Теоретические и экспериментальные исследования неодномерного движения тела вращения в упругопластической среде тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правзх рукописи

Осипенко Кирилл Юрьевич

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕОДНОМЕРНОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ В УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЙ СРЕДЕ

01.02.04 — механика деформируемого твердого тела /

Автореферат

чГ

Диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва-2006

Работа выполнена в Институте проблем механики Российской академии паук.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук Симонов И.В.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Бураго Н.Г. кандидат физико-математических наук Звягин A.B.

Ведущая организация:

Московский государственный технический университет им, Н.Э. Баумана

Защита диссертации состоится 21 декабря 2006 г. в часов на заседании

диссертационного совета Д 002.240.01 при Институте проблем механики РАН

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем механики РАН

Автореферат разослан^ ноября 2006 г.

Ученый секретарь

Диссертационного совета Д 002.240.01 Канди дат физико-математических наук

Е.Я. Сысоева

¿3363

Автореферат

Актуальпосгь работы. Задачи о проникании и движении тел в различных средах возникли в механике сплошных сред в самом начале её развития. Это вызвано прежде всего большим количеством практических проблем, решение которых сводится к описанию движения тела в некоторой среде. Классическими задачами такого типа являются задачи гидро и аэродинамики. Однако гидро и аэродинамикой перечень задач о движении тел в сплошной среде не исчерпывается. Аналогичные проблемы возникают при производстве таких работ, как обработка почвы в сельском хозяйстве, при землеройных работах, при бурении и безусловно в приложениях военно-технического характера. В последнее время опубликован ряд предложений по технологаям, основанным на явлении глубокого проникания ударциков. Так, разрабатываются научные станции для изучения физико-химических свойств структур на поверхностях планет, выдвинуты предложения по управляемому воздействию на вулканическую и сейсмическую деятельность. С другой стороны, в опытах по внедрению осесимметричных ударников в различные среды часто наблюдались эффекты искривления траектории движения при несимметричной кавитации (иногда такая траектория имела форму петли и происходил выброс ударника из мишени с разворотом 180 ). В этой связи, вопросы расчета глубокого проникания, оптимизации формы тела и анализа устойчивости его движения в прочной среде становятся принципиально важными.

Цель настоящей работы. Цель проведённых исследований заключается в построении математической модели, описывающей вход и пространственное движение тела вращения в уиругопластической среде с учетом отрыва потока с боковой поверхности тела, экспериментальной проверке этой модели и исследовании устойчивости прямолинейного движения тела.

Методы исследования. В работе использовались методы механики сплошных сред, теоретической механики, математического анализа, атак же экспериментальные исследования и численные методы.

Научпая новизна работы состоит в следующем;

1. Получена система дифференциальных уравнений, описывающая вход и пространственное движение тела вращения о учетом нссимметричпого отрыва потока среды.

2. Поведена серия экспериментов по прониканию сплошных стальных конусов в пластилин при варьировании начального угла атаки.

'Изучались траектории движения. Экспериментальные траектории сравнивались с численными расчетами по модели.

3. Исследована устойчивость по Ляпунову прямолинейного движения тонких тел. Найдены формулы для вычисления критического положения центра масс тела для случая безотрывного обтекания и случая, когда при любом бесконечно малом возмущении на теле возникает малая зона несимметричного отрыва.

Достоверность получешшх результатов вытекает из корректности постановок исследуемых задач и сопоставлении результатов с экспериментами.

Апробация диссертации. Основные результаты диссертации докладывались в Московском государственном техническом университете им. Н.Э. Баумана, на кафедре газовой и волновой динамики механико-математического факультета МГУ,

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА С.-Петербург

на семинаре военно-воздушной инженерной академии имени Н.Е. Жуковского, на секции механики деформируемого твердого тела ИПМсх РАН, IX всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике, Четвертых Окуневских чтениях и др. съездах и конференциях.

Публнкации. По теме диссертации опубликовано 5 статей в журналах Российской академии наук и трудах международных конференций.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы. Список литературы содержит 75 наименований. Общий объем диссертации составляег 72 страницы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается краткий исторический обзор исследований, непосредственно примыкающих к теме диссертации, что позволяет судить об актуальности темы, приводятся основные результаты, полученные автором, дается анализ полученных результатов с точки зрения их новизны по сравнению с известными.

В первой главе рассматривается симметричное обтекание конуса плотной средой с присоединенной ударной волной. Среда описывается уравнением состояния жидкости с нелинейной диаграммой сжимаемости, отвечающей реальному поведению мягких грунтов при интенсивных пагрузках. Пластическое сопротивление сдвигу учитывается лишь на поверхности конуса для вычисления поправки к сопротивлению. Проведен анализ критических чисел Маха и критического угла фронта волны при переходе к режиму с отсоединенной ударной волной, построены зависимости коэффициента сопротивления и безразмерного давления от угла конуса и числа Маха. Результаты сопоставлялись с решениями в предположении несжимаемости среды за фронтом ударной волны и обтекания тонкого конуса при очень больших числах Маха. Дана оценка глубины проникания конуса конечной длины в рассматриваемом режиме.

Во второй главе изучается вход и движение тела вращения в полупространстве с учетом несимметричного отрыва потока среды.

Рассматривается осесимметричное жесткое тело массы т, средней плотности р1 и главным моментом инерции лри поперечном вращедии /, которое движется по инерции. Тело имеет гладкий меридиан Я = Я (£) (0 < I < Ьт) и,быть может, кромки 1 = 0, где Я — радиус, Ь— расстояние от носика вдоль оси тела. Среда характеризуется плотностью рй, модулем сдвига ц, динамическим пределом текучести Мизеса ¡г, и несжимаемостью. В задачах обтекания при дозвуковых скоростях сжимаемость вторична, а при наличии объемной пластичности может быть учтена заменой начальной плотности на осредненную плотность упакованного грунта А,-

В начальный момент времени * = 0 заданы вектор скорости у0 центра масс тела, расположенного при Ь = > 0, его угловая ориентация и вектор угловой

скорости вращения относительно центра масс Й=(0,£22,Й3). Вращение относительно оси симметрии отсутствует.

Для описания кинематики движения и вычисления силовых факторов абсолютную прямоугольную систему координат ХУ2 ориентируем так, что начальное положение вектора скорости тела совпадает с осью X (фиг. 1). Трехмерная цилиндрическая система координат Я'грЬ (0 ^ д> ^ 2тг) и, связанная с центром масс, местная прямоугольная система координат

Ьтх-Ъс-Ъ, Ьту = £'соз<р, Ьт2 = К'эт<р жестко сцеплены о телом. Перемещение центра масс и движение остальных точек фигуры будем описывать векторами Хс=(Хс,7с,гс) и X=(X, У,2), соответственно, в зависимости от безразмерной

длины пути 5: Хс = Хс (х)..... Проекция скорости тела на ось * считается

неотрицательной (у, £ 0).

Область отрыва потока

Фиг. 1

Введем новые безразмерные величины:

и Ж ¿г

к 7 1 / «

г=—, /=—, 1с=т-> /=-77=37. ю =

К . К 4, <Я Ъ

Связь радиус-вектора Н и векторов абсолютной, переносной и угловой скоростей У(^), у(л) и £!(«) между собой, а также выражения для внешней нормали п, проекций вектора скорости на нее и на касательную плоскость к поверхности и местпого угла атаки д — наклона площадки на поверхности тсяа к вектору скорости V в системе координат хуг даются формулами:

п = (у,соз<р,+Г2)~'П, П = Х-Хг=(х,у,г), у=(у„

= У,=У-пУ„, (V,)2 = V2-V' = (соэ^)2, (1)

^ _ у+усогг-у0гу-а, яшу»

© = +й)2г-й>}у)2 + а,2 + , а, =-ш3х-г]г, аг=<о2х-1]3.

Отрыв потока учтем введепием критического угла отрыва у., зависящего от начальных напряжений, скорости и формы тела, и примем критерий отрыва общего вида

5- = Я-у,=0, у, = у.(^,У,...). (2)

При идеальном отрыве у, = 0.

Будем различать зону смачивания Я", где 5, > 0, и зону отрыва 5*, где 8' < О, = ^ + 5' — полная поверхность тела. Вектор напряжения на поверхности фигуры представим в виде: о = (г,пт-сг„п)#(<Г), Я(<5) = 0 или 1 (¿><0 или <Уй:0), где т, = сопя! заданное касательное напряжение (пластическое трение); п,— *

единичный касательный вектор в направлении скольжения; а„ > 0 — контактное давление.

Величина нормального контактного напряжения представляется в виде суммы У

гидродинамического и прочностного слагаемого

с^^^+Ъ^, С, = СДзтгО

Коэффициент лобового прочностного сопротивления Ъа зависит от отношения . Начальными напряжениями и влиянием присоединенной массы на результирующие силы ввиду их обычной малости пренебрегаем.

Затем рассматривается процесс проникания тела в полупространство X>0. Положение тела, имеющего неподвижную точку, задается тремя углами Эйлера: углом прецессии у/,, углом нутации 0е и углом чистого вращения <рс.

В этом случае полная система уравнений будет состоять из

А), системы дифференциальных уравнений движения тела в подвижной системе координат

к'=2к(-/г -ад +ад),

со! = лЛ2) ~®2/г -^^«з . (■)=<*/&.

Б), выражений для безразмерных равнодействующих сил и моментов, входящих в уравнения

■V

гш = х (- о™)] Н ) Н (.ХГ) сК.

Здесь

К - это главный вектор результирующих сил М - главный вектор моментов . .

с2 _ г , ¿¿„г, • Й,р„

Ълл т 2т 2 пгт1

те

А 7 Ьт

С). Выражений вектора скорости движения центра масс в неподвижной системе координат ХУ2 через его проекции на оси подвижной системы координат хуг

Д). выражение производных эйлеровых углов через проекции угловой скорости на оси, связанные с телом

Е). начальные условия

Полученная система уравнений и начальные условия составляют задачу Коши, описывающую вход и движение тела вращения в упругопластаческой среде. Система является автономной и удобна для проведения качественного и численного анализа движений тел в прочных средах.

Для упрощения численного решения в задаче были введены дополнительные ограничения на безразмерный радиус тела и модуль вектора угловой скорости. В этом случае удалось провести интегрирование по полярному углу в выражениях для

равнодействующих сил и моментов, что позволяет значительно сократить время численного расчёта.

В третьей главе рассматриваются эксперименты по прониканию сплошных стальных конусов полурастаора у =8.167° в пластилин. Конуса имели диаметр 7 мм, длину 23 мм, диаметр затупления носовой части 0.47 мм., массу 2.354 - 2.5 гр. Разгон тела производился пневматической метательной установкой. Вектор скорости был направлен по нормали к поверхности мишени. Для разгона и приближенного задания угла атаки, конус фиксировался пробкой или клинышком из бальсы в деревянном стакане из бальсы или липы (фиг. 2), массой 0.34 - 0.4 гр. Точность задания угла атаки была невысокой и он мог изменяться при входе из-за взаимодействия с осколками стаканчика, поэтому в расчетах это был варьируемый параметр и производилась его подгонка. Скорость соударения варьировалась от 254 до 325 м/с и измерялась с помощью фотодиодов, установленных вдоль оси стрельбы на фиксированном расстоянии. Внедрение происходило в один или два (поставленных последовательно без зазора) пластилиновых блока толщины 100 - 120 мм. Фотографировалась остаточная каверна после разреза мишени по плоскости движения центра масс тела. Предел текучести определялся по измерению температуры пластилина Т и известной из динамических экспериментов Бивипа Ю.К. зависимости

Были проведены 7 экспериментов при варьировании угла атаки с целью калибровки и сопоставления с результатами расчетов по модели.

Фотографии остаточной каверны в экспериментах по прониканию конусов показаны на фиг. 3-6. Видно, что существует два типа траекторий. На Фиг. 3, 4 траектория конуса после входа в среду постепенно выпрямляется. На фиг. 5, б возмущения возрастают и в конце траектории происходит "кувырок" (или разворот) конуса. Сплошной линией на фотографиях нанесены расчетные траектории. Здесь аа -начальный угол атаки при котором проводился расчет1. В модели предполагалось, что проекция вектора скорости на ось * больше нуля, поэтому в случае "кувырка" расчет проводился до момента, разворота оси конуса перпендикулярно вектору скорости.

На фиг. 7,8 пунктирными линиями 2'-7' показаны траектории движения центра масс конуса в экспериментах, которые находилось по остаточной каверне. Соответствующие экспериментам расчетные траектории обозначены сплошными линиями 2-7. Стрелками показало направление оси симметрии конуса (ось х).

Фиг.2

В четвертой главе исследована устойчивости по Ляпунову прямолинейного движения тонкого выпуклого тела вращения, имеющего образующую ненулевой кривизны. Использовался подход аналогичный плоскому случаю, исследованному ранее Симоновым И.В. Осевая скорость тела замораживается (at = const). Разложив правые части системы (3) в ряд Тейлора в окрестности точки <о = ц = 0 с точностью до бесконечно малых первого порядка была построена система уравнений первого приближения.

В случае квадратичной зависимости коэффициента сопротивления от угла атаки элементарной площадки (Сх = Сf sin2 S) и отсутствия касательных напряжений (г = 0) были пайдепы критерии устойчивости прямолипейного движения тела.

Рассмотрены два варианта:

1. Безотрывное обтекание, когда нри нормированных малых возмущениях |ц|+)ю| с 1 отрыв на боковой поверхности не происходит.

2. Возникновение малой зоны несимметричного отрыва, когда при прямолинейном движении гладкого тела па параллели / =/0 образуется отрыв потока от тела Оказалось, что при безотрывном обтекании и в случае малой зоны несимметричного отрыва лианеризованная система дифференциальных уравнений поперечного движения распадается на две независимых системы второго порядка, описывающих движение тела в двух взаимоперпендикулярных плоскостях, причем обе эквивалентны системе уравнений, получеппой ранее Симоновым И.В. при изучении устойчивости плоского движения. Отсюда следует, что критерии устойчивости, полученные Симоновым И.В., остаются справедливыми и в пространственном случае.

Теорема-. Прямолинейное движение тонкого тела вращения будет устойчивым в смысле Ляпунова при расположении центра масс /с </, и неустойчивым при 1С > /„, где критическая длина ls задается формулами:

(a). При безотрывном обтекании боковой поверхности тела 1,=1г\

(b). В случае малой зоны несимметричного отрыва:

/ =/ , 4(P<Jo-PI)(S+PA-PI)

7 -пМ-РгЛ p-2\l'R.dR„ Y=^±£*.(/0)>0

£Ро i еК

„ г 2т о Y о У. V dfi

nVmiipaCf гш r„ di

'Ч

где е = 1 в случае /0 < 1 и с = 2, если условие отрыва при прямолинейном движении выполняется на задней кромке (/0 = 1).

Осповпые результаты диссертация.

Рассмотрено симметричное обтекание конуса плотной средой с присоединенной ударной волной. Проведен анализ критических чисел Маха и критического угла фронта волны, построены зависимости коэффициента сопротивления и безразмерного давления от угла конуса и числа Маха. Результаты сопоставлялись с решениями в предположении несжимаемости среды за фронтом ударной волны и обтекания тонкого конуса при очень больших числах Маха.

Получена система дифференциальных уравнений, описывающая вход и движение тела вращения в полупространстве с учетом несимметричного отрыва потока среды. Для упрощепия численного решения задачи были введены дополнительные ограничения на радиус тела и модуль вектора угловой скорости. В этом случае удалось провести интегрирование по полярному углу в выражениях для равнодействующих сил и моментов, что позволяет значительно сократить время численного расчёта. Для проверки модели были проведены эксперименты по прониканию сплошных стальных конусов полураствора 8.167" в пластилин при варьировании главным образом начального угла атаки. После проведения эксперимента мишень разрезалась по плоскости движения центра масс тела и фотографировалась остаточная каверна. Экспериментальные траектории сопоставлялись с результатами численных расчётов. Сравнение показало, что после калибровки предложенная модель позволяет с хорошей точностью рассчитывать плоское движение твердых тел вплоть до начала "кувырка" (разворота оси тела перпендикулярно вектору скорости). Хотя для случая пространственного движения сопоставление с экспериментом не проводилось из-за сложности его постановки, есть основания полагать, что и в этом случае модель позволит с приемлемой точностью моделировать процесс проникания. Аналитически была исследована устойчивости по Ляпунову прямолинейного движения тонких тел в случае отсутствия касательных напряжений. Оказалось, что при безотрывном обтекании и в случае малой зоны несимметричного отрыва система •дифференциальных уравнений поперечного движения распадается на две независимых системы второго порядка, описывающих движете тела в двух взаимоперлеццикулярных плоскостях, причем обе эквивалентны системе, полученной ранее Симоновым И.В. при изучении устойчивости плоского движения. Поэтому критерии устойчивости, полученные для плоского движения, остаются справедливыми и в пространственном случае.

Список работ по теме диссертации

1. Осипенко КЮ., Симонов И.В. Обтекание конуса сверхзвуковым потоком пористой среды // Изв. РАН. MIT. 2001. № 2. С. 87-96.

2. Осипенко КЮ., Симонов И.В. Модель пространственной динамики тела вращения при взаимодействии с малопрочной средой и несимметричной кавитации//Изв. РАН. МТТ. 2002. №1. С. 143-153.

3. Симонов И.В., Осипенко КЮ. Устойчивость, траектории и динамический изгиб затупленного тела вращения при проникании в упругоплаетическухо среду // Прикладная механика и техническая физика. 2004. Т. 45, № 3. С. 146-160.

4. Осипенко К. Ю. Баллистика осесимметричных тел при движении в прочной среде с отрывом потока. Материалы докладов международной научно-практической конференции "Третьи Окуневские чтения". Т. 1. Санкт-Петербург,

24-29 июня 2002 г.

5. И. В. Симонов, К. Ю. Осипенко Устойчивость, траектории и динамический изгиб затупленного тела вращения при проникании в упругопластическую среду // Прикладная механика и техническая физика. 2004. Т. 45, № 3. С. 146-159.

6. Осипенко К.Ю. Криволинейное движение тела вращения в упругопластической среде. // ИПМех РАН, препринт № 810, Москва, 2006 г.

Фиг. 3

Фиг. 4

Осипенко Кирилл Юрьевич

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕОДНОМЕРНОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ В УНРУГОПЛАСТИЧЕСКОЙ СРЕДЕ

Подписано к печати 9.11.2006 Заказ № 24-2006 Тираж 70 экз.

Отпечатано в Институте проблем механики РАН 119526 Москва, пр-т Вернадского, 101-1

£<2e>6 4 <23363

»2 233 63

Введение.

Глава 1. ОСЕСИММЕТРИЧНОЕ ОБТЕКАНИЕ КОНУСА СВЕРХЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ ПОРИСТОЙ СРЕДЫ.

1. Постановка задачи.

2. Численное решение.

3. Результаты расчетов.

4. Решение задачи в предположении несжимаемости среды за фронтом ударной волны.

5. Идеально уплотняющаяся среда.

6. Расчет глубины проникания.

Глава 2. НЕОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ В УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЙ СРЕДЕ С УЧЁТОМ НЕСИММЕТРИЧНОГО ОТРЫВА ПОТОКА С БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ ТЕЛА.

1. Физическое описание и гипотезы.

2. Математическая постановка задачи.

3. Вход тела в полупространство.

4. Случай тонкого тела.

Глава 3. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА МОДЕЛИ И РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННЫХ РАСЧЕТОВ.

1. Постановка эксперимента.

2. Результаты.

Глава 4. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ.

1. Система уравнений первого приближения.

2. Критерий устойчивости.

Задачи о проникании и движении тел в различных средах возникли в механике сплошных сред в самом начале её развития. Классическими задачами такого типа являются задачи гидро и аэродинамики. Проникание и движение в несжимаемой и сжимаемой жидкости рассматривалось в работах [2,30,51]. По теории Вагнера учитывалось увеличение смоченной поверхности тела при входе в среду, вызываемое встречным движением жидкости [29]. Решена задача [51] о вертикальном входе с дозвуковой скоростью тонкого тела вращения в сжимаемую жидкость с учетом уточненного граничного условия на смоченной поверхности тела, что позволило получить аналитическое решение, не имеющее особенности в вершине конуса. Численно рассчитано [2] отрывное осесимметричное обтекание круглого конуса конечной длины с постоянной дозвуковой, трансзвуковой и сверхзвуковой скоростью в набегающем потоке воды. Статическая и динамическая адиабаты задавались в виде уравнения Тета. Расчеты сопоставлялись с результатами решения задач о сверхзвуковом обтекании тонкого конуса в линейной постановке и об отрывном обтекании несжимаемой жидкостью.

Однако гидро и аэродинамикой перечень задач о движении тел в сплошной среде не исчерпывается. Аналогичные проблемы возникают при производстве таких работ, как обработка почвы в сельском хозяйстве, при землеройных работах, при бурении и безусловно в приложениях военно-технического характера. В последнее время опубликован ряд предложений по технологиям, основанным на явлении глубокого проникания ударников. Так, разрабатываются научные станции для изучения физикохимических свойств структур на поверхностях планет [16], выдвинуты предложения по управляемому воздействию на вулканическую и сейсмическую деятельность [59]. С другой стороны, в опытах по внедрению осесимметричных ударников в различные среды часто наблюдались эффекты искривления траектории движения при несимметричной кавитации (иногда такая траектория имела форму петли и о происходил выброс ударника из мишени с разворотом 180). Принципиально важными являются вопросы расчета проникания, оптимизации формы тела и анализа устойчивости его движения в прочной среде.

Отечественными и зарубежными авторами был решён большой класс задач по прониканию и движению тел в прочной среде [66]; помимо классических моделей сплошных сред [37], появились новые, в частности различные модели грунтов [31,32,52]. Наиболее ранними являются работы Ньютона, где он впервые предложил использовать метод локального взаимодействия и Эйлера [65], где предложены основы проникания в предположении постоянства силы сопротивления, а также [1,68], где изложены теоретические и экспериментальные исследования механики проникания. Рассматривался прямой и наклонный вход, а так же движение тела в грунтовой среде [24-27,30,35-37,53,54], проведён численный расчёт плоскопараллельного движения конуса с отрывом потока Велдановым В.А. [27], сформулированы и решены задачи о форме тел минимального сопротивления при проникании в деформируемые среды [17-22,50]. Изучались плоское движение тела вращения в упругопластической среде с учетом влияния несимметричного отрыва потока среды и устойчивость прямолинейного движения [55-57]. Большой объём экспериментальных работ по прониканию выполнен под руководством Бивина Ю.К.: изучались каверна при входе твёрдых тел в упругопластическую среду [4], прямое и косое проникание тела или группы тел [5-7], движение ударника вблизи свободной поверхности жидкости или пластической среды [8], проведена сравнительная оценка проникания звездообразных и конических тел [9], исследовалось движение в глинистой среде [10]. На основе экспериментов Бивина Ю.К. построены математические модели, описывающие изгибные колебания упругих тел при их внедрении в упругопластическую среду [58], осесимметричное и плоское движения жёсткого удлинённого ударника при входе в упругопластическую среду с отрывом потока [15], проникание в грунтовые среды при сверхзвуковых скоростях входа [11], а также предложены методы для определения динамических свойств грунтов методом пенетрации [12,13].

В большинстве работ задачи решались численными или полуаналитическими (приближёнными) методами. Это вызвано тем, что их решение в точной постановке, как правило, вызывает непреодолимые трудности [30]. Аналитические результаты были получены только в некоторых частных случаях. Так Флитманом JI.M. была решена задача осесимметричного обтекания тонкого тела упругопластическим потоком [61]. В последнее время быстро развиваются разностные методы и разрабатываются программные комплексы (Бураго Н.Г. [73-75]), которые позволяют решать более сложные задачи. Однако из-за большого числа параметров и определяющих функций такие расчеты оказываются мало пригодными для выявления общих закономерностей процесса проникания. Кроме того, нестабильность динамических свойств грунтов снижает требования к точности моделирования, поэтому здесь оправданы приближенные подходы. Наиболее часто используются следующие:

• Предположение, что частицы среды движутся по траекториям, совпадающими с траекториями примыкающих к телу частиц. Оно основано на том, что для многих видов неводонасыщенных грунтов был замечен неупругий характер воздействия проникающего тела на грунт. В процессе проникания происходит неупругое столкновение частиц грунта с проникающим телом, в результате чего частицы, прилегающие к поверхности тела, приобретают скорость равную нормальной составляющей скорости проникания в точках столкновения. При этом происходит пластическое (необратимое) сжатие частиц. Последние сталкиваются с соседними частицами, расположенными в направлении нормали к телу, которые также претерпевая необратимую деформацию сжатия, сталкиваются со следующими частицами и т.д. Принимая тонкость возмущённого слоя грунта между ударной волной и телом и анализируя экспериментальные траектории, Сагомонян А.Я. предположил, что отклонение траекторий всех частиц грунта от траекторий поверхностных частиц невелико и им можно пренебречь [53]. Используя это приближение был решен ряд задач осесимметричного проникания тел в пластически сжимаемую жидкость [53,54].

• Цилиндрическое или сферическое представление движения среды. В этом случае давление в каждой точке боковой поверхности ударника находится из решения одномерной задачи о расширении цилиндрической или сферической полости [64]. В случае сферического приближения головная часть ударника представляется в виде набора шаров переменного радиуса, цилиндрическая часть - шаров одинакового радиуса. Давление в каждой точке боковой поверхности ударника отождествляется с давлением на внутреннюю поверхность полого шара (или внутреннюю поверхность сферической полости), полученным из решения одномерной задачи о расширении полости или шара от нулевого радиуса. Главный вектор F и главный момент М сил, действующих на проникающий ударник, найдутся интегрированием давления по всей поверхности ударника. Известные на каком-либо шаге F и М позволяют проинтегрировать уравнения движения ударника и вычислить его новое положение, скорости (центра масс и угловую) на следующем шаге. Решение проводится вплоть до полной остановки ударника или до момента его выхода из преграды.

• В работах [69,71] предложена модель в которой материал мишени делится на жёстко-пластическую область вблизи тела и упругую область вдали от пенетратора. При этом поле скоростей в жёстко-пластической области считается таким же как при стационарном движении в несжимаемой жидкости. В модели учитывается влияние свободной поверхности, что позволяет использовать её для расчёта пробивания плит и моделирования рикошета.

• Метод локального взаимодействия. В этом случае движение среды не рассматривается, а напряжения действующие на поверхности некоторой элементарной площадке тела считаются зависящими только от движения этой площадки. Впервые этот метод был предложен еще Ньютоном для определения сопротивления движению тел в газах и жидкостях. В настоящее время метод используется для решения многих задач [22,43]. Аналитические результаты по обтеканию тонких тел [61] и эксперименты Бивина Ю.К. [12] подтверждают, что пользуясь методом локального взаимодействия можно с хорошей точностью вычислять глубину проникания осесимметричных тел в упругопластическую среду, силы воздействия и напряжения, действующие на ударник, его перегрузку.

Каждый из представленных методов имеет свои достоинства и недостатки. Цилиндрическое и сферическое представление среды, а также метод локального взаимодействия не рассматривают непосредственно движение среды в процессе проникания, зато отличаются простотой и позволяют аналитически решать довольно сложные задачи. Предположение, что частицы среды движутся по траекториям, совпадающим с траекториями примыкающих к телу частиц непригодно при близких к критическим или дозвуковых скоростях проникания, а также если отошедшая ударная волна расположена далеко от тела.

Диссертация состоит из четырёх глав. В первой главе рассматривается симметричное обтекание конуса плотной средой с присоединенной ударной волной. Среда описывается уравнением состояния жидкости с нелинейной диаграммой сжимаемости, отвечающей реальному поведению мягких грунтов при интенсивных нагрузках. Пластическое сопротивление сдвигу учитывается лишь на поверхности конуса для вычисления поправки к сопротивлению. Проведен анализ критических чисел Маха и критического угла фронта волны при переходе к режиму с отсоединенной ударной волной, построены зависимости коэффициента сопротивления и безразмерного давления от угла конуса и числа Маха. Результаты сопоставлялись с решениями в предположении несжимаемости среды за фронтом ударной волны и обтекания тонкого конуса при очень больших числах Маха. Дана оценка глубины проникания конуса конечной длины в рассматриваемом режиме.

Результаты, полученные в первой главе, могут быть использованы для определения глубины проникания в пористую среду в сверхзвуковом режиме, а так же для задания коэффициента сопротивления Сх при расчёте траектории сложного движения тела в пористой среде по методу локального элемента (глава 2).

Во второй главе изучается пространственное движение тела вращения в упругопластической среде с учетом влияния несимметричного отрыва потока среды. Постулируется связь кинематических и силовых факторов на площадке контакта тела и среды на основе метода локального взаимодействия при использовании точных решений [61,62] и научного эксперимента [4,12,13]. Гипотеза отрыва основана на наблюдениях движения тел в малопрочных средах: идеальный отрыв происходит в миделевом сечении при малых скоростях; с ростом скорости, а также при наличии начальных напряжений вводится эмпирический угол отрыва. Получена система дифференциальных уравнений, описывающая вход тела в полупространство и его проникание. Заменой переменных её удалось свести к стандартной динамической системе вида х = Л(х), где оператор Л(х) включает операции интегрирования. Для тонких тел была показана возможность аналитического интегрирования по полярному углу в выражениях для равнодействующих сил и моментов, что существенно упрощает численное решение системы. В отличии от работ Симонова И.В. [55-57], где рассматривалось плоское движение, построенная модель позволяет рассчитывать пространственные траектории движения тел при больших возмущениях.

Третья глава посвящена проверке математической модели, изложенной во второй главе диссертации. Были проведены эксперименты по прониканию сплошных стальных конусов полураствора у = 8.167" в пластилин с начальным углом атаки.

После проведения эксперимента мишень разрезалась по плоскости движения центра масс тела и фотографировалась остаточная криволинейная каверна. Для сравнения с результатами экспериментов, после калибровки модели, был проведён численный расчёт траекторий движения конусов при их проникании в пластилин. Сопоставление результатов расчётов и экспериментов показало, что после калибровки предложенная модель позволяет с хорошей точностью рассчитывать сложные движения твёрдых тел.

В четвёртой главе исследовалась устойчивости по Ляпунову прямолинейного движения тонкого выпуклого тела вращения, имеющего образующую ненулевой кривизны. Используется подход аналогичный плоскому случаю [55]. Разложив правые части системы, описывающей движение тела в подвижной системе координат, в ряд Тейлора в окрестности точки о) = ц = 0 с точностью до бесконечно малых первого порядка была построена система уравнений первого приближения.

В случае квадратичной зависимости коэффициента сопротивления от угла атаки элементарной площадки и отсутствия касательных напряжений были найдены критерии устойчивости прямолинейного движения тела.

Рассмотрены два варианта:

1) Безотрывное обтекание, когда при малых возмущениях относительно прямолинейного движения отрыв на боковой поверхности тела не происходит.

2) Когда при любом бесконечно малом возмущении на боковой поверхности тела возникает малая зона несимметричного отрыва.

Оказалось, что при безотрывном обтекании и в случае малой зоны несимметричного отрыва система дифференциальных уравнений поперечного движения распадается на две независимых системы второго порядка, описывающих движение тела в двух взаимоперпендикулярных плоскостях, причём обе эквивалентны системе, полученной при изучении устойчивости плоского движения [55,57]. Отсюда следует, что критерии устойчивости [55,57] остаются справедливыми и в пространственном случае.

Заключение

1. Рассмотрено симметричное обтекание конуса плотной средой с присоединенной ударной волной. Проведен анализ критических чисел Маха и критического угла фронта волны, построены зависимости коэффициента сопротивления и безразмерного давления от угла конуса и числа Маха. Результаты сопоставлялись с решениями в предположении несжимаемости среды за фронтом ударной волны и обтекания тонкого конуса при очень больших числах Маха. Дана оценка глубины проникания конуса конечной длины в сверхзвуковом режиме.

2. Получена система дифференциальных уравнений, описывающая вход и движение тела вращения в полупространстве с учетом несимметричного отрыва потока среды. Система удовлетворяет условию Липшица в любой конечной области фазового пространства, за исключением окрестностей складок, поэтому задача Коши корректна. Это, а также автономность системы означает, что предложенная математическая модель удобна для проведения качественного и численного анализа движений тел в прочных средах.

Основную трудность при численном решении задачи представляет интегрирование выражений для получения равнодействующих сил и моментов, т.к. там под знаком интеграла находятся функции с разрывами. Для упрощения численного решения задачи были введены дополнительные ограничения на радиус тела и модуль вектора угловой скорости. В этом случае удалось провести интегрирование по полярному углу в выражениях для равнодействующих сил и моментов, что позволяет значительно сократить время численного расчёта.

Для проверки модели были проведены эксперименты по прониканию сплошных стальных конусов полураствора 8.167° в пластилин при варьировании главным образом начального угла атаки. После проведения эксперимента мишень разрезалась по плоскости движения центра масс тела и фотографировалась остаточная каверна. Экспериментальные траектории сопоставлялись с результатами численных расчётов. Сравнение показало, что после калибровки предложенная модель позволяет с хорошей точностью рассчитывать плоское движение твердых тел вплоть до начала "кувырка" (разворота оси тела перпендикулярно вектору скорости). Хотя для случая пространственного движения сопоставление с экспериментом не проводилось из-за сложности его постановки, есть основания полагать, что и в этом случае модель позволит с приемлемой точностью моделировать процесс проникания.

Аналитически была исследована устойчивость по Ляпунову прямолинейного движения тонкого тела. Построена система уравнений первого приближения.

В случае квадратичной зависимости коэффициента сопротивления от угла атаки элементарной площадки и отсутствия касательных напряжений были найдены критерии устойчивости прямолинейного движения тела. Оказалось, что в этом случае система дифференциальных уравнений поперечного движения распадается на две независимых системы второго порядка, описывающих движение тела в двух взаимоперпендикулярных плоскостях, причем обе эквивалентны системе, полученной ранее Симоновым И.В. при изучении устойчивости плоского движения. Поэтому критерии устойчивости, полученные для плоского движения, остаются справедливыми и в пространственном случае.

1. Ален У., Мейсфнльд Э., Моррнсон Г. Динамика проникания снаряда в песок. Сб. "Механика", 1957, № 6.

2. Альев Г.А. Отрывное обтекание кругового конуса трансзвуковым потоком воды // Изв. АН СССР. МЖГ. 1983. № 2. С. 152-154.

3. Бетяев С. К. Гидродинамика: Проблемы и парадоксы // Успехи физических наук. 1995. Т. 165. № 3. С. 299-330.

4. Бивин Ю. К. Каверна при вертикальном входе твёрдых тел в упругопластическую среду // Изв. РАН. МТТ. 1997. № 1, С. 93-101.

5. Бивин Ю. К. Косой удар твёрдого тела о грунт или воду // Изв. АН СССР. МТТ. 1989. № 6, С. 185-189.

6. Бивин Ю. К. Косой вход группы тел в упругопластическую среду // Изв. РАН. МТТ. 1993. № 4, С. 170-173.

7. Бивин Ю. К. Прямое проникание группы тел в упругопластическую среду // Изв. РАН. МТТ. 1996. № 1, С. 80-87.

8. Бивин Ю.К. Движение тела вблизи свободной поверхности жидкости или пластической среды // Изв. РАН. МТТ. 2001. № 3, С. 112-122.

9. Бивин Ю. К. Сравнительная оценка проникания звездообразных и конических тел // Изв. РАН. МТТ. 1999. № 4, С. 113-117.

10. Бивин Ю.К., Викторов В.В., Степанов Л.П. Исследование движения твёрдого тела в глинистой среде // Изв. АН СССР. МТТ, 1978, № 2, С. 159-165.

11. Бивин Ю.К., Симонов КВ. Оценки глубин проникания жёстких тел в грунтовые среды при сверхзвуковых скоростях входа . Исследование движения твёрдого тела в глинистой среде // Докл. РАН. 1993. Т. 328, № 4. С. 447-450.

12. Бивин Ю.К., Колесников В.А., Флитман JI.M. Определение механических свойств среды методом динамического внедрения // Изв. АН СССР. МТТ. 1982. № 5. С. 181-184.

13. Бивин Ю.К., Викторов В.В., Коваленко Б.Я. Определение динамических характеристик грунтов методом пенетрации // Изв. АН СССР. МТТ. 1980. № 3. С.105-110.

14. Бивин Ю.К., Глухов Ю.М., Пермяков Ю.В. Вертикальный вход твердых тел в воду // Изв. АН СССР. МЖГ. 1985. № 6. С. 3-9.

15. Бобровницкий К.Ю., Симонов И.В. Осесимметричное и плоское движения жесткого удлиненного ударника при входе в упругопластическую среду с отрывом потока // Изв. РАН. МТТ. 1996. N 5, С. 93-98.

16. Богданов А.В., Николаев А.В., Сербии В.И., Скуридин Г.А., Хаврошкин О.Б., Цыплаков В.В. Об одном методе исследования планет земной группы // Космические исследования. 1988. Т.26. Вып. 4. С. 591-603.

17. Бунимович А.И., Якунина Г.Е. О форме тел вращения минимального сопротивления, движущихся в пластически сжимаемой и упругопластической средах. IIПММ. 1987. N. 51, Вып. 3.

18. Бунимович А.И., Дубинский А.В. Метод оптимизации для обобщенного класса функционалов и его применение к задаче об определении формы тела максимального аэродинамического качества. 1973. Вестник МГУ, сер. 1 матем. механ., № 6

19. Бунимович А.И. Аэродинамические характеристики осесимметричных тел при обтекании в условиях закона локальности. 1974. Вестник МГУ, сер. 1 матем. механ., № 4

20. Бунимович А.И., Якунина Г.Е. О форме пространственных тел минимального сопротивления, движущихся в пластически-сжимаемой и упругопластической средах. 1987. Вестник МГУ, сер. 1 матем. механ., № 3

21. Бунимович А.И., Якунина Г.Е. О форме тела вращения минимального сопротивления при безотрывном проникании в пластически сжимаемые среды. 1989. ПММ, т. 53, № 5

22. Бунимович А.И., Дубинский А.В. Развитие, современное состояние и приложения теории локального взаимодействия. 1996. Изв. РАН, МЖГ, №3

23. А.И. Бунимович, А.В. Дубинский, О расчете вращательных производных при локальном взаимодействии потока с поверхностью тела, ПММ, 1998, № 1

24. Велданов В.А., Федоров С.В. Особенности поведения грунта на границе контакта с недеформируемым ударником при проникании // ПМТФ, 2005. №6. С. 116-127.

25. Велданов В.А., Исаев A.J1. Решение задачи о вдавливании жесткого индентора в бетон// Труды МВТУ.- 1987.- № 478.

26. Велданов В.А., Исаев A.JL, Пушилин Ю.М. Влияние объемной разгрузки грунта на образование каверны при проникании ударника. В кн.: Численные методы решения задач теории пластичности и упругости.- Новосибирск: ИТПМ СО РАН.- 1995.

27. Велданов В.А., Исаев A.J1. Использование технологий, основанных на ударно-проникающем взаимодействии// Двойные технологии.- 1998.- № 2

28. Григолюк Э.И., Горшков А.Г. Взаимодействие упругих конструкций с жидкостью. Д.: Судостроение, 1976. 199с.

29. Григорян С. С. Приближенное решение задачи о проникании тела в грунт // Изв. РАН. МЖГ. 1993. № 4. С. 18-24.

30. Григорян С.С. Об общих уравнениях механики грунтов // Докл. АН СССР. 1959. Т. 124. №2.

31. Григорян С.С. Об основных представлениях динамики грунтов // ПММ. 1960. Т. 24. №6. С. 1057- 1072.

32. Дубровский И.М., Егоров Б.В., Рябошапка К.П. Справочник по физике. Киев: Наук, думка, 1986. 557 с.

33. Звягин А.В. К вопросу наклонного проникания в грунт. 1984. Проблемы динамики взаимодействующих сред, Изд-во АН Арм. ССР.

34. Звягин А.В., Сагомонян А.Я. Косой удар по пластине из упруго-пластического материала. 1985. Изв. АН СССР, МТТ, № 1.

35. Звягин А.В., Богданов В.И. Численное исследование пространственного проникания жесткого тела в упругопластическую плиту. 1993. Вестник МГУ, сер. 1 матем. механ., № 4

36. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М., Изд. МГУ, 1978.

37. Кейбл А., Хиккерсон Н., Дине Дж. Высокоскоростные ударные явления М.: Мир, 1973. 533 с.

38. Киселев А.Б. Численное моделирование рикошета жесткого ударника от упругопластической преграды в трехмерном случае. Механика деформируемых сред, 1985. М.: Изд-во МГУ.

39. Краснов Н.Ф. Аэродинамика тел вращения. М.: Оборонгиз, 1958. 560 с.

40. Лагунов В.А., Степанов В.А. Измерение динамической сжимаемости песка при высоких давлениях // ПМТФ. 1963. № 1. С. 88 96.

41. Мирошин Р.Н., Халидов И.А. Локальные методы в механике сплошных сред. Изд-во С.-Петербургского университета, 2002. 303 с.

42. Николаевский В.Н. Механика пористых и трещиноватых сред. М.: Недра, 1984.232 с.

43. Осипенко К.Ю., Симонов КВ. Обтекание конуса сверхзвуковым потоком пористой среды // Изв. РАН. МТТ. 2001. № 2. С. 87-96.

44. Осипенко К.Ю., Симонов КВ. Модель пространственной динамики тела вращения при взаимодействии с малопрочной средой и несимметричной кавитации // Изв. РАН. МТТ. 2002. №1. С. 143-153.

45. Осипенко К. Ю. Баллистика осесимметричных тел при движении в прочной среде с отрывом потока. Материалы докладов международнойнаучно-практической конференции "Третьи Окуневские чтения". Т. 1. Санкт-Петербург, 24-29 июня 2002 г.

46. Осипенко К.Ю. Криволинейное движение тела вращения в упругопластической среде. // ИПМех РАН, препринт № 810, Москва, 2006 г.

47. Осипенко К.Ю. Пространственное проникание и движение тела вращения в упруго-пластической среде с отрывом потока // Аннотации докладов IX всероссийского съезда по теоретической и прикладной механике. Т. 3. Нижний Новгород, 22-28 августа 2006 г.

48. Остапенко Н.А., Якунина Г.Е. О телах наименьшего сопротивления, двигающихся в средах при наличии закона локальности // Изв. АН СССР. Механ. Жидкости и газа. 1992. № 1.

49. Поручиков В. Б. К решению задачи проникания тонкого осесимметричного тела в акустическое полупространство с учётом нелинейных эффектов // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика 1998. № 3. С. 54-57.

50. Рахматулин Х.А., Сагомонян А.Я., Алексеев Н.А. Вопросы динамики грунтов. М. Изд. МГУ, 1965.

51. Сагомонян А.Я. Проникание. М.: Изд-во МГУ, 1974. 299 с.

52. Сагомонян А.Я. Пробивание плиты тонким твердым снарядом // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 1975. № 5. С. 104-111.

53. Симонов И.В. Об устойчивости движения удлиненного тела вращения в упругопластической среде при отрыве потока // ПММ. 2000. Т.64. Вып.2. С. 313-322.

54. Симонов И.В. О классификации траекторий плоскопараллельного движения тела вращения в прочной среде при отрыве потока // Докл. РАН. 2002. Т. 386, № 2. С. 198-202.

55. Симонов И.В., Осипенко К.Ю. Устойчивость, траектории и динамический изгиб затупленного тела вращения при проникании в упругопластическую среду // ПМТФ. 2004. Т. 45, № 3, С. 146-160.

56. Симонов КВ., Хаврошкина М.В. Изгибные колебания упругих удлиненных тел при динамическом внедрении в упругопластическую среду // Изв. РАН, МТТ. 1997. N 6, С. 112-120.

57. Симонов КВ., Федотов СЛ., Хаврошкин О.Б. Предкатастрофическое состояние геофизических объектов, триггерное воздействие и пенетрация // Докл. РАН. 1996. Т. 347. № 6. С. 811-813.

58. Симонов КВ. Трансзвуковое обтекание тонкого твердого тела упругой средой // ПММ. 1984. Т.48. Вып. 1. С. 114-122.

59. Флитман JI.M. Дозвуковое осесимметричиое обтекание тонких заостренных тел вращения упругопластическим потоком // Изв. АН СССР. МТТ. 1991. № 4. С. 155-164.

60. Флитман JI.M. Безотрывное обтекание затупленного тела высокоскоростным упругопластическим потоком // ПММ. 1990. Т. 54. Вып. 4. С. 642-651.

61. Флитман JI.M. О пограничном слое в некоторых задачах динамики пластической среды // Изв. АН СССР. МТТ. 1982. № 1. С. 131-137

62. Фомин В.М., Гулидов А.К, Сапожников Г.А. и др. Высокоскоростное взаимодействие тел. Новосибирск: Изд-во СО РАН. 1999. 600 с.

63. Euler L. Neue Grindsatze der Artillerie. Berlin, 1922.

64. Backman M.E., Goldsmith W. The mechanics of penetration of projectiles into targets // Intern. J. Eng. Sci. 1978. V. 16. № 1. P. 1-99.

65. Robertson H.P. Terminal ballistics, National Research. Couneil, Wascington, D.C., 1941.

66. Roisman I.V., Yarin A.L. and Rubin M.B. Oblique penetration of a rigid projectile into an elastic-plastic target // Int. J. Impact Engng. 1997. V.19, P. 769-795.

67. Simonov I.V. Maximum pressure, temperature and resistance at supersonic flow of a body by condensed medium // Intern. J. Impact Engng. 1997. V. 20. №6/10. P. 743-752.

68. Yarin A.L., Rubin M.B. and Roisman I. V. Penetration of a rigid projectile into an elastic-plastic target of finite thickness // Int. J. Impact Engng. 1995. V.16, P. 801-831.

69. Зукас Дж.А., Николас Т., Свифт Х.Ф., Грещук Л.Б., Курран Д.Р. Динамика удара М.: Мир, 1985.296 с.

70. Бураго Н.Г. Численное решение задач МСС с подвижными границами раздела. Диссерт. на соискание ученой степени доктора физ.-мат наук. М.: ИПМех РАН, 2003

71. Бураго Н.Г., Кукуджанов В.Н. Обзор контактных алгоритмов // Изв. РАН. МТТ. 2005. №1. С. 44-85.

72. Бураго Н.Г., Кукуджанов В.Н. Расчет процессов континуального разрушения термоупругопластических тел // Прикладные проблемы прочности и пластичности. М.: Наука, 2001. Вып. 63, С. 41-48.1. ИЛЛЮСТРАЦИИи f г/, уз01 0.2 0.3 0.4 а Фиг. 11. Pr/a10050