Теоретико-информационный анализ минимального класса квазикристаллических структур тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

На правах рукописи

1

Полянский Дмитрий Александрович

ТЕОРЕТИКО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ АНАЛИЗ МИНИМАЛЬНОГО КЛАССА КВАЗИКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ СТРУКТУР

специальность 01.04.07 - физика конденсированного состояния

АВТОРЕФЕРАТ

диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-матаматических наук

Владивосток, 2005

Работа выполнена на кафедре Физических основ технологий информационных

сред (ФОТИС) Института физики и информационных технологий Дальневосточного государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор, Заслуженный деятель науки РФ Юдин В.В.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор, Член-корреспондент РАН Кульчин Ю.Н.

доктор физико-математических наук, профессор, Афремов Л.Л.

Ведущая организация Институт автоматики и процессов управления

ДВОРАН

Защита состоится «27» сентября 2005 года в 13.00 часов на заседании диссертационного совета Д212.056.08 в Институте физики и информационных технологий ДВГУ по адресу: 690950, г.Владивосток, ул.Суханова,8

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале №2 библиотеки ДВГУ

Автореферат разослан августа 2005 года.

Учёный секретарь диссертационного совега Д212.056.08, кандидат физ.-мат. наук

Соппа И В

Общая характеристика диссертации

Актуальность темы В классической кристаллографии существует теорема, которая показывает, что наложение трансляций Бравэ на группу БОз режектирует бесконечномерный вектор характеров до пятимерного. В результате этого в кристаллографии допускаются поворотные оси только 2, 3, 4, 6 порядков Открытие в 1984 году сплавов с наличием оси симметрии 5-го порядка привело к возникновению большого массива работ теоретического плана по моделированию квазикристаллических паркетов, мозаик. В ряде наших работ развивается метод изучения квазикристаллических симметрий на базе теоретике — информационного, лингвистического подхода. Как требуется в теории информации и теории эффективного кодирования, язык задаётся иерархией алфавитов - буквенный, слоговый, стоварный, фразеологический и т.д., на которых задаются вероятностные меры Со времён Ципфа было установлено универсальное статистическое свойство цивилизованных языков на различных уровнях агрегации Доказано, что все реальные языки подчиняются закону Ципфа - Парето - Мандельброта (ЦПМ). Это обобщённое гиперболическое распределение, фактически ранговая статистика алфавитов различных уровней. Надо подчеркнуть, что с точки зрения классической математической статистики ЦПМ - распределения являются весьма не типичными. Как правило, для них не существуют моменты, нельзя говорить о модах, среднем значении, дисперсии и тд. Кроме этого, ЦПМ - статистики имеют затянутые хвосты Как стало ясно в последнее время, это эффект дальнодействия, имеющий фрактальное содержание.

В ряде наших работ был разработан и применен к исследованию квазикристаллических симметрий метод, базирующийся на древесно-графовом отображении соответствующих паркетов и определении на полученных графах как энтропийных, дивергентных функционалов, гак и характера их перколяции Однако применение к древесным графам для квазикристаллических симметрий классической методики кустовой декомпозиции несёт определённый ограничивающий момент. 11а исходных паркета» имеют место несколько типов

РОС НАЦМОНАЛЬи

киьдмотска

» вм^^М1 I

элементов и два типа контактов между ними, в общем случае имеет место алфавит [тяхпр]. Классическая кустовая декомпозиция не учитывает этот момент. Кроме того, сами исходные паркеты можно рассматривать как системы вершинных координации. Данный момент также не был рассмотрен в предыдущих исследованиях.

Не рассматривался также вопрос - можно ли описать с количественной стороны семантический аспект квазикристаллического упорядочения? Несколько другая форма: будет ли зависеть количество информации на квазикристаллических «фразах» от степени агрегации символов? Для реальных языков эти аспекты хорошо исследованы как экспериментально, так и теоретически. Если удастся прямым способом доказать, что квазикристаллические мозаики являются языковой системой, причём с существенно нечёткими чертами, то мы впервые сможем получить неодномерную языковую структуру нетьюринговской логики.

Нетипичность поставленных задач по кристаллографии квазикристаллических структур потребует существенных обобщений в теории древесных графов, и в теории перечисления графов при распространении её на полислоговые приближения. При разработке поставленной проблемы придётся существенно использовать теоретико-информационные методы при моделировании квазикристаллических структур.

Целью диссертационной работы является теоретическое исследование основного представителя минимальных квазикристаллических симметрии, пентасимметричной мозаики Пенроуза, на основе данных вычислительного эксперимента как по статистическому анализу структуры самого покрытия, так и по определению характеристик древесно-графовой модели данного покрытия Для достижения этой цели были поставлены следующие задачи:

1. Найти статистики распределения вершинных координации как самой мозаики Пенроуза, так и ближайших представителей минимального класса квазикристаллических симметрий

; 5 > 4 4

ч,*» • ч

г*» ¡1 •

2 Провести декомпозицию древесно-графового отображения данной мозаики на минимальные элементы, позволяющие учесть структуру имеющего место алфавита [2цх2р] (унарная нротодекомпозиция)

3 Провести декомпозицию вышеуказанного древесного графа с учётом минимально объединения элементов унарной декомпозиции (бислоговая протодекомпозиция).

4. Разработать метод, позволяющий обобщить классическую теорию графов для учёта бислоговых приближений.

5. Получить энтропийные функционалы дл« случая бислоговой протодекомпозиции и рассмотреть динамику их перколяции по уровням древесного графа.

6. Определить фрактальные характеристики древесного графа при унарной протодекомпозиции.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Проведена декомпозиция паркетов минимальных квазикристаллических симметрии (4-го, 5-го, б-го порядков) как систем вершинных координации Показано, что каждому из них соответствует свой диапазон координации к своя статистика распределения. Наиболее нетривиальное распределение, отвечающее за дальнодействие относится к классу безгранично-делимых распределений (ЦПМ-статистика). Оно наблюдается для пентасимметричной мозаики Пенроуза.

2. Получены данные о ветвистости и пересекаемости на координационном дереве Кейли для мозаики Пенроуза (ДКП). Показано, что данные характеристики имеют определенный асимптотический инвариант в среднем, тонкая структура перколяции отличается квазипериодическими флуктуациями вокруг данных инвариантов.

3. Разработана методика бислоговой протодекомпозиции древесных графов на примере ДКП Обобщена теория перечисления графов для учёта бислоговых приближений. Показано, что при данной декомпозиции

возможны два типа перечисляющих структур, построенные соответственно в условной и совместной логиках.

4. В условной логике бислоговой протодекомпозиции построена марковская перечисляющая структура, состоящая из стохастической матрицы и вероятностного вектора состояния. На данной структуре введён энтропийный функционал. Показано, что его перколяция по уровням ДКП является периодической вокруг асимптотического инварианта, равного 0.618..., что совпадает с «золотым отношением», лежащим в основе мозаики Пенроуза. Распределение элементов вектора состояния подчиняется ЦГГМ - статистике с показателем у -1, что соответствует аналогичному показателю реальных языков.

5. В совместной логике бислоговой протодекомпозиции построена кронекерова перечисляющая структура, представляющая собой шестнадцатимерный вектор Показано, что распределение элементов данного вектора подчиняется ЦПМ - статистике с показателем у- 1 Перколяция энтропийного функционала является периодической вокруг среднего энтропийного инварианта.

6. В рамках теоретико-информационного подхода проведён сравнительный семантический анализ слов русского языка и стримерных конструкций ДКП Показано, что распределения символов внутри смыслосодержащих слов подчиняется ЦПМ распределению с у~1, а внутри бессмысленных -линейно. Для стримеров ДКП установлено уменьшений энтропии, а следовательно повышение семантического потенциала при бислоговой агрегации, что аналогично явлении), имеющему место в реальных языках.

7. Проведён расчет фрактальной размерности стримеров ДКП. Оценка стримерной фрактальной размерности данных структур составляет- 1 3

Эти результаты выносятся на защиту в данной диссертации.

Практическая ценность работы. Полученные результаты могут быть полезны при теоретическом описании квазикристаллических симметрии, для построения своеобразной обобщенной кристаллографии Кроме того, лингвистические аспекты полученных результатов могут быть использованы при создании неодномерных языковых систем с нертьюринговской логикой.

Апробация работы Основные результаты были представлены на Всероссийских конференциях студетов-физиков, аспирантов и молодых учёных ВНКСФ-8,11 (2002, 2005, Екатеринбург), ВНКСФ-9 (2003, Красноярск), ВНКСФ-10 (2004, Москва), Всероссийских семинарах «Моделирование неравновесных систем» в 2002, 2003. 2004 годах (Красноярск), Всероссийских «Нейроинформатика и её приложения» в 2003, 2004 годах (Красноярск), Региональных конференциях студентов, аспирантов и молодых учёных (Владивосток, 2001-2005).

П^бтикации По результатам диссертации опубликовано 21 работа

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы и приложения Общий объём работы составляет 131 страницу, включая 69 рисунков, 5 таблиц и список литературы из 113 наименований.

Содержание работы.

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, формулируется цель работы и решаемые задачи

Первая глава содержит 4 параграфа, из которых два первых посвящены квазикристаллическим симметриям, их структуре и свойствам, а также моделям квазикристаллов Наиболее информативными в смысле новизны исследований являются параграфы 1.3 и 14. Параграф 1.3. отражает результаты, полученные

в диссертации Крыгииой Ю. А, параграф 1.4. основан на диссертации Чудновой O.A. Так как в работе обсуждаются минимальные квазикристаллические симметрии, в параграфе 1.4. отталкиваемся от бигексагональной мозаики Дюно-Каца. Там же собраны результаты по сопоставлению классических решёток при информодинамическом подходе и по фрактальный характеристикам бигексагональной мозаики. Стримерный подход к оценке фрактальяости в диссертации Чудновой О А. не получил должного развития, что и компенсируется в данной работе в параграфе 4.4. Подходы в параграфах 1.3 и 1.4 являются принципиально новыми, поэтому и приводятся в обзорной части диссертации.

Вторая глава посвящена изложению информодинамическо! о метода структурного анализа мозаик, паркетов. В разделе 2.1 приведены результаты вершинной декомпозиции трех минимальных квазикристаллических симметрии квартетной Q-мозаики, пентасимметричной мозаики Пенроуза и бигексагональной мозаики Дюно-Каца (рис.1).

Рис 1 Минимальные квазикристаллические симметрии а) О-мозаика, б) Мозаика Пенроуза, в) Бигексагональная мозаика Дюно-Каца

Для О-мозаики допустимы вершины с координациями 3-8. Привлекая теорию перечисления вершинных координации, получаем распределений или статистику этих координации на исходном паркете (рис.2.а,б) Согласно рис 2.6. для С?-мозаики распределение вершинных координации подчиняется экспоненциальной статистике. Из рис.3 видно, что медиана интегрального распределения вершинных координации О-мозаики приходится на квартетную координацию Тем самым типичное свойство квартетной симметрии,

характерное для геометрических свойств (}-мозаики отражается и в статистических характеристиках исходного паркета (рис.3).

300 250

а

8 200 2

р 150

§100 в

50 О

у = -0.6321 х ♦ 7.5722

4 5 > 7 координация

а)

Рис 2 Распределение вершинных координации для 0 - мозаики в прямых (а) и полулогарифмических осях (б).

4 5 6 7 координация

б)

й '

а §■

к £

714

л

Аналогичный прерчисляющий анализ был проведён для мозаики Пенроуза, где координации имеют мощность 3-7 Результат идентификации статистики

распределения вершинных координаций показан на рис.4.(а,б). Характерным моментом на рис 4.а. является наличие моды, приходящуюся на координацию с мощностью 5 Пентасимметрия в статистике вершинных координаций отражается в модовой структуре распределения. Усреднённое распределение в двойных логарифмических осях приведено на рис. 4.6. Его линейная аппроксимация указывает на принадлежность к гиперболической статистике Ципфа- Парето- Мандельброта (ЦПМ) с у-1.5. Это один из трёх аналитических видов безгранично делимых распределений. В этом отражается некоторый принцип универсальности.

Набор вершинных координаций для бигексагональной мозаики Дюно-Каца достаточно ограничен, встречаются только вершины с координациями 3 и 6. Их содержание в данном покрытии составляет соответственно 2/3 и 1/3.

В разделе 2.2. рассматриваются гиперболические статистики, в частности ЦПМ, в рамках работы Г.Г. Малинецкого «Синергетика и прогноз бедствий и

Рис 3 Шгтегральная кривая для распределения вершинных координаций С>-мозаики

катастроф» Особая роль уделяется статистикам с затянутыми, «тяжёлыми» хвостами. В нашем подходе эти хвосты статистик отвечают за дальнодействие. Надо отметить корреляцию этого свойства дальнодействия с фрактальностью.

_ 7

| 300

I»»

1Ю

¿4

а

К;

у- -1,4вввх * 6.3012

> 0.8 1.2 1п ранга координации

а) б)

Рис 4 Распределение вершинных координация для мозаики Пенроуза в прямых (а) и двойных логарифмических осях (б)

Раздел 2.3. содержит описание алгоритма синтеза древесных графов Кейли (ДК) по ячеистым структурам, в частности, по квазикристаллическим паркетам, а также методику определения характеристик древесных графов и применения к ним теории перечисления. Данный алгоритм выглядит следующим образом:

1. За центр выбирается любая ячейка сетки. От нее строится первая координационная сфера, состоящая из всех контактирующих с первой ячеек. Число ветвей начального графа (координационное число) определяется топологией окружения.

2. От каждой достигнутой вершины начального дерева строятся координационные кусты и связи, направленные только вперед. На этом этапе получается двудольный 1раф.

3. Третья и дальнейшие координационные сферы строятся итеративно. Фактически, получается каскад двудольных графов, к-дольный граф Этажность такого супердерева стремится к бесконечности и ограничивается лишь геометрическими размерами ячеистой структуры, которую он отображает. По аналогичной процедуре может быть построено коллапсирующее дерево.

4. На каждом уровне ДК строятся перечисляющие полиномы (ПП) или более общие перечисляющие структуры Посредством операции нормировки на

каждой иерархии ДК получаются вероятностные перечисляющие полиномы (ВПП).

5. Для ПП и ВПП с учётом симметрии центр - периферия на ДК решается задача перколяции. Устанавливается перколяционные зависимости различных статистических характеристик ВПП.

6. От ВПП для каждого уровня ДК строятся энтропийный, информационные, дивергентные функционалы. В этих терминах решается задача перколяции на ДК с целью поиска информодинамических инвариантов, каких-либо квази периодических зависимостей.

7 На ДК рассчитывается внутриуровневая пересекаемость и связность кустов строятся скорлупы Мандельброта и стримеры Перколяция на ДК может трактоваться в терминах волнового (скорлупы Мандельброта) и лучевого (стримеры) распространения вероятностных,

информодинамических мер.

Также в данном разделе приводятся математические свойства ДК. Среди них можно выделить важнейшие для дальнейшего изучения в рамках данной работы. Сложные системы и представляющие их древесные графы невозможно изучать без применения декомпозиционных методов. Среди них особо выделяется симплициальная декомпозиция, которая может быть реализована на исследуемых древесных графах по крайней мере в трёх формах. Имеются ввиду вершинная декомпозиция, кустовая декомпозиция и протодекомпозиция, учитывающая алфавитную структуру мозаик. Другим важным свойством наших ДК является наличие ультраметрики. Тогда супер ДК можно представлять как ультраметрический симплициальный комплекс На ДК вводятся соответствующие вероятностные и информодинамические меры, функционалы Тем самым на таких древесных графах можно строить определенную теорию вероятности и соответствующую теорию информации.

Согласно приведенному выше алгоритму были синтезированы ДК для С>-мозаики, паркета Пенроуза и бигексагоналыюй мозаики На рис 5. показаны два из них. Данные ДК отражают соответствующие алфавиты паркетов [2цх2р]

- следовательно несут информацию по двум типам вершин и двум типам координации. Степень ветвистости в общем случае квазислучайная и отражает соответствующие типы координация на исходных паркетах. На рис.5 заметно ещё одно важнейшее свойсгво ДК - внутриуровневая межкустовая пересекаемость. Это свойство приводит к марковским «джунглям», что резко отличает исследуемые ДК сгг графов типа с леса».

Рис 5 Дерево Кейли для паркета Пенроуза (а) и О-мшаики (б)

В разделе 2.4. описывается кустовая декомпозиция древесных графов и формализм классических перечисляющих полиномов.

В разделе 2.5. переходим к вероятностным перечисляющим полиномам (ВП11): Для этого производится нормировка:

Г,<х> = --——, где Т,(х )=ЁТ, (хк)хк, - классический ПП,

±Т/х>

к-(1

X,- куст ветвистости к на 1-иерархии, Т, (х')- количество кустов ветвистости к на ¡-иерархии ДК, г,-ранг элемента алфавита, 0 <1(хк) <1

От вероятностных распределений строятся энтропийный и дивергентные функционалы, а также внутренняя и потенциальная энергия распределения. Здесь мы ограничимся энтропией в форме Вайда:

Hvlt.(xk)] = ?Lt,(xl)[l -t,(xk)], hmHv[t,(x)]^l

к

Так как на ДК имеется ансамбль {ti(^), tjjf)}, то образуется последовательность {Н v{t](^) /, • • -,Hy{ta/x!') Ц Энтропийный функционал является характеристикой состояния на каждом уровне ДК, мерой неопределённости данного уровня. Нетрудно видеть, что энтропийная последовательность ВПП отражает перколяцию на ДК, характер которой необходимо установить.

Другим важнейшим функционалом, который используется нами на всём протяжении диссертации, является дивергенция Бонгарда:

Biv[t,(xk),t,+I(xk)] =jT.{t,(xk) -Ii -tl+l(xk)J+t,+l(xk)-[l -t,(xk)J} где ti(x?), tn-itf) - ВПП на i,i+l иерархиях.

Данный функционал существенно отличается от энтропийного. Он описывает в симметризованной форме взаимоотношение между двумя любыми уровнями ДК, тогда как энтропия ,в любом виде, характеризует состояние каждого уровня ДК. Именно в этих терминах на всём протяжении диссертации будет исследоваться обобщённая задача перколяции ВПП и информодинамических функционалов на ДК.

Основной недостаток классической декомпозиции - неспособность учитывать структуру алфавита [2qx2p], нечувствительность к типам элементов и связей.

В третьей главе разработан формализм обобщённых перечисляющих структур при симплициальных протодекомпозициях древесных графов, позволяющий учесть структуру алфавитов [2qx2p] для минимальных квазикристаллических симметрий.

• /

-

IV

иерархия

- иПИСТОСТк пир»ь кшис ТУ

В разделе 3.1 получены результаты по перколяции ветвистости и пересекаемости на уровнях иерархии дерева Кейли для мозаики Пенроуза (ДКП) (рис.6).

Перколяция ветвистости

характеризуется волноподобным

| поведением с размахом -18,4%.

| Среднее значение ветвистости равно

2.68 ([У|=3). С этой точки зрения,

ДКП в среднем эквивалентно

обычному тетраэдрическому дереву

„ , „ Бете, хотя и имеет более высокую

Рис 6 Перколяция ветвистости и

пересекаемости по уровняй ДКП перколяционную способность.

В асимптотике можно согласиться с тем, что осцилляции ветвистости уменьшаются (размах снижается до 4.7%), что свидетельствует о наличии средней асимптотической характеристики ветвистости

Другой важной характеристикой ДК является внутриуровневая пересекаемость соседних кустов, что обеспечивает топологическую связность, которой не обладают классические деревья Бете. За оценку пересекаемости на каждом уровне берётся отношение числа вершин мультипликации к общему числу вершин на данном уровне Результат определения данной характеристики ДКП приведён на рис.6. Внутриуровневая пересекаемость оказалась весьма высокой (-74.5% при размахе 12.3%). Особо следует подчеркнуть высокую степень мультипликации, что как раз обеспечивает сильную связность ДКП по уровням. С теоретико-информационной точки зрения свойство связности ДК эквивалентно избыточности, что в свою очередь характеризует определённую семантику ДК как языковой структуры. С другой стороны, это же свойство мультипликации, связности позволяет вводить в рассмотрение скорлупы Мандельброта.

В разделе 3 2 приводятся два метода протодекомпозиции при бислоговом рассмотрении ДКП. Классическая теория перечисления древесных графов не может быть автоматически распространена на полислоговые приближения ДК Поэтому пришлось применить симплициальный метод протодекомпозиции древесных графов, где осуществляется аддитивное разложение ДК на ветви алфавита [2цх2р]. За ветвь принимается вершина (того или иного типа) и исходящее из неё ребро графа, соответствующее тому или иному виду контакта. Тем самым алфавит [2цх2р] будет представлен квартетной структурой.

В частности, статистическая идентификация распределения элементарных ветвей на ДКП показала, что данное распределение подчиняется гиперболической статна ике типа ЦПМ с показателем у-1.05. Это свойство на уровне протодекомпозиции является необходимым условием для признания ДКП языковой системой в унарном приближении.

При реализации симплициальной протодекомпозиции на ДК надо учитывать логику аддишвного представления. Она может реализовываться в двух формах - совместной и условной логиках, что приведёт к различным перечисляющим структурам.

При рассмотрении полислогового (в нашем случае бислогового) приближения в тензорной алгебре есть два пути, которые направлены на повышение размерности перечисляющих структур или пространств. Первый путь состоит в том, что размерность исходного алфавита остаётся без изменений, вместо этого, например для бислогового приближения строится перечисляющий тензор второго ранга. В такой логике необходимо разделить матричную структуру на вероятностный вектор состояния и стохастический перечисляющий тензор. Этот подход базируется на условной логике, в частности, для бислогового приближения это приводит к марковском перечисляющим структурам, которые, в свою очередь, распадаются на стохастическую матрицу и вектор состояния. Эта так называемая цепная модель перечисляющей структуры тесно коррелирует с радиальным свойством

марковости ДК в целом. Следовательно, имеет смысл рассматривать задачу перколяции в марковском представлении.

Второй путь ориентирован на рассмотрение бислогового приближения в совместной логике без выделения вероятностного вектора состояния и стохастической матрицы. С геометрической точки зрения надо построить перечисляющую структуру векторного типа, но при этой следует рассматривать прямое, кронекерово произведение двух алфавитных пространств. В случае бислогового приближения мы получаем шестнадцатимерный вектор, который задаётся на кронекеровом произведении двух алфавитных пространств R(xJ®R(x/¡), а,р 1+4, ® - прямое кронекерово произведение. Такая перечисляющая структура, написанная для каждого уровня иерархии ДКП, также может описывать задачу перколяции. Совместная логика не требует асимметричного расщепления перечисляющей структуры на стохастическую матрицу и вероятностный вектор состояния. Мы считаем, что нужны оба эти подхода, т.к. они описывают различные стороны перколяции на ДКП. Кронекерова перечисляющая структура позволяет в наиболее непосредственном виде изучать бислоговое приближение, что весьма важно для идентификации языковой модели ДКП.

В диссертации дано распространение информодинамического формализма перколяции на ДКП для случая симплициальной протодекомпозииии в обоих логиках.

В разделе 3.3. рассматривается марковская протодекомпозиция ДКП и решена задача по перколяции вероятностных и энтропийных функционалов на ДКП Результаты численного эксперимента в марковской логике, в частности по перколяции вероятностных векторов состояния приведены на рис.7 и рис 8 На обоих перколяционных диаграммах чётко проявляется периодическая структура перколяции. Уже на этом уровне рассмотрения можно сделать вывод, что квазикристаллические симметрии находят эквивалент в достаточно хорошей периодичности перечисляющих структур.

ранг

ранг 1 0- толстый ромб с точечным контактом ранг 2 Д - тонкий ромб с точечным контактом ранг 3 ф- толстый ромб с реберным контактом ранг 4 тонкий ромб с реберным контактом

0,6 . оз:

л 0,4 :

I 03 1

в

0,1 -о ■

1228 1164 1.109

О 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И 12 13 иерархия

О * . А

Ф А

Рис 7 Перколяция квартетных вероятностных векторов марковской модели на ДКП

Рис 8 Перколяцонные зависимости компонент вероятностных векторов состояния М-цепи

Ьо Р = -1,0734 1л г + 3,9074

Рис 10 Диаграммы строчных пауков М-цепи Числитель соответствует вероятности перехода в строке стохастической матрицы, знаменатель -рангу элемента

0,5 1 1,5

Ьп г (логарифм ранга)

Рис 9 Ранговая статистика средних значений вероятностных векторов М-цепи

На рис.9 приведена ранговая статистика средних значений вероятностных векторов марковской цепи. Выпрямленная в двойных логарифмических осях зависимость соответствует ЦМП статистике с показателем у=1 073, как и положено в распределении Ципфа. Нами была получена стохастическая

17

матрица марковской цепи, усреднённая по всем уровням ДКП, которой дано естественное представление в виде строчных пауков М-цепи (рис.10).

Для вышеуказанных пауков было построено распределение по коэффициенту структурированности: Р(г\) - - уц + Р*, где- у / Р* 0 5

(рис.11). Между Р(г/) и г\

0,6

£ 0,5 ■

о

5. 0,4 £

¡5 0,3

!••■

а.

2 о,1 о

1пР = -1,18651п(ч 0,5054

существует закон сохранения. Интересно, что нулевая вероятностная асимптотика достигается на 50% уровне стохастичности

детерминированности. Видимо, в марковском приближении на ДКП действует некоторый компромисс между

вероятностями состояний и избыточностью строчных «пауков». Данный компромисс также является признаком языковой системы.

В энтропийном представлении была решена задача перколяции на ДКП в марковской логике. Для этого оценивалась энтропия марковской цени через энтропии строчных пауков.

О 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0.4 структурированность пауков (Ь)

Рис 11 Распределение пауков М-цепи но структурированности

Я

и*р] = ¿РоЫЫхоЬЕРоОсД 4*а

Р ) Щ хр {х„} V

ХЦ

1-3

где Хц, хр - квартет строчных пауков. Коэффициент структурированности (избыточности) определяется как-

(4 ' л 1)хр

и )

Н „

Все вышеупомянутые характеристики марковской цепи в среднем собраны в следующей таблице 1. Энтропия марковской цепи в целом-Н (их«)- НдоШ =0-6186 - «золотая» энтропия. Этот результат достаточно

неожиданен, хотя бы в том смысле, что «золотое» отношение нашло энтропийное отражение.

Табл. 1. Вероятностные и энтропийные характеристики марковской цепи.

ха Ро(Ха) Р»(ха) Л(*о). % ны

Х| 0.4371 0.4960 0.7268 3.09 0.3176

Х2 0.2517 0.2363 0.5992 20.107 0.1438

Хз 0.1907 0.1495 0.4966 33.781 0.0949

Х4 0.1205 0.1182 0.4722 37.040 0.0623

энтропия 0.6947 0.661В - - 0.6186

коэф. избыточности, % 7.4 11.8 - - 17.52

На рис.12 приведена перколяция энтропии марковской цепи по уровням иерархии ДКП, которая после начального нестационарного участка даёт чёткую

"1

^ \

/ - > -,-У-----Чу- -

-л/ >

7Т

периодическую зависимость на хорошем уровне доверия Заметим, что коэффициент избыточности ансамбля пауков в марковском представлении составляет

а) =17.52%, что существенно превосходит аналогичный показатель в унарном приближении (т| = 10 7%). Кроме того, марковская цепь, отражающая условную перколяцию на ДКП, характеризуется свойством энтропийной эргодичности, которое к тому же совпадает с «золотой» симметрией:

0.7 ,

(

0,65 -

к

X

I 0,6 т

0,55 --------

I

0,5 ---1-----Г---Т -т---,-

01 23456789 10 11 12 иерархия Рис 12 Перколяция энтропии М-цепи по уровням иерархии ДКП

Р.ЬхаЫ

Ха

Н рм

В разделе 3.4. проводится исследование бислоговой декомпозиции ДКП в совместной логике. Построена кронекерова перечисляющая структура векторного типа на прямом произведении двух алфавитных пространств

R(xu)®R(xp), а,р=1-4, размерность которого dira R(xrl®xp)~16. Перечисляющая билинейная форма на квартетном алфавите ДКП запишется так:

Это рассмотрение можно обобщить на полилинейные формы. Тем самым мы получаем возможность, пользуясь тензорной алгеброй, задавать более глубокие уровни приближения на древесных графах Кейли, приводящие к учёту полислоговых корреляций.

Нами были построены соответствующие вероятностные перечисляющие структуры:

Такая векторная перечисляющая структура строится для каждой скользящей тройки уровней (ь1;ф+1). что позволяет рассматривать задачу перколяции такого бивектора на ДКП. Положительной чертой кронекерового представления нормированных перечисляющих структур на прямом произведении алфавитных пространств является то обстоятельство, что удаётся непосредственно наделить их вероятностной структурой в бислоговом приближении на всём ДКП в совместной логике

На рис.13 приведена ранговая бислоговая статистика ДКП для среднего перечисляющего кронекерова вектора в двойных логарифмических осях Это означает, что и на бислоговом уровне выполняется ЦПМ-статистика с у-1.03 Тем самым в унарном и бислоговом приближениях на ДКП выполняется г

одинаковая статистика Ципфа, что является необходимым условием языковости паркета, древесных фафов Пенроуза.

TLtbatXp). 0<t(Xa,X/f)<l; £= 1-

t (xa®xp) = /{(xa®xp)*xaxp;a,p = 1 + 4). Xa.fi e R(xa ® Xfi)-,a,P =1 + 4 :

-1,5 2 2,5 -3 -3,5 -4

о\

1,5

1 2,5 3 1лг

Рис 13 Ранговая бислоювая статистика ДКП для среднего перечисляющею кронекерова вектора

0 9«

1

0 925

09

£ 0 875

I 0 85 I (- 1 п 0.825 ;

)

08 0,775 -I

0 75-10

Наличие вероятностной

ЬпР= -1,03111л г + в,0774 перечисляющей структуры, как и в

предыдущих случаях, позволяет ввести энтропийный функционал, что и было сделано. Рассмотрена перколяция энтропии кронекеровых бивекторов, рассчитанных для каждой тройки иерархий. На рис.14. показана перколяционная зависимость энтропии шестнадцатимерной билинейной

перечисляющей формы по уровням иерархии ДКП. Среднее значение энтропии подобной перечисляющей структуры <Н>-=0.872, размах осцилляций порядка 5.7%. В целом перколяционная зависимость

кронекеровой энтропии также имеет периодический характер, как и в случае марковской цепи, но на своих численных значениях. Разница в них

2 5 4 5 6 7 1 9 10 II 12 иерархия

Рис 14 Перколяция энтропии шестнадцатимерного вектора по уровням иерархии ДКП

связана с тем, что марковская модель базируется на четырёхмерном представлении, а кронекерова форма - на шестнадцатимерном.

В четвёртой главе проводится теоретико-информационный анализ ДКП в марковском и кронекеровом представлениях. Главная задача этого раздела -провести прямые численные эксперименты по оценке семантики русского языка и стримерного ансамбля ДКП Показано что наблюдается некоторая семантическая аналогия, что позволяет трактовать паркет Пенроуза и ДКП как двумерный текст некоторого языка нетьюринговской логики. Ещё одним центральным моментом этого раздела является исследование фрактальности ДКП в стримерном представлении.

В разделе 4.1 даётся сравнительный анализ марковского и кронекерова представления задачи энтропийной перколяции на ДКП. Делается вывод, что как в условной, так и в совместной логиках ДКП представляет собой некоторую языковую систему.

В разделе 4 2. проводится семантический анализ слов русского языка Были выбраны 10 слов русского языка разной длинны (шум, хаос, время, симметрия, упорядоченность, организация, кристаллография, информодинамика, математика, квазикристалл), а также бессмысленный набор букв (Ымджьрзипалюбму), так называемое «Ы-слово». Для определения потенциала семантичности привлекалось ранговое распределение букв в слове,

привязанное к естественной ранговой статистике русского языка В качестве характеристики семантического

потенциала был выбран энтропийный функционал от ранговых

распределений по длине слова. Очевидно, чем ниже показатель, тем «семантичнее» данное слово. Оказалось, что I класс образуют слова: шум, время, симметрия,

квазикристалл Для них 20%< т]< 32%, <тр=26.7%, II класс образуют слова-упорядочение, организация,

кристаллография, математика Для них 36%< г|< 44%, <тр=40.3%. III класс образуют слова: хаос, информодинамика. Для них 45%< г|<60%, <т|>=50,1%.

По сравнению с «Ы-словом», для которого т]=70 6%, предыдущие 3 класса характеризуются меньшей относительной энтропией, что и указывает на высокий смысловой уровень этих слов. Слова без смысла будут характеризоваться большим относигельным размахом, большей энтропией.

О 1 ' 3 4 } 6 7 8 9 10 11 12 13 14 К Iii I

- среднее значение Ычзжьртпшпбмч

— Информодинамика -о- Кимкрнспдл

Рис 15 Ранговые статистики /пя спов некоторых русского языка и Ы-слова в естественной ранжировке

Интересный результат показан на рис 15, где приведена ранговая статистика некоторых наших слов со смыслом и «Ы-слова» в естественной ранжировке Оказалось, что «смысловые» слова подчиняются гиперболической статистике Ципфа, тогда как ранговое распределение для «Ы-слова» линейно. Данное исследование крайне необходимо при проведении прямого вычислительного эксперимента на «семантичносты» стримерного ансамбля ДКП, который рассиатривается в разделе 4.3.

В качестве «слов» на ДКП были взяты стримеры, являющиеся «лохматыми» фракталами. Очевидно, что стримфный ансамбль должен подчиняться условиям о - разбиения. Для нашего одиннадцатиэтажного дерева был образован а - ансамбль стримеров с мощностями 5+5 Объём стримерного слова равен 10, одна половина ансамбля строилась над унарным алфавитом размерности 4, вторая - над прямым произведением алфавитов размерности 16.

Главная задача в этом разделе показать, что даже при бислоговой агрегации энтропия стримеров и показатели, связанные с ней будут понижаться. Высказывается известная в теории информации и кодирования гипотеза, что полислоговая агрегация в состоянии существенно понизить энтропию слов, что и является прямым указанием на семантичность. Сами символы на содержат в себе никакого смысла, смысл появляется при образовании последовательности символов.

ДЦ.Ч

20

16

♦

10

6

♦

о

о

» .

' ? *

л__

— шах

10

-=> 1 *

-10

Рис 16 Коэффициент

Рис 17 Приращение структурированности, смысловитости стримерного ансамбля ДКП при бислоговой агрегации в ранжированной шкале на алфавите [2цх2р]®[2чх2р]

сем античности в унарном - г| | и бисдоговом т)2 приближениях в зависимости от номера в ансамбле

стримеров ДКП

Результаты приведены на рис. 16.и рис.17. Из данных рисунков видно, что практически для всех стримеров (за исключением одного, который изначально имел высокую структурированность) при бислоговой агрегации имеет место понижение энтропии, и как следствие повышение структурированности.

Таким образом стримерный ансамбль «слов» ДКП обладает хараггерными «семантическими» чертами цивилизованных языков.

В разделе 4.4 производится оценка фрактальности ДКП в стримерном представлении с учётом вероятности элементов квартетного алфавита [2ях2р].

В ряде наших работ оценивалась фрактальная размерность ДК в различных подходах, но все они базировались на простой, кустовой декомпозиции. В данной работе сделан следующий шаг в расчёте фрактальной размерности стримеров при учёте вероятностной структуры алфавита ЗДх2р] Наш подход к фрактальным размерностям в целом основан на производной в смысле Радона-Ннкодима. Имеются ввиду логарифмические производные ветвистости стримера с учётом энтропийной меры по обычной конфигурационной ультраметрике, соответствующей этажности ДК. Особенность нашего подхода в том, что для нас важна не столько вероятностная структура квартетного алфавита [2о,х2р], сколько его энтропийная структура. Для каждого куста стримера рассчитывается шенноновская энтропия на алфавите [2ях2р] и с её помощью строится энтропийно-среднее значение ветвистости'

Зная энтропийно-среднюю ветвистость каждого куста, образуем сумму по стримеру (этажам ДК т=10), набираем логарифм и делим на логарифм этажности дерева и получаем в итоге фрактальную размерность данного

стримера:

\ogitn

По этой формуле были нолучены фрактальные

размерности для стримеров исследуемого ансамбля на ДКП (рис.18). Средняя размерность для всего ДК в целом ¿{$й",ДК)= 1.278... Данная оценка фрактальной размерности стримеров

согласуется с размерностью Хаусдорфа-Безиковича. Если считать, что любая ветвь куста имеет единичную топологическую размерность, то размерности «лохматого» фрактала - стримера всегда должна превосходить парциальную топологическую размерность составляющих звеньев. Как мы указывали ранее, фрактальные размерности могут играть роль перколяционной ёмкости ДК. Это справедливо для фронтального протекания, которое реализуется скорлупами Мандельброта. В наших предыдущих работах как раз и была получена в этом представлении такая же (-13..) размерность для скорлупы Мандельброта. Стримеры на ДКП можно считать обобщёнными фрактальными лучами, «ортогональными» к скорлупам Мандельброта. Наша фрактальная оценка стримерного ансамбля хорошо согласуется с перколяционной ёмкостью скорлуп Мандельброта. Тем самым, общая перколяция может рассматриваться во фронтально-лучевом фрактальном представлении.

1.« 1,45

1,М

л

I 1'3 » 1,26

| 1,2-о.

1,16 1,1 1,06 1

4 О

О

012 346(78« 10 11 стример

Рис 11 Размерность стримеров с учётом вероятностного веса составляющих их ветвей

в

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1) Проведена вершинная декомпозиция минимальных квазикристаллических паркетов Найдены статистики распределения вершинных координации «Особые» точки полученных распределений отражают симметрию исходных паркетов. Введена декомпозиция древесных графов Кейли, отображающих мозаику Пенроуза на унарные и бинарные (бислоговые) звенья, отражающие структуру квартетного алфавита [2цх2р\

2) Разработана теория перечисления древесных графов Кенли, способная учитывать полислоговые приближения на квазикристаллических мозаиках и паркетах Для любых квазикристаллических покрытий дано представление в виде координационных ДК, обладающих случайной ветвистостью и межкуствой пересекаемостью на каждом уровне. Применён стримерный подход, реализуемый в форме выделения на ДК фрактальных лучей - стримеров. При исследовании ДК для квазикристаллических симметрии предложено два типа симплициальной декомпозиции, которые способны описать полислоговые приближения на стримерных алфавитах ДК. Показано на бислоговом уровне выполнение ЦПМ-статистики для мозаики Пенроуза

3) Предложена марковская декомпозиция ДКП, которая обобщает перечисляющие полиномы до стохастического перечисляющего тензора и вероятностного вектора. Изучена марковская перколяция вероятностных и энтропийных функционалов, показано, что в марковской логике перколяция энтропийных функционалов на ДК для мозаики Пенроуза обладает периодичностью Примечательно, что среднее значение энтропийного функционала в форме Вайда соответствует «золотому соотношению», лежащему в основе мозаики Пенроуза

Квазикристалличность характеризуется периодической перколяцией энтропийных функционалов.

4) Предложен кронекеров тип декомпозиции ДК на прямом произведении квартетных алфавитов. Тем самым удалось представить перечисляющую структуру в виде шестнадцатимерного кронекерова перечисляющего вектора. Для этого случая решена задача перколяции вероятностных и энтропийных функционалов на ДК. Характер перколяции также является периодическим. На бислоговом уровне идентифицирована ЦПМ -статистика для бислгового алфавита в совместной логике.

5) Проведен теоретико-информационный анализ по определению показателя семантичности, структурированности слов языка в процессах агрегирования. Показано, что стримеры ДКП при бислоговом объединении повышают семантический потенциал, что наряду с наличием ЦПМ статистики позволяет сделать вывод о принадлежности стримерного ансамбля ДКП к словам определённого языка. Для сравнения дана оценка семантичности слов русского языка через ранговое распределение символов по длине слов с учётом вероятностного распределения букв.

6) Найдена фрактальная размерность стримеров ансамбля ДКП с учётом вероятностей составляющих их ветвей, однако при этом учитывалась именно энтропия структуры алфавита [2цх2р] для паркета Пенроуза. Средняя размерность для всего ДК в целом 3(.$[г;ДК) = 1.278—

СПИСОК ОСНОВНЫХ ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 Полянский Д.А., Юдин В.В. Информодинамические и фрактальные характеристики квазикристаллических структур. Фрактальные свойства квазикристаллических симметрии. I/ Тезисы докладов Всероссийской научной конференции ВНКСФ-8, Екатеринбург, 2002. С.140-142, 152-154.

2. Полянский Д Л., Юдин В.В Информодинамические характеристики квазикристаллических структур Фрактальные характеристики квазикристаллических структур // Тезисы докладов 10-й республиканской научной конференции «Физика конденсированного состояния», Гродно, Беларусь, 2002. С.263-267.

3. Юдин.В.В , Полянский Д.А., Любченко Е.А., Чуднова О А., Старцев Е.С. Фрактальность квазикриста1шических структур в представлении древесных графов Кейли // Материалы международной научно-технической конференции «Тонкие плёнки и слоистые структуры», Москва, МИРЭА, 2003, С.87-88.

4. Юдин В. В., Полянский Д. А., Любченко Е. А , Чуднова О. А Древесно-графовое моделирование квазикристаллических структур // Материалы V Всероссийского семинара «Моделирование неравновесных систем - 2002», Красноярск, 2002. С. 120-121.

5. Полянский Д.А. Юдин В.В., Богаченко A.A. Лингвистический анализ мозаики Пеироуза на бислоговом уровне Древесно-графовый анализ квазикристаллических мозаик высших симметрий // Тезисы IX-й Всероссийской конференции ВНКСФ-9, Красноярск, 2003. С. 96-98, 107109.

6. Юдин В.В., Любченко Е.А., Полянский Д.А., Чуднова O.A.. Фрактальность квазикристаллических структур в представлении древесных графов Кейли // Журнал Проблемы Эволюции Открытых Систем, 2003, Вып.5, T.I, С.119-125.

7. Юдин В.В., Полянский Д.А., Любченко Е.А, Старцев Е.С. Планарная Квазикристаллическая языковая система Пеироуза. // Материалы XII Всероссийского семинара «Нейроинформатика и её приложения», Красноярск, 2003. С.188-189.

8. Полянский Д.А., Карыгина Ю.А., Юдин В. В. Лингвистическая модель квазикристаллического покрытия. // Материалы VI Всероссийского семинара «Моделирование неравновесных систем - 2003», Красноярск, 2003. С. 133-134.

9 Юдин В.В , Полянский Д А Семантика планарного квазикристаллического языка Пеироуза // Материалы XIII Всероссийского семинара «Нейроинформатика и её приложения», Красноярск, 2003. С. 190-191.

10. Юдин В.В., Полянский Д.А., Любченко Е.А., Чуднова О А., Старцев Е.С. Квазикристаллическая планарная языковая система Пеироуза в представлении древесных графов Кейли. // Сборник трудов международной научно - технической конференции «Прикладная синергетика», Уфа, 2004. с 180-185.

11 Полянский Д.А., Юдин В.В Статистическое исследование квазикристаплических симметрии в древесно-графовом представлении // Тезисы докладов XI Всероссийской научной конференции ВНКСФ-11, Екатеринбург, 2005. С. 122-123

12. Юдин В В., Полянский Д А. Статистический анализ мозаики Пенроуза при различных видах декомпозиции. // Труды IX конференции ПДММ-2005, Владивосток, 2005. С.217-223

Полянский Дмитрий Александрович

Теоретико-информационный анализ минимального класса квазикристаллических структур

АВТОРЕФЕРАТ

Подписано в печать 08.07.2005. Формат 60x84 1/16 Усл. печ. л. 1,63 ; уч.-изд. л. 1,2 Тираж 100 экз.

Издательство Дальневосточного университета 690950, г Владивосток, ул. Октябрьская 27

Отпечатано в типографии Издательско-полиграфического комплекса ДВГУ 690950, г Владивосток, ул Алеутская 56.

»15236

PH Б Русский фонд

2006-4 10011

ВВЕДЕНИЕ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

ГЛАВА I. КВАЗИКРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ СИММЕТРИИ И ИХ МОДЕЛИ

§1.1. Квазикристаллические симметрии. Структура и свойства.

§1.2 Модели квазикристаллов. Квазикристаллический паркет Пенроуза.

§ 1.3. Группы подобия в синтезе квазикристаллических паркетов.

Логические операционные модули.

§ 1.4. Бигексагональная мозаики Дюно-Каца. Перколяция вероятностных перечисляющих полиномов, информодинамических функционалов и фрактальных характеристик.

ГЛАВА II. ИНФОРМОДИНАМИЧЕСКИЙ МЕТОД СТРУКТУРНОГО АНАЛИЗА МОЗАИК, ПАРКЕТОВ

§ 2.1. Грамматическое представление паркетов и мозаик. Иерархия алфавитов. ЦПМ - статистика в унарном приближении.

§ 2.2. Статистики ЦПМ в квазикристаллических симметриях.

§ 2.3. Древесно-графовое отображение квазикристаллических мозаик.

Математические свойства координационных ДК.

§ 2.4. Декомпозиции древесных графов. Классическая теория перечисления графов. Свойство симплициальности.

§ 2.5. Перколяция вероятностных перечисляющих полиномов, информодинамических функционалов на ДК.

ГЛАВА III. ОБОБЩЁННЫЕ ПЕРЕЧИСЛЯЮЩИЕ СТРУКТУРЫ ПРИ СИМПЛИЦИАЛЬНЫХ ДЕКОМПОЗИЦИЯХ ДРЕВЕСНЫХ ГРАФОВ

§ 3.1. Перколяция ветвистости и внутриуровневой связности дерева Кейли для мозаики Пенроуза.

§ 3.2. Два метода протодекомпозиции при бислоговом рассмотрении ДКП.

§3.3. Марковская декомпозиция ДКП. Стохастический перечисляющий тензор. Вероятностный вектор. Марковская перколяция вероятностных, энтропийных функционалов.

§ 3.4. Кронекерова декомпозиция ДКП. Кронекеров перечисляющий вектор. Перколяция вероятностных, энтропийных функционалов в совместной логике рассмотрения.

ГЛАВА IV. ТЕОРЕТИКО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ АНАЛИЗ ДКП

§4.1. Сопоставление результатов теоретико-информационного анализа перколяции в марковском и кронекеровом представлении на ДКП.

§ 4.2. Теоретико-информационный анализ слов русского языка.

§ 4.3. Стримерное представление ДК. Стримеры как слова.

§ 4.4. Фрактальность ДК для мозаики Пенроуза в стримерном представлении.

В классической кристаллографии существует теорема, которая показывает, что наложение трансляций Бравэ на группу S03 режектирует бесконечномерный вектор характеров до пятимерного. В результате этого в кристаллографии допускаются поворотные оси только 2, 3, 4, 6 порядков. Открытие в 1985 году сплавов с наличием оси симметрии 5-го порядка привело к возникновению большого массива работ теоретического плана по моделированию квазикристаллических паркетов, мозаик. В наших работах [93,94,96,97,100,101,104] развивается методика по интерпретации квазикристаллических симметрий на базе теоретико-информационного, лингвистического подхода. Были найдены признаки, позволяющие предположить, что планарный квазикристаллический паркет можно считать текстом некоторого языка. Как требуется в теории информации и теории эффективного кодирования, язык задаётся иерархией алфавитов — буквенный, слоговый, словарный, фразеологический и т.д., на которых задаются вероятностные меры. Со времён Ципфа было установлено универсальное статистическое свойство цивилизованных языков на различных уровнях агрегации. Доказано, что все реальные языки подчиняются закону Ципфа - Парето - Мандельброта [102]. Это обобщённое гиперболическое распределение, фактически ранговая статистика алфавитов различных уровней. Надо подчеркнуть, что с точки зрения классической математической статистики ЦПМ - распределения являются весьма нетипичными. Как правило, для их не существуют моменты, нельзя говорить о модах, среднем значении, дисперсии и т.д. Кроме этого, ЦПМ - статистики имеют затянутые хвосты. Как стало ясно в последнее время, это эффект дальнодействия [50,82], имеющий фрактальное содержание.

Все вышеупомянутые направления были исследованы в наших работах.

Однако остаётся в стороне вопрос, который сводится к следующему -можно ли описать с количественной стороны семантический аспект квазикристаллического упорядочения? Несколько другая форма: будет ли зависеть количество информации на квазикристаллических «фразах» от степени агрегации символов? Для реальных языков эти аспекты хорошо исследованы как экспериментально, так и теоретически. Проблемой осталось количественное описание сематичности языковых систем. Поэтому в данной работе была поставлена задача вычислительным экспериментом выяснить, повышается ли при слоговой агрегации степень семантичности на квазикристаллических паркетах как в случае реальных языков, и провести аналогию с русским языком.

Кроме того, такая направленность исследований преследует ещё одну цель - если удастся прямым способом доказать, что квазикристаллические мозаики являются языковой системой, причём с существенно нечёткими чертами, что мы впервые сможем получить неодномерную языковую структуру нетьюринговской логики. Данный аспект крайне важен при разработке и программировании параллельных ЭВМ и нейросистем.

Нетипичность поставленных задач по кристаллографии квазикристаллических структур потребует существенных общений в теории древесных графов, в теории перечисления графов при распространении её на полислоговые приближения. При разработке поставленной проблемы придётся расширить некоторые теоретико-информационные методы. В нашем подходе они объединены под термином «информодинамика» [102].

Целью диссертационной работы является теоретическое исследование основного представителя минимальных квазикристаллических симметрий, пентасимметричной мозаики Пенроуза, на основе данных вычислительного эксперимента как по статистическому анализу структуры самого покрытия, так и по определению характеристик древесно-графовой модели данного покрытия.

Для достижения этой цели были поставлены следующие задачи:

1. Найти статистики распределения вершинных координаций как самой мозаики Пенроуза, так и ближайших представителей минимального класса квазикристаллических симметрий.

2. Провести декомпозицию древесно-графового отображения данной мозаики на минимальные элементы, позволяющие учесть структуру имеющего место алфавита [2qx2p] (унарная протодекомпозиция).

3. Провести декомпозицию вышеуказанного древесного графа с учётом минимально объединения элементов унарной декомпозиции (бислоговая протодекомпозиция).

4. Разработать метод, позволяющий обобщить классическую теорию графов для учёта бислоговых приближений.

5. Получить энтропийные функционалы для случая бислоговой протодекомпозиции и рассмотреть динамику их перколяции по уровням древесного графа.

6. Определить фрактальные характеристики древесного графа при унарной протодекомпозиции.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе получены следующие результаты:

Проведена вершинная декомпозиция минимальных квазикристаллических паркетов. Найдены статистики распределения вершинных координаций. «Особые» точки полученных распределений отражают симметрию исходных паркетов. Введена декомпозиция древесных графов Кейли, отображающих мозаику Пенроуза на унарные и бинарные (бислоговые) звенья, отражающие структуру квартетного алфавита [2qx2p]

Разработана теория перечисления древесных графов Кейли, способная учитывать полислоговые приближения на квазикристаллических мозаиках и паркетах. Для любых квазикристаллических покрытий дано представление в виде координационных ДК, обладающих случайной ветвистостью и межкуствой пересекаемостью на каждом уровне. Применён стримерный подход, реализуемый в форме выделения на ДК фрактальных лучей - стримеров. При исследовании ДК для квазикристаллических симметрий предложено два типа симплициальной декомпозиции, которые способны описать полислоговые приближения на стримерных алфавитах ДК. Показано на бислоговом уровне выполнение ЦПМ-статистики для мозаики Пенроуза.

Предложена марковская декомпозиция ДКП, которая обобщает перечисляющие полиномы до стохастического перечисляющего тензора и вероятностного вектора. Изучена марковская перколяция вероятностных и энтропийных функционалов, показано, что в марковской логике перколяция энтропийных функционалов на ДК для мозаики Пенроуза обладает периодичностью. Примечательно, что среднее значение энтропийного функционала в форме Вайда соответствует «золотому соотношению», лежащему в основе мозаики Пенроуза. Квазикристалличность характеризуется периодической перколяцией энтропийных функционалов.

Предложен кронекеров тип декомпозиции ДК на прямом произведении квартетных алфавитов. Тем самым удалось представить перечисляющую структуру в виде шестнадцатимерного кронекерова перечисляющего вектора. Для этого случая решена задача перколяции вероятностных и энтропийных функционалов на ДК. Характер перколяции также является периодическим. На бислоговом уровне идентифицирована ЦПМ -статистика для бислгового алфавита в совместной логике.

Проведен теоретико-информационный анализ по определению показателя семантичности, структурированности слов языка в процессах агрегирования. Показано, что стримеры ДКП при бислоговом объединении повышают семантический потенциал, что наряду с наличием ЦПМ - статистики позволяет сделать вывод о принадлежности стримерного ансамбля ДКП к словам определённого языка. Для сравнения дана оценка семантичности слов русского языка через ранговое распределение символов по длине слов с учётом вероятностного распределения букв.

Найдена фрактальная размерность стримеров ансамбля ДКП с учётом вероятностей составляющих их ветвей, однако при этом учитывалась именно энтропия структуры алфавита [2qx2p] для паркета Пенроуза. Средняя размерность для всего ДК в целом d(str'^K) = 1.278.

1. Duneau М., Katz A. Quasiperiodic patterns. 1.I Phys. Rev. Lett. 1985, V. 54. p. 2688-2691

2. Mackey A. Crystallography and the Penrose pattern.// Physica. 1982. V.114A. p609-613.

3. Mandelbrot B.B. Fractals: Form, Chance, and Dimension. W.H. Freeman, San-Francisco, 1977.

4. Mandelbrot B.B. The Fractal Geometry of Nature. New York: Freeman, 1982.

5. Shechtman D., Blech I., Cratias D., Cahn J.W. Metallic phase with long-range orientational order and no translational symmetry. // Phys. Rev. Lett. 1984. V.53. p. 1951-1953.

6. Stauffer D. Introduction to Percolation theory. London: Taylor&Francis,1985.

7. Yudin V.V., Chudnova O.A., Polansky D.A., Chudnov P.S., Lyubchenko E.A. Quasi-crystal structure fractality in wood Kylie grafs representation. // Проблемы эволюции открытых систем. Вып.5. изд. «Эвро». Алматы. С.119-125.

8. А.И. Олемской, А.А. Кацнельсон. Синергетика конденсированной среды. Едиториал УРСС, Москва, 2003, с. 336

9. Айзерман М.А. и др. Динамический подход к анализу структур, описываемых графами (Основы графодинамики) / Сб. науч. тр. «Исследования по теории структур» М.: Наука, 1988. 576 с.

10. Ю.Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П. Малинецкий Г.Г., Самарский А.А. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. М.: Наука, 1992. 544с.

11. П.Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика. М.: Мир, 1978. Т. 1.408 с.

12. Бекстер Р. Точно решаемые модели в статистической физике. М.: Мир, 1985.488с.

13. Бонгард М.М. Проблемы узнавания. М.: Наука, 1967. 318 с.

14. Братковский A.M., Данилов Ю.А., Кузнецов Г.И. Квазикристаллы. // ФММ. 1989. Т.68. №6. С.1045-1095.

15. Вайнштейн Б.К. Современная кристаллография. T.l. М.: Наука, 1979.

16. Ван-дер-Варден Б.Л. Алгебра. // М.: Наука, 1976 с. 648

17. Вильсон А.Д. Энтропийные методы моделирования сложных систем. М.: Наука, 1978.248с.

18. Воробьев Н.Н. Числа Фибоначчи. // М.: Наука, 1992, 192 с.

19. Галлагер Р. Теория информации и надежная связь //Москва, Сов.радио 1974, 720 с.

20. Галиулин Р.В. Кристаллографическая картина мира. // УФН. 2002. Т. 172. №2. С.228- 233.

21. Галиулин Р.В. Правильные системы. // Природа. 1991. №12, С. 20 36.

22. Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов. //М.: Наука, 1971, T.I, 664 с.

23. Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов. // М.: Наука, 1974, T.II, 564 с.

24. Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов. // М.: Наука, 1975, T.III, 496 с.

25. Гратиа Д. Квазикристаллы //УФН. 1988. т. 156. вып. 2. с.347-364

26. Грудин Б.Н., Должиков С.В., Юдин В.В. Радиооптические методы анализа изображений и случайных полей / Уч. пособие. Владивосток: изд-во Дальневосточного госуниверситета, 1983. С. 1-186.

27. Долбилин Н.П. Правильные системы (Введение в математическую кристаллографию). // М.: Знание, 1978, 64с.

28. Домрачеев Г.А., Лазарев А.И. Приложение теории алгебраических систем для создания иерархии структур твёрдых тел, образующихся при равновесных и неравновесных условиях. // ФТТ. 1999. Т.41. №5, С.799-804.

29. Ефимов Н.В. Высшая геометрия. М.: Наука, 1971. 576с.

30. ЗО.Займан Дж. Модели беспорядка. // М.: Мир, 1982, 592 с.

31. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З., Усиков Д.А., Черников А.А. Слабый хаос и квазирегулярные структуры. М.: Наука, 1991.

32. Зыков А.А. Основы теории графов. М.: Наука, 1987. 382с.

33. Иванова B.C., Баланкин А.С., Бунин И.Ж., Оскогоев А.А. Синергетика и фракталы в метериал о ведении. М.: Наука, 1994. 383 с.

34. Карлин С. Основы теории случайных процессов. М.: Мир, 1971, 536 с.

35. Карыгина Ю.А. Фрактальная кристаллография квазикристаллических структур в древесно-графовом представлении на группах подобия.//Дисс. . канд. физ.-мат. наук, ДВГУ, Владивосток 2002.

36. Касти Дж. Большие системы. Связность, сложность, катастрофы. // М.: Мир, 1986, 216.С.

37. Клейн Ф. Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени. М.: Наука, 1989,150 с.

38. Климонтович Ю.Л. Статистическая физика. М.: Наука, 1982. 608с.

39. Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. // М.: Наука, 1986, с. 304 .

40. Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход. М., 1987. 312с.

41. Кроновер P.M. Фракталы и хаос в динамических системах. // М.:Постмаркет, 2000, 352 с.

42. Кульбак С. Теория информации и статистика. М.: Наука, 1967. 400с.

43. Лазарев А.И., Домрачеев Г.А. Ромб и квадрат зародыши для фрактального построения двумерных квазикристаллических структур с вращательной симметрией 8-го и 4-го порядков. // Кристаллография, 1994, Т.39, №5, С.811-814.

44. Лазарев А.И., Суханов А.Ю., Домрачеев Г.А. Устойчивые фрактальные формы в квазикристаллических структурах с симметрией 8-го, 4-го, и 1-го порядков, имеющих коэффициент самоподобия 1 + 42. // Кристаллография, 1995, Т.41, №5, С.793 803.

45. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. 4.1, т.5. М.: Наука, 1976. 584с.

46. Левитов Л.С. Квазикристаллы. // Природа. 1993. №8. с. 11-20.

47. Любченко Е.А. Древесные графы Кейли в исследовании сеточных структур мезодефектов кварцевых стекол. // Дисс . канд. физ.-мат. наук, ДВГУ, Владивосток 1999.

48. Малинецкий Г.Г. и др. Синергетика и прогноз бедствий и катастроф // Сборник трудов международной научно технической конференции «Прикладная синергетика», Уфа, 2004. с 73.

49. Мандельброт Б. Фракталы в физике, (под ред. Л. Пьетронеро, Э. Тозатти), М.: Мир, 1988. 649 с.

50. Медведев Н.Н. Метод Вороного Делоне в исследовании структуры некристаллических систем. Новосибирск: изд. СО РАН, 2000, 214 с.

51. Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Н. Новгород: изд-во Нижегородского университета, 1999. 140с.

52. Нельсон Д.Р. Квазикристаллы. Мозаика Пенроуза. // В мире науки. 1986. №10. с. 19-28.

53. Николис Г., Пригожин И. Познание сложного. М.: Мир, 1990. 244с.

54. Пенроуз Р. Новый ум короля. // Едиториал УРСС, Москва 2003, 384 с.

55. Писаренко Т.А. Фрактальность сеточных систем мезодефектов металлических и кварцевых стекол в спектральном и древесно-графовом представлениях / Дисс. на соиск. уч. ст. к.ф.-м.н. Владивосток, 2000. 299с.

56. Полянский Д.А. Древесно-графовая модель мозаики Пенроуза в унарном и бинарном приближении. // Материалы международной конференции молодых учёных по математическому моделированию и информационным технологиям, Красноярск 2003, с.41.

57. Полянский Д.А. Лингвистический анализ мозаики Пенроуза на бислоговом уровне. // Тезисы IX-й Всероссийской конференции ВНКСФ-9, Красноярск, 2003. С. 107-109.

58. Полянский Д.А., Карыгина Ю.А., Юдин В. В. Лингвистическая модель квазикристаллического покрытия. // Материалы VI Всероссийского семинара «Моделирование неравновесных систем 2003», Красноярск, 2003. С.133-134.

59. Полянский Д.А., Чуднова О.А. Информодинамика и фрактальность квазикристаллических симметрий. // Тезисов Международной научно-технической конференции «Молодые ученые 2002», Москва, 2002. с.90-91.

60. Полянский Д.А., Юдин В.В. Лингвистический подход к исследованию квазикристаллических симметрий. // Тезисы докладов региональной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных по физике, ИФИТ ДВГУ, Владивосток, 2004, с 56-57.

61. Полянский Д.А., Юдин В.В. Статистический анализ мозаики Пенроуза при различных видах декомпозиции. // Труды IX кодференции ПДММ-2005, Владивосток, 2005. С.227-230.

62. Полянский Д. А., Юдин В.В. Статистическое исследование квазикристаллических симметрий в древесно графовом представлении // Тезисы докладов XI Всероссийской научной конференции ВНКСФ-11, Екатеринбург, 2005. С.

63. Постников М.М. Дифференциальная геометрия. М.: Наука, 1988. 496 с.

64. Потапов А.А. Фракталы в дистанционном зондировании // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники. 2000. №6. 365 с.

65. Прохоров Ю.В., Розанов Ю.А. Теория вероятностей. Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы. М.: Наука, 1973. 496с.

66. Савчук Е.Г. Статистическая кинетика суперсеточных систем металлических и кварцевых стекол в процессах структурной релаксации / Дисс. на соиск. уч. ст. к.ф.-м.н. Владивосток, 1991. 255с.

67. Самсонов Б.Б., Плохое Е.М., Филоненков А.И., Кречет Т.В. Теория информации и кодирование. Ростов-на-Дону: изд-во Феникс, 2002. 288с.

68. Сиротин Ю.И., Шаскольская М.П. Основы кристаллофизики. // М.: Наука, 1979, 639 с.

69. Стивенз П.В., Гоулдман А.И. Структура квазикристаллов // В мире науки. 1991. №6. с. 14-21.

70. Стратонович Р.Л. Теория информации //Москва, Сов.радио, 1975,424 с.

71. Уилсон Р. Введение в теорию графов. М.: Мир, 1977. 200с.

72. Фано Р. Передача информации. Статистическая теория связи. // М.: Мир, 1965.

73. Федер Е. Фракталы. М.: Мир, 1991. 254с.

74. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т.1. М.: Мир, 1984. 528с.;

75. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т.2. М.: Мир, 1984. 752с.

76. Фракталы в физике / Труды VI Международ, симпоз. по фракталам в физике. М.: Мир, 1988. 672с.

77. Хамермаш М. Теория групп и её применение к физическим проблемам. // М.: Мир. 1966.587 с.

78. Харари Ф. Комбинаторные задачи перечисления графов / Прикладная комбинаторная математика. Под ред. Беккенбаха Э. М.: Мир, 1968. С. 107-140.

79. Харари Ф. Теория графов. // М.: Мир, 1973.

80. Харари Ф., Палмер В. Перечисление графов. // М.: Мир, 1977, 327 с.

81. Чуднова О.А. Сравнительный информодинамический анализ классических решеток и бигексагональной мозаики Дюно-Каца.// дисс . канд. физ.-мат. наук, ДВГУ, Владивосток 2004.

82. Шварц Л. Анализ. T.l. М.: Мир, 1972. 824с.

83. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. // Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001 г. 528 с.

84. Шубников А.В., Копцик В.А. Симметрия в науке и искусстве. М.: Наука, 1972. 450с.

85. Эдварде Р. Функциональный анализ. М.: Мир, 1969, 1072с.

86. Эфрос АЛ. Физика и геометрия беспорядка. М.: Наука, 1982. 176с.

87. Юдин В. В., Полянский Д. А., Любченко Е. А., Чуднова О. А. Древесно-графовое моделирование квазикристаллических структур // Материалы V Всероссийского семинара «Моделирование неравновесных систем 2002», Красноярск, 2002.

88. Юдин В.В, Карыгина Ю.А. Древесно фрактальный формализм топологического синтеза квазикристаллических мозаик. // Материаловедение, 2001, №12, С. 12-14.

89. Юдин В.В. и др. Дальний порядок в структуре аморфных пленок // ФТТ. 1982. Т.24, №2. С.443^48.

90. Юдин В.В. и др. Мозаика Пенроуза как древесно-графовая стохастическая решетка // Кристаллография 2002, Т. 47. № 2. С. 224.

91. Юдин В.В. и др. Случайные координационные деревья Кейли для сеточных мезоструктур кварцевых и металлических стекол // Кристаллография. 1999. Т.44, №3. С.413-421.

92. Юдин В.В. Стохастическая магнитная структура пленок с микропоровой системой. // М.: Наука, 1987 213 с.

93. Юдин В.В. Структурные неоднородности аморфных планарных сред типа переходной металл металлоид, редкая земля - переходной металл. //Дисс. . докт. физ.-матем. наук, ИФ СО РАН, Красноярск, 1987.

94. ЮО.Юдин В.В., Карыгина Ю.А. Фрактальность квазикристаллов на примере мозаики Пенроуза. // Кристаллография 2001, Т. 46. № 6. С. 1004.

95. Юдин В.В., Любченко Е.А., Полянский ДА., Чуднова О.А. Фрактальность квазикристаллических структур в представлении древесных графов Кейли // Журнал Проблемы Эволюции Открытых Систем, Вып.5, Т.1, С. 119 125.

96. Юдин В.В., Писаренко Т.А., Любченко Е.А., Информодинамика сетевых структур. Вероятность. Древесные графы. Фракталы. //Владивосток: изд. ДВГУ, 2003, 243 с.

97. Юдин В.В., Писаренко Т.А., Любченко Е.А., Чуднова О.А., Обобщенные решеточные системы как сверхперколирующие структуры. //Изв. РАН. Сер. Физическая. 2001. № 10, с.1405.

98. Юдин В.В., Писаренко Т.А., Полянский Д.А., Старцев Е.С. Сценарий перемежаемости сеточных мезоструктур кварцевых и металлических стёкол в представлении древесных графов Кейли // Проблемы Эволюции Открытых Систем, Вып.5, Т.1, С. 125-130.

99. Юдин В.В., Полянский Д.А. Семантика планарного квазикристаллического языка Пенроуза // Материалы XI Всероссийского семинара «Нейроинформатика и её приложения», Красноярск, 2003. С. 190-191.

100. Юдин В.В., Полянский Д.А. Статистический анализ мозаики Пенроуза при различных видах декомпозиции. // Труды IX конференции ПДММ-2005, Владивосток, 2005. С.217-223

101. Юдин В.В., Полянский Д.А., Любченко Е.А., Старцев Е.С. Планарная Квазикристаллическая языковая система Пенроуза. // Материалы XIII Всероссийского семинара «Нейроинформатика и её приложения», Красноярск, 2003. С. 188-189.