Классическая алгебраическая К-теория моноидных и полиномиальных алгебр тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

жштдай ордена Ленина и ордена трудового

красного знамени государственна;! университет

А-3

На праЕах рукописи

тубещ32 иосиф дш.пперожч

удк 512.666

КЛАССИЧЕСКАЯ АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ К -ТЮРИЯ М01Ю1ДШЫХ И НОЛИНОЬПШШШХ АЛГЕБР

01.01.06 - Математическая логика, алгебра и

теория чнсод

АВТОРЕФЕРАТ

. диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Ленинград-1990

Работа шполг-'но в ордена Трудового Пресного Знамени Тбилисском математическом институте АН Грузинской ССР

Социальные оппоненты: доктор фрзико-математических наук,

профессор СУСЛИН Андрей Александрович

доктор физико-математических наук, профессор МИЩЕНКО Александр Сергеевич

доктор физико-математических наук, профессор ЯНЧЕВСККй Вячеслав Иванович Ведущая организация: ордена Ленина Математический институт

им. В.А.Стекловп АН СССР

Защита состоится "_" _ 1990 г. в__ час.

на заседании специализированного совета Д 063'.57.29 по задате диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при Ленинградском гссуниверситете по адресу: 158904, Ленинград, Старый Петергоф, Библиотечная пл., 2, Лен-госуниверситет мзгематико-мехзнический факультет.

Засита будет провериться по адресу: 191011, Ленинград Д-П, Наб.реки Фонтанки, 27, 3-й этаж, зал заседаний 311 (помещение ж: И).

С диссертацией можно ознакомиться в Научней библиотеке им. ^.'Горького Лзнгоеуниверситета по адресу: Ленинград, Университетская наб., 7/5

.Автореферат разослан "_"_1930 года.

Ученый секретарь специализированного совета, дсктор (?«з.-:/ат.наук, профессор

Ю.А.Дашд

общая характеристика работы

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. После решения проблема Серра (получеуио-го в 1976г. независимо А.А.Сусляным и Д.Квилланом) появились различиио обобщения в этом направлении. Одним из таких обобщений является гипотеза Андерсона [I], предполагавшая свободностъ проективных модулей над а$финкши нормальными кольцами, порожденными одночленам. В 1982 г. автором и А.Шуйнаром [2] одновременно было опубликовано положительное решение гипотезы Андерсона для случая кручен;*,; группы классов дивизоров. Однако, отзывается [3], что любая аоелева группа является группой классов дивизпров некоторого кольца из вышеупомянутой гипотеза. В [2J таксе бил поставлен вопрос об описания всех тех (ксмглугаалвкых) коноидов, идя которых проективные модули над соответствующими монопдкши алгебра;® с коэффициентами из любой области•главных идзалоз явтаются свободны:.®. Следует отметить, что любая алгебра, порожденная некоторой системой мономсв, является иоиоицной алгеброй. В 1984 г. Динцел в [4] поставил вопрос о евободности проективных модулей над однородными координатными кольцами произведений р"1* Р" , вложенных по Сегре в проективное пространство. Легко заметить, что все эти кольца естественный образом содержатся в массе колец, рассматриваемых в гипотезе Андерсона. Наконец, уие после

1. Anderson i).F. Projective modules over oubrings of $iXfY] generated by monomials.//Pacific J.Kath.,-1973,-v.79,-p.5-1?.

2. Chouinard L.3. Projective modules over Kcull semigroup rin„s. // flioh. Hath. J.,.- 1ЭВ2, - v. 29, - p.'1*3-148.

3. Chouinard L.G. Krull semigroups and divisor class groups. //Canad. J. iiath., - 1981, - v.33, - p. 1*59-1*68.

4. Lindel H. On projective nodules ovar positively graded rings.

//iroc. Intern. Coll. on "Vector Dundles or. projective aui - affine varieties"/ Tata Inst., Bombay, - 1/3'»

опубликования нашэго основного результата и после оформления диссертационной работы, в IS88 г. тот ке Андерсон в [5J повторно, но в более уточненном вице ^формулировал свою гипотезу. Здесь предлагался конкретный класс коммутативных и сократимых моноидов в качестве того максимального класса, о котором шла речь в вышеупомянутой работе Шуйиара

В диссертационной работе даются исчерпывающие полокптельные ответы на все здесь перечисленные вопроси. Развиваемая нами техника оказывается такав пригодной для исследования вопросов низшей .^чгебраической К -теории моноидах алгебр, естественным образом связанных с вышеописанной тематикой.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Целью работы является описание структурного строения нормальных и полунормалышх моноицных алгебр; полное положительное решение гипотезы Андерсона и описание максимального класса коммутативных и сократимых моноидов, для которых все проективные модули над соответствующими моноицншди кольцами с любой областью главных идеалов в качество кольца коэффициентов являются свободными; а такхе исследование К -групп Гротондика, Еасса и Милнора (коммутативных) моноицных алгебр. Причем существенным моментом является развитие комбинаторно-геометрической интерпретации моноидов и моноицннх алгебр.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В работе получены следующие новые результаты:

I. Получены необходимые и достаточные условия для целозамкнутости и подунормальности моноицных областей целостности и с помощь» расслоенных произведений нолунормалышй случай сведен к случаю цело замкнутых моноицннх алгебр;

•5. Anderson D.F. ïhe picard group of a nonoid domain. // J. Algebra, - -1936, - v. 115, - P 5^2-551-

2. Положительно решена гипотеза Андерсона и на основании этого ращения показано, что класс жапюрмалыых моноидов М без нетривиального кручешя является .аксималышм (в классе коммутативных я сократимых) относительно свойства - все конечно порожденные проективные Р.Ш] - модули свободны при любой области главных идеалов R. .

3. Доказано, что K.ÍR) -2-*K,(R[Xt]) , где R - любое регулярное кольцо, а М - любой полунормальный моноид без кручения, что является максимальным обобщением известной тесреш Гротендшса-Серра; однако оказывается ¡<-(R.) для большинства R. и М указанного вида, где I > о . Улучшена оценка. сюръектпвной КА -стабилизации для , где JÁ по-лупормален и £ . Построен класо полунормальных мо- . ноидов М , для которых Кц (tí") *>• Ка (RC-W7) для подходяпгпс й ,

4. Результаты Ворота fsj относительно свободности проективных модулей над дискретным? алгебрами Ходаа обобщены для однородных факторизаций любых моноидкых алгебр (т.е. алгебр ейда' fiLul/X » где X порождается подмнояеетвом из М ). Установлены также естественные К4 и Кг - аналог-i этого (обобщенного) результата.

ПРИДОЕЗШ. Работа носит теоретический характер. Результаты а методы работы могут быть использованы при изучении строения проективных модулей над полиномиальными и моноидшш алгебрами, вопросов алгебраической К -теории полугрушювых алгебр, а также для установления структурных теорем этих алгебр, в ачгебраи-чэской геометрии, в коммутативной алгебре.

6. Vorst Т. The Зегге problem for discrete Hodge algebras.

// Math. Z. - 1983, - v. W, - p. 425-a35-

КЗГОДИКА ИСС.ДЦОЛАМ!. Все основные результаты получена существенном срименением комбинаторно-геометрической интерп&ра-цик »¡оноидов к 1.;ою идных алгебъ. Используются методы коммутативной алгебры, гомологической алгебры, а также методы, развитые при изучении проективных модулс-ц над алгебрам? полиномиального происхождения (локально-глобальная теорема Квиллена, теорема Хоррокса, ...).

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты работы докладывались на семинарах отдела алгебра и геометрии Тбилисского математического института /¿I IUCP, на семинарах кафедры высшей алгебры Московского гос,уш;ьерскгата, на сешшаре по алгебраической К -теории ЛО'Ж All СССР, на алгебраическом семинара математического института Ali БССР. Автор докладывал их на ХУП.ХУШ, XIX Всесоюзных алгебр ш-чоских конференциях и на IX Всеоою.ноы симпозиуме по теории групп.

ПУБЛИКАЦИЙ. Основше результаты: циссертгдии опубликованы в работах I) - 15).

СТРУКТУРА РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, трех глаз, приложения, и списка попользованной литературы. Введение со-дерхшт краткий сбзор р зультатов, близких к теме диссертации, и формулировки основных результатов работы.

ОКЬЗД РАБОТЫ. Диссертация состоят из Г32 страниц гл&шио-Еиоиого теиста. Список литературы включает 116 наименований.

КРАТКОЙ СОДЕРЖАНИЙ РАБОТЫ

Все рассматриваете моноиды М предполагаются коммутативными, сократимыми п боз нетривиального кручения (т.е. з группе частных кет нетривиальных элементов конечного порядка). В этой ситуации определены алоавнал

где K(Jt) - группа частных, (Q и ,s2 - поля радикальных if действительных чисел соответственно кг d - определенный кардинал. Цудем рассматривать конечные d . Через S*1""1" обозначим стандартную едиетчну» сферу в e^R и через Ф(М) - зкпук-лузз оболочку в S^1 мнокества точек пересечений с 1 всех направлений из ©JR , определенных элементами из Л (понятие выпуклости множества из ■ вводится в § I гл.1 ;

там ¡хе перечислены элементарные свойства выпуклых множеств на сфере). На оснозшше указанного Ф -соответствия устанавливаются (§ 2 гл.1) некоторые структурные теореш для. моноидов. Эти теоре?.!ы находят существенные применения в поелецуэдих главах. В частности, в чисто геометрических терминах даются необходимые и достаточные условия конечной пороздаемостп, целозамкнутости и полунормальности (напершим, что целозагдкнутостъ означает справедливость шшшкадиз 1 , ^еК(л), ъхеМ :xfMi , а яолу-нормалыюсть определяется так - эсеК(М) ,'ZxiJJ. .3xzJA^х&М ); изучаются такте структурные строения локализаций конечна порожденных целозамкнутых моноидов. В § 3 главы I доказывается, что условия целозамкнутости и полунормальности вдя моноидных алгебр

равносильны требованиям тех ае условий над кольцами коэфрициеи-

*

тов и моноидами по отдельности. Часть этого результата (относящаяся к целозамкнутости) в частном случае конечной порожденкости моноида была получена, например, в [3,7]. В § 3 доказана таитл теорема, дапщая способ сведения (с помотал расслоенных произведений колец) общего случая полуформальных моноидных алгебр к

случаю целозамкнутых (но, вообще говоря, неконечно порекдешшх)

7. Höchster И. Rings of invariants of tori, Cohen - Kacaulny rings generated by nonoaials.//Ann.fiath,,-1972,-v.vo,p.5'!8-537.

моасащшх алгебр. Указанная теорема в глава П попользуется для описания проекгязшгс модулей над полунормальними моноидшл.гп кольцами (дзлается это с пог,:оцьк> ассоциировавши; последователь-костей ;,;айера-Впэториеа дал функтора 'К„ ).

Тах;п.1 образом б гл.1 дается систематическое развитие той техники, с помоцьа которой в гл.П получен основной результат относительно лроекткваых модулей над шноевдшц алгебрами. 5ор-мулхрозки вшеупомякутпх теорем подчеркивают то обстоятельство, что геометрическая Ф -интерпретация хорошо приспособлена к изучению интересукцего нас класса моноидов и монорднлх алгебр.

Перечисленные результата показывает, что рассматриваемые свойства моноидаых алгебр (конечная порсздеиностъ, целозамкнутость, полуформальноеть, ...) естественным образом "расщепляются" в аналогичные свойства для колец коэффициентов и моноидов по отдельности. Естественность рассмотрения моноидов как колец, с пренебрежение*; аддитивной структурой, находит дальнейшее развитие в § 4 иерво!) главы. Здесь в терминах Шуйнара 13] дается определенна грушш класса* дивизоров вполне целозамкнутше моноидов п (¡три некоторых допущениях над М ) доказывается равенство ¿^(СЗ^-Д) к: £> а С£0{м) . гдо а, обозначает подгруппу б группе классов дивизоров СЛ , опроделеш1.уэт пересечениями конэчкг;-с семейств глазных дивизоряалыах идеалов моноида, а обоз-

качает ушювроаяьный делима»! моноид, содерлаа^З . На основании этого равенства получаем, что Си<3(Л') является гр^ппоа колония • тогда и только тогда, когда Ф^и) является симплексом (соот-ветствуодой разморпости). Ямекко для этого чаотного случая била положительно решена гипотеза Андерсона в 1982г. (им.кгяз). В ятем .-ко параграфе для кеюторкх конкретных случаев (когда льляотся (миогст-'ерным) парачлель-ипедом) дается полное зачисление

группы . Актуальность вссх этих вычислений следует

из равенства ЩуЯнара С?(ЯСм1) л: С£(Ю © С?(М) , где ЯСЛ1 -любая моноицная область Крулля [3].

Результаты глав П я Ш относятся непосредственно к алгебраической К -теории шноидных алгол. В частности, в г^азе П устанавливается максимальный класс моноидов (коммутативных и удовлетворяющих условию сокращения), для которых все конечно порожденные проективные модуля над соответствующими коиоидншя алгебрами, с любой область» главных идеалов в качестве кольца коэффициентов свободны. Оказывается, что этот класс б точности совпадает о уже рассмотренным в главе I . с классом всэх полунормальных моноидов без нетривиального кручения. Основным моментом является положительное решение гипотезы Андерсона. Остановимся более подробно на этом решении. В упомянутой гипотезе речь идет о конечно порожденных и целозамкнугых (т.е. нормальных) моноидах без нетривиальных обратимых элементов. 3 данной ситуации Ф-образы соответствующих моноидов можно считать "плостглп" (что "и будем предполагать): рассматриваем пересечения ке ,о сферой

(ом.вше), а со соответствующими касательными гиперплоскостями. В этом контексте общий случай гипотезы Андерсона тате относится (по общности) рассмотренному в 1982 году частному случаю крученья группы классов дивизоров, как любые выпуклые (чно-' гомерные) многогранники к симплексам. С помощью последовательности Майера-Виеториса (и аналогичных соображений относительно унп-модулярных векторов) доказывается, что достаточно показать езо-боцность проективных модулей над монондными подалгебрами в яско-ш моноицных алгебрах, определенны:,и внутренностями вышеупомянутых многогранников. Интересно отметить, что том са/.а.м мы ечхелги за рамки рассмотрения конечно порогешшх моноидов (котори:.! со-

ответствуют замкнутые выпуклые многогранники). Далее, с помощью теоремы Робертса [8], являющейся аксиоматическим обобщением известного критер.-я лоррокса о свободности проективных RC¿7 -модулей в случае локального R [9], для указанных внутренностей строятся гомстетические подмнояества, удовлетворяющие следуюцему условию: все конечно порожденные проективные модули "над внутренностями многогранников" расширены (с по!.:о,:!ью скаляров) с моноид-шх алгебр,* соответствующих указанным гомотетическим подмножествам. При этом ваяно то, что коэффициент гомотетичности te (О, i), зависит исключительно от форш исходного многогранника (а не от определенного этим многогранником моноида). Итерируя этот процесс, мы приходим к заключению, что проективные модули над моноидами алгебрами, соответствующими вышеупомянутым внутренностям многогранников, расширены с подмоноидных алгебр, которым соответствуют сколь угодно малые внутренние области. Теперь, если брать промекуточные симплекса между этими внутренними областями к внутренностями искомых многогранников, задача сводится к уже рассмотренному (в 1982г.) частному случаю кручения группы классов дивизоров. Более того, оказывается, что промежуточный симплекс модно выбрать таким образом, чтобы он определял свободный моноид. Следовательно, справедливость гипотезы Андерсона следует из результатов Квиллена и Суслннэ относительно проблемы Серра. С помощью аппроксимаций выпуклых мнокаств замкнутыми подашогогранникаия

с-л

индуцдрует^справевдивость гипотезы Андерсона для любых нэконечко порожденных целозамкнутых моноидов. После чего рассматривается

8. -bam 'Г.Y. Serre's conjecture. - Lect. Kotee Kath., 1978, .No Ó35. -P.22?.

9. Horro с k. 8 G. Projective modulas over sn extension of local rings.// Proc. i-ond. Math. Soc., -

случай наличия обратимых элементов з моноида а бесконечности Ji т ^(й а К (Л)) . на заключительном этапе (с помощью декартовых квадратов колец) рассматриваются полунормальныв моноиды. С помощью результатов из [10] доказывается, что отсутствие нетривиального кручения в М при свободное?!! проективных RLJH-модулей щп любых областей главных идеалов R является необходимым условием..

Отзывается, что тот га класс полунормалышх моноидов М является максимальным относительно свойства изоморфности естественного отображения —>>Ко(№-М]) при любом коммутативном регулярном R .

На основании этих результатов в § 3 гл.П доказывается тривиальность группы SKc(WMl) , где R. - любое регулярное кольцо (все кольца предполагаются коммутативными), для которого S^'1('Ü) = Säo(R.):= О , и М - любой коммутативный, сократимый моноид, свободный от кручения. Том самым доказано, что всякий проективный RC-i-П - модуль стабильно тлеет форму свободный © ранга I.

В § I гл.Ш, на основании результатов из [II] показано, что yse при рассмотрении прямого -аналога гипотезы Андерсона возникают проблемы. В частности, доказано существование нормального подмоноада М <= ( t, . . . ] ) ранга -- 2, для которого фК^^СМ!) , где Z.кольцо целых чисел (вместо Ж такке шано брать определенные поля). На самом доле такие монсиды, не обладающие свойством " К -регулярности", расс-

10. Huah D.E. Picard groups of abelian group rings.// J. Furo Appl. Alg., -1902, -v.26, - p. 101-11'*.

11. Swan H.G. Excision in algebraic K-theory.// J. Pure Appi. Alg., -1971,-v. 1, - p. 221-252.

рэдолены "плотно" в смысле Ф -интерпретация. В этом ко параграфе лдл любого подунормалыюго А ранга 2 и для любого полулокального нетерова кольца Я доказана съюректявность естественного отображения

ои (ггсллу—. клммп, %

где Кги№ (¿¡мИ + 1). 3x11.1 на 2 единицы улучшена об-

щая оценка оъюрективЕОй К4 - стабилизации [12] . В качестве следствия получена зрмитовость колец КСМ1 , где М -такой же как и вш'.е и

В § 2 главы Ш, после предварительных вычислений в группах Стейнберга моноидных алгебр над "почти делимыми" моноидами, строится определенный класс полунормальных и нецелозамкнутих моноидов ■XX , для которых

К£(Р.) ¡(¿ЧСм!) , где - любое локальное регулярное кольцо. С точки зрения нашей Ф -интерпретации эти моноеды почтя совпадают с моноидами , дяя которых

указанный изоморфизм очевиден (здесь <й+ обозначает аддитивный коноид неотрицательных рациональных чисел). Отклонение от целозамкнутости у этих моноидов появляются в вершинах симплексов,соответствующих моноидам б^

В §3 главы Ш идя любого моноидного кольца Я.СМ] (члг£(л)<оо и М предполагается коммутативным, сократимым и без кручения) и любого идеала. I ЦСМ~!, порожденного некоторым поддьоаестаом из .и , доказывается, что если для выполняется одно из

условий - проективные модули свободны, вЬ^—Е.^ , коль-

цо эрмитово, то аналогичное условие выполняется и для факторалгзб-ри (IIЛЗ/т. При дополнительном требовании Кг -регулярности Ц , БзесД. Алгебраическая Я-георня.- :Мпр,1971,-591с.

радикальности I и "почти делимости" моноида М доказывается таюко справедливость имплпкации

к2'Я)--г.Н^ШМ']) К2(Я) ъ Кг(РЛм'1/х. ) . '

В частном случае свободного моноида М часть зтих результатов (относящаяся к функторам Кв и К* ) ¿ила доказана Воротом [б]. Отметим, что в напей геометрической интерпретации алгебрам вида КГ^З/х соответствуют многогранники с "аннулированными" внутренностями. Следовательно, решаемая задача состоит в сведении определенной информации от многогранника к его границе..

В последнем § 4 главы ¡1! дается аксиоматический подход к примененному ужо насколько раз методу сужения скаляров для моноидных алгебр над делимыми моноидами. Причем рассматриваемы:'! класс функторов Г : —>А$'. достаточно обии-

рон: требуются лишь условия непрерывности и полуточкости (каковым являются функторы К; , С1 ), в частности,■ для г -регулярных колец и моноидов вышеупомянутого вида (конечного ранга я без нетривиальных обратимых элементов) доказывается справедливость эквивалентности.

_ коночно порожденная труппа.

Ф=> Г(ЦСД]). Пользуясь вычислениями в группе Отейнбер-

га из § 2 (это!кз главы), указанный результат удается распространить и для функтора (который, как это хорошо известно, те является полуточным). Мотивировка этих теорем исходит из хорошо известного результата о нэконечной порокденностп -групп, где I - любой индекс.

В приложении. с помощью -соответствия доказывается ;ледуодая теорема о вложении: пусть С - лабал область цзлоог-

иости и А <= ..,¿¿7 любая (?-подалгебра, тог-

да существует I?-подалгебра А' КС^,.. .,-¿^7 , изоморф-' нал алгебра А , где А (степень трансцендентности

для соответствующих полей частишс). Согласно [131 получаем такое следствие: для любого поля $ о склхЬ—0 любая 2-мерная регулярная факториальная % -подалгебра А е=. (АУ ) изоморфна кольиу ■1<С{±,±11~] .

Список работ автора, опубликованных по теме диссертаций

1. Губеладзе И.Л?.. О поцкольпдх кольца полиномов, порожденных одночленами //Сообщ.АН ГССР.- 198Г, - Т.104, - С.545-547.

2. Губеладзе И.Дж. Об обобщенной проблеме Серра для аффинных колец, порожденных одночленами // Сообщ.АН ГССР, - 1982. -Т.106, - С.29-32.

3. Губеладзе И.Да. Обобщенная проблема Серра для аффинных колец, порожденных одночленами. - Тб. :ПУ, 1982. - 54 с.

4. Губеладзе И.Дж. Проективные модули над аффинными кольцами, порождавшими одночленами // ХУП Всесоюзная алгебраическая конференция : Тез.докл. - Шнек, 1983. Т.1. - С.62.

5. Губеладзе И.Дж. О проективных модулях над полунормальиыми кольца!®, порожденными одночленами //С-ообц.ЛН ГССР, - 1984.-Т.П4. - С.473-475.

6. Губеладзе П.Дм. Гру ла классов дивизоров делимых моноидов // IX Всесоюзный симпозиум по теории групп : Тез.докл., - И., 1384. - С.192.

1о. Йи5зэ1 Р. Оа а!Х1пв-ги1в(1 гаЪ1опа1 вигГасез. // МаЪЬ. Авп., - 4981, - V. 255, - р. 287-508.

7. Губеладзе И.Дж. Тривиальность групп 5/У0 и Pic для алгебр, порожденных одночленами и эрмитовые полунормалыше кольца // Сообщ.АН ГССР,- 1965. - Т.117. - С.29-32.

8. Губеладзе И.Дк. Проективные модули над аффяаншли кольцами, по-рохдешшмя одночленами // Сб.тр. "Исследования по алгебре" / Tu.:ГГ/, 1985. - 0.25-43.

9. Губеладзе И.Дк. Вычисление х-руппы Мелнора Kz моноицшх алгебр над делимыми моноидами // ХУШ Всесоюзная алгебраическая конференция : Тез.докл. ~ Кишинев, 1985, T.I. - G.149.

10. Губеладзе И.Лд. О группе классов дивизоров делимых моноидов// Сообщ.АН ГССР, - I98G. - Т.122. - G.241-244.

11. Губеладзе И.Дяс. Гипотеза Андерсона и проективные модули над моноидными алгебра;,® // Сообщ.АН ГССР. -IS87, Т.125. - С.289-291.

12. губеладзе И.Дж. Гипотеза Андерсона и классическая алгебраическая К -теория моноищщх алгебр // XIX Всесоюзная алгебраическая конференция : Тез.докл., -Львов, 1987, T.I. - С.76.

13. Губеладзе И.Лд. Гипотеза Андерсона и максимальный класс моноидов, над которыми проективные модули свободны // Мат.сборник.- 1988, -Т.135. - C.I69-I6I.

14. губеладзе П.Да. О классической алгебраической К -теории моноидшгх алгебр // Сообщ.АН ГССР, - 1988. - Т. 130. - 0.469471.

15. Губеладзе И.Да. О классической алгебраической h'-теории монопщшх алгебр, П //Сообщ.АН ГССР. - I9S9. -Т. 133. -£.253-