Энтропийная мера порядка-беспорядка классических, квазикристаллических решеток и аморфных сред

Титов, Павел Леонидович

Энтропийная мера порядка-беспорядка классических, квазикристаллических решеток и аморфных сред тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

Титов, Павел Леонидович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Владивосток МЕСТО ЗАЩИТЫ

2010 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.07 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Энтропийная мера порядка-беспорядка классических, квазикристаллических решеток и аморфных сред»

Автореферат диссертации на тему "Энтропийная мера порядка-беспорядка классических, квазикристаллических решеток и аморфных сред"

На правах рукописи

004607735

Титов Павел Леонидович

ЭНТРОПИЙНАЯ МЕРА ПОРЯДКА-БЕСПОРЯДКА КЛАССИЧЕСКИХ, КВАЗИКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ РЕШЕТОК И АМОРФНЫХ СРЕД

специальность 01.04.07 - Физика конденсированного состояния

АВТОРЕФЕРАТ

- 2 СЕН 2010

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Владивосток, 2010

004607735

Работа выполнена на кафедре Физических основ технологий информационных сред НОЦ «Нанофизика и нанотехнологии» Института физики и информационных технологий Дальневосточного государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор, Заслуженный деятель науки РФ Юдин Виталий Витальевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Устинов Александр Юрьевич доктор физико-математических наук, профессор Игнапнок Виктор Александрович

Ведущая организация: Институт автоматики и процессов

управления ДВО РАН

Защита состоится «1» октября 2010г. в 14.30 часов на заседании диссертационного совета Д212.056.08 при Дальневосточном государственном университете, расположенном по адресу: г. Владивосток, ул. Суханова, д.8. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Дальневосточного государственного университета. Автореферат разослан « 40 » иге АД_2010г.

Ученый секретарь

диссертационного совета,

кандидат физико-математических наук

Общая характеристика диссертации

Актуальность темы. Проблема порядка-беспорядка всегда была одной из центральных проблем физики твердого тела. Достаточно вспомнить классические монографии Дж. Займана, Р. Уайта и Т. Джебелла, Р. Бекстера. В этих фундаментальных работах приведено множество показателей ближнего, среднего, дальнего порядка для разнообразных систем. Однако, с развитием физики разупорядоченных сред в широком смысле этого слова такие подходы были уже недостаточны. Среди широкого класса разупорядоченных сред, полученных в сильно неравновесных условиях, можно выделить кварцевые и металлические стекла, аморфные пленки, и в определенном смысле сюда можно отнести и квазикристаллические среды. В этом ключе уместно упомянуть работы Медведева с соавторами, в которых обобщен метод Вороного-Делоне. Он применялся к исследованию структуры даже некристаллических систем различного типа. Нельзя оставить в стороне обширный класс исследований по характеру дальнего порядка в квазикристаллических системах. Одной из характерных систем является паркет Пенроуза; большинство физиков считает, что он обладает характерным свойством апериодичности. Одна из главных задач в понимании структуры квазикристаллов состоит во вскрытии механизмов, базирующихся на ближнедействующих потенциалах межатомного взаимодействия, обеспечивающих крупномасштабные корреляции, реализующие соответствующую форму дальнего порядка. Упомянем лишь некоторые из этих исследований, например: Steinhardt P. J. & Jeong Н.-С. A simpler approach to Penrose tiling with implications for quasicrystal formation. Nature 382, 433—435 (1996); Steinhardt P. J. et al. Experimental verification of the quasi-unit-cell model of quasicrystal structure, Nature 396, 55-57 (1998); Yanfa Yan, Stephen J. Pennycook, Atomic structure of the quasicrystal AbNijoCog, Nature 403, 266-267 (1999); Hyeong-Chai Jeong, Growing Perfect Decagonal Quasicrystals by Local Rules. Phys. Rev. Lett. 98, 135501 (2007); Keys A. S. & Glotzer S. C. How do Quasicrystals Grow? Phys. Rev. Lett. 99, 235503 (2007); Steinhardt P. J. How does your quasicrystal grow? Nature 452, 43-44 (2008). Оставляя в стороне подробный анализ этих работ, разумно акцентироваться, основываясь на работах Hyeong-Chai Jeong, Growing Perfect Decagonal Quasicrystals by Local Rules. Phys. Rev. Lett. 98, 135501 (2007); Keys A. S. & Glotzer S. C. How do Quasicrystals Grow? Phys. Rev. Lett. 99, 235503 (2007), на способах идентификации характера упорядочения в двух методах. Имеются в виду оптимизационные энергетический и энтропийный методы построения квазикристаллических сред. В определенной мере авторы противопоставляют их чисто математическим исследованиям по построению квазикристаллических паркетов типа замощений, покрытий, разбиений, которые обычно базируются на небольшом алфавите «золотых» ромбов, стороны которых наделены метками, нанесенными тем или иным способом.

В диссертации рассматриваются также высокоразупорядоченные среды типа КС, MC и аморфные пленки, характер упорядочения которых, согласно

общепринятым трактовкам, описывается в стохастических, вероятностных терминах. Однако в многочисленных наших работах было показано, что в таких средах, как правило, полученных в неравновесных условиях, возникает сеточная иерархия естественных дефектов от 30^-50 А до сотен микрон. Для всех рассмотренных систем существуют свои методы и методики оценки степени порядка-беспорядка.

В нашем исследовании подводится итог информодинамическому методу изучения разупорядоченных сред, который ориентирован именно на единый количественный метод описания степени порядка-беспорядка в таких средах.

Настоящая диссертация посвящена соединению энтропийного подхода с чисто математическим, принятым еще в работах Пенроуза (например, «Новый ум короля»). Из всего разнообразия целевых установок мы остановились на энтропийном методе описания характера порядка-беспорядка широкого класса разупорядоченных сред.

Целью диссертационной работы является разработка универсального представления сеточных, решеточных систем различной топологии, расширение традиционной задачи перколяции с привлечением информодинамических функционалов для решения задачи диагностики дальнего упорядочения классических, квазикристаллических и аморфных сред, и построения общей качественной шкалы упорядочения.

Для достижения данной цели были поставлены следующие задачи:

1. Развить информодинамический метод анализа решеточных и сеточных систем разупорядоченных сред в направлении энтропийной меры характера порядка-беспорядка этих систем в представлении координационных древесных графов Кейли.

2. Разработать методику энтропийных критических индексов в диагностике дальнего порядка классических решеток. В качестве последних избрать квартетную, сотовую и симплексную решетки.

3. Исследовать характер порядка-беспорядка минимального класса квазикристаллических симметрии информодинамическим методом. Данный класс включает в себя три квазикристаллических мозаики. Это бигексагональная мозаика Дюно-Каца, (¿-мозаика (4/8) и паркет Пенроуза.

4. Информодинамическим методом проанализировать характер наноструктурного упорядочения кварцевых и металлических стекол, аморфных пленок. Рассмотреть возможность создания общей шкалы порядка-беспорядка.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1) Предложено полное, адекватное отображение сеточных, решеточных систем в координационные древесные графы Кейли (ДГК). Сформулирован принцип симплициальной декомпозиции ДГК на поддеревья, в качестве которых выступают кустовые- подмножества. В теорию перечисления древесных графов введен новый тип перечисляющих структур - кустовые распределения по степени ветвистости. Рассмотрена задача перколяции в нетрадиционной постановке на квазистохастических координационных ДГК

для собственных, внутренних функционалов, среди которых выбраны энтропия в форме Вайда и дивергенция Бонгарда в симметризованном виде.

2) Установлены признаки дальнодействия для различных классов сеточных, рещеточных систем в задаче перколяции информодинамических функционалов. Классические решеточные системы, квартетная, сотовая и симплексная, обладают гиперболическими энтропийными и дивергентными зависимостями с критическими индексами, не превышающими единицы. При этом остаточная энтропия может быть либо нулевой (для квартетной и сотовой решеток), либо равной 0,5 (для симплексной решетки). Для представителей минимального класса квазикристаллических симметрий, таких как паркет Пенроуза и квартетно-восьмеричная мозаика 4/8, основным признаком является волноподобное, четко периодичное, со значимыми осцилляциями поведение энтропии около среднего энтропийного инварианта. Аморфные среды, из которых выбраны кварцевое стекло КУВИ-1 и металлическое стекло Со-Р, характеризуются постоянным значением информодинамических функционалов.

3) Впервые методом символьной динамики на ДГК квазикристаллических и аморфных сред детализирована тонкая структура символьных последовательностей для скорлуп Мандельброта и стримеров. Показано, что эти символьные последовательности имеют периодическую структуру, состоящую из модемов длиной 8-И0 символов.

4) Построена количественная информодинамическая шкала порядка-беспорядка. В качестве меры шкалы взят показатель структурированности по энтропии. Такая шкала отражает степень упорядоченности координационных отношений в представлении ДГК.

Положения, выносимые на защиту:

1) Метод количественной оценки степени порядка-беспорядка решеточных и сеточных систем, основанный на энтропийной перколяционной зависимости перечисляющих полиномов на координационных древесных графах Кейли. Методика критических энтропийных индексов при оценке степени дальнодействия классических решеточных систем. В качестве последних выступают квартетная, сотовая и симплексная решетки.

2) Предложены следующие характеристики степени дальнего порядка-беспорядка для классических решеток. Одна из важнейших характеристик -гиперболический закон спадания энтропийной перколяционной зависимости, который имеет критический индекс, не превосходящий единицы. Второй ' характеристикой является асимптотическая нулевая оценка вышеуказанных зависимостей. В качестве третьей характеристики может выступать остаточное значение асимптотической энтропии. Например, для симплекс- решетки она равна 0,5, что указывает на максимальное совершенство именно симплекс-системы.

3) Специфика порядка-беспорядка квазикристаллических паркетов, решеток покоится на эффекте волновой энтропийной перколяционной зависимости на ДГК, отображающих эти решетки. Данное свойство характерно для пентасимметричного паркета Пенроуза и квартетно-восьмеричной (С>-)

мозаики. В случае бигексагонапьной системы наблюдается гиперболическое спадание на более чем полпорядка сильнее по дальнодействию, чем для квартетной решетки. При этом асимптотическое значение остаточной энтропии составляет 0,444, что меньше аналогичного значения для симплекс-решётки. Бигексагональная мозаика имеет в качестве ближайших «родственников» симплексную и сотовую решетки.

4) Для металлических и кварцевых стекол характерно существование энтропийных инвариантов или своеобразного закона сохранения количества разнообразия. Степени стохастизации таких систем не равны 100%. Такие среды обладают дальним упорядочением на уровне 5^7% по энтропии.

5) Методом символьной динамики показано для квазикристаллических и аморфных сред существование квазиволновой структуры в скорлупах Мандельброта и стримеров на ДГК этих систем. Величина модуля периодичности составляет 8-гЮ символов. По автокорреляционной структуре таких символьных последовательностей их можно отнести к классу сверхсложных сигналов.

Практическая ценность работы. Полученные результаты могут быть использованы при описании классических кристаллографических симметрии, квазикристаллических, аморфных сред, для сравнения различных сеточных систем по степени упорядочения, организации. Введенные количественные энтропийные меры степени порядка-беспорядка разупорядоченных сред могут быть полезны в исследовании релаксационных процессов, а также структурных эффектов в деградационных процессах. При отработке технологических процессов, а также поиске оптимальных доводочных технологий предложенный формализм может быть почти единственным в исследовании проблем структурной кинетики.

Апробация работы и публикации. Основные результаты опубликованы в сборниках трудов региональных, всероссийских и международных конференций, семинаров, симпозиумов ВНКСФ-12-15 (2006-2009), «Нейроинформатика, ее приложения и анализ данных»-2006-2009 (Красноярск), МНС-2006-2009 (Красноярск), «Нейроинформатика»-2007, 2008 (Москва), «XVIII Петербургские чтения по проблемам прочности и роста кристаллов» (2009, Санкт-Петербург), ФММС-2008 (Воронеж), РША-2008 (Нижний Новгород), ММПСН-2009 (Москва), ПДММ-2009 (Владивосток), «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах»-2009 (Махачкала), «Термодинамика неупорядоченных сред и пьезоактивных материалов»-2009 (Пятигорск), ЬАТ-2009 (Пекин), журналах: «Проблемы эволюции открытых систем» (две статьи, 2008), «Известия РАН. Серия физическая» (2009), «Теоретическая и математическая физика» (2010, в печати), РЬуБюа А (2010, в печати). Всего по материалам диссертации опубликовано 44 работы, из них 5 статей в журналах из перечня ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы. Общий объем работы составляет 202 страницы, включая 52 рисунка, 8 таблиц и список литературы из 150 наименований. |

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, кратко излагаются классические подходы к идентификации дальнодействия. Отмечаются недостатки традиционных методов анализа сеточных, решеточных систем, в связи с чем формулируются цель и задачи исследования.

Первая глава состоит из четырех отдельных разделов. Параграф 1.1 представляет собой заказной пленарный доклад «Аморфные пленки, стекла, квазикристаллы как сложные системы» (Москва, 2005, ИМЕТ РАН им.А.А. Байкова). Там намечены ближайшие перспективы, одно из направлений которых и развивается в данной диссертации. На базе координационных древесных графов Кейли описывается степень порядка-беспорядка сеточных и решеточных систем широкого класса. В качестве меры порядка-беспорядка предлагается энтропия кустовых распределений на ДГК, отображающих сеточные, решеточные структуры.

В параграфе 1.2 дается сравнительный анализ процессов аморфизации и стеклообразования. В данном разделе исследуются процессы синергетического типа, которые происходят в твердотельных неравновесных средах. Особо подчеркивается принцип симплициальной декомпозиции, который систематически применяется на всем протяжении диссертации. Это позволяет провести конструктивные параллели с понятием фрактальности в рамках необходимого условия.

Параграф 1.3 посвящен анализу нетривиальной точки зрения на аморфный беспорядок как некоторый координационный порядок в представлении древесных графов Кейли. По нашему мнению, вряд ли стоит ограничиваться при трактовке строения аморфных сред моделями ближнего и даже среднего порядка. В сеточной топологии естественной системы дефектов неравновесных разупорядоченных сред могут возникнуть совершено иные типы дальнего упорядочения, которые и будут описаны в последующих главах диссертации.

Параграф 1.4 отводится под феномен сверхразмерной перколяции энтропийных и дивергентных функционалов на древесных графах Кейли. Обобщается модель волновой перколяции в терминах фронтов Гюйгенса и лучей. В качестве обобщенных фрактальных фронтов выступают скорлупы Мандельброта, а в качестве лучей - стримеры («лохматые» фракталы). Выдвигается идея о фронтально-лучевой перколяции в терминах СкМ и стримеров как прямой суммы этих типов представлений. В таком случае размерность обобщенного протекания будет выше размерности планарной среды, что и является феноменом сверхразмерной перколяции. При этом надо помнить, что эта размерность все равно будет меньше размерности

минимального гладкого пространства вложения. Это направление дает возможность конструктивно изучать объекты не только низкомерной природы (квантовые точки, проволоки и т.д.).

Вторая глава посвящена описанию информодинамического формализма. В параграфе 2.1 предлагается ввести грамматическое представление сеточных систем.

В параграфе 2.2 дается общая схема построения (д, ^-представления сеточных, решеточных систем в виде координационных древесных графов Кейли (ДГК) с учетом алфавита [пщхпр\. Такие ДГК являются деревьями смежностей, соседств, координации ячеек сеток. В системном плане ДГК можно рассматривать как супердерево, которое состоит только из поддеревьев, кустов. Условие самоподобия в каком-либо смысле является необходимым условием фрактальности. Можно рассматривать ДГК в радиальном и тангенциальном представлениях. В радиальном представлении на ДГК четко видна координационная эстафетность, т.е. в г-представлении ДГК обладает марковским свойством. Однако в тангенциальном представлении на каждой иерархии кусты достаточно сильно пересекаются (внутриуровневая локальная межкустовая пересекаемость). Эта кустовая пересекаемость обуславливает такое топологическое свойство, как связность. Наши ДГК принципиально отличаются от графов типа «леса» или от классических деревьев Бете-Кейли. Разумно назвать такие ДГК «Марковскими джунглями».

К характеристикам топологических свойств ДГК следует отнести и различные виды перколяции. Первичным понятием в перколяции является протекание координации, отношений подчинения-командования. К более тонким понятиям перколяции следует отнести протекание вероятностных распределений, статистик, вероятностных мер. Более высоким уровнем перколяции является протекание информодинамических характеристик по ДГК. Перколяцию стоит рассматривать с точки зрения симметрии «центропериферия». В случае неравенства прямых и обратных потоков перколяции уместно говорить о необратимости ДГК.

В параграфе 2.3 описывается декомпозиция древесных графов Кейли, отображающих сеточные, решеточные системы.

Построенные ДГК являются симплициальными ультраметрическими комплексами. ДГК допускают симплициальную декомпозиционную процедуру. Если использовать кустовую декомпозицию, то следует обратиться к классической теории перечисления графов.

В параграфе 2.4 рассматривается задача перколяции в нетрадиционной постановке на квазистохастических ДГК.

ДГК можно трактовать как обобщенные решетки, в которых стохастическое воздействие не является внешним фактором, по своей топологии это существенно квазистохастические системы. Перколяция на таких ДГК стохастична по своей природе. Задачу перколяции в такой постановке можно было бы назвать внутренней. Перколяция на ДГК будет определяться через инварианты, если таковые удастся найти.

Остановимся на кустовой симплициальной декомпозиции. Согласно теории перечисления графов составляются ПП. Можно построить ПП в прямом и. обратном направлениях «центр-периферия». Перколяция на ДГК выглядит как П1^*)^^^ /;((±1)>1, где П' - оператор прямой («+») и обратной («-») перколяции. Асимптотический полином получающийся при /'-»со, может обладать некоторыми инвариантными свойствами перколяции. Если построить

на супердереве усредненный полином7'±(*)= цт— 70 можно поставить

еШ "

вопрос о равенстве усредненного и асимптотического ПП: Т1*(х)~Т*(х). Их равенство удовлетворяло бы условию эргодичности.

При помощи нормировки необходимо перевести ПП в вероятностные ПП (ВПП):

где = "ПП; П - ранг на ¡-уровне ДГК; 0</;(л:')<1; ¿Д\')=1.

Вероятностный аспект перколяции на ДГК это новый, существенный вклад в теорию перечисления графов.

Для перехода на информодинамический уровень рассмотрения строится последовательность энтропий {яг[//,],...,яг[/^]}, где

//г[//,(.г-'))= Лд(дг')[1-д(лг')] - энтропия Вайда от ВПП. Энтропия является *

собственной мерой каждого уровня иерархии ДГК, задающей его состояние. Для рассмотрения совместных характеристик двух соседних уровней, их отличия друг от друга необходим переход к информационным, дивергентным мерам, среди которых мы выделяем дивергенцию Бонгарда в симметризованном виде:

Эти функционалы будут использоваться на всем протяжении диссертации как ключевые характеристики степени порядка-беспорядка.

Таким образом, под информодинамикой понимается перколяция энтропийных, дивергентных функционалов на ДГК с учетом преобразования «центропериферия». Именно соответствующие информодинамические инварианты помогут количественно характеризовать, классифицировать различные типы упорядочения, организации ДГК, отображающих сложные ячеистые структуры, мозаики, паркеты.

Третья глава является изложением информодинамичекого метода анализа сеточных, решеточных систем в направлении энтропийной меры порядка-беспорядка и является вариантом одноименной статьи в журнале «Теоретическая и математическая физика». В ней дается процедура построения ДГК. Рассматривается симплициальная кустовая декомпозиция ДГК. ДГК задается тройкой объектов: множеством связок «вершина-ветвь»

(элементарных объектов), пространством вероятностных объектов (кустов), мерой на кустах. Для ДГК как сети в смысле де Посселя вводится аналог производной Радона-Никодима, по логике построения являющийся фрактальной размерностью ДГК. Подробно рассматриваются свойства ДГК, перколяция на ДГК в радиальном и тангенциальном представлениях. Даются выражения по оценке фрактальных размерностей стримеров и скорлуп Мандельброта ДГК. Приведена структура алфавита мозаики Пенроуза (МП), который на обоих уровнях управляется «золотыми» отношениями. Установлено, что МП имеет волновую перколяционную зависимость в терминах энтропийного функционала.

Во вводном параграфе 3.1 отмечаются современные тенденции по изучению проблемы порядка-беспорядка в различных средах. Приводится критерий дальнодействия в терминах критических индексов. Отмечается, что в сеточных системах является важным понятие соседства, инциденции.

В параграфе 3.2 приводятся сеточные структуры, мозаики, решетки различной природы (рис.1). Необходимо разработать-универсальный способ представления подобных структур. Обычно используется стандартный ансамблевый подход, присущий статистической физике и математической статистике.

1 ¡\7V\7W\7WX

Рис. 1. Примеры сеточных структур: система мезодефектов кварцевого стекла КУВИ-1 (а), фрагмент паркета Пенроуза (б), /ноская симплекс-решетка (в).

В данном методе обычно решается задача распределения ячеек, зерен по площадям, диаметрам и пр. По нашему мнению, в сеточных, решеточных системах, главной является координационная компонента, отражающая факт соседства, контакта элементарных . ячеек. Для учета обеих компонент необходимо отображать сеточные структуры в координационные древесные графы Кейли, топология которых общее, чем традиционных графов Бете-Кейли типа леса.

В параграфе 3.3 приводится логическая схема построения ДГК (рис.2), отображающих сеточные, решеточные структуры (рис.1). При высоте ДГК, стремящейся к бесконечности, мы имеем актуализированный ДГК, который можно представить в виде следующей итерационной записи инциденций:

■р

1к

где а0 - стартовая вершина графа; р - операция инциденции бинарного типа, которая устанавливает координационное отношение между а„ - стартовой

вершиной и некоторым подмножеством вершин следующего уровня ак , которые являются инцидентно достижимыми (р'~ инциденции центральной «звезды», /о1 - инциденции последующих уровней, направленные вперед); х, -число вершин /'-го уровня или общее координационное число,/ - внутренний индекс каждого куста кп ак - вершины куста с внутренним индексом jk .

Параграф 3.4 является одним из ключевых по формализации информодинамического метода.

ДГК можно записать как объединение всех инциденций:

с==ЕЕ "а >

где / - уровень иерархии, - вершина на /'-уровне, А(/;) - степень ветвистости *(/у П)) - исходящее ребро от /( до (условная логика), пу - число вершин

на /'-уровне, N - общее число вершин ДГК, уу - операторы объединения по

• и

А"</„)

у,-вершинам и /-уровням. Записав куст в виде: £((А'(/у)) = Е*(/Л, мы

¡м

приходим уже к кустовой записи ДГК: С = ))|. Если ввести

вероятностную меру на кустах ДГК, то получим ДГК как тройку объектов:

Параграф 3.5 сочетает изложение свойств ДГК и дальнейшее продвижение информодинамического метода до фрактальных размерностей в различных представлениях.

Наиболее важны свойства ДГК (рис.2), отличающие их от традиционных графов Бете-Кейли. Такими свойствами будут квазистохастическая ветвистость и локальная внутриуровневая межкустовая пересекаемость в приближении входящих кустов. В этом смысле нами был введен термин «Марковские джунгли». Введенная симплициальная декомпозиция ДГК находит отражение как во фрактальной геометрии, так и в теории симплициальных комплексов.

Рис.2. Концентрический ансамбль скорлуп Мандельброта на ДГК металлического стекла СоР (а), кварцевого стекла КУВИ-1 (в), а-ансамбль стргшеров на ДГК паркета Пенроуза (б).

Следуя полярной геометрии ДГК, может рассматриваться фрактальность как в радиальном, так и в тангенциальном представлении (рис.2). Тангенциальными характеристиками являются фрактальные размерности скорлуп Мандельброта (СкМ). СкМ это геодезический замкнутый фронт на каждом уровне иерархии ДГК, обладающий винеровской топологией (рис.2а,в). Ансамбль СкМ существует благодаря связности ДГК. Дуальным представлением к СкМ являются стримеры - лучи, исходящие от корня ДГК к периферии (рис.2б). Стример можно назвать «лохматым» фракталом, и его фрактальная размерность будет радиальной компонентой перколяции на ДГК. Если рассматривать прямую сумму фронтального и лучевого протеканий, то приходим к сверхразмерной перколяции, размерность которой превышает топологическую размерность пространства укладки.

В параграфе 3.6 приводится структура алфавита паркета Пенроуза, перколяция энтропийного функционала с учетом квартетного алфавита второго

я„„„

н — н

уровня и перколяция коэффициента структурированности 7 = —¡г?-= ] -

Я„

л 0.75

Е. 0.70

| 0.65

% 0.60 х

Г' 0.55 050

0 697 Ь

V 4 V *

Л А А 9 6%

* Н7 V \ / \ / \

16 ^

14 £

12 =

10 £

0.4 0.8 1.2 1.6 о г « 6 8 10 12 1» С б) 1п(г) в) уровень иерархии

Рис.3. Структура двухуровневого алфавита паркета Пенроуза (а), ранжированное распределение символов квартетного алфавита (6), перколяция энтропии и коэффициента

структурированности (в).

Ранжированные компоненты алфавита подчиняются статистике Ципфа-Парето-Мандельброта (ЦПМ) с единичным показателем, что говорит о языковой природе мозаики Пенроуза (МП) (рис.Зб). В целом алфавит управляется «золотыми» числами или их комбинацией на обоих уровнях (рис.За). Энтропия квартетного алфавита МП совпадает со средней перколяционной энтропией, равной 0,697... Коэффициент структурированности составляет в среднем 10%, и это позволяет заключить, что МП обладает 90%-ным уровнем хаотичности (рис.Зв).

Параграф 3.7 описывает перколяцию на ДГК (рис.2) перечисляющих структур и информодинамических функционалов от них.

Классическая теория перечисления дает возможность построить ПП, а операцией поуровневой нормировки ПП переводятся в ВПП. Для поиска устойчивых форм перколяции есть смысл остановиться на информодинамических функционалах от ВПП. Для изучения перколяции важны как собственные характеристики каждого уровня иерархии, так и совместные, отвечающие за различие двух соседних уровней. В первом случае была выбрана энтропия в форме Вайда, которая удовлетворяет теореме Фаддеева-Фейнстейна. В качестве расстояния между парой смежных уровней взята дивергенция Бонгарда в симметризованной форме.

Именно перколяционные зависимости этих функционалов и помогут решить задачу диагностики дальнего упорядочения.

В параграфе 3.8 даются в краткой форме основные выводы по этой части.

Четвертая глава посвящена исследованию информодинамики классических решеточных систем: кристаллографической квартетной симметрии, сотовой решетки и симплекс-системы (рис.4-6). Показано, что для всех трех систем энтропийный и дивергентный функционалы могут быть аппроксимированы гиперболическими зависимостями с критическими индексами, не превышающими единицы. Симплекс-решетка обладает сверхдальнодействием с критическими индексами порядка 0,10-0,15. Здесь также важным признаком дальнодействия выступают асимптотические значения энтропии и дивергенции. Для квартетной и сотовой решеток значения функционалов в асимптотике тождественно нулевые (рис.46,56). А для симплекс-решетки асимптотическая энтропия равна 0,5 и соответствует максимальной энтропии бинарного выбора. В этом, наряду со сверхдальнодействием, проявляется совершенство симплекс-системы (рис.66). Заключительный параграф 4.4 данной главы отводится под сравнительную характеристику дальнодействия рассмотренных решеток.

В параграфе 4.1 рассматриваются классические кристаллографические планарные решетки (рис.4а).

Перколяционные зависимости энтропии допускают гиперболическую аппроксимацию с критическими индексами 1,02 и 0,73 в прямом и обратном потоках соответственно (рис.4б). Обратный поток более дальнодействующий. Кристаллографическое трансляционное дальнодействие квартетной решетки нашло отражение в дальнодействующей гиперболической энтропийной перколяционной зависимости (табл.1) с единичным критическим индексом (!). Мы назвали его кулоновским, ньютоновским. Перколяционные зависимости дивергенции Бонгарда (табл.1) также подчиняются гиперболической зависимости с критическими индексами 1 и 0,73.

\1>Ф......

Табл. 1 Энтропия Вайда, дивергенция Бонгарда ДГК квартетной решетки.

у=1.108х"

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 д^ ' ^ уровень иерархии

Рис. 4. ДГК квартетной решетки (а), перколяционные зависимости энтропии в прямом и обратном потоках (б).

Асимптотические значения информодинамических функционалов тождественно нулевые вследствие вырождения вероятностной меры на ВПП (остается только троичная ветвистость). Координационная структура квартетных ДГК получила подтверждение в информодинамическом методе в коэффициентах ПП, характере перколяционных зависимостей и

асимптотических значениях энтропийного и дивергентного функционалов (рис.4б).

Параграф 4.2 отведен под информодинамику сотовой решетки (рис.5а). Данная решетка образована правильными шестиугольниками без центра вращения.

Перколяционные зависимости энтропии Вайда (рис.5б) и дивергенции Бонгарда в обоих потоках поддаются гиперболической аппроксимации с критическими индексами: у1 ~ 0,835; / * 0,7; « 0,832; ^ * 0,7. И снова обратный поток, как и в случае квартетного ДГК, более дальнодействующий. Значения критических индексов не превышают единицы, более того, по соответствующим их значениям сотовая решетка в целом несколько более дальнодействующая, чем квартетная. Асимптотические значения информодинамических функционалов для сотового ДГК равны нулю, т.к. в структуре ВПП остается только четная ветвистость (рис.5б). но.бп

а)

у=0.Э23х"

Табл.2. Энтропня Вайда, дивергенция Бонгарда ДГК сотовой решетки.

О 2

б)

21-3 дГ. 2,-1

В "'(/-О

4 6 8 10 12 14 уровень иерархии

Рис. 5. ДГК сотовой решетки (а), его перколяционные энтропийные зависимости (б).

В параграфе 4.3 рассматривается плоская симплекс-решетка, состоящая из равносторонних треугольников (рис.6а). Такая решетка не является ни кристаллографической ни параллелограмматической. ДГК симплекс-системы, несмотря на сложность, является периодическим и дает возможность найти аналитику для энтропии и дивергенции (табл.3). Выражения для функционалов выглядят несколько сложнее, чем в случае квартетной и сотовой решеток. Перколяционные зависимости энтропии Вайда и дивергенции Бонгарда при гиперболической аппроксимации дают критические индексы, почти на порядок меньшие единицы: / я0,118; / к 0,156; /?4 «0,089; /?т «0,155 (рис.66).

Н 0.8

ШШЩШк

а) б)

Табл.3. Энтропия Вайда, дивергенция Бонгарда ДГК

у=0.778х'

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 уровень иерархии

Рис.6. ДГК плоской симплекс-решетки (а), его перколяционные энтропийные зависимости (б).

я4 4,2-17 8(/-1)3 н\ 4/2 +16/ - 33 8/:

. 4/2 + 4/-17 /)Т 4/' + 20/— 25 8/(1+1)

8/(/-1)

Симплекс-решетка намного более дапьнодействующая, чем квартетная или сотовая. Такое сверхдальнодействие почти на порядок сильнее кулоновского, ньютоновского.

Асимптотические ВПП для симплекс-ДГК являются двучленами, содержащими нечетные ветвистости 3 и 5 с одинаковыми весами. Поэтому соответствующие значения энтропии и дивергенции стремятся к некоторому ненулевому значению. Примечательно, что это значение равно 0,5 и является максимальной энтропией в случае бинарного выбора. В этом также проявляется совершенство упорядочения симплекс-решетки.

В параграфе 4.4 проводится сравнение квартетной, сотовой и симлекс-решетки по различным характеристикам.

Пятая глава посвящена информодинамическому анализу минимального класса квазикристаллических симметрий, среди которых были выделены три системы: квартетно-восьмеричная 4/8 мозаика ((¡»-мозаика), пентасимметричный паркет Пенроуза, бигексагональная мозаика Дюно-Каца.

В параграфе 5.1 рассматривается грамматический подход к мозаике Пенроуза. На МП можно выделить многоуровневый алфавит. Первый уровень является буквенным и образован парой «золотых» атомарных треугольников (рис.7). Второй уровень образуется при соединении «золотых» треугольников в ромбы (рис.7). Это уже слоговый уровень алфавита. Аналог фразеологического уровня алфавита получается при комбинировании ромбов по схеме «5+5» в правильные десятиугольники (5 толстых и 5 тонких ромбов) - это звездчатый и дорзальный десятиугольники (рис.7). Их вполне достаточно, чтобы построить покрытие Пенроуза. Такая процедура гораздо проще, чем классический способ построения покрытия из фрагментов второго уровня алфавита.

Рис. 7. Трехуровневый алфавит паркета Пенроуза: фрагмент паркета, составленный из фрагментов третьего уровня (показаны возможные питы соединения декагонов, а также морфогенетический рост от пробной ячейки).

Она соответствует принципу блочного кодирования, принятому в теории информации. Можно предложить иной способ построения покрытия, когда выделяется некоторая «ядерная» группа и морфогенетически редуплицируется. При этом сохраняется форм-фактор структурных элементов. Тогда морфогенетический рост будет выглядеть как волноподобное распространение выпуклых в целом фронтов из фрагментов третьего уровня.

В параграфе 5.2 рассматривается применение классической теории перечисления графов для МП и переход к ВПП.

Средняя ветвистость в прямом потоке равна 2,86, а в обратном - 2,44. Это указывает на необратимость преобразования «центр-периферия». Но обе характеристики меньше ветвистости тетрадного дерева Бете. Перколяция ВПП по уровням иерархии имеет устойчивое осцилляторное поведение. Мы в этом усматриваем проявление квазикристаллического упорядочения.

В параграфе 5.3 рассматривается поведение сервисных перколяционных характеристик и энтропийного функционала на ДГК паркета Пенроуза и <3-мозаики.

Если рассматривать перколяцию числа вершин и связей по уровням ДГК для обеих мозаик, то она подчиняется в среднем линейному тренду с небольшими осцилляциями около него.

Для ДГК обеих мозаик наблюдается осцилляторная зависимость в поведении средних ветвистостей, особенно в прямом потоке. Для обоих ДГК ветвистость в среднем экономнее тетрадного дерева Бете.

Обратимся к перколяции пересекаемости. Именно пересекаемость обуславливает такую топологическую категорию как связность и приводит к существованию замкнутых фронтов перколяции на каждом уровне иерархии ДГК - скорлуп Мандельброта. Для обоих ДГК степень пересекаемости очень высока - больше 70%, и опять для МП наблюдаются четкие доверительные осцилляции около среднего. Если рассматривать тетрадное дерево Бете с минимальной пересекаемостью, то для него аналогичная величина равна 50%. Таким образом, квазикристаллические ДГК (рис.2б) обладают большей избыточностью и при этом более экономные, чем тетрадное дерево Бете с минимальной межкустовой пересекаемостью.

Перколяция энтропийных функционалов на ДГК квазикристаллического паркета Пенроуза и (^-мозаики также имеет в целом осцилляторное поведение.

Для паркета Пенроуза прямой поток демонстрирует четкое периодическое поведение около среднего энтропийного инварианта, равного Ир»0,803. Характеристика размаха при этом 2ДН;,///;; »9,5%. В терминах энтропийной перколяции квазикристаллическое упорядочение отражается в четких периодических осцилляциях доверительной амплитуды относительно среднего энтропийного инварианта. Никакого гиперболического спадания энтропии не наблюдается. Дальнее апериодическое упорядочение квазикристаллов нашло периодическое энтропийное выражение (рис.10) в информодинамическом методе.

Параграф 5.4 посвящен информодинамике бигексагональной мозаики Дюно-Каца. Эта мозаика является одной из простейших квазикристаплических систем, но обладает четкой периодической структурой, она параллелограмматическая, поэтому можно ожидать, что по своим характеристикам эта мозаика займет промежуточное положение между классическими планарными решетками и такими квазикристаллами, как паркет Пенроуза и (^-мозаика. Такую мозаику можно синтезировать путем морфогенетического роста от центрального ядра, являющегося пересечением двух гексазвезд по одному ромбу. На ДГК бигексагональной мозаики

прослеживается гексасимметрия (рис. 11 а). Асимптотические ВПП, согласно значениям разностей арифметических прогрессий ГШ, представляют собой биномы, коэффициенты членов которых соотносятся как 2/3 и 1/3.

Периодичность бигексагонапьной мозаики Дюно-Каца допускает аналитические выражения для информодинамических функционалов. Их вид достаточно сложен (табл.5). Энтропийные и дивергентные перколяционные зависимости допускают гиперболическую аппроксимацию со значениями критических индексов: у1 «0,14; / * 0,19; р1 * 0,16; 0' * 0,19 (рис.116).

н„ 0.7

0.6

0.5

а)

—"-—прямой 11010К-—»—обратний поток -----аппрокснчаши

Табл.5. Энтропия Вайда, дивергенция Бонгарда ДГК бигексагональной мозаики.

Ч.

у=0.676х

у=0.920х°

а)

Иг =

36/--66/.+ 10

9(3/ — 4)" 36г -30/-23

9(3/- 4X3/-1)

Н,. =

36/- +42/-350

Я =

9(3/—4) 36/: + 78/-329

9(3/- 4X3/-1)

:>::ц:>>>:>:' 0 2 4 6 8 10 12 14 16

О) уровень иерархии

Рис. 11. ДГК бигексагональной мозаики (а), перколяционные зависимости энтропии Вайда (б).

Общее дальнодействие бигексагональной мозаики Дюно-Каца несколько слабее такового для симплекс-решетки. Асимптотические значения энтропии и дивергенции выходят на уровень = В1х- в1 = 4/9 = 0,444...

Бигексагональная мозаика попадает в тот же класс дальнодействующих структур, что и классические решетки, с критическими индексами, не превышающими единицы и ненулевой асимптотической энтропией.

В параграфе 5.5 рассматривается квазикристаллических ДГК (паркета Пенроуза символьной динамики на реализациях скорлуп

12 3 4 кодовый символ

анализ упорядочения и 0-мозаики) методами Мандельброта с целью установить структуру квазикристаллических тангенциальных «фраз». Такой метод обычно применяется для

исследования хаотических систем. Для этого было осуществлено независимое кодирование ветвей кустов ДГК в последовательности 0, 1, 2... Бралась самая представительная по

0 12 3 4 кодовый сI швол

Рис.12. Статистики символьных последовательностей СкМ Длине СкМ ДЛЯ больших для КС КУВИ-1 (а), МС Со-Р (б), О-мозаики (в), мозаики номеров уровней

Пенроуза (г). иерархии. Кроме

квазикристаллических последовательностей были взяты символьные последовательности СкМ стеклоподобных систем: кварцевого стекла КУВИ-1 и металлического стекла Со-Р. Символьные статистики ДГК сеточных систем мезодефектов стекол допускают экспоненциальную аппроксимацию (рис.12а,б). Сглаженная статистика для паркета Пенроуза снова приводит к ЦПМ-распределению с единичным показателем (рис.12г), характерным для языковых систем. Статистика С>-мозаики, если отбросить крайние символы, может быть представлена равномерной функцией распределения (рис.12в), что указывает на высокую степень хаотичности.

Сами символьные реализации характеризуются четкой периодичностью (рис. 13а). Для более тонкого анализа от них были образованы автокорреляционные функции (АКФ) (рис.1 Зб-г). Наиболее интересной является АКФ для символьной последовательности СкМ Пенроуза (рис.136). Она соответствует сигналу с хорошими 5-свойствами корреляции. На (}-мозаике «фраза» разбивается на «слова» восьмеричной длины. В целом, квазикристаллические СкМ не похожи на чисто случайные символьные последовательности и содержат квазиволновую составляющую.

Для получения полного описания необходимо рассмотреть и стримерную компоненту в символьном представлении. Но даже не прибегая к символьному анализу, можно показать, что радиальная динамика стримерного разнообразия имеет характерные осцилляторно-волновые черты. А осуществив символьное кодирование стримеров, можно получить их автокорреляционные функции (рис.13в,г). Такие АКФ для стекол содержат стохастические всплески на шумовом фоне малой амплитуды (рис.13в).

•0.5

0 50 100 150 200 250 ^ 0 50 100 150 200 250

Рис. 13. Символьная последовательность СкМ для паркета Пенроуза (а), ее автокорреляционная функция (б); автокорреляционные функции стримерных символьных последовательностей для стекол (в), квазикристаллов (г). Квазикристаллические стримерные АКФ по виду напоминают биения значительной амплитуды. Высокочастотное заполнение в них имеет почти регулярную структуру (рис.13г). Тем самым, на широком классе

11II I II I! Ч ШII \ 1 1 ¡4 ',>< '»цАп шщ

!1§иш РУ|И|М Й'рм

Ш1(Ш|!!1 11)1 ИД ВШИ I, II, || ц 1|||

¡3 26 33 « 5® «? X ЯП % !Ш

1 1 1 1

разупорядоченных сред с точки зрения символьной динамики фронтально-лучевая перколяция на ДГК имеет квазиволновой вид.

Шестая глава посвящена информодинамическому анализу ДГК мезоструктур аморфных сред - кварцевых и металлических стекол.

В параграфе 6.1 рассматриваются сервисные характеристики сеточных мезоструктур кварцевых и металлических стекол (рис.]4а).

ДГК

Рис. 14. ДГК системы мезодефектов металлического стекла Со-Р (а), перколяция ВПП по уровням иерархии в прямом (а) и обратном (б) потоках.

Такие ДГК полностью стохастические, что отражается в широкой области определения ветвистостей, верхняя граница которой достигает 8+9. Средняя ветвистость таких ДГК в прямом потоке для обоих типов стекол составляет 2,76+2,77, а степень пересекаемости - 48%. Если сравнить стеклоподобные ДГК с тетрадным деревом Бете с минимальной пересекаемостью соседних кустов, то для него ветвистость постоянна и равна 3, а степень пересекаемости - 50%. По ветвистости ДГК стекол несколько экономнее. Прямой поток ВПП для ДГК КС, МС характеризуется модовым протеканием, причем мода приходится на ветвистости 2+3 (рис.146). Обратный поток обладает ниспадающими ВПП с максимумом на кустах с ветвистостью 1 (рис.14в). Уже по этим характеристикам можно сделать вывод, что ДГК необратимы по отношению к преобразованию «центр<г->периферия».

В параграфе 6.2 показана информодинамика ДГК КС, МС (рис.2а, рис.2в, рис.14а). Для ДГК КС, МС в полной мере присущ термин стохастические, что еще раз указывает на специфичность нашей задачи перколяции по отношению к традиционной. Сама среда перколяции является стохастической. Такую постановку задачи перколяции можно назвать собственной, внутренней.

Оказалось, что все энтропийные и дивергентные зависимости в прямом и обратном потоках характеризуются постоянством на хорошем уровне доверия. Значение энтропии в прямом потоке равно 0,78+0,79, в обратном 0,61+0,62 (рис. 15а,б). Отметим, что обратная энтропия является «золотой». Прямые потоки в терминах энтропии больше по величине, чем обратные, что можно объяснить отражением от бесконечного горизонта. Дивергенции Бонгарда в прямом потоке равны 0,81, в обратном - 0,62 (рис.15в,г). Эти результаты указывают на согласованность перколяции.

а)

Ну 1 0.9 0.8 0.7 0.6 -0.5:" 0.4' " 0,3 0,2 0,1 О

Ну= 0,7855 ± 0.0128 (1.63%)

Н„= 0.6104 ± 0,0415 (6,8%)

б)

Ну 1 0.9 0.8 0.7 0.6 -0.5 -0,4 -0.3 ■ 0,2 -0.1 ■ О

Ну - 0.7829 ± 0,0261 (3.04%)

Ну = 0,6157 ± 0,072 (2,47/о)

2 3 4 5 6 7 I, иерархия

В)

2 3 4 5 6 7 8 1, иерархия

В = 0,8071 ±0.0013 (0,63%)

В *= 0,6173 ± 0,0066 (1,83%)

Рис. 15. Перколяционные зависимости энтропии Вайда (а, 6) и дивергенции Бонгарда (в, г) дляДГКМС Со-Р (а, в), КС КУВИ-1 (б, г).

Параграф 6.3 посвящен символьному анализу СкМ КС, МС. Для проведения анализа было осуществлено независимое кодирование кустов ДГК КС, МС последовательностью 0, 1, 2... Длина символьной последовательности СкМ насчитывала для КС, МС 74+82 символа. Рассмотрим статистику символьной последовательности СкМ МС Со-Р. На ней присутствует единственная мода на кодовом символе, равном трем (рис.126). В целом сглаженная тенденция подчиняется экспоненциальному классу статистик. Символьные последовательности также были исследованы в представлении АКФ. Оценка периода огибающей составляет для КС, МС 7,5+8 символов в среднем.

В параграфе 6.4 высказываются соображения по построению обобщенной шкалы порядка-беспорядка для сеточных, решеточных систем различной природы, за меру которой взят коэффициент структурированности, который, в свою очередь, определяется отношения ем асимптотической и максимальной энтропий.

Информодинамический метод позволил рассмотреть данные структуры с единых позиций в древесно-графовом представлении с привлечением энтропийного и дивергентного функционалов.

Основные результаты работы

1. В диссертационном исследовании обобщен информодинамический метод для систематической количественной оценки степени порядка-беспорядка разупорядоченных сред. В качестве такой количественной меры использован энтропийный функционал от кустовых распределений на ДГК, который дает возможность построить перколяционную зависимость на

квазистохастических графах. Конкретный характер и степень порядка-беспорядка разупорядоченных сред отражается в топологии энтропийной перколяционной зависимости.

; 2. Для классических решеточных систем в методике критических индексов энтропийной перколяционной зависимости на ДГК установлены некоторые характеристики дальнодействия на примере квартетной, сотовой и симплексной решеток:

а) для всех вышеуказанных классических решеток показан единый гиперболический закон спадания энтропийной перколяционной зависимости с критическим индексом, не превосходящим единицы.

б) для квартетной и сотовой решеток характерна нулевая асимптотика для энтропийной перколяционной зависимости.

в) критический индекс для квартетной решетки составляет порядка 1, для сотовой он равен 0,835, и для симплекс-решетки - 0,118. Последняя система обладает сверхдальнодействием, которое почти на порядок превосходит гравитационное или ньютоновское значение критического индекса квартетной решетки.

г) асимптотика энтропийной перколяционной зависимости симплекс-решетки характеризуется остаточной энтропией, равной 0,5, что является максимально возможным значением для бинарной перечисляющей структуры. Тем самым, трактуя энтропийную меру разнообразия по У.Р. Эшби, симплекс-система обладает максимальным разнообразием, совершенством, что вполне согласуется с геометрической трактовкой класса симплексов.

3. В результате проведенного исследования характера дальнего упорядочения минимальных квазикристаллических симметрии установлены следующие признаки:

а) бигексагональная мозаика также характеризуется гиперболическим дальнодействием с критическим индексом порядка 0,140. В таком случае данная система обладает несколько более слабым дальнодействием, чем симплекс-решетка. Асимптотическое значение энтропийной перколяционной зависимости несколько меньше, чем аналогичный показатель для симплекс-системы, и составляет 0,444.

б) для пентасимметричного паркета Пенроуза, а также для квартетно-восьмеричной (0-) мозаики в терминах энтропийной перколяционной зависимости установлен осцилляторно-волновой характер поведения энтропийного функционала на ДГК. Это свойство может быть положено в основу интерпретации хорошо известного свойства апериодичности квазикристаллов в конфигурационном представлении. Аналогичное поведение энтропийных функционалов характерно и для (^-мозаики.

4. Для сеточных систем мезодефектов металлических и кварцевых стекол также была исследована перколяция энтропийных функционалов на ДГК от аморфных пленок Со-Р, и кварцевого стекла КУВИ-1. Показано, что для стеклоподобных систем мы имеем дело с энтропийным инвариантом, который фактически является своеобразным законом сохранения энтропии для мезоструктур аморфных пленок и кварцевых стекол. Иерархическая система

сеточных мезодефектов в масштабе дальнего порядка обладает 5+7% уровнем структурированности. Нельзя считать, что стеклоподобные среды обладают 100%-ным уровнем стохастичности. В них существует некоторый порядок, который проявляется; в соответствующей организации сеточной иерархии мезомасштабного уровня.

5) Методом символьной динамики удалось показать, что символьные последовательности СкМ и стримеров на ДГК квазикристаллических и стеклоподобных сред имеют существенную квазиволновую упорядоченность. Элементарные фрагменты периодических структур в тангенциальном и радиальном направлениях содержат 8+10 символов.

Список основных публикаций по теме диссертации

1. Юдин В.В., Титов П.Л., Старцев Е.С., Полянский Д.А., Щеголева С.А. Фронтально-лучевая фрактальная символьная перколяция на нейросетях / Сб. материалов XIV Всероссийского семинара «Нейроинформатнка и ее приложения», Красноярск, 2006, с.138-139.

2. Титов П.Л., Юдин В.В. Символьный метод идентификации мезоструктур разупорядоченных сред в представлении древесных графов Кейли / Сб. материалов IX Всероссийского семинара «Моделирование неравновесных систем», Красноярск, 2006, с. 190-191.

3. Юдин В.В., Титов П.Л., Старцев Е.С., Щеголева С.А., Полянский Д.А.Древесно-графовая топология распространения нейроимпульса в целом / Сб. науч. тр. IX Всероссийской научно-технической конференции «Нснроннформатика-2007». Москва, МИФИ, 4.2. с.88-96.

4. Юдин В.В., Титов ПЛ. Фракгальносгь м «о структуры кварцевых и металлических стекол / Сб. материалов X Всероссийского семинара «Моделирование неравновесных систем», Красноярск. 2007. с. 159-160.

5. Титов П.Л., Юдин В.В. Сверхразмерная фрактальная перколяшю на нейросетях в представлении древесных графов Кейли / Сб. материалов XV Всероссийского семинара «Нейроинформатнка, ее приложения и анализ данных», Красноярск. 2007. с. 170-171.

6. Юдин В.В., Титов П.Л., Старцев Е.С., Щеголева С.А., Полянский Д.А.Семантика сверхразмерных фрактальных волн на нейросетях с гранулированной топологией / Сб. науч.тр. X Всероссийской научно-технической конференции «Нейроинформатика-2008». Москва, МИФИ. ч.2. с.50-59.

7. V.V. Yudin, P.L. Titov, A.N. Mihalyuk. Fractal analysis of images with globular topology in the cayley tree-graphs representation / PRIA-9-2008. 9th International Conference on Pattern Recognition and Image Analysis: New Information Technologies. Conference Proceedings. Nizhni Novgorod, 2008. Vol.2, pp.327-330.

8. Юдин П.Л., Титов ПЛ., Михалюк А.Н. Энтропия и дивергенция Бонгарда в анализе типа дальнодействия классических и квазикристаллических решеток / Сб. материалов XI Всероссийского семинара «Моделирование неравновесных систем-08», Красноярск, 2008, с.191-194.

9. Титов ПЛ., Полянский Д.А., Михалюк А.Н., Юдин В.В. Статистические и теоретико-информационные характеристики упорядочения решеточных систем // Проблемы эволюции открытых систем. 2008. вып. 10, с.40-45.

10. Полянский Д.А., Титов ПЛ.,'Юдин В.В. Семантика квазикристаллического паркета Пенроуза//Проблемы эволюции открытых систем. 2008. вып. 10, с. 142-145.

11. Юдин В.В., Титов ПЛ., Михалюк А,Н. Теоретико-информационная идентификация типа дальнодействия классических решеток / Сб. материалов XVIII Петербургских

чтений по проблемам прочности и роста кристаллов, Санкт-Петербург, 2008. ч.2. с.156-158.

12. Титов П.Л., Юдин В.В., Миханок А.Н. Энтропийная диагностика дальнего порядка бигексагоналыюй решетки Дгопо-Каца / Сб. материалов V Международного семинара «Физико-математическое моделирование систем»,1 ГОУВПО ВГТУ, Воронеж, 2008. ч.]. с.147-152.

13. Юдин В.В., Тигов ПЛ., Полянский Д.А., Щеголева С.А. Высокоразмерные . фрактальные среды для наноэлектроннки / Сб. тез. докладов 2-ой Всероссийской конференции «Много.часштабнос моделирование процессов и структур в нанотехнологнях», Москва, 2009, с.475-477.

14. Михалюк А.Н., Юдин В.В., Титов П.Л. Фракталыюсть мозаики Пенроуза в представлении координационных древесных графов Кейлн / Сб. трудов 12-й Межрегиональной конференции по физике полупроводниковых, диэлектрических н магнитных материалов (ПДММ), Владивосток, 2009, с.241-245.

15. Титов П.Л., Юдин В.В., Мпхалюк А'.Н. Идентификация характера координационного упорядочения сеточных систем различной сложности / Сб. трудов Международной конференции «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах», Махачкала, 2009. с.372-377.

16. Титов П.Л.. Юдин В.В., Мпхалюк А.Н. Фрактальная структура системы мезомасштабных неоднородностей стеклоподобных, аморфных, квазнкристаллическнх сред / Сб. материалов XI Всероссийского семинара «Моделирование неравновесных систем», Красноярск, 2009. с.211-213.

17. Юдин В.В., Титов П.Л., Мпхалюк А.Н. Анализ координационного упорядочения решёточных систем / Сб. материалов 1 Международного, междисциплинарного симпозиума «Термодинамика неупорядоченных сред и пьезоактивных матерн:шоз», Пятигорск, 2009. с.242-247.

18. Yudin V.V., Titov P.L., Mihalyuk A.N. Fractality of the Penrose tiling in coordination Caylev's tree graphs representation method / Proceedings of the XXVil International Symposium on Lattice Field Theory - LAT2009 July 26-31 2009 Peking University, Beijing, China, pp. 1-8.

19. Юдин В.В., Титов П.Л., Михалюк А.Н. Перколяция энтропийных функционалов на древесных графах Кейли как метод диагностики характера порядка-беспорядка сложных структур// Известия РАН. Сер. физ. 2009 . т.73, №9, с. 1340-1347.

20. Юдин В.В., Титов П.Л., Михалюк А.Н. Энтропийная мера порядка-беспорядка решеточных систем в представлении координационных древесных графах Кейли // ТМФ,2010{мечдан), т. вып. i, С - ¿¿-10? ИЮЛЬ 2-°tC.

21. Mihalyuk A.N., Titov P.L., Yudin V.V. Fractality of the Penrose tiling in coordination

Cayley's tree graphs representation//Physica A, 2010 (в печатало; : -(0.10!o/j.pliy5a.20i0.oi.o08

Титов Павел Леонидович

Энтропийная меря порядка-беспорядка классических, квззикрнсталличссхнх решеток

и аморфных сред

АВТОРЕФЕРАТ

Фермат 60x34 1/16 Усл. печ. л. 1,39 ; уч.-нзд. л. 1,58. Тираж 100 экз.

Издательство Дальневосточного университета 690950, г. Владивосток, ул. Октябрьская 27.

Отпечатано в типографии Издательско-полшрафического комплекса ДВГУ 690950, г. Владивосток, ул. Алеутская 56.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Титов, Павел Леонидович

Введение и постановка задачи

Глава 1. Обзор по наноструктуре квазикристаллов, 14 кварцевых и металлических стекол в представлении древесных графов Кейли

1.1 Аморфные пленки, стекла, квазикристаллы как 14 сложные системы

1.2 Сравнительный анализ процессов аморфизации и 18 стеклообразования. Общие способы представления и изучения неупорядоченных объектов как сложных систем

1.3 Аморфный беспорядок как некоторый 23 координационный порядок

1.4 О сверхразмерной перколяции на древесных графах 27 Кейли

Глава 2. Информодинамический метод анализа сеточных и 32 решеточных систем

2.1 Грамматическое представление сеточных систем, 32 мозаик, паркетов

2.2 Отображение сеточных структур в 36 квазистохастические древесные графы Кейли

2.3 ' Декомпозиция древесных графов Кейли

2.4 Перколяция вероятностных, информодинамических 47 характеристик на древесных графах Кейли

Глава 3 Энтропийная мера характера порядка-беспорядка 58 решеточных систем в представлении • координационных древесных графов Кейли

3.1 Введение

3.2 Информодинамический метод описания структуры 60 решеточных, сеточных систем

3.3 Логические аспекты построения координационных 62 древесных графов Кейли

3.4 Древесный граф Кейли в условной логике, его 64 симплициальная декомпозиция. ДГК как тройка объектов

3.5 Свойства координационных древесных графов Кейли

3.6 • Перколяция энтропийного функционала на квартетном алфавите мозаики Пенроуза

3.7 Перколяция информодинамических функционалов на древесных графах Кейли 3.8 Заключение

Глава

Глава 6 6.1 6. планарных квартетных

Информодинамика классических решеток

Информодинамический анализ кристаллографических решеток

Информодинамический анализ сотовой решеточной 93 системы

Информодинамический анализ плоской симплексной 99 структуры

Сравнительный анализ критических индексов классических решеток при описании дальнодействия

Информодинамический анализ координационного упорядочения минимальных квазикристаллических симметрий

Элементарная грамматика типа [2дх2р] для мозаики Пенроуза

Теория перечисления древесных графов Кейли для мозаики Пенроуза. Перколяция вероятностных мер Перколяция сервисных характеристик на ДГК паркета Пенроуза и С)-мозаики

Информодинамический анализ бигексагональной мозаики

Анализ упорядочения методом символьной квазикристаллических ДГК динамики с привлечением теории сложных сигналов

Информодинамический анализ сеточных систем мезодефектов кварцевых и металлических стекол

Древесные графы Кейли сеточных мезоструктур разупорядоченных сред. Вероятностная геометрия Перколяция информационных мер на деревьях Кейли сеточных структур кварцевого стекла КУВИ-1 и металлических стекол типа ПМ-М Символьная динамика скорлуп Мандельброта на деревьях Кейли металлических и кварцевых стекол Информодинамическая шкала порядка-беспорядка

Введение диссертация по физике, на тему "Энтропийная мера порядка-беспорядка классических, квазикристаллических решеток и аморфных сред"

В последние годы интересы исследователей, работающих в области физики твердого тела, устойчиво смещаются в область разупорядоченных сред различного типа. Сюда можно отнести ультрадисперсные, наноматериалы, аморфные пленки, различного типа стеклоподобные системы; в том числе и металлические стекла, а также спиннингованные ленты и др. Недавно появились крупные монографии М. Клемана и Д. Лаврентовича по основам физики «мягких» систем, а также монография А. И. Гусева по широкому спектру порядка-беспорядка в твердых телах. В определенной мере эти монографии продолжают устойчивую тенденцию по разработке и нахождению различных показателей степени порядка-беспорядка, берущую начало от классических исследований Дж. Займана, Р. Уайта и Т. Джебелла, Р. Бекстера. Хотелось бы особо отметить последнюю монографию, в которой достаточно детально продвинуты вопросы статистической физики систем с различным типом порядка-беспорядка, отличным от классического кристаллического.

Хорошо известны методы кривых, функций радиального распределения, которые получили значительный импульс по своему развитию, когда начали изучать металлические стекла и аморфные среды 2-^5-компонентного состава типа ПМ-М и РЗ-ПМ. Здесь пришлось развить очень непростые методики парциальных функций распределения, которые, как правило, неоднозначны в своей физической интерпретации.

Другим довольно широко распространенным методом исследований характера порядка-беспорядка в кристаллических средах, мелкозернистых, ультрадисперсных средах можно назвать метод корреляционно-спектрального анализа этих структур [107]. Здесь следует отметить довольно непростую задачу по поиску связи кристаллического строения тонких пленок со стохастической магнитной структурой. Именно в корреляционно-спектральном представлении такая задача была успешно решена. На этом пути как раз удалось получить уверенные доказательства по роли сетки нано-и микропор в лабиринтноподобных, гранулированных пленках. Оказалось, что не только зеренная компонента может определять, например, магнитные характеристики таких объектов. Магнитная анизотропия тонких пленок в большей степени управляется сеточной системой микропор.

В работах [101, 102, 107, 108] было открыто наличие некоторой развитой сеточной структуры мезо- и нанодефектов в планарных средах широкого класса, полученных в сильно неравновесных условиях. Возникла необходимость в изучении характера и степени порядка-беспорядка таких распределенных систем. В работах и диссертациях дальневосточной группы физиков были подробно исследованы корреляционно-спектральным методом в представлении случайных процессов и потоков сеточные системы таких дефектов с весьма сложной топологией. Каких-либо достаточно обширных работ в другом направлении здесь не было проведено. Видимо, корреляционно-спектральная методика является наиболее физичной в описании, например, дальнего порядка. По нулевой асимптотике корреляционных функций в случае их степенного характера можно ввести понятие ■ критических индексов. Если эти индексы не будут превосходить единицы, то это уже уверенное указание на существование дальнего порядка в таких системах. Другой важной характеристикой в корреляционном подходе является наличие остаточных корреляций.

Однако применение этой концепции в анализе порядка-беспорядка разупорядоченных сред широкого класса наталкивается на ряд существенных трудностей. Особенно ярко они проявляются при изучении характера структуры, упорядочения квазикристаллических решеток, паркетов, мозаик. Фактически, это направление при изучении квазикристаллических симметрий требует своих специфических подходов. Например, широко развит чисто математический подход по моделированию паркета Пенроуза в плиточном- формализме. В качестве плиток при этом используется пара «золотых» ромбов, которыми решается задача плотного, бездефектного замощения К2,з. Такой подход не очень устраивает физиков, поскольку «плиточная» парадигма непросто стыкуется с атомарным подходом. Поэтому широко развито чисто вычислительное моделирование атомных моделей квазикристаллов, использующее методы Монте-Карло и молекулярной динамики. При этом последние методы, конечно, претерпевают существенные видоизменения. Последовательное присоединение атомов к затравочному кластеру, уже обладающему квазикристаллической симметрией, требует проведения процедур релаксации — нелокальной перестройки уже полученного кластера. Конечно, здесь работают оптимизационные процедуры по минимизации конфигурационной энергии, по оценке усредненной плотности. Задача переопределения уже полученного кластера существенно затрудняет вычислительную процедуру. Р. Пенроуз считает, что эти эффекты являются следствием нерекурсивной математики. Большинство физиков придерживаются точки зрения, что квазикристалл обладает характерным свойством апериодичности. Одна -из главных задач в понимании структуры квазикристаллов состоит во вскрытии механизмов, базирующихся на ближнедействующих потенциалах межатомного взаимодействия, обеспечивающих крупномасштабные корреляции, реализующие соответствующую форму дальнего порядка. Упомянем лишь некоторые из этих исследований, например: Steinhardt P. J. & Jeong Н.-С. A simpler approach to Penrose tiling with implications Ъг quasicrystal formation. Nature 382, 433-435 (1996); Steinhardt P. J. et al. Experimental verification of the quasi-unit-cell model of quasicrystal structure, Nature 396, 55—57 (1998); Yanfa Yan, Stephen J. Pennycook, Atomic structure of the quasicrystal Al72Ni2oCo8, Nature 403, 266-267 (1999); Hyeong-Chai Jeo -g, Growing Perfect Decagonal Ouasicrystals by Local Rules. Phys. Rev. Lett: f8, 135501 (2007); Keys A. S. & Glotzer S. C. How do Ouasicrystals Grow? Piss. Rev. Lett. 99, 235503 (2007); Steinhardt P. J. How does your quasicrystal grc v? Nature 452, 43-44 (2008). Оставляя в стороне подробный анализ этих раб разумно акцентироваться, основываясь на работах Hyeong-Chai Jec,jg,

Growing Perfect Decagonal Quasicrystals by Local Rules. Phys. Rev. Lett. 98, 135501 (2007); Keys A. S. & Glotzer S. C. How do Quasicrystals Grow? Phys. Rev. Lett. 99, 235503 (2007), на способах идентификации характера упорядочения в двух методах. Имеются в виду оптимизационные энергетический и энтропийный методы построения квазикристаллических сред. В определенной мере авторы противопоставляют их чисто математическим исследованиям по построению квазикристаллических паркетов типа замощений, покрытий, разбиений, которые обычно базируются на небольшом алфавите «золотых» ромбов, стороны которых наделены метками, нанесенными тем или иным способом.

В диссертациях О. Чудновой, Д. Полянского [67, 88] как раз решалась задача .синтеза мозаики Пенроуза без обращения к сравнительно стандартным вычислительным процедурам указанного выше типа. Уже в них была высказана мысль, которая четко отражена в пленарном докладе на симпозиуме ФиПС-2005 (Москва), что изучение сложных систем надо начинать с определенного типа декомпозиционного метода, который известен как симплициальная декомпозиция. В информодинамическом методе, который последовательно развивается в настоящей диссертации, приведено отображение сеточных, решеточных систем в древесные графы Кейли (ДГК). На последних системах применялась теория перечисления древесных графов, которая несколько модифицирована. Эта расширенная теория перечисления позволяет ввести теоретико-вероятностное и статистическое рассмотрение степени порядка-беспорядка. Однако главным отличием данного диссертационного исследования является систематическое развитие энтропийного метода диагностики порядка-беспорядка на ДГК широкого класса разупорядоченных сред. В ранних диссертациях дальневосточной группы ученых эти вопросы, особенно в смысле универсальности подхода и его распространения на широкий класс разупорядоченных неравновесных объектов, не рассматривались. В данной диссертации сделано ударение на некоторое расширенное понимание задачи перколяции на координационных ДГК энтропийных и дивергентных функционалов от перечисляющих полиномов или кустовых распределений. Именно на этом пути делается попытка найти универсальный метод, позволяющий количественно охарактеризовать степень порядка-беспорядка в различных разупорядоченных средах. В связи с этим выдвигается следующая цель настоящей работы и соответственно, ряд конкретных задач, подлежащих решению. л-У1, - ^

Целью диссертационной работы является разработка универсального представления сеточных, решеточных систем различной топологии, расширение традиционной задачи перколяции с ^привлечением информодинамических функционалов для решения задачи диагностики дальнего упорядочения классических, квазикристаллических и аморфных сред, и построения общей качественной шкалы упорядочения.

Для достижения данной цели были поставлены следующие задачи:

3. Исследовать характер порядка-беспорядка минимального класса квазикристаллических симметрий информодинамическим методом. Данный 1 класс включает в себя три квазикристаллических/ мозаики. Это бигексагональная мозаика, (^-мозаика (4/8) и паркет Пенроуза.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1) Предложено полное, адекватное отображение сеточных, решеточных систем в координационные древесные графы Кейли. Сформулирован принцип симплициальной декомпозиции ДГК на поддеревья, в качестве которых выступают кустовые подмножества. В теорию перечисления древесных графов введен новый тип перечисляющих структур — кустовые распределения по степени ветвистости. Рассмотрена задача перколяции в нетрадиционной постановке на квазистохастических координационных ДГК для собственных, внутренних функционалов, среди которых выбраны энтропия в форме Вайда и дивергенция Бонгарда в симметризованном виде.

2)' Установлены признаки дальнодействия для различных классов сеточных, решеточных систем в задаче перколяции информодинамических функционалов. Классические решеточные системы, квартетная, сотовая и симплексная, обладают гиперболическими энтропийными и дивергентными зависимостями с критическими индексами, не превышающими единицы. При этом остаточная энтропия может быть либо нулевой (для квартетной и сотовой решеток), либо равной 0,5 (для симплексной решетки). Для представителей минимального класса квазикристаллических симметрий, таких как паркет Пенроуза и квартетно-восьмеричная мозаика 4/8, основным признаком является волноподобное, четко периодичное, со значимыми осцилляциями поведение энтропии около среднего энтропийного инварианта. Аморфные среды, из которых выбраны кварцевое стекло КУВИ-1 и металлическое стекло Со-Р, характеризуются постоянным значением информодинамических функционалов.

3) Впервые методом символьной динамики на ДГК квазикристаллических и аморфных сред детализирована тонкая структура символьных последовательностей для скорлуп Мандельброта (СкМ) и стримеров. Показано, что эти символьные последовательности имеют периодическую структуру, состоящую из модемов длиной 84-10 символов.

Положения, выносимые на защиту:

2) Предложены следующие характеристики степени дальнего порядка-беспорядка для классических решеток. Одна из важнейших характеристик — гиперболический закон спадания энтропийной перколяционной зависимости, который имеет критический индекс, не превосходящий единицы. Второй характеристикой является асимптотическая нулевая оценка вышеуказанных зависимостей. В качестве третьей характеристики может выступать остаточное значение асимптотической энтропии. Например, для симплекс-решетки она равна 0,5, что указывает на максимальное совершенство именно симплекс-системы.

3) Специфика порядка-беспорядка квазикристаллических паркетов, решеток выражается в эффекте волновой энтропийной перколяционной зависимости на ДГК, отображающих эти решетки. Данное свойство характерно для пентасимметричного паркета Пенроуза и квартетно-восьмеричной (С)-) мозаики. В случае бигексагональной системы наблюдается гиперболическое спадание на более чем пол порядка сильнее по дальнодействию, чем для квартетной решетки. При этом асимптотическое значение остаточной энтропии составляет 0,444., что меньше аналогичного и значения для симплекс-решетки. Бигексагональная мозаика имеет в качестве ближайших «родственников» симплексную и сотовую решетки.

5) Методом символьной динамики показано для квазикристаллических и аморфных сред существование квазиволновой структуры в скорлупах Мандельброта и стримерах на ДГК этих систем. Величина модуля периодичности составляет 8-ИО символов. По автокорреляционной структуре таких символьных последовательностей их можно отнести к классу сверхсложных сигналов.

Практическая ценность работы. Полученные результаты могут быть использованы при описании классических кристаллографических симметрий, квазикристаллических, аморфных сред; для сравнения различных сеточных систем по степени упорядочения, организации. Введенные количественные энтропийные меры степени порядка-беспорядка разупорядоченных сред могут быть полезны в исследовании релаксационных процессов, а также структурных эффектов в деградационных процессах. При отработке технологических процессов, а также поиске оптимальных доводочных технологий предложенный формализм может быть почти единственным в исследовании проблем структурной кинетики.

Личный вклад диссертанта.

1. Соискателем отработан информодинамический метод, что отражено в Главе 3 диссертации. Более того, им было осуществлено определенное расширение данного метода с достаточно глубоким учетом ряда математических аспектов.

2. В целях количественной диагностики характера дальнего упорядочения решеточных систем и разупорядоченных сред была построена методика информодинамического анализа. Проведена обширная апробация на различных типах разупорядоченных сред.

3. Произведен большой объем вычислений по построению энтропийных и дивергентных зависимостей, отображающих решеточные и сеточные системы. Существенно расширен вычислительный эксперимент по анализу нано- и мезоструктуры квазикристаллических сред и аморфных пленок ПМ-М и РЗ-ПМ, а также кварцевых стекол. Все расчеты были произведены соискателем самостоятельно, многократно проверены в независимых методиках.

Апробация работы и публикации. Основные результаты опубликованы в сборниках трудов региональных, всероссийских и международных конференций, семинаров, симпозиумов: ВНКСФ-12-15 (20062009), «Нейроинформатика, ее приложения и анализ данных»-2006-2009 (Красноярск), МНС-2006-2009 (Красноярск), «Нейроинформатика»-2007, 2008 (Москва), «ХУШ Петербургские чтения по проблемам прочности и роста кристаллов» (2009, Санкт-Петербург), ФММС-2008 (Воронеж), РША-2008 (Нижний Новгород), ММПСН-2009 (Москва), ПДММ-2009 (Владивосток),

Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных \ средах»-2009 (Махачкала), «Термодинамика неупорядоченных сред и пьезоактивных материалов»-2009 (Пятигорск), ЬАТ-2009 (Пекин), журналах: «Проблемы эволюции открытых систем» (две статьи, 2008), «Известия РАН. Серия физическая» (2009), «Теоретическая и математическая физика» (2010), РЬуэюа А (2010). Всего по материалам диссертации опубликовано 44 работы, из них 5 статей в журналах из перечня ВАК.

Заключение диссертации по теме "Физика конденсированного состояния"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе, согласно целевой установке и перечню задач, были достигнуты следующие результаты:

1. Последовательно изложены (в Главах 2 и 3) математические основы информодинамического метода. В качестве центрального принципа в анализе сложных систем, каковыми являются изучаемые в диссертации три класса объектов, принадлежащих к физике разупорядоченных сред, выступает симплициальная декомпозция суперДГК на поддеревья (кусты). Этот суперДГК наделяется ультраметрикой, тем самым образуя ультрасимплекс. Согласно теории перечисления графов, образованы и изучены перечисляющие полиномы и соответствующие им кустовые распределения. Последнее обстоятельство позволило наделить вероятностными и статистическими понятиями древесные графы. Расширена интерпретация задачи перколяции, которая поставлена и решена на координационных ДГК, являющихся квазистохастическими системами. Предложена количественная мера порядка-беспорядка решеточных и сеточных систем мезо- и нанодиапазонов, в основе которой лежат энтропийные перколяционные зависимости на ДГК. Характер дальнего упорядочения при этом идентифицируется по энтропийным критическим индексам, а также по их перколяционным асимптотикам.

2. Классические решетки, в качестве которых выбраны квартетная, сотовая и симплексная, характеризуются гиперболической энтропийной зависимостью с критическими индексами, не превосходящими единицы. Энтропийная асимптотика квартетных и сотовых решеток - нулевая. Симплекс-система характеризуется критическим индексом, меньшим на порядок по сравнению с квартетной решеткой. Асимптотика симплекс-системы описывается равновероятным биномом, что соответствует максимальной энтропии. Впервые получен результат в энтропийной форме, отражающий совершенство симплекс-системы.

3. Показано, что характер квазикристаллического упорядочения на мозаике Пенроуза характеризуется осцилляторно-волновым поведением энтропийного функционала на ДГК. Упорядочение бигексагональной мозаики описывается гиперболическим энтропийным дальнодействием. Критический энтропийный индекс здесь также существенно меньше единицы, но несколько больше, чем у симплекс-системы. Асимптотическое значение перколяционной зависимости энтропии составляет 0,444. Тем самым, бигексагональная мозаика морфологически близка к сотовой системе и симплекс-решетке.

4. Установлено, что по характеру порядка-беспорядка при исследовании информодинамическим методом глобулярная система ячеистого типа кварцевого стекла КУВИ-1 и сеточная стурктура аморфных пленок Со-Р ведут себя однотипно. Энтропийный функционал на ДГК таких сеточных систем характеризуется в среднем постоянным значением энтропии. Это позволяет аморфные и стеклоподобные среды, в смысле структурного порядка, наделить принципом энтропийной инвариантности.

5. Впервые методом символьной динамики установлен характер порядка-беспорядка на древесных графах Кейли, отображающих сеточные мезо- и наноструктуры тонких аморфных пленок и стекол. Были рассмотрены представления скорлуп Мандельброта, являющихся обобщением гладких фронтов Гюйгенса и стримеров, представляющих фрактальные лучи. Оказалось, что автокорреляционные функции символьных последовательностей для скорлуп Мандельброта предоставляют доказательство справедливости лингвистических моделей в трактовке порядка-беспорядка. АКФ стримерных символьных последовательностей для ДГК стекол обладают пульсационным, кластерным упорядочением квазистохастического типа. Аналогичная характеристика для квазикристаллических систем характерна строгой периодичностью характерных биений. Добыть столь подробные сведения о структуре порядка-беспорядка другими методами невозможно.

В диссертации продолжен и систематически развит универсальный метод оценки степени порядка-беспорядка в разупорядоченных средах широкого класса.

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Титов, Павел Леонидович, Владивосток

1. Агахарьян Т.М., Аствацатурьян Е.Р., Скоробогатов П.К. Радиационные эффекты в интегральных микросхемах. М.: Энергопромиздат. 1989. 256 с.

2. Айзерман М.А. и др. Динамический подход к анализу структур, описываемых графами (Основы графодинамики) / Сб. науч. тр. «Исследования по теории структур» М.: Наука, 1988. с.5-76.

3. Алгоритмы и программы установления зависимостей / Под ред. ВапникаВ.П. М.: Наука, 1984. 816 с.

4. Аморфные металлические сплавы / Под ред. Люборского Ф.Е. М.: Металлургия, 1987. 583 с.

5. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1971.240 с.

6. Банн Ч. Кристаллы: их роль в природе и науке. / Под ред. Белова Н. В. / М.: Мир, 1970. 312 с.

7. Бекстер Р. Точно решаемые модели в статистической физике. М.: Мир, 1985.488 с.

8. Берж К. Теория графов и ее применение. М.: ИЛ, 1962. 310 с.

9. Биллингслей П. Эргодическая теория и информация. М.: Мир, 1969. 240 с.

10. Бонгард М.М. Проблемы узнавания. М.: Наука, 1967. 318 с.

11. Боум А. Квантовая механика: основы и приложения. М.: Мир, 1990. 720 с.

12. Братковский A.M., Данилов Ю.А., Кузнецов Г.И. Квазикристаллы // ФММ. 1989. Т.68, с.1045-1096.

13. Вайзин Дж. В. Классификация и кластер. М.: Мир, 1980. 392 с.

14. Вайнштейн Б.К. Современная кристаллография. Т.1. М.: Наука. 1979.384 с.

15. Галагер Р. Теория информации и надежная связь. М.: Сов. Радио, 1974. 600 с.

16. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М.: Наука, 1971. 319 с.

17. Гихман И.И., Скороход A.B. Теория случайных процессов. Т.1. М.: Наука, 1971. 664 с.

18. Гихман И.И., Скороход A.B. Теория случайных процессов. Т.2. М.: Наука, 1973. 640 с.

19. Гихман И.И., Скороход A.B. Теория случайных процессов. Т.З. М.: Наука, 1975. 496 с.

20. Гратиа Д. Квазикристаллы // УФН. 1988. Т. 156, №22. с.347-364.

21. Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. 2002, 560 с.

22. Гумбель Э. Статистика экстремальных значений. 1965. 452с.

23. Гусев А.И. Нестехиометрия, беспорядок, ближний и дальний порядок в твердом теле. М.: Физматлит, 2007. 856 с.24