Обобщенная проблема Серра для алгебр, порожденных одночленами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ПРОЕКТИВНЫЕ ЮДУЛИ НАД КОЛЬЦАМИ,

ПОРОЖДЕННЫМ ОДНОЧЛЕНАМИ

§ I. Решение гипотезы Андерсона в случае целого расширения

§ 2. Моноиды, группа классов дивизоров которых удовлетворяет условию кручения.

ГЛАВА П. ОБ АЛГЕБРО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ ПОД

КОЛЕЦ КОЛЬЦА МНОГОЧЛЕНОВ

§ I. О размерности Крулля подколец кольца многочленов

§ 2. О подкольцах кольца многочленов,порожденных одночленами

§ 3. О подкольцах кольца многочленов,порожденных одночленами,для которых группа Пикара тривиальна

В первой главе диссертации в случае целостности расширения дается решение гипотезы Андерсона, предпологающей свободность конечно порожденных проективных модулей над аффинными нормальными .подкольцами кольца многочленов с коэффициентами из поля, порожденными одночленами ( ). Поскольку само кольцо многочленов удовлетворяет этим условиям, то гипотеза Андерсона является обобщением известной проблемы Серра, которая в 1976 году, после 20-летних усилий многих алгебраистов, А.Суслиным и Д.Квилленом, одновременно и независимо, была положительно решена. В частности, была доказана такая общая

Теорема (Суслий-Квиллен). Пусть Я - коммутативное регулярное кольцо с размерностью Крулля (¿сит Я. ^ 2, . Тогда для любого целого Ы ^ 0 конечно порожденные проективные модули над кольцом многочленов - - • ; "Ь^ расширены с кольца Я .

Напомним, что при вложении коммутативных колец В -модуль называется расширенным с кольца п , если для некоторого сЛГ € гш)с1 - А

М ~ В $ М

В том частном случае, когда К является областью главных идеалов, из этой теоремы получаем свободность конечно порожденных проективных Я [Ч-4> - -- , ^ ¿1 -модулей. Как известно (см. [2Ч] ), проблема Серра на геометрическом языке означает следующее: верно ли, что для любых А > 0 и поля локально тривиальные (алгебраические )> векторные расслоения над аффинным пространством /41 £ тривиальны? Вопросы алгебраической К -теории часто приводят к такого рода задачам о выяснении тривиальности векторных расслоений над алгебраическими многообразиями определенного вида. В частности, в [20,22] была доказана свободность конечно порожденных проективных модулей над аффинными подкольцами кольца многочленов ^ [ X ; УJ над полем к. , порожденными множествами вида хл,ХУа-:.,ГУ,ул) или {ХЛ,ХУ, У*} (и->о).

Более того, если А — такое подкольцо и . . —переменные, то как следует из [ Яй] , естественный гомоморфизм является изоморфизмом, хотя само кольцо А нерегулярно. В 1978 г. Д.Андерсон в ЫО"! обобщил эти результаты для аффинных нормальных подколец кольца $ £ X , У ] , порожденных одночленов. То, что кольца, рассматриваемые в принадлежат этому классу, следует из следующей теоремы

Теорема (Андерсон

19 ] ). Пусть п — аффинное нормальное подкольцо в по прежнему обозначает поле), породненное одночленами. Тогда либо А изоморфно кольцу многочленов X ] или -&[Х,У] ' ли<^° сУЩест~ вуют П>1 и • * взаимопростые числа, для которых • обозначает Шос|1п ).

Когда 1 или ^ — ^ ^ получаем кольца из

Цля колец вида А Андерсон доказывает свободность проективных модулей, для чего применяет технику Сешадри (см. [<261 ), с помощью которой в 1958 г. в была доказана справедливость гипотезы Серра для проективных Ш.у] -модулей. В

-/Oj Андерсон ставит такой вопрос: являются ли для любого целого cL > 0 свободными конечно порожденные проективные модули над аффинными нормальными подкольцами А кольца многочленов tj] » порожденными одночленами? В первой главе диссертации веодится понятие моноида типа Jslj (ol — целое положительное число) и доказывается, что такие подкольца Л удовлетворяющие условию'целостности расширения А^ $ Г"Ь> -- ДД естественным образом изоморфны моноидным алгебрам ■к 1М-] для моноидов типа cAA-j . Основная теорема этой главы устанавливает свободность конечно порожденных проективных модулей над мо-ноидными кольцами R.IM-] , где гх - коммутативное кольцо и JX — моноид типа d , при свободности конечно порожденных проективных модулей над кольцом лорановых многочленов R.[l" ,.,-tj ] (здесь d -любое натуральное число). Следовательно, как это было сделано при решении проблемы Серра и здесь поле ~h можно заменить областью главных идеалов. Доказательство Основной теоремы проходит методом Квиллена (см. С23] ), возможность применения которого дает теорема Робертса (см. ), являющаяся аксиоматизацией теоремы Хор-рокса ( ). Рассматриваемые моноидные кольца и их локализации на самом деле не удовлетворяют условиям самой теоремы Робертса, для чего в главе I дается техническое обобщение этой теоремы, дающее возможность охватить класс нами интересующих колец. Полученное автором доказательство гипотезы Андерсона в случае целостности расширения впервые было опубликовано в [&]. Одновременно и независимо в было опубликовано решение гипотезы Андерсона в случае -выполнения условий кручения группы классов дивизоров. В § 2 главы I доказывается эквивалентность этих результатов.

- б

В § I главы 2 дается обобщение известной теоремы Серра о размерности Крулля кольца многочленов над нетеровым кольцом, в частности, доказывается следующее: пусть К - нетерова область целостности и i -i, - - - , i j — переменные ( d ^ 0 ) > тогда для любой rv. -подалгебры BcrfUb,., ЪЗ не обязательно нетеровой) для размерностей Крулля справедливо равенствоdim В = i X. d В +сlxtf)f{, где tг - ^ В Обозна R чает степень трансцендентности поля частных кольца О над полем частных кольца R. . В § 2 устанавливается достаточное условие для сведения общего случая к целому расширению А си Ш О--*) -U] , где г\ порождено одночленами. В § 3 изучаются R -алгебры, порожденные одночленами, не являющиеся регулярными и даже—нормальными, но которые РI С -регулярны.

Основные результаты диссертации опубликованы в Ц^ > у 6 J . Кроме того, автор докладывал их на Всесоюзной алгебраической школе (1982 г.), на семинаре кафедры высшей алгебры МГУ.

Несколько слов об обозначениях и терминологии. Все рассматриваемые кольца коммутативны. Под регулярным кольцом подразумевается нетерово кольцо с конечной размерностью Крулля, для которого каждый конечно порожденный модуль обладает конечной проективной резольвентой. SpecfR.) и ПЪ&Х (R. ) обозначают простой и максимальный спектр кольца R (соответственно). Для любого абелега моноида Jsi <j/y обозначает его универсальную группу частных. Под подразумевается идеал всех нильпотентных элементов кольца R, . Используются также следующие обозначения: d— рациональные числа, Q.f-— неотрицательные рациональные числа, ^— целые числа, Z+— неотрицательные целые числа.

1. Атья М., Макдональд И, Введение в коммутативную алгебру.-М.:"Мир", 1972, - 160 с.-

2. Басс X. , Алгебраическая К-теория. М.: "Мир", 1973, -590 с.

3. Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. М.: "Мир", 1971, -707с.

4. Губеладзе И.Д. О подкольдах кольца полиномов,порожденныходночленами. Сообщ. АН ГССР, 1981, т.104, № 3, с.545-547.

5. Губеладзе И«Д* Об обобщенной проблеме Серра для аффинных колец, порожденных одночленами. Сообщ. АН ГССР, 1982, т.106, № I, с.29-32.

6. Губеладзе И.Д. Обобщенная проблема Серра для аффинных колец, порожденных одночленами. Тбилиси: "Издательство ТГУ", 1982. - 64 с.

7. Милнор Дж. Введение в алгебраическую К-теорию. М.:"Мир", 1975, - 197 с.

8. Суслин А.А. Проективные модули над кольцами многочленовсвободны. Докл. АН СССР, 1976, т.229, № 5, с.1063-1066.

9. Anderson D.F. Subrings of KX,Y. generated by monomials. Canad.J.Math., 1978, p.215-224.

10. Anderson D.F. Projective modules over subrings of generated by monomials. Pacific J. Math., 1978, 79, No.1, P.5-17.

11. Anderson D.F. Projective modules over subrings of Trans.Amer. Math. Soc., 1978, 240, p.317-328.

12. Bass H. Big projective modules are free. Illinois J. Math., 1963,7, p.24-31.

13. Bass H. Liberation des modules projectifs sur certainsanneaux de polynômes. Sem. Bourbaki, 1973-74,448.

14. Chouinard Leo G. Kru.ll semigroups and divisor class groups. Canad.J.Math., 1981,33, No.6, p.1459-1468.

15. Chouinard Leo G. Projective modules over Krull semigrpup rings. Michigan Math. J., 1982,29,No.2, p.143-148.

16. Gilmer R. and Heitman R.C. On Pic Rx.for R seminormal. J. Pure and Applied Algebra, 1980, 166, p.251-257.

17. Horrocks G. Projective modules over an extension of local rings. Proc. London Math. Soc., 1964, 14, N0.3.

18. Matsumura H. Commutative Algebra (Second Edition). Y/.A. Benjamin, New York, 1980, p.312.

19. Murthy M.P. and Swan R.G. Vector bundles over affine surfaces. Inventiones Math., 1976, 36, p.125-165.

20. Murthy M.P. and C.Pedrini. KQ and K1 of polynomial rings. Algebraic K-theory II, Lecture Notes in Math., 1973, V.342, p.109-121.

21. Lam T.Y. Serre's Conjecture, Lecture Notes in Math., 1978, v. 635.

22. Pedrini C. On the KQ of certain polynomial extensions. Lecture Notes in Math., 1973, v. 342, p.92-108.

23. Quillen D. Projective modules over polynomial rings. Inventiones Math., 1976, 36, p.167-171.

24. Serre J.P. Faisceaux algébriques cohérents. Ann. Math., 1955, 61, p.191-278.

25. Serre J.P. Algèbre locale-Multiplicités, Lecture Notes in Math., 1965, v.II.

26. Seshadri O.S. Triviality of vector bundles over affine space K2. Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1958, 44, p.456-458.

27. Swan R.G. Laurent polynomial rings. Trans. Amer. Math. Soc., 1978, V.237, p.111-120.