Оптимизация крыльев летательных аппаратов с учетом требований аэроупругости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ И ОПТИМИЗАЦИЯ КРИТИЧЕСКИХ

ПАРАМЕТРОВ В ЗАДАЧАХ ДИНАМИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ.

§ I. Оптимизация параметров динамической устойчивости стержней, нагруженных следящими силами

§ 2. Оптимизация устойчивости пластинки в сверхзвуковом потоке газа.

§ 3. Выводы.

ГЛАВА П. ОПТИМИЗАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ АЭРОУПРУГОЙ УСТОЙЧИВОСТИ

§ I. Максимизация критической скорости флаттера крыла большого удлинения

§ 2. Оптимизация флаттерных характеристик крыла малого удлинения

§ 3. Выводы.

ГЛАВА Ш. ОПТИМИЗАЦИЯ КОНСТРУКЦИИ КРЫЛА ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА ИЗ УСЛОВИЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ ОРГАНОВ ПОПЕРЕЧНОГО УПРАВЛЕНИЯ.

§ I. Максимизация эффективности элеронов стреловидного крыла большого удлинения

§ 2. Максимизация эффективности элеронов 1фыла малого удлинения

§ 3. Выводы.

Оптимизация конструкций является интенсивно развивающейся областью механики деформируемого твердого тела. Проблемы оптимизации конструкций в последнее время привлекают пристальное внимание исследователей как у нас в стране, так и за рубежом. Об этом свидетельствует большое количество работ, опубликованных главным образом в последние годы. Интерес к исследованиям в области оптимального проектирования значительно усилился в связи с быстрым развитием машиностроения, авиационной и космической техники. С использованием методов оптимального проектирования достигается значительное снижение веса и улучшение механических характеристик конструкции. Таким образом, исследования в этой области имеют несомненное прикладное значение. Задача уменьшения веса конструкции, совершенствования ее характеристик, повышение ее весовой отдачи особенно актуальна сейчас, в эпоху научно-технической революции, когда происходит бурное развитие науки, техники и производства.

Проблемы оптимального проектирования конструкций имеют и теоретическое значение. Представляет интерес выделение и исследование новых классов задач в этой области, учет все большего количества физических факторов при оптимальном проектировании, разработка эффективных методов оптимизации, существенно использующих специфику рассматриваемых задач.

Возрастающий с каждым годом поток работ по оптимальному проектированию свидетельствует о все большем интересе к вопросам оптимизации конструкций. Значительная часть исследований в области оптимизации упругих конструкций выполнена с црименением классических методов вариационного исчисления. Наряду с широким применением этих методов имеются также работы, основанные на использовании методов теории оптимального управления. По общим вопросам оптимального проектирования конструкций отметим монографии Баничука Н.В. [б], Малкова В.П. и Угодчикова А.Г. [44], Драгера В. [50 ] , Троицкого В.А. и Петухова Л.В. 63 . Вопросы оптимального проектирования конструкций, такие, как исследование условий оптимальности, доказательство существования и единственности оптимального решения, выделение классов задач, допускающих решение стандартными методами, рассмотрены в работах [41, 43, 121, 134]. Укажем, также, монографию Бирюка В.И., Липина Е.К., Фролова В.М. [10], где в комплексе рассмотрены методы оптимального проектирования конструкции летательных аппаратов.

Для оптимизации конструкций широко применяются методы теории оптимального управления, в частности, цринцип максимума Л.С.Понт-рягина [l0, 48, 59, 71, 132]. Находят применение и методы теории управления системами с распределенными параметрами [2, 39 - 42]. Общие вопросы теории оптимизации рассмотрены в работах [21, 29, 34, 35, 40, 42, 48, 51, 68] .

Известные трудности, возникающие при решении задач оптимизации конструкций, обусловливаются нелинейностью условий оптимальности, что цриводит, как правило, к необходимости численного решения экстремальных задач. Поэтому большая часть работ по оптимизации конструкций выполняется с использованием мощных ЭВМ.

Успешное развитие теории оптимального проектирования и эффективность ее методов при решении прикладных задач связано с разработкой вычислительных алгоритмов и использованием современной вычислительной техники. Кажущаяся простота конструирования численных методов решения задач оптимизации тем не менее не привела к созданию эффективных универсальных численных процедур оптимизации, и для каждого класса экстремальных задач требуется разработка своих специфических методов. Работы по созданию вычислительных алгоритмов оптимального проектирования, предназначенных для решения определенных классов задач и существенно использующих их специфику, интенсивно ведутся в настоящее время. Отметим работы [44, 66, 68], где рассмотрены вычислительные методы решения задач оптимизации.

Применение и значительное развитие методы оптимизации получили при проектировании авиационных конструкций. Постоянное возрастание требований к летным характеристикам военных и гражданских самолетов неизменно сопровождается поисками путей снижения веса конструкции при условии обеспечения достаточной прочности, надежности, живучести, ресурса и т.д. Для решения этой сложной и всегда актуальной задачи используются все достижения в области конструирования, технологии и авиационных материалов. Значительный эффект достигается за счет повышения прочностной отдачи единицы веса, т.е. за счет рационального расцределения материала между элементами конструкции и повышения их конструктивного совершенства.,

Достигнутый в последние годы прогресс в области применения метода конечного элемента в црактике проектирования летательных аппаратов [73, 81, 84, 89, 90, 97] послужил предпосылкой к решению задач оптимизации сложных реальных конструкций. Так, например, в работах [100, 153] приведено описание алгоритмов и программ оптимизации тонкостенных конструкций с учетом требований статической прочности, общей и местной потери устойчивости, с ограничениями на собственные частоты колебаний конструкции. Число проектных параметров при решении задач оптимизации реальных конструкций достигает нескольких тысяч. В то же время непрерывно возникающие новые требования, предъявляемые к летательным аппаратам, обусловливают острую необходимость разработок и исследований в целом ряде новых областей оптимального цроектирования. Прежде всего это относится к учету требований статической и динамической аэроупругости (обеспечение потребной величины запасов аэроупругой устойчивости и управляемости летательного аппарата).

Сложность учета требований аэроупругости объясняется неконсервативностью аэродинамических сил, действующих на летательный аппарат. В частности, при расчете и оптимизации конструкции несущих аэродинамических поверхностей большое значение имеют жестко-стные требования, связанные с обеспечением потребной величины минимальной критической скорости флаттера (границы динамической устойчивости неконсервативной механической системы). Основным методом исследования неконсервативных задач упругой устойчивости является динамический метод, основанный на рассмотрении малых колебаний системы вблизи положения равновесия. Подробному исследованию вопросов анализа устойчивости неконсервативных механических систем посвящена монография Болотина В.В. [16]. Неконсервативный характер задачи определения границы аэроупругой устойчивости обусловлен специфической зависимостью аэродинамических сил, действующих на крыло летательного аппарата, от его перемещений.

Вопросы, связанные с аэроупругой устойчивостью крыльев летательных аппаратов рассмотрены в работах Гроссмана Е.П. [33], Вольмира А.С. [27], $ына Я.Ц. [66], Бисплингхоффа Р.Л., Эшли X., Халфмэна Р.Л. [15].

Анализ устойчивости приводит к необходимости исследовать собственные значения несамосопряженных краевых задач (конечномерным аналогом этих задач являются системы уравнений, матрицы коэффициентов которых при обобщенных координатах содержат антисимметричные составляющие). Граница устойчивости неконсервативной механической системы зависит от массовых, жесткостных и геометрических характеристик системы, распределения внешней нагрузки и т.д. Для неконсервативной механической системы может реализоваться одна из двух форм потери устойчивости - динамическая или колебательная, которая характеризуется отличной от нуля частотой колебаний, и статическая, при которой частота равна нулю. При изменении характеристик системы изменяется соответственно и величина критического значения параметра внешней неконсервативной нагрузки (значения, при достижении которого неконсервативная механическая система теряет устойчивость). В общем случае анализ влияния различных параметров затруднителен ввиду того, что критические параметры устойчивости, как правило, не выражаются явно через определяющие параметры системы. Соотношения, выражающие зависимость изменения критических параметров устойчивости (чувствительность) от вариаций определяющих параметров механической системы, можно получить с помощью введения так называемой соцря-женной системы уравнений. Эти соотношения можно с успехом применить для решения задач оптимизации критических параметров динамической устойчивости с использованием градиентных методов.

Оптимальное проектирование, как уже отмечалось выше, приводит к сложным нелинейным задачам. Значительные трудности представляет сама корректная постановка задачи оптимизации конструкций. Поэтому важное значение получает выделение наиболее "простых" задач, допускающих подробное исследование (если возможно -аналитическое), выявление основных закономерностей, характеризующих оптимальное решение, позволяющих оценить возможные выигрыши при оптимизации. Эти исследования в ряде случаев удается эффективно провести для одномерных элементов конструкций (балки, колонны, стержневые системы), изучить качественные особенности оптимальных форм, выявить существенные ограничения, сравнить эффективность различных способов оптимизации и, что немаловажно, получить тесты, необходимые для апробации вычислительных алгоритмов и приближенных методик, предназначенных для решения задач оптимизации сложных реальных конструкций.

Задачи оптимизации устойчивости упругих стержней относятся к числу классических цроблем оптимального проектирования. В проведенных исследованиях этих задач [99, III, 140, 141] было показано, что цри оптимизации достигается значительный эффект, и тем самым была обоснована перспективность дальнейших разработок в этом направлении. Представляют интерес и сами методы, развитые для решения этих задач. Следует заметить, что выполненные исследования и разработанные методы в основном относятся к оптимизации устойчивости упругих консервативных систем, описываемых самосопряженными краевыми задачами на собственные значения. Вопросы же оптимального проектирования неконсервативных систем и, в частности, конструкций, нагруженных следящими силами, изучены значительно меньше.

Задачи максимизации параметров динамической устойчивости стержней, нагруженных следящими силами, рассматривались в работах [78 - 80 , 95, НО, 147]. В работе [НО] показано, что потеря устойчивости неконсервативных механических систем, нагруженных следящими нагрузками и при отсутствии демпфирования, наступает при слиянии двух частот колебаний. Также доказана теорема существования критического значения величины следящей нагрузки. Однако неверно выведены необходимые условия экстремума в задаче максимизации критического значения следящей нагрузки для стержня неизменной массы и, как следствие, получено неверное решение. В работах [78, 120] установлено, что при решении задачи максимизации критической силы потери устойчивости стержней, нагруженных следящими силами, возможно касание и перехлест характеристических 1фи-вых, образование дополнительных областей устойчивости и неустойчивости, указано, что 1фитическая нагрузка может быть кратной, т.е. одному и тому же значению критического параметра могут соответствовать две различные формы потери устойчивости. Однако в этих работах допущена неточность при выводе необходимых условий экстремума, а примененная численная схема не обладает достаточной точностью, что привело к значительному искажению результатов. Особо следует отметить работу [95J, в которой рассмотрена задача максимизации величины критического значения тангенциальной следящей силы для стержня неизменной массы. Решение задачи осуществлялось методом конечного элемента. Получено оптимальное распределение массы в стержне кусочно-постоянного сечения. Максимальное значение критической силы является кратным, причем в процессе последовательной оптимизации происходит касание характеристических кривых, что приводит к скачку в значении критической силы. При получении условий потери устойчивости использованы ошибочные рассуждения, приведенные впервые в работе [122]. В работе [80] рассмотрена задача максимизации величины критической силы потери устойчивости стержня неизменной массы цри наличии демпфирования.

Таким образом, в перечисленных работах получены весьма противоречивые результаты, не позволяющие выявить характерные особенности задач оптимизации параметров динамической устойчивости неконсервативных механических систем, оценить возможные выигрыши в значении критических параметров, проанализировать чувствительность критических параметров устойчивости к малым вариациям распределения массовых и жесткостных характеристик.

Исследованию вопросов оптимизации элементов авиационных конструкций в настоящее время уделяется большое внимание в СССР и за рубежом.

Задача оптимизации параметров аэроупругой устойчивости усложнена тем, что помимо скорости полета, параметрами задачи являются также число Маха М и относительная плотность воздуха (высота полета). Существенно важным вопросом является выбор аэродинамической теории, позволяющей наиболее достоверно вычислять нагрузки, действующие на крыло летательного аппарата, колеблющееся в потоке газа. При расчете и оптимизации реальных авиационных конструкций следует иметь ввиду, что тип аэродинамического оператора изменяется в зависимости от числа Маха И . Немаловажное значение имеет выбор модели крыла, которая должна быть достаточно простой (т.е. описываться малым количеством уравнений) и, в то же время, достаточно эффективно описывать реальную картину поведения конструкции крыла в потоке воздуха.

К числу наиболее "простых" задач относятся задачи оптимизации параметров аэроупругой устойчивости панелей в сверхзвуковом потоке газа, которые рассматривались многими исследователями [54, 55, 114 - 117, 119, 132, 149, 150]. При выборе аэродинамической теории в этих работах, как правило, используется теория плоских сечений. Аэродинамическое демпфирование предполагаются пренебрежимо малым. В работах [lI4, 116, 150], где рассмотрены дискретные модели пластинки, при выводе необходимых условий не варьируется частота флаттера. Аналогичная ошибка допущена в работах [lI9, 132, I49J, где необходимые условия минимума веса пластинки при заданной 1фитической скорости флаттера получены с использованием теории оптимального управления. Вопросы оптимизации пластинки с закрепленным одним краем, а другим свободным, рассмотрены в работе [54J, где на основании необходимых условий экстремума величины критической скорости для статической формы потери устойчивости - дивергенции, получена оптимальная форма пластинки. Исследована устойчивость пластинки в прямом и обращенном потоке газа.

Исследование неконсервативных задач упругой устойчивости тесно связано с теорией линейных несамосопряженных дифференциальных операторов, для которых необходимы эффективные методы нахождения комплексных собственных значений, не уступающие существующим методам для самосопряженных краевых задач, где решение облегчается благодаря наличию соответствующих вариационных принципов. Важным является установление зависимости собственных значений от параметров задачи. Наиболее эффективным методом решения неконсервативных задач упругой устойчивости, по-видимому, является сведение к системе с конечным числом степеней свобода.

Исследования воцросов оптимизации характеристик аэроупругой устойчивости авиационных конструкций развиваются по двум направлениям. К первому направлению относятся исследования по оптимизации распределенных систем, описываемых дифференциальными уравнениями [3, б, 52 - 59 , 64 , 72 , 75, 135] , ко второму направлению относятся исследования по оптимизации дискретных систем [23, 25, 77, 88 , 89 , 92, 103, 108, 136, 137]. Изучение дискретных систем представляет особый интерес для приложений к современным авиационным конструкциям, описание которых производится обычно с помощью дискретных моделей. Использование для расцределенных систем методов решения типа метода конечных разностей, Бубнова-Галерки-на, метода конечных элементов и других также приводит к необходимости исследования дискретных моделей.

Различаются две основных постановки задач оптимизации авиационных конструкций с учетом требования аэроупругой устойчивости. Это максимизация величины критического значения параметра потока при неизменной полной массе материала конструкции и минимизация массы конструкции при заданной фиксированной величине критической скорости аэроупругой устойчивости. Поскольку задача оптимизации параметров аэроупругой устойчивости является составной частью комплексной задачи оптимизации авиационных конструкций, существенно важным является подход, основанный на вычислении производных характеристик устойчивости по вариациям определяющих параметров конструкции (анализ чувствительности), в качестве которых могут быть выбраны массовые, жесткостные и геометрические характеристики.

По-видимому, впервые задача оптимизации конструкции крыла летательного аппарата с учетом требований аэроупругой устойчивости была поставлена в работе [Юб].

Различается несколько основных подходов к оптимизации параметров аэроуцругой устойчивости. Прежде всего это подход, основанный на сведении задачи оптимизации параметров аэроупругой устойчивости к задаче математического црограммирования, где используются явные выражения для градиентов критических параметров. Впервые формулы для производных от флаттерных характеристик по массовым и жесткостным параметрам конструкции крыла малого удлинения были получены В.Г.Буньковым [23]. С использованием этих формул решена задача максимизации критической скорости флаттера крыла летательного аппарата. Была продемонстрирована эффективность использования явных выражений для градиентов критических параметров при решении задачи оптимизации флаттерных характеристик крыльев летательных аппаратов.

Методика вычисления производных от критической скорости, частот и форм флаттера, не использующая сопряженного собственного вектора, описана в [77]. Однако, эта методика вряд ли может быть признана эффективной для решения задач оптимизации флаттерных характеристик, поскольку вычисление градиента критической скорости флаттера по параметрам требует решения j\[ систем линейных уравнений порядка £ гъ + Z ( - число степеней свободы). Формулы для вычисления производных критических параметров устойчивости по параметрам проектирования и основанные на них необходимые условия экстремума приведены в [88, 89, 92, 106, 127, 129, 133, 137, 14 з]. Соотношения, приведенные в работах [129, 130] , не содержат производной от аэродинамической матрицы по критической скорости потери аэроупругой устойчивости, что является ошибкой. В работах [88, 133, 137, 143.] при выводе необходимых условий экстремума не варьируется частота флаттера. Вызывают сомнения рассуждения, приведенные в [14з]э так как число варьируемых параметров, вообще говоря, никак не связано с числом степеней свободы системы, описывающей поведение конструкции крыла в потоке газа. В работах [57, 135] рассмотрены задачи максимизации критической скорости флаттера для распределенных систем. Крыло моделируется консольной балкой и описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Рассмотрены вопросы чувствительности и оптимизации критических параметров аэроупругой устойчивости.

В работах [9, 108, 109, 125] для решения задачи оптимизации характеристик аэроупругой устойчивости крыльев летательных аппаратов используются прямые методы оптимизации. Отметим работу [9], где помимо требований аэроупругой устойчивости учтены комплексные ограничения по статической прочности и аэроупругости (обеспечение потребной величины эффективности управляющих поверхностей). Однако, трудоемкость вычисления градиента целевого функционала, требующая многократного решения прямой задачи, не привела к широкому использованию прямых методов при решении задач оптимизации параметров аэроупругой устойчивости авиационных конструкций. По-видимому, этим объясняется простота модели крыла и малое количество параметров оптимизации, рассмотренных в работе [125].

В работе [93] приведены необходимые условия экстремума, полученные в [92], но они не используются при построении численных алгоритмов решения задачи оптимизации. Авторы используют эвристический алгоритм, приведенный в работе [136]. Заметим, что даже в случае сходимости этого алгоритма необходимые условия экстремума не выполняются. В работе [ЮЗ] приведено краткое описание црограмм, используемых для оптимизации параметров аэроупругой устойчивости крыльев летательных аппаратов.

Следует отметить, что в задачах оптимизации конструкций летательных аппаратов с учетом требований флаттера прежде всего необходимо знание вектора градиента критической скорости аэроупругой устойчивости по массовым, жесткостным и геометрическим параметрам, которыми может распоряжаться проектировщик. Прежде всего это дает ценную информацию о рациональных способах улучшения динамических свойств конструкции, позволяет сделать цриближенные оценки эффекта оптимизации. Градиент может быть использован в разных задачах оптимизации авиационных конструкций с учетом не только требований флаттера, но и ряда других требований: прочности, жесткости, живучести, ресурса, эффективности управляющих поверхностей и т.п.

К числу основных ограничений, которые следует учитывать при проектировании летательных аппаратов, относится требование обеспечения управляемости летательного аппарата по крену. Управляемость летательного аппарата характеризуется относительной величиной - эффективностью органов управления (элеронов). При проектировании конструкции крыла необходимо следить за тем, чтобы величина эффективности рулей лежала в заданных пределах.

Существует несколько путей повышения управляемости летательного аппарата. Это, нацример, введение дополнительных органов управления, дифференцированность отклонения секций элеронов, изменение положения управляющих поверхностей, изменение геометрии конструкции. Во многих случаях наиболее выгодным является перераспределение материала в конструкции крыла с целью изменения его жесткостных характеристик. Учет требований обеспечения потребной величины эффективности элеронов при оптимальном проектировании прямых крыльев большого удлинения выполнен в работах [9, 52, 56, 59] . В работе [70] разработан прямой метод выбора оптимальных жесткостных характеристик при обеспечении требуемой эффективности органов управления. В работе [56] рассмотрена задача о крыле минимального веса при ограничении по скорости, при которой реализуется заданное значение эффективности элерона. Наилучшие распределения жесткости в крыле минимального веса получены с применением метода возмущений. В статье [52] изучены вопросы минимизации веса прямых крыльев летательных аппаратов при совместных ограничениях, наложенных на критические скорости реверса элерона и дивергенции. Максимизации эффективности элерона для стреловидного крыла большого удлинения посвящена работа [14]. Решение оптимальной задачи получено при ограничениях на жесткостные параметры, учитывающие требования статической прочности, ресурса и живучести.

Вопросы минимизации веса прямых крыльев большого удлинения из хаотически армированных изотропных композитных материалов при ограничениях по критическим скоростям реверса и дивергенции рассмотрены в работе [б]. Найдены оптимальные распределения концентрации армирующих включений по размаху крыльев и оценены выигрыши по весу, получаемые за счет оптимизации.

При проектировании летательных аппаратов, помимо правильного распределения материала между элементами конструкции, немаловажным является выбор конструктивно-силовой схемы.

Однако, летательные аппараты представляют собой анизотропные (конструктивно анизотропные) конструкции, поэтому использование анизотропных моделей может более точно описать поведение конструкции. Кроме того, в связи с широким использованием в технике анизотропных материалов и возрастающими возможностями создания различных видов конструктивной анизотропии, становятся актуальными воцросы эффективного использования анизотропных свойств материалов в упругих конструкциях. Представляет интерес отыскание распределения материала в анизотропных конструкциях (из материала с заданной анизотропией), оптимальное расцределение модулей упругости в элементах конструкции, проблемы совместной оптимизации.

В ряде работ [I, 4, 5, 46] рассмотрена задача оптимизации углов ориентации осей анизотропии в задаче максимизации жесткости или минимизации податливости конструкции в случае, когда внешние нагрузки считаются заданными и фиксированными. В авиационной практике представляют интерес задачи выбора направления осей анизотропии в элементах конструкции при учете требований аэроупругости (флаттер, дивергенция, реверс), т.е. цри взаимодействии упругой конструкции с потоком воздуха. В работах [82, I5X] на основе параметрических расчетов для крыла, моделируемого балкой или пластиной, показано, что для крыла обратной стреловидности ориентация конструктивной анизотропии может в значительной степени уменьшить влияние аэроупругости на весовые характеристики крыла.

На основании вышесказанного имеет смысл рассмотреть задачу выбора оптимальных углов ориентации осей анизотропии материала обшивки крыла, моделируемой набором ортотропных панелей, из условия максимизации эффективности органов поперечного управления и критических скоростей флаттера и дивергенции. Следует подчеркнуть, что решение этой задачи может использоваться для целей выбора каркаса конструкции и в качестве дополнительной возможности по увеличению запасов аэроупругой устойчивости и управляемости.

Целью настоящей работы является рассмотрение задач оптимизации неконсервативных механических систем. Развит метод анализа чувствительности динамической устойчивости. Рассмотрены вопросы оптимизации аэроупругих характеристик крыльев летательных аппаратов.

Работа состоит из введения и трех глав.

В первой главе рассмотрены вопросы анализа чувствительности и оптимизации параметров устойчивости неконсервативных механических систем: задача о потере устойчивости упругого стержня переменного сечения, нагруженного распределенной следящей нагрузкой, и задача о флаттере пластинки переменной толщины, колеблющейся в сверхзвуковом потоке газа. Исследованы воцросы чувствительности критических параметров устойчивости и частот колебаний по отношению к вариациям распределений масс и жесткостей. Поставлены задачи максимизации критических параметров устойчивости при неизменной полной массе материала. Варьируемыми функциями являются распределения масс в стержнях и пластинках. Показано, что с помощью введения сопряженной задачи можно вычислить чувствительность критических параметров устойчивости и других характеристик системы по отношению к вариациям различных распределенных и дискретных параметров, что позволяет выявить наиболее существенные параметры, влияющие на интересующие характеристики устойчивости системы. Описана численная процедура оптимизации. В результате решения задачи оптимизации показано, что возможны такие явления, как кратность критических параметров устойчивости, касание и перехлест ветвей характеристических кривых, что приводит к скачкообразному изменению величины критической нагрузки. Характер потери устойчивости в процессе последовательной оптимизации может изменяться. Возможно образование дополнительных областей устойчивости и неустойчивости, что приводит к необходимости следить за изменением всей картины поведения характеристических кривых. Получены существенные выигрыши в значениях критических параметров динамической устойчивости. Это объясняется большой чувствительностью целевых функционалов по отношению к изменениям массовых и жесткостных характеристик. Рассмотренные задачи относятся к исследованиям по структурной стабилизации механических систем.

Вторая глава посвящена вопросам оптимизации параметров аэроупругой устойчивости крыльев летательных аппаратов: рассмотрены задача максимизации критической скорости аэроупругой устойчивости для крыла большого удлинения, моделируемого консольной балкой переменной жесткости, и задача максимизации критической скорости аэроупругой устойчивости для крыла малого удлинения, моделируемого пластиной. Рассмотрены вопросы анализа чувствительности и оптимизации параметров динамической устойчивости дискретных систем. Приведены расчетные цримеры решения задач максимизации критической скорости аэроупругой устойчивости для крыльев большого и малого удлинения при неизменной полной массе материала. В качестве варьируемых параметров выбраны массовые и жесткостные характеристики крыльев: распределенные масса и жесткости на изгиб и кручение для крыла большого удлинения; толщины изотропных и ортотроп-ных панелей, жесткости балок, работающих на изгиб и кручение, величины сосредоточенных грузов - для крыла малого удлинения. Рассмотрены вопросы влияния ориентации осей анизотропии в ортотроп-ном материале обшивки крыла на критические параметры аэроупругой устойчивости. Показано, что с помощью введения сопряженной системы уравнений можно вычислить чувствительность критических параметров аэроупругой устойчивости и других параметров системы по отношению к вариациям массовых, жесткостных и прочих параметров конструкции крыла. Знание характеристик чувствительности позволяет выявить элементы конструкции крыла летательного аппарата, оказывающие наиболее существенное влияние на интересующие характеристики аэроупругой устойчивости, что является ценной информацией для проектировщика, позволяющей находить наиболее рациональные пути изменения конструкции крыла с целью улучшения его аэроупругих характеристик. Показано, что при решении задач оптимизации параметров динамической устойчивости возможны такие явления, как кратность критического параметра устойчивости, т.е. одному и тому же значению критического параметра потока соответствуют две формы потери устойчивости. Кратность критического значения параметра потока приводит к необходимости изменения выражения для улучшающей вариации в процедуре последовательной оптимизации. Большие возможные выигрыши при решении задач оптимизации параметров аэроупругой устойчивости обусловлены большой чувствительностью целевого функционала к вариациям массовых, жесткостных и геометрических характеристик конструкции крыла. Рассмотрены задачи оптимизации параметров аэроупругой устойчивости крыла летательного аппарата посредством выбора ориентации модулей упругости в ортотропном материале обшивки крыла. Приведены численные примеры расчета.

Третья глава посвящена исследованию вопросов чувствительности и оптимизации характеристик поперечной управляемости летательного аппарата: рассмотрены задача оптимизации величины статической эффективности элерона крыла большого удлинения и задача максимизации величины угловой скорости движения крена летательного аппарата с крылом малого удлинения. Исследованы вопросы чувствительности динамической эффективности элерона к вариациям жесткостных характеристик конструкции крыла. Приведены расчетные примеры решения задач максимизации характеристик управляемости для крыльев большого и малого удлинения при неизменной полной массе материала.

В качестве варьируемых параметров выбраны жесткостные характеристики крыльев: распределенные жесткости для крыла большого удлинения, моделируемого консольной балкой; толщины изотропных и ор-тотропных панелей, жесткости балок, работающих на изгиб и кручение - для крыла малого удлинения. Рассмотрены воцросы влияния ориентации осей анизотропии в ортотропном материале обшивки крыла на характеристики управляемости летательного аппарата. Знание характеристик чувствительности позволяет выявить элементы конструкции крыла, оказывающие наиболее существенное влияние на управляемость летательного аппарата. С помощью введения сопряженной системы уравнений можно вычислить чувствительность характеристик статической и динамической эффективности элеронов к вариациям жесткостных характеристик конструкции крыла летательного аппарата. Показано, что помимо распределения материала между элементами конструкции крыла значительный выигрыш в величине эффективности элерона можно достигнуть за счет выбора рационального направ' ления осей анизотропии в материале обшивки крыла.

Научная новизна работы состоит:

1) в постановке и исследовании задач оптимизации параметров динамической устойчивости неконсервативных механических систем;

2) исследовании и выявлении качественных особенностей решений задач оптимизации критических параметров устойчивости стержней, нагруженных следящими нагрузками, пластинки, помещенной в сверхзвуковой поток газа, крыльев летательных аппаратов, моделируемых консольной балкой и пластиной;

3) исследовании задач оптимизации параметров эффективности органов поперечного управления крыльев большого и малого удлинения;

4) развитиии метода анализа чувствительности параметров аэроупругой устойчивости и управляемости к вариациям массовых, жесткостных и геометрических характеристик конструкции крыла;

5) разработке эффективных численных методов оптимизации флаттерных характеристик и оптимизации эффективности элеронов крыльев летательных аппаратов.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [il, 13, 14, 60, 69] и докладывались на Четвертой всесоюзной конференции по оптимальному управлению в механических системах (Москва, 1982), на У Всесоюзном межведомственном симпозиуме по колебаниям упругих конструкций с жидкостью (Новосибирск, 1982), на Межвузовском семинаре-совещании по цроблеме "Оптимизация конструкций при динамических нагрузках" (Тарту, 1982), на семинаре-совещании "Проблемы оптимизации в машиностроении" (Харьков, 1982), на Всесоюзной конференции "Проблемы оптимизации и надежности в строительной механике" (Вильнюс, 1983), на Всесоюзной школе молодых ученых и специалистов "Проблемы оптимизации в машиностроении" (Алушта, 1983), на Всесоюзной конференции "Современные проблемы строительной механики и прочности летательных аппаратов" (Москва, 1983), на научно-технических конференциях в ЦАГИ, на семинарах в ЦАГИ, ИПМ АН СССР, ХПИ.

На защиту выносится:

1) исследование класса задач оптимизации параметров динамической устойчивости неконсервативных механических систем;

2) развитие метода анализа чувствительности параметров аэроупругой устойчивости и управляемости к вариациям массовых и жесткостных характеристик конструкции крыльев летательных аппаратов;

3) разработка эффективных численных методов решения задач оптимизации флаттерных характеристик крыльев и оптимизации характеристик эффективности управляющих поверхностей крыльев летательных аппаратов.

§ 3. Выводы

В результате рассмотрения задач оптимизации характеристик поперечной управляемости летательного аппарата сделаем некоторые выводы.

Во-первых, с помощью введения сопряженной системы уравнений можно вычислить чувствительность характеристик статической и динамической эффективности к вариациям жесткостных характеристик конструкции крыла большого и малого удлинения. Знание харктерис-тик чувствительности позволяет выявить элементы крыла, оказывающие наиболее существенное влияние на величину эффективности органов поперечного управления летательного аппарата.

Во-вторых, возможно такое распределение жесткостных характеристик в крыле малого удлинения, что некоторые элементы конструкции имеют отрицательный градиент функционала эффективности, т.е. уменьшение жесткости этих элементов приводит к увеличению характеристик управляемости летательного аппарата.

В-третьих, помимо перераспределения материала в крыле с целью изменения жееткостных характеристик его элементов, возможно увеличение величины эффективности органов поперечного управления летательного аппарата за счет выбора рационального направления осей анизотропии в материале обшивки крыла. Полученные результаты могут использоваться и для целей выбора конструктивно-силовой схемы крыла (положения и направления основных сосредоточенных подкрепляющих элементов), и в качестве дополнительной возможности по увеличению эффективности органов поперечного управления летательного аппарата.

Рг/c.S. /

Рас. J. а

О /00 200 J00

Pi/c. 3. 7

Рис. S.2

МО

00

300

МО

ЛОО дРО Ъ pvc. J. 9

- 136

Joo

200

ЗОО

Pi/с. 3./0

Рш. ЗМ

1. Баничук Н.В. Минимизация веса крыла при ограничении по скорости дивергенции. Ученые записки ЦАГИ, т. 9, № 5, 1978.

2. Баничук Н.В. Об оптимальной анизотропии скручиваемых стержней. Изв. АН СССР. МТТ, 1978, № 4, с. 73 - 79.

3. Баничук Н.В. Оптимизация форм упругих тел. М.: Наука, 1980.

4. Баничук Н.В., Иванова С.Ю. Некоторые оптимальные задачи статической аэроупругости для крыльев из композиционных материалов. Изв. АН Арм.ССР, Механика, 1982.

5. Баничук Н.В., Миронов А.А. Оптимизация частот колебаний упругой пластинки в идеальной жидкости. ПММ, 1975, т. 39, вып. 5, с. 889 - 899.

6. Баничук Н.В., Миронов А.А. Задачи оптимизации пластин, колеблющихся в идеальной жидкости. ПММ, 1976, т. 40, вып. 3,с. 520 527.

7. Бирюк В.И. О задачах оптимального проектирования конструкции крыла из условий прочности и аэроупругости. Ученые записки ЦАГИ, т. Ш, № 2, 1972.

8. Бирюк В.И., Липин Е.К., Фролов В.М. Методы проектирования конструкций самолетов. М.: Машиностроение, 1977.

9. Бирюк В.И., Баничук Н.В., Шаранюк А.В. Использование анизотропных моделей для синтеза конструктивно-силовых схем. Тезисы Всес. конференции "Севременные проблемы строительной механики и прочности летательных аппаратов". Москва, 1983.

10. Бирюк В.И., Моисеенко В.П. О применении дискретно-непрерывного принципа максимума к задачам оптимального проектирования конструкций. Ученые записки ЦАГИ, 1973, т. 4, № 4.

11. Бирюк В.И., Шаранюк А.В. Оптимизация конструктивно-силовых схем при использовании анизотропных моделей по условиям аэроупругости. Ученые записки ЦАГИ (в печати).

12. Бирюк В.И., Шаранюк А.В., Яремчук Ю.$. Оптимизация конструкции стреловидного крыла из условия эффективности элерона. Ученые записки ЦАГИ, 1981, № 4.

13. Бисплингхофф Р.Л., Эшли X., Халфмэн Р.Л. Аэроупругость. -М.: ИЛ, 1958.

14. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.: шизматгиз, 1961.

15. Болотин В.В. Эффекты стабилизации и дестабилизации в задачах устойчивости упругих систем. В сб.: "Проблемы устойчивости движения, аналитической механики и управления движением". Новосибирск: Наука, 1979.

16. Болотин В.В., Григолюк Э.И. Устойчивость упругих и неупругих систем. В сб.: "Механика в СССР за 50 лет". Т. 3. М.: Наука, 1972. .

17. Болотин В.В., Новичков Ю.Н., Швейко Ю.Ю. Теория аэроупругости. В сб.: "Прочность, устойчивость, колебания". Т. 3. М.: Машиностроение, 1968.

18. Болотин В.В., Симонов Б.П. Устойчивость упругих панелей с присоединенными элементами в сверхзвуковом потоке газа. -Изв. АН СССР. МТТ, 1979, № 2, с. 129 135.

19. Брайсон А.Е., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления. М.: Мир, 1972.

20. Буньков В.Г. Расчет на флаттер крыла малого удлинения. -Тр. ДАШ, вып. 905, 1964.

21. Буньков В.Г. Расчет оптимальных флаттерных характеристик методом градиента. Труды ЦАГИ, вып. 1166, 1969.

22. Буньков В.Г. Особенности свободной схемы летательного аппарата при решении задач аэроупругости. Труды ЦАГИ, вып. 1166, 1969.

23. Буньков В.Г., Рыбаков А.А. К расчету оптимальных флаттерных характеристик. Труды ЦАГИ, вып. 1166, 1969.

24. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967.

25. Вольмир А.С. Оболочки в потоке жидкости и газа. Задачи аэроупругости. М.: Наука, 1976.

26. Галкин М.С. К вопросу о динамической устойчивости мембран в сверхзвуковом потоке газа. Ученые записки ЦАГИ, т. 7,3, 1976.

27. Гирсанов И.В. Лекции по математической теории экстремальных задач. М.: изд-во МГУ, 1970.

28. Голубев И.С. Аналитические методы проектирования конструкций крыльев. М.: Машиностроение, 1970.

29. Григолюк Э.И., Лампер Р.Е., Шандаров Л.Г. Флаттер панелей и оболочек. В сб.: "Механика. Итоги науки". М.: ВИНИТИ АН СССР, 1965.

30. Гроссман Е.П. Флаттер. Труды ЦАГИ, вып. 284, 1937.

31. Гроссман Е.П. Флаттер хвостового оперения. Труды ЦАГИ, вып. 501, 1940.

32. Демьянов В.Ф., Малоземов В.Н. Введение в минимакс. М.: Наука, 1972.

33. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. -М.: Наука, 1974.

34. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976.

35. Келдыш М.В. Вибрации в воздушном потоке крыла с подкосами. -Труды ЦАГИ, вып. 357, 1938.

36. Келдыш М.В., Пархомовский Я.М. Колебания крыла с упруго прикрепленным мотором. Труды ЦАГИ, вып. 535, 1941.

37. Комков В. Теория оптимального управления демпфированием колебаний простых упругих систем. М.: Мир, 1975.

38. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972.

39. Литвинов В.Г. Некоторые вопросы оптимизации пластин и оболочек. Прикл. механика, 1972, т. 8, Ар° II, с. 33 - 42.

40. Лурье К.А. Оптимальное управление в задачах математической физики. М.: Наука, 1975.

41. Лурье К.А., Черкаев А.В. 0 применении теоремы Прагера к задаче оптимального проектирования тонких пластин. Изв. АН СССР. МТТ, 1976, № 6, с. 157 - 159.

42. Малков В.П., Угодчиков А.Г. Оптимизация упругих систем. -М.: Наука, 1981.

43. Новичков Ю.Н. Флаттер пластин и оболочек. В сб.:"Механика деформируемого твердого тела". Т. П. Итоги науки и техники. М.: ВИНИТИ АН СССР, 1978.

44. Образцов И.Ф., Васильев В.В., Бунакова В.А. Оптимальное армирование оболочек вращения из композитных материалов.1. М.: Машиностроение, 1977.

45. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. М.: Наука, 1979.

46. Понтрягин JI.C., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969.

47. Попов Л.С. О влиянии фюзеляжа и хвостового оперения самолета на вибрации крыла. Труды ЦАГМ, вып. 343, 1938.

48. Прагер В. Основы теории оптимального проектирования конструкций. М.: Мир, 1977.

49. Пшеничный Б.Н. Необходимые условия экстремума. М.: Наука, 1969.

50. Сейранян А.П. Оптимизация веса крыла при ограничении по статической аэроупругости. Изв. АН СССР. МТТ, № 4, 1978.

51. Сейранян А.П. Задача минимизации веса крыла с обратной стреловидностью при ограничении по скорости дивергенции. Ученые записки ЦАГИ, № 6, 1979.

52. Сейранян А.П. Оптимизация устойчивости пластинки в сверхзвуковом потоке газа. Изв. АН СССР. МТТ, № 5, 1980.

53. Сейранян А.П. Пластинка, оптимальная по устойчивости в сверхзвуковом потоке газа. Труды ХП Всес. конференции по теории оболочек и пластин. Ереван: изд-во ЕГУ, т. 3, 1980.

54. Сейранян А.П. Оптимальная задача об эффективности элерона. -Изв. АН Арм.ССР, Механика, т. 33, № I, 1980.

55. Сейранян А.П. Анализ чувствительности и оптимизация характеристик аэроупругой устойчивости. Препринт Ин-та проблем механики АН СССР, № 162, 1980.

56. Сейранян А.П. Влияние распределения масс и жесткостей на критическую скорость флаттера. Изв. АН Арм.ССР, Механика, № 3, 1981.

57. Сейранян А.П., Арутюнов Ю.А. Оптимизация жесткостных характеристик крыла с применением принципа максимума. Ученые записки ЦАГИ, т. I, № 5, 1976.

58. Сейранян А.П., Шаранюк А.В. Чувствительность и оптимизация критических параметров в задачах динамической устойчивости. -Изв. АН СССР. МТТ, 1983, № 5.

59. Сейранян А.П., Шаранюк А.В. Задачи оптимизации динамической устойчивости. Динамика и прочность машин: Респ. межвед. научн.-техн. сб. Вып. 40. - Харьков: Вища школа, изд-во при ХГУ, 1984, с. 98 - 102.

60. Троицкий В.А. Оптимальные процессы колебаний механических систем. М.: Машиностроение, 1976.

61. Троицкий В.А., Петухов JI.B. Оптимизация формы упругих тел. -М.: Наука, 1982.

62. Украинцев Г.В., Фролов В.М. Метод оптимизации силовой конструкции крыла по жесткости при варьировании распределением относительной толщины профиля. Ученые записки ЦАГИ, т. 3, № 4, 1972.

63. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978.

64. Фын Я.Д. Введение в теорию аэроупругости. М.: Физматгиз, 1959.

65. Черноусько Ф.Л., Акуленко Л.Д., Соколов Б.Н. Управление колебаниями. М.: Наука, 1980.

66. Черноусько Ф.Л., Баничук Н.В. Вариационные задачи механики и управления. Численные методы. М.: Наука, 1973.

67. Шаранюк А.В., Яремчук Ю.Ф. Проектирование конструкции крыла из условия максимизации эффективности элеронов. Ученые записки ЦАГИ, т. ХУ, № 2, 1984.

68. Яремчук Ю.Ф. Исследование влияния параметров жесткости конструкции самолета на характеристики эффективности его органов управления. Труды ЦАГИ, вып. 1831, 1977.

69. Armand J.-L. Applications of optimal control theory to structural optimization: analytical and numerical approach. Proc. IUTAM Symposium on Optimization in Structural Design, Warsaw, Berlin, Springer-Verlag, 1973, p. 15 39 •

70. Ashley H. On making things the best-aeronautical uses of optimization. Journal Aircraft, v. 19, К 1, Jan. 1982, p. 228 234-.75» Ashley H., Mcintosh S.C. Application of aeroelastic constraints in structural optimization. Proc. 12th Internat.

71. Congress of Theoret. and Appl. Mech., Stanford, Berlin, Springer-Verlag, 1968, p. 100 113.

72. Claudon J.L., Sunakawa M. Optimizing distributed structuresfor maximum Butter load. AIAA J. 19, 1981, p. 957 95981. Dwyer W.J., Emerton R.K. An automated procedure for the optimization of practical aerospace structures. AF3?DL-TR-70-118, 1971.

73. Ellis W., Dobbs S.K., Miller J.D. Structural design and wing turnel testing of a forvard swept foghter wing. AFWAL-TR80 30 73, 1980.

74. Gellatly R.A., Berke L. Optimal structural design. APFDL-TR-70-165, 197b'.

75. Gellatly R.A., Berke L. A magic compartible large scale automated minimum weight design program. AFFDL-TR-74-97,1974.

76. Gellatly R.A., Helenbrook R.G., Kocher L.H. Multiple constraints in structural optimization. Int. J. for Numerical

77. Methods in Engineering, v. 13, 1978, N 2, p. 297 309.

78. Greene W.H., Sobieszczanski-Sobieski J. Minimum mass sizing of a large low-aspect ratio airframe for flutter-free performance. J. Aircraft, v. 19, 1980.

79. Greene W.H., Sobieski J.S. Minimum mass sizing of a large low-aspect ratio airframe for flutter-free performance. NASA TM-81-818, 1980.

80. Gwin L.B., Taylor R.F. General method for flutter optimization. AIAA Paper N 73 391.

81. Haftka R.T. Automated procedure for design of wing structures to satisfy strength and flutter requirements, NASA TN-D-7264, 1973.

82. Haftka R.T., Prasad B. Programs for analysis and resizing of complex structures. Int. J. Computers and Stractures, 1979» IV, v. 10, N 1 2, p. 323 - 350.

83. Haftka R.T., Starnes J.H. Application of quadratic extended penalty function for structural optimization. AIAA J., v. 14, 1976.

84. Haftka R.T., Starnes J.H., Barton F.W. Comparison of two types of structural optimization procedures for satisfying flutter requirements. AIAA Paper 74-405, 1974.

85. Haftka R.T., Starnes J.H., Barton F.W., Dixon S.C. Comparison of two types of structural optimization procedures for satisfying flutter requirements. AIAA J., v. 13, N 10, 1973.

86. Haftka R.T., Yates E.C. On repetitive flutter calculations in structural design. J. Aircraft, 1976, v. 13, N 7, p. 454461.95» Hanaoka II., Washizu К. Optimum design of Beck's column.

87. Computer and. Structures, 1980, К 11, p. 473 480.

88. Hang E.J., Feng T.T. Optimal design of dynamically loaded continuous structures, Int. J. for Numerical Methods in Engineering, 1978, v. 12, N 2, p. 299 - $17.

89. Isakson G., Pardo H., Lerner E., Venkayya V.B. AS0P-3,

90. A program for optimum structural design to satisfy strenght and deflection constraints. J. Aircraft, v. 15, 1978, p. 422 - 428.

91. Kiusalaas J., Reddy G.B. DESAP-2 a structural design program with stress and buckling constraints. NASA CR-2797, 1977.

92. Khot IJ.S. Computer program (OPTCOMP) for optimization of composite structures for minimum weight design. AFFDL-TR-76-149, 1977.

93. Leipholz E. Analysis of nonconservative, nonholonomic system. Proc. IUTAM Cong., Toronto, Canada, Springer-Verlag, Hew York, 1980.

94. Mc Donald E.P. The minimum weight design of wing for flutter conditions. J. Aero Sci, 1953, v. 20, N 8.

95. Mcintosh S.C., Ashley H. On the optimization of discrete structures with aeroelastic constraints. Computers and Structures, v. 8, N 5, 1978.

96. Mclntish S.C., Eastep F.E, Design of minimum-mass structures with specified stiffness properties. AIAA J., v. 6, N 7, 1968, p. 962 - 964.

97. O'Connell R.F., Hassig H.J., Radovcich N.A. Study of flutter related computational procedures for minimum weight structural sizing of advanced aircraft-supplemental data. -NASA CR-152722, 1975.

98. O'Connell R.F., Hassig H.J., Radovcich N.A. Structural optimization with flutter speed constraints using maximized step size. J. Aircraft, v. 14, 1977.

99. Odeh F., Tadjbaksh I. The shape of the strongest column with a follower load. J. Opt. Theory and Appl. , 15, 1975.

100. Olhoff IT., Rasmussen S.H. On single and bimodal optimum budding loads of clamped columns. Int. J. Solids and Structures, v. 13, N 7, 1977, p. 605-614.

101. Pedersen P., Seyranlan A.P. Sensetivity analysis for problems of dynamic stability. DCAMM Report N 229, 1982.

102. Pieson B.L. Panel flutter optimization by gradient projection. Int. J. Numer. Meth. Eng., v. 9, IT 2, 1975»

103. Pierson B.L., Hajela P. Optimal aeroelastic design of an unsymmetrically supported panel. J. Struct. Mech., 1980, v. 8, N 3.

104. Pines S., Newman M. Constrained structural optimization for aeroelastic requirements. J. Aircraft, v. 11, N 6, 1974.119« Plaut R.H. The effect of various parameters on an aeroelastic optimization problem. J. Opt. Theory and Appl., v. lo, N 5, 1972.

105. Plaut R.H. Optimal design for stability under dissipative, gyroscopic, or circulatory loads. Proc. ЮТАМ Symp., Warsaw, Poland, Springer-Verlag, 1975» Р» 168 - 180.

106. Plaut R.H. Determining the nature of instability in non-conservative problems. AIAA J., v. 10, 1972, p. 967 - 968.

107. Prager W., Taylor J.E. Problems of optimal structural design. J. Appl. kech. Trans. ASME, 1968, v. 35, N 1, p. 102 - 106.

108. Prasad S.N., Herrmann G. The usefulness of adjoint systems in solving nonconservative stability problem of elastic con-tinua. Int. J. Solids Structures, N 5, 1969.

109. Prasad S.N., Herrmann G. Adjoint variational methods in non-conservative stability problems. Int. J. Solids and Structures, N 8, 1972.

110. Radovcich N.A. Structural optimization with, flutter speed and minimum gage constraints. 1974, N 5* LP-26405 (AD-AO^ 604).

111. Rangacharyulu M.A.V., Done G.T.S. A survey of structural optimization under dynamic constraints. Shock and Vibration, N 12, 1979.

112. Rao S.S. Rates of change of flutter Mack number and flutter frequency. AIAA J., v. 10, N 11, 1972.

113. Rizzy P. Optimization of multi-constrained structures based on optimality criteria. Proc. AIAA/AIAA/SAE 17th Structures, Structural Dynamics and Materials Conf., May 1976, King of Prussia.

114. Rudisill C.S., Bhatia K.G. Optimization of complex structures to satisfy flutter requirements. AIAA J., v. 9,1. N 8, 1971.

115. Rudisill C.S., Bhatia K.G. Second derivatives of flutter velocity and the optimization of aircraft structures. -AIAA J., v. 10, N 12, 1972.

116. Sobieski J.S., Barthelemy J.F., Riley K.M. Sensitivity of optimum solutions to problem parameters. Proc. AIAA/ASME/ ASCE/AHS 22nd Structures, Structural Dynamics and Materials Conference, Atlanta, Ga., April, 1981.

117. Santini P., Balis-Crema L., Peroni I. Structural optimization in aeroelastic conditions. "Aerotecnica Missile e Spazio", 1976, II - IV, v. 55, N 1 - 2, p. 83 - 95.

118. Segenreich S.A., Mcintosh S.C. Weight minimization of structures for fixed flutter speed via an optimality criterion. AIAA Paper, 75 - 779, 1975.

119. Seyranian A.P. Homogeneous functionals and structural optimization problems. Int. J. Solids and Structures, v. 15, N 10, 1979.

120. Seyranian A.P. Sensitivity analysis and optimization ofaeroelastic stability. Int. J. Solids Structures, v. 18, N 9, 1982.

121. Siegel S. A flutter optimization program for aircraft structural design. AIAA Paper, 72 - 795, 1972.

122. Simodynes E.E. Gradient optimization of structural weight for specified flutter speed. J. Aircraft, v. 11, N 3, 1974.

123. Stroud W.J. Automated structural design with aeroelastic constraints: "A Review and Assessment of the State of the Art". ADM, v. 7, ASME, 1974.

124. Sudararajan C. Optimization of non-conservative elastic system with stability constraint. J. Opt. Theory Applic., 16 (34),1975*

125. Tadjbaksh I., Keller J.B. Strongest columns and isoperimet-ric inequalities for eigenvalue. J. Appl. Mech., 1962,v. 29, U 1.

126. Taylor J.E. The strongest column, an energy approach. J. Appl. Mech. Trans. ASME, 1967, v. 34, N 2.

127. Taylor R.F, Gwin L.B. Application of a general methods for flutter optimization. AGARD CP-123, 1973.14$. Turner M.J. Optimization of structures to satisfy flutter requirements. AIAA J., v. 7, N 5> 1969.

128. Venkayya Y.B. Design of optimum structures. Int. J. Computers and Structures, v. 1, N 1 - 2, 1971»

129. Venkayya V.B. Structural optimization: A Review and Some Recommendations. Int. J. Numer. Meth. Eng., 13, 1978.

130. Venkayya V.B., Khot N.S., Berke L. Application of optimality criteria to automated design of large practical structures. AGARD CP-123, 1973.

131. Vepa K. Generalization of an energetic optimality condition for non-conservative systems. J. Struct. Mech., 2, 1973»

132. Vitte W.J., Mcintosh S.C., Ashley H. Application of aeroe-lastic constraints in structural optimization. Stanford University, SUDMR Report N 390, 1968,

133. Weisshaar T.A. Аегоelastic optimization of a panel in high mach number supersonic flow. J. Aircraft, v. 9, N 9» 1972.

134. Weisshaar T.A. Panel flutter optimization a refined finite element approach. Int. J. Numer. Meth. Eng., v. 10, N 1, 1976.

135. Weisshaar T.A. Divergence of forvard sweept composite wings. AIAA Paper 79 - 722, 1979.

136. Weisshaar T.A., Plaut R.H. Structural optimization under non-conservative loading. Proc. NATO Advanced Study Inst., p. 843 - 864, Sijthoff and Noordhoff, Amsterdam, 1981.

137. Wilkinson K., Lerner E., Taylor R.E. Practical design of minimum-weight aircraft structures for strength and flutter requirements. J. Aircraft, v. 13, 1976.

138. Ziegler H. Principles of structural stability. Blaisdell, Waltham, Mass., 1968.