Обобщенная проблема Серра для алгебр, порожденных одночленами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Губеладзе, Иосиф Джимшерович АВТОР
кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
Тбилиси МЕСТО ЗАЩИТЫ
1984 ГОД ЗАЩИТЫ
   
01.01.06 КОД ВАК РФ
Диссертация по математике на тему «Обобщенная проблема Серра для алгебр, порожденных одночленами»
 
 
Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Губеладзе, Иосиф Джимшерович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ПРОЕКТИВНЫЕ ЮДУЛИ НАД КОЛЬЦАМИ,

ПОРОЖДЕННЫМ ОДНОЧЛЕНАМИ

§ I. Решение гипотезы Андерсона в случае целого расширения

§ 2. Моноиды, группа классов дивизоров которых удовлетворяет условию кручения.

ГЛАВА П. ОБ АЛГЕБРО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ ПОД

КОЛЕЦ КОЛЬЦА МНОГОЧЛЕНОВ

§ I. О размерности Крулля подколец кольца многочленов

§ 2. О подкольцах кольца многочленов,порожденных одночленами

§ 3. О подкольцах кольца многочленов,порожденных одночленами,для которых группа Пикара тривиальна

 
Введение диссертация по математике, на тему "Обобщенная проблема Серра для алгебр, порожденных одночленами"

В первой главе диссертации в случае целостности расширения дается решение гипотезы Андерсона, предпологающей свободность конечно порожденных проективных модулей над аффинными нормальными .подкольцами кольца многочленов с коэффициентами из поля, порожденными одночленами ( ). Поскольку само кольцо многочленов удовлетворяет этим условиям, то гипотеза Андерсона является обобщением известной проблемы Серра, которая в 1976 году, после 20-летних усилий многих алгебраистов, А.Суслиным и Д.Квилленом, одновременно и независимо, была положительно решена. В частности, была доказана такая общая

Теорема (Суслий-Квиллен). Пусть Я - коммутативное регулярное кольцо с размерностью Крулля (¿сит Я. ^ 2, . Тогда для любого целого Ы ^ 0 конечно порожденные проективные модули над кольцом многочленов - - • ; "Ь^ расширены с кольца Я .

Напомним, что при вложении коммутативных колец В -модуль называется расширенным с кольца п , если для некоторого сЛГ € гш)с1 - А

М ~ В $ М

В том частном случае, когда К является областью главных идеалов, из этой теоремы получаем свободность конечно порожденных проективных Я [Ч-4> - -- , ^ ¿1 -модулей. Как известно (см. [2Ч] ), проблема Серра на геометрическом языке означает следующее: верно ли, что для любых А > 0 и поля локально тривиальные (алгебраические )> векторные расслоения над аффинным пространством /41 £ тривиальны? Вопросы алгебраической К -теории часто приводят к такого рода задачам о выяснении тривиальности векторных расслоений над алгебраическими многообразиями определенного вида. В частности, в [20,22] была доказана свободность конечно порожденных проективных модулей над аффинными подкольцами кольца многочленов ^ [ X ; УJ над полем к. , порожденными множествами вида хл,ХУа-:.,ГУ,ул) или {ХЛ,ХУ, У*} (и->о).

Более того, если А — такое подкольцо и . . —переменные, то как следует из [ Яй] , естественный гомоморфизм является изоморфизмом, хотя само кольцо А нерегулярно. В 1978 г. Д.Андерсон в ЫО"! обобщил эти результаты для аффинных нормальных подколец кольца $ £ X , У ] , порожденных одночленов. То, что кольца, рассматриваемые в принадлежат этому классу, следует из следующей теоремы

Теорема (Андерсон

19 ] ). Пусть п — аффинное нормальное подкольцо в по прежнему обозначает поле), породненное одночленами. Тогда либо А изоморфно кольцу многочленов X ] или -&[Х,У] ' ли<^° сУЩест~ вуют П>1 и • * взаимопростые числа, для которых • обозначает Шос|1п ).

Когда 1 или ^ — ^ ^ получаем кольца из

Цля колец вида А Андерсон доказывает свободность проективных модулей, для чего применяет технику Сешадри (см. [<261 ), с помощью которой в 1958 г. в была доказана справедливость гипотезы Серра для проективных Ш.у] -модулей. В

-/Oj Андерсон ставит такой вопрос: являются ли для любого целого cL > 0 свободными конечно порожденные проективные модули над аффинными нормальными подкольцами А кольца многочленов tj] » порожденными одночленами? В первой главе диссертации веодится понятие моноида типа Jslj (ol — целое положительное число) и доказывается, что такие подкольца Л удовлетворяющие условию'целостности расширения А^ $ Г"Ь> -- ДД естественным образом изоморфны моноидным алгебрам ■к 1М-] для моноидов типа cAA-j . Основная теорема этой главы устанавливает свободность конечно порожденных проективных модулей над мо-ноидными кольцами R.IM-] , где гх - коммутативное кольцо и JX — моноид типа d , при свободности конечно порожденных проективных модулей над кольцом лорановых многочленов R.[l" ,.,-tj ] (здесь d -любое натуральное число). Следовательно, как это было сделано при решении проблемы Серра и здесь поле ~h можно заменить областью главных идеалов. Доказательство Основной теоремы проходит методом Квиллена (см. С23] ), возможность применения которого дает теорема Робертса (см. ), являющаяся аксиоматизацией теоремы Хор-рокса ( ). Рассматриваемые моноидные кольца и их локализации на самом деле не удовлетворяют условиям самой теоремы Робертса, для чего в главе I дается техническое обобщение этой теоремы, дающее возможность охватить класс нами интересующих колец. Полученное автором доказательство гипотезы Андерсона в случае целостности расширения впервые было опубликовано в [&]. Одновременно и независимо в было опубликовано решение гипотезы Андерсона в случае -выполнения условий кручения группы классов дивизоров. В § 2 главы I доказывается эквивалентность этих результатов.

- б

В § I главы 2 дается обобщение известной теоремы Серра о размерности Крулля кольца многочленов над нетеровым кольцом, в частности, доказывается следующее: пусть К - нетерова область целостности и i -i, - - - , i j — переменные ( d ^ 0 ) > тогда для любой rv. -подалгебры BcrfUb,., ЪЗ не обязательно нетеровой) для размерностей Крулля справедливо равенствоdim В = i X. d В +сlxtf)f{, где tг - ^ В Обозна R чает степень трансцендентности поля частных кольца О над полем частных кольца R. . В § 2 устанавливается достаточное условие для сведения общего случая к целому расширению А си Ш О--*) -U] , где г\ порождено одночленами. В § 3 изучаются R -алгебры, порожденные одночленами, не являющиеся регулярными и даже—нормальными, но которые РI С -регулярны.

Основные результаты диссертации опубликованы в Ц^ > у 6 J . Кроме того, автор докладывал их на Всесоюзной алгебраической школе (1982 г.), на семинаре кафедры высшей алгебры МГУ.

Несколько слов об обозначениях и терминологии. Все рассматриваемые кольца коммутативны. Под регулярным кольцом подразумевается нетерово кольцо с конечной размерностью Крулля, для которого каждый конечно порожденный модуль обладает конечной проективной резольвентой. SpecfR.) и ПЪ&Х (R. ) обозначают простой и максимальный спектр кольца R (соответственно). Для любого абелега моноида Jsi <j/y обозначает его универсальную группу частных. Под подразумевается идеал всех нильпотентных элементов кольца R, . Используются также следующие обозначения: d— рациональные числа, Q.f-— неотрицательные рациональные числа, ^— целые числа, Z+— неотрицательные целые числа.

 
Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Губеладзе, Иосиф Джимшерович, Тбилиси

1. Атья М., Макдональд И, Введение в коммутативную алгебру.-М.:"Мир", 1972, - 160 с.-

2. Басс X. , Алгебраическая К-теория. М.: "Мир", 1973, -590 с.

3. Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. М.: "Мир", 1971, -707с.

4. Губеладзе И.Д. О подкольдах кольца полиномов,порожденныходночленами. Сообщ. АН ГССР, 1981, т.104, № 3, с.545-547.

5. Губеладзе И«Д* Об обобщенной проблеме Серра для аффинных колец, порожденных одночленами. Сообщ. АН ГССР, 1982, т.106, № I, с.29-32.

6. Губеладзе И.Д. Обобщенная проблема Серра для аффинных колец, порожденных одночленами. Тбилиси: "Издательство ТГУ", 1982. - 64 с.

7. Милнор Дж. Введение в алгебраическую К-теорию. М.:"Мир", 1975, - 197 с.

8. Суслин А.А. Проективные модули над кольцами многочленовсвободны. Докл. АН СССР, 1976, т.229, № 5, с.1063-1066.

9. Anderson D.F. Subrings of KX,Y. generated by monomials. Canad.J.Math., 1978, p.215-224.

10. Anderson D.F. Projective modules over subrings of generated by monomials. Pacific J. Math., 1978, 79, No.1, P.5-17.

11. Anderson D.F. Projective modules over subrings of Trans.Amer. Math. Soc., 1978, 240, p.317-328.

12. Bass H. Big projective modules are free. Illinois J. Math., 1963,7, p.24-31.

13. Bass H. Liberation des modules projectifs sur certainsanneaux de polynômes. Sem. Bourbaki, 1973-74,448.

14. Chouinard Leo G. Kru.ll semigroups and divisor class groups. Canad.J.Math., 1981,33, No.6, p.1459-1468.

15. Chouinard Leo G. Projective modules over Krull semigrpup rings. Michigan Math. J., 1982,29,No.2, p.143-148.

16. Gilmer R. and Heitman R.C. On Pic Rx.for R seminormal. J. Pure and Applied Algebra, 1980, 166, p.251-257.

17. Horrocks G. Projective modules over an extension of local rings. Proc. London Math. Soc., 1964, 14, N0.3.

18. Matsumura H. Commutative Algebra (Second Edition). Y/.A. Benjamin, New York, 1980, p.312.

19. Murthy M.P. and Swan R.G. Vector bundles over affine surfaces. Inventiones Math., 1976, 36, p.125-165.

20. Murthy M.P. and C.Pedrini. KQ and K1 of polynomial rings. Algebraic K-theory II, Lecture Notes in Math., 1973, V.342, p.109-121.

21. Lam T.Y. Serre's Conjecture, Lecture Notes in Math., 1978, v. 635.

22. Pedrini C. On the KQ of certain polynomial extensions. Lecture Notes in Math., 1973, v. 342, p.92-108.

23. Quillen D. Projective modules over polynomial rings. Inventiones Math., 1976, 36, p.167-171.

24. Serre J.P. Faisceaux algébriques cohérents. Ann. Math., 1955, 61, p.191-278.

25. Serre J.P. Algèbre locale-Multiplicités, Lecture Notes in Math., 1965, v.II.

26. Seshadri O.S. Triviality of vector bundles over affine space K2. Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1958, 44, p.456-458.

27. Swan R.G. Laurent polynomial rings. Trans. Amer. Math. Soc., 1978, V.237, p.111-120.