дистрибутивных решетках правых делителей линейных обыкновенных дифференциальных операторов // Программирование. - 2009. - N 2. - С. 98-104.

[17] пургин А. В. Дистрибутивные и геометрические решетки правых делителей линейных обыкновенных дифференциальных операторов // Успехи математических наук. - 2009. - т. 64, N 3.- 0. 185-188.

[18] ПУРГИН А. В. Решетки правых делителей линейных обыкновенных дифференциальных операторов // Тезисы международной конференции: Аналитические функции многих комплексных переменных, г. Красноярск, 12-18 августа 2009. - Красноярск. - С. 31-33.

[19] пургин А. В. О структуре факторизаций линейных обыкновенных дифференциальных операторов // Тезисы международной конференции: Мальцевские чтения, г. Новосибирск, 24-28 августа 2009. -Новосибирск. - С. 130.

Подписано в печать 17.11.09 Формат 60x84 1/16. Усл. печ. л. 1,13 Бумага офсетная. Тираж 110 экз. Заказ № 483 Цена свободная

Отпечатано ИПК КГПУ 660060, г. Красноярск, ул. А. Лебедевой, 89, тел.: (391)211-48-00,211-48-65. Е-тай:ата^ата2007@таИ.ги

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Пургин, Александр Викторович

Введение

1 Дистрибутивность решеток операторов, в факторизациях которых отсутствуют параметры

1.1 Определения и вспомогательные факты

1.2 Вложимость Мз в интервал высоты 2.

1.3 Условие дистрибутивности решетки правых делителей ЛО

2 О дистрибутивных решетках правых делителей линейных обыкновенных дифференциальных операторов

2.1 Определения и вспомогательные факты.

2.2 Комбинаторные вопросы теории факторизации ЛОДО

2.3 Алгоритм построения дистрибутивной решетки по ч. у. множеству ее неразложимых в объединение элементов.

2.4 Любая конечная дистрибутивная решетка является решеткой правых делителей некоторого ЛОДО.

3 Алгебраические свойства решеток правых делителей ЛОДО в случае, когда все факторы перестановочны

3.1 Определения и вспомогательные факты.

3.2 Геометричность и другие алгебраические свойства решетки Ьр в случае, когда все факторы перестановочны

3.3 Структурная теорема в случае, когда все факторы перестановочны

Введение диссертация по математике, на тему "Решетки правых делителей линейных обыкновенных дифференциальных операторов"

Теория решеток развилась из приложений частично упорядоченных множеств в 30-ые годы 20 века к геометрическим и алгебраическим свойствам (решетки подпространств, подмодулей, подгрупп). Один из создателей теории решеток О. Ope применял решетки в вопросах, связанных с делителями в некоммутативном кольце линейных обыкновенных дифференциальных операторов [26]. Данная диссертация посвящена приложениям общих результатов теории решеток к решеткам правых делителей линейных обыкновенных дифференциальных операторов.

В последнее время алгоритмические вопросы теории линейных обыкновенных дифференциальных уравнений получили значительное развитие. Некоторые из ранее полученных алгоритмов нахождения элементарных решений и решений, выражающихся в квадратурах, были реализованы в имеющихся системах компьютерной алгебры Maple, Matliematica, Reduce в виде больших прикладных пакетов. Продолжается как теоретическое исследование алгоритмов решения отдельных линейных обыкновенных дифференциальных уравнений и систем, так и их реализация (см. [1], [20]-[26], [28]—[29]). Для решения конкретных уравнений часто полезно знать, как устроено множество правых делителей данного линейного обыкновенного дифференциального оператора (ЛОДО).

Пусть К — дифференциальное поле характеристики 0 с дифференцированием Б. Таким образом, И : К —» К, причем И (а + Ь) = Иа + ИЪ, В(аЬ) = (Оа)Ь + а(ОЪ) для любых а, Ъ 6 К. Простой пример дает поле К = С(х) (т.е. поле рациональных функций одной переменной с комплексными коэффициентами) с дифференцированием V = Линейному обыкновенному дифференциальному уравнению

Ру = апОпу + . + счБу + а0у = 0, (1) для которого ах,., ап Е К, соответствует линейный обыкновенный дифференциальный оператор

Р = ап£>?г + . + а11) + ао, (2) являющийся элементом кольца (порядок оператора огс1(Р) равен п, т. е. порядку старшей производной). Данное кольцо является некоммутативным. В дальнейшем мы без ограничения общности можем рассматривать только нормализованные операторы (т. е. операторы, у которых старшие коэффициенты равны 1) и их нормализованные делители.

Сложение в этом кольце определяется так же, как в кольце обычных полиномов. В то же время умножение о в К [.О] (некоммутативное) определяется, исходя из соотношения И о (аВт) = аОт+1 + (Х)а)£)т, справедливого для всех а Е К и неотрицательных целых т. Подробнее о структуре кольца К[Д] см. в [7].

В вопросах, связанных с поиском точных решений линейных дифференциальных уравнений в различных классах функций, разложение соответствующего оператора на множители играет важную роль. В частности, сведение поиска решения уравнения (1) к поиску решений уравнений меньших порядков путем разложения оператора (2) широко используется в компьютерной алгебре. Напомним, что необратимый (т.е. такой, для которого не существует обратного) элемент кольца называется неприводимым, если в любом его разложении в произведение двух множителей из данного кольца один из этих множителей оказывается обратимым; в противном случае элемент называется приводимым.

Другими словами, оператор Р будем называть неприводимым, если он не факторизуется на операторы более низкого порядка (подробнее см. [1|, [20]—[26], [28]—[29]).

Для элементов К [.О], вообще говоря, не гарантируется единственность разложения на неприводимые множители. Пусть, например, К = С(х) (поле рациональных функций), И = тогда

В1 = {В + —) о {В - —) х — с х — с для любого с £ С; можно допустить равенство с = оо, считая, что оба множителя в правой части в этом случае равны В. Имеем

В2 = В о В = (В + -) о (В - -) = (Б + —1—) о (£> - —

X X х — 1 х — 1 и т.д. Рассматривая какое-то одно разложение фиксированного оператора па неприводимые множители, приходится учитывать возможность такого рода неоднозначности. Для решения некоторых задач важна степень неоднозначности разложения, и желательно иметь представление о том, чем могут отличаться другие возможные разложения от да иного.

В настоящее время в литературе, и, в частности, в литературе по компьютерной алгебре, вместо термина «разложение на множители» часто прибегают к термину факторизация. Разложение на неприводимые множители называют полной факторизацией. В этой диссертации мы будем для краткости говорить просто о факторизации, подразумевая при этом полную факторизацию.

Одним из самых старых результатов, касающихся факторизаций ЛО-ДО, является следующая теорема Э.Ландау [21].

Предложение 0.0.1. Если Р\ о . о Рк и Р\ о . о Р^ — две различные полные факторизации одного и того же оператора Ь, то к = к, и между множителями, входящими в первую и вторую факторизации можно установить взаимно однозначное соответствие Р\ ч-> Р^, такое, что огд,(Р{) = ог^(Р^), г = 1,., к).

В некоммутативном кольце ЛОДО есть левый (и правый) алгоритмы Евклида деления с остатком, а также для любых двух ЛОДО Ь и Р имеется их левое (правое) наименьшее кратное, то есть существуют операторы М и ./V, такие, что М о Ь — N о Р.

Через гОСО(Р1, Р2) будем обозначать оператор, являющийся правым наибольшим общим делителем ненулевых операторов Р\ и Р2, а через гЬСМ(Р1,Р2) — оператор, являющийся их правым наименьшим общим кратным.

Как известно (см. [1], [21]-[29]), для любых двух ЛОДО Р\ и Р2 существуют и единственны гССБ(Р1,Р2) и гЬСМ(Р1,Р2).

Определение 1. [28] Будем говорить, что оператор Р (справа) преобразуется в оператор Р\ оператором В и писать Р —> Р\, если rGCD(P,B) = 1 и К = rLCM(P,B) — Р\о В — В\ о Р. В этом случае операторы Р и Р\ будем называть сходными.

Отношение сходности является отношением эквивалентности (см. [28]).

Определение 2. [28] Два (для простоты неразложимых) оператора Р и Q будем называть перестановочными в произведении Р о Q, если PoQ = QloPl} Q1^pj рхф Q.

Отсюда легко видеть, что в этом случае Р сходен с Р\, Q сходен с Qi и Рг А Р.

Также классическим результатом является следующая теорема Леви [22, 23].

Предложение 0.0.2. Если оператор Р = Р\о Р2, т. е. факторизуется на два неприводим,ых оператора, то существуют три случая:

1) Эта факторизация единственная, а операторы Р\ и Р2 являются неперестановочными. Он,и могут быть как несходными, так и сходными.

2) Существует еще одна, и только одна факторизация Р\ о Р2 = p2°Pi- В этом случае операторы Р\ и P-¿ являются перестановочными, но не сходными.

3) Существует бесконечно много факторизации, Р = Р\ о Р2 с операторами Р{, зависящими от одного параметра. В этом случае операторы Р\ и Р2 являются перестановочными и сходными.

Множество работ 20 века, например, [1], [20]—[26], [28]—[29], посвящено алгоритмам факторизации линейных дифференциальных операторов.

Известно ([28]), что произвольный линейный обыкновенный дифференциальный оператор разлагается на неприводимые множители (фактори-зуется) с конечным числом параметров. Относительно недавно был получен алгоритм ([28]), который перечисляет все возможные факторизации заданного линейного обыкновенного дифференциального оператора с рациональными коэффициентами. Но общая структура всех фактори-заций операторов неизвестна. В данной диссертации для исследования этой структуры используются методы одного из важных разделов алгебры — теории частично упорядоченных множеств. Адекватным представлением структуры данных, выдаваемых упомянутым выше алгоритмом нахождения всех факторизаций данного оператора, является решетка — частично упорядоченное множество, в котором для любых двух элементов существует их точная верхняя и точная нижняя грань.

Введем отношение частичного порядка на множестве всех правых делителей произвольного ЛОДО Р следующим образом: пусть Р[ и Р2 -некоторые правые делители оператора Р, будем говорить, что Р\ ^ Р2, если оператор Р\ является правым делителем оператора Р2. Рассмотрим пример. Оператор Р = Б2, очевидно, имеет такую факторизацию: Б2 — БоБ, т. е. три правых делителя: 1, Б, В2. Тогда 1 < Б < Б2, 1 < Б2, Б ^ Б. Данный оператор Р имеет другую факторизацию Б2 = {Б + 1/(х - с)) о (Б - 1/(х - с)). В этом случае 1 < (Б - 1/(х - с)) < В2. Но {Б - 1/(® - с)) £ {Б + 1/{х - с)) и (Б + 1/{х - с)) ЦБ- 1/(х - с)). Таким образом заданное частично упорядоченное множество правых делителей произвольного ЛОДО Р является решеткой (см. Приложение) с операциями взятия точной нижней грани т^Р^Рг} = ЮСБ^^Рг) и точной верхней грани 8ир{Рх, Р2} — гЬСМ(Рх, Р2).

Определение 3. Будем говорить, что элемент х покрывается элементом у (или у покрывает х) и писать х -< у, если х < у, и для любого г такого, что х ^ г ^ у, либо г — х, либо г — у. В этом случае элемент х будем называть нижним покрытием элемента у, а элемент у — верхним, покрытием х.

Через п будем обозначать п-элементиую цепь, т. с. решетку, в которой любые 2 элемента сравнимы. Например, решетка 2 изображена на рис. 1. и виде диаграммы Хассе (т. е. элементы решетки обозначены кружками и если х -< у, то элементы х и у соединены отрезком, и элемент х находится ниже элемента у).

Рис. 1 Решетка 2.

Определение 4. Длиной конечной цепи будем называть число, на единицу меньшее количества ее элементов.

Теоретико-решеточные операции будем обозначать следующим образом: зир{а:, у} = хУу = х + у, т£{ж, у} = х А у = ху.

Определение 5. Операцию взятия точной верхней грани множества элементов будем также называть объединением этого множества элементов, а операцию взятия точной нижней грани — соответственно пересечением множества элементов.

Будем обозначать наибольший элемент решетки Ь символом а наименьший — символом Оь- Решетку правых делителей оператора Р будем обозначать Ьр.

Определение 6. Решетка Ь называется дистрибутивной, если для любых х,у,г £ Ь выполняется тождество х(у + г) = ху + хг.

Определение 7. Решетка Ь называется модулярной, если для любых х,у, г £ Ь выполняется тождество х(у + хг) = ху + хг.

Известно ([8]) что решетка правых делителей линейных обыкновенных дифференциальных операторов является модулярной (см. Приложение).

Основные результаты диссертации мы будем называть теоремами, вспомогательные результаты — леммами, а известные результаты — предложениями.

Целью диссертационной работы является изучение структуры решеток правых делителей линейных обыкновенных дифференциалы!ых операторов в случае, когда все факторы непараметризованы, и в случае, когда все факторы перестановочны.

Перейдем к изложению основных результатов диссертации.

Целью первой главы диссертации является доказательство следующей теоремы.

Теорема 1.3.1. Для ЛОДО Р следующие условия эквивалентны:

1. Дистрибутивное тождество х\{х2 + х%) = Х\Х2 + Ж1Ж3 выполняется на решетке правых делителей ЛОДО Р;

Определение 8. Интервалом I — [х,у] называется множество всех таких г Е Ь, что х ^ г ^ у.

Определение 9. Под высотой элемента х решетки Ь будем, понимать длину максимальной цепи в интервале [О/,, х]

Высоту элемента х будем обозначать Н(х).

Определение 10. Высотой ограниченной модулярной решетки Ь будем называть высоту элемента

Предложение 0.0.3. [6, стр. 225] (Жордан-Гельдер) В модулярной решетке конечной высоты любые две максимальные цепи имеют одинаковую длину.

Как очевидно, это предложение есть переформулировка на языке решеток результата Э. Ландау (предложение 0.0.1) о равенстве количества неприводимых множителей в различных факторизациях одного и того же оператора.

Высоту решетки Ь будем обозначать к{Ь).

Доказана следующая лемма, представляющая самостоятельный интерес в теории решеток.

Лемма 1.2.1. Пусть Ь — модулярная решетка конечной высоты. Тогда, если решетка Мз вложима в решетку Ь, то вложима в некоторый интервал высоты 2 и решетка Ь не является дистрибутивной.

Во второй главе диссертации рассматриваются комбш(аторные вопросы и приводится алгоритм построения по заданному коночному ч. у. множеству М дистрибутивной решетки его порядковых идеалов в необходимой нам интерпретации.

Определение 11. Оператор Р называется Д'Аламберовым, если все его неприводимые множители Рг- являются операторами первого порядка: Рг = Б + аг(х), щ Е С{х).

Теорема 2.4.1. Пусть Ь - произвольная конечная дистрибутивная решетка высоты п. Тогда существует ДАламберов линейный обыкновенный дифференциальный оператор Р порядка п (не обязательно единственный) с коэффициентами из дифференциального поля рациональных функций такой, что решетка Ьр его правых делителей изоморфна Ь.

Частично упорядоченное множество называется полной решеткой, если всякое его непустое подмножество имеет как точную верхнюю, так и точную нижнюю грань [14, стр. 42]. Пусть Ь - полная решетка. Элемент а 6 Ь называется компактным, если для любого подмножества А С Ь из а ^ \/ А следует а ^ V К для некоторого конечного подмножества К С А [5, стр. 27].

Определение 12. Элемент решетки Ь, покрывающий элемент называется атомом, а элемент, покрываемый элементом называется коатомом.

Решетка Ь называется алгебраической, если Ь ~ полная решетка и любой элемент из Ь есть точная верхняя грань некоторого множества компактных элементов [5, стр. 27]. Решетка Ь называется полу модулярной, если она удовлетворяет условию покрываемости сверху, т. е. а-<Ь=>а-\-с^Ь-\-с или а + с = Ь + с [6, стр. 224]. Решетка Ь называется геометрической, если она алгебраическая, полумодулярная, и компактными элементами которой являются конечные объединения атомов и только они [6, стр. 233].

Элементы а^ ., ап модулярной решетки Ь с назовем независимыми^ если ох + . 1 + 0,1+1 + • • • + ап)щ = 0ь для всех г = 1,. ,п [14, стр. 108].

Метод пузырьковой сортировки описан в Приложении.

Теорема 3.2.11. Пусть Р = Р\ о . о Рп и все факторы перестановочны. Переместим Р^ вправо до /г((Д)) = 1 методом пузырьковой сортировки (г = 1,., п — 1). Тогда (Рг),., (Рп-1)5 (Рп) ~ независимое мноэюество атомов решетки Ьр и подрешетка, пороэтденная этим множеством конечна, дистрибутивна и булева.

Теорема 3.3.3. Пусть у оператора Р все факторы перестановочны. Тогда существует факторизация

Р = Р1оР2о.оР1оРкпо. ,.оРк1ч оРк21о.оРк2Я2о.оРкг1о.оРкгвг в которой мы имеем I ( где 1^0) попарно несходных факторов и г (где г^О) множеств факторов, в каждом из которых все факторы одного цвета, т. е. сходные) и решетка Ьр изоморфна прямому произведению I экземпляров 2 иг экземпляров решеток М^ подпространств камерных векторных пространств, г = 1,., г .

В силу принципа двойственности из теории частично упорядоченных множеств [6, стр. 17] все результаты настоящей работы справедливы для решеток левых делителей Л О ДО. Здесь рассматриваются сопряженные операторы, см. [4].

Результаты диссертации докладывались на семинаре «Интегрируемые уравнения и стохастические системы» (г. Красноярск, КГПУ, рук. проф. В.М. Логинов, октябрь 2008),

Красноярском алгебраическом семинаре (рук. проф. В.М. Левчук, март 2009), семинаре «Математические модели и методы интегрирования» (г. Красноярск, ИВМ СО РАН, рук. проф. О.В. Капцов, март 2009), международной конференции «Мальцевские чтения» (г. Новосибирск, август 2009).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [9] - [13].

Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения и списка литературы.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Пургин, Александр Викторович, Красноярск

1. ГРЕТЦЕР Г. Общая теория решеток. М.: Мир, 1982. - 456 с.7. джекобсон Н. Теория колец. М.: Государственное издательство интстранной литературы, 1947. - 287 с.

2. ПИРС Р. Ассоциативные алгебры. М.: Мир, 1986. - 543 с.9. пургин А. В. О решетках правых делителей линейных обыкновенных дифференциальных операторов // Программирование. 2006.- N 2. С. 40-47.

3. СТЕНЛИ Р. Перечислительная комбинаторика. М.: Мир, 1990. -440 с.

4. BEKE E. Die Irreducibilität der homogenen linearen Differentialgleichungen.// Math. Annalen 1894. - V. 45. - P. 278-300.

5. BjöRK J. E. Rings of differential operators. 1979, North-Holland.18. cameron Peter J. Combinatorics: Topics, techniques, algorithms. Cambridge University Press. 1994.

6. COHN P. M. Algebra. V. 2. John Wiley Sons Ltd. 1977.20. van hoeij m. Factorization of differential operators with rational functions coefficients // J. Symbolic Comput. 1997. - V. 24. - P. 537-561.

7. Landau E. Uber irreduzible Differentialgleichungen // «/. für die reine und angewandte Mathematik. 1902. - V. 124. - P. 115-120.

8. Loewy A. Uber reduzible lineare homogene Differentialgleichungen// Math. Annalen. 1903. V. 56. P. 549-584.

9. LOEWY A. Uber vollständig reduzible lineare homogene Differentialgleichungen// Math. Annalen. 1906. - V. 62. - P. 89-117.

10. ORE O. Formale Theorie der linearen Differentialgleichungen (Erster Teil) // J. für die reine und angewandte Mathematik. 1932. - V. 167.- P. 221-234.